<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\newpage 
\chapter*{Приложения}
\addcontentsline{toc}{chapter}{Приложения} 

\section[Стационарные волны]{Стационарные волны}
\label{APPEND-Stationary_Waves}

Перепишем неявные уравнения для формы поверхности и
гидродинамического потенциала $\Psi$:
\begin{equation}\label{4.1}
y_t (1 + \tilde{x}_u) - x_t y_u = - \hat{R} \Psi_u\,,
\end{equation}
%
\begin{equation}\label{4.2}
\Psi_t y_u - \Psi_u y_t + g y y_u + \hat R\left( \Psi_t (1 + \tilde{x}_u) -
x_t \Psi_u + g y (1+ \tilde{x}_u) \right) = 0\,.
\end{equation}
%
Последнее уравнение имеет частное решение:
%
\begin{eqnarray}\label{4.3}
y&amp;=&amp; y(u - ct) , \tilde{x} = \tilde{x}(u - ct)\,, \nonumber\\
\Psi&amp;=&amp; \Psi (u - c t) - g b_0 t\,,
\end{eqnarray}
которое описывает стационарные волны, распространяющиеся
с постоянной скоростью $c$.

Подставляя (\ref{4.3}) в (\ref{4.1}), приходим к равенству:
%
\begin{equation}\label{4.4}
c y_u = \hat{R} \Psi_u\,.
\end{equation}
%
Если воспользоваться (\ref{4.4}) и подставить (\ref{4.3}) в
(\ref{4.2}), можно получить:
%
\begin{equation}\label{4.5}
-(c^2+2gb_0) y_u + g y y_u + g\hat R (y(1+ \tilde{x}_u)) =0\,.
\end{equation}

Далее мы будем педполагать все функции периодическими с
периодом $L=\frac{2\pi}{k}$. В этом случае полное сохранение массы
жидкости предполагает равенство
\begin{equation}\label{massa}
&lt;y(1+\hat{x}_u)&gt; = 0\,,
\end{equation}
где скобки означают усреднение по периоду.

Решение уравнения (\ref{4.5}) можно искать в виде ряда
%
\begin{equation}
y = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos nku \,.
\end{equation}
Удобно ввести оператор
$$
\hat{S} = \hat{R} \partial^{-1}\,,
$$
действие которого на $y$ дает:
$$
\hat{S}^{-1} y = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{S_n} \cos nku\,,
$$
где
$$
S_n = \frac{\tanh knh}{kn}\,.
$$
С помощью $S_n$ из (\ref{massa}) $a_0$ определяется:
\begin{equation}
a_0 = -\frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a^{2}_n}{S_n}
 = \bar h - h\,.
\end{equation}
Для $b_0$ имеем соотношение, следующее из (\ref{bern}),
\begin{equation}
b_0 = a_0 - \frac{c^2}{g}&lt;1-\frac{1}{|z_u|^2}&gt;
\end{equation}
Все другие коэффициенты $a_n$ удовлетворяют следующей системе
уравнений:
%
\begin{eqnarray}
(\tilde{c}^2 - g S_1) a_1 &amp;=&amp; \frac{g}{2}
\sum_{m=1}^{\infty} \left( 1 + \frac{S_1(S_m + S_{m+1})}{S_m S_{m+1}}\right)
a_m a_{m+1}\,,\\
(\tilde{c}^2 - g S_n) a_n
&amp;=&amp; \frac{g}{2} \sum_{m=1}^{\infty}
\left( 1 + \frac{S_n (S_m + S_{n+m})}{S_m S_{n+m}}\right) a_m a_{n+m}
\nonumber\\
&amp;&amp;+ \frac{g}{4} \sum_{m=1}^{n-1}\left( 1 + \frac{S_n (S_m +
S_{n-m})}{S_m S_{n-m}}\right) a_m a_{n-m}\,.
\end{eqnarray}
Здесь $\tilde{c}^2 = c^2 - 2g(a_0-b_0)$.
В этих уравнениях амплитуда первой гармоники $a_1$ произвольна.
Полагая ее малой, в главном порядке имеем в соответствии с
линейной теорией:
%
\begin{equation}
a_0 = 0, b_0 = 0
\quad\mbox{и}\quad
c^2 = \tilde{c}^2 = \frac{g}{k} \tanh kh\,,
\end{equation}
В первом нетривиальном приближении коэффициенты
$a_2$ и $c^2$  равны:
%
\begin{eqnarray}
a_2 &amp;=&amp; a_{1}^2 k \frac{3+\tanh^2 kh}{4\tanh^3 kh}\,,
\nonumber\\
c^2 &amp;=&amp; \frac{g}{k} \tanh kh
\left( 1 + \left[\frac{9 -6\tanh^2 kh + 5\tanh^4 kh}
{8\tanh^4 kh}\right] (k a_1)^2 \right)\,.
%\nonumber
\label{disp_conf}
\end{eqnarray}
Если вернуться к физической глубине $\bar h$, дисперсионное
соотношение (\ref{disp_conf}) совпадает с точностью с полученным в
\cite{Whitham}:
\begin{equation}
c^2 = \frac{g}{k} \tanh k\bar h
\left( 1 + \left[\frac{9 -10\tanh^2 k\bar h + 9\tanh^4 k\bar h}
{8\tanh^4 k\bar h}\right] (k a_1)^2 \right)\,.
\end{equation}
В пределе глубокой воды отсюда следует результат
Стокса~\cite{S}:
%
\begin{equation}
c^2 = \frac{g}{k} (1+(ka_1)^2)\,.
\end{equation}
Для мелкой воды
%
$$
\hat{S} \simeq h(1-\frac{h^2}{3} \frac{\partial^2}{\partial x^2})\,,
$$
и уравнение (\ref{4.5}) превращается в дифференциальное,
описывающее солитоны КДВ типа.


\section[Гамильтониан 4-го и 5-го порядков]{Гамильтониан 4-го и 5-го порядков}
\label{APPEND-str}
\setcounter{equation}{0}


В этом приложении получаем члены разложения Гамильтониана до 5-го
порядка включительно.
Первая часть гамильтониана $\Ha_4$ равна 
\begin{eqnarray}
{\Ha_4}^{1st} &amp;=&amp; -{1\over 2} \int 2\Ps^{(3)} H{\Ps^{(1)}}^\prime du =\cr
 &amp;=&amp;-\int \Pa ({x^\prime}^2-{y^\prime}^2) H{\Pa^\prime} du
+2\int x^\prime H(y^\prime \Pa) H{\Pa^\prime} du = \cr
&amp;=&amp;\frac{1}{2\pi}\int {|k_3|(|k_1 k_2|+k_1 k_2)
z_{k_1} z_{k_2} \Pa_{k_3} \Pa_{k_4}
\delta_{k_1+k_2+k_3+k_4} dk_1 dk_2 dk_3 dk_4} +\cr
&amp;+&amp;\frac{1}{\pi}\int {|k_1| k_2 |k_3|s_{k_2+k_4}
z_{k_1} z_{k_2} \Pa_{k_3} \Pa_{k_4}
\delta_{k_1+k_2+k_3+k_4} dk_1 dk_2 dk_3 dk_4} \nonumber 
\end{eqnarray}

Вторая часть $\Ha_4$ может быть записана так: 
\begin{eqnarray} \nonumber
{\Ha_4}^{2nd} &amp;=&amp; -{1\over 2} \int \Ps^{(2)} H{\Ps^{(2)}}^\prime du =\cr
&amp;=&amp;-{1\over 2} \int (y^\prime\Pa) H(y^\prime \Pa)^\prime +
(x^\prime\Pa) H(x^\prime \Pa)^\prime
+2 (x^\prime \Pa) (y^\prime \Pa)^\prime du
\end{eqnarray}
В $k$-пространстве она принимает вид:
\begin{eqnarray}
{\Ha_4}^{2nd} = &amp;\frac{1}{4\pi}&amp;\int 
\{(|k_1 k_2|-k_1 k_2) |k_2+k_4| + (|k_1| k_2 - k_1 |k_2|) (k_2+k_4)\}\times\cr 
&amp;&amp;z_{k_1} z_{k_2} \Pa_{k_3} \Pa_{k_4}
\delta_{k_1+k_2+k_3+k_4} dk_1 dk_2 dk_3 dk_4
\end{eqnarray}

Первая часть $\Ha_5$ равна
\begin{eqnarray} \nonumber
{\Ha_5}^{1st} = -&amp;\int&amp; \Ps^{(4)} H{\Ps^{(1)}}^\prime du =\cr
\frac{-1}{(2\pi)^{3\over 2}}&amp;&amp;\int|k_4|\{(3k_1 k_2 +|k_1 k_2|)|k_3| +
           (3|k_1 k_2|+k_1 k_2)s_{k_3+k_5} k_3\}\times\cr
&amp;&amp;z_{k_1}z_{k_2} z_{k_3} \Pa_{k_4} \Pa_{k_5}
\delta_{k_1+k_2+k_3+k_4+k_5} dk_1 dk_2 dk_3 dk_4 dk_5
\end{eqnarray}

Вторая часть $\Ha_5$ имеет вид 
\begin{eqnarray}
{\Ha_5}^{2nd} = -&amp;\int&amp; \Ps^{(3)} H{\Ps^{(2)}}^\prime du =\cr
&amp;\int&amp; \Pa ({x^\prime}^2-{y^\prime}^2)(z^\prime\Pa)^\prime du +
\int \Pa ({x^\prime}^2-{z^\prime}^2) H(x^\prime\Pa)^\prime du -\cr
-2&amp;\int&amp; x^\prime H(z^\prime \Pa)(z^\prime\Pa^\prime)^\prime du
-2\int x^\prime H(z^\prime \Pa) H(x^\prime\Pa)^\prime du = \cr
-\frac{1}{(2\pi)^{3\over 2}}&amp;\int&amp;\!\!\{(|k_1 k_2|+k_1 k_2)(k_3(k_3+k_4)+|k_3||k_3+k_4|)\}\times\cr
&amp;&amp;z_{k_1} z_{k_2} z_{k_3}\Pa_{k_4} \Pa_{k_5}
\delta_{k_1+k_2+k_3+k_4+k_5} dk_1 dk_2 dk_3 dk_4 dk_5 -\cr
-\frac{2}{(2\pi)^{3\over 2}}&amp;\int&amp; |k_1| k_3 s_{k_3+k_4}
(k_2 (k_2 + k_5) + |k_2||k_2 + k_5|) \times\cr
&amp;&amp;z_{k_1} z_{k_2} z_{k_3}\Pa_{k_4} \Pa_{k_5}
\delta_{k_1+k_2+k_3+k_4+k_5} dk_1 dk_2 dk_3 dk_4 dk_5 \nonumber 
\end{eqnarray}

Гамильтониаи может быть запмсан в симметричной форме:
\begin{eqnarray} \nonumber
\Ha = \frac{1}{2}&amp;\int&amp;\!(g |z_k|^2 + |k||\Pa_k|^2) dk +\cr
+\frac{1}{2\sqrt{2\pi}}&amp;\int&amp;\!\{S_{k_1 k_2 k_3}z_{k_1}z_{k_2}z_{k_3} -
F^{k_1}_{k_2 k_3}z_{k_1}\Pa_{k_2} \Pa_{k_3}\}
 \delta_{k_1+k_2+k_3}dk_1dk_2dk_3 +\cr
+\frac{1}{4\pi}&amp;\int&amp;\!M^{k_1 k_2}_{k_3 k_4}z_{k_1}z_{k_2}\Pa_{k_3}\Pa_{k_4}
\delta_{k_1+k_2+k_3+k_4}dk_1dk_2dk_3dk_4 +\cr
+\frac{1}{2(2\pi)^{3\over 2}}&amp;\int&amp;\!N^{k_1 k_2 k_3}_{k_4 k_5}
z_{k_1}z_{k_2}z_{k_3}\Pa_{k_4}\Pa_{k_5}
\delta_{k_1+k_2+k_3+k_4+k_5}dk_1dk_2dk_3dk_4dk_5
\end{eqnarray}
\noindent где $S_{k_1 k_2 k_3}$, $L_{k_1 k_2}$ и 
$F^{k_1}_{k_2 k_3}$
определены в (\ref{SLF}), и
\begin{eqnarray}
M^{k_1 k_2}_{k_3 k_4} &amp;=&amp; (|k_3|+|k_4|)(k_1 k_2 +|k_1 k_2|) +\cr
&amp;+&amp;{1\over 4}L_{-k_1 k_2}(|k_1+k_3|+|k_1+k_4|+|k_2+k_3|+|k_2+k_4|)+\cr
&amp;+&amp;{1\over 2}(|k_1|k_2(2k_2+k_3+k_4)+k_1|k_2|(2k_1+k_3+k_4))+\cr
&amp;+&amp;|k_1|k_2(|k_3|s_{k_2+k_4}+|k_4|s_{k_2+k_3})+
k_1|k_2|(|k_3|s_{k_1+k_4}+|k_4|s_{k_1+k_3})
\nonumber
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
N^{k_1 k_2 k_3}_{k_4 k_5} &amp;=&amp;\cr 
&amp;-&amp;\{(|k_1 k_2 k_3| + |k_1| k_2 k_3 + k_1 |k_2| k_3 + k_1 k_2 |k_3|)
(|k_4| + |k_5|) + \cr
&amp;+&amp;\frac{k_1 k_2 k_3}{3}(|k_4|(s_{k_1+k_5}+s_{k_2+k_5}+s_{k_3+k_5})+\cr
&amp;+&amp;|k_5|(s_{k_1+k_4}+s_{k_2+k_4}+s_{k_3+k_4}))+\cr
&amp;+&amp;|k_4|(k_1|k_2||k_3| s_{k_1+k_5}+
       |k_1|k_2|k_3| s_{k_2+k_5}+|k_1||k_2| k_3 s_{k_3+k_5})+\cr
&amp;+&amp;|k_5|(k_1|k_2||k_3| s_{k_1+k_4}+
       |k_1|k_2|k_3| s_{k_2+k_4}+|k_1||k_2| k_3 s_{k_3+k_4})\}\cr
\cr
&amp;-&amp;\frac{1}{3}\{
L_{k_1,k_2} L_{k_3,k_3+k_4} + L_{k_3,k_2} L_{k_1,k_1+k_4}+
L_{k_1,k_3} L_{k_2,k_2+k_4}+\cr
&amp;+&amp;L_{k_1,k_2} L_{k_3,k_3+k_5} + L_{k_3,k_2} L_{k_1,k_1+k_5}+
L_{k_1,k_3} L_{k_2,k_2+k_5}
\}-\cr
-\frac{1}{3}\{
|k_1|&amp;(&amp;k_3(L_{k_2,k_2+k_4}s_{k_3+k_5}+ L_{k_2,k_2+k_5}s_{k_3+k_4})+\cr
     &amp;+&amp;k_2(L_{k_3,k_3+k_4}s_{k_2+k_5}+ L_{k_3,k_3+k_5}s_{k_2+k_4}))+\cr
%
|k_2|&amp;(&amp;k_3(L_{k_1,k_1+k_4}s_{k_3+k_5}+ L_{k_1,k_1+k_5}s_{k_3+k_4})+\cr
     &amp;+&amp;k_1(L_{k_3,k_3+k_4}s_{k_1+k_5}+ L_{k_3,k_3+k_5}s_{k_1+k_4}))+\cr
%
|k_3|&amp;(&amp;k_2(L_{k_1,k_1+k_4}s_{k_2+k_5}+ L_{k_1,k_1+k_5}s_{k_2+k_4})+\cr
     &amp;+&amp;k_1(L_{k_2,k_2+k_4}s_{k_1+k_5}+ L_{k_2,k_2+k_5}s_{k_1+k_4}))\}
\nonumber
\end{eqnarray}


\newpage

\section[Элементы диаграммной техники]{Элементы диаграммной техники}
\label{APPEND-base-tech}
\setcounter{equation}{0}
\def \eb {\begin{flushright}
          \vskip -1.2cm
          \begin{minipage}{10.5cm}}
\def \ep {\end{minipage}
         \end{flushright}}

\setlength{\unitlength}{.08cm}

Введем базовые объекты диаграммной техники, которые 
понадобятся нам в Приложении \ref{APPEND-diagramms}.

\begin{enumerate}
\item
Четырёхволновая вершина с 2 входящими и 2 выходящими волновыми
векторами:

\begin{picture}(36,30)(0,10)
\put(0,24){\vector(1,-1){12}}
\multiput(11,12)(-2,-2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(11,10)(-2,-2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(13,12)(2,2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(13,14)(2,2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(13,12)(2,-2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(13,10)(2,-2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\put(10.85,10.85){\vector(1,1){1}}
\put(23.1,23){\vector(1,1){1}}
\put(23.1,1){\vector(1,-1){1}}


\put(4,0){2}
\put(3,24){1}
\put(19,24){3}
\put(18,0){4}
\end{picture}
 
\eb
$$ W^{k_1 k_2}_{k_3 k_4}$$
   \ep

\

% fig1
\item 
Трёхволновые вершины $U$ и $V$:

\begin{picture}(24,30)(0,10)
\put(0,12){\line(1,0){12}}
\multiput(13,12)(2,2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(13,14)(2,2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(13,12)(2,-2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(13,10)(2,-2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\put(23.1,1){\vector(1,-1){1}}
\put(23.1,23){\vector(1,1){1}}
\put(11,12){\vector(1,0){1}}
 
\put(0,14){1}
\put(18,22){2}
\put(17,0){3}
\end{picture}
 
\eb
$$V^{k_1}_{k_2 k_3} $$
\ep
% U

\begin{picture}(24,30)(0,10)
\put(0,12){\line(1,0){12}}
\multiput(13,12)(2,2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(13,14)(2,2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(13,12)(2,-2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(13,10)(2,-2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\put(23.1,1){\vector(1,-1){1}}
\put(23.1,23){\vector(1,1){1}}
\put(1,12){\vector(-1,0){1}}
 
\put(0,14){1}
\put(18,22){2}
\put(17,0){3}
\end{picture}
 
\eb
$$U_{k_1 k_2 k_3}$$
\ep



%fig 2
\item

Функция Грина $G(k,\omega)$.

\begin{picture}(24,30)(0,10)
 
\multiput(13,12)(4,0){3}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(15,12)(4,0){3}{\oval(2,1.6)[b]}
\put(12,12){\vector(-1,0){12}}
\put(12,16){\makebox(0,0){$k$, $\omega$}}
\end{picture}
 
\eb
$$G(k,\omega)=\frac{1}{\omega-\omega_k}$$
\ep
 

%fig 4
\end{enumerate}

Заметим, что каждая вершина имеет одну прямую линию, 
остальный - волнистые.

Для того, чтобы вычислить полный матричный элемент четвертого 
порядка, необходимо сложить с собственно четырехволновой вершиной
все возможные комбинации вершин более низкого порядка 
(трёхволновых в данном случае), связанных функцией Грина,
таким способом, чтобы результирующие диаграммы имели
2 входящих и 2 выходящих волновых вектора. Кроме того
они не должны иметь петель.

Легко видеть, что единственный способ удовлетворить этим 
требованиям - это соединить две трёхволновые вершины
одной функцией Грина. В результате мы имеем 6 топологически 
разных конфигурации.
Аргументы $k$ и $\omega$ внутренней функции Грина должны
удовлетворять резонансным условиям (\ref{res4}).
Поскольку мы находимся на резонансном многообразии,
не имеет значения вычисляем ли мы аргументы $k$ и $\omega$
функции Грина по левой или правой вершине, так как они оба 
дают один и тот же результат.  
Это отражается в том, что два слагаемых в каждой квадратной 
скобке (\ref{T4_hat}) равны.  Это позволяет убрать 
коэффициент $1/2$.

%add1
\begin{picture}(36,30)(0,10)
\multiput(13,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(15,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\put(18,12){\line(1,0){6}}
\put(0,24){\vector(1,-1){12}}
\multiput(11,12)(-2,-2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(11,10)(-2,-2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(25,12)(2,2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(25,14)(2,2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(25,12)(2,-2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(25,10)(2,-2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\put(10.85,10.85){\vector(1,1){1}}
\put(35.1,23){\vector(1,1){1}}
\put(35.1,1){\vector(1,-1){1}}


\put(23,12){\vector(1,0){1}}
\put(4,0){2}
\put(3,24){1}
\put(31,24){3}
\put(30,0){4}
\put(18,16){\makebox(0,0){1+2}}
\end{picture}
 
\eb
$$
-V^{k_1+k_2}_{k_1 k_2}V^{k_3+k_4}_{k_3 k_4}
\left[\frac{1}{\omega_{k_1+k_2}-\omega_{k_1}-\omega_{k_2}}\right]
$$
   \ep

%add2
\begin{picture}(36,30)(0,10)
\multiput(13,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(15,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\put(18,12){\line(1,0){6}}
\put(0,24){\vector(1,-1){12}}
\multiput(11,12)(-2,-2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(11,10)(-2,-2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(25,12)(2,2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(25,14)(2,2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(25,12)(2,-2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(25,10)(2,-2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\put(10.85,10.85){\vector(1,1){1}}
\put(35.1,23){\vector(1,1){1}}
\put(35.1,1){\vector(1,-1){1}}


\put(12.7,12.7){\vector(-1,-1){1}}
\put(4,0){2}
\put(3,24){1}
\put(31,24){3}
\put(30,0){4}
\put(18,16){\makebox(0,0){-1-2}}
\end{picture}
 
\eb
$$
-U_{-k_1-k_2 k_1 k_2}U_{-k_3-k_4 k_3 k_4}
\left[\frac{1}{\omega_{k_1+k_2}+\omega_{k_1}+\omega_{k_2}}\right]
$$
   \ep

%add3
\begin{picture}(36,30)(0,10)
\multiput(13,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(15,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\put(18,12){\line(1,0){6}}
\put(0,24){\vector(1,-1){12}}
\multiput(11,12)(-2,-2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(11,10)(-2,-2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(25,12)(2,2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(25,14)(2,2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(25,12)(2,-2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(25,10)(2,-2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\put(24.7,12.7){\vector(-1,-1){1}}
\put(35.1,1){\vector(1,-1){1}}
\put(0.7,0.7){\vector(-1,-1){1}}

\put(23,12){\vector(1,0){1}}
\put(4,0){3}
\put(3,24){1}
\put(31,24){2}
\put(30,0){4}
\put(18,16){\makebox(0,0){1-3}}
\end{picture}
 
\eb
$$
-V^{k_1}_{k_3 k_1-k_3}V^{k_4}_{k_2 k_4-k_2}
\left[\frac{1}{\omega_{k_3}+\omega_{k_1-k_3}-\omega_{k_1}}\right]
$$
   \ep

%add4
\begin{picture}(36,30)(0,10)
\multiput(13,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(15,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\put(18,12){\line(1,0){6}}
\put(0,24){\vector(1,-1){12}}
\multiput(11,12)(-2,-2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(11,10)(-2,-2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(25,12)(2,2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(25,14)(2,2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(25,12)(2,-2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(25,10)(2,-2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\put(35.1,1){\vector(1,-1){1}}
\put(24.7,12.7){\vector(-1,-1){1}}
\put(0.7,0.7){\vector(-1,-1){1}}

\put(12.7,12.7){\vector(-1,-1){1}}
\put(4,0){3}
\put(3,24){1}
\put(31,24){2}
\put(30,0){4}
\put(18,16){\makebox(0,0){3-1}}
\end{picture}
 
\eb
$$
-V^{k_2}_{k_4 k_2-k_4}V^{k_3}_{k_1 k_3-k_1}
\left[\frac{1}{\omega_{k_4}+\omega_{k_2-k_4}-\omega_{k_2}}\right]
$$
   \ep

%add5
\begin{picture}(36,30)(0,10)
\multiput(13,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(15,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\put(18,12){\line(1,0){6}}
\put(0,24){\vector(1,-1){12}}
\multiput(11,12)(-2,-2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(11,10)(-2,-2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(25,12)(2,2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(25,14)(2,2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(25,12)(2,-2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(25,10)(2,-2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\put(35.1,1){\vector(1,-1){1}}
\put(24.7,12.7){\vector(-1,-1){1}}
\put(0.7,0.7){\vector(-1,-1){1}}

\put(23,12){\vector(1,0){1}}
\put(4,0){4}
\put(3,24){1}
\put(31,24){2}
\put(30,0){3}
\put(18,16){\makebox(0,0){1-4}}
\end{picture}
 
\eb
$$
-V^{k_1}_{k_4 k_1-k_4}V^{k_3}_{k_2 k_3-k_2}
\left[\frac{1}{\omega_{k_4}+\omega_{k_1-k_4}-\omega_{k_1}}\right]
$$
   \ep

%add6
\begin{picture}(36,30)(0,10)
\multiput(13,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(15,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\put(18,12){\line(1,0){6}}
\put(0,24){\vector(1,-1){12}}
\multiput(11,12)(-2,-2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(11,10)(-2,-2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(25,12)(2,2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(25,14)(2,2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(25,12)(2,-2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(25,10)(2,-2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\put(35.1,1){\vector(1,-1){1}}
\put(24.7,12.7){\vector(-1,-1){1}}
\put(0.7,0.7){\vector(-1,-1){1}}

\put(12.7,12.7){\vector(-1,-1){1}}
\put(4,0){4}
\put(3,24){1}
\put(31,24){2}
\put(30,0){3}
\put(18,16){\makebox(0,0){4-1}}
\end{picture}
 
\eb
$$
-V^{k_2}_{k_3 k_2-k_3}V^{k_4}_{k_1 k_4-k_1}
\left[\frac{1}{\omega_{k_3}+\omega_{k_2-k_3}-\omega_{k_2}}\right]
$$
   \ep





\newpage

\section[5-ти волновые диаграммы]{5-ти волновые диаграммы}
\label{APPEND-diagramms}

Здесь мы будем строить диаграммы 5-ти волновых процессов.

Деействуя аналогично Приложению \ref{APPEND-base-tech},
\ref{APPEND-base-tech},
мы можем написать серию диаграмм для матричного элемента пятого
порядка $T^{k k_1 k_2}_{k_3 k_4}$.
Нам необходимо использовать трёх и четырёх волновые
вершины таким образом, чтобы имелось 2 входящих и 3 исходящих
волновых вектора. Результат, разумеется, будет таким же, 
если мы рассмотрим 3 входящих и 2 исходящих
волновых вектора. Учитывая все топологически разные комбинации,
а также определение функции Грина и отсутствие петель,
получаем, что 
\begin{itemize}
\item
имеется 60 диаграмм, сконтруированных только
из трёхволновых вершин и двух функций Грина,
\item
и 20 диаграмм, сконструированных из одной трёхволновой 
вершины, одной четырёхволновой 
вершины и одной функции Грина.
\end{itemize}
Мы назовем эти группы соответственно  "3+3+3" и "4+3".

Далее приведены {\it все} диаграммы и соответствующие 
аналитические выражения для  "3+3+3" и "4+3" групп.

Вместе с собственно пятиволновой вершиной 
$Q^{k_1 k_2 k_3}_{p q}$
эта сумма даёт полный 5-ти волновой матричный элемент 
$T^{k_1 k_2 k_3}_{p q}$ или 
$T_{k_1 k_2 k_3}^{p q}$.
Это выражение вычислялось с помощью программы "Matematica"
\cite{MAT}.
%We used these expressions as an input to , therefore 
%notation here is slightly different. 
% *********************************************
% *********************************************
% *********************************************
% *********************************************
% *********************************************
% *********************************************
% *********************************************
{\small 
\newpage
%picture1
\setlength{\unitlength}{.08cm}
\begin{picture}(48,24)(0,10)
%\input{pic1}
%\input{pic1-48}
\multiput(13,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(15,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(11,12)(-2,2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\multiput(11,14)(-2,2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\put(0,0){\line(1,1){12}}
\multiput(25,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(27,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\put(30,12){\line(1,0){6}}
\multiput(24,13)(0,4){3}{\oval(1.6,2)[l]}
\multiput(24,15)(0,4){2}{\oval(1.6,2)[r]}
\put(18,12){\line(1,0){6}}
\multiput(37,12)(2,2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(37,14)(2,2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(37,12)(2,-2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(37,10)(2,-2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
%\put(12,12){\circle*{1.5}}
%\put(24,12){\circle*{1.5}}
%\put(36,12){\circle*{1.5}}
\put(3,0){$q$}
\put(10.85,10.85){\vector(1,1){1}}
\put(10.85,13.15){\vector(1,-1){1}}
\put(24,22){\vector(0,1){2}}
\put(47.1,23){\vector(1,1){1}}
\put(47.1,1){\vector(1,-1){1}}
\put(3,24){$p$}
\put(25,24){1}
\put(42,24){2}
\put(42,0){3}
\put(22.5,12){\vector(1,0){1}}
\put(34.5,12){\vector(1,0){1}}
\put(17,16){\makebox(0,0){$p+q$}}
\put(31,16){\makebox(0,0){2+3}}
\end{picture}

\eb   
$$ {{V({\it k2} + {\it k3},{\it k2},{\it k3})\,
      V(p + q,{\it k1},{\it k2} + {\it k3})\,V(p + q,p,q)}\over 
    {\left( \omega ({\it k2}) + \omega ({\it k3}) - 
        \omega ({\it k2} + {\it k3}) \right) \,
      \left( \omega (p) + \omega (q) - \omega (p + q) \right) }} $$ 
  
\ep

%picture2
\begin{picture}(48,24)(0,10)
%\input{pic1}
%\input{pic1-48}
\multiput(13,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(15,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(11,12)(-2,2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\multiput(11,14)(-2,2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\put(0,0){\line(1,1){12}}
\multiput(25,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(27,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\put(30,12){\line(1,0){6}}
\multiput(24,13)(0,4){3}{\oval(1.6,2)[l]}
\multiput(24,15)(0,4){2}{\oval(1.6,2)[r]}
\put(18,12){\line(1,0){6}}
\multiput(37,12)(2,2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(37,14)(2,2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(37,12)(2,-2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(37,10)(2,-2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
%\put(12,12){\circle*{1.5}}
%\put(24,12){\circle*{1.5}}
%\put(36,12){\circle*{1.5}}
\put(3,0){$q$}
\put(10.85,10.85){\vector(1,1){1}}
\put(10.85,13.15){\vector(1,-1){1}}
\put(24,22){\vector(0,1){2}}
\put(47.1,23){\vector(1,1){1}}
\put(47.1,1){\vector(1,-1){1}}
\put(3,24){$p$}
\put(25,24){1}
\put(42,24){2}
\put(42,0){3}
\put(13,13){\vector(-1,-1){1}}
\put(34.5,12){\vector(1,0){1}}
\put(16,16){\makebox(0,0){$-p-q$}}
\put(31,16){\makebox(0,0){2+3}}
\end{picture}
\eb   
$$ -{{U({\it k1},-p - q,{\it k2} + {\it k3})\,U(p,q,-p - q)\,
       V({\it k2} + {\it k3},{\it k2},{\it k3})}\over 
     {\left( \omega ({\it k2}) + \omega ({\it k3}) - 
         \omega ({\it k2} + {\it k3}) \right) \,
       \left( \omega (p) + \omega (q) + \omega (p + q) \right) }} $$ 
  
\ep


%picture3
\begin{picture}(48,24)(0,10)
%\input{pic1}
%\input{pic1-48}
\multiput(13,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(15,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(11,12)(-2,2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\multiput(11,14)(-2,2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\put(0,0){\line(1,1){12}}
\multiput(25,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(27,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\put(30,12){\line(1,0){6}}
\multiput(24,13)(0,4){3}{\oval(1.6,2)[l]}
\multiput(24,15)(0,4){2}{\oval(1.6,2)[r]}
\put(18,12){\line(1,0){6}}
\multiput(37,12)(2,2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(37,14)(2,2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(37,12)(2,-2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(37,10)(2,-2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
%\put(12,12){\circle*{1.5}}
%\put(24,12){\circle*{1.5}}
%\put(36,12){\circle*{1.5}}
\put(3,0){$q$}
\put(10.85,10.85){\vector(1,1){1}}
\put(10.85,13.15){\vector(1,-1){1}}
\put(24,22){\vector(0,1){2}}
\put(47.1,23){\vector(1,1){1}}
\put(47.1,1){\vector(1,-1){1}}
\put(3,24){$p$}
\put(25,24){1}
\put(42,24){2}
\put(42,0){3}
\put(22.5,12){\vector(1,0){1}}
\put(25,13){\vector(-1,-1){1}}
\put(17,16){\makebox(0,0){$p+q$}}
\put(32,16){\makebox(0,0){$-2-3$}}
\end{picture}
\eb   
$$ -{{U({\it k2},{\it k3},-{\it k2} - {\it k3})\,
       V({\it k1},p + q,-{\it k2} - {\it k3})\,V(p + q,p,q)}\over 
     {\left( \omega ({\it k2}) + \omega ({\it k3}) + 
         \omega ({\it k2} + {\it k3}) \right) \,
       \left( \omega (p) + \omega (q) - \omega (p + q) \right) }} $$ 
  
\ep

%picture4
\begin{picture}(48,24)(0,10)
%\input{pic1}
%\input{pic1-48}
\multiput(13,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(15,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(11,12)(-2,2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\multiput(11,14)(-2,2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\put(0,0){\line(1,1){12}}
\multiput(25,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(27,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\put(30,12){\line(1,0){6}}
\multiput(24,13)(0,4){3}{\oval(1.6,2)[l]}
\multiput(24,15)(0,4){2}{\oval(1.6,2)[r]}
\put(18,12){\line(1,0){6}}
\multiput(37,12)(2,2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(37,14)(2,2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(37,12)(2,-2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(37,10)(2,-2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
%\put(12,12){\circle*{1.5}}
%\put(24,12){\circle*{1.5}}
%\put(36,12){\circle*{1.5}}
\put(3,0){$q$}
\put(10.85,10.85){\vector(1,1){1}}
\put(10.85,13.15){\vector(1,-1){1}}
\put(24,22){\vector(0,1){2}}
\put(47.1,23){\vector(1,1){1}}
\put(47.1,1){\vector(1,-1){1}}
\put(3,24){$p$}
\put(25,24){1}
\put(42,24){2}
\put(42,0){3}
\put(13,13){\vector(-1,-1){1}}
\put(25,13){\vector(-1,-1){1}}
\put(16,16){\makebox(0,0){$-p-q$}}
\put(32,16){\makebox(0,0){$-2-3$}}
\end{picture}

\eb   
 $$ {{U({\it k2},{\it k3},-{\it k2} - {\it k3})\,U(p,q,-p - q)\,
      V(-{\it k2} - {\it k3},{\it k1},-p - q)}\over 
    {\left( \omega ({\it k2}) + \omega ({\it k3}) + 
        \omega ({\it k2} + {\it k3}) \right) \,
      \left( \omega (p) + \omega (q) + \omega (p + q) \right) }} $$ 
  
\ep

%picture5
\begin{picture}(48,24)(0,10)
%\input{pic2}
%\input{pic1-48}
\multiput(13,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(15,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(11,12)(-2,2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\multiput(11,14)(-2,2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\put(0,0){\line(1,1){12}}
\multiput(25,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(27,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\put(30,12){\line(1,0){6}}
\multiput(24,13)(0,4){3}{\oval(1.6,2)[l]}
\multiput(24,15)(0,4){2}{\oval(1.6,2)[r]}
\put(18,12){\line(1,0){6}}
\multiput(37,12)(2,2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(37,14)(2,2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(37,12)(2,-2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(37,10)(2,-2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
%\put(12,12){\circle*{1.5}}
%\put(24,12){\circle*{1.5}}
%\put(36,12){\circle*{1.5}}
\put(3,0){$q$}
\put(10.85,10.85){\vector(1,1){1}}
\put(.9,23){\vector(-1,1){1}}
\put(24,22){\vector(0,1){2}}
\put(47.1,23){\vector(1,1){1}}
\put(36.9,10.85){\vector(-1,1){1}}
\put(3,24){3}
\put(25,24){1}
\put(42,24){2}
\put(42,0){$p$}
\put(22.5,12){\vector(1,0){1}}
\put(34.5,12){\vector(1,0){1}}
%\put(13,13){\vector(-1,-1){1}}
%\put(25,13){\vector(-1,-1){1}}
\put(17,16){\makebox(0,0){$q-3$}}
\put(31,16){\makebox(0,0){$2-p$}}
\end{picture}

\eb   
$$ {{V({\it k2},p,{\it k2} - p)\,V(q,{\it k3},-{\it k3} + q)\,
      V(-{\it k3} + q,{\it k1},{\it k2} - p)}\over 
    {\left( \omega ({\it k2}) - \omega ({\it k2} - p) - \omega (p) \right) \,\left( -\omega ({\it k3}) - \omega ({\it k3} - q) + 
        \omega (q) \right) }} $$ 
\ep

%picture6
\begin{picture}(48,24)(0,10)
%\input{pic2}
%\input{pic1-48}
\multiput(13,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(15,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(11,12)(-2,2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\multiput(11,14)(-2,2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\put(0,0){\line(1,1){12}}
\multiput(25,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(27,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\put(30,12){\line(1,0){6}}
\multiput(24,13)(0,4){3}{\oval(1.6,2)[l]}
\multiput(24,15)(0,4){2}{\oval(1.6,2)[r]}
\put(18,12){\line(1,0){6}}
\multiput(37,12)(2,2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(37,14)(2,2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(37,12)(2,-2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(37,10)(2,-2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
%\put(12,12){\circle*{1.5}}
%\put(24,12){\circle*{1.5}}
%\put(36,12){\circle*{1.5}}
\put(3,0){$q$}
\put(10.85,10.85){\vector(1,1){1}}
\put(.9,23){\vector(-1,1){1}}
\put(24,22){\vector(0,1){2}}
\put(47.1,23){\vector(1,1){1}}
\put(36.9,10.85){\vector(-1,1){1}}
\put(3,24){3}
\put(25,24){1}
\put(42,24){2}
\put(42,0){$p$}
\put(13,13){\vector(-1,-1){1}}
\put(34.5,12){\vector(1,0){1}}
\put(17,16){\makebox(0,0){$3-q$}}
\put(31,16){\makebox(0,0){$2-p$}}
\end{picture}
\eb   
 $$ {{U({\it k1},{\it k3} - q,{\it k2} - p)\,V({\it k2},p,{\it k2} - p)\,
      V({\it k3},q,{\it k3} - q)}\over 
    {\left( \omega ({\it k2}) - \omega ({\it k2} - p) - \omega (p) \right) \,\left( \omega ({\it k3}) - \omega ({\it k3} - q) - 
        \omega (q) \right) }} $$ 
\ep

%picture7
\begin{picture}(48,24)(0,10)
%\input{pic2}
%\input{pic1-48}
\multiput(13,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(15,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(11,12)(-2,2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\multiput(11,14)(-2,2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\put(0,0){\line(1,1){12}}
\multiput(25,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(27,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\put(30,12){\line(1,0){6}}
\multiput(24,13)(0,4){3}{\oval(1.6,2)[l]}
\multiput(24,15)(0,4){2}{\oval(1.6,2)[r]}
\put(18,12){\line(1,0){6}}
\multiput(37,12)(2,2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(37,14)(2,2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(37,12)(2,-2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(37,10)(2,-2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
%\put(12,12){\circle*{1.5}}
%\put(24,12){\circle*{1.5}}
%\put(36,12){\circle*{1.5}}
\put(3,0){$q$}
\put(10.85,10.85){\vector(1,1){1}}
\put(.9,23){\vector(-1,1){1}}
\put(24,22){\vector(0,1){2}}
\put(47.1,23){\vector(1,1){1}}
\put(36.9,10.85){\vector(-1,1){1}}
\put(3,24){3}
\put(25,24){1}
\put(42,24){2}
\put(42,0){$p$}
\put(22.5,12){\vector(1,0){1}}
\put(25,13){\vector(-1,-1){1}}
\put(17,16){\makebox(0,0){$q-3$}}
\put(31,16){\makebox(0,0){$p-2$}}
\end{picture}
\eb   
 $$ {{V({\it k1},-{\it k3} + q,-{\it k2} + p)\,
      V(p,{\it k2},-{\it k2} + p)\,V(q,{\it k3},-{\it k3} + q)}\over 
    {\left( -\omega ({\it k2}) - \omega ({\it k2} - p) + \omega (p) \right) \,\left( -\omega ({\it k3}) - \omega ({\it k3} - q) + 
        \omega (q) \right) }} $$ 
\ep

%picture8
\begin{picture}(48,24)(0,10)
%\input{pic2}
%\input{pic1-48}
\multiput(13,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(15,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(11,12)(-2,2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\multiput(11,14)(-2,2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\put(0,0){\line(1,1){12}}
\multiput(25,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(27,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\put(30,12){\line(1,0){6}}
\multiput(24,13)(0,4){3}{\oval(1.6,2)[l]}
\multiput(24,15)(0,4){2}{\oval(1.6,2)[r]}
\put(18,12){\line(1,0){6}}
\multiput(37,12)(2,2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(37,14)(2,2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(37,12)(2,-2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(37,10)(2,-2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
%\put(12,12){\circle*{1.5}}
%\put(24,12){\circle*{1.5}}
%\put(36,12){\circle*{1.5}}
\put(3,0){$q$}
\put(10.85,10.85){\vector(1,1){1}}
\put(.9,23){\vector(-1,1){1}}
\put(24,22){\vector(0,1){2}}
\put(47.1,23){\vector(1,1){1}}
\put(36.9,10.85){\vector(-1,1){1}}
\put(3,24){3}
\put(25,24){1}
\put(42,24){2}
\put(42,0){$p$}
\put(13,13){\vector(-1,-1){1}}
\put(25,13){\vector(-1,-1){1}}
\put(17,16){\makebox(0,0){$3-q$}}
\put(31,16){\makebox(0,0){$p-2$}}
\end{picture}

\eb   
 $$ {{V({\it k3},q,{\it k3} - q)\,V(p,{\it k2},-{\it k2} + p)\,
      V(-{\it k2} + p,{\it k1},{\it k3} - q)}\over 
    {\left( -\omega ({\it k2}) - \omega ({\it k2} - p) + \omega (p) \right) \,\left( \omega ({\it k3}) - \omega ({\it k3} - q) - 
        \omega (q) \right) }} $$ 
\ep

\newpage
%picture9
\begin{picture}(48,24)(0,10)
%\input{pic3}
%\input{pic1-48}
\multiput(13,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(15,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(11,12)(-2,2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\multiput(11,14)(-2,2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\put(0,0){\line(1,1){12}}
\multiput(25,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(27,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\put(30,12){\line(1,0){6}}
\multiput(24,13)(0,4){3}{\oval(1.6,2)[l]}
\multiput(24,15)(0,4){2}{\oval(1.6,2)[r]}
\put(18,12){\line(1,0){6}}
\multiput(37,12)(2,2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(37,14)(2,2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(37,12)(2,-2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(37,10)(2,-2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
%\put(12,12){\circle*{1.5}}
%\put(24,12){\circle*{1.5}}
%\put(36,12){\circle*{1.5}}
\put(3,0){$q$}
\put(10.85,10.85){\vector(1,1){1}}
\put(.9,23){\vector(-1,1){1}}
\put(24,22){\vector(0,1){2}}
\put(47.1,23){\vector(1,1){1}}
\put(36.9,10.85){\vector(-1,1){1}}
\put(3,24){2}
\put(25,24){1}
\put(42,24){3}
\put(42,0){$p$}
\put(22.5,12){\vector(1,0){1}}
\put(34.5,12){\vector(1,0){1}}
%\put(13,13){\vector(-1,-1){1}}
%\put(25,13){\vector(-1,-1){1}}
\put(17,16){\makebox(0,0){$q-2$}}
\put(31,16){\makebox(0,0){$3-p$}}
\end{picture}

\eb   
$$ {{V({\it k3},p,{\it k3} - p)\,V(q,{\it k2},-{\it k2} + q)\,
      V(-{\it k2} + q,{\it k1},{\it k3} - p)}\over 
    {\left( \omega ({\it k3}) - \omega ({\it k3} - p) - \omega (p) \right) \,\left( -\omega ({\it k2}) - \omega ({\it k2} - q) + 
        \omega (q) \right) }} $$ 
\ep

%picture10
\begin{picture}(48,24)(0,10)
%\input{pic3}
%\input{pic1-48}
\multiput(13,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(15,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(11,12)(-2,2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\multiput(11,14)(-2,2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\put(0,0){\line(1,1){12}}
\multiput(25,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(27,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\put(30,12){\line(1,0){6}}
\multiput(24,13)(0,4){3}{\oval(1.6,2)[l]}
\multiput(24,15)(0,4){2}{\oval(1.6,2)[r]}
\put(18,12){\line(1,0){6}}
\multiput(37,12)(2,2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(37,14)(2,2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(37,12)(2,-2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(37,10)(2,-2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
%\put(12,12){\circle*{1.5}}
%\put(24,12){\circle*{1.5}}
%\put(36,12){\circle*{1.5}}
\put(3,0){$q$}
\put(10.85,10.85){\vector(1,1){1}}
\put(.9,23){\vector(-1,1){1}}
\put(24,22){\vector(0,1){2}}
\put(47.1,23){\vector(1,1){1}}
\put(36.9,10.85){\vector(-1,1){1}}
\put(3,24){2}
\put(25,24){1}
\put(42,24){3}
\put(42,0){$p$}
\put(13,13){\vector(-1,-1){1}}
\put(34.5,12){\vector(1,0){1}}
\put(17,16){\makebox(0,0){$2-q$}}
\put(31,16){\makebox(0,0){$3-p$}}
\end{picture}

\eb   
 $$ {{U({\it k1},{\it k2} - q,{\it k3} - p)\,V({\it k2},q,{\it k2} - q)\,
      V({\it k3},p,{\it k3} - p)}\over 
    {\left( \omega ({\it k3}) - \omega ({\it k3} - p) - \omega (p) \right) \,\left( \omega ({\it k2}) - \omega ({\it k2} - q) - 
        \omega (q) \right) }} $$ 
\ep

%picture11
\begin{picture}(48,24)(0,10)
%\input{pic3}
%\input{pic1-48}
\multiput(13,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(15,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(11,12)(-2,2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\multiput(11,14)(-2,2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\put(0,0){\line(1,1){12}}
\multiput(25,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(27,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\put(30,12){\line(1,0){6}}
\multiput(24,13)(0,4){3}{\oval(1.6,2)[l]}
\multiput(24,15)(0,4){2}{\oval(1.6,2)[r]}
\put(18,12){\line(1,0){6}}
\multiput(37,12)(2,2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(37,14)(2,2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(37,12)(2,-2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(37,10)(2,-2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
%\put(12,12){\circle*{1.5}}
%\put(24,12){\circle*{1.5}}
%\put(36,12){\circle*{1.5}}
\put(3,0){$q$}
\put(10.85,10.85){\vector(1,1){1}}
\put(.9,23){\vector(-1,1){1}}
\put(24,22){\vector(0,1){2}}
\put(47.1,23){\vector(1,1){1}}
\put(36.9,10.85){\vector(-1,1){1}}
\put(3,24){2}
\put(25,24){1}
\put(42,24){3}
\put(42,0){$p$}
\put(22.5,12){\vector(1,0){1}}
\put(25,13){\vector(-1,-1){1}}
\put(17,16){\makebox(0,0){$q-2$}}
\put(31,16){\makebox(0,0){$p-3$}}
\end{picture}
\eb   
 $$ {{V({\it k1},-{\it k2} + q,-{\it k3} + p)\,
      V(p,{\it k3},-{\it k3} + p)\,V(q,{\it k2},-{\it k2} + q)}\over 
    {\left( -\omega ({\it k3}) - \omega ({\it k3} - p) + \omega (p) \right) \,\left( -\omega ({\it k2}) - \omega ({\it k2} - q) + 
        \omega (q) \right) }} $$ 
\ep

%picture12
\begin{picture}(48,24)(0,10)
%\input{pic3}
%\input{pic1-48}
\multiput(13,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(15,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(11,12)(-2,2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\multiput(11,14)(-2,2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\put(0,0){\line(1,1){12}}
\multiput(25,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(27,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\put(30,12){\line(1,0){6}}
\multiput(24,13)(0,4){3}{\oval(1.6,2)[l]}
\multiput(24,15)(0,4){2}{\oval(1.6,2)[r]}
\put(18,12){\line(1,0){6}}
\multiput(37,12)(2,2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(37,14)(2,2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(37,12)(2,-2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(37,10)(2,-2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
%\put(12,12){\circle*{1.5}}
%\put(24,12){\circle*{1.5}}
%\put(36,12){\circle*{1.5}}
\put(3,0){$q$}
\put(10.85,10.85){\vector(1,1){1}}
\put(.9,23){\vector(-1,1){1}}
\put(24,22){\vector(0,1){2}}
\put(47.1,23){\vector(1,1){1}}
\put(36.9,10.85){\vector(-1,1){1}}
\put(3,24){2}
\put(25,24){1}
\put(42,24){3}
\put(42,0){$p$}
\put(13,13){\vector(-1,-1){1}}
\put(25,13){\vector(-1,-1){1}}
\put(17,16){\makebox(0,0){$2-q$}}
\put(31,16){\makebox(0,0){$p-3$}}
\end{picture}

\eb   
 $$ {{V({\it k2},q,{\it k2} - q)\,V(p,{\it k3},-{\it k3} + p)\,
      V(-{\it k3} + p,{\it k1},{\it k2} - q)}\over 
    {\left( -\omega ({\it k3}) - \omega ({\it k3} - p) + \omega (p) \right) \,\left( \omega ({\it k2}) - \omega ({\it k2} - q) - 
        \omega (q) \right) }} $$ 
\ep

%picture13
\begin{picture}(48,24)(0,10)
%\input{pic4}
%\input{pic1-48}
\multiput(13,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(15,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(11,12)(-2,2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\multiput(11,14)(-2,2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\put(0,0){\line(1,1){12}}
\multiput(25,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(27,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\put(30,12){\line(1,0){6}}
\multiput(24,13)(0,4){3}{\oval(1.6,2)[l]}
\multiput(24,15)(0,4){2}{\oval(1.6,2)[r]}
\put(18,12){\line(1,0){6}}
\multiput(37,12)(2,2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(37,14)(2,2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(37,12)(2,-2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(37,10)(2,-2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
%\put(12,12){\circle*{1.5}}
%\put(24,12){\circle*{1.5}}
%\put(36,12){\circle*{1.5}}
\put(3,0){$q$}
\put(10.85,10.85){\vector(1,1){1}}
\put(10.85,13.15){\vector(1,-1){1}}
\put(24,22){\vector(0,1){2}}
\put(47.1,23){\vector(1,1){1}}
\put(47.1,1){\vector(1,-1){1}}
\put(3,24){$p$}
\put(25,24){2}
\put(42,24){1}
\put(42,0){3}
\put(22.5,12){\vector(1,0){1}}
\put(34.5,12){\vector(1,0){1}}
\put(17,16){\makebox(0,0){$p+q$}}
\put(31,16){\makebox(0,0){1+3}}
\end{picture}

\eb   
$$ {{V({\it k1} + {\it k3},{\it k1},{\it k3})\,
      V(p + q,{\it k2},{\it k1} + {\it k3})\,V(p + q,p,q)}\over 
    {\left( \omega ({\it k1}) + \omega ({\it k3}) - 
        \omega ({\it k1} + {\it k3}) \right) \,
      \left( \omega (p) + \omega (q) - \omega (p + q) \right) }} $$ 
  
\ep

%picture14
\begin{picture}(48,24)(0,10)
%\input{pic4}
%\input{pic1-48}
\multiput(13,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(15,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(11,12)(-2,2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\multiput(11,14)(-2,2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\put(0,0){\line(1,1){12}}
\multiput(25,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(27,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\put(30,12){\line(1,0){6}}
\multiput(24,13)(0,4){3}{\oval(1.6,2)[l]}
\multiput(24,15)(0,4){2}{\oval(1.6,2)[r]}
\put(18,12){\line(1,0){6}}
\multiput(37,12)(2,2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(37,14)(2,2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(37,12)(2,-2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(37,10)(2,-2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
%\put(12,12){\circle*{1.5}}
%\put(24,12){\circle*{1.5}}
%\put(36,12){\circle*{1.5}}
\put(3,0){$q$}
\put(10.85,10.85){\vector(1,1){1}}
\put(10.85,13.15){\vector(1,-1){1}}
\put(24,22){\vector(0,1){2}}
\put(47.1,23){\vector(1,1){1}}
\put(47.1,1){\vector(1,-1){1}}
\put(3,24){$p$}
\put(25,24){2}
\put(42,24){1}
\put(42,0){3}
\put(13,13){\vector(-1,-1){1}}
\put(34.5,12){\vector(1,0){1}}
\put(16,16){\makebox(0,0){$-p-q$}}
\put(31,16){\makebox(0,0){1+3}}
\end{picture}
\eb   
 $$ {{U({\it k2},{\it k1} + {\it k3},-p - q)\,U(p,q,-p - q)\,
      V({\it k1} + {\it k3},{\it k1},{\it k3})}\over 
    {\left( \omega ({\it k1}) + \omega ({\it k3}) - 
        \omega ({\it k1} + {\it k3}) \right) \,
      \left( -\omega (p) - \omega (q) - \omega (p + q) \right) }} $$ 
  
\ep

%picture15
\begin{picture}(48,24)(0,10)
%\input{pic4}
%\input{pic1-48}
\multiput(13,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(15,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(11,12)(-2,2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\multiput(11,14)(-2,2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\put(0,0){\line(1,1){12}}
\multiput(25,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(27,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\put(30,12){\line(1,0){6}}
\multiput(24,13)(0,4){3}{\oval(1.6,2)[l]}
\multiput(24,15)(0,4){2}{\oval(1.6,2)[r]}
\put(18,12){\line(1,0){6}}
\multiput(37,12)(2,2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(37,14)(2,2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(37,12)(2,-2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(37,10)(2,-2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
%\put(12,12){\circle*{1.5}}
%\put(24,12){\circle*{1.5}}
%\put(36,12){\circle*{1.5}}
\put(3,0){$q$}
\put(10.85,10.85){\vector(1,1){1}}
\put(10.85,13.15){\vector(1,-1){1}}
\put(24,22){\vector(0,1){2}}
\put(47.1,23){\vector(1,1){1}}
\put(47.1,1){\vector(1,-1){1}}
\put(3,24){$p$}
\put(25,24){2}
\put(42,24){1}
\put(42,0){3}
\put(22.5,12){\vector(1,0){1}}
\put(25,13){\vector(-1,-1){1}}
\put(17,16){\makebox(0,0){$p+q$}}
\put(32,16){\makebox(0,0){$-1-3$}}
\end{picture}
\eb   
 $$ {{U({\it k1},{\it k3},-{\it k1} - {\it k3})\,
      V({\it k2},p + q,-{\it k1} - {\it k3})\,V(p + q,p,q)}\over 
    {\left( -\omega ({\it k1}) - \omega ({\it k3}) - 
        \omega ({\it k1} + {\it k3}) \right) \,
      \left( \omega (p) + \omega (q) - \omega (p + q) \right) }} $$ 
  
\ep

%picture16
\begin{picture}(48,24)(0,10)
%\input{pic4}
%\input{pic1-48}
\multiput(13,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(15,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(11,12)(-2,2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\multiput(11,14)(-2,2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\put(0,0){\line(1,1){12}}
\multiput(25,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(27,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\put(30,12){\line(1,0){6}}
\multiput(24,13)(0,4){3}{\oval(1.6,2)[l]}
\multiput(24,15)(0,4){2}{\oval(1.6,2)[r]}
\put(18,12){\line(1,0){6}}
\multiput(37,12)(2,2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(37,14)(2,2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(37,12)(2,-2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(37,10)(2,-2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
%\put(12,12){\circle*{1.5}}
%\put(24,12){\circle*{1.5}}
%\put(36,12){\circle*{1.5}}
\put(3,0){$q$}
\put(10.85,10.85){\vector(1,1){1}}
\put(10.85,13.15){\vector(1,-1){1}}
\put(24,22){\vector(0,1){2}}
\put(47.1,23){\vector(1,1){1}}
\put(47.1,1){\vector(1,-1){1}}
\put(3,24){$p$}
\put(25,24){2}
\put(42,24){1}
\put(42,0){3}
\put(13,13){\vector(-1,-1){1}}
\put(25,13){\vector(-1,-1){1}}
\put(16,16){\makebox(0,0){$-p-q$}}
\put(32,16){\makebox(0,0){$-1-3$}}
\end{picture}

\eb   
  $$ {{U(-{\it k1} - {\it k3},{\it k1},{\it k3})\,U(p,q,-p - q)\,
      V(-{\it k1} - {\it k3},{\it k2},-p - q)}\over 
    {\left( -\omega ({\it k1}) - \omega ({\it k3}) - 
        \omega ({\it k1} + {\it k3}) \right) \,
      \left( -\omega (p) - \omega (q) - \omega (p + q) \right) }} $$ 
  
\ep

\newpage
%picture17
\begin{picture}(48,24)(0,10)
%\input{pic5}
%\input{pic1-48}
\multiput(13,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(15,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(11,12)(-2,2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\multiput(11,14)(-2,2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\put(0,0){\line(1,1){12}}
\multiput(25,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(27,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\put(30,12){\line(1,0){6}}
\multiput(24,13)(0,4){3}{\oval(1.6,2)[l]}
\multiput(24,15)(0,4){2}{\oval(1.6,2)[r]}
\put(18,12){\line(1,0){6}}
\multiput(37,12)(2,2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(37,14)(2,2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(37,12)(2,-2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(37,10)(2,-2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
%\put(12,12){\circle*{1.5}}
%\put(24,12){\circle*{1.5}}
%\put(36,12){\circle*{1.5}}
\put(3,0){$q$}
\put(10.85,10.85){\vector(1,1){1}}
\put(.9,23){\vector(-1,1){1}}
\put(24,22){\vector(0,1){2}}
\put(47.1,23){\vector(1,1){1}}
\put(36.9,10.85){\vector(-1,1){1}}
\put(3,24){1}
\put(25,24){2}
\put(42,24){3}
\put(42,0){$p$}
\put(22.5,12){\vector(1,0){1}}
\put(34.5,12){\vector(1,0){1}}
%\put(13,13){\vector(-1,-1){1}}
%\put(25,13){\vector(-1,-1){1}}
\put(17,16){\makebox(0,0){$q-1$}}
\put(31,16){\makebox(0,0){$3-p$}}
\end{picture}

\eb   
$$ {{V({\it k3},p,{\it k3} - p)\,V(q,{\it k1},-{\it k1} + q)\,
      V(-{\it k1} + q,{\it k2},{\it k3} - p)}\over 
    {\left( \omega ({\it k3}) - \omega ({\it k3} - p) - \omega (p) \right) \,\left( -\omega ({\it k1}) + \omega (q) - 
        \omega (-{\it k1} + q) \right) }} $$ 
  
\ep

%picture18
\begin{picture}(48,24)(0,10)
%\input{pic5}
%\input{pic1-48}
\multiput(13,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(15,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(11,12)(-2,2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\multiput(11,14)(-2,2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\put(0,0){\line(1,1){12}}
\multiput(25,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(27,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\put(30,12){\line(1,0){6}}
\multiput(24,13)(0,4){3}{\oval(1.6,2)[l]}
\multiput(24,15)(0,4){2}{\oval(1.6,2)[r]}
\put(18,12){\line(1,0){6}}
\multiput(37,12)(2,2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(37,14)(2,2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(37,12)(2,-2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(37,10)(2,-2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
%\put(12,12){\circle*{1.5}}
%\put(24,12){\circle*{1.5}}
%\put(36,12){\circle*{1.5}}
\put(3,0){$q$}
\put(10.85,10.85){\vector(1,1){1}}
\put(.9,23){\vector(-1,1){1}}
\put(24,22){\vector(0,1){2}}
\put(47.1,23){\vector(1,1){1}}
\put(36.9,10.85){\vector(-1,1){1}}
\put(3,24){1}
\put(25,24){2}
\put(42,24){3}
\put(42,0){$p$}
\put(13,13){\vector(-1,-1){1}}
\put(34.5,12){\vector(1,0){1}}
\put(17,16){\makebox(0,0){$1-q$}}
\put(31,16){\makebox(0,0){$3-p$}}
\end{picture}

\eb   
 $$ {{U({\it k2},{\it k1} - q,{\it k3} - p)\,V({\it k1},q,{\it k1} - q)\,
      V({\it k3},p,{\it k3} - p)}\over 
    {\left( \omega ({\it k3}) - \omega ({\it k3} - p) - \omega (p) \right) \,\left( \omega ({\it k1}) - \omega (q) - 
        \omega (-{\it k1} + q) \right) }} $$ 
  
\ep

%picture19
\begin{picture}(48,24)(0,10)
%\input{pic5}
%\input{pic1-48}
\multiput(13,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(15,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(11,12)(-2,2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\multiput(11,14)(-2,2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\put(0,0){\line(1,1){12}}
\multiput(25,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(27,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\put(30,12){\line(1,0){6}}
\multiput(24,13)(0,4){3}{\oval(1.6,2)[l]}
\multiput(24,15)(0,4){2}{\oval(1.6,2)[r]}
\put(18,12){\line(1,0){6}}
\multiput(37,12)(2,2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(37,14)(2,2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(37,12)(2,-2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(37,10)(2,-2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
%\put(12,12){\circle*{1.5}}
%\put(24,12){\circle*{1.5}}
%\put(36,12){\circle*{1.5}}
\put(3,0){$q$}
\put(10.85,10.85){\vector(1,1){1}}
\put(.9,23){\vector(-1,1){1}}
\put(24,22){\vector(0,1){2}}
\put(47.1,23){\vector(1,1){1}}
\put(36.9,10.85){\vector(-1,1){1}}
\put(3,24){1}
\put(25,24){2}
\put(42,24){3}
\put(42,0){$p$}
\put(22.5,12){\vector(1,0){1}}
\put(25,13){\vector(-1,-1){1}}
\put(17,16){\makebox(0,0){$q-1$}}
\put(31,16){\makebox(0,0){$p-3$}}
\end{picture}
\eb   
 $$ {{V({\it k2},-{\it k1} + q,-{\it k3} + p)\,
      V(p,{\it k3},-{\it k3} + p)\,V(q,{\it k1},-{\it k1} + q)}\over 
    {\left( -\omega ({\it k3}) - \omega ({\it k3} - p) + \omega (p) \right) \,\left( -\omega ({\it k1}) + \omega (q) - 
        \omega (-{\it k1} + q) \right) }} $$ 
  
\ep

%picture20
\begin{picture}(48,24)(0,10)
%\input{pic5}
%\input{pic1-48}
\multiput(13,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(15,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(11,12)(-2,2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\multiput(11,14)(-2,2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\put(0,0){\line(1,1){12}}
\multiput(25,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(27,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\put(30,12){\line(1,0){6}}
\multiput(24,13)(0,4){3}{\oval(1.6,2)[l]}
\multiput(24,15)(0,4){2}{\oval(1.6,2)[r]}
\put(18,12){\line(1,0){6}}
\multiput(37,12)(2,2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(37,14)(2,2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(37,12)(2,-2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(37,10)(2,-2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
%\put(12,12){\circle*{1.5}}
%\put(24,12){\circle*{1.5}}
%\put(36,12){\circle*{1.5}}
\put(3,0){$q$}
\put(10.85,10.85){\vector(1,1){1}}
\put(.9,23){\vector(-1,1){1}}
\put(24,22){\vector(0,1){2}}
\put(47.1,23){\vector(1,1){1}}
\put(36.9,10.85){\vector(-1,1){1}}
\put(3,24){1}
\put(25,24){2}
\put(42,24){3}
\put(42,0){$p$}
\put(13,13){\vector(-1,-1){1}}
\put(25,13){\vector(-1,-1){1}}
\put(17,16){\makebox(0,0){$1-q$}}
\put(31,16){\makebox(0,0){$p-3$}}
\end{picture}

\eb   
 $$ {{V({\it k1},q,{\it k1} - q)\,V(p,{\it k3},-{\it k3} + p)\,
      V(-{\it k3} + p,{\it k2},{\it k1} - q)}\over 
    {\left( -\omega ({\it k3}) - \omega ({\it k3} - p) + \omega (p) \right) \,\left( \omega ({\it k1}) - \omega (q) - 
        \omega (-{\it k1} + q) \right) }} $$ 
  
\ep

%picture21
\begin{picture}(48,24)(0,10)
%\input{pic6}
%\input{pic1-48}
\multiput(13,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(15,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(11,12)(-2,2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\multiput(11,14)(-2,2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\put(0,0){\line(1,1){12}}
\multiput(25,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(27,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\put(30,12){\line(1,0){6}}
\multiput(24,13)(0,4){3}{\oval(1.6,2)[l]}
\multiput(24,15)(0,4){2}{\oval(1.6,2)[r]}
\put(18,12){\line(1,0){6}}
\multiput(37,12)(2,2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(37,14)(2,2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(37,12)(2,-2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(37,10)(2,-2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
%\put(12,12){\circle*{1.5}}
%\put(24,12){\circle*{1.5}}
%\put(36,12){\circle*{1.5}}
\put(3,0){$q$}
\put(10.85,10.85){\vector(1,1){1}}
\put(.9,23){\vector(-1,1){1}}
\put(24,22){\vector(0,1){2}}
\put(47.1,23){\vector(1,1){1}}
\put(36.9,10.85){\vector(-1,1){1}}
\put(3,24){3}
\put(25,24){2}
\put(42,24){1}
\put(42,0){$p$}
\put(22.5,12){\vector(1,0){1}}
\put(34.5,12){\vector(1,0){1}}
%\put(13,13){\vector(-1,-1){1}}
%\put(25,13){\vector(-1,-1){1}}
\put(17,16){\makebox(0,0){$q-3$}}
\put(31,16){\makebox(0,0){$1-p$}}
\end{picture}
%6-1
\eb   
 $$ {{V({\it k1},p,{\it k1} - p)\,V(q,{\it k3},-{\it k3} + q)\,
      V(-{\it k3} + q,{\it k2},{\it k1} - p)}\over 
    {\left( \omega ({\it k1}) - \omega ({\it k1} - p) - \omega (p) \right) \,\left( -\omega ({\it k3}) - \omega ({\it k3} - q) + 
        \omega (q) \right) }} $$ 
  
\ep

%picture22
\begin{picture}(48,24)(0,10)
%\input{pic6}
%\input{pic1-48}
\multiput(13,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(15,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(11,12)(-2,2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\multiput(11,14)(-2,2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\put(0,0){\line(1,1){12}}
\multiput(25,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(27,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\put(30,12){\line(1,0){6}}
\multiput(24,13)(0,4){3}{\oval(1.6,2)[l]}
\multiput(24,15)(0,4){2}{\oval(1.6,2)[r]}
\put(18,12){\line(1,0){6}}
\multiput(37,12)(2,2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(37,14)(2,2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(37,12)(2,-2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(37,10)(2,-2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
%\put(12,12){\circle*{1.5}}
%\put(24,12){\circle*{1.5}}
%\put(36,12){\circle*{1.5}}
\put(3,0){$q$}
\put(10.85,10.85){\vector(1,1){1}}
\put(.9,23){\vector(-1,1){1}}
\put(24,22){\vector(0,1){2}}
\put(47.1,23){\vector(1,1){1}}
\put(36.9,10.85){\vector(-1,1){1}}
\put(3,24){3}
\put(25,24){2}
\put(42,24){1}
\put(42,0){$p$}
\put(13,13){\vector(-1,-1){1}}
\put(34.5,12){\vector(1,0){1}}
\put(17,16){\makebox(0,0){$3-q$}}
\put(31,16){\makebox(0,0){$1-p$}}
\end{picture}
\eb   
$$ {{U({\it k2},{\it k3} - q,{\it k1} - p)\,V({\it k1},p,{\it k1} - p)\,
      V({\it k3},{\it k3} - q,q)}\over 
    {\left( \omega ({\it k1}) - \omega ({\it k1} - p) - \omega (p) \right) \,\left( \omega ({\it k3}) - \omega ({\it k3} - q) - 
        \omega (q) \right) }} $$ 
  
\ep

%picture23
\begin{picture}(48,24)(0,10)
%\input{pic6}
%\input{pic1-48}
\multiput(13,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(15,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(11,12)(-2,2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\multiput(11,14)(-2,2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\put(0,0){\line(1,1){12}}
\multiput(25,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(27,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\put(30,12){\line(1,0){6}}
\multiput(24,13)(0,4){3}{\oval(1.6,2)[l]}
\multiput(24,15)(0,4){2}{\oval(1.6,2)[r]}
\put(18,12){\line(1,0){6}}
\multiput(37,12)(2,2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(37,14)(2,2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(37,12)(2,-2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(37,10)(2,-2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
%\put(12,12){\circle*{1.5}}
%\put(24,12){\circle*{1.5}}
%\put(36,12){\circle*{1.5}}
\put(3,0){$q$}
\put(10.85,10.85){\vector(1,1){1}}
\put(.9,23){\vector(-1,1){1}}
\put(24,22){\vector(0,1){2}}
\put(47.1,23){\vector(1,1){1}}
\put(36.9,10.85){\vector(-1,1){1}}
\put(3,24){3}
\put(25,24){2}
\put(42,24){1}
\put(42,0){$p$}
\put(22.5,12){\vector(1,0){1}}
\put(25,13){\vector(-1,-1){1}}
\put(17,16){\makebox(0,0){$q-3$}}
\put(31,16){\makebox(0,0){$p-1$}}
\end{picture}
\eb   
$$ {{V({\it k2},-{\it k3} + q,-{\it k1} + p)\,
      V(p,{\it k1},-{\it k1} + p)\,V(q,{\it k3},-{\it k3} + q)}\over 
    {\left( -\omega ({\it k1}) - \omega ({\it k1} - p) + \omega (p) \right) \,\left( -\omega ({\it k3}) - \omega ({\it k3} - q) + 
        \omega (q) \right) }} $$ 
  
\ep

%picture24
\begin{picture}(48,24)(0,10)
%\input{pic6}
%\input{pic1-48}
\multiput(13,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(15,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(11,12)(-2,2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\multiput(11,14)(-2,2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\put(0,0){\line(1,1){12}}
\multiput(25,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(27,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\put(30,12){\line(1,0){6}}
\multiput(24,13)(0,4){3}{\oval(1.6,2)[l]}
\multiput(24,15)(0,4){2}{\oval(1.6,2)[r]}
\put(18,12){\line(1,0){6}}
\multiput(37,12)(2,2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(37,14)(2,2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(37,12)(2,-2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(37,10)(2,-2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
%\put(12,12){\circle*{1.5}}
%\put(24,12){\circle*{1.5}}
%\put(36,12){\circle*{1.5}}
\put(3,0){$q$}
\put(10.85,10.85){\vector(1,1){1}}
\put(.9,23){\vector(-1,1){1}}
\put(24,22){\vector(0,1){2}}
\put(47.1,23){\vector(1,1){1}}
\put(36.9,10.85){\vector(-1,1){1}}
\put(3,24){3}
\put(25,24){2}
\put(42,24){1}
\put(42,0){$p$}
\put(13,13){\vector(-1,-1){1}}
\put(25,13){\vector(-1,-1){1}}
\put(17,16){\makebox(0,0){$3-q$}}
\put(31,16){\makebox(0,0){$p-1$}}
\end{picture}

\eb   
 $$ {{V({\it k3},{\it k3} - q,q)\,V(p,{\it k1},-{\it k1} + p)\,
      V(-{\it k1} + p,{\it k3} - q,{\it k2})}\over 
    {\left( -\omega ({\it k1}) - \omega ({\it k1} - p) + \omega (p) \right) \,\left( \omega ({\it k3}) - \omega ({\it k3} - q) - 
        \omega (q) \right) }} $$ 
  
\ep

\newpage
%picture25
\begin{picture}(48,24)(0,10)
%\input{pic7}
%\input{pic1-48}
\multiput(13,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(15,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(11,12)(-2,2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\multiput(11,14)(-2,2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\put(0,0){\line(1,1){12}}
\multiput(25,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(27,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\put(30,12){\line(1,0){6}}
\multiput(24,13)(0,4){3}{\oval(1.6,2)[l]}
\multiput(24,15)(0,4){2}{\oval(1.6,2)[r]}
\put(18,12){\line(1,0){6}}
\multiput(37,12)(2,2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(37,14)(2,2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(37,12)(2,-2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(37,10)(2,-2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
%\put(12,12){\circle*{1.5}}
%\put(24,12){\circle*{1.5}}
%\put(36,12){\circle*{1.5}}
\put(3,0){$q$}
\put(10.85,10.85){\vector(1,1){1}}
\put(10.85,13.15){\vector(1,-1){1}}
\put(24,22){\vector(0,1){2}}
\put(47.1,23){\vector(1,1){1}}
\put(47.1,1){\vector(1,-1){1}}
\put(3,24){$p$}
\put(25,24){3}
\put(42,24){1}
\put(42,0){2}
\put(22.5,12){\vector(1,0){1}}
\put(34.5,12){\vector(1,0){1}}
\put(17,16){\makebox(0,0){$p+q$}}
\put(31,16){\makebox(0,0){1+2}}
\end{picture}
% 7 1
\eb   
$$ {{V({\it k1} + {\it k2},{\it k1},{\it k2})\,
      V(p + q,{\it k3},{\it k1} + {\it k2})\,V(p + q,p,q)}\over 
    {\left( \omega ({\it k1}) + \omega ({\it k2}) - 
        \omega ({\it k1} + {\it k2}) \right) \,
      \left( \omega (p) + \omega (q) - \omega (p + q) \right) }} $$ 
  
\ep

%picture26
\begin{picture}(48,24)(0,10)
%\input{pic7}
%\input{pic1-48}
\multiput(13,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(15,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(11,12)(-2,2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\multiput(11,14)(-2,2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\put(0,0){\line(1,1){12}}
\multiput(25,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(27,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\put(30,12){\line(1,0){6}}
\multiput(24,13)(0,4){3}{\oval(1.6,2)[l]}
\multiput(24,15)(0,4){2}{\oval(1.6,2)[r]}
\put(18,12){\line(1,0){6}}
\multiput(37,12)(2,2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(37,14)(2,2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(37,12)(2,-2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(37,10)(2,-2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
%\put(12,12){\circle*{1.5}}
%\put(24,12){\circle*{1.5}}
%\put(36,12){\circle*{1.5}}
\put(3,0){$q$}
\put(10.85,10.85){\vector(1,1){1}}
\put(10.85,13.15){\vector(1,-1){1}}
\put(24,22){\vector(0,1){2}}
\put(47.1,23){\vector(1,1){1}}
\put(47.1,1){\vector(1,-1){1}}
\put(3,24){$p$}
\put(25,24){3}
\put(42,24){1}
\put(42,0){2}
\put(13,13){\vector(-1,-1){1}}
\put(34.5,12){\vector(1,0){1}}
\put(16,16){\makebox(0,0){$-p-q$}}
\put(31,16){\makebox(0,0){1+2}}
\end{picture}
\eb   
 $$ {{U({\it k3},{\it k1} + {\it k2},-p - q)\,U(p,q,-p - q)\,
      V({\it k1} + {\it k2},{\it k1},{\it k2})}\over 
    {\left( \omega ({\it k1}) + \omega ({\it k2}) - 
        \omega ({\it k1} + {\it k2}) \right) \,
      \left( -\omega (p) - \omega (q) - \omega (p + q) \right) }} $$ 
  
\ep

%picture27
\begin{picture}(48,24)(0,10)
%\input{pic7}
%\input{pic1-48}
\multiput(13,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(15,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(11,12)(-2,2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\multiput(11,14)(-2,2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\put(0,0){\line(1,1){12}}
\multiput(25,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(27,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\put(30,12){\line(1,0){6}}
\multiput(24,13)(0,4){3}{\oval(1.6,2)[l]}
\multiput(24,15)(0,4){2}{\oval(1.6,2)[r]}
\put(18,12){\line(1,0){6}}
\multiput(37,12)(2,2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(37,14)(2,2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(37,12)(2,-2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(37,10)(2,-2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
%\put(12,12){\circle*{1.5}}
%\put(24,12){\circle*{1.5}}
%\put(36,12){\circle*{1.5}}
\put(3,0){$q$}
\put(10.85,10.85){\vector(1,1){1}}
\put(10.85,13.15){\vector(1,-1){1}}
\put(24,22){\vector(0,1){2}}
\put(47.1,23){\vector(1,1){1}}
\put(47.1,1){\vector(1,-1){1}}
\put(3,24){$p$}
\put(25,24){3}
\put(42,24){1}
\put(42,0){2}
\put(22.5,12){\vector(1,0){1}}
\put(25,13){\vector(-1,-1){1}}
\put(17,16){\makebox(0,0){$p+q$}}
\put(32,16){\makebox(0,0){$-1-2$}}
\end{picture}
\eb   
$$ {{U({\it k1},{\it k2},-{\it k1} - {\it k2})\,
      V({\it k3},p + q,-{\it k1} - {\it k2})\,V(p + q,p,q)}\over 
    {\left( -\omega ({\it k1}) - \omega ({\it k2}) - 
        \omega ({\it k1} + {\it k2}) \right) \,
      \left( \omega (p) + \omega (q) - \omega (p + q) \right) }} $$ 
  
\ep
%picture28
\begin{picture}(48,24)(0,10)
%\input{pic7}
%\input{pic1-48}
\multiput(13,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(15,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(11,12)(-2,2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\multiput(11,14)(-2,2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\put(0,0){\line(1,1){12}}
\multiput(25,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(27,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\put(30,12){\line(1,0){6}}
\multiput(24,13)(0,4){3}{\oval(1.6,2)[l]}
\multiput(24,15)(0,4){2}{\oval(1.6,2)[r]}
\put(18,12){\line(1,0){6}}
\multiput(37,12)(2,2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(37,14)(2,2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(37,12)(2,-2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(37,10)(2,-2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
%\put(12,12){\circle*{1.5}}
%\put(24,12){\circle*{1.5}}
%\put(36,12){\circle*{1.5}}
\put(3,0){$q$}
\put(10.85,10.85){\vector(1,1){1}}
\put(10.85,13.15){\vector(1,-1){1}}
\put(24,22){\vector(0,1){2}}
\put(47.1,23){\vector(1,1){1}}
\put(47.1,1){\vector(1,-1){1}}
\put(3,24){$p$}
\put(25,24){3}
\put(42,24){1}
\put(42,0){2}
\put(13,13){\vector(-1,-1){1}}
\put(25,13){\vector(-1,-1){1}}
\put(16,16){\makebox(0,0){$-p-q$}}
\put(32,16){\makebox(0,0){$-1-2$}}
\end{picture}

\eb   
$$ {{U({\it k1},{\it k2},-{\it k1} - {\it k2})\,U(p,q,-p - q)\,
      V(-{\it k1} - {\it k2},{\it k3},-p - q)}\over 
    {\left( -\omega ({\it k1}) - \omega ({\it k2}) - 
        \omega ({\it k1} + {\it k2}) \right) \,
      \left( -\omega (p) - \omega (q) - \omega (p + q) \right) }} $$ 
  
\ep

%picture29
\begin{picture}(48,24)(0,10)
%\input{pic8}
%\input{pic1-48}
\multiput(13,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(15,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(11,12)(-2,2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\multiput(11,14)(-2,2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\put(0,0){\line(1,1){12}}
\multiput(25,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(27,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\put(30,12){\line(1,0){6}}
\multiput(24,13)(0,4){3}{\oval(1.6,2)[l]}
\multiput(24,15)(0,4){2}{\oval(1.6,2)[r]}
\put(18,12){\line(1,0){6}}
\multiput(37,12)(2,2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(37,14)(2,2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(37,12)(2,-2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(37,10)(2,-2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
%\put(12,12){\circle*{1.5}}
%\put(24,12){\circle*{1.5}}
%\put(36,12){\circle*{1.5}}
\put(3,0){$q$}
\put(10.85,10.85){\vector(1,1){1}}
\put(.9,23){\vector(-1,1){1}}
\put(24,22){\vector(0,1){2}}
\put(47.1,23){\vector(1,1){1}}
\put(36.9,10.85){\vector(-1,1){1}}
\put(3,24){1}
\put(25,24){3}
\put(42,24){2}
\put(42,0){$p$}
\put(22.5,12){\vector(1,0){1}}
\put(34.5,12){\vector(1,0){1}}
%\put(13,13){\vector(-1,-1){1}}
%\put(25,13){\vector(-1,-1){1}}
\put(17,16){\makebox(0,0){$q-1$}}
\put(31,16){\makebox(0,0){$2-p$}}
\end{picture}

\eb   
$$ {{V({\it k2},p,{\it k2} - p)\,V(q,{\it k1},-{\it k1} + q)\,
      V(-{\it k1} + q,{\it k3},{\it k2} - p)}\over 
    {\left( \omega ({\it k2}) - \omega ({\it k2} - p) - \omega (p) \right) \,\left( -\omega ({\it k1}) + \omega (q) - 
        \omega (-{\it k1} + q) \right) }} $$ 
  
\ep

%picture30
\begin{picture}(48,24)(0,10)
%\input{pic8}
%\input{pic1-48}
\multiput(13,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(15,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(11,12)(-2,2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\multiput(11,14)(-2,2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\put(0,0){\line(1,1){12}}
\multiput(25,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(27,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\put(30,12){\line(1,0){6}}
\multiput(24,13)(0,4){3}{\oval(1.6,2)[l]}
\multiput(24,15)(0,4){2}{\oval(1.6,2)[r]}
\put(18,12){\line(1,0){6}}
\multiput(37,12)(2,2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(37,14)(2,2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(37,12)(2,-2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(37,10)(2,-2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
%\put(12,12){\circle*{1.5}}
%\put(24,12){\circle*{1.5}}
%\put(36,12){\circle*{1.5}}
\put(3,0){$q$}
\put(10.85,10.85){\vector(1,1){1}}
\put(.9,23){\vector(-1,1){1}}
\put(24,22){\vector(0,1){2}}
\put(47.1,23){\vector(1,1){1}}
\put(36.9,10.85){\vector(-1,1){1}}
\put(3,24){1}
\put(25,24){3}
\put(42,24){2}
\put(42,0){$p$}
\put(13,13){\vector(-1,-1){1}}
\put(34.5,12){\vector(1,0){1}}
\put(17,16){\makebox(0,0){$1-q$}}
\put(31,16){\makebox(0,0){$2-p$}}
\end{picture}
\eb   
$$ {{U({\it k1} - q,{\it k3},{\it k2} - p)\,V({\it k1},q,{\it k1} - q)\,
      V({\it k2},p,{\it k2} - p)}\over 
    {\left( \omega ({\it k2}) - \omega ({\it k2} - p) - \omega (p) \right) \,\left( \omega ({\it k1}) - \omega (q) - 
        \omega (-{\it k1} + q) \right) }} $$ 
  
\ep

%picture31
\begin{picture}(48,24)(0,10)
%\input{pic8}
%\input{pic1-48}
\multiput(13,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(15,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(11,12)(-2,2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\multiput(11,14)(-2,2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\put(0,0){\line(1,1){12}}
\multiput(25,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(27,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\put(30,12){\line(1,0){6}}
\multiput(24,13)(0,4){3}{\oval(1.6,2)[l]}
\multiput(24,15)(0,4){2}{\oval(1.6,2)[r]}
\put(18,12){\line(1,0){6}}
\multiput(37,12)(2,2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(37,14)(2,2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(37,12)(2,-2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(37,10)(2,-2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
%\put(12,12){\circle*{1.5}}
%\put(24,12){\circle*{1.5}}
%\put(36,12){\circle*{1.5}}
\put(3,0){$q$}
\put(10.85,10.85){\vector(1,1){1}}
\put(.9,23){\vector(-1,1){1}}
\put(24,22){\vector(0,1){2}}
\put(47.1,23){\vector(1,1){1}}
\put(36.9,10.85){\vector(-1,1){1}}
\put(3,24){1}
\put(25,24){3}
\put(42,24){2}
\put(42,0){$p$}
\put(22.5,12){\vector(1,0){1}}
\put(25,13){\vector(-1,-1){1}}
\put(17,16){\makebox(0,0){$q-1$}}
\put(31,16){\makebox(0,0){$p-2$}}
\end{picture}

\eb   
 $$ {{V({\it k3},-{\it k1} + q,-{\it k2} + p)\,
      V(p,{\it k2},-{\it k2} + p)\,V(q,{\it k1},-{\it k1} + q)}\over 
    {\left( -\omega ({\it k2}) - \omega ({\it k2} - p) + \omega (p) \right) \,\left( -\omega ({\it k1}) + \omega (q) - 
        \omega (-{\it k1} + q) \right) }} $$ 
  
\ep

%picture32
\begin{picture}(48,24)(0,10)
%\input{pic8}
%\input{pic1-48}
\multiput(13,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(15,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(11,12)(-2,2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\multiput(11,14)(-2,2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\put(0,0){\line(1,1){12}}
\multiput(25,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(27,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\put(30,12){\line(1,0){6}}
\multiput(24,13)(0,4){3}{\oval(1.6,2)[l]}
\multiput(24,15)(0,4){2}{\oval(1.6,2)[r]}
\put(18,12){\line(1,0){6}}
\multiput(37,12)(2,2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(37,14)(2,2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(37,12)(2,-2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(37,10)(2,-2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
%\put(12,12){\circle*{1.5}}
%\put(24,12){\circle*{1.5}}
%\put(36,12){\circle*{1.5}}
\put(3,0){$q$}
\put(10.85,10.85){\vector(1,1){1}}
\put(.9,23){\vector(-1,1){1}}
\put(24,22){\vector(0,1){2}}
\put(47.1,23){\vector(1,1){1}}
\put(36.9,10.85){\vector(-1,1){1}}
\put(3,24){1}
\put(25,24){3}
\put(42,24){2}
\put(42,0){$p$}
\put(13,13){\vector(-1,-1){1}}
\put(25,13){\vector(-1,-1){1}}
\put(17,16){\makebox(0,0){$1-q$}}
\put(31,16){\makebox(0,0){$p-2$}}
\end{picture}

\eb   
 $$ {{V({\it k1},q,{\it k1} - q)\,V(p,{\it k2},-{\it k2} + p)\,
      V(-{\it k2} + p,{\it k3},{\it k1} - q)}\over 
    {\left( -\omega ({\it k2}) - \omega ({\it k2} - p) + \omega (p) \right) \,\left( \omega ({\it k1}) - \omega (q) - 
        \omega (-{\it k1} + q) \right) }} $$ 
  
\ep

\newpage
%picture33
\begin{picture}(48,24)(0,10)
%\input{pic9}
%\input{pic1-48}
\multiput(13,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(15,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(11,12)(-2,2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\multiput(11,14)(-2,2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\put(0,0){\line(1,1){12}}
\multiput(25,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(27,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\put(30,12){\line(1,0){6}}
\multiput(24,13)(0,4){3}{\oval(1.6,2)[l]}
\multiput(24,15)(0,4){2}{\oval(1.6,2)[r]}
\put(18,12){\line(1,0){6}}
\multiput(37,12)(2,2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(37,14)(2,2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(37,12)(2,-2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(37,10)(2,-2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
%\put(12,12){\circle*{1.5}}
%\put(24,12){\circle*{1.5}}
%\put(36,12){\circle*{1.5}}
\put(3,0){$q$}
\put(10.85,10.85){\vector(1,1){1}}
\put(.9,23){\vector(-1,1){1}}
\put(24,22){\vector(0,1){2}}
\put(47.1,23){\vector(1,1){1}}
\put(36.9,10.85){\vector(-1,1){1}}
\put(3,24){2}
\put(25,24){3}
\put(42,24){1}
\put(42,0){$p$}
\put(22.5,12){\vector(1,0){1}}
\put(34.5,12){\vector(1,0){1}}
%\put(13,13){\vector(-1,-1){1}}
%\put(25,13){\vector(-1,-1){1}}
\put(17,16){\makebox(0,0){$q-2$}}
\put(31,16){\makebox(0,0){$1-p$}}
\end{picture}

\eb   
 $$ {{V({\it k1},p,{\it k1} - p)\,V(q,{\it k2},-{\it k2} + q)\,
      V(-{\it k2} + q,{\it k3},{\it k1} - p)}\over 
    {\left( \omega ({\it k1}) - \omega ({\it k1} - p) - \omega (p) \right) \,\left( -\omega ({\it k2}) - \omega ({\it k2} - q) + 
        \omega (q) \right) }} $$ 
  
\ep

%picture34
\begin{picture}(48,24)(0,10)
%\input{pic9}
%\input{pic1-48}
\multiput(13,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(15,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(11,12)(-2,2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\multiput(11,14)(-2,2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\put(0,0){\line(1,1){12}}
\multiput(25,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(27,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\put(30,12){\line(1,0){6}}
\multiput(24,13)(0,4){3}{\oval(1.6,2)[l]}
\multiput(24,15)(0,4){2}{\oval(1.6,2)[r]}
\put(18,12){\line(1,0){6}}
\multiput(37,12)(2,2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(37,14)(2,2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(37,12)(2,-2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(37,10)(2,-2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
%\put(12,12){\circle*{1.5}}
%\put(24,12){\circle*{1.5}}
%\put(36,12){\circle*{1.5}}
\put(3,0){$q$}
\put(10.85,10.85){\vector(1,1){1}}
\put(.9,23){\vector(-1,1){1}}
\put(24,22){\vector(0,1){2}}
\put(47.1,23){\vector(1,1){1}}
\put(36.9,10.85){\vector(-1,1){1}}
\put(3,24){2}
\put(25,24){3}
\put(42,24){1}
\put(42,0){$p$}
\put(13,13){\vector(-1,-1){1}}
\put(34.5,12){\vector(1,0){1}}
\put(17,16){\makebox(0,0){$2-q$}}
\put(31,16){\makebox(0,0){$1-p$}}
\end{picture}
\eb   
$$ {{U({\it k3},{\it k2} - q,{\it k1} - p)\,V({\it k1},p,{\it k1} - p)\,
      V({\it k2},q,{\it k2} - q)}\over 
    {\left( \omega ({\it k1}) - \omega ({\it k1} - p) - \omega (p) \right) \,\left( \omega ({\it k2}) - \omega ({\it k2} - q) - 
        \omega (q) \right) }} $$ 
  
\ep

%picture35
\begin{picture}(48,24)(0,10)
%\input{pic9}
%\input{pic1-48}
\multiput(13,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(15,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(11,12)(-2,2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\multiput(11,14)(-2,2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\put(0,0){\line(1,1){12}}
\multiput(25,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(27,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\put(30,12){\line(1,0){6}}
\multiput(24,13)(0,4){3}{\oval(1.6,2)[l]}
\multiput(24,15)(0,4){2}{\oval(1.6,2)[r]}
\put(18,12){\line(1,0){6}}
\multiput(37,12)(2,2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(37,14)(2,2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(37,12)(2,-2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(37,10)(2,-2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
%\put(12,12){\circle*{1.5}}
%\put(24,12){\circle*{1.5}}
%\put(36,12){\circle*{1.5}}
\put(3,0){$q$}
\put(10.85,10.85){\vector(1,1){1}}
\put(.9,23){\vector(-1,1){1}}
\put(24,22){\vector(0,1){2}}
\put(47.1,23){\vector(1,1){1}}
\put(36.9,10.85){\vector(-1,1){1}}
\put(3,24){2}
\put(25,24){3}
\put(42,24){1}
\put(42,0){$p$}
\put(22.5,12){\vector(1,0){1}}
\put(25,13){\vector(-1,-1){1}}
\put(17,16){\makebox(0,0){$q-2$}}
\put(31,16){\makebox(0,0){$p-1$}}
\end{picture}
\eb   
$$ {{V({\it k3},-{\it k2} + q,-{\it k1} + p)\,
      V(p,{\it k1},-{\it k1} + p)\,V(q,{\it k2},-{\it k2} + q)}\over 
    {\left( -\omega ({\it k1}) - \omega ({\it k1} - p) + \omega (p) \right) \,\left( -\omega ({\it k2}) - \omega ({\it k2} - q) + 
        \omega (q) \right) }} $$ 
  
\ep

%picture36
\begin{picture}(48,24)(0,10)
%\input{pic9}
%\input{pic1-48}
\multiput(13,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(15,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(11,12)(-2,2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\multiput(11,14)(-2,2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\put(0,0){\line(1,1){12}}
\multiput(25,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(27,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\put(30,12){\line(1,0){6}}
\multiput(24,13)(0,4){3}{\oval(1.6,2)[l]}
\multiput(24,15)(0,4){2}{\oval(1.6,2)[r]}
\put(18,12){\line(1,0){6}}
\multiput(37,12)(2,2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(37,14)(2,2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(37,12)(2,-2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(37,10)(2,-2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
%\put(12,12){\circle*{1.5}}
%\put(24,12){\circle*{1.5}}
%\put(36,12){\circle*{1.5}}
\put(3,0){$q$}
\put(10.85,10.85){\vector(1,1){1}}
\put(.9,23){\vector(-1,1){1}}
\put(24,22){\vector(0,1){2}}
\put(47.1,23){\vector(1,1){1}}
\put(36.9,10.85){\vector(-1,1){1}}
\put(3,24){2}
\put(25,24){3}
\put(42,24){1}
\put(42,0){$p$}
\put(13,13){\vector(-1,-1){1}}
\put(25,13){\vector(-1,-1){1}}
\put(17,16){\makebox(0,0){$2-q$}}
\put(31,16){\makebox(0,0){$p-1$}}
\end{picture}

\eb   
 $$ {{V({\it k2},q,{\it k2} - q)\,V(p,{\it k1},-{\it k1} + p)\,
      V(-{\it k1} + p,{\it k3},{\it k2} - q)}\over 
    {\left( -\omega ({\it k1}) - \omega ({\it k1} - p) + \omega (p) \right) \,\left( \omega ({\it k2}) - \omega ({\it k2} - q) - 
        \omega (q) \right) }} $$ 
  
\ep

%picture37
\begin{picture}(48,24)(0,10)
%\input{pic10}
%\input{pic1-48}
\multiput(13,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(15,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(11,12)(-2,2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\multiput(11,14)(-2,2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\put(0,0){\line(1,1){12}}
\multiput(25,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(27,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\put(30,12){\line(1,0){6}}
\multiput(24,13)(0,4){3}{\oval(1.6,2)[l]}
\multiput(24,15)(0,4){2}{\oval(1.6,2)[r]}
\put(18,12){\line(1,0){6}}
\multiput(37,12)(2,2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(37,14)(2,2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(37,12)(2,-2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(37,10)(2,-2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
%\put(12,12){\circle*{1.5}}
%\put(24,12){\circle*{1.5}}
%\put(36,12){\circle*{1.5}}
\put(3,0){$q$}
\put(10.85,10.85){\vector(1,1){1}}
\put(.9,23){\vector(-1,1){1}}
\put(23.1,13.){\vector(1,-1){1}}
\put(47.1,23){\vector(1,1){1}}
\put(47.1,1){\vector(1,-1){1}}
\put(3,24){1}
\put(25,24){$p$}
\put(42,24){2}
\put(42,0){3}
\put(22.5,12){\vector(1,0){1}}
\put(34.5,12){\vector(1,0){1}}
\put(17,16){\makebox(0,0){$q-1$}}
\put(31,16){\makebox(0,0){2+3}}
\end{picture}
\eb 
 $$ {{V({\it k2} + {\it k3},{\it k2},{\it k3})\,
      V({\it k2} + {\it k3},p,-{\it k1} + q)\,V(q,{\it k1},-{\it k1} + q)}\over
 {\left( \omega ({\it k2}) + \omega ({\it k3}) - 
        \omega ({\it k2} + {\it k3}) \right) \,
      \left( -\omega ({\it k1}) + \omega (q) - \omega (-{\it k1} + q) \right) }} $$ 
  \ep

%picture38
\begin{picture}(48,24)(0,10)
%\input{pic10}
%\input{pic1-48}
\multiput(13,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(15,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(11,12)(-2,2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\multiput(11,14)(-2,2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\put(0,0){\line(1,1){12}}
\multiput(25,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(27,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\put(30,12){\line(1,0){6}}
\multiput(24,13)(0,4){3}{\oval(1.6,2)[l]}
\multiput(24,15)(0,4){2}{\oval(1.6,2)[r]}
\put(18,12){\line(1,0){6}}
\multiput(37,12)(2,2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(37,14)(2,2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(37,12)(2,-2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(37,10)(2,-2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
%\put(12,12){\circle*{1.5}}
%\put(24,12){\circle*{1.5}}
%\put(36,12){\circle*{1.5}}
\put(3,0){$q$}
\put(10.85,10.85){\vector(1,1){1}}
\put(.9,23){\vector(-1,1){1}}
\put(23.1,13.){\vector(1,-1){1}}
\put(47.1,23){\vector(1,1){1}}
\put(47.1,1){\vector(1,-1){1}}
\put(3,24){1}
\put(25,24){$p$}
\put(42,24){2}
\put(42,0){3}
\put(13,13){\vector(-1,-1){1}}
\put(34.5,12){\vector(1,0){1}}
\put(17,16){\makebox(0,0){$1-q$}}
\put(31,16){\makebox(0,0){2+3}}
\end{picture}
\eb
$$ {{V({\it k1},q,{\it k1} - q)\,
      V({\it k2} + {\it k3},{\it k2},{\it k3})\,
      V(p,{\it k1} - q,{\it k2} + {\it k3})}\over 
    {\left( \omega ({\it k2}) + \omega ({\it k3}) - 
        \omega ({\it k2} + {\it k3}) \right) \,
      \left( \omega ({\it k1}) - \omega (q) - \omega (-{\it k1} + q) \right) }} $$ 
   \ep

%picture39
\begin{picture}(48,24)(0,10)
%\input{pic10}
%\input{pic1-48}
\multiput(13,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(15,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(11,12)(-2,2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\multiput(11,14)(-2,2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\put(0,0){\line(1,1){12}}
\multiput(25,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(27,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\put(30,12){\line(1,0){6}}
\multiput(24,13)(0,4){3}{\oval(1.6,2)[l]}
\multiput(24,15)(0,4){2}{\oval(1.6,2)[r]}
\put(18,12){\line(1,0){6}}
\multiput(37,12)(2,2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(37,14)(2,2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(37,12)(2,-2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(37,10)(2,-2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
%\put(12,12){\circle*{1.5}}
%\put(24,12){\circle*{1.5}}
%\put(36,12){\circle*{1.5}}
\put(3,0){$q$}
\put(10.85,10.85){\vector(1,1){1}}
\put(.9,23){\vector(-1,1){1}}
\put(23.1,13.){\vector(1,-1){1}}
\put(47.1,23){\vector(1,1){1}}
\put(47.1,1){\vector(1,-1){1}}
\put(3,24){1}
\put(25,24){$p$}
\put(42,24){2}
\put(42,0){3}
\put(22.5,12){\vector(1,0){1}}
\put(25,13){\vector(-1,-1){1}}
\put(17,16){\makebox(0,0){$q-1$}}
\put(32,16){\makebox(0,0){$-2-3$}}
\end{picture}
\eb  
 $$ {{U({\it k2},{\it k3},-{\it k2} - {\it k3})\,
      U(p,-{\it k1} + q,-{\it k2} - {\it k3})\,V(q,{\it k1},-{\it k1} + q)}\
     \over {\left( -\omega ({\it k2}) - \omega ({\it k3}) - 
        \omega ({\it k2} + {\it k3}) \right) \,
      \left( -\omega ({\it k1}) + \omega (q) - \omega (-{\it k1} + q) \right) }} $$ 
 \ep

%picture40
\begin{picture}(48,24)(0,10)
%\input{pic10}
%\input{pic1-48}
\multiput(13,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(15,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(11,12)(-2,2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\multiput(11,14)(-2,2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\put(0,0){\line(1,1){12}}
\multiput(25,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(27,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\put(30,12){\line(1,0){6}}
\multiput(24,13)(0,4){3}{\oval(1.6,2)[l]}
\multiput(24,15)(0,4){2}{\oval(1.6,2)[r]}
\put(18,12){\line(1,0){6}}
\multiput(37,12)(2,2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(37,14)(2,2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(37,12)(2,-2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(37,10)(2,-2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
%\put(12,12){\circle*{1.5}}
%\put(24,12){\circle*{1.5}}
%\put(36,12){\circle*{1.5}}
\put(3,0){$q$}
\put(10.85,10.85){\vector(1,1){1}}
\put(.9,23){\vector(-1,1){1}}
\put(23.1,13.){\vector(1,-1){1}}
\put(47.1,23){\vector(1,1){1}}
\put(47.1,1){\vector(1,-1){1}}
\put(3,24){1}
\put(25,24){$p$}
\put(42,24){2}
\put(42,0){3}
\put(13,13){\vector(-1,-1){1}}
\put(25,13){\vector(-1,-1){1}}
\put(17,16){\makebox(0,0){$1-q$}}
\put(32,16){\makebox(0,0){$-2-3$}}
\end{picture}

\eb 
 $$ {{U({\it k2},{\it k3},-{\it k2} - {\it k3})\,
      V({\it k1},q,{\it k1} - q)\,V({\it k1} - q,p,-{\it k2} - {\it k3})}\over {\left( -\omega ({\it k2}) - \omega ({\it k3}) - 
        \omega ({\it k2} + {\it k3}) \right) \,
      \left( \omega ({\it k1}) - \omega (q) - \omega (-{\it k1} + q) \right) }} $$ 
  \ep

\newpage
%picture41
\begin{picture}(48,24)(0,10)
%\input{pic11}
%\input{pic1-48}
\multiput(13,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(15,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(11,12)(-2,2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\multiput(11,14)(-2,2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\put(0,0){\line(1,1){12}}
\multiput(25,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(27,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\put(30,12){\line(1,0){6}}
\multiput(24,13)(0,4){3}{\oval(1.6,2)[l]}
\multiput(24,15)(0,4){2}{\oval(1.6,2)[r]}
\put(18,12){\line(1,0){6}}
\multiput(37,12)(2,2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(37,14)(2,2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(37,12)(2,-2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(37,10)(2,-2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
%\put(12,12){\circle*{1.5}}
%\put(24,12){\circle*{1.5}}
%\put(36,12){\circle*{1.5}}
\put(3,0){$q$}
\put(10.85,10.85){\vector(1,1){1}}
\put(.9,23){\vector(-1,1){1}}
\put(23.1,13.){\vector(1,-1){1}}
\put(47.1,23){\vector(1,1){1}}
\put(47.1,1){\vector(1,-1){1}}
\put(3,24){2}
\put(25,24){$p$}
\put(42,24){1}
\put(42,0){3}
\put(22.5,12){\vector(1,0){1}}
\put(34.5,12){\vector(1,0){1}}
\put(17,16){\makebox(0,0){$q-2$}}
\put(31,16){\makebox(0,0){1+3}}
\end{picture}
\eb 
 $$ {{V({\it k1} + {\it k3},{\it k1},{\it k3})\,
      V({\it k1} + {\it k3},p,-{\it k2} + q)\,V(q,{\it k2},-{\it k2} + q)}
     \over {\left( \omega ({\it k1}) + \omega ({\it k3}) - 
        \omega ({\it k1} + {\it k3}) \right) \,
      \left( -\omega ({\it k2}) - \omega ({\it k2} - q) + \omega (q) \right) }} $$ 
  \ep

%picture42
\begin{picture}(48,24)(0,10)
%\input{pic11}
%\input{pic1-48}
\multiput(13,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(15,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(11,12)(-2,2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\multiput(11,14)(-2,2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\put(0,0){\line(1,1){12}}
\multiput(25,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(27,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\put(30,12){\line(1,0){6}}
\multiput(24,13)(0,4){3}{\oval(1.6,2)[l]}
\multiput(24,15)(0,4){2}{\oval(1.6,2)[r]}
\put(18,12){\line(1,0){6}}
\multiput(37,12)(2,2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(37,14)(2,2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(37,12)(2,-2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(37,10)(2,-2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
%\put(12,12){\circle*{1.5}}
%\put(24,12){\circle*{1.5}}
%\put(36,12){\circle*{1.5}}
\put(3,0){$q$}
\put(10.85,10.85){\vector(1,1){1}}
\put(.9,23){\vector(-1,1){1}}
\put(23.1,13.){\vector(1,-1){1}}
\put(47.1,23){\vector(1,1){1}}
\put(47.1,1){\vector(1,-1){1}}
\put(3,24){2}
\put(25,24){$p$}
\put(42,24){1}
\put(42,0){3}
\put(13,13){\vector(-1,-1){1}}
\put(34.5,12){\vector(1,0){1}}
\put(17,16){\makebox(0,0){$2-q$}}
\put(31,16){\makebox(0,0){1+3}}
\end{picture}
\eb 
 $$ {{V({\it k2},q,{\it k2} - q)\,
      V({\it k1} + {\it k3},{\it k1},{\it k3})\,
      V(p,{\it k2} - q,{\it k1} + {\it k3})}\over 
    {\left( \omega ({\it k1}) + \omega ({\it k3}) - 
        \omega ({\it k1} + {\it k3}) \right) \,
      \left( \omega ({\it k2}) - \omega ({\it k2} - q) - \omega (q) \right) }} $$ 
  \ep

%picture43
\begin{picture}(48,24)(0,10)
%\input{pic11}
%\input{pic1-48}
\multiput(13,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(15,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(11,12)(-2,2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\multiput(11,14)(-2,2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\put(0,0){\line(1,1){12}}
\multiput(25,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(27,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\put(30,12){\line(1,0){6}}
\multiput(24,13)(0,4){3}{\oval(1.6,2)[l]}
\multiput(24,15)(0,4){2}{\oval(1.6,2)[r]}
\put(18,12){\line(1,0){6}}
\multiput(37,12)(2,2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(37,14)(2,2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(37,12)(2,-2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(37,10)(2,-2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
%\put(12,12){\circle*{1.5}}
%\put(24,12){\circle*{1.5}}
%\put(36,12){\circle*{1.5}}
\put(3,0){$q$}
\put(10.85,10.85){\vector(1,1){1}}
\put(.9,23){\vector(-1,1){1}}
\put(23.1,13.){\vector(1,-1){1}}
\put(47.1,23){\vector(1,1){1}}
\put(47.1,1){\vector(1,-1){1}}
\put(3,24){2}
\put(25,24){$p$}
\put(42,24){1}
\put(42,0){3}
\put(22.5,12){\vector(1,0){1}}
\put(25,13){\vector(-1,-1){1}}
\put(17,16){\makebox(0,0){$q-2$}}
\put(32,16){\makebox(0,0){$-1-3$}}
\end{picture}
\eb 
 $$ {{U({\it k1},{\it k3},-{\it k1} - {\it k3})\,
      U(p,-{\it k2} + q,-{\it k1} - {\it k3})\,V(q,{\it k2},-{\it k2} + q)}\
     \over {\left( -\omega ({\it k1}) - \omega ({\it k3}) - 
        \omega ({\it k1} + {\it k3}) \right) \,
      \left( -\omega ({\it k2}) - \omega ({\it k2} - q) + \omega (q) \right) }} $$ 
  \ep

%picture44
\begin{picture}(48,24)(0,10)
%\input{pic11}
%\input{pic1-48}
\multiput(13,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(15,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(11,12)(-2,2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\multiput(11,14)(-2,2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\put(0,0){\line(1,1){12}}
\multiput(25,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(27,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\put(30,12){\line(1,0){6}}
\multiput(24,13)(0,4){3}{\oval(1.6,2)[l]}
\multiput(24,15)(0,4){2}{\oval(1.6,2)[r]}
\put(18,12){\line(1,0){6}}
\multiput(37,12)(2,2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(37,14)(2,2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(37,12)(2,-2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(37,10)(2,-2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
%\put(12,12){\circle*{1.5}}
%\put(24,12){\circle*{1.5}}
%\put(36,12){\circle*{1.5}}
\put(3,0){$q$}
\put(10.85,10.85){\vector(1,1){1}}
\put(.9,23){\vector(-1,1){1}}
\put(23.1,13.){\vector(1,-1){1}}
\put(47.1,23){\vector(1,1){1}}
\put(47.1,1){\vector(1,-1){1}}
\put(3,24){2}
\put(25,24){$p$}
\put(42,24){1}
\put(42,0){3}
\put(13,13){\vector(-1,-1){1}}
\put(25,13){\vector(-1,-1){1}}
\put(17,16){\makebox(0,0){$2-q$}}
\put(32,16){\makebox(0,0){$-1-3$}}
\end{picture}

\eb 
 $$ -{{U({\it k1},{\it k3},-{\it k1} - {\it k3})\,
       V({\it k2},q,{\it k2} - q)\,V({\it k2} - q,p,-{\it k1} - {\it k3})}
      \over {\left( \omega ({\it k1}) + \omega ({\it k3}) + 
         \omega ({\it k1} + {\it k3}) \right) \,
       \left( \omega ({\it k2}) - \omega ({\it k2} - q) - \omega (q) \right) }} $$
  \ep

%picture45
\begin{picture}(48,24)(0,10)
%\input{pic12}
%\input{pic1-48}
\multiput(13,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(15,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(11,12)(-2,2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\multiput(11,14)(-2,2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\put(0,0){\line(1,1){12}}
\multiput(25,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(27,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\put(30,12){\line(1,0){6}}
\multiput(24,13)(0,4){3}{\oval(1.6,2)[l]}
\multiput(24,15)(0,4){2}{\oval(1.6,2)[r]}
\put(18,12){\line(1,0){6}}
\multiput(37,12)(2,2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(37,14)(2,2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(37,12)(2,-2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(37,10)(2,-2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
%\put(12,12){\circle*{1.5}}
%\put(24,12){\circle*{1.5}}
%\put(36,12){\circle*{1.5}}
\put(3,0){$q$}
\put(10.85,10.85){\vector(1,1){1}}
\put(.9,23){\vector(-1,1){1}}
\put(23.1,13.){\vector(1,-1){1}}
\put(47.1,23){\vector(1,1){1}}
\put(47.1,1){\vector(1,-1){1}}
\put(3,24){3}
\put(25,24){$p$}
\put(42,24){1}
\put(42,0){2}
\put(22.5,12){\vector(1,0){1}}
\put(34.5,12){\vector(1,0){1}}
\put(17,16){\makebox(0,0){$q-3$}}
\put(31,16){\makebox(0,0){1+2}}
\end{picture}

\eb
 $$ {{V({\it k1} + {\it k2},{\it k1},{\it k2})\,
      V({\it k1} + {\it k2},p,-{\it k3} + q)\,V(q,{\it k3},-{\it k3} + q)}
    \over {\left( \omega ({\it k1}) + \omega ({\it k2}) - 
        \omega ({\it k1} + {\it k2}) \right) \,
      \left( -\omega ({\it k3}) - \omega ({\it k3} - q) + \omega (q) \right) }} $$ 
   \ep

%picture46
\begin{picture}(48,24)(0,10)
%\input{pic12}
%\input{pic1-48}
\multiput(13,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(15,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(11,12)(-2,2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\multiput(11,14)(-2,2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\put(0,0){\line(1,1){12}}
\multiput(25,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(27,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\put(30,12){\line(1,0){6}}
\multiput(24,13)(0,4){3}{\oval(1.6,2)[l]}
\multiput(24,15)(0,4){2}{\oval(1.6,2)[r]}
\put(18,12){\line(1,0){6}}
\multiput(37,12)(2,2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(37,14)(2,2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(37,12)(2,-2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(37,10)(2,-2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
%\put(12,12){\circle*{1.5}}
%\put(24,12){\circle*{1.5}}
%\put(36,12){\circle*{1.5}}
\put(3,0){$q$}
\put(10.85,10.85){\vector(1,1){1}}
\put(.9,23){\vector(-1,1){1}}
\put(23.1,13.){\vector(1,-1){1}}
\put(47.1,23){\vector(1,1){1}}
\put(47.1,1){\vector(1,-1){1}}
\put(3,24){3}
\put(25,24){$p$}
\put(42,24){1}
\put(42,0){2}
\put(13,13){\vector(-1,-1){1}}
\put(34.5,12){\vector(1,0){1}}
\put(17,16){\makebox(0,0){$3-q$}}
\put(31,16){\makebox(0,0){1+2}}
\end{picture}
\eb  
 $$ {{V({\it k1} + {\it k2},{\it k1},{\it k2})\,
      V({\it k3},q,{\it k3} - q)\,V(p,{\it k3} - q,{\it k1} + {\it k2})}\over {\left( \omega ({\it k1}) + \omega ({\it k2}) - 
        \omega ({\it k1} + {\it k2}) \right) \,
      \left( \omega ({\it k3}) - \omega ({\it k3} - q) - \omega (q) \right) }} $$
 \ep

%picture47
\begin{picture}(48,24)(0,10)
%\input{pic12}
%\input{pic1-48}
\multiput(13,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(15,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(11,12)(-2,2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\multiput(11,14)(-2,2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\put(0,0){\line(1,1){12}}
\multiput(25,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(27,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\put(30,12){\line(1,0){6}}
\multiput(24,13)(0,4){3}{\oval(1.6,2)[l]}
\multiput(24,15)(0,4){2}{\oval(1.6,2)[r]}
\put(18,12){\line(1,0){6}}
\multiput(37,12)(2,2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(37,14)(2,2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(37,12)(2,-2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(37,10)(2,-2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
%\put(12,12){\circle*{1.5}}
%\put(24,12){\circle*{1.5}}
%\put(36,12){\circle*{1.5}}
\put(3,0){$q$}
\put(10.85,10.85){\vector(1,1){1}}
\put(.9,23){\vector(-1,1){1}}
\put(23.1,13.){\vector(1,-1){1}}
\put(47.1,23){\vector(1,1){1}}
\put(47.1,1){\vector(1,-1){1}}
\put(3,24){3}
\put(25,24){$p$}
\put(42,24){1}
\put(42,0){2}
\put(22.5,12){\vector(1,0){1}}
\put(25,13){\vector(-1,-1){1}}
\put(17,16){\makebox(0,0){$q-3$}}
\put(32,16){\makebox(0,0){$-1-2$}}
\end{picture}
\eb 
$$ {{U(-{\it k1} - {\it k2},{\it k1},{\it k2})\,
      U(-{\it k3} + q,-{\it k1} - {\it k2},p)\,V(q,{\it k3},-{\it k3} + q)}\
     \over {\left( -\omega ({\it k1}) - \omega ({\it k2}) - 
        \omega ({\it k1} + {\it k2}) \right) \,
      \left( -\omega ({\it k3}) - \omega ({\it k3} - q) + \omega (q) \right) }} $$
  \ep

%picture48
\begin{picture}(48,24)(0,10)
%\input{pic12}
%\input{pic1-48}
\multiput(13,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(15,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(11,12)(-2,2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\multiput(11,14)(-2,2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\put(0,0){\line(1,1){12}}
\multiput(25,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(27,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\put(30,12){\line(1,0){6}}
\multiput(24,13)(0,4){3}{\oval(1.6,2)[l]}
\multiput(24,15)(0,4){2}{\oval(1.6,2)[r]}
\put(18,12){\line(1,0){6}}
\multiput(37,12)(2,2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(37,14)(2,2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(37,12)(2,-2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(37,10)(2,-2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
%\put(12,12){\circle*{1.5}}
%\put(24,12){\circle*{1.5}}
%\put(36,12){\circle*{1.5}}
\put(3,0){$q$}
\put(10.85,10.85){\vector(1,1){1}}
\put(.9,23){\vector(-1,1){1}}
\put(23.1,13.){\vector(1,-1){1}}
\put(47.1,23){\vector(1,1){1}}
\put(47.1,1){\vector(1,-1){1}}
\put(3,24){3}
\put(25,24){$p$}
\put(42,24){1}
\put(42,0){2}
\put(13,13){\vector(-1,-1){1}}
\put(25,13){\vector(-1,-1){1}}
\put(17,16){\makebox(0,0){$3-q$}}
\put(32,16){\makebox(0,0){$-1-2$}}
\end{picture}

\eb 
 $$ -{{U({\it k1},{\it k2},-{\it k1} - {\it k2})\,
       V({\it k3},q,{\it k3} - q)\,V({\it k3} - q,p,-{\it k1} - {\it k2})}
      \over {\left( \omega ({\it k1}) + \omega ({\it k2}) + 
         \omega ({\it k1} + {\it k2}) \right) \,
       \left( \omega ({\it k3}) - \omega ({\it k3} - q) - \omega (q) \right) }} $$
  \ep

\newpage
%picture49
\begin{picture}(48,24)(0,10)
%\input{pic13}
%\input{pic49-60}
\multiput(13,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(15,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(11,12)(-2,2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\multiput(11,14)(-2,2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(25,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(27,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\put(30,12){\line(1,0){6}}
\put(24,24){\vector(0,-1){12}}
\multiput(11,12)(-2,-2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(11,10)(-2,-2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\put(18,12){\line(1,0){6}}
\multiput(37,12)(2,2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(37,14)(2,2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(37,12)(2,-2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(37,10)(2,-2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\put(10.85,10.85){\vector(1,1){1}}
\put(.9,23){\vector(-1,1){1}}
\put(47.1,23){\vector(1,1){1}}
\put(47.1,1){\vector(1,-1){1}}
\put(3,0){$p$}
\put(25,24){$q$}
\put(3,24){1}
\put(42,24){2}
\put(42,0){3}
\put(22.5,12){\vector(1,0){1}}
\put(34.5,12){\vector(1,0){1}}
\put(17,16){\makebox(0,0){$p-1$}}
\put(31,16){\makebox(0,0){2+3}}
\end{picture}

\eb 
 $$ {{V({\it k2} + {\it k3},{\it k2},{\it k3})\,
      V({\it k2} + {\it k3},q,-{\it k1} + p)\,V(p,{\it k1},-{\it k1} + p)}
     \over {\left( \omega ({\it k2}) + \omega ({\it k3}) - 
        \omega ({\it k2} + {\it k3}) \right) \,
      \left( -\omega ({\it k1}) - \omega ({\it k1} - p) + \omega (p) \right) }} $$ 
  \ep

%picture50
\begin{picture}(48,24)(0,10)
%\input{pic13}
%\input{pic49-60}
\multiput(13,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(15,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(11,12)(-2,2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\multiput(11,14)(-2,2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(25,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(27,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\put(30,12){\line(1,0){6}}
\put(24,24){\vector(0,-1){12}}
\multiput(11,12)(-2,-2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(11,10)(-2,-2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\put(18,12){\line(1,0){6}}
\multiput(37,12)(2,2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(37,14)(2,2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(37,12)(2,-2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(37,10)(2,-2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\put(10.85,10.85){\vector(1,1){1}}
\put(.9,23){\vector(-1,1){1}}
\put(47.1,23){\vector(1,1){1}}
\put(47.1,1){\vector(1,-1){1}}
\put(3,0){$p$}
\put(25,24){$q$}
\put(3,24){1}
\put(42,24){2}
\put(42,0){3}
\put(13,13){\vector(-1,-1){1}}
\put(34.5,12){\vector(1,0){1}}
\put(17,16){\makebox(0,0){$1-p$}}
\put(31,16){\makebox(0,0){2+3}}
\end{picture}
\eb 
 $$ {{V({\it k1},p,{\it k1} - p)\,
      V({\it k2} + {\it k3},{\it k2},{\it k3})\,
      V(q,{\it k1} - p,{\it k2} + {\it k3})}\over 
    {\left( \omega ({\it k2}) + \omega ({\it k3}) - 
        \omega ({\it k2} + {\it k3}) \right) \,
      \left( \omega ({\it k1}) - \omega ({\it k1} - p) - \omega (p) \right) }} $$ 
  \ep

%picture51
\begin{picture}(48,24)(0,10)
%\input{pic13}
%\input{pic49-60}
\multiput(13,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(15,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(11,12)(-2,2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\multiput(11,14)(-2,2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(25,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(27,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\put(30,12){\line(1,0){6}}
\put(24,24){\vector(0,-1){12}}
\multiput(11,12)(-2,-2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(11,10)(-2,-2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\put(18,12){\line(1,0){6}}
\multiput(37,12)(2,2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(37,14)(2,2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(37,12)(2,-2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(37,10)(2,-2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\put(10.85,10.85){\vector(1,1){1}}
\put(.9,23){\vector(-1,1){1}}
\put(47.1,23){\vector(1,1){1}}
\put(47.1,1){\vector(1,-1){1}}
\put(3,0){$p$}
\put(25,24){$q$}
\put(3,24){1}
\put(42,24){2}
\put(42,0){3}
\put(22.5,12){\vector(1,0){1}}
\put(25,13){\vector(-1,-1){1}}
\put(17,16){\makebox(0,0){$p-1$}}
\put(32,16){\makebox(0,0){$-2-3$}}
\end{picture}
\eb 
$$ {{U({\it k2},{\it k3},-{\it k2} - {\it k3})\,
      U(q,-{\it k1} + p,-{\it k2} - {\it k3})\,V(p,{\it k1},-{\it k1} + p)}\
     \over {\left( -\omega ({\it k2}) - \omega ({\it k3}) - 
        \omega ({\it k2} + {\it k3}) \right) \,
      \left( -\omega ({\it k1}) - \omega ({\it k1} - p) + \omega (p) \right) }} $$
  \ep

%picture52
\begin{picture}(48,24)(0,10)
%\input{pic13}
%\input{pic49-60}
\multiput(13,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(15,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(11,12)(-2,2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\multiput(11,14)(-2,2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(25,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(27,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\put(30,12){\line(1,0){6}}
\put(24,24){\vector(0,-1){12}}
\multiput(11,12)(-2,-2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(11,10)(-2,-2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\put(18,12){\line(1,0){6}}
\multiput(37,12)(2,2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(37,14)(2,2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(37,12)(2,-2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(37,10)(2,-2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\put(10.85,10.85){\vector(1,1){1}}
\put(.9,23){\vector(-1,1){1}}
\put(47.1,23){\vector(1,1){1}}
\put(47.1,1){\vector(1,-1){1}}
\put(3,0){$p$}
\put(25,24){$q$}
\put(3,24){1}
\put(42,24){2}
\put(42,0){3}
\put(13,13){\vector(-1,-1){1}}
\put(25,13){\vector(-1,-1){1}}
\put(17,16){\makebox(0,0){$1-p$}}
\put(32,16){\makebox(0,0){$-2-3$}}
\end{picture}

\eb  
 $$ {{U(-{\it k2} - {\it k3},{\it k2},{\it k3})\,
      V({\it k1},p,{\it k1} - p)\,V({\it k1} - p,q,-{\it k2} - {\it k3})}\over {\left( -\omega ({\it k2}) - \omega ({\it k3}) - 
        \omega ({\it k2} + {\it k3}) \right) \,
      \left( \omega ({\it k1}) - \omega ({\it k1} - p) - \omega (p) \right) }} $$ 
 \ep

%picture53
\begin{picture}(48,24)(0,10)
%\input{pic14}
%\input{pic49-60}
\multiput(13,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(15,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(11,12)(-2,2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\multiput(11,14)(-2,2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(25,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(27,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\put(30,12){\line(1,0){6}}
\put(24,24){\vector(0,-1){12}}
\multiput(11,12)(-2,-2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(11,10)(-2,-2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\put(18,12){\line(1,0){6}}
\multiput(37,12)(2,2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(37,14)(2,2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(37,12)(2,-2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(37,10)(2,-2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\put(10.85,10.85){\vector(1,1){1}}
\put(.9,23){\vector(-1,1){1}}
\put(47.1,23){\vector(1,1){1}}
\put(47.1,1){\vector(1,-1){1}}
\put(3,0){$p$}
\put(25,24){$q$}
\put(3,24){2}
\put(42,24){1}
\put(42,0){3}
\put(22.5,12){\vector(1,0){1}}
\put(34.5,12){\vector(1,0){1}}
\put(17,16){\makebox(0,0){$p-2$}}
\put(31,16){\makebox(0,0){1+3}}
\end{picture}

\eb
 $$ {{V({\it k1} + {\it k3},{\it k1},{\it k3})\,
      V({\it k1} + {\it k3},q,-{\it k2} + p)\,V(p,{\it k2},-{\it k2} + p)}\
     \over {\left( \omega ({\it k1}) + \omega ({\it k3}) - 
        \omega ({\it k1} + {\it k3}) \right) \,
      \left( -\omega ({\it k2}) - \omega ({\it k2} - p) + \omega (p) \right) }} $$ 
   \ep

%picture54
\begin{picture}(48,24)(0,10)
%\input{pic14}
%\input{pic49-60}
\multiput(13,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(15,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(11,12)(-2,2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\multiput(11,14)(-2,2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(25,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(27,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\put(30,12){\line(1,0){6}}
\put(24,24){\vector(0,-1){12}}
\multiput(11,12)(-2,-2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(11,10)(-2,-2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\put(18,12){\line(1,0){6}}
\multiput(37,12)(2,2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(37,14)(2,2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(37,12)(2,-2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(37,10)(2,-2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\put(10.85,10.85){\vector(1,1){1}}
\put(.9,23){\vector(-1,1){1}}
\put(47.1,23){\vector(1,1){1}}
\put(47.1,1){\vector(1,-1){1}}
\put(3,0){$p$}
\put(25,24){$q$}
\put(3,24){2}
\put(42,24){1}
\put(42,0){3}
\put(13,13){\vector(-1,-1){1}}
\put(34.5,12){\vector(1,0){1}}
\put(17,16){\makebox(0,0){$2-p$}}
\put(31,16){\makebox(0,0){1+3}}
\end{picture}
\eb 
$$ {{V({\it k2},p,{\it k2} - p)\,
      V({\it k1} + {\it k3},{\it k1},{\it k3})\,
      V(q,{\it k2} - p,{\it k1} + {\it k3})}\over 
    {\left( \omega ({\it k1}) + \omega ({\it k3}) - 
        \omega ({\it k1} + {\it k3}) \right) \,
      \left( \omega ({\it k2}) - \omega ({\it k2} - p) - \omega (p) \right) }} $$ 
  \ep

%picture55
\begin{picture}(48,24)(0,10)
%\input{pic14}
%\input{pic49-60}
\multiput(13,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(15,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(11,12)(-2,2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\multiput(11,14)(-2,2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(25,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(27,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\put(30,12){\line(1,0){6}}
\put(24,24){\vector(0,-1){12}}
\multiput(11,12)(-2,-2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(11,10)(-2,-2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\put(18,12){\line(1,0){6}}
\multiput(37,12)(2,2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(37,14)(2,2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(37,12)(2,-2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(37,10)(2,-2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\put(10.85,10.85){\vector(1,1){1}}
\put(.9,23){\vector(-1,1){1}}
\put(47.1,23){\vector(1,1){1}}
\put(47.1,1){\vector(1,-1){1}}
\put(3,0){$p$}
\put(25,24){$q$}
\put(3,24){2}
\put(42,24){1}
\put(42,0){3}
\put(22.5,12){\vector(1,0){1}}
\put(25,13){\vector(-1,-1){1}}
\put(17,16){\makebox(0,0){$p-2$}}
\put(32,16){\makebox(0,0){$-1-3$}}
\end{picture}
\eb 
 $$ {{U(-{\it k1} - {\it k3},{\it k1},{\it k3})\,
      U(-{\it k2} + p,q,-{\it k1} - {\it k3})\,V(p,{\it k2},-{\it k2} + p)}\
     \over {\left( -\omega ({\it k1}) - \omega ({\it k3}) - 
        \omega ({\it k1} + {\it k3}) \right) \,
      \left( -\omega ({\it k2}) - \omega ({\it k2} - p) + \omega (p) \right) }} $$
  \ep

%picture56
\begin{picture}(48,24)(0,10)
%\input{pic14}
%\input{pic49-60}
\multiput(13,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(15,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(11,12)(-2,2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\multiput(11,14)(-2,2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(25,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(27,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\put(30,12){\line(1,0){6}}
\put(24,24){\vector(0,-1){12}}
\multiput(11,12)(-2,-2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(11,10)(-2,-2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\put(18,12){\line(1,0){6}}
\multiput(37,12)(2,2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(37,14)(2,2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(37,12)(2,-2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(37,10)(2,-2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\put(10.85,10.85){\vector(1,1){1}}
\put(.9,23){\vector(-1,1){1}}
\put(47.1,23){\vector(1,1){1}}
\put(47.1,1){\vector(1,-1){1}}
\put(3,0){$p$}
\put(25,24){$q$}
\put(3,24){2}
\put(42,24){1}
\put(42,0){3}
\put(13,13){\vector(-1,-1){1}}
\put(25,13){\vector(-1,-1){1}}
\put(17,16){\makebox(0,0){$2-p$}}
\put(32,16){\makebox(0,0){$-1-3$}}
\end{picture}

\eb
 $$ {{U({\it k1},{\it k3},-{\it k1} - {\it k3})\,
      V({\it k2},p,{\it k2} - p)\,V({\it k2} - p,q,-{\it k1} - {\it k3})}\over {\left( -\omega ({\it k1}) - \omega ({\it k3}) - 
        \omega ({\it k1} + {\it k3}) \right) \,
      \left( \omega ({\it k2}) - \omega ({\it k2} - p) - \omega (p) \right) }} $$ 
   \ep

\newpage
%picture57
\begin{picture}(48,24)(0,10)
%\input{pic15}
%\input{pic49-60}
\multiput(13,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(15,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(11,12)(-2,2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\multiput(11,14)(-2,2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(25,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(27,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\put(30,12){\line(1,0){6}}
\put(24,24){\vector(0,-1){12}}
\multiput(11,12)(-2,-2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(11,10)(-2,-2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\put(18,12){\line(1,0){6}}
\multiput(37,12)(2,2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(37,14)(2,2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(37,12)(2,-2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(37,10)(2,-2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\put(10.85,10.85){\vector(1,1){1}}
\put(.9,23){\vector(-1,1){1}}
\put(47.1,23){\vector(1,1){1}}
\put(47.1,1){\vector(1,-1){1}}
\put(3,0){$p$}
\put(25,24){$q$}
\put(3,24){3}
\put(42,24){1}
\put(42,0){2}
\put(22.5,12){\vector(1,0){1}}
\put(34.5,12){\vector(1,0){1}}
\put(17,16){\makebox(0,0){$p-3$}}
\put(31,16){\makebox(0,0){1+2}}
\end{picture}

\eb
 $$ {{V({\it k1} + {\it k2},{\it k1},{\it k2})\,
      V({\it k1} + {\it k2},q,-{\it k3} + p)\,V(p,{\it k3},-{\it k3} + p)}\
     \over {\left( \omega ({\it k1}) + \omega ({\it k2}) - 
        \omega ({\it k1} + {\it k2}) \right) \,
      \left( -\omega ({\it k3}) - \omega ({\it k3} - p) + \omega (p) \right) }} $$ 
   \ep

%picture58
\begin{picture}(48,24)(0,10)
%\input{pic15}
%\input{pic49-60}
\multiput(13,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(15,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(11,12)(-2,2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\multiput(11,14)(-2,2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(25,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(27,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\put(30,12){\line(1,0){6}}
\put(24,24){\vector(0,-1){12}}
\multiput(11,12)(-2,-2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(11,10)(-2,-2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\put(18,12){\line(1,0){6}}
\multiput(37,12)(2,2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(37,14)(2,2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(37,12)(2,-2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(37,10)(2,-2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\put(10.85,10.85){\vector(1,1){1}}
\put(.9,23){\vector(-1,1){1}}
\put(47.1,23){\vector(1,1){1}}
\put(47.1,1){\vector(1,-1){1}}
\put(3,0){$p$}
\put(25,24){$q$}
\put(3,24){3}
\put(42,24){1}
\put(42,0){2}
\put(13,13){\vector(-1,-1){1}}
\put(34.5,12){\vector(1,0){1}}
\put(17,16){\makebox(0,0){$3-p$}}
\put(31,16){\makebox(0,0){1+2}}
\end{picture} 

% this was corrected December 5 94
\eb 
 $$ {{V({\it k3},{p},{\it k3}-p})\,
      V(q, {\it k3} -p, {\it k1}+{\it k2})\,
V({\it k1}+{\it k2},{\it k1},{\it k2})}\
     \over {\left( \omega ({\it k1}) + \omega ({\it k2}) - 
        \omega ({\it k1} + {\it k2}) \right) \,
      \left( \omega ({\it k3}) - \omega ({\it k3} - p) - \omega (p) \right) } $$ 
\ep 

%picture59
\begin{picture}(48,24)(0,10)
%\input{pic15}
%\input{pic49-60}
\multiput(13,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(15,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(11,12)(-2,2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\multiput(11,14)(-2,2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(25,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(27,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\put(30,12){\line(1,0){6}}
\put(24,24){\vector(0,-1){12}}
\multiput(11,12)(-2,-2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(11,10)(-2,-2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\put(18,12){\line(1,0){6}}
\multiput(37,12)(2,2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(37,14)(2,2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(37,12)(2,-2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(37,10)(2,-2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\put(10.85,10.85){\vector(1,1){1}}
\put(.9,23){\vector(-1,1){1}}
\put(47.1,23){\vector(1,1){1}}
\put(47.1,1){\vector(1,-1){1}}
\put(3,0){$p$}
\put(25,24){$q$}
\put(3,24){3}
\put(42,24){1}
\put(42,0){2}
\put(22.5,12){\vector(1,0){1}}
\put(25,13){\vector(-1,-1){1}}
\put(17,16){\makebox(0,0){$p-3$}}
\put(32,16){\makebox(0,0){$-1-2$}}
\end{picture}
\eb
$$ {{U({\it k1},{\it k2},-{\it k1} - {\it k2})\,
      U(q,-{\it k3} + p,-{\it k1} - {\it k2})\,V(p,{\it k3},-{\it k3} + p)}\
     \over {\left( -\omega ({\it k1}) - \omega ({\it k2}) - 
        \omega ({\it k1} + {\it k2}) \right) \,
      \left( -\omega ({\it k3}) - \omega ({\it k3} - p) + \omega (p) \right) }} $$ 
   \ep

%picture60
\begin{picture}(48,24)(0,10)
%\input{pic15}
%\input{pic49-60}
\multiput(13,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(15,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(11,12)(-2,2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\multiput(11,14)(-2,2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(25,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(27,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}
\put(30,12){\line(1,0){6}}
\put(24,24){\vector(0,-1){12}}
\multiput(11,12)(-2,-2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(11,10)(-2,-2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\put(18,12){\line(1,0){6}}
\multiput(37,12)(2,2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(37,14)(2,2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(37,12)(2,-2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(37,10)(2,-2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\put(10.85,10.85){\vector(1,1){1}}
\put(.9,23){\vector(-1,1){1}}
\put(47.1,23){\vector(1,1){1}}
\put(47.1,1){\vector(1,-1){1}}
\put(3,0){$p$}
\put(25,24){$q$}
\put(3,24){3}
\put(42,24){1}
\put(42,0){2}
\put(13,13){\vector(-1,-1){1}}
\put(25,13){\vector(-1,-1){1}}
\put(17,16){\makebox(0,0){$3-p$}}
\put(32,16){\makebox(0,0){$-1-2$}}
\end{picture}
\eb
%This was corrected December 5 94X
$$ {V({\it k3},p,{\it k3}-p)\,
    V({\it k3}-p,q,-{\it k1}-{\it k2})\,U({\it k1},{\it k2},-{\it k1}-{\it k2)}\
     \over {\left( -\omega ({\it k1}) - \omega ({\it k2}) - 
        \omega ({\it k1} + {\it k2}) \right) \,
      \left( \omega ({\it k3}) - \omega ({\it k3} - p) - \omega (p) \right) }} $$ 
   \ep

%picture61
%\input{pic61-72}
\begin{picture}(36,24)(0,10)

\multiput(2.5,12)(4,0){3}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(4.5,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(12,13)(0,4){3}{\oval(1.6,2)[r]}
\multiput(12,15)(0,4){2}{\oval(1.6,2)[l]}

\multiput(13,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(15,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[t]}
\put(18,12){\line(1,0){6}}

\multiput(25,12)(2,2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(25,14)(2,2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(25,12)(2,-2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(25,10)(2,-2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\put(12,0){\vector(0,1){12}}
\put(12,22){\vector(-1,1){1}}

\put(13,0){$q$}


\put(11,12.8){\vector(1,-1){1}}
\put(35.1,23){\vector(1,1){1}}
\put(35.1,1){\vector(1,-1){1}}
\put(23,12){\vector(1,0){1}}
\put(1,8){$p$}
\put(13,24){1}
\put(30,24){2}
\put(30,0){3}
\put(19,16){\makebox(0,0){$2+3$}}
\end{picture}

\eb
$$ {{V({\it k2} + {\it k3},{\it k2},{\it k3})\,
      W(p,q,{\it k1},{\it k2} + {\it k3})}\over 
    {\omega ({\it k2}) + \omega ({\it k3}) - \omega ({\it k2} + {\it k3})}}
   $$
   \ep

%picture62
%\input{pic61-72}
\begin{picture}(36,24)(0,10)

\multiput(2.5,12)(4,0){3}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(4.5,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(12,13)(0,4){3}{\oval(1.6,2)[r]}
\multiput(12,15)(0,4){2}{\oval(1.6,2)[l]}

\multiput(13,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(15,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[t]}
\put(18,12){\line(1,0){6}}

\multiput(25,12)(2,2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(25,14)(2,2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(25,12)(2,-2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(25,10)(2,-2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\put(12,0){\vector(0,1){12}}
\put(12,22){\vector(-1,1){1}}

\put(13,0){$q$}


\put(11,12.8){\vector(1,-1){1}}
\put(35.1,23){\vector(1,1){1}}
\put(35.1,1){\vector(1,-1){1}}
\put(13.2,11){\vector(-1,1){1}}
\put(1,8){$p$}
\put(13,24){1}
\put(30,24){3}
\put(30,0){2}
\put(20,16){\makebox(0,0){$-2-3$}}
\end{picture}

\eb 
 $$ -{{G({\it k1},p,q,-{\it k2} - {\it k3})\,
       U({\it k2},{\it k3},-{\it k2} - {\it k3})}\over 
     {\omega ({\it k2}) + \omega ({\it k3}) + \omega ({\it k2} + {\it k3})}}
   $$
  \ep

%picture63
%\input{pic61-72}
\begin{picture}(36,24)(0,10)

\multiput(2.5,12)(4,0){3}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(4.5,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(12,13)(0,4){3}{\oval(1.6,2)[r]}
\multiput(12,15)(0,4){2}{\oval(1.6,2)[l]}

\multiput(13,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(15,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[t]}
\put(18,12){\line(1,0){6}}

\multiput(25,12)(2,2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(25,14)(2,2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(25,12)(2,-2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(25,10)(2,-2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\put(12,0){\vector(0,1){12}}
\put(12,22){\vector(-1,1){1}}

\put(13,0){$q$}


\put(11,12.8){\vector(1,-1){1}}
\put(35.1,23){\vector(1,1){1}}
\put(35.1,1){\vector(1,-1){1}}
\put(23,12){\vector(1,0){1}}
\put(1,8){$p$}
\put(13,24){2}
\put(30,24){3}
\put(30,0){1}
\put(19,16){\makebox(0,0){$1+3$}}
\end{picture}

\eb 
 $$ {{V({\it k1} + {\it k3},{\it k1},{\it k3})\,
      W(p,q,{\it k2},{\it k1} + {\it k3})}\over 
    {\omega ({\it k1}) + \omega ({\it k3}) - \omega ({\it k1} + {\it k3})}}
   $$
  \ep

%picture64
%\input{pic61-72}
\begin{picture}(36,24)(0,10)

\multiput(2.5,12)(4,0){3}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(4.5,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(12,13)(0,4){3}{\oval(1.6,2)[r]}
\multiput(12,15)(0,4){2}{\oval(1.6,2)[l]}

\multiput(13,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(15,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[t]}
\put(18,12){\line(1,0){6}}

\multiput(25,12)(2,2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(25,14)(2,2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(25,12)(2,-2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(25,10)(2,-2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\put(12,0){\vector(0,1){12}}
\put(12,22){\vector(-1,1){1}}

\put(13,0){$q$}


\put(11,12.8){\vector(1,-1){1}}
\put(35.1,23){\vector(1,1){1}}
\put(35.1,1){\vector(1,-1){1}}
\put(13.2,11){\vector(-1,1){1}}
\put(1,8){$p$}
\put(13,24){2}
\put(30,24){3}
\put(30,0){1}
\put(20,16){\makebox(0,0){$-1-3$}}
\end{picture}

\eb
$$ -{{G({\it k2},p,q,-{\it k1} - {\it k3})\,
       U({\it k1},{\it k3},-{\it k1} - {\it k3})}\over 
     {\omega ({\it k1}) + \omega ({\it k3}) + \omega ({\it k1} + {\it k3})}}
   $$
   \ep

\newpage
%picture65
%\input{pic61-72}
\begin{picture}(36,24)(0,10)

\multiput(2.5,12)(4,0){3}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(4.5,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(12,13)(0,4){3}{\oval(1.6,2)[r]}
\multiput(12,15)(0,4){2}{\oval(1.6,2)[l]}

\multiput(13,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(15,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[t]}
\put(18,12){\line(1,0){6}}

\multiput(25,12)(2,2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(25,14)(2,2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(25,12)(2,-2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(25,10)(2,-2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\put(12,0){\vector(0,1){12}}
\put(12,22){\vector(-1,1){1}}

\put(13,0){$q$}


\put(11,12.8){\vector(1,-1){1}}
\put(35.1,23){\vector(1,1){1}}
\put(35.1,1){\vector(1,-1){1}}
\put(23,12){\vector(1,0){1}}
\put(1,8){$p$}
\put(13,24){3}
\put(30,24){2}
\put(30,0){1}
\put(19,16){\makebox(0,0){$1+2$}}
\end{picture}

\eb
 $$ {{V({\it k1} + {\it k2},{\it k1},{\it k2})\,
      W(p,q,{\it k3},{\it k1} + {\it k2})}\over 
    {\omega ({\it k1}) + \omega ({\it k2}) - \omega ({\it k1} + {\it k2})}}
   $$ 
   \ep

%picture66
%\input{pic61-72}
\begin{picture}(36,24)(0,10)

\multiput(2.5,12)(4,0){3}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(4.5,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(12,13)(0,4){3}{\oval(1.6,2)[r]}
\multiput(12,15)(0,4){2}{\oval(1.6,2)[l]}

\multiput(13,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(15,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[t]}
\put(18,12){\line(1,0){6}}

\multiput(25,12)(2,2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(25,14)(2,2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(25,12)(2,-2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(25,10)(2,-2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\put(12,0){\vector(0,1){12}}
\put(12,22){\vector(-1,1){1}}

\put(13,0){$q$}


\put(11,12.8){\vector(1,-1){1}}
\put(35.1,23){\vector(1,1){1}}
\put(35.1,1){\vector(1,-1){1}}
\put(13.2,11){\vector(-1,1){1}}
\put(1,8){$p$}
\put(13,24){3}
\put(30,24){2}
\put(30,0){1}
\put(20,16){\makebox(0,0){$-1-2$}}
\end{picture}

\eb
 $$ -{{G({\it k3},p,q,-{\it k1} - {\it k2})\,
       U(-{\it k1} - {\it k2},{\it k1},{\it k2})}\over 
     {\omega ({\it k1}) + \omega ({\it k2}) + \omega ({\it k1} + {\it k2})}}
   $$ 
   \ep

%picture67
%\input{pic61-72}
\begin{picture}(36,24)(0,10)

\multiput(2.5,12)(4,0){3}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(4.5,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(12,13)(0,4){3}{\oval(1.6,2)[r]}
\multiput(12,15)(0,4){2}{\oval(1.6,2)[l]}

\multiput(13,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(15,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[t]}
\put(18,12){\line(1,0){6}}

\multiput(25,12)(2,2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(25,14)(2,2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(25,12)(2,-2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(25,10)(2,-2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\put(12,0){\vector(0,1){12}}
\put(12,22){\vector(-1,1){1}}

\put(13,0){$q$}


\put(2.2,12.8){\vector(-1,-1){1}}
\put(35.1,23){\vector(1,1){1}}
\put(25.2,11){\vector(-1,1){1}}
\put(23,12){\vector(1,0){1}}
\put(1,8){2}
\put(13,24){3}
\put(30,24){1}
\put(30,0){$p$}
\put(19,16){\makebox(0,0){$1-p$}}
\end{picture}

\eb
 $$ {{G(q,{\it k1} - p,{\it k2},{\it k3})\,V({\it k1},p,{\it k1} - p)}\over 
    {\omega ({\it k1}) - \omega ({\it k1} - p) - \omega (p)}} $$ 
  
   \ep

%picture68
%\input{pic61-72}
\begin{picture}(36,24)(0,10)

\multiput(2.5,12)(4,0){3}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(4.5,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(12,13)(0,4){3}{\oval(1.6,2)[r]}
\multiput(12,15)(0,4){2}{\oval(1.6,2)[l]}

\multiput(13,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(15,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[t]}
\put(18,12){\line(1,0){6}}

\multiput(25,12)(2,2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(25,14)(2,2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(25,12)(2,-2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(25,10)(2,-2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\put(12,0){\vector(0,1){12}}
\put(12,22){\vector(-1,1){1}}

\put(13,0){$q$}


\put(2.2,12.8){\vector(-1,-1){1}}
\put(35.1,23){\vector(1,1){1}}
\put(25.2,11){\vector(-1,1){1}}
\put(13.2,11){\vector(-1,1){1}}
\put(1,8){2}
\put(13,24){3}
\put(30,24){1}
\put(30,0){$p$}
\put(19,16){\makebox(0,0){$p-1$}}
\end{picture}

\eb
 $$ {{V(p,{\it k1},-{\it k1} + p)\,
      W(q,-{\it k1} + p,{\it k2},{\it k3})}\over 
    {-\omega ({\it k1}) - \omega ({\it k1} - p) + \omega (p)}} $$ 
  
   \ep

%picture69
%\input{pic61-72}
\begin{picture}(36,24)(0,10)

\multiput(2.5,12)(4,0){3}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(4.5,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(12,13)(0,4){3}{\oval(1.6,2)[r]}
\multiput(12,15)(0,4){2}{\oval(1.6,2)[l]}

\multiput(13,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(15,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[t]}
\put(18,12){\line(1,0){6}}

\multiput(25,12)(2,2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(25,14)(2,2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(25,12)(2,-2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(25,10)(2,-2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\put(12,0){\vector(0,1){12}}
\put(12,22){\vector(-1,1){1}}

\put(13,0){$q$}


\put(2.2,12.8){\vector(-1,-1){1}}
\put(35.1,23){\vector(1,1){1}}
\put(25.2,11){\vector(-1,1){1}}
\put(23,12){\vector(1,0){1}}
\put(1,8){1}
\put(13,24){3}
\put(30,24){2}
\put(30,0){$p$}
\put(19,16){\makebox(0,0){$2-p$}}
\end{picture}

\eb
 $$ {{G(q,{\it k2} - p,{\it k1},{\it k3})\,V({\it k2},p,{\it k2} - p)}\over 
    {\omega ({\it k2}) - \omega ({\it k2} - p) - \omega (p)}} $$ 
  
   \ep

%picture70
%\input{pic61-72}
\begin{picture}(36,24)(0,10)

\multiput(2.5,12)(4,0){3}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(4.5,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(12,13)(0,4){3}{\oval(1.6,2)[r]}
\multiput(12,15)(0,4){2}{\oval(1.6,2)[l]}

\multiput(13,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(15,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[t]}
\put(18,12){\line(1,0){6}}

\multiput(25,12)(2,2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(25,14)(2,2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(25,12)(2,-2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(25,10)(2,-2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\put(12,0){\vector(0,1){12}}
\put(12,22){\vector(-1,1){1}}

\put(13,0){$q$}


\put(2.2,12.8){\vector(-1,-1){1}}
\put(35.1,23){\vector(1,1){1}}
\put(25.2,11){\vector(-1,1){1}}
\put(13.2,11){\vector(-1,1){1}}
\put(1,8){1}
\put(13,24){3}
\put(30,24){2}
\put(30,0){$p$}
\put(19,16){\makebox(0,0){$p-2$}}
\end{picture}

\eb
 $$ {{V(p,{\it k2},-{\it k2} + p)\,
      W(q,-{\it k2} + p,{\it k1},{\it k3})}\over 
    {-\omega ({\it k2}) - \omega ({\it k2} - p) + \omega (p)}} $$ 
  
   \ep

%picture71
%\input{pic61-72}
\begin{picture}(36,24)(0,10)

\multiput(2.5,12)(4,0){3}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(4.5,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(12,13)(0,4){3}{\oval(1.6,2)[r]}
\multiput(12,15)(0,4){2}{\oval(1.6,2)[l]}

\multiput(13,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(15,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[t]}
\put(18,12){\line(1,0){6}}

\multiput(25,12)(2,2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(25,14)(2,2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(25,12)(2,-2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(25,10)(2,-2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\put(12,0){\vector(0,1){12}}
\put(12,22){\vector(-1,1){1}}

\put(13,0){$q$}


\put(2.2,12.8){\vector(-1,-1){1}}
\put(25,13){\vector(-1,-1){1}}
%\put(25.2,11){\vector(-1,1){1}}
\put(23,12){\vector(1,0){1}}
\put(35.1,1){\vector(1,-1){1}}
\put(1,8){1}
\put(13,24){2}
\put(30,24){$p$}
\put(30,0){3}
\put(19,16){\makebox(0,0){$3-p$}}
\end{picture}

\eb  
 $$ {{G(q,{\it k3} - p,{\it k1},{\it k2})\,V({\it k3},p,{\it k3} - p)}\over 
    {\omega ({\it k3}) - \omega ({\it k3} - p) - \omega (p)}} $$ 
  
 \ep

%picture72
%\input{pic61-72}
\begin{picture}(36,24)(0,10)

\multiput(2.5,12)(4,0){3}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(4.5,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(12,13)(0,4){3}{\oval(1.6,2)[r]}
\multiput(12,15)(0,4){2}{\oval(1.6,2)[l]}

\multiput(13,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(15,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[t]}
\put(18,12){\line(1,0){6}}

\multiput(25,12)(2,2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(25,14)(2,2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\multiput(25,12)(2,-2){6}{\oval(2,2)[b,l]}
\multiput(25,10)(2,-2){6}{\oval(2,2)[t,r]}
\put(12,0){\vector(0,1){12}}
\put(12,22){\vector(-1,1){1}}

\put(13,0){$q$}


\put(2.2,12.8){\vector(-1,-1){1}}
\put(25,13){\vector(-1,-1){1}}
%\put(25.2,11){\vector(-1,1){1}}
\put(13.2,11){\vector(-1,1){1}}
\put(35.1,1){\vector(1,-1){1}}
\put(1,8){1}
\put(13,24){2}
\put(30,24){$p$}
\put(30,0){3}
\put(19,16){\makebox(0,0){$p-3$}}
\end{picture}

\eb   
 $$ {{V(p,{\it k3},-{\it k3} + p)\,
      W(q,-{\it k3} + p,{\it k2},{\it k1})}\over 
    {-\omega ({\it k3}) - \omega ({\it k3} - p) + \omega (p)}} $$ 
  
\ep

\newpage
%picture73
%\input{pic73-80}
\begin{picture}(36,24)(0,10)

\multiput(2.5,12)(4,0){3}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(4.5,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(12,13)(0,4){3}{\oval(1.6,2)[r]}
\multiput(12,15)(0,4){2}{\oval(1.6,2)[l]}

\multiput(12,11)(0,-4){3}{\oval(1.6,2)[l]}
\multiput(12,9)(0,-4){2}{\oval(1.6,2)[r]}

\put(12,12){\line(1,0){6}}
\multiput(19,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(21,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}

\multiput(25,12)(2,2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(25,14)(2,2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\put(36,0){\vector(-1,1){12}}
\put(12,22){\vector(-1,1){1}}
\put(2.2,12.8){\vector(-1,-1){1}}
\put(32,0){$q$}


\put(12,2){\vector(1,-1){1}}
\put(23,13){\vector(1,-1){1}}
\put(25,13){\vector(-1,-1){1}}
\put(15,0){3}
\put(1,8){2}
\put(13,24){1}
\put(30,24){$p$}
\put(19,16){\makebox(0,0){$-q-p$}}
\end{picture}

\eb
 $$ -{{R({\it k1},{\it k2},{\it k3},-p - q)\,U(-p - q,p,q)}\over 
     {\omega (p) + \omega (q) + \omega (p + q)}} $$ 
  
   \ep

%picture74
%\input{pic73-80}
\begin{picture}(36,24)(0,10)

\multiput(2.5,12)(4,0){3}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(4.5,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(12,13)(0,4){3}{\oval(1.6,2)[r]}
\multiput(12,15)(0,4){2}{\oval(1.6,2)[l]}

\multiput(12,11)(0,-4){3}{\oval(1.6,2)[l]}
\multiput(12,9)(0,-4){2}{\oval(1.6,2)[r]}

\put(12,12){\line(1,0){6}}
\multiput(19,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(21,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}

\multiput(25,12)(2,2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(25,14)(2,2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\put(36,0){\vector(-1,1){12}}
\put(12,22){\vector(-1,1){1}}
\put(2.2,12.8){\vector(-1,-1){1}}
\put(32,0){$q$}


\put(12,2){\vector(1,-1){1}}
\put(13,12){\vector(-1,0){1}}
\put(25,13){\vector(-1,-1){1}}
\put(15,0){3}
\put(1,8){2}
\put(13,24){1}
\put(30,24){$p$}
\put(19,16){\makebox(0,0){$p+q$}}
\end{picture}

\eb 
 $$ {{G(p + q,{\it k1},{\it k2},{\it k3})\,V(p + q,p,q)}\over 
    {\omega (p) + \omega (q) - \omega (p + q)}} $$ 
  
  \ep

%picture75
%\input{pic73-80}
\begin{picture}(36,24)(0,10)

\multiput(2.5,12)(4,0){3}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(4.5,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(12,13)(0,4){3}{\oval(1.6,2)[r]}
\multiput(12,15)(0,4){2}{\oval(1.6,2)[l]}

\multiput(12,11)(0,-4){3}{\oval(1.6,2)[l]}
\multiput(12,9)(0,-4){2}{\oval(1.6,2)[r]}

\put(12,12){\line(1,0){6}}
\multiput(19,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(21,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}

\multiput(25,12)(2,2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(25,14)(2,2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\put(36,0){\vector(-1,1){12}}
\put(12,22){\vector(-1,1){1}}
\put(2.2,12.8){\vector(-1,-1){1}}
\put(32,0){$q$}


\put(11,11){\vector(1,1){1}}
\put(23,13){\vector(1,-1){1}}
\put(35.1,23){\vector(1,1){1}}
\put(15,0){$p$}
\put(1,8){1}
\put(13,24){2}
\put(30,24){3}
\put(19,16){\makebox(0,0){$3-q$}}
\end{picture}

\eb 
$$ {{G(p,{\it k1},{\it k2},{\it k3} - q)\,V({\it k3},q,{\it k3} - q)}\over 
    {\omega ({\it k3}) - \omega ({\it k3} - q) - \omega (q)}} $$ 
  
  \ep

%picture76
%\input{pic73-80}
\begin{picture}(36,24)(0,10)

\multiput(2.5,12)(4,0){3}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(4.5,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(12,13)(0,4){3}{\oval(1.6,2)[r]}
\multiput(12,15)(0,4){2}{\oval(1.6,2)[l]}

\multiput(12,11)(0,-4){3}{\oval(1.6,2)[l]}
\multiput(12,9)(0,-4){2}{\oval(1.6,2)[r]}

\put(12,12){\line(1,0){6}}
\multiput(19,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(21,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}

\multiput(25,12)(2,2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(25,14)(2,2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\put(36,0){\vector(-1,1){12}}
\put(12,22){\vector(-1,1){1}}
\put(2.2,12.8){\vector(-1,-1){1}}
\put(32,0){$q$}


\put(11,11){\vector(1,1){1}}
\put(13,12){\vector(-1,0){1}}
\put(35.1,23){\vector(1,1){1}}
\put(15,0){$p$}
\put(1,8){1}
\put(13,24){2}
\put(30,24){3}
\put(19,16){\makebox(0,0){$q-3$}}
\end{picture}

\eb
 $$ {{V(q,{\it k3},-{\it k3} + q)\,
      W(p,-{\it k3} + q,{\it k1},{\it k2})}\over 
    {-\omega ({\it k3}) - \omega ({\it k3} - q) + \omega (q)}} $$ 
  
   \ep

%picture77
%\input{pic73-80}
\begin{picture}(36,24)(0,10)

\multiput(2.5,12)(4,0){3}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(4.5,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(12,13)(0,4){3}{\oval(1.6,2)[r]}
\multiput(12,15)(0,4){2}{\oval(1.6,2)[l]}

\multiput(12,11)(0,-4){3}{\oval(1.6,2)[l]}
\multiput(12,9)(0,-4){2}{\oval(1.6,2)[r]}

\put(12,12){\line(1,0){6}}
\multiput(19,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(21,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}

\multiput(25,12)(2,2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(25,14)(2,2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\put(36,0){\vector(-1,1){12}}
\put(12,22){\vector(-1,1){1}}
\put(2.2,12.8){\vector(-1,-1){1}}
\put(32,0){$q$}


\put(11,11){\vector(1,1){1}}
\put(23,13){\vector(1,-1){1}}
\put(35.1,23){\vector(1,1){1}}
\put(15,0){$p$}
\put(1,8){2}
\put(13,24){3}
\put(30,24){1}
\put(19,16){\makebox(0,0){$1-q$}}
\end{picture}

\eb 
 $$ {{G(p,{\it k2},{\it k3},{\it k1} - q)\,V({\it k1},q,{\it k1} - q)}\over 
    {\omega ({\it k1}) - \omega (q) - \omega (-{\it k1} + q)}} $$ 
  
  \ep

%picture78
%\input{pic73-80}
\begin{picture}(36,24)(0,10)

\multiput(2.5,12)(4,0){3}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(4.5,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(12,13)(0,4){3}{\oval(1.6,2)[r]}
\multiput(12,15)(0,4){2}{\oval(1.6,2)[l]}

\multiput(12,11)(0,-4){3}{\oval(1.6,2)[l]}
\multiput(12,9)(0,-4){2}{\oval(1.6,2)[r]}

\put(12,12){\line(1,0){6}}
\multiput(19,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(21,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}

\multiput(25,12)(2,2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(25,14)(2,2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\put(36,0){\vector(-1,1){12}}
\put(12,22){\vector(-1,1){1}}
\put(2.2,12.8){\vector(-1,-1){1}}
\put(32,0){$q$}


\put(11,11){\vector(1,1){1}}
\put(13,12){\vector(-1,0){1}}
\put(35.1,23){\vector(1,1){1}}
\put(15,0){$p$}
\put(1,8){2}
\put(13,24){3}
\put(30,24){1}
\put(19,16){\makebox(0,0){$q-1$}}
\end{picture}

\eb
 $$ {{V(q,{\it k1},-{\it k1} + q)\,
      W(p,-{\it k1} + q,{\it k2},{\it k3})}\over 
    {-\omega ({\it k1}) + \omega (q) - \omega (-{\it k1} + q)}} $$ 
  
   \ep

%picture79
%4\input{pic73-80}
\begin{picture}(36,24)(0,10)

\multiput(2.5,12)(4,0){3}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(4.5,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(12,13)(0,4){3}{\oval(1.6,2)[r]}
\multiput(12,15)(0,4){2}{\oval(1.6,2)[l]}

\multiput(12,11)(0,-4){3}{\oval(1.6,2)[l]}
\multiput(12,9)(0,-4){2}{\oval(1.6,2)[r]}

\put(12,12){\line(1,0){6}}
\multiput(19,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(21,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}

\multiput(25,12)(2,2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(25,14)(2,2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\put(36,0){\vector(-1,1){12}}
\put(12,22){\vector(-1,1){1}}
\put(2.2,12.8){\vector(-1,-1){1}}
\put(32,0){$q$}


\put(11,11){\vector(1,1){1}}
\put(23,13){\vector(1,-1){1}}
\put(35.1,23){\vector(1,1){1}}
\put(15,0){$p$}
\put(1,8){1}
\put(13,24){3}
\put(30,24){2}
\put(19,16){\makebox(0,0){$2-q$}}
\end{picture}

\eb
 $$ {{G(p,{\it k1},{\it k3},{\it k2} - q)\,V({\it k2},q,{\it k2} - q)}\over 
    {\omega ({\it k2}) - \omega ({\it k2} - q) - \omega (q)}} $$ 
  
   \ep

%picture80
%\input{pic73-80}
\begin{picture}(36,24)(0,10)

\multiput(2.5,12)(4,0){3}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(4.5,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[b]}
\multiput(12,13)(0,4){3}{\oval(1.6,2)[r]}
\multiput(12,15)(0,4){2}{\oval(1.6,2)[l]}

\multiput(12,11)(0,-4){3}{\oval(1.6,2)[l]}
\multiput(12,9)(0,-4){2}{\oval(1.6,2)[r]}

\put(12,12){\line(1,0){6}}
\multiput(19,12)(4,0){2}{\oval(2,1.6)[t]}
\multiput(21,12)(4,0){1}{\oval(2,1.6)[b]}

\multiput(25,12)(2,2){6}{\oval(2,2)[t,l]}
\multiput(25,14)(2,2){6}{\oval(2,2)[b,r]}
\put(36,0){\vector(-1,1){12}}
\put(12,22){\vector(-1,1){1}}
\put(2.2,12.8){\vector(-1,-1){1}}
\put(32,0){$q$}


\put(11,11){\vector(1,1){1}}
\put(13,12){\vector(-1,0){1}}
\put(35.1,23){\vector(1,1){1}}
\put(15,0){$p$}
\put(1,8){1}
\put(13,24){3}
\put(30,24){2}
\put(19,16){\makebox(0,0){$q-2$}}
\end{picture}

\eb
 $$ {{V(q,{\it k2},-{\it k2} + q)\,
      W(p,-{\it k2} + q,{\it k1},{\it k3})}\over 
    {-\omega ({\it k2}) - \omega ({\it k2} - q) + \omega (q)}} $$
   \ep

 }

\section[Численная схема моделирования гравитационных и капиллярных поверхностных волн]
{Численная схема моделирования гравитационных и капиллярных поверхностных волн}
\label{NumScheme}
\setcounter{equation}{0}


Численное моделирование уравнений (\ref{eta_psi_system})
представляет собой довольно сложную
задачу. В основном это обусловлено наличием в уравнениях 
нелокального оператора $\hat k$. Однако
если написать уравнения в представлении Фурье-гармоник, то 
этот оператор сведется к действию,
аналогичному взятию производной. Поэтому вычисление правых 
частей, очевидно, будет основываться
на последовательном применении алгоритма быстрого преобразования 
Фурье. В то же время,
выбор метода численного интегрирования по времени уравнений 
(\ref{eta_psi_system}) не столь очевиден. Часто
применяется метод Рунге-Кутты четвертого 
порядка \cite{Samarsky-1982}.
Он, однако, не лишен некоторых недостатков. Например, данный 
метод не сохраняет Гамильтониан,
что, в случае моделирования Гамильтоновской системы, не слишком 
хорошо.
Если бы удалось построить
численную схему, сохраняющую Гамильтониан, то это дало бы 
прекрасный инструмент для контроля
за многими параметрами численного интегрирования. Например, 
за шагом по времени.

Это Приложение построенщ следующим образом: в 
части \ref{DiscrScheme} последовательно строится
схема интегрирования уравнений (\ref{eta_psi_system}), 
сохраняющая Гамильтониан; удобный на
практике метод выбора шага по времени описывается в 
разделе \ref{TimeChose}; некоторые приемы,
обощающие полученную численную схему, приведены в 
части \ref{Tricks}; в заключении \ref{SchemeConcl}
обсуждаются полученные результаты.

\subsection[Построение численной схемы]{Построение 
численной схемы, сохраняющей Гамильтониан}
\label{DiscrScheme}

Будем действовать в духе работы \cite{OptTurb}. Рассмотрим 
изменение Гамильтониана
(\ref{Hamiltonian}) на одном шаге по времени 
$H^{n}\longrightarrow H^{n+1}$, величиной $\tau$:
\begin{equation}
\label{DeltaHam}
\delta H = H^{n+1} - H^{n}.
\end{equation}
Так как Гамильтониан есть функция только от переменных $\eta$ и $\psi$, то попробуем выразить
данное изменение как линейную функцию от:
\begin{equation}
\label{Deltas}
\delta \eta = \eta^{n+1} - \eta^{n},\;\;\; 
\delta \psi = \psi^{n+1} - \psi^{n}.
\end{equation}
При этом потребуем, чтобы Гамильтониан на этом шаге по времени 
оставался постоянным:   
\begin{equation}
\delta H = \frac{\partial H}{\partial \psi} \delta \psi + \frac{\partial H}{\partial \eta}\delta \eta = 0.
\end{equation}
Разделим данное равенство на шаг по времени $\tau$:
\begin{equation}
\frac{\partial H}{\partial \psi} \frac{\delta \psi}{\tau} + \frac{\partial H}{\partial \eta}\frac{\delta \eta}{\tau} = 0.
\end{equation}
Такое равенство может быть выполнено, например, при следующих условиях:
\begin{equation}
\label{Hamiltonian_equations_discr}
\begin{array}{c}
\displaystyle
\frac{\delta \eta}{\tau} = \frac{\partial H}{\partial \psi},\\
\displaystyle
\frac{\delta \psi}{\tau} = -\frac{\partial H}{\partial \eta}.
\end{array}
\end{equation}
Это не что иное, как разностный аналог уравнений Гамильтона
(\ref{Hamiltonian_equations}). Таким образом, 
найдя (\ref{DeltaHam}) как линейную
функцию (\ref{Deltas}), мы получаем правые части 
уравнений (\ref{Hamiltonian_equations_discr}).

Как было упомянуто выше, разностную схему удобно записать 
для Фурье-гармоник.
Для сокращения записи введем оператор преобразования 
Фурье $\hat F$, соответствующий
(\ref{FourierTrans}). Пользуясь результатами приведенными в 
Приложении \ref{discrHamvar}, получаем:
\begin{equation}
\label{impl_Ham_eta}
\begin{array}{lll}
\displaystyle
\frac{\eta^{n+1}_{\vec k} - \eta^{n}_{\vec k}}{\tau} &amp;=&amp;
\frac{1}{2}|\vec k| \left(\psi^{n+1}_{\vec k} + \psi^{n}_{\vec k}\right) -\\
\displaystyle
&amp;&amp;-\frac{1}{4}\hat F 
\left(\nabla,(\eta^{n+1}+\eta^{n})\nabla (\psi^{n+1}+\psi^{n})\right) -\\
\displaystyle
&amp;&amp;-\frac{1}{4} |\vec k| \hat F \left((\eta^{n+1}+\eta^{n})\hat k (\psi^{n+1}+\psi^{n})\right) +\\
\displaystyle
&amp;&amp;+ \frac{1}{4}|\vec k| \hat F
 \left[ \left(\eta^{n+1} + \eta^{n}\right)\hat k \left(\eta^{n+1} \hat k \psi^{n+1} 
 + \eta^{n} \hat k\psi^{n}\right)\right] -\\
 \displaystyle
&amp;&amp;- \frac{1}{8}|\vec k|^2 \hat F 
\left[ ((\eta^{n+1})^2 + (\eta^{n})^2)\hat k (\psi^{n+1} + \psi^{n})\right] +\\
\displaystyle
&amp;&amp;+\frac{1}{8}|\vec k| \hat F
\left[ ((\eta^{n+1})^2 + (\eta^{n})^2)\triangle (\psi^{n+1} + \psi^{n})\right].
\end{array}
\end{equation}
\begin{equation}
\label{impl_Ham_psi}
\begin{array}{lll}
\displaystyle
\frac{\psi^{n+1}_{\vec k} - \psi^{n}_{\vec k}}{\tau} &amp;=&amp;
-\frac{1}{2} \frac{\omega_k^2}{|\vec k|}\left(\eta^{n+1}_{\vec k} + \eta^{n}_{\vec k}\right) -\\
\displaystyle
&amp;&amp;- \frac{1}{4}\hat F \left(\left| \nabla \psi^{n+1} \right|^2 + \left| \nabla \psi^{n} \right|^2\right) +\\
\displaystyle
&amp;&amp;+ \frac{1}{4}\hat F \left((\hat k \psi^{n+1})^2 + (\hat k \psi^{n})^2 \right) -\\
\displaystyle
&amp;&amp;- \frac{1}{4}\hat F \left[ \hat k \left(\psi^{n+1} + \psi^{n}\right)\hat k \left(\eta^{n+1} \hat k \psi^{n+1} + 
\eta^{n} \hat k\psi^{n}\right)\right] -\\
\displaystyle
&amp;&amp;- \frac{1}{4}\hat F \left[ (\eta^{n+1} + \eta^{n})
(\triangle\psi^{n+1}\hat k \psi^{n+1} + \triangle\psi^{n}\hat k \psi^{n})\right].
\end{array}
\end{equation}

Для практических вычислений полезно разрешить 
уравнения (\ref{impl_Ham_eta}-\ref{impl_Ham_psi}) относительно
значений на $n+1$-вом шаге (имеются в виду линейные члены). В 
целях сокращения записи введем
обозначения для нелиненых членов в правых частях 
уравнений (\ref{impl_Ham_eta}-\ref{impl_Ham_psi}):
\begin{equation}
\label{Right_nl_parts}
\begin{array}{lll}
\displaystyle
R_{\eta} &amp;=&amp;
-\frac{1}{4}\hat F 
\left(\nabla,(\eta^{n+1}+\eta^{n})\nabla (\psi^{n+1}+\psi^{n})\right) -\\
\displaystyle
&amp;&amp;-\frac{1}{4} |\vec k| \hat F \left((\eta^{n+1}+\eta^{n})\hat k (\psi^{n+1}+\psi^{n})\right) +\\
\displaystyle
&amp;&amp;+ \frac{1}{4}|\vec k| \hat F
 \left[ \left(\eta^{n+1} + \eta^{n}\right)\hat k \left(\eta^{n+1} \hat k \psi^{n+1} 
 + \eta^{n} \hat k\psi^{n}\right)\right] -\\
 \displaystyle
&amp;&amp;- \frac{1}{8}|\vec k|^2 \hat F 
\left[ ((\eta^{n+1})^2 + (\eta^{n})^2)\hat k (\psi^{n+1} + \psi^{n})\right] +\\
\displaystyle
&amp;&amp;+\frac{1}{8}|\vec k| \hat F
\left[ ((\eta^{n+1})^2 + (\eta^{n})^2)\triangle (\psi^{n+1} + \psi^{n})\right],\\
\displaystyle
R_{\psi} &amp;=&amp;
- \frac{1}{4}\hat F \left(\left| \nabla \psi^{n+1} \right|^2 + \left| \nabla \psi^{n} \right|^2\right) +\\
\displaystyle
&amp;&amp;+ \frac{1}{4}\hat F \left((\hat k \psi^{n+1})^2 + (\hat k \psi^{n})^2 \right) -\\
\displaystyle
&amp;&amp;- \frac{1}{4}\hat F \left[ \hat k \left(\psi^{n+1} + \psi^{n}\right)\hat k \left(\eta^{n+1} \hat k \psi^{n+1} + 
\eta^{n} \hat k\psi^{n}\right)\right] -\\
\displaystyle
&amp;&amp;- \frac{1}{4}\hat F \left[ (\eta^{n+1} + \eta^{n})
(\triangle\psi^{n+1}\hat k \psi^{n+1} + \triangle\psi^{n}\hat k \psi^{n})\right].
\end{array}
\end{equation}
Разрешая (\ref{impl_Ham_eta}-\ref{impl_Ham_psi}) относительно
$\eta^{n+1}_{\vec k}$ и $\psi^{n+1}_{\vec k}$, получаем:
\begin{equation}
\label{ImplScheme}
\begin{array}{lll}
\displaystyle
\eta^{n+1}_{\vec k} &amp;=&amp; A (k,\tau)\eta^{n}_{\vec k} + B(k,\tau)\psi^{n}_{\vec k} +
C(k,\tau)R_{\eta} + D(k,\tau)R_{\psi},\\
\displaystyle
\psi^{n+1}_{\vec k} &amp;=&amp; E (k,\tau)\eta^{n}_{\vec k} + A(k,\tau)\psi^{n}_{\vec k} +
F(k,\tau)R_{\eta} + C(k,\tau)R_{\psi},
\end{array}
\end{equation}
здесь введены обозначения:
\begin{equation}
\begin{array}{l}
\displaystyle
A (k,\tau) = \frac{1- \frac{1}{4}\omega_k^2 \tau^2 }{1+ \frac{1}{4}\omega_k^2 \tau^2},\;\;
B (k,\tau) = \frac{\tau k }{1+ \frac{1}{4}\omega_k^2 \tau^2},\\
\displaystyle
C (k,\tau) = \frac{\tau}{1+ \frac{1}{4}\omega_k^2 \tau^2},\;\;
D (k,\tau) = \frac{1}{2}\tau B (k,\tau),\\
\displaystyle
E (k,\tau) = - \frac{\omega_k^2}{k} C (k,\tau),\;\;
F (k,\tau) = \frac{1}{2}\tau E (k,\tau).
\end{array}
\end{equation}
Таким образом, мы получили неявную (в члены $R_{\eta}$ 
и $R_{\psi}$ входят
значения $\eta^{n+1}_{\vec k}$ и $\eta^{n+1}_{\vec k}$) 
численную схему, сохраняющую
Гамильтониан (\ref{Hamiltonian}).

\subsection{Выбор шага по времени}
\label{TimeChose}
Полученную неявную численную схему (\ref{ImplScheme}) можно 
решать методом простых итераций.
Запишем эту процедуру для $\eta_{\vec k}^{n+1, s}$, где $s$ --- 
это номер итерации, подразумевая
аналогичные действия для  $\psi_{\vec k}^{n+1, s}$.
\begin{itemize}
\item $s = 0$ : $\eta_{\vec k}^{n}$;
\item $s = 1$ : ($\eta_{\vec k}^{n+1} := \eta_{\vec k}^{n}) \longrightarrow  \eta_{\vec k}^{n+1, 1}$;
\item $s = 2$ : ($\eta_{\vec k}^{n+1} := \eta_{\vec k}^{n+1, 1}) \longrightarrow  \eta_{\vec k}^{n+1, 2}$;
\item ...
\end{itemize}
Процесс продолжается, пока не будет достигнута требуемая 
точность $\epsilon$
сохранения Гамильтониана. Однако операция вычисления 
Гамильтониана является довольно
&lt;&lt;дорогой&gt;&gt;. В большинстве случаев достаточно потребовать, чтобы 
выполнялось следующее соотношение:
\begin{equation}
\label{AccuracyCond}
\frac{\sum\limits_{\vec k} \left| 
\eta_{\vec k}^{n+1,s+1} \right|^2 -
\sum\limits_{\vec k} \left| 
\eta_{\vec k}^{n+1,s} \right|^2}{\sum\limits_{\vec k} 
\left| \eta_{\vec k}^{n+1,s} \right|^2} &lt; \epsilon,
\end{equation}
в случае гравитационных волн. Это, практически, требование 
к вычислению потенциальной энергии
с нужной точностью, а в приближении слабой нелинейности 
квадратичная часть Гамильтониана доминирует над остальными. В 
случае капиллярных волн можно соответствующим образом
модифицировать выражение под знаком суммы. Но, как показывает 
практика, даже условия
(\ref{AccuracyCond}) оказывается достаточно.

В процессе вычислений можно контролировать шаг по времени, 
требуя сходимости итерационного
процесса за число шагов не большее чем заданное, $N_{max}$, 
но и не меньшее, чем $N_{min}$, и соответствующим
образом корректируя шаг по времени.

\subsection[Обобщение численной схемы]{Обобщение численной схемы 
в присутствии затухания и накачки}
\label{Tricks}
Приведенная в предыдущем параграфе численная схема может быть 
применена для моделирования
турбулентности волн, которое требует присутствия в модели 
накачки и затухания.
Например, добавим в уравнение (\ref{impl_Ham_psi}) член вида:
\begin{equation}
\dot \psi_{\vec k} = ... - \gamma_k  \psi_{\vec k},
\end{equation}
соответствующий экспоненциальному затуханию гармоник. Учесть 
такую добавку можно практически
не меняя схему вычислений. Используем для этого метод 
расщепления (&lt;&lt;split-step&gt;&gt;), широко применяемый, например, 
для моделирования
распространения волн в оптоволокне. Для этого вычисляем решение 
уравнений (\ref{eta_psi_system})
на текущем шаге без учета затухания. Обозначим это решение 
$\tilde \psi_{\vec k}^{n+1}$. Тогда
решение полной системы можем вычислить по формуле:
\begin{equation}
\psi_{\vec k}^{n+1} = \tilde \psi_{\vec k}^{n+1}
\exp (-\gamma_k \tau).
\end{equation}
Надо отметить, что при моделировании турбулентности волн, нас 
интересует поведение
системы в области, где влияние накачки и затухания незначительно 
(&lt;&lt;инерционный интервал&gt;&gt;).
Поэтому нет необходимости применять методы, обеспечивающие 
слишком высокую точность
в рассчете влияния затухания. Кроме того, применяя метод 
расщепления, мы избавляемся 
от ограничения на величину шага по времени, вносимого затуханием:
\begin{equation}
\max (|\gamma_k|)\tau &lt; 1.
\end{equation}
Аналогичным способом можно учесть и накачку.

\subsection{Заключение}
\label{SchemeConcl}
Вычисляя дискретную вариацию Гамильтониана, нам удалось 
построить численную схему для
решения динамических уравнений (\ref{eta_psi_system}), 
сохраняющую Гамильтониан. В этом
случае мы получаем удобный инструмент для контроля за величиной 
шага по времени. Данная 
схема легко обобщается на случай наличия в уравнениях накачки и 
затухания. Это позволяет
использовать полученную схему при моделировании турбулентности, 
а так же
при рассчете свободной эволюции поверхностных волн.


\section[Дискретная вариация Гамильтониана]{Дискретная вариация 
Гамильтониана}
\label{discrHamvar}

Выпишем почленно разность Гамильтонианов $H^{n+1}-H^{n}$, пользуясь свойством оператора
$\hat k$:
\begin{equation}
\int g\hat k f\, d^2 r = \int f\hat k g \, d^2 r.
\end{equation}
Далее, для краткомти, опустим знаки интегралов.

Квадратичные члены:
\begin{equation}
\begin{array}{lll}
\displaystyle
\delta \left(\frac{1}{2} \int \psi \hat k \psi d^2 r\right) &amp;\longrightarrow&amp;
\frac{1}{2}\delta \psi \hat k \left(\psi^{n+1} + \psi^{n}\right);
\end{array}
\end{equation}

\begin{equation}
\begin{array}{lll}
\displaystyle
\delta \left(\frac{1}{2}\int \frac{\omega_k^2}{|\vec k|} \left |\eta_{\vec k}\right|^2 d \vec k \right) 
&amp;\longrightarrow&amp; \frac{1}{2}\delta \eta_{\vec k} \frac{\omega_k^2}{|\vec k|}
\left(\eta^{n+1}_{\vec k} + \eta^{n}_{\vec k}\right).
\end{array}
\end{equation}

Кубические члены:
\begin{equation}
\begin{array}{lll}
\displaystyle
\delta \left(\frac{1}{2}\int \eta \left| \nabla \psi \right|^2 d^2 r \right)
&amp;\longrightarrow&amp; -\frac{1}{4}\delta \psi 
\left(\nabla,(\eta^{n+1}+\eta^{n})\nabla (\psi^{n+1}+\psi^{n})\right) + \\
\displaystyle
&amp;&amp;+ \frac{1}{4}\delta \eta \left(\left| \nabla \psi^{n+1} \right|^2 + \left| \nabla \psi^{n} \right|^2\right);
\end{array}
\end{equation}

\begin{equation}
\begin{array}{lll}
\displaystyle
\delta \left(\frac{1}{2}\int \eta \left( \hat k \psi \right)^2 d^2 r\right)
&amp;\longrightarrow&amp; -\frac{1}{4}\delta \psi 
\hat k \left(\eta^{n+1}+\eta^{n})\hat k (\psi^{n+1}+\psi^{n})\right) - \\
\displaystyle
&amp;&amp; - \frac{1}{4}\delta \eta \left((\hat k \psi^{n+1})^2 + (\hat k \psi^{n})^2 \right).
\end{array}
\end{equation}

Члены четвертого порядка:
\begin{equation}
\begin{array}{lll}
\displaystyle
\delta \left(\frac{1}{2}\int \left(\eta \hat k \psi \right) \hat k \left(\eta \hat k \psi \right) d^2 r\right)
&amp;\longrightarrow&amp; \frac{1}{4}\delta \psi 
 \hat k \left[ \left(\eta^{n+1} + \eta^{n}\right)\right.\times\\
 \displaystyle
&amp;&amp;\times\left. \hat k \left(\eta^{n+1} \hat k \psi^{n+1} + \eta^{n} \hat k\psi^{n}\right)\right] + \\
\displaystyle
&amp;&amp; +\frac{1}{4}\delta \eta
\hat k \left[ \left(\psi^{n+1} + \psi^{n}\right)\right.\times\\
\displaystyle
&amp;&amp;\times\left.\hat k \left(\eta^{n+1} \hat k \psi^{n+1} + \eta^{n} \hat k\psi^{n}\right)\right];
\end{array}
\end{equation}

\begin{equation}
\begin{array}{lll}
\displaystyle
\delta \left(\frac{1}{2}\int (\triangle \psi) (\hat k \psi) \eta^2 d^2 r\right)
&amp;\longrightarrow&amp; \frac{1}{8}\delta \psi 
 \triangle \left[ ((\eta^{n+1})^2 + (\eta^{n})^2)\right.\times\\
  \displaystyle
 &amp;&amp;\times\left. \hat k (\psi^{n+1} + \psi^{n})\right] + \\
 \displaystyle
 &amp;&amp;+\frac{1}{8}\delta \psi 
\hat k \left[ ((\eta^{n+1})^2 + (\eta^{n})^2) \right.\times\\
 \displaystyle
&amp;&amp;\times\left.\triangle (\psi^{n+1} + \psi^{n})\right] + \\
\displaystyle
&amp;&amp; +\frac{1}{4}\delta \eta (\eta^{n+1} + \eta^{n})\times\\
\displaystyle
&amp;&amp;\times(\triangle\psi^{n+1}\hat k \psi^{n+1} + \triangle\psi^{n}\hat k \psi^{n}).
\end{array}
\end{equation}
</pre></body></html>