\lhead[\fancyplain{}{\textbf{\textsf{\large\thepage}}}]
    {\fancyplain{}{\textbf{\textsf{\large\rightmark}}}}
\rhead[\fancyplain{}{\textbf{\textsf{\large\leftmark}}}]
    {\fancyplain{}{\textbf{\textsf{\large\thepage}}}}
%
\newpage 
\chapter{Конформные преобразования и Гамильтонов формализм в
гидродинамике несжимаемой идеальной жидкости со 
свободной границей}
\label{CONF-MAP}

В этой главе представлены результаты, опубликованные с работах
\cite{KSZ94, Toward, PhysPlas, HighJac, OnDyn, NewMeth, 
Modinst05}.

Глава организована следующим образом. В разделе \ref{LAGRANG}
вводится описание динамики свободной поверхности жидкости конечной глубины
исходя из вариационного принципа и используя конформное отображение.
Неявные уравнения на комплексный потенциал скорости и конформное отображение в полосу
возникают как уравнения Эйлера-Лагранжа. 
В разделе \ref{EXPLICIT} получена явная формулировка этих уравнений. 
Разложение по обратным степеням якобиана рассмотрено в разделе \ref{SOME_CASES}.
Там же мы анализируем решения в виде
"пальцев" а также автомодельные решения для полной системы
уравнений в отсутствии поля тяжести и капиллярности.
Следующий раздел главы, \ref{CUBICS}, посвящен
выводу кубических уравнений. И, наконец, в последнем 
разделе \ref{FREAK_SIM} представлены результаты численного 
моделирования образования волн-убийц, и опрокидывания волн.
 
В Приложении \ref{APPEND-Stationary_Waves}
которое относится к этой главе, рассматриваются
стационарные волны (в присутствии поля тяжести) и вычисляется
зависимость частоты волн от амплитуды волн (нелинейную поправку к
частоте). 
%А в Приложении  \ref{ModulInstStkesWaves} выводится 
%инкремент модуляционной
%неустойчивости из конформных уравнений.


\section{Введение}  
\setcounter{equation}{0}

Двумерное потенциальное течение идеальной жидкости в области,
ограниченной свободной поверхностью и плоским дном, 
представляет собой
один из классических обектов исследований гидродинамики. Метод
конформных преобразований традиционен для этой задачи. 
Первый важный
результат в этой области датирован серединой прошлого века 
и принадлежит
Стоксу ~\cite{S}. Им было показано, что с ростом 
амплитуды стационарных
гравитационных волн происходит заострение 
гребней волн и образуется
угол, равный $120^0$. В двадцатые годы этого
века в этом направлении были выполнены классические 
работы Некрасова
~\cite{N} и Леви-Чивита~\cite{LC}, 
математические аспекты которых дали
мощный импульс ряду направлений теории интегральных уравнений
и функционального анализа. Впоследствие не раз метод конформных
отображений находил свое применение в задачах со 
свободной границей
(см., например, книгу Стокера ~\cite{St} 
и ссылки в ней).

Для исследования нестационарной динамики поверхности 
в шестидесятые годы
и позже получил развитие подход, основанный на 
лагранжевом описании
~\cite{B,BMO}. Ряд авторов (см. ~\cite{John}, обзор~\cite{LH}
и ссылки в нем) пытался применить метод аналитического продолжения
по лагранжевым переменным. Однако, эти координаты не допускают
подходящего конформного преобразования, т.к. их аналитическое
продолжение имеет особенности в обеих полуплоскостях комплексного
переменного. Недавно Танвеер ~\cite{T,T1} предложил применить конформное
отображение к нестационарной задаче прямо в эйлеровом описании. Он
использовал для периодической (вдоль горизонтальной переменной)
задачи для случая глубокой воды конформные отображение области,
занятой жидкости, во внутренность единичного круга. Однако,
уравнения  оказались достаточно сложны, а их 
аналитический и численный
анализ - затруднительным.

Удобный подход описания потенциальных течений жидкости со свободной
поверхностью для произвольной размерности пространства основан на использовании
канонического формализма, известного с 1968 г. (см.~\cite{Z68}).
Для двумерной геометрии наиболее естественным является подход,
сочетающий канонический формализм и конформные отображения. Этот подход
был осуществлен в работе~\cite{Toward} для случая глубокой воды с учетом поля
тяжести и поверхностного натяжения. Уравнения, полученные в этой работе,
могут быть записаны в двух разных формах -- неявной (не разрешенной
относительно производных по времени формы поверхности и потенциала
на поверхности) и в явной (с разрешенной относительных временных
производных). Неявные уравнения просты и симметричны. В отсутствии
поверхностного натяжения они содержат только квадратичную нелинейность.
Явные уравнения, хотя и не так просты как неявные, однако
весьма удобны для
численного интегрирования.

Наиболее интересные нерешенные проблемы в гидродинамике со свободной
поверхностью связаны с образованием особенностей (опрокидывание
волн) и с существенными изменениями геометрии поверхности --
с генерацией волн, струй, капель и брызг. В некоторых случаях
~\cite{Short} уравнения могут быть эффективно исследованы с помощью
традиционной теории возмущений на фоне плоской поверхности.
Как было показано в ~\cite{Short}
для глубокой воды в отсутствии внешних сил и капиллярного
натяжения в главном порядке уравнение для потенциала оказывается
автономным -- несодержащим $\eta$
и при аналитическом продолжении в нижнюю полуплоскость становится
дифференциальным уравнением типа Хопфа. Исследование его показывает,
что для практически любого начального  условия за конечное время
возникают особенности типа опрокидывания. С математической точки
зрения это соответствует движению особенностей потенциала -- точек
ветвления к действительной оси. Анализ всех возможных особенностей
поверхности показывает, что только слабые особенности корневого типа
согласуются с приближением малых углов отклонения поверхности (подробнее
см.~\cite{Short}). Данное приближение не справедливо
для сингулярности типа углов, когда якобиан преобразования
уже не близок к единице.
Примечательно, что для больших значений якобиана в некоторой области
уравнения также могут быть эффективно изучены. Первый шаг в этом направлении
был сделан в работе~\cite{Toward}. Несмотря на то, что уравнения изначально
нелокальны, процедура разложения по обратным степеням $J$
тем не менее может быть
развита. Особо просто может быть получено уравнение в первом порядке.
Интересно, что в этом случае система уравнений на форму поверхности
и потенциал на ней сводится к одному уравнению, совпадающему
с хорошо известным уравнением лапласовского роста (УЛР). Это
уравнение интегрируемо в том смысле, что оно допускает бесконечное число
частных решений, выраженных в элементарных функций. Среди них - решения,
описывающие образование структур типа пальцев, весьма похожих на
решения такого типа, полученные Саффманом и 
Тейлором ~\cite{ST58}).
\newline В настоящей главе представлены  результаты более детального анализа
такого типа решений, анонсированных в короткой статье
~\cite{Toward}. В данной главе также рассматривается, каким образом
модифицируются полученные результаты для глубокой воды
~\cite{KSZ94,Short} на случай жидкости  конечной глубины. В частности
показано, что исследование особенностей, возникающих на
поверхности жидкости конечной глубины, для малоуглового приближения
путем аналитического продолжения в полосу сводится к дифференциальному.
Эта же процедура дает возможность записать уравнения в явном и неявном
видах в общем положении для случая конечной глубины.

 
\section{Лагранжиан для идеальной жидкости в конформных переменных} 
\label{LAGRANG}

Пусть несжимаемая жидкость занимает в плоскости
$(x,y)$ область, ограниченную свободной поверхностью
\begin{equation}
y=\eta(x,t), \hspace{.4in} -\infty < x < \infty ,
\end{equation}
и дном $y=-\bar h.$
Будем считать течение жидкости потенциальным $V = \nabla\Phi$,
где $\Phi$ подчиняется уравнению Лапласа
%
\begin{equation}\label{LapEq}
  \Delta\Phi = 0.
\end{equation}
%
Это уравнение должно быть рассмотрено вместе со
следующими граничными условиями:
%
\begin{equation}\label{kine}
\frac{\partial\eta}{\partial t}
+ \frac{\partial\Phi}{\partial x} \frac{\partial\eta}{\partial x}
= \left. \frac{\partial\Phi}{\partial y}\right|_{y=\eta}\,,
\end{equation}
%
\begin{equation}\label{Euler}
\frac{\partial\Phi}{\partial t} + \frac{1}{2}
\Big(\frac{\partial\Phi}{\partial x}\Big)^{2} +
\left. \frac{1}{2}\Big(\frac{\partial\Phi}{\partial y}\Big)^{2}
\right|_{y=\eta}
+ g \eta = 0   \,,
\end{equation}
%
\begin{equation}
\left. \frac{\partial \Phi}{\partial y}\right|_{y=-\bar h} = 0\,.
\end{equation}
\begin{equation}
\label{decaying}
\frac{\partial \Phi}{\partial x} = 0, |x|\rightarrow\infty .
\end{equation}

где в (\ref{Euler}) $g$ -- ускорение поля тяжести. Введем величину
$\Phi$ -- значение потенциала на свободной поверхности:
\begin{equation}
\Psi (x,t) = \left. \Phi (x,y,t)\right|_{y=\eta} = \Phi (x,\eta(x,t),t)\,.
\end{equation}
Как было установлено в~\cite{Z68}, $\eta(x,t)$ и $\Psi(x,t)$
являются канонически сопряженными величинами:
\begin{eqnarray}\label{2.7}
\frac{\partial\eta}{\partial t} &=& \frac{\delta H}{\delta \Psi}\,,
 \nonumber\\
\frac{\partial\Psi}{\partial t} &=& - \frac{\delta H}{\delta\eta}\,,
\end{eqnarray}
а гамильтониан $H$ совпадает с полной энергией жидкости:
\begin{eqnarray}\label{2.8}
H &=& T + U\,, \nonumber\\
T &=& \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} dx \int_{-\eta}^{\eta}
(\nabla\Phi)^2 dy\,,\\
U &=& \frac{g}{2} \int \eta^{2} dx\,.
\end{eqnarray}
Уравнения (\ref{2.7}) в этом случае следуют из вариационного
принципа Гамильтона:
\begin{equation}
\delta S = 0\,, \hspace{.4in}S = \int L dt\,,
\end{equation}
\begin{equation}\label{Lagr_for_Balk}
L = \int{ \Psi \frac{\partial\eta}{\partial t} dx} - H\,.
\end{equation}

Совершим конформное отображение области, занятой жидкостью,
в плоскости $z=x + iy$,
\begin{equation}
-\infty < x < \infty,\quad -\bar h\leq y \leq \eta (x,t)\,,
\end{equation}
в полосу,
\begin{equation}
-\infty < u < \infty,\quad  -h\leq v\leq 0\,,
\end{equation}
в плоскости $w = u + iv$\footnote{Если $\eta\rightarrow 0$ при
$|x|\rightarrow\infty$, то $\bar h = h$. В периодическом случае
$\bar h$ и $h$ различаются.}.
%
Пусть это преобразование переводит свободную границу в прямую
$v=0$, так что форма поверхности задается параметрически
в виде
%
\begin{equation}
y=y(u,t), \quad x=u+\tilde x (u,t)\,.
\end{equation}
%
Функции $y$ и $\tilde x$ связаны между собой соотношением
\begin{equation}
y=\hat{R}\tilde{x}\,.
\end{equation}
Здесь $\hat{R}$ -- интегральный оператор вида:
%
\begin{equation}
\hat{R} f(u) = \frac{1}{2h} P.V.\int_{-\infty}^{\infty}\frac{f(u')}
{\sinh \pi/2h (u'-u)} du'\,.
\end{equation}
В Фурье-представлении он локален
\begin{equation}
y_k = R_k x_k,\hspace{.4in} R_k=i \tanh kh\,.
\end{equation}

В предельном случае бесконечно глубокой воды $h\rightarrow\infty$
$\hat{R}$ переходит в преобразование Гильберта:
%
\begin{equation}
\lim_{h\rightarrow\infty} \hat{R} = \hat{H}\,,
\end{equation}
%
\begin{equation}
\hat{H} f =\frac{1}{\pi}P.V.\int_{-\infty}^{\infty}\frac{f(u')du'}{u' -u}\,.
\end{equation}
%
Обратный к  $\hat R$ оператор $\hat{T}$, определяемый как
\begin{equation}\label{unitar}
\tilde{x}=\hat{T}y,
\quad\hbox{с}\quad
\hat{R}\hat{T}=\hat{T}\hat{R}=1\,,
\end{equation}
имеет вид:
\begin{equation}
\hat{T}f=\frac{1}{h}P.V.\int_{-\infty}^{\infty}\frac{f(u')}
{1-e^{-\pi/h (u-u')}}du'\,.
\end{equation}
Его фурье-образ равен:
$$
T_{k}=-i\coth kh\,.
$$
Асимптотически при $h\rightarrow\infty$,
$$
\hat{T}\rightarrow -\hat{R}\,,
\quad\hbox{но}\quad
\hat{T}^{-1} \neq -\hat{R}\,.
$$
Оба оператора $\hat{R}$ и $\hat{T}$ антиэрмитовы:
\begin{equation}
\hat{R}^{+} = -\hat{R}
\quad\hbox{и}\quad
\hat{T}^{+} = - \hat T\ .
\end{equation}

С помощью оператора $\hat R$ для любой действительной
достаточно гладкой функции $\phi(w)$, которая задана на
действительной оси и затухает на бесконечности
$u\rightarrow\infty$, можно построить комплексную функцию
$\theta$:
\begin{equation}
\label{ext}
\theta =\phi + i\hat R\phi,
\end{equation}
которая аналитически продолжима в полосу $0\leq v\leq -h$.
Реальная часть этой функции, являясь гармонической функцией в полосе,
автоматически будет удовлетворять граничному условию
$$
\left. \frac{\partial \phi}{\partial v}\right|_{v= -h}=0.
$$

Совершая конформное преобразование, потенциал $\Phi=\Phi(u,v)$
остается гармонической функцией в полосе, т.е. удовлетворяет
уравнению Лапласа:
\begin{equation}
\frac{\partial^{2}\Phi}{\partial u^{2}} +
\frac{\partial^{2}\Phi}{\partial v^{2}}=0\,,
\end{equation}
с граничными условиями:
%
\begin{equation}
\left.\frac{\partial\Phi}{\partial v}\right|_{v=-h} =0
\quad\hbox{и}\quad
\left.\Phi\right|_{v=0} = \Psi(u,t)\,.
\end{equation}
Применяя процедуру (\ref{ext}) к функции $\Psi$, мы приходим к
комплексному потенциалу
$$
\Theta =\Phi + i\xi,
$$
где $\Phi$ и функция тока $\xi$ гармонические функции в полосе
и удовлетворяют на дне соответствующим граничным условиям. На
действительной оси $\Theta =\Psi + i\hat R\Psi$ и поэтому
\begin{equation}
\left.\frac{\partial\Phi}{\partial v}\right|_{v=0}
= -\frac{\partial}{\partial u}\hat{R}\Psi=
-\hat{R}\Psi_{u}\,,
\end{equation}
так что кинетическая энергия имеет вид:
\begin{equation}
T=-\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty}\Psi \hat{R}\Psi_{u} du\,.
\end{equation}
Далее имеем:
$$
dx=x_u du\,,
$$
\begin{equation}
\eta_{t} dx = (y_t x_u - x_t y_u) du\,,
\end{equation}
а лагранжиан выражается как
%
\begin{equation}\label{Lagrange}
L = \int_{-\infty}^{\infty} \Psi (y_t x_u - x_t y_u)du
+ \frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty}
\Psi \hat{R} \Psi_{u} du - \frac{g}{2}\int_{-\infty}^{\infty}y^2 x_u du
+ \int_{-\infty}^{\infty}f(y - \hat{R}\tilde{x}) du\,.
\end{equation}
%
Здесь $f$ -  множитель Лагранжа, вариация по которому выдает соотношение
(\ref{unitar}). Вариация $S$ по $\Psi$ дает следующее уравнение
\begin{equation}\label{2.27}
y_t x_u - x_t y_u = - \hat{R}\Psi_u
\end{equation}
или
%\begin{equation}\nonumber
$$(1 + \tilde{x}_{u}) y_t - \tilde{x}_{t} y_u = - \hat{R}\Psi_{u}\,.$$
%\end{equation}
Средний уровень жидкости должен быть постоянен, поэтому
\begin{equation}\label{2.28}
\int_{-\infty}^{\infty} (y_t x_u - x_t y_u) du = 0\,.
\end{equation}
Из (\ref{2.27}) можно найти
\begin{equation}\label{2.29}
\Psi = - \hat{T} \partial^{-1}_u (y_t x_u - x_t y_u) + C(t)\,.
\end{equation}
Подставляя (\ref{2.29}) в (\ref{Lagrange}) и используя равенство
(\ref{2.28}), получаем
\begin{equation}\label{2.30}
L = T - U + \int_{-\infty}^{\infty} f(y - \hat{R} \tilde{x}) du\,.
\end{equation}
Если $y=y(u,t)$ задана в качестве координаты поверхности, то последний
член в (\ref{2.30}) можно опустить и в результате мы приходим
к стандартному выражению для лагранжиана:
\begin{equation}
L = T - U\,.
\end{equation}

Рассмотрим теперь другие уравнения Лагранжа-Эйлера:
$$
\frac{\delta S}{\delta y} = 0
\quad\hbox{и}\quad
\frac{\delta S}{\delta x} = 0\,.
$$
Они имеют вид:
\begin{equation}\label{2.32}
\Psi_t x_u - \Psi_u x_t + g y x_u = f\,,
\end{equation}
\begin{equation}\label{2.33}
\Psi_t y_u - \Psi_u x_t + g y y_u = -\hat{R} f\,,
\end{equation}
которые эквивалентны уравнению
\begin{equation}\label{2.34}
\Psi_t y_u - \Psi_u y_t + g y y_u + \hat R(\Psi_t x_u
- \Psi_u x_t + g y x_u) = 0\,.
\end{equation}

Уравнения (\ref{2.27}) и (\ref{2.34})
образуют полную систему
уравнений, описывающих потенциальное течение жидкости со свободной
поверхностью. Важно отметить, что они содержат только
квадратичную нелинейность - этот факт был получен впервые в \cite{KSZ94}.
Уравнения (\ref{2.27}) и (\ref{2.34})
не разрешены относительно временных производных --
заданы в неявном виде. Кроме того, отметим, что уравнения (\ref{2.27}) и (\ref{2.34})
почти не меняются при переходе к случаю жидкости бесконечной глубины. Необходимо лишь заменить
оператор $\hat R$ на $\hat H$.


Заметит, что уравнения (\ref{2.27}) и (\ref{2.34}) могут быть использованы, чтобы получить Лагранжево описание динамики свободной поверхности. 
%Для простоты мы рассмотрим сучай бесконечной глубины, ( $\hat R = \hat H$).
Действительно, из них легко получить:
\begin{equation}\label{Funk}
\Psi=-\partial^{-1} \hat T (y_t x_u -x_t y_u)
\end{equation}
Подставляя (\ref{Funk} ) в выражение(\ref{Lagr_for_Balk}), Лагранжиан можно выразить
только через форму границы. Этот результат был получен независимо в \cite{Balk96} для
случая жидкости бесконечной глубины. 
 
\subsection{Уравнения движения в явной форме}
\label{EXPLICIT}

Сейчас мы покажем, что система (\ref{2.27}), (\ref{2.32}) и (\ref{2.33})
может быть разрешена относительно временных производных от
 $\Psi$ и $z$, заданных при $v=0$.
%\begin{eqnarray}\label{3.1}
%y_t x_u - x_t y_u &=& - \hat H \Psi_u\,,\\
%\Psi_t x_u - \Psi_u x_t + g y x_u &=& f\,,\\
%\Psi_t y_u - \Psi_u y_t + g y y_u &=& - \hat H f\,.
%\end{eqnarray}

Поскольку $z=x+iy$, мы имеем $x=\frac{1}{2}(z+z^*)$ и $y=\frac{1}{2i}(z-z^*)$.
Поэтому уравнение (\ref{2.30}) может быть записано как
%
$$
z_t z^{*}_u - z^{*}_t z_u = -2i \hat R \Psi_u
$$
или
\begin{equation}
\mbox{Im}\left[\frac{z_t}{z_u}\right]
=\,\frac{\hat R \Psi_u}{|z_u|^2}\bigg\vert_{v=0}.
\end{equation}
Отсюда функция $\frac{z_t}{z_u}$, являясь аналитической в полосе, может
быть восстановлена полностью с помощью (\ref{ext}):
\begin{equation}
\label{zt}
z_t = -z_u (\hat{T} + i)\frac{\hat R\Psi_u}{|z_u |^2}\,,
\end{equation}
или
\begin{equation}\label{3.8}
y_t = -(y_u \hat T + x_u)\frac{\hat R\Psi_u}{|z_{u}|^2}\,,
\end{equation}
\begin{equation}\label{3.9}
x_t = (y_u - x_u \hat T) \frac{\hat R\Psi}{|z_{u}|^2}\,.
\end{equation}
Вычитая (2.35), умноженное на $x_u$, из (2.36), умноженное на $y_u$, и
используя (\ref{2.30}), приходим к уравнению
%
\begin{equation}
-\Psi_u \hat R \Psi_u = y_u f + x_u \hat H f\,.
\end{equation}
Обе части этого уравнения могут быть представленыы как мнимые части
аналитических функций в полосе:
$$
-\frac{1}{2}\mbox{Im}(\Psi_{u} +i\hat R \Psi_{u})^2  = \mbox{Im}
[z_u(f+i\hat Rf)].
$$
Отсюда благодаря аналитичности мы заключаем, что функции
совпадают
$$
-\frac{1}{2}(\Psi_{u} +i\hat R \Psi_{u})^2  =
z_u(f+i\hat Rf)
$$
или
\begin{equation}\label{3.11}
f+i\hat Rf=-\frac{1}{2z_u}(\Psi_{u} +i\hat R \Psi_{u})^2.
\end{equation}

Далее вычтем уравнение (2.35), умноженное на $x_t$, из уравнения
(2.36), умноженное на $y_t$. В результате имеем:
%
\begin{equation}
(\Psi_t + g y) (y_t x_u - x_t y_u) = y_t f + x_t \hat R f =
\mbox{Im}[z_t(f+i\hat Rf)] \,.
\end{equation}
Временные производные $x_t , y_t , z_t$ исключаются при помощи
(\ref{2.30}), (\ref{zt}). Отсюда после простых вычислений
окончательно получаем
\begin{equation}
\label{bern}
\Psi_t + g y = -\frac{(\Psi_u)^2 - (\hat R\Psi_u)^2}{2J} -
\Psi_u \hat T (\frac{\hat R \Psi_u}{J}) \,,
\end{equation}
где $J=|z_u|^2$.
Используя тождество
$$
(\Psi_u)^2 - (\hat R\Psi_u)^2=2\hat T(\Psi_u\hat R\Psi_u) \,,
$$
которое следует из аналитичности функции $(\Psi_u +i\hat R\Psi_u)^2$,
последнее уравнение может быть переписано в виде:
\begin{equation}
\label{bern1}
\Psi_t + g y = -\frac{\hat T(\Psi_u \hat R \Psi_u)}{J}
- \Psi_u \hat T (\frac{\hat R\Psi_u}{J})\,.
\end{equation}

Таким образом, мы имеем пару уравнений
 (\ref{zt}) и (\ref{bern}) (или \ref{bern1})
для $z$ и $\Psi$, разрешенных относительно временных производных.
Легко показать, что кинематическое условие (2.3) после
конформного преобразования переходит вначале в
(\ref{kine}), а затем может преобразовано в уравнение (3.2).
Соответственно, динамическое граничное условие
(\ref{Euler}) на свободной поверхности переходит с помощью
(\ref{zt})  в уравнение (\ref{bern}) или в
эквивалентную форму (\ref{bern1}).

В случае глубокой воды ($h\rightarrow\infty$) уравнения (\ref{zt}),
(\ref{bern}) и (\ref{bern1}) приобретают вид:
\begin{equation}
\label{ztd}
z_t = z_u (\hat{H} - i)\frac{\hat H\Psi_u}{|z_u |^2}\,,
\end{equation}

\begin{equation}
\label{bernd}
\Psi_t + g y = -\frac{(\Psi_u)^2 - (\hat H\Psi_u)^2}{2J} +
\Psi_u \hat H (\frac{\hat H \Psi_u}{J})\,,
\end{equation}

\begin{equation}
\label{bern1d}
\Psi_t + g y = \frac{\hat H(\Psi_u \hat H \Psi_u)}{J}
+ \Psi_u \hat H (\frac{\hat H\Psi_u}{J})\,.
\end{equation}

{\it Замечание.} Уравнения (\ref{ztd}) и (\ref{bernd}) были получены в работе \cite{KSZ94}. Однако, недавно мы обнаружили, что подобные уравнения для случая бесконечной глубины
были получены еще в 1973 году Овсянниковым \cite{Ovsyann}.


Стационарные волны описаны в Приложении \ref{APPEND-Stationary_Waves}.

\section{Некоторые частные случаи}
\label{SOME_CASES}

\subsection{Приближение большой кривизны}

Пусть сингулярность функции $z=z(w)$ расположена на мнимой оси верхней
полуплоскости  и достаточно близка к началу координат. Тогда вблизи нуля
величина $J=J(u)$ является большой величиной, так что
$1/J$ в этой области является гладкой функцией, локально близкой к
нулю. Для такого случая может быть предложена другая приближенная
теория. Здесь
мы рассмотрим только случай бесконечной глубины. Будем искать решение
уравнения (3.10) в виде:
%
\begin{equation}\label{5.1}
\Psi = -\frac{1}{2} \int \lambda^2 dt + \lambda(t) y + \tilde{\Psi}\,,
\end{equation}
где
\begin{equation}\label{a-lambda}
\dot\lambda = -g
\end{equation}
так, что $\lambda=\lambda(t)=\lambda_{0} -gt$ является линейной функцией
времени.

Смысл отделения $\tilde{\Psi}$ от $\Psi$ состоит в следующем. Пусть
сингулярность $\Psi$ находится на малом расстоянии $\delta$
от вещественной оси. Тогда функции
$\Psi(u)$ и $y(u)$ существенно меняют свое значение в области
$u\simeq\delta$ и ключевое предположение состоит в том, что
потенциал
(\ref{5.1})
 $\tilde{\Psi}$ является "гладкой" функцией, существенно
изменяясь
только на масштабах $\sim 1$. Чтобы проверить это 
предположение, мы
должны решить (или оценить) решение уравнения для $\tilde{\Psi}$.
Для того, чтобы получить это уравнение, мы будем 
использовать тождества:
%
\begin{eqnarray}
(1-i\hat H)(\tilde{x}_u + iy_u)^2 &=&0\,,\\
(1+i\hat H)(\frac{1}{z_u^*}-1) &=&0\,.
\end{eqnarray}
Из них следует, что
%
\begin{equation}
\hat H(y_u \hat H y_u) =\frac{1}{2}\left[(\tilde{x}_u)^2 - y^{2}_u\right]\\
\end{equation}
и
\begin{equation}
\frac{y_u}{J} + \hat H (\frac{x_u}{J} -1) =0\,.
\end{equation}
После простых преобразований мы получаем
уравнение для $\tilde{\Psi}$.
%
\begin{eqnarray}\label{PSI}
\frac{\partial\tilde{\Psi}}{\partial t}
&=& \frac{\lambda^2}{2J} + \lambda\left(\frac{1}{J}\hat H\tilde{\Psi}_u
+ \tilde{\Psi}_u \hat H (\frac{1}{J} -1)\right)
\nonumber\\
&&+\ \frac{1}{2J}\left((\hat H\tilde{\Psi}_u)^2
- \tilde{\Psi}^{2}_u \right)+
\tilde{\Psi}_u \hat H \frac{\hat H\tilde{\Psi}_u}{J}\,.
\end{eqnarray}

Вся информация о форме поверхности "спрятана" в функции
$1/J$, которая согласно нашему предположению является гладкой.
Поэтому мы можем полагать, что потенциал $\tilde{\Psi}$
также является гладкой функцией на масштабах $\simeq\delta$.

В первом приближении мы положим
%
\begin{equation}
\tilde{\Psi} = 0\,.
\end{equation}

Соответствующее уравнение для формы поверхности, записанное в неявом
виде, выглядит чрезвычайно просто:
%
\begin{equation}\label{5.8}
y_t (1+\tilde{x}_u) - \tilde{x}_t y_u =\lambda\tilde{x}_u\,.
\end{equation}
Обозначим через $\tilde{z} = \tilde{x} + iy$ \,.
В терминах $\tilde{z}$ уравнение (\ref{5.8}) может быть записано
следующим образом:
%
\begin{equation}
\label{LGEf}
\tilde{z}_t - \tilde{z}^{*}_t +\tilde{z}_t \tilde{z}^{*}_u
-\tilde{z}_{t}^* \tilde{z}_u = i\lambda(\tilde{z}_u  +\tilde{z}^{*}_u)\,.
\end{equation}
Введением новой функции
$$
z=\tilde{z} + u- i\int \lambda dt
$$
уравнение (\ref{LGEf}) преобразуется к виду
\begin{equation}\label{LGE}
\mbox{Im}(z_t z^{*}_u) =-\lambda\,.
\end{equation}
В простейшем случае
$\lambda=const$, это уравнение известно в литературе с 1945 г.
~\cite{PK45,G45}. Обычно его называют Laplacian
Growth Equation (LGE) -- уравнение лапласовского
роста. Оно широко используется при описании динамики
границы двух жидкостей с существенно различными вязкостями,
движения границы раздела двух фаз (например, льда и воды) и
роста дендритов в частности.


\subsection{``Пальцеобразные'' решения}

Уравнение (\ref{LGEf}) является интегрируемым. Оно имеет
широкий класс специальных решений ($n$-"пальцевые" решения):
\begin{equation}
\label{N-finger}
\tilde z = \sum_{n=1}^{N} q_n \log (u - a_n(t))\,.
\end{equation}
где $N$ - любое положительное целое число (включая $N=\infty$), $q_n$
комплексные постоянные, а $\mbox{Im}a_n > 0$. Для того, чтобы выполнить
условие $\tilde z\rightarrow 0$ при $|u|\rightarrow\infty$,
необходимо потребовать
\begin{equation}
\label{constrain}
\sum_{n=1}^{N} q_n = 0\,.
\end{equation}
Однако условие (\ref{constrain}) с физической точки зрения не существенно,
поскольку для произвольного выбора $q_n$ ему можно удовлетворить
добавлением к (\ref{N-finger}) еще одного слагаемого:
$$-\left(\sum_{n=1}^{N} q_n\right)\log (u-a_{N+1}(t)),
\hspace{1cm} \mbox{Im} a_{N+1}\rightarrow +\infty .$$
Подставляя (\ref{N-finger}) в (\ref{LGEf}) и раскладывая сумму на
простые дроби, мы получаем систему обыкновенных дифференциальных
уравнений для $a_n$:
\begin{equation}
\label{ODE}
\dot a_n + \sum_m q^*_m\frac{\dot a_n-\dot a^*_m}{a_n-a^*_m} =
-i\lambda(t)\,.
\end{equation}
Интегрирование по времени приводит к следующей системе
трансцендентных уравнений:
\begin{equation}
\label{SODE}
a_n +\sum_m q^*_m\log(a_n-a^*_m) =-\int\lambda(t)dt + C_n\,,
\end{equation}
где $C_n$ - произвольные комплексные константы.
Простейшим решением этого типа является "однопальцевое":
\begin{equation}
\label{1-finger}
\tilde z = -i\log (u-ib(t)),
\end{equation}
где действительная величина $b$ определяется из
\begin{equation}
\label{boft}
b + \log b = -\int\lambda dt + \log r \,.
\end{equation}
Здесь $r$ -- некоторая действительная константа.

Асимптотическое поведение $b$ при $\int\lambda dt\rightarrow +\infty$
имеет следующий вид:
\begin{equation}
\label{asymp}
b \simeq r\exp{(-\int\lambda dt)}\rightarrow 0,
\hspace{1cm} t\rightarrow\infty\,.
\end{equation}
В рассматриваемом случае мы имеем:
%
\begin{eqnarray}
\label{YX1/J}
y &=& -\log\sqrt{u^2 + b^2(t)}\,, \cr
\tilde x &=& \arctan\frac{u}{b(t)}\,, \cr
\frac{1}{J} &=& \frac{u^2 +b^2(t)}{(1+b(t))^2 +u^2}\,.
\end{eqnarray}
%
Пусть $\int\lambda dt$ является большим положительным числом.
Тогда
\begin{equation}
\label{1/J->0}
\frac 1J \rightarrow \frac{u^2}{1+u^2}
\end{equation}
мало при $u\simeq b$ и действительно является гладкой функцией.
Из ~(\ref{a-lambda}) следует, что
\begin{equation}
\label{LgC}
\int\lambda dt = -\frac 12 gt^2 + Ct\,.
\end{equation}
Для положительных $g$ (устойчивый случай) $\int\lambda dt$
может быть большим только в течении конечного времени
(если $C$ положительно и велико). Для $g\leq 0$ (безразлично
устойчивый и неустойчивый случаи) рассматриваемое нами
приближение улучшается при $t\rightarrow\infty$. Для "однопальцевого"
решения
\begin{equation}
\label{1-f-sol}
y(0,t) = -2\log b(t) \simeq\int\lambda dt\,
\mbox{ при $t\rightarrow\infty$}.
\end{equation}
В то же время кривизна поверхности при $x=0$ стремится к константе:
\begin{equation}
\label{curva}
1/R = \eta_{xx}\rightarrow -\mbox{const},
\mbox{ при $t\rightarrow\infty$}\,.
\end{equation}
Однопальцевое решение такого типа было найдено Саффманом и Тэйлором
~\cite{ST58}. $N$-пальцевые решения $LGE$ были исследованы в статьях
~\cite{MD94,DM94}. Общее решение уравнения ~(\ref{LGEf})
может быть получено из ~(\ref{N-finger}) предельным переходом
$N\rightarrow\infty$. Здесь мы не будем рассматривать
этот вопрос.

%\subsubsection{Численный эксперимент ???????}

%\subsection{Отрыв капли}
%
%Рассмотрим другое простейшее рациональное решение LGE.

\subsection{Автомодельные уравнения для глубокой воды}

В этом параграфе рассмотрим случай глубокой воды без 
поля тяжести, тогда уравнения (\ref{2.27}) и (\ref{2.34}) 
имеют вид:
\begin{eqnarray}
y_t x_u - x_t y_u &=& - \hat{H}\Psi_u\,,\label{forSS1}\\
\Psi_t x_u - \Psi_u x_t &=& 
\hat H(\Psi_t y_u - \Psi_u y_t)\,.\label{forSS2}
\end{eqnarray}
Система (\ref{forSS1}), (\ref{forSS2}) имеет семейство 
автомодельных решений.
Заметим, что она инвариантна относительно преобразования
\begin{equation}
u\rightarrow {u\over{a(t)}}
\end{equation}
где $a(t)$ - произвольная функция времени.
Эта инвариантность имеет простой смысл -
она следует из возможности перемасштабирования
конформной переменной $u$ 
произвольным образом в любой момент времени.

Можно искать решения системы (\ref{forSS1})-(\ref{forSS2}) 
в следующем виде:
\begin{eqnarray}
y &=& f(t) y_0(u)\,,\nonumber\\
x &=& f(t) x_0(u)\,,\label{SSsubst}\\
\Psi &=& g(t) \Psi_0(u)\,.\nonumber
\end{eqnarray}
Из (\ref{forSS1}) легко получить
\begin{equation}
g(t) = f f^\prime\,,
\end{equation}
а из (\ref{forSS2}) получается следующее соотношение:
\begin{equation}\label{9.6}
(f f^\prime)^\prime = q {f^\prime}^2\,\hspace{1cm} 
\mbox{$q$ - const}.
\end{equation}
Уравнение (\ref{9.6}) имеет степенное решение
\begin{equation}
f(t) = c (t_0 - t)^s,\hspace{0.5cm} s={1\over (2-q)},
\hspace{0.5cm}\mbox{если $q\neq 2$}\,,
\end{equation}
и экспоненциальное
\begin{equation}
f(t) = c {\it e}^{\lambda t}\hspace{0.5cm}\mbox{если $q= 2$}\,.
\end{equation}
$y_0$, $x_0$ и $\Psi_0$ удовлетворяют следующим
уравнениям:
\begin{eqnarray}\label{unknown}
y_0 x_0^\prime - x_0 y_0^\prime &=& -\hat H\Psi_0^\prime\,,\\
q\Psi_0 x_0^\prime - x_0 \Psi_0^\prime &=& 
\hat H(q\Psi_0^\prime y_0\prime - \Psi_0^\prime y_0)\nonumber\,.
\end{eqnarray}
В естественных переменных (\ref{SSsubst})  - это 
автомодельное решение:
\begin{eqnarray}
\eta &=& f(t)\eta_0(\frac{x}{f(t)}\,,\nonumber\\
\phi &=& f(t) f^\prime(t)
\phi_0(\frac{x}{f(t)},\frac{y}{f(t)})\,.\label{natss}
\end{eqnarray}
Если $s > 0$ ($q < 2$), это решение образование сингулярности
на границе за конечное время.
Это сингулярность типа угол, подобна той что найдена в работе
\cite{Short}. На $s$ имеются ограничения, накладываемые
законом сохранения энергии. Дейсвительно, из (\ref{natss}) 
можно получить для кинетической энергии
$$T = f^2 {f^\prime}^2 \int (\nabla\phi_0(\vec \xi))^2 d\vec\xi, 
\hspace{0.5cm} \vec\xi = (\frac{x}{f(t)},\frac{y}{f(t)})\,.$$
Автомодельное решение может "терять" энерги, или сохранять её.
Но энергия не может расти. А поскольку
$$T \simeq (t_0 -t)^{4s-2},$$
и $\infty > s \geq {1\over 2}$, $q$ должен быть в пределах
 $2\leq q\leq 0$.
For $q = 2$, $s = \infty$, и коллапс происходит за
бесконечное время. 

Случай $q=s=1$ - особый. Здесь решение системы
\ref{forSS1}), (\ref{forSS2}) можно искать в виде:
\begin{eqnarray}
x &=& x_0t + x_1\,,\nonumber\\
y &=& y_0t + y_1\,,\label{Series0}\\
\Psi &=& \Psi_0t + \Psi_1\,\nonumber
\end{eqnarray}
В (\ref{Series0}) $x_0$, $y_0$ и $\Psi_0$ представляют
автомодельное решение, удовлетворяющее уравнениям
\begin{eqnarray}\label{firstset0}
y_0 x_0^\prime - x_0 y_0^\prime &=& -\hat H\Psi_0^\prime\,,\\
\Psi_0 x_0^\prime - x_0 \Psi_0^\prime &=& 
\hat H(\Psi_0^\prime y_0\prime - \Psi_0^\prime y_0)\nonumber\,,
\end{eqnarray}
а в свою очередь $x_1$, $y_1$ и $\Psi_1$ подчиняются 
линейным уравнениям
\begin{eqnarray}\label{secondset0}
y_0 x_1^\prime - x_0 y_1^\prime &=& -\hat H\Psi_1^\prime\,,\\
\Psi_0 x_1^\prime - x_0 \Psi_1^\prime &=& 
\hat H(\Psi_0^\prime y_1\prime - \Psi_1^\prime y_0)\nonumber\,.
\end{eqnarray}
Зная автомодельное решение (\ref{Series0}), можно построить
общее решение системы (\ref{forSS1})-(\ref{forSS2}).
Его можно записать в виде бесконечного ряда:
\begin{eqnarray}\label{Series}
x &=& x_0t + x_1 +
 \sum_{k=1}^{\infty}\frac{x_{-k}}{t^k}\,,\nonumber\\
y &=& y_0t + y_1 + \sum_{k=1}^{\infty}\frac{y_{-k}}{t^k}\,,\\
\Psi &=& \Psi_0t + \Psi_1 + 
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\Psi_{-k}}{t^k}\,.\nonumber
\end{eqnarray}
Первые два члена разложения (\ref{Series}) удовлетворяют
уравнениям (\ref{firstset0}), (\ref{secondset0}) и далее:
\begin{eqnarray}\label{thirdset}
y_0 x_{-n}^\prime - y_{-n}^\prime x_0 +\hat H\Psi_{-n}^\prime &=& F_{n}\,,\\
\Psi_0 x_{-n}^\prime - \Psi_{-n}\prime x_0  
+\hat H(y_0 \Psi_{-n} -\Psi_{0} y_{-n}^\prime) &=& G_n\,,\nonumber
\end{eqnarray}
где $F_n$ и  $G_n$ выражения, зависящие только от
$x_{-k}$, $y_{-k}$ и $\Psi_{-k}$ ($k < n$).
В частности
\begin{eqnarray}
F_2 &=& y_{-1} x_1^\prime - x_{-1} y_1^\prime\,,\nonumber\\
G_2 &=& \Psi_{-1} x_{1}^\prime - x_{-1}\Psi_1^\prime -
\hat H(\Psi_{-1} y_1^\prime - y_{-1}\Psi_1^\prime)\,.\nonumber
\end{eqnarray}
Предположим, что решения уравнений  (\ref{firstset0}) 
и (\ref{secondset0}) найдены, и, более того, решены явно
линейные, не зависящие от времени {\underline неоднородные} 
уравнения (\ref{thirdset}) при любых заданных $F_n$, $G_n$. 
Тогда можно найти рекуррентно все члены в 
разложении (\ref{Series}). 
В этом смысле система  (\ref{forSS1})-(\ref{forSS2}) 
точно решаема.

К настоящему моменту решения уравнений 
(\ref{firstset0}) и (\ref{secondset0}),
так же как и алгоритм решения (\ref{thirdset}) неизвестны.
И мы не знаем существует ли решение уравнений
(\ref{unknown}), и не знаем что определяет выбор значения $s$.
Однако мы знаем, случай $s=2$  соответствует малоугловому 
приближению описанному в \cite{Short}.


\section{Кубически нелинейные уравнения} 
\label{CUBICS}

Если уж мы применили конформное преобразование и используем
комплексный потенциал скорости, то нам следует вместо
вещественных уравнений (\ref{ztd}) и (\ref{bernd}) написать
комплексные уравнения для $z(w,t)$ и комплексного потенциала
скорости $\Phi(w,t)$. Эти комплексные уравнения можно получить
применяя оператор проектирования $\hat P$
$$\hat P(f) = \frac{1}{2}( 1 + i\hat H )(f)$$
к уравнениям \ref{ztd}) и (\ref{bernd}):
\begin{eqnarray}
\label{EqZ}
z_t &=& i U z_u, \cr
\Phi_t &=& i U \Phi_u - \hat P(\frac{|\Phi_u|^2}{|z_u|^2}) +i g(z-u).
\end{eqnarray}
%Here $U$ is a complex transport velocity:
%$$U = \hat P(\frac{-\hat H \Psi_u}{|z_u|^2}).$$
Здесь $U$ - это комплексная скорость переноса:
$$U = 2\hat P(\frac{-\hat H \Psi_u}{|z_u|^2}).$$

%It occurs that equations (\ref{EqZ}) can be simplified just by
%changing variables. Indeed, let us introduce instead of $z(w,t)$
%and $\Phi(w,t)$ another functions $R(w,t)$ and $V(w,t)$ in a following way
Оказалось, что уравнения (\ref{EqZ}) могут быть упрощены просто
заменой переменных. Действительно, вместо переменных $z(w,t)$ и
$\Phi(w,t)$ введем новые функции $R(w,t)$ и $V(w,t)$ следующим
способом:
\begin{eqnarray}
\label{EqR}
R &=& \frac{1}{z_w}, \cr
\Phi_w &=& -i V z_w.
\end{eqnarray}
%($V$ is just $i\frac{\partial \Phi}{\partial z}$, i.e. complex velocity).
%Note, that because of $z(w,t)$ is conformal mapping, its derivative does
%exist in lower half-plane and does not have zeroes in there. Thus
%function $R(w,t)$ is analytic in the lower half-plane and has
%the following boundary condition:
%$$R(w,t)\rightarrow 1,  \,\,\,\,\, |w|\rightarrow \infty,
%\,\,\,\, Im(w )\le 0.$$
%It is obvious that boundary condition for $V$ is:
%$$V(w,t)\rightarrow 0,  \,\,\,\,\, |w|\rightarrow \infty,
%\,\,\,\, Im(w )\le 0.$$
%Then for these analytic functions equations acquire very nice form:
($V$ - это $i\frac{\partial \Phi}{\partial z}$, т.е. комплексная
скорость). Заметим, что поскольку $z(w,t)$ является конформным
преобразованием, его производная существует в нижней
полуплоскости и не имеет там нулей. Таким образом функция
$R(w,t)$ также является аналитической в нижней полуплоскости, и
имеет следующие граничные условия:
$$R(w,t)\rightarrow 1,  \,\,\,\,\, |w|\rightarrow \infty,
\,\,\,\, Im(w )\le 0.$$
Очевидно, что для $V$ граничные условия выглядят так:
$$V(w,t)\rightarrow 0,  \,\,\,\,\, |w|\rightarrow \infty,
\,\,\,\, Im(w )\le 0.$$
Тогда для этих функций уравнения приобретают весьма изящную форму:
\begin{eqnarray}
\label{EqRV}
R_t &=& i(UR' - U'R), \cr
V_t &=& i(UV' - R \hat P'(V\bar V)) + g(R-1).
\end{eqnarray}
%Here
%$$ U = \hat P(V\bar R + \bar V R).$$
%The equations are cubically nonlinear and include linear integral operator.
%They are similar to hydrodynamics type equations, but given in the complex
%plane. Important role there plays complex transport velocity $U$. It conveys
%zeroes of $R(w,t)$, which are singular points of conformal mapping $z(w,t)$.
%Possible types of zeroes need to be study in the next article. Here it should
%be just mentioned that in the numerical simulations only $\sqrt{w}$ branch
%points are observed.
Здесь
$$ U = \hat P(V\bar R + \bar V R).$$
Полученные уравнения кубически нелинейны и влючают в себя линейный
интегральный оператор. Они являются уравнениями гидродинамического типа, но 
действуют в комплексной плоскости. Важную роль в этих уравнениях играет 
комплексная скорость переноса $U$. Она переносит нули функции $R(w,t)$,
которые являются особыми точками конформного отображения $z(w,t)$.
Разные типы нулей предполагается изучить в следующей статье. Здесь же 
следует лишь отметить, что в численном моделировании наблюдаются лишь
корневые ($\sqrt{w}$) точки ветвления.


%It is easy to include surface tension in the equations (\ref{EqRV}), one has
%just to replace the second equation by
%$$ V_t = i(UV' - R \hat P'(V\bar V) +g(R-1) ) -2\sigma R
%\hat P'(Q'\bar Q - \bar Q' Q),$$
%where $\sigma$ is surface tension coefficient, and $Q = \sqrt{R}.$
В уравнениях (\ref{EqRV}) легко учесть и поверхностное натяжение, следует
лишь заменить второе уравнение на 
$$ V_t = i(UV' - R \hat P'(V\bar V) +g(R-1) ) -2\sigma R
\hat P'(Q'\bar Q - \bar Q' Q),$$
где $\sigma$ - это коэффициент поверхностного натяжения, а $Q = \sqrt{R}.$

%Equations (\ref{EqRV}) keep the same form for other boundary conditions.
%Instead of boundary conditions (\ref{Eq2}) one can consider periodic
%boundaries as well as fluid of the finite depth.
Следует отметить, что уравнения (\ref{EqRV}) сохраняют свою форму и для
других граничных условий. Например, вместо граничных условий (\ref{decaying}) 
можно рассмотреть периодические условия, а также жидкость конечной глубины.

%Note that equations include now only derivatives of conformal mapping
%and complex velocity potential. As regards integrals of motion they acquire
%more complicated form. But if one  restores complex velocity potential
%$$\Phi = -i \int \frac{V}{R}dw$$
%then Hamiltonian is equal to
%$$\Ha = -\int_{-\infty}^{\infty} Re(\Phi) Im(\Phi')$$
%and momenta
%$$P_y = \int_{-\infty}^{\infty} Re(\Phi) Re(\frac{1}{R})du, \,\,\,\,
%P_x = \int_{-\infty}^{\infty} Re(\Phi) Im(\frac{1}{R})du.$$
Отметим также, что новые уравнения включают в себя только производные
конформного отображения и комплексного потенциала скорости. Что касается 
интегралов движения, то они приобретают в новых переменных более сложную
форму. Однако, если интегрированием восстановить комплексный потенциал
$$\Phi = -i \int \frac{V}{R}dw$$
то гамильтониан равен
$$\Ha = -\int_{-\infty}^{\infty} Re(\Phi) Im(\Phi')$$
а импульсы
$$P_y = \int_{-\infty}^{\infty} Re(\Phi) Re(\frac{1}{R})du, \,\,\,\,
P_x = \int_{-\infty}^{\infty} Re(\Phi) Im(\frac{1}{R})du.$$

Основное утверждение этого параграфа заключается в следующем. Хорошо известные уравнения
(\ref{kine}) - (\ref{Euler}), описывающие потенциальное течение несжимаемой жидкости со
свободной границей, являются эквивалентными кубическим уравнениям  
(\ref{EqRV}), которые написаны для обратной производной конформного 
отображения $R(w,t) = 1 / z'(w,t)$ и комплексной скорости жидкости
$V(w,t)$. Эти уравнения являются уравнениями гидродинамического типа и
описывают перенос особенностей конформного отображения в верхней полуплоскости.
Движение особенностей и определяет форму свободной поверхности. Уравнения получены впервые.

 
%\subsection{Связь между кубически нелинейными уравнениями и процедурой
%исключения нерезонансных членов}

\section{Модуляционная неустойчивость волны Стокса. 
Волны-убийцы.}
\label{FREAK_SIM}

\subsection{Введение} Волны чрезвычайно большой амплитуды, так 
называемые {\bf freak waves}, волнами убийцами или гигантскими 
волнами - хорошо известны морякам 
(см., например
\cite{Smith1976, Dean1990, Lavrenov1998, Chase2003}). Из-за этих 
волн теряются  суда и  человеческие жизни. Нет никаких сомнений, 
что волны-убийцы являются нелинейными объектами. Они очень 
круты. В последней стадии их развития, крутизна становится 
бесконечной, образуя "стену воды". А перед этим моментом, 
крутизна больше чем у предельной волны Стокса. Кроме того, 
типичная волна-убийца - 
отдельное событие (см. \cite{Divinsky2004}).
Перед опрокидыванием её гребень в три-четыре (или даже больше) 
раза выше чем гребни соседних волн. Волне-убийце предшествует 
глубокая впадина, или "отверстие в море". Характерное время 
существования волны-убийцы - невелико, десяток периодов волны 
или около этого. Если период волны - пятнадцать секунд, это - 
только несколько минут. Волна-убийца появляется почти 
"мгновенно" в относительно спокойном море. Несомненно, эти 
специфические особенности волн-убийц нельзя объяснить линейной 
теорией. Линейная форкусировка океанских волн создает только 
предварительные условия для формирования волн-убийц, а сама 
волна является нелинейным объектом.

Естественно связать появление волн-убийц с модуляционной 
неустойчивостью волны Стокса. Эту неустойчивость обычно называют 
неусточивостью Бенджамина-Фейра, однако, она была сначала 
обнаружена Лайтхиллом в\cite{Lighthill1965}. Теория этой 
неустойчивости была разработана
независимо в \cite{BenFeir1967} и 
в \cite{Zakh1966}. Фейр (см. \cite{Feir1967}) был первым, кто 
наблюдал эту неустойчивость экспериментально в 1967 году.


Эволюция модулированной нелинейной волны Стокса описывается 
нелинейным  уравнением Шредингера
(NLSE), полученым в \cite {Z68}. 
Это уравнение интегрируемо (см. \cite {NLS}), и является первыйм 
членом в иерархии уравнений огибающих, описывающих пакеты 
гравитационных поверхностных волн. Второй член в этой иерархии 
был вычислен Дысте в\cite {Dysthe1979}, следующий был найден 
несколько лет назад в\cite {TrulsenDysthe1996}. Уравнение Дысте 
исследовалось численно
Абловицем и сооавторами(см. \cite {Ablovitz2000}).


Начиная с первой работы \cite {Smith1976}, разные авторы пробовали объяснить формирование волн-убийц в рамках NLSE и его обобщений, как уравнение Дысте. Обширная научная литература посвящена этому предмету. Список, представленный ниже длинен, но неполон: \cite {Ablovitz2000, CG2002, Onorato2000a, Onorato2000b, Onorato2001, Onorato2002, Peregrine1983, Peregrine1988, TrulsenDysthe1996, TrulsenDysthe1997, Trulsen2000, TKDV2000}. Обзор различных возможных механизмов формирования волн-убийц дается в \cite {KharPel2003, KP2004}.

Нельзя отрицать результаты, достигнутые при помощи уравнений для огибающих. Результаты многих авторов сходятся в одном важном пункте: нелинейное развитие модуляциогнной неустойчивости приводит к концентрации энергии волны в маленькой пространственной области. Это - "намек" о возможном формировании волны-убийцы. С другой стороны, ясно, что явление волны-убийцы нельзя объяснить в терминах уравнений огибающих. Действительно, NLSE и его обобщения получены разложением по параметру $\lambda\simeq (Lk) ^ {-1}$, где $k$ - волновое число, $L$ - длина модуляции. Для реальной волны-убийцы это условие нарушается, также как и приближение 
огибающих. Однако, анализ уравнений типа NLSE дает ценную информацию о формировании
волн-убийц.

Модуляционная неустойчивость приводит к разбиению первоначально однородных волн Стокса в систему квазисолитонов огибающих \cite {ZakharovKuznetsov1998, ZDP2004}. Это состояние можно назвать "квазисолитонной турбулентностью". В этой модели солитоны могут сливаться, увеличивая пространственную перемежаемость (intermittency) и приводить к установлению хаотических интенсивных модуляций плотности энергии. Однако, пока эта модель не может объяснить формирование волн-убийц с $\lambda\sim 1$.

Явление образования волны-убийцы можно было бы объяснить, если бы решения для уравнения огибающих с амплидудой, большей некоторой критической, были бы неустойчивы и коллапсировали.
В то время как в рамках одномерного уравнения NLSE солитоны устойчивы, улучшенная модель должна иметь некоторый порог по амплитуде для устойчивости солитона. Неустойчивость солитона большой амплитуды и его дальнейший коллапс могли бы быть надлежащим теоретическим объяснением происхождения волн-убийц.

Этот сценарий наблюдался в численном эксперименте в эвристической одномерной модели Maida-McLaughlin-Tabak (MMT-модель) (см. \cite {MMT1997}) для одномерной волновой турбулентности
\cite {ZDP2004}. В экспериментах, описанных в этой работе неустойчивость монохроматической
волны умеренной амплитуды  ведет сначала к созданию цепочки солитонов, которые сливаются (из-за неупругого взаимодействия) в один солитон большой амплитуды. Этот солитон поглощает энергию от соседних волн, становится неустойчивым и затем коллапсирует до $\lambda\sim 1$. Это может быть
интерпретировано как образование волны-убийцы.


В наших экспериментах наблюдался другой сценарий. А именно, волна-убийца появляется в  модулированном цуге волн. Образование волны-убийцы похожа на развитие некоторого дефекта на периодической сетке, являющеся периодической волной Стокса. 

Самый прямой способ доказать справедливость вышеизложенных сценариев формирования 
волны-убийцы - прямое численное моделирование уравнения Эйлера, описывающего потенциальные течения идеальной жидкости со свободной поверхностью в поле тяготения. Это моделирование может быть выполнено методом, опубликованным в нескольких статьях \cite {KSZ94, PhysPlas, NewMeth, Zakharov1998}. Этот метод применим в $1+1$ геометрии; он включает конформное преобразование жидкости, ограниченной поверхностью в нижнюю полуплоскость вместе с "оптимальным" выбором переменных, который гарантирует корректность дискретных уравнений \cite {D2004}.

Далее представлены результаты численных экспериментов для волн, с начальной крутизной
от  $\mu \simeq 0.1$ до $\mu \simeq 0.3$. 
Эти эксперименты можно рассмотривать как моделирование реалистической ситуации. Если типичная крутизна морского волнения - $\mu \simeq 0.06\div 0.07$, в некоторых областях крутизна  бывает
в два-три раза больше. В экспериментах мы начинаем с волны Стокса, с длинноволновой модуляцией,
амплитуда которой в двадцать раз меньше чем амплитуда самой волны. В наших экспериментах наблюдается развитие модуляционной неустойчивости, и в конце взрывное формирование 
волны-убийцы, которая подобна волнам, наблюдаемым в природе.

%
%
%
 
\subsection{Численный эксперимент}
%
%

Много численных схем были разработаны для решения уравнения Эйлера, описывающего потенциальное 
течение  жидкости со свободной поверхностностью в гравитационном поле. Большинство из них использует интегральные уравнения, которые дают решение краевой задачи для уравнения 
Лапласа \cite{DoldPer, Dommer87, Dold92}. Обзор этих методов может дан в \cite{TsaiYue1996}. 

В этом параграфе мы изучаем модуляциионную неустойчивость волны Стокса. В качестве начального условия условия мы используем стационарную нелинейную волну Стокса с длинноволновой модуляцией.
Этот волна неустойчива относительно роста модуляции длинного масштаба. Этот замечательный факт был сначала установлен в \cite {Lighthill1965}, который вычислил инкремент неустойчивости в пределе длинноволновой модуляции. Поскольку инкремент Лайтилла был пропорционален волновому 
числу молуляции, результат был в принципе неполон: в коротких масштабах неустойчивость должна 
отсутствовать. Точный инкремент был найден независимо в \cite{Zakh1966, Z68, BenFeir1967}.

Для численного моделирования мы, в принципе, имеем три формы уравнений. 
\begin{enumerate}
\item Это уравнения (\ref{2.27}) и (\ref{2.34}), 
\begin{eqnarray}\nonumber
y_t x_u - x_t y_u &=& - \hat{H}\Psi_u, \cr
\Psi_t y_u - \Psi_u y_t + g y y_u &+& \hat H(\Psi_t x_u
- \Psi_u x_t + g y x_u) = 0,
\end{eqnarray}
не разрешенные относительно производных
по времени, и поэтому малоприспособленны для численного решения.
\item Уравнения (\ref{EqZ}), 
\begin{eqnarray}\nonumber
z_t &=& i U z_u, \cr
\Phi_t &=& i U \Phi_u - \hat P(\frac{|\Phi_u|^2}{|z_u|^2}) +i g(z-u).
\end{eqnarray}
записанные для аналитических в нижней полуплоскости функций
комплексного потенциала скорости $\Phi$ и собственно конформного отображения $Z$.
\item Уравнения (\ref{EqRV}),
\begin{eqnarray}\nonumber
R_t &=& i(UR' - U'R), \cr
V_t &=& i(UV' - R \hat P'(V\bar V)) + g(R-1).
\end{eqnarray}
\end{enumerate} 

Что касается уравнений (\ref{EqZ}), то вкоре после того, как они были переоткрыты
в 1994 году (напомним, что впервые их написал Овсянников в 1973 году, в \cite{Ovsyann}),
две группы исследователей принялись разрабатывать численные коды для их решения.
Работы Чаликова и Шейнина были суммированы в их статье 1998 года \cite{CS1998} 
(см. также \cite{CS1996}).
Первые результаты, полученные в нашей группе, были опубликованы в 1996 году в \cite{KSZ94}.
Однако, начиная с 2001 года, (с работы \cite{OnDyn}) мы перешли к численному решению уравнений
(\ref{EqRV}). И для этого имеются веские причины. Остановимся на этом вопросе подробнее.
Конечно, все три формы уравнений являются эквивалентными как с физической, так и математической
точек зрения.
Однако, Было установлено, сначала эмпирически, а затем и дано объяснение (в \cite{D2004}),
что численное решение уравнений (\ref{EqRV}) для переменных $R$ и $V$ является наиболее устойчивым.
Численный код для решения этих уравнений был разработан в \cite{NewMeth}.


Мы используем спектральный метод для численного решения уравнений (\ref{EqRV}).
Следует отметить, что конформное преобразование - обычный подход, неоднократно применявшийся для изучения волны Стокса. Уравнения для её коэффициентов Фурье-разложения были решены численно многими авторами (см., например \cite{ZufSaf1986}). Идея осуществления конформного преобразования при 
численном моделировании динамики волны появилась в начале восьмидесятых (см. \cite{MOI1981}). Но 
поскольку уравнения (\ref {EqRV}) в то время не были известны, авторы использовали квазилагранжевый подход в гидродинамике. После некоторых экспериментов и обсуждения их результатов, идея использования конформного преобразования перестала казаться привлекательной
по следующей причине: конформное преобразование не очень 
хорошо для описания особенностей с углом
на поверхности, естественно появляющегося на свободной поверхности жидкости. Эта причина серьезна, если пространственная разностная сетка редка. Однако, современные компьютеры делают возможным использовать очень точные разностные сетки , состоящие из больше чем миллиона узлов или спектральных мод. Таким образом, этот аргумент перестал быть актуальным.

Следует отметить, что эти уравнения не являются обычными уравнениями в частных производных.
Их можно назвать "Гильберт-дифференциальны\-ми" 
урав\-не\-ния\-ми, которые наряду с обычным дифференцированием 
по $u$ 
\begin{equation}
\label{Eqd}
f \to \frac{\partial f}{\partial u}  
\end{equation}
включают в себя интегральное преобразование Гильберта
\begin{equation}
\label{Eqh}
f \to \hat H \,f
\end{equation}
С точки аналитической точки зрения две эти операции совершенно различны.
Но с точки зрения численного решения -- очень пожожи. Действительно, 
для Фурье-гармоник операция~(\ref{Eqd}) означает 
$$
f_{k} \to i k f_{k}
$$
а преобразование~(\ref{Eqh}) сответствует
$$
f_{k} \to i \,{\rm sign} (k) f_{k}
$$
С вычислительной точки зрения две эти операции - одинакового уровня 
трудности.

\subsubsection{Первая серия}


В первой серии численных экспериментов исследовалась локализация энергии в первоначально
почти однородном цуге волн Стокса. Моделирование проводилось в периодической области
$2\pi$, так что волновые числа - это целые числа. Гравитационная постоянная $g = 10$.
Волна Стокса характеризуется крутизной (steepness)  $\mu=a k_0$,
($k_0$ -- волновое число, $a$ -- амплитуда волны). Если $\mu \ll 1$,
волна Стокса является почти монохроматической. В этой серии экспериментов $\mu=0.1$. 
Столь малая крутизна позволяет взять в качестве начальных данных суперпозицию 
монохроматической волны (с $k_0=50$) и возмущения (Гауссов шум в Фурье-спектре).
Колличество Фурье-гармоник, задействованных в вычислениях было сравнительно небольшим,
12288 (это 4096x3). 

Инкремент модуляционной неустойчивости 
\begin{equation}\label{MODGROW}
\gamma = \frac{\omega_0}{2}\left (\left (\frac{\delta k}{k_0}\right )^2
(a k_0)^2 - \frac{1}{4} (\left (\frac{\delta k}{k_0}\right )^4 \right )^{\frac{1}{2}}.
\end{equation}
Здесь $\omega_0$ - частота волны
$$\omega_0 = \sqrt{g k_0},$$
a $\delta k$ - определяет неустойчивые гармоники, такие что
$$ k_1 = k_0 + \delta k,$$
$$ k_2 = k_0 - \delta k,$$
$$ k_3 = \delta k.$$

Максимальное значение инкремента
\begin{equation}
\gamma_{max}=\omega_0\cdot \frac{1}{2}\,(ak_0)^2 ,
\end{equation}
достигается для возмущения с волновым числом $p$,
\begin{equation}
p =  \sqrt{2}(a k_0)\cdot k_0.
\end{equation}
Численный эксперимент проводился со следующими параметрами:
\begin{eqnarray}\label{parameters}
&&\mu=ak_0\simeq 0.1\quad \hspace{1cm}\omega_0 = \sqrt{500}\simeq 24, \nonumber\\
&&\gamma_{max}\simeq 0.12 \hspace{1cm} \gamma_{max}^{-1} \simeq 8, \hspace{1cm}
p\simeq 7.
\end{eqnarray}
Начальные условия для $R$ и $V$, таким образом, даются следующими формулами:
\begin{eqnarray} \label{eqinit2}
 R(u,t=0) &=& 0.1 \exp(-i k_0 u) + \mbox{возмущение}, \cr  
 V(u,t=0) &=& -i 0.1\frac{g}{k_0} \exp(-i k_0 u) + \mbox{возмущение} 
\end{eqnarray}
Начальный спектр для $R(k)$ показан на Рисунке \ref{figspecm}(при $t=0$),
\begin{figure}[!ht]
\includegraphics[angle=0,width=\PW]{Fig_1.5/Rogue_fig_1.eps}
\caption{Развитие модуляционной неустойчивости: Фурье-спектр $R(k)$ в различные
моменты времени}\label{figspecm} 
\end{figure}
а часть поверхности жидкости $y(x)$ показана на Рисунке \ref{figkresf0}. 
\begin{figure}[!ht]
\includegraphics[angle=0,width=\PW]{Fig_1.5/Rogue_fig_2.eps}
\caption{Поверхность жидкости в начальный момент времени}\label{figkresf0} 
\end{figure}
В этом численном эксперименте нет ни накачки, ни затухания,
и полная энергия сохраняется.

Временная эволюция спектра показана на Рисунке \ref{figspecm}.
На нём видно, как уширяется спектр из первоначально почти мохроматической волны
и шума. Спектральные "хвосты" распространяются в область больших волновых чисел.

Этот процесс можно интерпретировать как формирование особенностей на гребнях 
отдельных волн, или, другими словами, как начало опрокидывания волны. Чтобы продолжать
вычисления после момента $t=80$, нужно включить в вычисление какой-либо механизм диссипации. 

Итак, весь процесс занимает приблизительно десять обратных инкрементов модуляционной 
неустойчивости. В течение большей части этого времени наблюдается экспоненциальный рост начального возмущения. На последней стадии процесса, можно видеть быстрое формирование 
волн-убийц с амплитудой, которая больше чем в три раза превышает уровень начального
волнения. Расстояние между волнамиубийцами - 5-7 периодов начальной волны. 
Сравнивая с (\ref{parameters}), можно заключить, что расстояние между волнами-убийцами
соответствует длине самой быстрорастущей гармонике, а именно $k_3$.

Главным результатом этого численного эксперимента является быстрое формирование
волны-убийцы на нелинейной стадии модуляционной неустойчивости. На рисунке~\ref{figkresf0}
показана начальная поверхность жидкости. Видно, что начальное возмущение монохроматической
(или правильнее сказать волны Стокса) мало. 
На Рисунке~\ref{figkresf80} показан профиль поверхности в конце вычислений,
при $t=80$.
\begin{figure}[!ht]
\includegraphics[angle=0,width=\PW]{Fig_1.5/Rogue_fig_3.eps}
\caption{Поверхность жидкости в момент времени  $t = 80$.}\label{figkresf80} 
\end{figure}
Превышение среднего уровня в три раза (что наблюдается в данном эксперименте)
и является характерным признаком волны-убийцы. Обычно даже достаточно превышения в
2-2,2 раза, чтобы можно было говорить о волне-убийце. Более подробно определение 
таких волн дано в \cite{KP2004}.

Рисунки~\ref{figek80}, \ref{figep80}, \ref{fige80} показывают пространственное 
распределение кинетической, потенциальной и полной энергии при $t=80$. Плотность
энергии в волне-убийце почти на два порядка превышает плотность энергии в соседних волнах.
Конечно, такая концентрация энергии малом пространстве является опасной для 
морских судов.
\begin{figure}[!ht]
\includegraphics[angle=0,width=\PW]{Fig_1.5/Rogue_fig_4.eps}
\caption{Пространственная плотность кинетической энергии в момент времени  $t = 80$.}\label{figek80} 
\end{figure}
\begin{figure}[!ht]
\includegraphics[angle=0,width=\PW]{Fig_1.5/Rogue_fig_5.eps}
\caption{Пространственная плотность потенциальной энергии в момент времени  $t = 80$.}\label{figep80} 
\end{figure}
\begin{figure}[!ht]
\includegraphics[angle=0,width=\PW]{Fig_1.5/Rogue_fig_6.eps}
\caption{Пространственная плотность полной энергии в момент времени  $t = 80$.}\label{fige80} 
\end{figure}

\subsubsection{Вторая серия}
Сравнительно небольшое колличество Фурье-гармоник не позволяет проследить весь процесс
эволюции волны-убийцы, которая может завершиться опрокидыванием волны. Поэтому в следующем эксперименте представлены результаты численного моделирования образования волны-убийцы и её
опрокидывания с $2\cdot 10^6$ Фурье-гармоник. Как и ранее численно решались уравнения
(\ref{EqRV}) в периодической области размером $2\pi$, но здесь гравитационная постоянная
$g=1$.


Начальные данные выбраны как комбинация точной волны Стокса с волновым числом
$k=10$, и крутизной $aк_0 =\mu=0.15$ и длинной монохроматической волны с волновым
числом $k=1$ и малой амплитудой $5\cdot 10 ^ {-2}$. 
Для того, чтобы задать волну Стокса, необходимо было решить стационарное уравнение
(\ref{4.5}) из Приложения \ref{APPEND-Stationary_Waves},
которое для случая жидкости бесконечной глубины переходит в
\begin{equation}\label{Stokes_STAT}
-c^2 y_u + g yy_u + g\hat H (y(1+ \tilde{x}_u)) =0.
\end{equation}
Для его решения был разработан специальный алгоритм.
Получив численное решение(\ref{Stokes_STAT}) лекго получить начальные условия для $R$ и $V$.
\begin{eqnarray}\label{INICOND2}
Z' &=& (1+\tilde{x}_u) = i y_u)\hspace{0.5cm}\mbox{из (\ref{Stokes_STAT})},\cr
R &=& \frac{1}{Z'},\cr
V &=& i c (R-1).
\end{eqnarray} 

Относительно высокий уровень
возмущения $5\cdot 10 ^ {-2}$ выбран преднамеренно, чтобы сделать короче время 
экспоненциального (линейного) 
роста, не представляющего особого интереса. При таких условиях, 
максимальный инкремент
$$
\gamma_{max}\simeq \frac{\sqrt{10}}{2}\cdot 0.15^2 \simeq 0.035
$$
а
$$
\gamma _{max}^{-1} \simeq 28.6$$
Период волны Стокса
$$T_0 =\frac {2\pi} {\sqrt 10}.$$

Моделирование продолжалось до $T\simeq 458.842 $, т.е. примерно 16 обратных
инкрементов. Вычисления проводились с двойной точностью, с увеличением числа Фурье-гармоник,
по мере надобности, чтобы обеспечить точность вычислений. Максимальное число 
Фурье-гармоник - два миллиона. 

Наблюдался короткий период экспоненциального роста возмущения, затем небольшой промежуточный
режима интенсивной модуляции, которая заканчивается взрывным формированием одной единственной волны-убийцы. Форма поверхности жидкости перед опрокидыванием во времена $T=442$ и $T=458.56$ представлены на Рисунке~\ref{F07} и Рисунке~\ref{F11}. 

\begin{figure}[!ht]
\includegraphics[angle=-90,width=\PW]{Fig_1.5/w1.eps}
\caption{Форма поверхности жидкости при $T=422$}\label{F07} 
\end{figure}

\begin{figure}
  \includegraphics[angle=-90,width=\PW]{Fig_1.5/w7.eps}
\caption{\label{F11} Форма поверхности жидкости при
$T=458.56$}
\end{figure}

Временной интервал от $T=442$ и до $T=458,56$ содержит только семь периодов начальной волны. 
В этом интервале можно видеть быстрое, немонотонное формирование волны-убийцы. В этот момент 
волна более крута чем волна Стокса предельной амплитуды, для которой 
$aк_0 =\mu=\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Амплитуды волн, бегущих впереди волны-убийцы - относительно малы (в три раза меньше). Можно видеть глубокую впадину перед волной-убийцей. Это - так называемая "дыра в воде" или 
"hole in the water" (морской фольклор), которая предшествует волне-убийце. Рисунок~\ref{F12} демонстрирует подробную структуру формы поверхности жидкости вблизи гребня волны. 

\begin{figure}[!ht]
  \includegraphics[angle=-90,width=\PW]{Fig_1.5/w8.eps}
\caption{\label{F12} Форма поверхности жидкости вблизи гребня волны при  $T=458,61$}
\end{figure}

Вычисления продолжалисть вплоть до момента времени $T=458.842$, когда волна уже начала опрокидываться. Увеличенное изображение формы поверхности жидкости вблизи 
гребня волны в этот момент премени представлено на Рисунке~\ref{F13}. Заметим, что конформные переменные позволяют моделировать ситуацию с неоднозначной поверхностью (как функцию горизонтальной координаты).


\begin{figure}[!ht]
  \includegraphics[angle=-90,width=\PW]{Fig_1.5/Break458_842.eps}
\caption{\label{F13} Увеличенное изображение формы поверхности жидкости вблизи 
гребня волны при $T=458.842$}
\end{figure}

Можно видеть, что около гребня передний фронт волны очень крут. Это - действительно "стена воды". В некоторой области крутизна даже отрицательна (где поверхность неоднозначна).
Кривизна поверхности изображена на Рисунке~\ref{F14}.


\begin{figure}[!h]
  \includegraphics[angle=-90,width=\PW]{Fig_1.5/CurvUU.eps}
\caption{\label{F14} Кривизна поверхности при $T=458.842$}
\end{figure}

Это в самом деле опрокидывающаяся волна. Следует отметить, что в этих экспериментах
в момент начала опрокидывания отношение высоты волны-убийцы (от впадины до гребня) к её 
длине практически всегда одно и тоже, и близко к такому отношению для предельной волны Стокса,
0,141.

Отметим, что максимальная высота волны-убийцы в три раза выше чем высота начального волнения. Рост высоты волны до этого уровня отзанимает меньше чем десять периодов волны. Это - действительно быстрый процесс; это в три раза быстрее чем развитие модуляционной 
неустойчивости. 

Рисунок~\ref{F15} показывает динамику пространственной плотности кинетической энергии в области [5.5-9.5], где происходит опрокидывание волны.

\begin{figure}
%  \includegraphics[angle=-90,width=\PW]{kadrs_of_energy.eps}
  \includegraphics[angle=-90,width=\PW]{Fig_1.5/k5-6.eps}
\caption{\label{F15} Плотность кинетической енергии перед опрокидыванием при $T=456$
(пунктирная линия), и в момент опрокидывания при  $T=458.5$ (сплошная линия)}
\end{figure}

Можно видеть, что динамика образования волны-убийцы не является монотонной. 
Плотность энергии колеблется во времени и, наконец конденсируется в одном очень узком гребне.
Вообще, весь процесс формирования волны-убийцы является немонотонным. Мы можем сказать, что
волна-убийца "пробегает" по гребням волны до тех пор, пока однин из них достигает чрезвычайно
высокой амплитуды. Это поведение можно легко объяснить различием групповой и фазовой скоростей:
энергия распространяется с групповой скоростью, которая приблизительно вдвое меньше чем 
фазовая скорость. 

Рисунок~\ref{F16} демонстрирует распределение горизонтального импульса до и после 
опрокидывания, в $T=455$ и $T=456$. Можно видеть, что процесс концентрации импульса в 
движущейся, но ограниченной области является монотонным. Определенно, это поведение можно объяснить фактом, что импульс - сохраняющаяся величина (а кинетическая энергия - нет). 

\begin{figure}
\includegraphics[angle=-00,width=\PW]{Fig_1.5/MD_Black_and_White.eps}
\caption{\label{F16} пространственная плотность горизонтального импульса 
перед опрокидыванием при $T=456$
(пунктирная линия), и в момент опрокидывания при  $T=458.5$ (сплошная линия)}
\end{figure}


%
%
%
%\subsection{Обсуждение результатов}
\section{Заключение}
%
%
Подведем итоги численных экспериментов. Конечно, они воспроизводят самые очевидные особенности волн-убийц:
\begin{itemize}
\item отдельные гребни волны очень высокой амплитуды, превышая высоту значительной волны больше чем три раза
\item появляется из "ниоткуда" и достигет полной высоты в очень короткое время, меньше чем десять периодов окружения волн. ("Девятый вал"?)
\item волне-убийце предшествует область волн с малой амплитудой
\item в конце волна-убийца опрокидывается
\end{itemize}
Отношение высоты волны-убийцы к ее длине волны - практически всегда одно и тоже,
и близко к такому отношению для предельной волны Стокса, 0.141. 
Волна-убийца движется со групповой скоростью.

В наших экспериментах волна-убийца появляется в результате развития модуляционной
неустойчивости (если порог неустойчивости не превышен, никакие волны-убийцы не появляются
вообще). Требуется много времени после начала модуляционной неустойчивости перед тем, как 
появится волна-убийца. Это время много больше, чем линейный обратный инкремент, волна-убийца появляется только после пятнадцатых обратных инкрементов.
Что же происходит после начала развития неустойчивости, но перед образованием волны-убийцы?
Эту стадию можно было бы рассматривать как развитие некоторого дефекта на периодической сетке. Эта сетка - периодический цуг волн Стокса. Подобная картина наблюдалась в работе
\cite{SongBanner2002}, где изучалось опрокидывание в группе волн.  

%\section{Заключение} 
%\label{CONF-concl}
