\newpage
\chapter{Интегрируема ли гидродинамика идеальной жидкости 
со свободной поверхностью ?}
\label{MATRIX}

В этой главе представлены результаты, опубликованные с работах
\cite{DZ94, DL94, 3waves}. 
В 1994 году автором была написана программа для численного решения
уравнений гидродинамики идеальной несжимаемой жидкости со свободной
границей. И, как обычно бывает, возник вопрос о её отладке. В качестве
тестовой задачи В.Е. Захаров предложил проверить инкремент 4-х
волнового резонансного взаимодействия гравитационных волн. Для
вычисления этого инкремента необходимо было вычислить матричный
элемент 4-х волнового взаимодействия на резонансной поверхности.
К большому удивлению он оказался равным нулю.
 
Эта глава построена следующим образом. В разделе
\ref{INTEGRABLE?} перечислены некоторые частные 
{\it интегрируемые} системы, получающиеся из точных
уравнений потенциального течения идеальной несжимаемой 
глубокой жидкости
со свободной границей.
В разделе \ref{T_ZEROO} получен эффективный четырёхволновой
Гамильтониан (исключены нерезонансные трёхволновые 
взаимодействия). 
Показано, что матричный элемент взаимодействия на
резонансной поверхности тождественно равен нулю.
Показано, также, что кинетические уравнения Хассельманна и
Захарова эквивалентны как о одномерном, так и в двумерном 
случаях.

В разделе \ref{5WAVES} обосновывается необходимость 
рассмотрения 5-ти волнового кинетического уравнения.
Вводятся {\it конформные канонические} переменные, и с
помощью них строится эффективный четырёхволновой Гамильтониан
и 5-ти волновой матричный элемент. Кроме того, в этом же 
разделе вычисляется 5-ти волновой матричный элемент на
резонансной поверхности.

В разделе \ref{KIN_EQ} выводится 5-ти волновое кинетическое
уравнение, и получены его стационарные решения, Колмогоровские
спектры.
 

\section{Частные интегрируемые случаи} 
\label{INTEGRABLE?}

Хорошо известно, что уравнения описывающие идеальную 
жидкость со свободной 
поверхностью в поле силы тяжести вполне интегрируемы в 
нескольких важных случаях.
Интегрируемость имеет место для длинных волн в на мелкой 
воде (KdV\cite{GGKM67}, для 
уравнения KP\cite{KP}, для приближения 
Буссинеска\cite{Z73}, Каупа\cite{Kaup},
Холма-Камассы\cite{H93}), и для спектрально узкой волны в 
жидкости произвольной глубины (нелинейное уравнение 
Шредингера\cite{NLS}).
Слабо нелинейное движение жидкости в отсутствии поля силы 
тяжести также интегрируемо \cite{KSZ}.

Очень естественно сформулировать гипотезу, что произвольное 
одномерное движение 
идеальной жидкости в гравитационном поле интегрируемо. Далее 
рассмотрены аргументы в 
поддержку этой гипотезы. Мы рассмотрим слабо нелинейные волны на 
поверхности жидкости
бесконечной глубины и исследуем их самые простые резонансные 
взаимодействия. Покажем, 
что амплитуда этого процесса - равна нулю. В математической 
физики нет эффективных 
методов чтобы проверить интегрируемость для нелинейных  
гамильтоновых волновых систем в 
общем случае. Доказательство неинтегрируемости -  легкая 
проблема. Следуя Пуанкаре, можно сделать это, анализируя ряд 
возмущений по степеням нелинейности \cite {ZSH}. Члены этого 
ряда, на  резонансных поверхностях  являются "амплитудами 
нелинейных взаимодействий" в волновой системе.

Неинтегрируемость - весьма очевидный факт. Чтобы доказать 
неинтегрируемость, достаточно доказать, что по крайней мере одна 
из этих амплитуд является отличной от нуля. Как сложность 
вычислений значительно увеличивается с порядком нелинейности, 
много информации может быть извлечено из рассмотрения первого  
нетривиального нелинейного процесса. Например, неинтегрируемость 
нелинейного уравнения Шредингера для $d\ge 2 $ - тривиальный 
факт из-за отличной от нуля амплитуды для процесса 
рассеяния $2\to 2$. Это рассеяниение тривиально для 
интегрируемого случая $d=1$. Можно проверить (хотя и с большим 
трудом), что амплитуда первого нетривиального рассеивания 
$3\to 3 $ является тождественным нулем в этом случае.


\section{Уравнения и 4-х волновой матричный элемент}
\label{T_ZEROO}

Одномерное потенциальное движение идеальной несжимаемой 
жидкости со свободной поверхностью в поле тяжести описывается 
следующим набором уравнений: 
\begin{eqnarray}\label{Num01}
\phi_{xx} + \phi_{zz} &=& 0 
\hspace{1cm} (\phi_z\to 0, z\to -\infty), \cr
\eta_t + \eta_x\phi_x &=& \phi_z\bigg|_{z=\eta}\cr
\phi_t + \frac{1}{2}(\phi_x^2 + \phi_z^2) + 
g\eta &=& {0\bigg|_{z=\eta}};
\end{eqnarray}
здесь $\eta (x, t)$ - форма поверхности, 
$\phi (x, z, t)$ - потенциал скорости потока, и $g$ - 
гравитационная постоянная. Как показано в\cite {Z68}, 
переменные $\eta (x, t)$ и 
$\psi (x, t) = \phi (x, z, t) \bigg | _ {z =\eta}$, являются 
канонически сопряжёнными, и их Фурье преобразования, 
удовлетворяют уравнениям
$$\frac{\partial \psi_k}{\partial t} = 
-\frac{\delta H}{\delta \eta_k^*} \hspace{2cm}
\frac{\partial \eta_k}{\partial t} = 
\frac{\delta H}{\delta \psi_k^*}.$$

\noindent Здесь $H=K+U$ - полная энергия жидкости с 
соответствующими кинетической и потенциальной энергиям:

$$ K = \frac{1}{2}\int\!dx\!\int_{-\infty}^\eta\,v^2\!dz 
\hspace{1cm}
   U = \frac{g}{2}\int \eta^2\!dx$$
  
\noindent Гамильтониан может быть разложен в бесконечный ряд по 
степеням характерной крутизны волны $k\eta_k <\! <1$ 
(см.\cite {{Z68}, {CYS80}})

\begin{equation}
H = H_0 + H_1 + H_2 + \ldots
\end{equation}

Удобно ввести нормальную комплексную переменную $a_k$:

\begin{equation}
\eta_k =  \sqrt{\frac{\omega_k}{2g}}(a_k+a^*_{-k}) \hspace{.5cm}
\psi_k =  -i\sqrt{\frac{2g}{\omega_k}}(a_k-a^*_{-k})
\end{equation}

\noindent здесь $\omega_k = \sqrt{gk}$ - закон дисперсии 
для гравитационных волн.
Нормальная переменная $a_k$ удовлетворяет уравнению: 

\begin{equation}
\frac{\partial a_k}{\partial t} + 
i\frac{\delta H}{\delta a_k^*}=0,
\end{equation}
\noindent где

\begin{eqnarray}
H_0 & = & \int\!\omega_k a_k a_k^*dk,\cr
H_1 & = & \int\!V_{k k_1 k_2}\{a_k^*a_{k_1}a_{k_2}+
a_k a_{k_1}^*a_{k_2}^*\}
\delta_{k-k_1-k_2}\!dkdk_1dk_2\cr
&+&\frac{1}{3}\int\!
U_{k k_1 k_2}\{a_ka_{k_1}a_{k_2}+a_k^*a_{k_1}^*a_{k_2}^*\}
\delta_{k+k_1+k_2}\!dkdk_1dk_2
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
V_{k k_1 k_2} & = & \frac{g^{\frac{1}{4}}}{8\pi\sqrt{2}}\left(
\left(k\over{k_1k_2}\right)^{1\over4}L_{k_1k_2}-
\left(k_2\over{kk_1}\right)^{1\over4}L_{-kk_1} -
\left(k_1\over{kk_2}\right)^{1\over4}L_{-kk_2}
\right)\cr
U_{k k_1 k_2} & = & \frac{g^{\frac{1}{4}}}{8\pi\sqrt{2}}\left(
\left(k\over{k_1k_2}\right)^{1\over4}L_{k_1k_2}+
\left(k_2\over{kk_1}\right)^{1\over4}L_{kk_1} +
\left(k_1\over{kk_2}\right)^{1\over4}L_{kk_2}
\right)
\end{eqnarray}

\begin{equation}
L_{kk_1} = (\vec{k} \vec{k_1}) + |k||k_1|
\end{equation}

Среди разных компонент $H_2$ только одна является важной:

\begin{equation}
H_2=\frac{1}{2}\int\!
W_{k k_1 k_2 k_3}a_k^* a_{k_1}^* a_{k_2}a_{k_3}
\delta_{k+k_1-k_2-k_3}\!dk\!dk_1\!dk_2\!dk_3
\end{equation}
\begin{eqnarray}
W_{k_1 k_2 k_3 k_4} = -{1\over{64\pi^2}}\{M_{-k_1 -k_2 k_3 k_3} +
M_{k_3 k_4 -k_1 -k_2} - M_{-k_1 k_3 -k_2 k_4}\cr
-M_{-k_1 k_4 -k_2 k_3}-M_{-k_2 k_3 -k_1 k_4}-
M_{-k_2 k_4 -k_1 k_3}\}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
M_{k_1k_2k_3k_4}\!=\!|k_1k_2|\!\left(\!{k_3k_4}\over{k_1k_2}\!
\right)^{1\over4}
\!\!\!\!(\!|k_1\!+\!k_3|\!+\!|k_1\!+\!k_4|\!+\!|k_2\!+
\!k_3|\!+\!|k_2\!+\!k_4|\!\!-\!\!2|k_1|\!\!-2\!|k_2|).
\nonumber
\end{eqnarray}

\noindent Переменная $a_k$ не является подходящей для 
гравитационных волн из-за того, что Гамильтониан содержит 
кубические члены, в то время как трехволновых резонансов нет. 
Следующее каноническое (до $O (a^5) $) преобразование от $a_k$ 
до $b_k$ (см. \cite {{Z68}, {KRS90}}) 

\begin{eqnarray}
a_k = b_k+\int\Gamma^{(1)}_{kk_1k_2}b_{k_1}b_{k_2}\delta_{k-k_1-k_2}
-2\int\Gamma^{(1)}_{k_2kk_1}b_{k_1}^*b_{k_2}\delta_{k+k_1-k_2}+
\cr
+\int\Gamma^{(2)}_{kk_1k_2}b_{k_1}^*b_{k_2}^*\delta_{k+k_1+k_2}
+\int B_{kk_1k_2k_3}b_{k_1}^*b_{k_2}b_{k_3}
\delta_{k+k_1-k_2-k_3}\cr
B_{kk_1k_2k_3} = \Gamma^{(1)}_{k_1k_2k_1-k_2} 
\Gamma^{(1)}_{k_3kk_3-k}
+ \Gamma^{(1)}_{k_1k_3k_1-k_3} \Gamma^{(1)}_{k_2kk_2-k} -\cr
- \Gamma^{(1)}_{kk_2k-k_2} \Gamma^{(1)}_{k_3k_1k_3-k_1}
- \Gamma^{(1)}_{k_1k_3k_1-k_3} \Gamma^{(1)}_{k_2k_1k_2-k_1}-\cr
- \Gamma^{(1)}_{k+k_1kk_1} \Gamma^{(1)}_{k_2+k_3k_2k_3}
+ \Gamma^{(2)}_{-k-k_1kk_1} \Gamma^{(2)}_{-k_2-k_3k_2k_3}
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
\Gamma^{(1)}_{kk_1k_2} & = & 
-{V_{kk_1k_2}\over{\omega_k-\omega_{k_1}-\omega_{k_2}}}\cr
\Gamma^{(2)}_{kk_1k_2} & = & 
-{U_{kk_1k_2}\over{\omega_k+\omega_{k_1}+\omega_{k_2}}}
\nonumber
\end{eqnarray}

\noindent преобразует Гамильтониан к виду, не содержащему 
кубические члены:

\begin{equation}\label{Num11}
H=\int\!\omega_k b_k b_k^*\!dk + 
\frac{1}{2}\int\! T_{k k_1,k_2 k_3}b_k^* b_{k_1}^* b_{k_2}b_{k_3}
\delta_{k+k_1-k_2-k_3}\!dk\!dk_1\!dk_2\!dk_3 + \ldots;
\end{equation}

\noindent здесь $T_{k k_1,k_2 k_3}$ удовлетворяет условиям 
симметрии:
\begin{eqnarray}
T_{k k_1,k_2 k_3} = T_{k_1 k,k_2 k_3} = T_{k k_1,k_3 k_2} 
= T_{k_2 k_3 k k_1}
\nonumber
\end{eqnarray}
и имеет вид:
\begin{eqnarray}\label{Num12}
T_{k k_1,k_2 k_3} = W_{k_1 k,k_2 k_3}- \hspace{9cm}\cr
-V_{k k_2 k-k_2}
V_{k_3 k_1 k_3-k_1}
\left[\frac{1}{\omega_{k_2}+\omega_{k-k_2}-
\omega_{k}}+\frac{1}{\omega_{k_1}+\omega_{k_3-k_1}-
\omega_{k_3}}\right]-\cr
-V_{k_1 k_2 k_1-k_2}
V_{k_3 k k_3-k}
\left[\frac{1}{\omega_{k_2}+
\omega_{k_1-k_2}-\omega_{k_1}}+\frac{1}{\omega_{k}+
\omega_{k_3-k}-\omega_{k_3}}\right]-\cr
-V_{k k_3 k-k_3}
V_{k_2 k_1 k_2-k_1}\left[\frac{1}{\omega_{k_3}+
\omega_{k-k_3}-\omega_{k}}+\frac{1}{\omega_{k_1}+
\omega_{k_2-k_1}-\omega_{k_2}}\right]-\cr
-V_{k_1 k_3 k_1-k_3}
V_{k_2 k k_2-k}\left[\frac{1}{\omega_{k_3}+
\omega_{k_1-k_3}-\omega_{k_1}}+
\frac{1}{\omega_{k}+\omega_{k_2-k}-\omega_{k_2}}\right]-\cr
-V_{k+k_1 k k_1}V_{k_2+k_3 k_2 k_3}\left[\frac{1}{\omega_{k+k_1}-
\omega_{k}-\omega_{k_1}}+\frac{1}{\omega_{k_2+k_3}-
\omega_{k_2}-\omega_{k_3}}\right]-\cr
-U_{-k-k_1 k k_1}
U_{-k_2-k_3 k_2 k_3}\left[\frac{1}{\omega_{k+k_1}+
\omega_{k}+\omega_{k_1}}+\frac{1}{\omega_{k_2+k_3}+
\omega_{k_2}+\omega_{k_3}}\right]
\end{eqnarray}



\subsection{Резонансное многообразие в одномерии}
\label{RES_1D}
 
\noindent Первый нетривиальный процесс - четырёхволновое 
рассеивание, которое удовлетворяет следующим резонансным 
условиям ($k_i$ - одномерны)

\begin{eqnarray}\label{Num13}
k + k_1 & = & k_2 + k_3,\cr
\omega_k + \omega_{k_1} & = & \omega_{k_2} + \omega_{k_3},
\end{eqnarray}

\noindent и все частоты $\omega _ {k_i}$ здесь положительны. 
Система (\ref{Num13}) определяет
двумерное многообразие в четырехмерном пространстве 
($k, k_1, k_2, k_3$). Это многообразие имеет тривиальную 
компоненту
\begin{equation}\label{Num14}
k_2=k_1,\hspace{.5cm} k_3=k,\hspace{.5cm} 
or\hspace{.5cm}k_2=k,\hspace{.5cm} k_3=k_1,
\end{equation}
но имеет также и нетривиальную часть. 
Пусть $k, k_1, k_3> 0, k_2 <0$. Теперь (\ref{Num13}) 
описывает рациональное многообразие, которое можно 
параметризовать следующим образом:
\begin{eqnarray}\label{Num15}
k & = & a(1+\zeta)^2,\cr
k_1 & = & a(1+\zeta)^2\zeta^2,\cr
k_2 & = & -a\zeta^2,\cr
k_3 & = & a(1+\zeta+\zeta^2)^2;
\end{eqnarray}

\noindent здесь $0<\zeta <1$ и $a> 0$. Легко видеть, что эти два 
многообразия, (\ref{Num14}) и 
(\ref{Num15}), представляют общее решение для резонансного 
взаимодействия (кроме тривиальных перестановок).

\subsection{$T_{k k_1, k_2 k_3}=0$}
\label{ZERO_T}

Главный результат состоит в следующем: 
{\bf амплитуда $T _ {k k_1, k_2 k_3} $ тождественно 
равна нулю на резонансной поверхности} (\ref {Num15}). Этот факт 
может быть проверен прямым вычислением $T_{k k_1, k_2 k_3}$, 
используя выражение (\ref {Num12}) (это сделано с помощью 
'Mathematica' \cite {MAT}). Сокращение множества членов в 
$T_{k k_1, k_2 k_3}$ может быть не случайным; сокращение имело 
бы место естественно, если бы система (\ref{Num01}) была 
интегрируема, или имела по крайней мере дополнительный интеграл 
движения \cite{ZSH}. Конечно, это не доказательство 
интегрируемости (мы не имеем никакого способа исследовать все 
более высокие амплитуды резонансных взаимодействий 
в (\ref {Num11})), но есть другие свидетельства, 
упомянутые выше, в пользу гипотезы интегриуемости. 
Интегрируемость уравнений 
гравитационных волн в 
жидкости конечной глубины может быть проверена вычислением 
соответствующего $T _ {k k_1, k_2 k_3} $. Кроме того, в 
работе \cite {CH94} численное моделирование эволюции набора волн 
показало, что частотные спектры волн сконцентрированы в {\bf 
дискретный} точках около кривых $\omega_k = \sqrt {nk} $, 
{n=1,2,3, \ldots}. Кроме того, дискретный спектр - 
прямое следствие интегрируемости системы (\ref {Num01}). 

Получить строгое доказательство интегрируемости можно, по 
видимому, лишь предложив новый метод интегрирования. 
Обнуление $T_{k k_1, k_2 k_3}$ на резонансной поверхности 
оставляет в действительности только тривиальное 
взаимодействие (\ref {Num14}), которое соответствует нелинейному 
изменению частоты отдельных мод: 
$$\widetilde {\omega_k} = \omega_k + 
\int T _ {k k_1} |b _ {k_1} | ^2dk_1,$$ 
где 
$$T _ {k k_1} = \frac {1} {4\pi^2} (\vec k \vec k_1) 
min(|k |, | k_1 |),$$ 
и гамильтониан может быть записан (используя новые канонические 
переменные $c_k$) как 
$$H = \int \omega c_k {c_k} ^ * dk + {1\over2} 
\int T _ {k k_1} |c _ {k} | ^2|c _ {k_1} | ^2 dk dk_1 + 
O ({c_k} ^5).$$
Поэтому, интегрируемость, имеет место по крайней мере до пятого 
порядка $c_k$ (или крутизны $k\eta_k$). Кроме того, любая  форма 
вида $$I_4 = \int f (k) |c_k | ^ 2 dk$$ \noindent - также 
интеграл движения с точностью до пятого порядка.

\subsection{Кинетические равнения Захарова и Хассельманна}
\label{ZH_KIN}

В 1962, K. Хассельман\cite{H62} предложил уравнение Больцмановского типа
для описания динамики "числа волн" энергетического спектра
$n_\k$ ($n_\k \delta_{\k-\k^\prime} = 
<\eta_\k \eta_{\k^\prime}>/(\alpha \omega_\k)$)
\begin{eqnarray} \label{eq:(hasskin)}
\frac{\partial n_\k}{\partial t} & = & \alpha^2 \int\!T_H^2
\{n_{\k_2}n_{\k_3}(n_{\k}+n_{\k_1}) - n_{\k}n_{\k_1}(n_{\k_2}+n_{\k_3})\}\times\cr
& \times &\delta_{\k+\k_1-\k_2-\k_3}
\delta_{\omega_\k+\omega_{\k_1}-\omega_{\k_2}-\omega_{\k_3}}
\!d\k_1d\k_2d\k_3
\end{eqnarray}

\noindent и вычислил выражение для $T_H^2$ - амплитуды четырёхволнового взаимодействия
(здесь $\omega_\k = \sqrt{g|\k|}$ а $\alpha$ - произвольная константа).

В 1968, В.Захаров\cite{Z68} показал, что переменные 
$\eta(x,y,t)$ и $\psi(x,y,t) = \phi(x,y,z,t)\bigg|_{z=\eta}$ 
являются канонически сопряженными, и их Фурье-преобразования удовлетворяют следующим уравнениям

$$\frac{\partial \psi_\k}{\partial t} = 
-\frac{\delta H}{\delta \eta_\k^*} \hspace{2cm}
  \frac{\partial \eta_\k}{\partial t} = \frac{\delta H}{\delta \psi_\k^*}.$$

\noindent Здесь $H=K+U$ - полная энергия жидкости, с кинетической и потенциальной энергиями:

$$ K = \frac{1}{2}\int\!dx\!\int_{-\infty}^\eta\,v^2\!dz \hspace{1cm}
   U = \frac{g}{2}\int \eta^2\!dx$$
  
\noindent После введения нормальной канонической переменной $a_k$:

\begin{equation} \nonumber
\eta_\k =  \sqrt{\frac{\omega_\k}{2g}}(a_\k+a^*_{-\k}) \hspace{.5cm}
\psi_\k =  -i\sqrt{\frac{2g}{\omega_\k}}(a_\k-a^*_{-\k})
\end{equation}

\noindent он также получил уравнение Больцмановского типа
для парной корреляционной функции  $n_\k\delta_{\k-\k^\prime} = <a_\k a_{\k^\prime}>$

\begin{eqnarray} \label{eq:(zakhkin)}
\frac{\partial n_\k}{\partial t} & = & 4\pi \int\!T_Z^2
\{n_{\k_2}n_{\k_3}(n_{\k}+n_{\k_1}) - n_{\k}n_{\k_1}(n_{\k_2}+n_{\k_3})\}\times\cr
& \times &\delta_{\k+\k_1-\k_2-\k_3}
\delta_{\omega_\k+\omega_{\k_1}-\omega_{\k_2}-\omega_{\k_3}}
\!d\k_1d\k_2d\k_3
\end{eqnarray}

\noindent и вычислил матричный элемент $T_Z$\cite{Z68}. Эти два выражения, $T_H$ и $T_Z$
выглядят очень по разному, но оба они определены с точностью до произвольной функции, равной нулю на резонансной поверхности

\begin{eqnarray} \label{eq:(res)}
\k + \k_1 & = & \k_2 + \k_3,\cr
\omega_\k + \omega_{\k_1} & = & \omega_{\k_2} + \omega_{\k_3},
\end{eqnarray}

В 1980, в работе Crawford,D.E., Yuen,H.G. и Saffman,P.G.\cite{CYS80}
был сформулирован вопрос об идентичности результатов Хассельманна и Захарова,
однако ответа на него не было.

В этом параграфе мы проверяем оба матричных элемента $T_H$ и $T_Z$ 
на резонансной поверхности (\ref{eq:(res)}).
Сначала оба матричных элемента будут проверены в одномерном случае, где имеется компактное аналитическое выражение для резонансной поверхности.
В этом случае резонансная поверхность имеет два различных решения, тривиальное (\ref{Num14}),
и нетривиальное (\ref{Num15}) (см. \cite{DZ94})

На резонансной поверхности  (\ref{Num14}) $T_Z$ и $T_H$ различаются только знаком,
так что $T_Z = -T_H = 1/4\pi^2 (k k_1) min(|k|,|k_1|)$
(Замечание: Знак здесь не важен, так как только $T_H^2$ и $T_Z^2$ 
присутствуют в кинетических уравнениях.
Костанта $\alpha$ в (\ref{eq:(hasskin)}) равна $1/4\pi^2$.

На резонансной поверхности (\ref{Num15}) оба матричных элемента равны нулю.

Для полного двумерного случая также найдена общая параметризация резонансной поверхности
(\ref{eq:(res)})

\begin{eqnarray} \label{eq:(nontriv2D)}
\k   & = & (\zeta-x)^2 
\left(\begin{array}{c}\cos\theta\\\sin\theta\end{array}\right),\cr
\k_1 & = & (\zeta+x)^2\left(
\begin{array}{c}\cos\theta_1\\\sin\theta_1\end{array}\right),\cr
\k_2 & = & (\zeta-y)^2
\left(\begin{array}{c}\cos\theta_2\\\sin\theta_2\end{array}\right),\cr 
\k_3 & = & (\zeta+y)^2\left(\begin{array}{c}\cos\theta_3\\
\sin\theta_3\end{array}\right), 0 < \zeta < 1
\end{eqnarray}
\noindent здесь
\begin{eqnarray} \nonumber
\cos\theta   & = & (1+|\k|^2-|\k_1|^2)/2|\k|,\cr
\cos\theta_1 & = & (1-|\k|^2+|\k_1|^2)/2|\k_1|,\cr
\cos\theta_2 & = & (1+|\k_2|^2-|\k_3|^2)/2|\k_2|,\cr
\cos\theta_3 & = & (1-|\k_2|^2+|\k_3|^2)/2|\k_3|,\cr
\end{eqnarray}

\noindent и численно посчитаны $T_Z$ и $T_H$ для нескольких
значений $\zeta$, $x$ и $y$. Они совпадают с точностью до ошибок округления.
В работе \cite{LHP94} перекачка энергии по спектру исследовалась численно в рамкам уравнений Хассельмана (\ref{eq:(hasskin)}) и Захарова (\ref{eq:(zakhkin)}).
Сравнение результатов показало соответствие между этими моделями.
Небольшое различие объясняется численными ошибками при вычислении
$T_H$ и $T_Z$ на резонансной поверхности, т.к. $T_H$ и $T_Z$
совпадают лишь на резонансной поверхности, но не в её окрестности.


\section{5-ти волновое взаимодействие}
\label{5WAVES}

\subsection{Введение}
\label{INTRO_5WAVES}

В этом параграфе исследуется взаимодействие гравитационных волн,
распространяющихся в одном, выделенном направлении на поверхности 
идеальной жидкости бесконечной глубины. Эта проблема имеет большую 
теоретическое и практическое значение. Из эксперимента известно, что 
функция распределения энергии волн даже в активной зоне шторма почти
одномерна в энергосодержащей области. Даже больше того, это 
справедливо "морской зыби" далеко от активной зоны. Общепринято, что 
главный механизм взаимодействия волн является рассеиванием 
четырёхволновое рассеяние , удовлетворяющее следующим резонансным 
условиям
%
\begin{eqnarray} \label{res4}
\omega_{k} + \omega_{k_1} &=& \omega_{k_2} + \omega_{k_3} \cr
\vec k + \vec k_1 &=& \vec k_2 + \vec k_3
\end{eqnarray}
\noindent здесь $\vec k_i$ 
волновые вектора четырёх взаимодействующих волн,
а $\omega_k = \sqrt{gk}$ - закон дисперсии волн. Соответствующий 
эффективный Гамильтониан имеет вид: 
\begin{eqnarray} \label{ham4}
\Ha &=& \int \omega_k a_k a_k^* dk+\cr
&+& \frac{1}{4}\int T^{k k_1}_{k_2 k_3}
a_{k}^*a_{k_1}^*a_{k_2}a_{k_3}
\delta_{k+k_1-k_2-k_3}dkdk_1dk_2dk_3 + \ldots
\end{eqnarray}
\noindent ($a_k$ являются нормальными комплексными амплитудами
волн \cite{Z68},\cite{CYS80},\cite{Z92}). Соответствующее же
кинетическое уравнение для парной корреляционной функции
$$n_k = <a_k a^*_{k'}>\delta_{k-k'}$$
хорошо известно (см., например, \cite{ZLF92, OptTurb}, а также параграф
\ref{GravTurbu} диссертации):
\begin{eqnarray} \label{kin4}
\frac{\partial n_k}{\partial t} &=& \pi \int |T^{k k_1}_{k_2 k_3}|^2
\delta_{k+k_1-k_2-k_3}
\delta_{\omega_{k}+\omega_{k_1}-\omega_{k_2}-\omega_{k_3}}\times \cr
&\times& \{n_{k_2}n_{k_3}(n_k + n_{k_1}) - n_k n_{k_1}(n_{k_2}n_{k_3})\}
dk_1dk_2dk_3
\end{eqnarray}
\noindent Как показано в параграфе \ref{ZH_KIN},
это кинетическое уравнение эквивалентно (см. \cite{DL94})
кинетическому уравнению Хассельманна, полученному впервые в 1962году в
\cite{H62}. Это уравнение, (\ref{kin4}),
вполне премлемо в ситуации, если волновые вектора $\vec k_i$ являются двумерными. но в одномерной ситуации, когда 
$$T_{k k_1, k_2 k_3}=0$$
оно теряет смысл. 

Резонансные условия (\ref{res4}) 
имеют в одномерном случае два типа решений:
\begin{enumerate}
\item Тривиальное решение:
\begin{eqnarray} \label{triv4}
k_2 &=& k_1,\hspace{.5cm} k_3 = k,\cr 
\mbox{или}\hspace{.5cm}k_3 &=& k_1,\hspace{.5cm} k_2=k.
\end{eqnarray}
Здесь $k$ и $k_1$ могут иметь как одинаковые, так и противоположные знаки.
\item  Нетривиальное решение: ($k_2 \neq k, k_1$). 
Такое решение существует только в том случае, когда
произведение $k k_1$ и
$k_2 k_3$ имеют противоположные знаки.
\end{enumerate}
Это нетривиальное решение описано в параграфе \ref{ZERO_T}
Пусть $k > 0$, $k_1 > 0$, $k_2 < 0$, $k_3 > 0$. Тогда
\begin{eqnarray} \label{nontriv4}
k   &=& a(1+\zeta)^2, \hspace{0.5cm}k_1 = a(1+\zeta)^2 \zeta^2, \cr 
k_2 &=& -a\zeta^2, \hspace{1.0cm}k_3 = a(1+\zeta+\zeta^2)^2.
\end{eqnarray}
Теперь рассмотрим столкновительный член кинетического уравнения 
на обеих резонансах, тривиальном, и нетривиальном.
Если одно из условий (\ref{triv4}) выполнено, тогда столкновительный член
\begin{eqnarray} \nonumber
n_{k_2}n_{k_3}(n_k + n_{k_1}) - n_k n_{k_1}(n_{k_2}n_{k_3})
\end{eqnarray}
тождественно равен нулю. Так, что {\it тривиальный резонанс} не даёт никакого вклада в кинетическое уравнение. Если же мы рассмотрим {\it нетривиальный
резонанс} (\ref{nontriv4}), то столкновительный член также равен нулю, поскольку, как показано в параграфе \ref{ZERO_T} (см. \cite{DZ94}), 
коэффициент $T^{k k_1}_{k_2 k_3}$ тождественно равен нулю. 
\begin{eqnarray} \nonumber
T^{k k_1}_{k_2 k_3} \equiv 0
\end{eqnarray}
на резонансном многообразии (\ref{nontriv4}).

Это замечательное тождество означает, что 
система (\ref{ham4}) является
"почти" интегрируемой. Более того, Штясны в работах 
\cite{BSt94} показал, что и некоторые 5-ти волновые 
амплитуды равны нулю на резоансной поверхности. Однако, как 
будет показано ниже, это справедливо не для всех 5-ти волновых
резонансов, и кинетическое уравнение имеет смысл только в 
следующем порядке (пятиволновое взаимодействие)
\begin{eqnarray} \nonumber
\frac{\partial n}{\partial t} = st(n,n,n,n).
\end{eqnarray}
Здесь $st(n,n,n,n)$ столкновительный член, соответствующий пятиволновому
взаимодействию, которому соответствуют следующие резонансные условия:
\begin{eqnarray} \label{res5}
\omega_{k} + \omega_{k_1} + \omega_{k_2} &=& \omega_{k_3} + \omega_{k_4} \cr
k + k_1 + k_2 &=& k_3 + k_4
\end{eqnarray}
Соответствующий Гамильтониан имеет вид:
\begin{eqnarray} \nonumber
&\Ha& = \int \omega_k a_k a_k^* dk +\cr
&+& \frac{1}{12}\int T^{k k_1 k_2}_{k_3 k_4}
\{a_{k}^*a_{k_1}^*a_{k_2}^*a_{k_3}a_{k_4}+c.c.\}
\delta_{k+k_1+k_2-k_3-k_4}dkdk_1dk_2dk_3dk_4 + \ldots
\end{eqnarray}
Выражение для столкновительного члена $st(n,n,n,n)$ имеет следующий вид:
\begin{eqnarray} \label{stoss5}
&&st(n,n,n,n) = \frac{\pi}{3}\int 
|T^{k_1 k_2 k_3}_{k k_5}|^2
f_{k_1 k_2 k_3 k k_5}dk_1dk_2dk_3dk_5 - \cr
&-&\frac{\pi}{2}\int 
|T^{k k_2 k_3}_{k_4 k_5}|^2
f_{k k_2 k_3 k_4 k_5}dk_2dk_3dk_4dk_5,\cr
&&f_{k_1 k_2 k_3 k_4 k_5} = \delta_{k_1+k_2+k_3-k_4-k_5}
\delta_{\omega_{k_1}+\omega_{k_2}+\omega_{k_3}
-\omega_{k_4}-\omega_{k_5}}\times \cr
&\times& \{ n_{k_1}n_{k_2}n_{k_3}(n_{k_4}+n_{k_5}) -
n_{k_4}n_{k_5}(n_{k_1}n_{k_2}+n_{k_1}n_{k_3}+n_{k_2}n_{k_3})\}
\end{eqnarray}
Столкновительный член (\ref{stoss5}) впервые был получен Красицким \cite{KRS94}.
Он также нашёл, "в принципе" выражение для $T^{k k_1 k_2}_{k_3 k_4}$.
Но его окончательная формула чрезвычайно громоздка, и не может быть
практически использована. Он использовал технику канонических преобразований,
которая позволяет исключать нерезонансные нелинейные члены из 
Гамильтониана.

Здесь в диссертационной работе, и в статье \cite{3waves} матричный элемент
$T^{k k_1 k_2}_{k_3 k_4}$ вычисляется на резонансной поверхности (\ref{res5}). Окончательная формула - чрезвычайно проста, и будет 
получена в параграфе \ref{4W_HAM}. здесь мы только приведём результат вычислений:
\begin{eqnarray} \nonumber
T^{k_1 k_2 k_3}_{k_4 k_5} = \frac{2}{g^{1/2}\pi^{3/2}}
\sqrt{\frac{\omega_{k_1} \omega_{k_2} \omega_{k_3}}{\omega_{k_4} \omega_{k_5}}}
\frac{k_1 k_2 k_3 k_4 k_5}{max(k_1,k_2,k_3)}
\end{eqnarray}
 
Это ещё один удивительный факт в теории поверхностных гравитационных волн.

Также найдены Колмогоровские решения стационарного 5-ти волнового кинетического уравнения
\begin{eqnarray} \nonumber
st(n,n,n,n) = 0
\end{eqnarray}
При его выводе применялась техника, отличная от общепринятой, 
\cite{Z68},\cite{CYS80},\cite{Z92},\cite{H62}.


\subsection{Конформные канонические переменные}
\label{CONF_CAN}
%\setcounter{equation}{0}

В этом параграфе мы получим {\it конформные канонические переменные},
которые понадобятся (в следующих параграфах этой главы) для получения
коэффициентов разложения Гамильтониана до пятого порядка включительно.
Начнём опять с исходных динамических уравнений для двумерного
течения идеальной несжимаемой жидкости на бесконечной глубине (\ref{Num01}),
\begin{eqnarray} \nonumber
\phi_{xx} + \phi_{zz} &=& 0 \hspace{1cm} (\phi_z\to 0, z\to -\infty), \cr
\eta_t + \eta_x\phi_x &=& \phi_z\bigg|_{z=\eta}\cr
\phi_t + \frac{1}{2}(\phi_x^2 + \phi_z^2) + g\eta &=& {0\bigg|_{z=\eta}};
\end{eqnarray}
Здесь $\eta(x,t)$ - профиль границы, $\phi(x,z,t)$ - потенциал скорости
течения и $g$ - гравитационная постоянная.
Как было показано в работе Захарова \cite{Z68}, 
потенциал на границе 
$$\psi(x,t) = \phi(x,z,t)\bigg|_{z=\eta(x,t)}\hspace{1cm}\mbox{и }\eta(x,t)$$ 
являются канонически сопряженными, и их Фурье-преобразования удовлетворяют
следующим уравнениям
$$\frac{\partial \psi_k}{\partial t} = 
-\frac{\delta \Ha}{\delta \eta_k^*} \hspace{2cm}
  \frac{\partial \eta_k}{\partial t} = 
  \frac{\delta \Ha}{\delta \psi_k^*}.$$
Здесь $\Ha=K+U$ - полная энергия системы, состоящая из кинетической, $K$,
и потенциальной, $U$,  частей:
%
\begin{eqnarray} \nonumber
K = \frac{1}{2}\int\!dx\!\int_{-\infty}^\eta\,v^2\!dz \hspace{1cm}
   U = \frac{g}{2}\int \eta^2\!dx
\end{eqnarray}
%
Гамильтониан может быть разложен в бесконечный ряд по степеням
характеристической крутизны поверхности $k\eta_k <\!< 1$ 
(см. \cite{Z68, CYS80})
с помощью итерационной процедуры. Все члены до пятого порядка
включительно дают вклад в пятиволновое взаимодействие.

Здесь мы применим другой способ. А именно, сначала сделаем 
каноническое преобразование от переменных
$\psi$, $\eta$ к новым каноническим же переменным.
Это преобразование будет связано с конформная заменой координат.
Рассмотрим эту замену подробно.
Следуя работе \cite{KSZ94}, сделаем конформное преобразование
области, занятой жидкостью 
$$z < \eta(x,t),$$
на нижнюю полуплоскость комплексной переменной  
$$w = u + iv,\hspace{1cm} -\infty<u<\infty,
\hspace{1cm} -\infty<v<0.$$
Форма границы параметризуется двумя функциями
\begin{eqnarray}  \nonumber
z(u,t), \hspace{0.5cm} x(u,t)
\end{eqnarray}
которые связаны преобразованием Гильберта (как мнимая и вещественная части аналитической в нижней полуплоскости
функции):
\begin{eqnarray} \nonumber
   x(u,t) &=& u - \hat H(z(u,t))\cr
\hat H(f(u)) &=& \frac{1}{\pi}P.V.\int \frac{f(u^\prime)du^\prime}
   {u^\prime-u}
\end{eqnarray}
Необходимо также ввести комплексный потенциал скорости (вместо
$\psi$).
\begin{eqnarray} \nonumber
\Phi(w,t) = \Psi(u,v,t)+i\Theta(u,v,t)
\end{eqnarray}
На границе жидкости, ($v=0$), справедливо следующее соотношение:
\begin{eqnarray} \nonumber
   \Theta(u,0,t) = \hat H(\Psi(u,0,t)), \cr
\end{eqnarray}
%
Новые канонические переменные могут быть получены
из вариационного принципа для действия.
\begin{eqnarray} \nonumber
   S = \int dt \{ \int \psi(x,t)\eta_t(x,t)dx - \Ha\}.
\end{eqnarray}
После конформного преобразования \cite{KSZ94} 
для действия и Лагранжиана имеем выражение:
\begin{eqnarray} \nonumber
   S &=& \int L dt, \cr
   L &=& \int \{\Psi(z_t x_u - x_t z_u) + 
   \frac{1}{2}\Psi \hat H\Psi_u
                -\frac{g}{2} z^2 x_u \}du.
\end{eqnarray}

\noindent Лагранжиан $L$ может быть переписан в терминах новых  переменных как
\begin{eqnarray} \nonumber
   L = \int \{z_t(\Psi x_u - \hat H(\Psi z_u)) + 
  \frac{1}{2}\Psi \hat H\Psi_u - \frac{g}{2} y^2 x_u \}du.
\end{eqnarray}
и новыми каноническими переменными теперь являются
\begin{eqnarray}\nonumber
z(u,t)&&\cr
\Pa(u,t) &=&\Psi x_u - \hat H(\Psi z_u).
\end{eqnarray}
$\Psi$ можно легко обратить
\begin{eqnarray} \label{PsiPa}
   \Psi = \frac{\Pa x_u + \hat H(\Pa z_u)}{x_u^2+z_u^2}
\end{eqnarray}

\noindent и, окончательно, Гамильтониан системы принимает
следующий вид:
\begin{eqnarray} \nonumber
   \Ha = \frac{1}{2} \int \{g z^2 x_u - \Psi \hat H\Psi_u\} du
\end{eqnarray}
\noindent где  $\Psi$ выражается через новую каноническую переменную $\Pa$ с помощью соотношения (\ref{PsiPa}).
Уравнения движения могут быть написаны в явной гамильтоновой
форме, которая включает в себя интегральный оператор 
Гильберта: 
\begin{eqnarray} \nonumber
\frac{\partial \Pa}{\partial t} = 
-\frac{\delta \Ha}{\delta z} \hspace{2cm}
  \frac{\partial z}{\partial t} = \frac{\delta \Ha}{\delta \Pa}
\end{eqnarray}


\subsection{5-й порядок в разложении Гамильтониана}
\label{5_HAM}
%\setcounter{equation}{0}

В этом параграфе мы собственно получим разложение Гамильтониана
до пятого порядка включительно по степеням $z$ и $\Pa$.
удобно ввести новую переменную $\tilde x$ следующим образом.
\begin{eqnarray} \nonumber
x=u+\tilde x,\hspace{0.3cm} x_u  = 1+\tilde x_u, \hspace{0.3cm} 
\tilde x = -\hat Hz
\end{eqnarray}
\noindent Тогда
\begin{eqnarray} \nonumber
   \Psi = \frac{\Pa + \Pa \tilde x_u + \hat H(\Pa z_u)}{(1+\tilde x_u)^2+z_u^2}
\end{eqnarray}
  
Теперь мы разложим $\Psi$ по степеням  $\tilde x_u$ и $z_u$
\begin{eqnarray} \nonumber
\Psi &=& \Psi^{(1)} + \Psi^{(2)} + \Psi^{(3)} + \Psi^{(4)} + \ldots \cr
\Psi^{(1)} &=& \Pa \cr
\Psi^{(2)} &=& \hat H(z_u \Pa) - \tilde x_u \Pa \cr
\Psi^{(3)} &=& \Pa({\tilde x_u}^2-z_u^2)-2\tilde x_u \hat H(z_u \Pa)\cr
\Psi^{(4)} &=& \Pa \tilde x_u (3z_u^2-{\tilde x_u}^2) +
                 (3{\tilde x_u}^2 - z_u^2)\hat H(z_u \Pa)
\end{eqnarray}
\noindent Гамильтониан системы определяется следующим выражением:
\begin{eqnarray} \nonumber
   \Ha = \frac{1}{2} \int \{g z^2 (1+\tilde x_u) - 
   \Psi \hat H\Psi_u\} du
\end{eqnarray}
\noindent Теперь разложение Гамильтониана $\Ha$ может быть
записано следующим образом
\begin{eqnarray} \label{HamSer}
\Ha = \Ha_2 + \Ha_3 + \Ha_4 + \Ha_5 + \ldots
\end{eqnarray}
\noindent здесь
\begin{eqnarray} \nonumber
\Ha_2 &=& {1\over2}\int(g z^2 - \Psi^{(1)} \hat H\Psi^{(1)}_u) du \cr
\Ha_3 &=& {1\over2}\int(g z^2\tilde x_u -2\Psi^{(2)}\hat H\Psi^{(1)}_u) du \cr
\Ha_4 &=& -{1\over2}\int (2\Psi^{(3)} \hat H\Psi^{(1)}_u +
\Psi^{(2)} \hat H\Psi^{(2)}_u ) du \cr
\Ha_5 &=& -\int (\Psi^{(4)} \hat H\Psi^{(1)}_u +
\Psi^{(3)} \hat H\Psi^{(2)}_u ) du
\end{eqnarray}
\noindent Введем преобразование Фурье следующим образом:
$$f_k = {1\over \sqrt{2\pi}} \int f(u) e^{-i k u} du,\hspace{1cm} 
f(u) = {1\over \sqrt{2\pi}} \int f_k e^{i k u} dk$$
\noindent После несложных, но довольно громоздких высислений
можно получить следующие выражения для $\Ha_n$:
\begin{eqnarray} \nonumber
\Ha_2 &=& \frac{1}{2}\int (g |z_k|^2 + |k||\Pa_k|^2) dk, \cr
%
\Ha_3 &=&\frac{1}{2\sqrt{2\pi}} \int z_{k_1}\{ S_{k_1 k_2 k_3}
        z_{k_2}z_{k_3} - F^{k_1}_{k_2 k_3}
\Pa_{k_2} \Pa_{k_3} \} \delta_{k_1+k_2+k_3}dk_1dk_2dk_3, \cr
\Ha_4 &=& \frac{1}{4\pi}\int\!
M^{k_1 k_2}_{k_3 k_4}z_{k_1}z_{k_2}\Pa_{k_3}\Pa_{k_4}
\delta_{k_1+k_2+k_3+k_4}dk_1dk_2dk_3dk_4, \cr
\Ha_5 &=& \frac{1}{2(2\pi)^{3\over 2}}\int\!N^{k_1 k_2 k_3}_{k_4 k_5}
z_{k_1}z_{k_2}z_{k_3}\Pa_{k_4}\Pa_{k_5}
\delta_{k_1+k_2+k_3+k_4+k_5}dk_1dk_2dk_3dk_4dk_5
\end{eqnarray}
\noindent Здесь $S_{k_1 k_2 k_3}$, $F^{k_1}_{k_2 k_3}$, $M^{k_1 k_2}_{k_3 k_4}$
и $N^{k_1 k_2 k_3}_{k_4 k_5}$ функции, симметричные отдельно
по верхним, и отдельно по нижним индексам. А именно
%
\begin{eqnarray} \label{SLF}
S_{k_1 k_2 k_3} &=& {g\over 3}(|k_1|+|k_2|+|k_3|)\cr
L_{k_1 k_2} &=& k_1 k_2 +|k_1 k_2|\cr
F^{k_1}_{k_2 k_3} &=& L_{-k_1 k_2} + L_{-k_1 k_3} = |k_1|(|k_1|+|k_2|+|k_3|)
\end{eqnarray}
\noindent Выражение для $M^{k_1 k_2}_{k_3 k_4}$ и
$N^{k_1 k_2 k_3}_{k_4 k_5}$ приведены в 
Приложении \ref{APPEND-str}.

Здесь опять удобно ввести нормальую комплексную переменную $a_k$
следующим образом
\begin{equation} \nonumber
 y_k =  \sqrt{\frac{\omega_k}{2g}}(a_k+a^*_{-k}) \hspace{.5cm}
\Pa_k =  -i\sqrt{\frac{2g}{\omega_k}}(a_k-a^*_{-k})
\end{equation}
\noindent Эта переменная удовлетворяет следующему уравненю 
движения:
\begin{equation} \nonumber
\frac{\partial a_k}{\partial t} + i\frac{\delta \Ha}{\delta a_k^*}=0.
\end{equation}
\noindent где $\omega_k = \sqrt{g|k|}$ - закон дисперсии
для гравитационных волн на глубокой воде.

В новых канонических переменных $a_k$ квадратичный член
в Гамильтониане принимает вид:
\begin{eqnarray} \nonumber
\Ha_2 = \int \omega_k a_k a_k^* dk
\end{eqnarray}
\noindent Кубический член в Гамильтониане равен:
\begin{eqnarray} \nonumber
\Ha_3 & = &\frac{1}{2}\int\!V^{k_1}_{k_2 k_3}
\{a_{k_1}^* a_{k_2} a_{k_3}+a_{k_1} a_{k_2}^* a_{k_3}^*\}
\delta_{k_1-k_2-k_3}\!dk_1dk_2dk_3+\cr
&+&\frac{1}{6}\int\!U_{k_1 k_2 k_3}
\{a_{k_1} a_{k_2} a_{k_3} + a_{k_1}^* a_{k_2}^* a_{k_3}^*\}
\delta_{k_1+k_2+k_3}\!dk_1dk_2dk_3
\end{eqnarray}
А для $V^{k_1}_{k_2 k_3}$ и $U_{k_1 k_2 k_3}$ имеем:
\begin{eqnarray} \nonumber
V^{k_1}_{k_2 k_3} &=& \frac{g^{\frac{1}{4}}}{2\sqrt{4\pi}}
(|k_1|+|k_2|+|k_3|)\times\cr
&&\left(
|k_1 k_2 k_3|^{\frac{1}{4}} +
\left(k_1\over{k_2k_3}\right)^{1\over4}|k_1|-
\left(k_2\over{k_1k_3}\right)^{1\over4}|k_2|-
\left(k_3\over{k_1k_2}\right)^{1\over4}|k_3|
\right)\cr
U_{k_1 k_2 k_3} &=& \frac{g^{\frac{1}{4}}}{2\sqrt{4\pi}}
(|k_1|+|k_2|+|k_3|)\times\cr
&&\left(
|k_1 k_2 k_3|^{\frac{1}{4}} +
\left(k_1\over{k_2k_3}\right)^{1\over4}|k_1|+
\left(k_2\over{k_1k_3}\right)^{1\over4}|k_2|+
\left(k_3\over{k_1k_2}\right)^{1\over4}|k_3|
\right)
\end{eqnarray}
\noindent Член четвертого порядка в Гамильтониане
состоит из трёх слагаемых:
\begin{eqnarray} \nonumber
\Ha_4 = \Ha_4^{4\Leftrightarrow 0} + \Ha_4^{3\Leftrightarrow 1} +
\Ha_4^{2\Leftrightarrow 2}
\end{eqnarray}
\noindent соответствующих различным типам волновых 
взаимодействий. Слагаемое, соответствующее  $4\Leftrightarrow 0$
взаимодействию имеет вид:
\begin{eqnarray} \nonumber
\Ha_4^{4\Leftrightarrow 0} = \frac{1}{24}\int &&R_{k_1 k_2 k_3 k_4}
(a_{k_1}a_{k_2}a_{k_3}a_{k_4}+a_{k_1}^*a_{k_2}^*a_{k_3}^*a_{k_4}^*)\times\cr
&&\delta_{k_1+k_2+k_3+k_4}\!dk_1dk_2dk_3dk_4
\end{eqnarray}
где $R_{k_1 k_2 k_3 k_4}$ равно:
\begin{eqnarray} \nonumber
R_{k_1 k_2 k_3 k_4} = &\frac{-1}{4\pi}&(
{\left|\frac{k_1 k_2}{k_3 k_4}\right|}^\frac{1}{4}M^{k_1 k_2}_{k_3 k_4}+
{\left|\frac{k_1 k_3}{k_2 k_4}\right|}^\frac{1}{4}M^{k_1 k_3}_{k_2 k_4}+
{\left|\frac{k_1 k_4}{k_2 k_3}\right|}^\frac{1}{4}M^{k_1 k_4}_{k_2 k_3}+\cr
&+&{\left|\frac{k_2 k_3}{k_1 k_4}\right|}^\frac{1}{4}M^{k_2 k_3}_{k_1 k_4}+
{\left|\frac{k_2 k_4}{k_1 k_3}\right|}^\frac{1}{4}M^{k_2 k_4}_{k_1 k_3}+
{\left|\frac{k_3 k_4}{k_1 k_2}\right|}^\frac{1}{4}M^{k_3 k_4}_{k_1 k_2}
\end{eqnarray}

Слагаемое, соответствующее  $3\Leftrightarrow 1$
взаимодействию имеет такой вид:
\begin{eqnarray} \nonumber
\Ha_4^{3\Leftrightarrow 1} = \frac{1}{6}\int &&G^{k_1}_{k_2 k_3 k_4}
(a_{k_1}^*a_{k_2}a_{k_3}a_{k_4}+a_{k_1}a_{k_2}^*a_{k_3}^*a_{k_4}^*)\times\cr
&&\delta_{k_1-k_2-k_3-k_4}\!dk_1dk_2dk_3dk_4
\end{eqnarray}
где $G^{k_1}_{k_2 k_3 k_4}$ равно:
\begin{eqnarray} \nonumber
G^{k_1}_{k_2 k_3 k_4} = &\frac{-1}{4\pi}&(
{\left|\frac{k_1 k_2}{k_3 k_4}\right|}^\frac{1}{4}M^{-k_1 k_2}_{k_3 k_4}+
{\left|\frac{k_1 k_3}{k_2 k_4}\right|}^\frac{1}{4}M^{-k_1 k_3}_{k_2 k_4}+
{\left|\frac{k_1 k_4}{k_2 k_3}\right|}^\frac{1}{4}M^{-k_1 k_4}_{k_2 k_3}-\cr
&-&{\left|\frac{k_2 k_3}{k_1 k_4}\right|}^\frac{1}{4}M^{k_2 k_3}_{-k_1 k_4}-
{\left|\frac{k_2 k_4}{k_1 k_3}\right|}^\frac{1}{4}M^{k_2 k_4}_{-k_1 k_3}-
{\left|\frac{k_3 k_4}{k_1 k_2}\right|}^\frac{1}{4}M^{k_3 k_4}_{-k_1 k_2})
\end{eqnarray}

Слагаемое, соответствующее взаимодействию $2\Leftrightarrow 2$
выражается следующим образом:
\begin{eqnarray} \nonumber
\Ha_4^{2\Leftrightarrow 2} = \frac{1}{4}\int W^{k_1 k_2}_{k_3 k_4}
a_{k_1}^*a_{k_2}^*a_{k_3}a_{k_4}
\delta_{k_1+k_2-k_3-k_4}dk_1dk_2dk_3dk_4
\end{eqnarray}

где $W^{k_1 k_2}_{k_3 k_4}$:

\begin{eqnarray} \nonumber
W^{k_1 k_2}_{k_3 k_4} = &\frac{-1}{4\pi}&(
{\left|\frac{k_1 k_2}{k_3 k_4}\right|}^\frac{1}{4}M^{-k_1 -k_2}_{k_3 k_4}-
{\left|\frac{k_1 k_3}{k_2 k_4}\right|}^\frac{1}{4}M^{-k_1 k_3}_{-k_2 k_4}-
{\left|\frac{k_1 k_4}{k_2 k_3}\right|}^\frac{1}{4}M^{-k_1 k_4}_{k_3 -k_2}-\cr
&-&{\left|\frac{k_2 k_3}{k_1 k_4}\right|}^\frac{1}{4}M^{-k_2 k_3}_{-k_1 k_4}-
{\left|\frac{k_2 k_4}{k_1 k_3}\right|}^\frac{1}{4}M^{-k_2 k_4}_{-k_1 k_3}+
{\left|\frac{k_3 k_4}{k_1 k_2}\right|}^\frac{1}{4}M^{k_3 k_4}_{-k_1 -k_2})
\end{eqnarray}

Среди различных членов пятого порядка здесь мы рассмотрим 
только один, а именно тот, который соответствует процессу
$2\Leftrightarrow 3$, (\ref{res5}):
\begin{eqnarray} \nonumber
\Ha_5 = \!\frac{1}{12}\int Q^{k_1 k_2 k_3}_{k_4 k_5}
\{a_{k_1}^* a_{k_2}^* a_{k_3}^* a_{k_4} a_{k_5}+\!c.c.\}
\delta_{k_1+k_2+k_3-k_4-k_5}\!dk_1dk_2dk_3dk_4dk_5
\end{eqnarray}
здесь

\begin{eqnarray} \nonumber
Q^{k_1 k_2 k_3}_{k_4 k_5}&=&
\frac{-3}{(4\pi)^{\frac{3}{2}}g^{\frac{1}{4}}}\times\{\cr
&+&({|k_1 k_2 k_3|\over{|k_4 k_5|}})^{1\over 4}N^{-k_1,-k_2,-k_3}_{k_4,k_5}-
({|k_1 k_2 k_4|\over{|k_3 k_5|}})^{1\over 4}N^{-k_1,-k_2,k_4}_{-k_3,k_5}-\cr
&-&({|k_1 k_2 k_5|\over{|k_3 k_4|}})^{1\over 4}N^{-k_1,-k_2,k_5}_{k_4,-k_3}-
({|k_1 k_3 k_4|\over{|k_2 k_5|}})^{1\over 4}N^{-k_1,k_4,-k_3}_{-k_2,k_5}-\cr
&-&({|k_1 k_3 k_5|\over{|k_2 k_4|}})^{1\over 4}N^{-k_1,k_5,-k_3}_{k_4,-k_2}-
({|k_2 k_3 k_4|\over{|k_1 k_5|}})^{1\over 4}N^{k_4,-k_2,-k_3}_{-k_1,k_5}-\cr
&-&({|k_2 k_3 k_5|\over{|k_1 k_4|}})^{1\over 4}N^{k_5,-k_2,-k_3}_{k_4,-k_1}+
({|k_1 k_4 k_5|\over{|k_2 k_3|}})^{1\over 4}N^{-k_1,k_4,k_5}_{-k_2,-k_3}+\cr
&+&({|k_2 k_4 k_5|\over{|k_1 k_3|}})^{1\over 4}N^{k_4,-k_2,k_5}_{-k_1,-k_3}+
({|k_3 k_4 k_5|\over{|k_1 k_2|}})^{1\over 4}N^{k_4,k_5,-k_3}_{-k_1,-k_2}\}
\end{eqnarray}

\subsection{Эффективный 4-х волновой гамильтониан}
\label{4W_HAM}

%\setcounter{equation}{0}

Гамильтониан $\Ha$, записанный в нормальных переменных $a_k$
слишком громоздок. В этом параграфе мы упростим его, приведя к следующему виду:
\begin{eqnarray} \label{Ham4_5}
\!&\Ha& = \int \omega_k b_k b_k^* dk + \frac{1}{4}\int T^{k_1 k_2}_{k_3 k_4}
b_{k_1}^*b_{k_2}^*b_{k_3}b_{k_4}
\delta_{k_1+k_2-k_3-k_4}dk_1dk_2dk_3dk_4+ \cr
%
\!&+&\!\!\frac{1}{12}\!\int\! T^{k_1 k_2 k_3}_{k_4 k_5}\!
\{b_{k_1}^* b_{k_2}^* b_{k_3}^* b_{k_4} b_{k_5}+\!c.c.\}
\delta_{k_1+k_2+k_3-k_4-k_5}\!dk_1dk_2dk_3dk_4dk_5
\end{eqnarray}
\noindent Для того, чтобы это сделать произведём каноническое
 преобразование к новым переменным $b_k$, в духе работ
\cite{Z74,KRS90}
\begin{eqnarray} \label{transformation}
a_k &=& b_k + \int \Gamma^{k}_{k_1 k_2}b_{k_1}b_{k_2}
\delta_{k-k_1-k_2} - 2\int 
\Gamma^{k_2}_{k k_1}b^*_{k_1}b_{k_2}\delta_{k+k_1-k_2} +\cr
&+&\int \Gamma_{k k_1 k_2}b^*_{k_1}b^*_{k_2}
\delta_{k+k_1+k_2} + 
\int B^{k k_1}_{k_2 k_3}b^*_{k_1}b_{k_2}b_{k_3}
\delta_{k+k_1-k_2-k_3}+\ldots
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray} \nonumber
\Gamma^{k}_{k_1 k_2} = -\frac{1}{2}\frac{V^k_{k_1 k_2}}
                        {\omega_{k}-\omega_{k_1}-
\omega_{k_2}} \hspace{0.3cm}
\Gamma_{k k_1 k_2} = -\frac{1}{2}\frac{U_{k k_1 k_2}}
                        {\omega_{k}+\omega_{k_1}+\omega_{k_2}}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray} \nonumber
B^{k k_1}_{k_2 k_3} &=& \Gamma^{k_1}_{k_2 k_1-k_2}\Gamma^{k_3}_{k k_3-k}+
\Gamma^{k_1}_{k_3 k_1-k_3}\Gamma^{k_2}_{k k_2-k}-\cr
&-&\Gamma^{k}_{k_2 k-k_2}\Gamma^{k_3}_{k_1 k_3-k_1}-
   \Gamma^{k_1}_{k_3 k_1-k_3}\Gamma^{k_2}_{k_1 k_2-k_1}-\cr
&-&\Gamma^{k+k_1}_{k k_1}\Gamma^{k_2+k_3}_{k_2 k_3}+
   \Gamma_{-k_1-k_1 k k_1}\Gamma_{-k_2-k_3 k_2 k_3}+
\tilde B^{k k_1}_{k_2 k_3}
\end{eqnarray}
\noindent Здесь $\tilde B^{k k_1}_{k_2 k_3}$ является произвольной функцией, удовлетворяющей условиям:
\begin{eqnarray} \nonumber
\tilde B^{k k_1}_{k_2 k_3} = \tilde B^{k_1 k}_{k_2 k_3} =
\tilde B^{k k_1}_{k_3 k_2} = -(\tilde B^{k_2 k_3}_{k k_1})^*
\end{eqnarray}
\noindent Преобразование (\ref{transformation}) 
является каноническим с точностью вплоть до членов 
порядка $|b_k|^4$. Оно исключает из Гамильтониана 
кубические члены, которые не являются резонансными.
Вид матричного элемента  $T^{k k_1}_{k_2 k_3}$ зависит от
выбора функции $\tilde B^{k k_1}_{k_2 k_3}$. 
Пусть
$$\tilde B^{k k_1}_{k_2 k_3} = 0.$$ 
Вычисленный при таком условии матричный элемент 
$\hat T^{k k_1}_{k_2 k_3}$, обозначим как 
$$T^{k k_1}_{k_2 k_3} = \hat T^{k k_1}_{k_2 k_3}$$
и для него получается следующее выражение:
\begin{eqnarray} \label{T4_hat}
\hat T^{k k_1}_{k_2 k_3} = W^{k_1 k}_{k_2 k_3}- \hspace{9cm}\cr
-\frac{1}{2}V^{k}_{k_2 k-k_2}V^{k_3}_{k_1 k_3-k_1}
\left[\frac{1}{\omega_{k_2}+\omega_{k-k_2}-\omega_{k}}+
\frac{1}{\omega_{k_1}+\omega_{k_3-k_1}-\omega_{k_3}}\right]-\cr
-\frac{1}{2}V^{k_1}_{k_2 k_1-k_2}V^{k_3}_{k k_3-k}
\left[\frac{1}{\omega_{k_2}+\omega_{k_1-k_2}-\omega_{k_1}}
+\frac{1}{\omega_{k}+\omega_{k_3-k}-\omega_{k_3}}\right]-\cr
-\frac{1}{2}V^{k}_{k_3 k-k_3}V^{k_2}_{k_1 k_2-k_1}
\left[\frac{1}{\omega_{k_3}+\omega_{k-k_3}-\omega_{k}}
+\frac{1}{\omega_{k_1}+\omega_{k_2-k_1}-\omega_{k_2}}\right]-\cr
-\frac{1}{2}V^{k_1}_{k_3 k_1-k_3}V^{k_2}_{k k_2-k}
\left[\frac{1}{\omega_{k_3}+\omega_{k_1-k_3}-\omega_{k_1}}
+\frac{1}{\omega_{k}+\omega_{k_2-k}-\omega_{k_2}}\right]-\cr
-\frac{1}{2}V^{k+k_1}_{k k_1}V^{k_2+k_3}_{k_2 k_3}
\left[\frac{1}{\omega_{k+k_1}-\omega_{k}-\omega_{k_1}}
+\frac{1}{\omega_{k_2+k_3}-\omega_{k_2}-\omega_{k_3}}\right]-\cr
-\frac{1}{2}U_{-k-k_1 k k_1}U_{-k_2-k_3 k_2 k_3}
\left[\frac{1}{\omega_{k+k_1}+\omega_{k}+\omega_{k_1}}
+\frac{1}{\omega_{k_2+k_3}+\omega_{k_2}+\omega_{k_3}}\right]
\end{eqnarray}
\noindent Это выражение, (\ref{T4_hat}), 
несмотря на свою сложность имеет весьма важные свойства.
Рассмотрим все нетривиальные решения резонансных уравнений
(\ref{res4}). Они состоят из многообразияT (\ref{nontriv4})
и семи других многообразий, которые получаются из 
(\ref{nontriv4}) перестановками индексов.
%
\begin{eqnarray} \nonumber
k \leftrightarrow k_1, \hspace{.5cm}
k_2 \leftrightarrow k_3, \hspace{.5cm}
(k, k_1) \leftrightarrow (k_2, k_3)
\end{eqnarray}
Непосредственные аналитические вычисления показывают 
(см. раздел \ref{T_ZEROO} и \cite{DZ94}), что
$$\hat T^{k k_1}_{k_2 k_3}\equiv 0$$
на всех этих многообразиях. Отметим здесь, что этот 
результат был проверен
в работе \cite{CW94} независимыми вычислениями.
Другая замечательная особенность матричного элемента
$\hat T^{k k_1}_{k_2 k_3}$ - его простая диагональная часть.
Обозначим 
\begin{eqnarray} \nonumber
T_{k k_1}  = \hat T^{k k_1}_{k k_1}.
\end{eqnarray}
\noindent Простые, но довольно длинные вычисления  (\cite{DZ94}, \cite{LZ}) показывают, что
\begin{eqnarray} \nonumber
T_{k k_1}  = \frac{1}{4\pi^2} k k_1 min\{|k|,|k_1|\}.
\end{eqnarray}
Оказывается, из него можно сконструировать весь матричный 
элемент $T^{k k_1}_{k_2 k_3}$.
\noindent Действительно, рассмотрим функцию
\begin{eqnarray} \nonumber
\tilde T^{k k_1}_{k_2 k_3}  &=& [
\frac{1}{2}(T_{k k_2} + T_{k k_3} + T_{k_1 k_2} + T_{k_1 k_3}) -\cr
&-&\frac{1}{4}(T_{k k} + T_{k_1 k_1} + T_{k_2 k_2} + T_{k_3 k_3})]
\theta(k k_1 k_2 k_3)
\end{eqnarray}
$$\theta(x) = \cases{1,&if $x\ge0$;\cr
                       0,&if $x<0.$}$$
\noindent Очевидно, что
\begin{eqnarray} \nonumber
\tilde T^{k k_1}_{k k_1} = \hat T^{k k_1}_{k k_1} = T_{k k_1}
\end{eqnarray}
\noindent Выберем теперь другое $\tilde B^{k k_1}_{k_2 k_3}$,
не равное нулю, а
\begin{eqnarray} \nonumber
\tilde B^{k k_1}_{k_2 k_3} = 
\frac{\tilde T^{k k_1}_{k_2 k_3} - \hat T^{k k_1}_{k_2 k_3}}
{\omega_{k} + \omega_{k_1} - \omega_{k_2} - \omega_{k_3}}
\end{eqnarray}
\noindent Нетрудно убедиться, что такое преобразование
преобразует $\hat T^{k k_1}_{k_2 k_3}$ в $\tilde T^{k k_1}_{k_2 k_3}$. Так, что далее будем погагать, что
\begin{eqnarray} \nonumber
T^{k k_1}_{k_2 k_3} = \tilde T^{k k_1}_{k_2 k_3}
\end{eqnarray}

В случае периодических граничных условий с периодом
$$ L = \frac{2\pi}{k_0},$$
\begin{eqnarray} \nonumber
b_k = \sum_{n=-\infty}^{\infty} {b_n \delta_{k-k_0n}}
\end{eqnarray}
\noindent Вводя обозначения
\begin{eqnarray} \nonumber
\omega_{k_0n} &=& \omega_n \cr
T^{k_0n k_0n_1}_{k_0n_2 k_0n_3} &=& T^{n n_1}_{n_2 n_3}
\end{eqnarray}
\noindent легко получить, что теперь уравнение движения принимает вид:
\begin{eqnarray} \nonumber
\frac{\partial b_n}{\partial t} + i\frac{\delta \Ha}{\delta b_n^*}=0,
\end{eqnarray}
а Гамильтониан соответственно
\begin{eqnarray} \nonumber
\Ha &=& \sum_{n=-\infty}^{\infty} \omega_n |b_n|^2 + 
\frac{1}{4}\sum_{n,n_1,n_2,n_3=-\infty}^{\infty} T^{n n_1}_{n_2 n_3}
b_{n}^*b_{n_1}^*b_{n_2}b_{n_3}
\delta_{n+n_1,n_2+n_3}
\end{eqnarray}
\noindent В каноническом же преобразовании  (\ref{transformation}) все интегралы должны быть заменены
на суммы. В частности, вместо
$$\tilde B^{k k_1}_{k_2 k_3}$$
будем иметь 
$$\tilde B^{n n_1}_{n_2 n_3} = \tilde B^{k_0n k_0n_1}_{k_0n_2 k_0n_3}$$
\noindent Выберем в качестве $\tilde B^{n n_1}_{n_2 n_3}$
\begin{eqnarray} \label{Bntilde}
\tilde B^{n n_1}_{n_2 n_3} = \frac
{T^{n n_1}_{n_2 n_3} - T_{n n_1}\delta_{n,n_2}\delta_{n_1,n_3}
- T_{n n_1}\delta_{n,n_3}\delta_{n_1,n_2}}
{\omega_{n} + \omega_{n_1} - \omega_{n_2} - \omega_{n_3}}.
\end{eqnarray}
\noindent Это выражение не имеет сингулярностей на диагоналях
$n_2=n, n_3=n_1$ и $n_2=n_1, n_3=n$. Каноническое преобразование 
(\ref{transformation}) с (\ref{Bntilde}) 
приводит Гамильтониан к нормальной форме Биркгоффа
\begin{eqnarray} \label{Birghoff}
\Ha &=& \sum_{n=-\infty}^{\infty} \omega_n |b_n|^2 + 
\frac{1}{2}\sum_{n\ne n_1}^{\infty} T_{n n_1}
|b_{n}|^2|b_{n_1}|^2+
\frac{1}{4}\sum_{n=-\infty}^{\infty} T_{n n}|b_{n}|^4.
\end{eqnarray}
\noindent А это Гамильтониан интегрируемой системы.
Уровень нелинейности же, при котором ещё справедливо такое
приближение (\ref{Birghoff}) (без учета 5-ти волновых
взаимодействий) ещё следует изучить отдельно.

\subsection{5-ти волновое взаимодействие на резонансной поверхности}
\label{5W_INTER}

%\setcounter{equation}{0}
Теперь мы переходим к вычислению 5-ти волнового матричного
элемента. Чтобы вычислить $T^{k k_1 k_2}_{k_3 k_4}$
необходимо учесть члены порядка $b^3$ и $b^4$ в каноническом 
преобразовании (\ref{transformation}). 
Эта весьма громоздкая процедура была проделана Красицким в 
\cite{KRS94}. К сожалению, полученная в результате формула
чрезвычайно громоздка, и не может быть использована
практически.
В этом параграфе предлагается намного более простой и 
ясный способ вычисления 
$T^{k k_1 k_2}_{k_3 k_4}$ использующий 
диаграммную технику для матриц рассеяния.

Наша промежуточная формула также очень громоздка 
(из-за большого колличества диаграмм), однако вся процедура
намного более ясная. А окончательное выражение - 
замечательно простое.

Сперва мы вводим формальную классическую матрицу рассеяния.
Пусть $H$
\begin{eqnarray} \nonumber
H = H_2 + H_{int}
\end{eqnarray}
это Гамильтониан некоторой нелинейной системы в 
однородном пространстве.
Здесь $H_2 = \int \omega_k a_k a^*_k dk$, а $H_{int}$ в 
общем случае это бесконечный ряд по степеням $a_k, a^*_k$
\begin{eqnarray} \nonumber
H_{int} = H_3 + H_4 + \ldots
\end{eqnarray}
\noindent Уравнение движения как обычно есть
\begin{equation} \label{motionS}
\frac{\partial a_k}{\partial t} + 
i\frac{\delta H}{\delta a_k^*}=0.
\end{equation}
\noindent Заменим $H$ на вспомогательный Гамильтониан
\begin{equation} \nonumber
\hat H = H_2 + e^{-\epsilon |t|} H_{int}
\end{equation}
\noindent Тогда уравнение движения (\ref{motionS}) 
становится линейным при $t \rightarrow \pm \infty$, и
\begin{eqnarray} \nonumber
a_k(t) &\rightarrow&  c^{\pm}_ke^{-i\omega_k t} \cr
t &\rightarrow&  \pm \infty
\end{eqnarray}
\noindent Асимптотические состояния $c^{\pm}_k$ не независимы,
а связаны соотношением
\begin{eqnarray} \nonumber
c^{+}_k = \hat S_{\epsilon}[c^{-}_k].
\end{eqnarray}
Здесь $\hat S_{\epsilon}[c^{-}_k]$ - нелинейный оператор,
который может быть представлен в виде ряда по степеням
$c^{-}, {c^{-}}^{*}$.
Будем считать этот ряд формальным, и не будем заботиться
о его сходимости.
Формальный же ряд, получающийся предельным переходом
\begin{eqnarray} \nonumber
\hat S[c^{-}_k] = \lim_{\epsilon\to0}{\hat S_{\epsilon}[c^{-}_k]}
\end{eqnarray}
\noindent и есть формальная классическая
матрица рассеяния. Она имеет следующий вид
\begin{eqnarray} \label{ScMat}
\hat S[c^{-}_k] = c^{-}_k &-& \sum_{n+m\ge3}^{} 
\frac{2\pi i}{(n-1)!m!}\int 
S_{n m}(k,k_1,\ldots,k_{n-1};k_n,\ldots,k_{n+m-1})\times\cr
&\times&\delta_{k+k_1+\ldots +k_{n-1}-k_n-\ldots -k_{n+m-1}}
\delta_{\omega_k+\omega_{k_1}+\ldots +\omega_{k_{n-1}}
-\omega_{k_n}-\ldots -\omega_{k_{n+m-1}}}\times\cr
&\times&{c^-}^*_{k_1}\ldots {c^-}^*_{k_{n-1}}c^-_{k_n}
\ldots c^-_{k_{n+m-1}}
dk_1\ldots dk_{n+m-1}
\end{eqnarray}
Функции $S_{n m}$  - элементы матрицы рассеяния.
Они определены на резонансных многообразиях
\begin{eqnarray} \label{resN}
k+k_1+\ldots +k_{n-1} &=&k_n+\ldots +k_{n+m-1}\cr
\omega_k+\omega_{k_1}+\ldots +\omega_{k_{n-1}} &=&
\omega_{k_n}+\ldots +\omega_{k_{n+m-1}}.
\end{eqnarray}
Далее нам будут важны два свойства матрицы рассеяния.
\begin{enumerate}
\item{Значение матричного элемента $S_{n m}$ на 
резонасном многобразии (\ref{resN}) инвариантно по отношению
к каноническому преобразованию (\ref{transformation}).}
\item{Имеется простой алгоритм вычисления матричных элементов.
Элемент $S_{n m}$ авляется конечной суммой членов, которые 
могут быть выражены через коэффициенты Гамильтониана
$H_i, i\le {n+m}$. Каждый такой член соответствует 
определенной диаграмме Фейнмана.
Правила соответствия описаны в 
Приложении \ref{APPEND-base-tech}}.
\end{enumerate}
%Actually the classical scattering matrix is nothing 
%but the Feinman's 
%scattering matrix taken in the 'tree' approximation. 
%This approximation 
%makes a number of terms being finite for any element.

Способ вычисления $T^{k k_1 k_2}_{k_3 k_4}$ теперь состоит 
в следующем. Мы вычисляем первый ненулевой элемент 
матрицы рассеяния для Гамильтониана  (\ref{HamSer}) и
для Гамильтониана and  (\ref{Ham4_5}). 
Поскольку оба эти Гамильтониана связаны каноническим
преобразованием  (\ref{transformation}), результаты должны
совпадать. 
Для поверхностных гравитационных волн первым нетривиальным
матричным элементом является  $S_{2 2}$. 
В терминах Гамильтониана  (\ref{Ham4_5}) он равен
\begin{eqnarray} \nonumber
S_{2 2}(k,k_1,k_2,k_3) = T^{k k_1}_{k_2 k_3}
\end{eqnarray}
\noindent Вычисленный же для Гамильтониана (\ref{HamSer}), 
Этот элемент состоит их шести членов.
Они представлены (вместе с соответствующими диаграммами) 
в Приложении \ref{APPEND-base-tech}. Нетрудно
видеть, что результат совпадает с выражением  (\ref{T4_hat})
на резонансном многообразии (\ref{res4}).

В одномерном случае первый интеграл в  (\ref{ScMat}) 
берется, так что первые два члена в (\ref{ScMat}) 
приобретают вид
\begin{eqnarray} \label{c2c}
c^+_k = c^-_k (1 - \pi i\int_{-\infty}^{\infty} 
\frac{T_{k k_1}}{|\omega_k - \omega_{k_1}|}|c^-_{k_1}|^2 dk_1).
\end{eqnarray}
\noindent Эта формула ещё раз подчеркивает тот факт, что
черырёхволновые процессы в одномерии приводят только к 
тривиальному рассеянию, и не производят "новых волновых 
векторов".
Интеграл в  (\ref{c2c}) логарифмически расходится. 
Именно поэтому матрица рассеяния является формальной.
В одномерной ситуации, действительно, волны не становятся 
линейными при  $t\to \infty$. Они имеют логарифмически 
растущую фазу (см. \cite{ZM}).

Первый нетривиальный элемент матрицы рассеяния в 
одномерном случае, это
\begin{eqnarray} \nonumber
S_{3 2}(k,k_1,k_2,k_3,k_4) = T^{k k_1 k_2}_{k_3 k_4}
\end{eqnarray}
\noindent Вычисленный в терминах первоначального 
Гамильтониана (\ref{HamSer})
он состоит из 81 члена (диаграммы). 
Их выражения, вместе с диаграммами, представлены в 
Приложении \ref{APPEND-diagramms}.

Несмотря на сложность общего выражения для 
$T^{k k_1 k_2}_{k_3 k_4}$,
на резонансном многообразии оно сущесвенным образом
упрощается. Здесь мы рассмотрим только случай, когда все
волновые вектора $k_i$ при резонансных условиях
\begin{eqnarray} \label{res5a}
k + k_1 + k_2 &=& k_3 + k_4 \cr
\omega_{k} + \omega_{k_1} + \omega_{k_2} &=& \omega_{k_3} + \omega_{k_4}
\end{eqnarray}
\noindent имеют одинаковый знак.
Резонансные условия (\ref{res5a}) могут быть параметризованы
следующим образом
\begin{eqnarray} \label{param}
k   & = & a (p^2 - q^2 +1 - 2p)^2,\cr
k_1 & = & a (p^2 - q^2 +1 + 2p)^2,\cr
k_2 & = & 16 a, \cr 
k_3 & = & a (p^2 - q^2 +3 - 2q)^2,\cr
k_4 & = & a (p^2 - q^2 +3 + 2q)^2,
\end{eqnarray}
\noindent здесь $0 < |p|,|q| < 1, |p\pm q| < 1, a > 0$. 
Нетрудно видеть, что  $k_i$ удовлетворяют следующим
неравенствам:
\begin{eqnarray} \nonumber
k, k_1 < k_3, k_4 < k_2
\end{eqnarray}
\noindent Подставляя параметризацию (\ref{param}) в выражение,
полученное для  $T^{k k_1 k_2}_{k_3 k_4}$ получаем сумму
из более чем тысяча членов.
Используя для аналитических вычислений
программу  'Mathematica' эта сумма существенно упрощается,
и приводится к виду
\begin{eqnarray} \label{T5p}
T^{k_1 k_2 k_3}_{k_4 k_5} = \frac{2}{g^{1/2}\pi^{3/2}}
\sqrt{\frac{\omega_{k_1} \omega_{k_2} \omega_{k_3}}{\omega_{k_4} \omega_{k_5}}}
\frac{k_1 k_2 k_3 k_4 k_5}{max(k_1,k_2,k_3)}
\end{eqnarray}
Эта формула является главным результатом этого параграфа.
Тот факт, что 
$$T^{k k_1 k_2}_{k_3 k_4}\neq0$$
на резонансной поверхности означает, что система одномерных
поверхностных гравитационных волн на глубокой воде 
является underline{неинтегрируемой}. 

Следует отметить, что матричные элементы для всех 
остальных комбинаций волновых 
векторов с резонансными условиями (\ref{res5a}), были 
затем вычислены в работе \cite{YLvov99}. Часть из них
оказались равны нулю, часть - нет. 

\section{Кинетическое уравнение}
\label{KIN_EQ}

%\setcounter{equation}{0}

Матричный элеметны $T^{k k_1}_{k_2 k_3 k_4}$ для процесса
$3\Leftrightarrow 2$ и $T^{k k_1}_{k_2 k_3}$ дают 
возможность написать кинетическое уравнение, включающее
четырёх и пятиволновые взаимодействия.

Динамическое уравнение для  $b_k$ (с Гамильтонианом
(\ref{Ham4_5})) имеет вид:
\begin{eqnarray} \label{eq:dynamic}
\frac{\partial b_k}{\partial t}&+&i\omega_k b_k +
i\frac{1}{2}\int T^{k k_1}_{k_2 k_3}
b^*_{k_1} b_{k_2} b_{k_3} 
\delta_{k+k_1-k_2-k_3}dk_1dk_2dk_3 + \cr
 &+& i\frac{1}{4}\int T^{k k_2 k_3}_{k_4 k_5}
b^*_{k_2}b^*_{k_3}b_{k_4}b_{k_5}
\delta_{k+k_2+k_3-k_4-k_5}dk_2dk_3dk_4dk_5+\cr
&+& i\frac{1}{6}\int T^{k_1 k_2 k_3}_{k k_5}
b_{k_1}b_{k_2}b_{k_3}b^*_{k_5}
\delta_{k_1+k_2+k_3-k-k_5}dk_1dk_2dk_3dk_5 = 0.
\hspace{0.8cm}
\end{eqnarray}
\noindent Введём стандартную парную корреляционную функцию $n_k$
\begin{eqnarray} \nonumber
<b_k b_{k_1}> = n_k \delta_{k-k_1}
\end{eqnarray}
\noindent
и получим из (\ref{eq:dynamic}) для  $n_k$ уравнение:
\begin{eqnarray} \nonumber
\frac{\partial n_k}{\partial t}&=& {\tt Im} \int
T^{k k_1}_{k_2 k_3}<b^*_{k}b^*_{k_1}b_{k_2}b_{k_3}>
\delta_{k+k_1-k_2-k_4}dk_1dk_2dk_3 + \cr
&+&\frac{1}{2}{\tt Im}\int 
T^{k k_2 k_3}_{k_4 k_5}<b^*_{k}b^*_{k_2}b^*_{k_3}b_{k_4}b_{k_5}>
\delta_{k+k_2+k_3-k_4-k_5}dk_2dk_3dk_4dk_5 - \cr
&-&\frac{1}{3}{\tt Im}\int 
T^{k_1 k_2 k_3}_{k k_5}<b^*_{k_1}b^*_{k_2}b^*_{k_3}b_{k}b_{k_5}>
\delta_{k_1+k_2+k_3-k-k_5}dk_1dk_2dk_3dkdk_5
\end{eqnarray}
\noindent Очевидно, что $T^{k k_1}_{k_2 k_3}$ даёт вклад
только в корреляционную функцию четвертого порядка,
а  $T^{k_1 k_2 k_3}_{k_4 k_5}$
даёт вклад только в уравнение для для коррелятора пятого
порядка (из-за того, что корреляционная функция седьмого
порядка полагается равной нулю).
Корреляционная функция пятого порядка
$<b^*_{k_1}b^*_{k_2}b^*_{k_3}b_{k_4}b_{k_5}>$  может быть 
выражена через коррелятор восьмого порядка:
\begin{eqnarray} \nonumber
&&(\frac{\partial }{\partial t}-
i(\omega_{k_1}+\omega_{k_2}+\omega_{k_3}-
\omega_{k_4}-\omega_{k_5}))
<b^*_{k_1}b^*_{k_2}b^*_{k_3}b_{k_4}b_{k_5}> = \cr
&=&i\frac{1}{4}\int T^{k_1 p_2 p_3}_{p_4 p_5}
<b^*_{k_2}b^*_{k_3}b^*_{p_4}b^*_{p_5}b_{k_4}b_{k_5}b_{p_2}b_{p_3}>
\delta_{k_1+p_2+p_3-p_4-p_5}dp_2dp_3dp_4dp_5 + \cr
&+&i\frac{1}{4}\int T^{k_2 p_2 p_3}_{p_4 p_5}
<b^*_{k_1}b^*_{k_3}b^*_{p_4}b^*_{p_5}b_{k_4}b_{k_5}b_{p_2}b_{p_3}>
\delta_{k_2+p_2+p_3-p_4-p_5}dp_2dp_3dp_4dp_5 + \cr
&+&i\frac{1}{4}\int T^{k_3 p_2 p_3}_{p_4 p_5}
<b^*_{k_1}b^*_{k_2}b^*_{p_4}b^*_{p_5}b_{k_4}b_{k_5}b_{p_2}b_{p_3}>
\delta_{k_3+p_2+p_3-p_4-p_5}dp_2dp_3dp_4dp_5 -\cr
&-&i\frac{1}{6}\int T^{p_1 p_2 p_3}_{k_4 p_5}
<b^*_{k_1}b^*_{k_2}b^*_{k_3}b^*_{p_5}b_{k_5}b_{p_1}b_{p_2}b_{p_3}>
\delta_{p_1+p_2+p_3-k_4-p_5}dp_1dp_2dp_3dp_5 -\cr
&-&i\frac{1}{6}\int T^{p_1 p_2 p_3}_{k_5 p_5}
<b^*_{k_1}b^*_{k_2}b^*_{k_3}b^*_{p_5}b_{k_4}b_{p_1}b_{p_2}b_{p_3}>
\delta_{p_1+p_2+p_3-k_5-p_5}dp_1dp_2dp_3dp_5
\end{eqnarray}
\noindent Полагая справедливым приближение случайных фаз
для коррелятора 8-го порядка (чтобы расщепить его на 
произведение парных корреляционных функций),
и полагая медленное изменение со временем коррелятора 
пятого порядка, можно получить следующее выражение
для $<b^*_{k_1}b^*_{k_2}b^*_{k_3}b_{k_4}b_{k_5}>$:
\begin{eqnarray} \label{eq:5cor}
&&{\tt Im}<b^*_{k_1}b^*_{k_2}b^*_{k_3}b_{k_4}b_{k_5}> = 
\pi T^{k_1 k_2 k_3}_{k_4 k_5}
\delta_{\omega_{k_1}+\omega_{k_2}+\omega_{k_3}-
\omega_{k_4}-\omega_{k_5}}\times \cr
&\times& \{ n_{k_1}n_{k_2}n_{k_3}(n_{k_4}+n_{k_5}) -
n_{k_4}n_{k_5}(n_{k_1}n_{k_2}+n_{k_1}n_{k_3}+n_{k_2}n_{k_3})\}
\end{eqnarray}
\noindent В выражении (\ref{eq:5cor}) опущены нерезонансные
члены. Для корреляционной функции четвёртого порядка
имеется хорошо известное выражение в \cite{ZLF92}:
\begin{eqnarray} \label{eq:4cor}
&&{\tt Im}<b^*_{k}b^*_{k_1}b_{k_2}b_{k_3}> = 
\pi T^{k k_1}_{k_2 k_3}
\delta_{\omega_{k}+\omega_{k_1}-\omega_{k_2}-\omega_{k_3}}\times \cr
&\times& \{ n_{k_2}n_{k_3}(n_{k}+n_{k_1}) -
n_{k}n_{k_1}(n_{k_2}+n_{k_3})\}
\end{eqnarray}
\noindent Подставляя (\ref{eq:4cor}) и (\ref{eq:5cor}) в
уравнение для $n_k$
мы приходим к 5-ти волновому кинетическому уравнению:
\begin{eqnarray} \nonumber
\frac{\partial n_k}{\partial t} &=& st(n,n,n) + st(n,n,n,n)
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray} \nonumber
st(n,n,n) &=&\pi\int
|T^{k k_1}_{k_2 k_3}|^2
f^{k k_1}_{k_2 k_3}dk_1dk_2dk_3\cr
st(n,n,n,n) &=&\frac{\pi}{3}\int 
|T^{k_1 k_2 k_3}_{k k_5}|^2
f^{k_1 k_2 k_3}_{k k_5}dk_1dk_2dk_3dk_5 - \cr
&-&\frac{\pi}{2}\int 
|T^{k k_2 k_3}_{k_4 k_5}|^2
f^{k k_2 k_3}_{k_4 k_5}dk_2dk_3dk_4dk_5,
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray} \nonumber
f^{k k_1}_{k_2 k_3} &=& \delta_{k+k_1-k_2-k_3}
\delta_{\omega_{k}+\omega_{k_1}
-\omega_{k_2}-\omega_{k_3}}\times \cr
&\times& \{ n_{k_2}n_{k_3}(n_{k}+n_{k_1}) -
n_{k}n_{k_1}(n_{k_2}+n_{k_3})\}\cr
f^{k_1 k_2 k_3}_{k_4 k_5} &=& \delta_{k_1+k_2+k_3-k_4-k_5}
\delta_{\omega_{k_1}+\omega_{k_2}+\omega_{k_3}
-\omega_{k_4}-\omega_{k_5}}\times \cr
&\times& \{ n_{k_1}n_{k_2}n_{k_3}(n_{k_4}+n_{k_5}) -
n_{k_4}n_{k_5}(n_{k_1}n_{k_2}+n_{k_1}n_{k_3}+n_{k_2}n_{k_3})\}
\end{eqnarray}
Как уже было показано в параграфе \ref{INTRO_5WAVES}, 
в одномерном случае 
$$st(n,n,n)\equiv0$$ 
и мы приходим окончательно к 5-ти волновому
кинетическому уравнению:
\begin{eqnarray} \label{eq:kinetic}
\frac{\partial n_k}{\partial t} &=&st(n,n,n,n)
\end{eqnarray}
Уравнение (\ref{eq:kinetic}) формально сохраняет
два интеграла движения, энергию
\begin{eqnarray} \nonumber
E = \int_{0}^{\infty} \omega_{k}n_k dk,
\end{eqnarray}
\noindent  и импульс
\begin{eqnarray} \nonumber
P = \int_{0}^{\infty} k n_k dk.
\end{eqnarray}
\noindent (Мы рассматриваем случай,
когда все  $k_i$ положительны). 
Стационарное же уравнение
\begin{eqnarray} \label{stat5}
st(n,n,n,n) = 0
\end{eqnarray}
\noindent имеет термодинамическое решение
\begin{eqnarray} \nonumber
n_k = \frac{T}{\omega_{k}+\alpha k}.
\end{eqnarray}
\noindent Как и для четырёхволнового изотропного кинетического
уравнения, уравнение
(\ref{eq:kinetic}) ещё описывает прямой и обратный каскады.
Обратный каскад, это каскад энергии, котрая переностится в 
большие масштабы. Он описывается следующим Колмогоровским
решением уравнения  (\ref{stat5})
\begin{eqnarray} \nonumber
n^{(1)}_k = \alpha^{(1)} \epsilon^{1/4} |k|^{-25/8}.
\end{eqnarray}
\noindent Здесь $\epsilon$ - поток энергии, 
$\alpha^{(1)}$ - Колмогоровская константа.

Соответствующий энергетический спектр
имеет вид: 
\begin{eqnarray} \nonumber
\cal E_{\omega}d\omega &=& \omega_k n_k dk\cr
\cal E_{\omega} &=& \alpha^{(1)} \epsilon^{1/4}{\omega}^{-17/4}
\end{eqnarray}
Прямой же каскад переносит импульс в малые масштабы.
Он описывается  Колмогоровским
решением  
\begin{eqnarray} \nonumber
n^{(2)}_k = \alpha^{(2)} \mu^{1/4} |k|^{-13/4}.
\end{eqnarray}
\noindent  Здесь $\mu$ - поток импульса, $\alpha^{(2)}$ -
Колмогоровская константа.

Теперь
\begin{eqnarray} \nonumber
\cal E_{\omega} &=& \alpha^{(2)} \mu^{1/4}{\omega}^{-9/2}.
\end{eqnarray}
%Due to the direct cascade the momentum is not a real constant 
%of motion,
%it leaks permanently to the large $k$ region. More 
%detailed description 
%of the Kolmogorov spectra in one-dimensional case will be 
%published separately.
 
%\section{Заключение} 
%\label{INTEGRABLE?-concl}



%Одномерная гидродинамика поверхностных гравитационных волн 
%оказалась ``почти'' интегрируемой системой !
