\newpage 
\chapter{Волновая турбулентность в нелинейном 
уравнении Шредингера}
\label{NLSE}

В этой главе представлены результаты, опубликованные с работах
\cite{SolTurb, DPS89, OptTurb, OnoLett, OnoPhD, CondTurb, Kolm}.

\section{Слабая волновая турбулентность в одномерном нелинейном 
уравнении Шредингера}

\subsection{Введение}
Проблема Колмогоровских спектров - является ключевой в теории слабой волновой 
турбулентности. Эти спектры являются точными решениями стационарного кинетического 
уравнения для среднеквадратичных амплитуд волн ~\cite{ZLF92, OptTurb}. Несомненно, что
слаботурбулентные
Колмогоровские спектры должны теоретически объяснять степенные спектральные распределения
энергии в ансамблях стохастических нелинейно взаимодействующих волн любой природы. 
Спектры такого типа наблюдаются систематически. Самый яркий пример такого спектра - 
спектр $\epsilon_{\omega} \simeq gv/\omega^4$, который обычно наблюдается в системах 
возбуждаемых ветром гравитационных волн в море.

Однако, эта точка зрения разделяется не всеми. Кроме того, самая применимость кинетического 
уравнения для волн к реальной ситуации также дискутируется. (См., например ~\cite{MMT1997}.)
Вывод кинетического уравнения из исходных динамических уравнений предполагает законность 
предположения о хаотичности фаз, которая может быть нарушена формированием некоторых когерентных
структур, таких как волновые коллапсы или солитоны. Фактически, эта критика имеет серьезные 
основания. В реальных ситуациях когерентные структуры встречаются часто, но в то же время
нет причин для полного отказа от теории слабой турбулентности. Действительность многообразна,
и во многих конкретных ситуациях когерентные структуры сосуществуют со слаботурбулентной 
компонентой, участвуя в  процессы переноса и диссипации энергии и других интегралов движения.

Следовательно, есть сильное мотивация, чтобы продолжить исследование теории слабой
турбулентности, исследуя тот случай, где когеретные структуры важны, и случай, где 
такие структуры не важны. 

\subsection{MMT-модель.}


Один из самых надёжных подходов для исследования теории слабой турбулентности - 
прямое численное моделирование нелинейных динамических уравнений, описывающих систему волн.
Во многих случаях эти уравнения могут быть эффективно решены при помощи спектрального метода.
Конечно, численное моделирование уравнений, наиболее близкого к реальной физической ситуации 
является самым предпочтительным. Однако, много интересной информации может быть извлечено и из
решения упрощенных, более или менее искусственных моделей, которые наследуют основные 
особенности реальных физических уравнений. Проверить, насколько теория слабой турбулентности
является общей, а также проверить её главные утверждения, такие как 
\begin{itemize}
\item  - применимость кинетического уравнения
\item - существование спектров Колмогоровского типа
\item - изучить структуры старших корреляционных функций 
\end{itemize}
и т.д., - можно должным образом на более простых моделях.
И компьютерное моделирование таких моделей может быть сделано достаточно легко,
во всяком случае легче и понятнее, чем для более физических ситуаций.

Одномерные модели являются самыми привлекательными с этой точки зрения. Даже скромный 
современный компьютер даёт возможность провести численное моделирование системы 
нелинейных волн, состоящей из тысяч волновых мод, и более трех декад масштабов. Исторически 
первое такое моделирование было проделано A.Maida, D.McLaughlin и E.Tabak в 1997 ~\cite{MMT1997}. 
Они использовали модель, которую называют теперь, после опубликования этой статьи, 
как MMT-модель. MMT-модель - обобщенное нелинейное уравнение Шредингера, сохраняющее
не только энергия и импульс, но также и волновое действие (число частиц). 

Дальнейшее моделирование в рамках MMT-модели было сделано теми же самыми авторами в 
сотрудничестве с D.Cai ~\cite{CMMT1999}. Позже численные эксперименты с MMT-моделью были
выполнены в работе ~\cite{ZGPD2000, GZPD2000}. Результаты моделирования, проведенного обеими
группами в основном совпадают. MMT-модель демонстрирует сложное много-вариантное поведение,
которое нельзя рассматривать как простое подтверждение слаботурбулентной теории теории. 
Отсутствие простого, явного подтверждения происходит из-за наличия когерентных структур, 
которые постоянно присутствуют во всех версиях MMT-модели. 

В следующих параграфах приводится постановка задачи и результата численного моделирования 
модифицированной MMT-модели, которая включает в себя не только стандартные процессы
рассеяния "два в два", но и процессы распада "один в три", которые не сохраняют волновое 
действие. Оказывается, что такая  модель, при надлежащем выборе параметров, ведет себя в 
соответствии со слаботурбулентной теорией. В частности, она демонстрирует существование
степенного решения (Колмогоровского спектра)
в широком инерционном интервале (больше двух декад).


\subsection{Численный эксперимент}

исследуется следующая модель:

\begin{eqnarray}\label{MMT_g}
&&i\bigg(\frac{\partial\psi}{\partial
t}+\gamma_k\,\psi_k\bigg)=\\
&&k^{\alpha}\,\psi +a\bigg\{\int
\big(|k||k_1||k_2||k_3|\big)^{\beta/4}\,\psi_{k_1}^{*}\,\psi_{k_2}\,\psi_{k_3}
\,\delta_{k+k_1-k_2-k_3}\,dk_1\,dk_2\,dk_3 +\nonumber\\
&&g\int \big(|k||k_1||k_2||k_3|\big)^{\beta/2}\,\big(\psi_{k_1}\,\psi_{k_2}\,\psi_{k_3}\,
\delta_{k-k_1-k_2-k_3}+3\,\psi_{k_1}\,\psi_{k_2}^{*}\,\psi_{k_3}^{*}\,\delta_{k-k_1+k_2+k_3}\big)
dk_1\,dk_2\,dk_3\bigg\}\nonumber
\end{eqnarray}
В случае, когда $g=0$, эта модель является стандартной MMT-моделью.

Эта модель описывает некоторую Гамильтонову систему, и поэтому может быть записана
в следующем виде:
\begin{equation}
i\bigg(\frac{\partial\psi}{\partial
t}+\gamma_k\,\psi_k\bigg)=\frac{\delta H}{\delta\psi_k^{*}},
\end{equation}
где
\begin{eqnarray}
H&=&H_0+H_{int}\nonumber\\
H_0&=&\int|k|^{\alpha}\,\psi_k\,\psi_k^{*}\,dk\nonumber\\
H_{int}&=&a\bigg\{\frac{1}{2}\int
(kk_1k_2k_3)^{\beta/4}\,\psi_k^{*}\,\psi_{k_1}^{*}\,\psi_{k_2}\,\psi_{k_3}\,\delta_{k+k_1-k_2-k_3}+\nonumber\\
& &g\int(kk_1k_2k_3)^{\beta/4}\bigg[\psi_k^{*}\,\psi_{k_1}^{*}\,\psi_{k_2}^{*}\,\psi_{k_3}+\psi_k\,\psi_{k_1}\,
\psi_{k_2}\,\psi_{k_3}^{*}\bigg]\times\nonumber\\
& &\delta_{k+k_1+k_2-k_3}\,dk_1\,dk_2\,dk_3\bigg\}\label{Hinter}
\end{eqnarray}
Гамильтониан $H$ описывает следующие четырёх-волновые процессы:
\begin{enumerate}
\item Рассеяние, со следующими резонансными условиями
\begin{eqnarray}\label{Scatt}
\omega_k+\omega_{k_1}&=&\omega_{k_2}+\omega_{k_3}\nonumber\\
k+k_1&=&k_2+k_3
\end{eqnarray}

\item Распад "один в три" и обратный процесс слияния "три в один",
подчиняющиеся следующим резонансным условиям
\begin{eqnarray}\label{Decay}
\omega_k&=&\omega_{k_1}+\omega_{k_2}+\omega_{k_3}\nonumber\\
k&=&k_1+k_2+k_3
\end{eqnarray}
\end{enumerate}
Здесь $\omega_k=|k|^{\alpha}$.

Далее исследуется только один случай $\alpha>1$. 
В этой ситуации резонансные условия (\ref{Scatt}), соответствующие рассеянию
имеют только тривиальное решение
\begin{equation}\label{TRIV}
k_2=k,\,\,\,k_3=k_1\,\,\,or\,\,\,k_2=k_1,\,\,\,k_3=k,
\end{equation}
а резонансные условия (\ref{Decay}), соответствующие распаду и слиянию
описывают двумерное многообразие в пространстве $(k,k_1,k_2,k_3)$.
При $a>0$ и достаточно малом $g$, Гамильтониан (\ref{Hinter}) 
является положительно определенным.

Наличие в Гамильтонияне "распадного" члена обеспечивает
отсутствие локализованных структур,
и создаёт условия для "наблюдения" 
слаботурбулентного режима.

При этих предположениях система (\ref{MMT_g}) описывается кинетическим уравнением
\begin{equation}
\frac{\partial n}{\partial t}+2\gamma_k\,n_k+st(n,n,n),
\end{equation}
где
\begin{eqnarray}
& &st(n,n,n)=4\pi a^2g^2\bigg\{\int
(kk_1k_2k_3)^{\beta/2}\times\nonumber\\
& &(n_{k_1}\,n_{k_2}\,n_{k_3}-n_k\,n_{k_1}\,n_{k_2}-n_k\,n_{k_1}\,n_{k_3}-n_k\,n_{k_2}\,n_{k_k})\times\nonumber\\
& &\delta(k-k_1-k_2-k_3)\,\delta(\omega_k-\omega_{k_1}-\omega_{k_2}-\omega_{k_3})dk_1\,dk_2\,dk_3+\nonumber\\
& &+3\int(kk_1k_2k_3)^{\beta/2}(n_{k_1}n_{k_2}n_{k_3}+n_kn_{k_1}n_{k_2}+n_kn_{k_1}n_{k_3}-n_kn_{k_2}n_{k_3})
\times\nonumber\\
& &\delta(k-k_1+k_2+k_3)\,\delta(\omega_k-\omega_{k_1}+\omega_{k_2}+\omega_{k_3})\,dk_1\,dk_2\,dk_3\bigg\}
\end{eqnarray}
По определению
\begin{equation}
<\psi_k\,\psi_{k'}^{*}>=n_k\,\delta_{k-k'}.
\end{equation}
А стационарное уравнение
\begin{equation}
st(n,n,n)=0
\end{equation}
имеет, при определенных значениях параметров $\alpha$ и $\beta$, степенные решения
(см. \cite{ZLF92})
\begin{eqnarray}
n_k&=&\frac{\alpha\,P^{1/3}}{k^{\gamma}}\\
\gamma&=&\frac{2}{3}\beta +1.
\end{eqnarray}
Это есть Колмогоровский спектр, который обеспечивает постоянный поток энергии $P$
в область малых масштабов (больших волновых чисел $k$).
А $\alpha$ - безразмерная Колмогоровская константа.

4. Было выполнено численное моделирование уравненгия \ref{MMT_g} с 
использованием стандартного спектрального метода. Были выбраны следующие 
$$\alpha=3/2,\,\beta=9/4,\,a=1.$$
А коэффициет члена в Гамильтониане, соответствующего процессу "один в три" 
варьировался, и принимал в разных варинтах счёта такие значения:
$$g=0,\hspace{0.5cm}0.05,\hspace{0.5cm}0.1,\hspace{0.5cm}0.15,\hspace{0.5cm}0.2.$$

Вычисления проводились на разностной равномерной сетке с 2048 узлами в 
периодической области $2\pi$,
что соответствует в спектральном коде волновым числам $-1024<k<1023$.
Система накачивалась в области малых волновых чисел, инкремент накачки
выглядит так:
$$\gamma_k = -0,005 \hspace{1cm} 5\leq |k| \leq 10.$$
Диссипация же энергии в области больших волновых чисел
обеспечивалась следующим декрементом:
$$\gamma_k = \cases{400(k/512)^{2}  &$|k| > 512$;\cr
0 &$|k|\leq 512$.}$$
Во всех вариантах моделирования наблюдался рост, а затем стабилизация 
полной энергии волновой системы $H$. Уровень же энергии, на котором происходит стабилизация, существенно зависит от параметра $g$.

\begin{figure}[!ht]
\includegraphics[angle=0,width=\PW]{Fig_3.1/eps.eps}
\caption{Полная энергия системы как функция времени
для различных значений коэффициента $g$ ("один в три" процесс)}\label{EN_g} 
\end{figure}

Из Рисунка~\ref{EN_g} хорошо видно, что процесс $1\iff 3$ играет
существенную роль в установлении равновесия накачки и диссипации.

На Рисунке~\ref{SP_g} изображён типичный стационарный, усреднённый по времени,
спектр для варианта с $g=0.15$. 
\begin{figure}[!ht]
\includegraphics[angle=0,width=\PW]{Fig_3.1/spn.eps}
\caption{$|\psi_k|^2$, усреднённый проинтервалу времени 100. Изображены 
отдельно спектры для положительных и отрицательных $k$. Прямая линия соответствует степенному спектру $0.15|k|^{-\frac{5}{2}}$}\label{SP_g} 
\end{figure}

Из Рисунка~\ref{SP_g} хорошо видно, что в инерционном интервале
$30<k<300$ этот спектр
аппроксимируется степенным Колмогоровским спектром с показателем
$$\lambda = \frac{5}{2}.$$
Типичная величина нелинейности
$$
\epsilon=\frac{H_{int}}{H},
$$
составляет $\epsilon\simeq 0.15$. Таким образом, можно 
говорить, что
в этих численных экспериментах мы находимся в слаботурбулентном
режиме.

В заключение следует отметить, что представленные в этом
параграфе
результаты являются первыми, подтверждающими справедливость
теории слабой
турбулентности именно в 
{\it\bf одномерном} случае. Для двумерного случая аналочичные
результаты, подтверждающие
существование слаботурбулентных Колмогоровских спектров 
были получены в 
работе~\cite{PZ1996}, для уранений капиллярных волн на
поверхности идеальной жидкости. Однако в одномерном случае
инерционный интервал, в котором наблюдается степенной спектр
зачительно больше, что делает всю слаботурбулентную картину
более убедительной.

\section{Солитонная турбулентность}


\subsection{Слабонелинейная волновая турбулентность и ``газ'' солитонов}

Турбулентность в нелинейных сплошных средах, как правило, coпровождается    возникновением    локализованных    существенно нелинейных структур.  В тех случаях,  когда уравнения,  описывающие среду, имеют устойчивые солитонные решения, естественными кандидатами на
роль таких структур являются солитоны. Турбулентность в этом случае
может быть названа солитонной.  Впервые солитонная турбулентность рассматривалась, по-видимому, в 1973 г. в работе \cite{KRS73}. Цель этой части главы
дать качественную картину солитонной турбулентности в рамках неинтегрируемого нелинейного  уравнения   Шредингера  в  условиях   отсутствия волновых коллапсов.  Ниже  показано - на  основе  простых  оценок,
подтвержденных численным экспериментом  (см. также \cite{ZPSY88,DPS89}), что с течением времени становится возможным  выделить две  компоненты
турбулентности:   слабонелинейную  волновую  турбулентность  и  разреженный газ  солитонов. При больших временах степень  разреженности  солитонного газа  (отношение характерного расстояния между солитонами к их размеру)   асимптотически увеличивается,  при  этом  почти все  значение
интеграла "числа квазичастиц" (физически играющего роль энергии)
оказывается сосредоточенным в солитонной компоненте.

Подобное утверждение уже высказывалось в работах \cite{KY80, PY85}, где для
его обоснования использовался термодинамический подход. Такое обоснование, однако, недостаточно, так как на самом деле турбулентность далека 
от состояния термодинамического равновесия. Поэтому в работе \cite{PF87} вывод об особой роли солитонов в турбулентности, свободной от коллапсов,
был подвергнут   сомнению.   В этой части главы даётся  обоснование
утверждения о центральной роли солитонов в асимптотическом состоянии
турбулентности данного типа и показывается, тем самым, что солитонный газ
является своеобразным статистическим  аттрактором  уменьшающейся со
временем размерности в неинтегрируемой гамильтоновской системе с бесконечным числом степеней свободы.	


\subsection{Элементарные процессы столкновений}
\label{COLLISIONS}
%
Достаточно универсальной моделью волновой турбулентности является
нелинейное уравнение Шредингера (см., например, \cite{ZPSY88, PY85, RR86})
\begin{equation}\label{eq_1}
i\psi_t+\Delta\psi+f(|\psi|^2)\psi=0,
\end{equation}
имеющее решение в виде движущегося солитона:
$$
\psi(r,t)=g(\lambda,\xi)\exp\left[
\frac{i}{2}(vr)+i(\lambda^2-\frac{v^2}{4})t\right],
$$
\begin{equation}\label{eq_2}
\xi=r-vt,\quad \Delta g+f(g^2)g-\lambda^2g=0,\quad
\nabla g|_{\xi=0}=0,\quad g\to 0, \xi\to\infty
\end{equation}
При $f(u)>0$ и $f'(u)\ge Cu^{(2-d)/d}$
($d$ - размерность пространства) солитон (\ref{eq_2}) неустойчив и в трубулентных процессах не реализуется. Напротив, при
условии устойчивости солитона (имеющем для важного частного случая
степенной нелинейности
$f=u^{s/2}$ вид $sd<4$), турбулентность является солитонной. Фундаментальный общефизический интерес представляет вопрос о характере эволюции этой турбулентности. Уравнение (\ref{eq_1}) имеет следующие интегралы движения:
$$
N=\int|\psi|^2dr, P=i\int[\psi\nabla\psi^*-\psi^*\nabla\psi]dr,
$$
\begin{equation}\label{eq_3}
H=\int[|\nabla\psi|^2-\Phi(|\psi|^2)]dr,
\end{equation}
$$
\Phi'(u)=f(u).
$$
В пренебрежении квантовыми эффектами тенденция к равнораспределению энергии по степеням
свободы приводит к тому, что значение гамильтониана $H$
определяется в основном областью коротких волн. При
этом в системе мог бы сформироваться конденсат - однородное поле,
сопровождающееся мелкомасштабными флуктуациями. Но
при $f'(u)>0$ конденсат неустойчив и в отсутствие
коллапса распадается на солитоны. В специальном интегрируемом
случае $f(u)=Cu$, $C>0$, $d=1$
солитоны рассеиваются друг на друге упруго, и их число сохраняется. В общем неинтегрируемом случае качественное термодинамическое рассмотрение взаимодействия солитонов со свободными волнами \cite{KY80, PY85} показывает, что поведение системы определяется накоплением слабых эффектов, которые обусловлены нескомпенсированностью процессов,  протекающих в противоположных  направлениях. При взаимодействии солитонов со слаботурбулентным спектром термодинамически выгодными являются процессы, приводящие к увеличению амплитуд солитонов при уменьшении их числа. При слиянии солитонов несколько уменьшается значение интеграла Н, и разница уносится свободными волнами; интеграл числа квазичастиц  (волновая энергия в основном определяется солитоном. Размер солитона при этом уменьшается.

Рассмотрим более подробно элементарные процессы взаимодействия
солитонов друг с другом и со слабонелинейными свободными волнами с
учетом интегралов движения (\ref{eq_3}). Ограничимся для простоты степенной
нелинейностью $f(u)=u^{s/2}$. Тогда солитон
произвольного размера $\lambda^{-1}$ выражается
через универсальную моду $R(\eta)$:
$$
g(\lambda,\xi)=\lambda^{2/s}R(\lambda\xi),\quad
\Delta R-R+R^{s+1}=0
$$
($R(\eta)=[(1+s/2)^{1/2}/\ch(s\eta/2)]^{2/s}$ при $d=1$),
что позволяет, в частности, получить полезные соотношения между интегралами (\ref{eq_3}) на солитонном решении:
\begin{equation}\label{eq_4}
P=Nv,\quad H=N\frac{v^2}{4}-\frac{\kappa}{1+q}N^{1+q},\quad
N=\lambda^{2/q}N_{kp},
\end{equation}
где
$$
N_{kp}=\int R^2d\eta,\quad q=\frac{2s}{4-sd}>0,\quad\kappa=N_{kp}^{-q}.
$$
С учетом (\ref{eq_4})   нетрудно  получить,  что при   рассеянии  слабонелинейной
волны вида $\exp[i(kr-k^2t)]$  с числом
квантов $\delta N$, импульсом
$\delta P=2kdelta N$ и гамильтонианом $\delta H=k^2\delta N$
на солитоне  $(N, v)$ выполнено соотношение:
\begin{equation}\label{eq_5}
\delta N_0(|k_0-v/2|^2+\kappa N^q)=
\delta N_1(|k_1-v/2|^2+\kappa N^q),
\end{equation}
где индексы "$0$" и "$1$" относятся к исходной и рассеянной волнам
соответственно.

Из (\ref{eq_5}) следует, что при перекачке энергии из волны в солитон
($\delta N_1<\delta N_0$) происходит торможение солитона и
увеличение волнового вектора волны. Качественно понятно, что
в среднем этот процесс более вероятен, чем обратный: при накоплении волн
в области больших $k$ их фазовый объем возрастает,
соответственно растет энтропия системы (так как число солитонных степеней свободы много меньше, чем слаботурбулентных практически можно считать, что значение энтропии определяется вкладом слаботурбулентного спектра).

Более   сложен   кинематический   расчет   взаимодействия   солитонов с
участием свободных волн. Используя (\ref{eq_4}), можно показать, что при действии
двух солитонов  $(N_1,v_1)$ и $(N_2, v_2)$  справедливы  (в системе
отсчета, в которой полный импульс волн равен нулю) соотношения
\begin{equation}\label{eq_6}
\Delta N_1=
\frac{\kappa N^q_2+v^2_2/4)\overline{\delta N}+\overline{\delta H}+N_1(v_1-v_2)\Delta v_1/2}{\kappa(N_1^q-N_2^q)-|v_1-v_2|^2/4}
\end{equation}
$$
\Delta N_2=
\frac{\kappa N^q_1+v^2_1/4)\overline{\delta N}+\overline{\delta H}+N_2(v_1-v_2)\Delta v_2/2}{\kappa(N_1^q-N_2^q)-|v_1-v_2|^2/4}
$$
где $\overline{\delta N}$ и $\overline{\delta H}$
уносятся свободными волнами. Из (\ref{eq_6}) видно, что при малых
скоростях происходит усиление более интенсивного и ослабление менее
интенсивного солитона.  Этот процесс соответствует парному  "столкновению"
и является,   очевидно, более   вероятным,   чем   обратный   (тройное
"столкновение").  Приведенные   рассуждения   подтверждают   качественные
выводы термодинамического рассмотрения: в результате эволюции 
заданного  начального распределения солитон оказывается  статистическим
аттрактором - состояние асимптотически, по времени распадается на солитон
и совокупность слабонелинейных волн.


\subsection{Численный эксперимент}

С целью прямого доказательства этого утверждения мы проводили численное
интегрирование одно- и двумерного уравнения (\ref{eq_1}) на болыших 
временах эволюции при различных нелинейностях $f(u)$. Задача решалась в
фиксированной области $0\le r\le L$ с периодическими граничными
и возмущенными однородными начальными условиями
\begin{equation}\label{eq_7}
\psi(r,0)=\psi_0[1+\phi(r)],
\end{equation}
где $\phi(r)<<1$ --- малое возмущение.

В рамках (\ref{eq_1}) инкремент модуляционной неустойчивости конденсата
$$\psi_0\exp[if(|\psi_0|^2)t]$$
определяется выражением
$$
\gamma(k)=k(2A-k^2)^{1/2},
$$
\begin{equation}\label{eq_8}
A=(u\frac{\partial f}{\partial u})|_{u=|\psi_0|^2}.
\end{equation}
Он максимален при $k=A^{1/2}$ и равен
$\gamma_{max}=А$. Соответствующая модуляционная длина
$\lambda_{mod}=2\pi/A^{1/2}$ определяет число сформировавшихся при
$t>\gamma^{-1}_{max}$
солитонов $n\approx(L/\lambda_{mod})$. Параметры модели выбирались
таким образом, чтобы конкурирующие между собой требования убедительной
статистики солитонов $n>>1$ и
достаточного разрешения асимптотического солитон
$(\lambda\Delta)^d<<1$                          
($\Delta$ --- линейный размер ячейки,
$\lambda$ --- обратный характерный размер солитона;
для степенной нелинейности $\lambda~N^{s/(4-sd)}$) в расчетах всегда
выполнялись. Расчеты проводились на многопроцессорном комплексе ЕС-1037-ЕС-2706 ИКИ АН СССР. Интегрирование уравнения (\ref{eq_1}) осуществлялось с использованием алгоритмов БПФ по методике, аналогичной \cite{BY84}. Для контроля использовались интегралы движения (\ref{eq_3}). Помимо степенной нелинейности, рассматривались системы с насыщением типа
$$
f(u)=u(1-au),\quad f(u)=u(1+b_1u)/(1+b_2u).
$$

Результаты расчетов продемонстрировали полное соответствие
наблюдаемой пространственно-временной динамики системы предсказанной
качественной картине солитонной турбулентности.
На Рисунке~\ref{SolTurb_11} представлены
результаты интегрирования одномерного уравнения с
$f(u)=u^{1/2}$.

\begin{figure}[!htbt]
\includegraphics[angle=0,width=\PWW]{Fig_3.2/111.eps}
\caption{Фрагменты эволюции решения уравнения  $i\psi_t+\psi_{xx}+|\psi|\psi=0$ с параметрами $\psi_0=1$, $L=60$; время $t$ равно 17,4 (а), 365,4 (б) и 730,8 (в)}\label{SolTurb_11} 
\end{figure}
В результате развития модуляционной неустойчивости
формируется решетка солитонов с периодом порядка $\lambda_{mod}$ (Рисунок~\ref{SolTurb_11}, а).
В процессе дальнейшей эволюции система все более разделяется на солитоны
и слабонелинейные свободные волны. Взаимодействие солитонов друг с другом
и со свободными волнами приводит к постепенной перекачке числа волн
из солитонов в  более интенсивные, амплитуды солитонов  растут с
уменьшением их числа  (Рисунок~\ref{SolTurb_11}, б). На больших временах система приходит
к единственному   солитону   малого   размера и большой
амплитуды (Рисунок~\ref{SolTurb_11}, в). Измеренная скорость солитона $v$ много
меньше групповой скорости $(\partial \omega/\partial k)_{k=\lambda}$,
что вполне естественно: неподвижный солитон реализует минимум  энергии.
Форма асимптотического солитона адекватно  описывается точным решением
уравнения (\ref{eq_2}), в котором величина вычислена $\lambda$ вычислена
из измеренной амплитуды. На свободные; волны приходится
около 15-20\% значения исходного интеграла $N$.

Аналогичные результаты получены и при других видах нелинейности (Рисунок~\ref{SolTurb_22}
соответствует нелинейности $f(u)=u[(l+0,1u)/(1+0,5u)]$), 
\begin{figure}[!htbt]
\includegraphics[angle=0,width=\PWW]{Fig_3.2/22.eps}
\caption{Фрагменты эволюции решения уравнения  
$i\psi_t+\psi_{xx}+|\psi|^2[(1+0.1|\psi|^2)/(1+0.5|\psi|^2)]\psi=0$ с параметрами $\psi_0=1$, $L=40$; время $t$ равно 52,2 (а), 765,4 (б)}\label{SolTurb_22} 
\end{figure}
а также при решении двумерной
задачи. Однако в двумерном случае (результаты интегрирования уравнения  (\ref{eq_1})
с $f(u)=u^{1/2}$ представлены на (Рисунке~\ref{SolTurb_33}) 
\begin{figure}[!htbt]
\includegraphics[angle=0,width=\PWW]{Fig_3.2/33.eps}
\caption{Фрагменты эволюции решения уравнения  $i\psi_t+\psi_{xx}+\psi_{yy}+|\psi|^{\frac{1}{2}}\psi=0$ с параметрами $\psi_0=1$, $L=37,7$;
a - $t=13$, $|\psi_{max}|^2 = 33,2$; б - $t=277$, $|\psi_{max}|^2 = 63,9$;
в - $t=2681$, $|\psi_{max}|^2 = 137,3$}\label{SolTurb_33} 
\end{figure}
время эволюции настолько возрастает  (с уменьшением числа солитонов падает вероятность их взаимодействия между собой), что задача достижения единственного солитона становится весьма сложной для численного моделирования. Качественная же картина эволюции турбулентности как мы видим, совпадает с описанной выше. Следует отметить, что при рассмотрении эволюции турбулентности мы не обнаружили ни одного случая увеличения числа солитонов из-за дробления солитона под действием слабонелинейных волн, что говорит о статистической 
необратимости процесса. Такое поведение согласуется с расчетами \cite{DMR74}, в которых было обнаружено, что для дробления солитона звуковой волной приходится брать специально подобранный звуковой пакет большой амплитуды.

\subsection{Заключение}

Итак, в процессе эволюции долгоживущей солитонной турбулентности  неинтегрируемая система приближается к состоянию солитонного газа, что позволяет считать это состояние статистическим аттрактором. Этот результат получен тремя способами: аналитически вблизи равновесного состояния \cite{KY80, PY85} и вдали от равновесия (в работе \cite{SolTurb}), а также прямым численным моделированием (в работе \cite{SolTurb}). Результат не зависит от размерности пространства и от деталей взаимодействия (если, разумеется, солитоны устойчивы).

Для одномерного случая и степенной нелинейности выделенность солитонного состояния подтверждена в подробной статье \cite{LRS88}, в которой в отличие от прямого моделирования сначала делаются аналитические предположения о свойствах термодинамически равновесного состояния, а затем это состояние исследуется численно.

Аналитическая работа \cite{PF87} основана на методе ланжевеновской силы; в ней введено феноменологическое уравнение для описания солитона, подобранное так, чтобы дать верный ответ для линейных волн. Это феноменологическое уравнение,  отличающееся от  аналитически полученного в 
\cite{ChY81}, не учитывает прямых взаимодействий солитон - солитон,  а полученный результат - отсутствие интенсивных солитонов в асимптотике - противоречит результатам численного эксперимента настоящей работы. 

Отметим, что для бесконечномерных систем гамильтоновый характер системы не является препятствием для существования статистических аттракторов  типа  солитонов.  Собственно говоря, и  диссипация,  обеспечивающая возможность существования истинных аттракторов,  появляется как 
результат усреднения по многим степеням свободы исходно гамильтоновой системы.

Заметим также, что в реальных физических системах всегда имеется
затухание волн с большими волновыми числами, а также различные нелинейные механизмы затухания. Эти эффекты приведут к тому, что солитоны достаточно малого размера и большой интенсивности будут быстро диссипировать. Тем самым концентрация энергии в солитонах малых размеров оказывается сильно нелинейным механизмом поглощения энергии, который можно сравнить с "коллапсным" механизмом диссипации за счет катастрофического развития особенностей волнового поля. Итак, оказывается, что "солитонный" и "коллапсный" варианты волновой турбулентности  качественно отличаются друг от друга не слишком сильно. 

\section{Турбулетность конденсата в двумерном уравнении Шредингера с отталкиванием}

\subsection{Введение}


Если бездиссипативная система сохраняет больше чем один 
интеграл движения, тогда накачка, действующая в некотором
масштабе, в общем случае производит два каскада в
$k$-пространстве.
В то время как прямой каскад и перемежаемость это то, что 
естественно ожидается от турбулентности,  обратный 
каскад - своего рода самоорганизация. Другое важное различие
между каскадами состоит в их предназначении. Большинство
систем предполагает наличие некоторой диссипации (как вязкость)
для естественного стока при прямом каскаде. С другой стороны, 
во многих системах, крупномасштабные моды не имеют 
затухания, и обратный каскад может привести к накоплению
длинноволновой моды, аналогичному Бозе-конденсации.

Обратный каскад имеет место в двумерной несжимаемой жидкости
\cite{67Kra-b,83HMM,94SY}. Также, в любой системе с Гамильтонианом  $H=H_2+H_{4}$
$$H_2 = \sum_{k} \omega_{k} \psi^*_{k} \psi_{k},\quad H_{4}\!\!=\!\!\! 
\sum_{k_1 k_2 k_3 k_4}\!\!
\lambda_{k_1 k_2 k_3 k_4} \psi^*_{k_1} \psi^*_{k_2} \psi_{k_3} \psi_{k_4}$$
имеет место обратный каскад, так как такая система сохраняет
полное число волн ${N=\sum_{k}|\psi_{k}|^2}$.
Такая система состоит из волн с частотным спектром
$\omega_{k}$, и в которой имеется четырёхволновое
взаимодействие с очевыдным свойством 
$\lambda_{k_1 k_2 k_3 k_4} = \lambda_{k_2 k_1 k_3 k_4} =
\lambda_{k_3 k_4 k_1 k_2}$.
Для малого уровня нелинейности $H_{4}\ll H_2$, имеется 
хорошо разработанная теория
слабой турбулентности \cite{ZLF92}. Наличие двух интегралов
движения, квадратичных по волновым амплитудам ( в пренебрежении вкладом  $H_{4}$ в Гамильтониан), приводит к существованию
двух каскадов, прямого каскада энергии, и обратного каскада 
числа волн. Можно доказать простую утверждение:
необходимы две области поглощения, она в больших масштабах, 
другая в малых (по сравнению с характерным масштабом 
накачки),
чтобы поглощать потоки обоих интегралов и обеспечить
стационарное состояние \cite{ZLF92}. 
Если же уровень нелинейности не является малым, тогда
связь между интегралами и их потоками уже не будет столь 
простой. Этому вопросу и посвящен данный раздел. 

Рассматривается случай 
$\omega_k=k^2$ и $\lambda_{k_1 k_2 k_3 k_4}=\mbox{const}$,
соответствующий хорошо известному нелинейному уравнению
Шредингера:
\begin{equation}
i\psi_t+\Delta \psi+\lambda|\psi|^2\psi=0\ ,\label{nse}
\end{equation}
которое описывает как распространение света в средах
с Керровской нелинейностью, так и турбулентность 
огибающих \cite{Ah}.
Слабая турбулентность для уравнения 
(\ref{nse}) описана в \cite{ZLF92, FR, OptTurb}. Для
длумерного случая основное утверждение теории состоит в том, что
парная корреляционная функция
$\langle\psi_k\psi^*_{k'}\rangle=n_k
\Delta_{{\bf k}{\bf k}'}$ равна: $n_k=f(k)T/k^2$, 
где безразмерная функция $f(k)$ (определяющая отклонение
от термодинамическог равновесия $T/k^2$, и обеспечивающая
потоки интегралов)
является медленной логарифмической функцией в области прямого
каскада \cite{OptTurb},
и является почти константой в области обратного 
каскада \cite{OptTurb}.
Безразмерный параметер нелинейности
$\lambda|a_k|^2k^2/\omega_k=\lambda|a_k|^2$
увеличивается с длиной волны, так что турбулентность 
неизбежно становится сильной при малых $k$.
В отличие от слабой турбулентности, которая является
нечувствительной к знаку $\lambda$, 
сильная турбулентность имеет качественно различные свойства
для фокусирующей ($\lambda>0$) и дефокусирующей ($\lambda<0$)
среды. 

Качественное объяснение турбулентности для фокусирующего 
случая дано в \cite{OptTurb}: 
обратный каскад приводит к образованию крупно-масштабных
каверн, которые являются модуляционно неустойчивыми, и
коллапсируют за конечное время.
Коллапс ((или самофокусировка) обеспечивают сильнонелинейный
прямой каскад числа волн (квантов) в область коротковолнового
затухания.
И в результате устанавливается стационарное состояние без
какой-либо диссипации в области крупных масштабов:
все средние величины - энергия, полное число волн и т.д. - не
растут со временем. 
При этом сильная крупномасштабная турбулентность сосуществует
с мелкомасштабной слабой турбулентностью.

Здесь, далее, рассматривается дефокусирующий случай. 
Уравнение (\ref{nse}) 
с $\lambda<0$, или уравнение Гросса-Питаевского
используется для описания слабо взаимодействующего Бозе-газа и
Бозе-конденсата \cite{GPG}. 
Большое колличество литературы посвящено свойствам частных
решений и равновесной статистике (и фазовым переходам)
в этой модели (см. например, \cite{91Don, LP}). 
Неравновесная кинетика Бозе-конденсации может быть применена
в связи с экспериментами с ансамблями атомов при 
сверхнизких температурах \cite{cold}. 
В сильной турбулентности в рамках уравнения (\ref{nse}) могут
одновременно присутствовать и конденсат, и фононы, и ударные
волны, и тёмные солитоны и квантовые вихри.
Такая сложность, тем не менее, не подразумевает 
невозможным существование универсального скэйлинга для
корреляционных функций, а лишь затрудняет установить его.
Разумеется, здесь не идёт речь о полном аналитическом 
описании такой турбулентности.

Трёхмерная кинетика была рассмотрена Крайчнаном (ring-model
approximation) в \cite{67Kra}. 
Здесь же рассматривается двумерная турбулентность, возбуждаемая
источником в области промежуточных масштабов, и с затуханием
с области малых масштабов. Затухания в крупных масштабах нет.
По сути, рассматриваются два вопроса:
\begin{itemize}
\item Возможно ли получить стационарное состояние к области
конечных $k$ без диссипации в области крупных масштабов?
\item Как образуется конденсат?
\end{itemize}

Будет показано, что эти два вопроса тесно связаны: флуктуации
при $k\not=0$ могут быть стационарными, только в присутствии
растущего конденсата при $k=0$.


\subsection{Численный эксперимент}

Для численного интегрирования уравнения (\ref{nse}) с 
$\lambda=-1$, был применён метод, описанный в  \cite{OptTurb}.
Все варианты моделирования были выполнены в области
$2\pi\times 2\pi$. 
В качестве начальных данных был выбран "квази" равновесный
спектр
$$ n_k = T/(k^2 +\mu) $$
c $T=0.01$ и $\mu=1/12$.
Начальные фазы волн были случайны.
Чтобы получить турбулентный режим, в уравнение были добавлены
накачка
\begin{eqnarray}\gamma_p(k)&=&\alpha \sqrt{(k^2-k_l^2)(k_r^2-k^2)}
\quad {\rm at}\quad k_l<k<k_r\nonumber\\&=& 0\quad {\rm otherwise\ .}
\nonumber\end{eqnarray}
и затухание в малых $k$
\begin{eqnarray}\gamma_d(k)&=&0.5k^2h(k/k_d)\ ,\nonumber\\
h(x)&=&{1\over6x^5}\exp[5(1-x^{-2})]\,,\quad x\leq1\ ,\nonumber\\
h(x)&=&1-{5\over6}\exp[1/2(1-x^{2})]\,,\quad x>1\ .\nonumber
\end{eqnarray}
Выбор $\gamma_d$ был сделан похожим на затухание Ландау в
плазме; 
хотя конкретный вид $h(x)$ не важен, лишь бы 
$h(x)\rightarrow 0$ при больших $x$. 

\begin{figure}[!htbp]
%\begin{center}
\includegraphics[angle=0,width=\PW]{Fig_3.3/cor_1.ps}
\caption{a,b,c) Корреляционные функции в раличные времена: 
$-\cdot-$ $t=32$,
$---$ $t=55$, $\cdots$ $t=92$, сплошная $t=127$; 
d) полное число волн
$N$ и число волн в конденсате $N_0$.}
\label{grisha1}
%\end{center}
\end{figure}

На Рисунках~\ref{grisha1} и \ref{grisha2} представлены
результаты для варианта на сетке $128\times128$ 
с $\alpha = 0.05, k_l = 28, k_r = 32$ (умеренная накачка). 
Из Рисунка~\ref{grisha1}~(d) видно, что конденсат появляется
после  $t\simeq10$ 
и в конце концов почли все волны (кванты, частицы) оказываются в
конденсате. Здесь  $N_0$ вычислялся усреднением  $\psi$ 
по всей области, т.е. эта величина представляет 
когерентный конденсат.
Корневой режим, $N_0\propto\sqrt t$
начинается, когда число квантов в конденсате почти сравнивается
с полным числом квантов.
(при $t\approx70$)
когда корреляционный масштаб $r_0\simeq N_0^{-1/2}$ сравнивается
с диссипационным.
Для характеристики вне-конденсатных флуктуаций строились
корреляционные функции
$$S_i(r)=\langle |\psi({\bf x}+{\bf r})-\psi({\bf x}) |^i\rangle.$$
Усреднение производилось по  ${\bf x}$ и времени
(по нескольким безразмерным единицам). 
Нетрудно видеть из Рисунка~\ref{grisha1}~(a), что
парная корреляционная функция имеет логарифмическую асимптотику
на больших масштабах, на временах, когда достигается
стационарный режим (после времени  $t\simeq
100$ изменения  $S_i$ уже не видны на Рисунке~\ref{grisha1}). 
Это соответствует спектру $n_k\propto k^{-2}$.

\begin{figure}[!htbp]
%\begin{center}
\includegraphics[angle=0,width=\PW]{Fig_3.3/2sp4.ps}
\caption{a) Линии уровня спектра $n(k_x,k_y)$ усреднённого
по времени $t=(119\div
127)$, b) "Срезы" спектра по разным напрвлениям в
$k$-пространстве: 
$-\cdot-$ $k_x=0$, $---$ $k_y=0$, $\cdots$ $k_x=-k_y$,
сплошная  $k_x=k_y$.}
\label{grisha2}
%\end{center}
\end{figure}
Для того, чтобы определить насколько вне-конденсатные флуктуации
отклоняются от Гауссовой статистики мы вычисляли нормированные
корреляционные функции 4-го ("flatness")$S_4/S_2^2$
(должна быть равна 2 для Гауссовой статистики) и 6-го
$S_6/S_2^3$ (должна быть равна 8 для Гауссовой статистики) порядков.
"Flatness" растет до времени $t\approx55$ 
(когда относительный рост конденсата насыщается), 
а затем "flatness" уменьшается.
"Flatness" почти одинакова на всех масштабах при $r>r_0$, 
где корреляционная длина $r_0\simeq N_0^{-1/2}$ уменьшается 
со временем.

%\newsavebox{\runc}\sbox{\runc}{\epsfxsize=100mm\epsffile{profiles_2.ps}}
\begin{figure}[!htbp]
%\begin{center}
\includegraphics[angle=+90,width=\PW]{Fig_3.3/profiles_2.ps}
\caption{Профили $|\Psi|$ (сплошная), Re$\,\Psi$ (пунктирная) 
 Im$\,\Psi$ (точечная), взятые вдоль диагонали и
 вдоль границ области моделирования, $t=135.7$}
\label{grisha3}
%\end{center}
\end{figure}

Стационарный спектр - существенно анизотропен, несмотря на 
то, что накачка изотропна. Анизотропия растёт с уменьшением
$k$ --- см. Рисунок~\ref{grisha2}(a).
Отметим, что в рамках теории слабой турбулентности
крупномасштабный равновесный спектр устойчив по отношению к
угловым возмущениям \cite{ZLF92}.
Нарушение симметрии же в рассматриваемом случае может быть
обусловлено нелинейными эффектами (такими как 
образование кинков) --- см. также Рисунок~\ref{grisha3}.
Рисунки~\ref{grisha2} и~\ref{grisha3} демонстрируют, что
имеется два взаимно перпендикулярных направления, (одно 
при $\simeq30^o$) с наибольшим и наименьшим уровнями флуктуаций.
По первому направлению спектр практически плоский в малых 
 $k$, а затем спадает приблизительно как  $k^{-3}$,
что может соответствовать спектру
ударных волн.
Более слабые флуктуации в перпендикулярном направлении 
спадают как $k^{-2}$. 

Суммируя вышеизложенное, можно предположить, что
сильная турбулентность внеконденсатных флуктуаций
состоит из квази-одномерных структур наложенных более-менее
изотропные волны.

%\sbox{\runc}{\epsfxsize=70mm\epsffile{run3.ps}}
\begin{figure}[htbp]
%\begin{center}
\includegraphics[angle=+90,width=\PW]{Fig_3.3/run3.ps}
\caption{Эволюция на большие времена при умеренной накачке:
a) полное число квантов
$N$ и число квантов в конденсате $N_0$, b) 
отношение квадрата числа квантов к Гамильтониану, 
c) гистограмма внеконденсатных флуктуаций,
d) параметр нелинейности
$H_4/H_2=\int|\psi|^4\,dxdy/2\int|\nabla\psi|^2\,dxdy$.}
\label{grisha4}
%\end{center}
\end{figure}

Для того, чтобы исследовать асимптотический режим (линейный рост
уровня конденсата и стационарный уровень флуктуаций)
на больших временах был проведён численный эксперимент на небольшой сетке, $32\times32$ с $\alpha = 0.05, k_l = 6, k_r = 10$ --- см. Рисунок~\ref{grisha4}.
Отметим,что параметр нелинейности
$H_4/H_2$ был намного больше 1 когда флуктуации были стационарны, в то время как отношение  $N^2/2SH$ ($S=4\pi^2$ 
площадь области ) 
оставалось порядка 1, так что конденсат даёт главный вклад как
в энергию, так и в число квантов.
На Рисунке~\ref{grisha4}~(c) представлена гистограмма
флуктуаций числа квантов вне конденсата. Статистика
внеконденсатных флуктуаций примерно Гауссова на больших временах,
как это видно из Рисунков~\ref{grisha1}(b) и~\ref{grisha1}(c),
хотя режим - сильнотурбулентный.

Был посчитан ещё один вариант (здесь не  представлен), 
в котором амплитуда накачки была в десять раз больше. 
При таких же временах моделирования, $t\simeq400$, мы не
обнаружили никаких признаков растущего конденсата и стационарных
флуктуакий при конечных $k$. Здесь можно предположить, что
накачка сначала приводит к слаботурбулентному режиму, затем
конденсат
имеет время, чтобы развиться, а затем растущий конденсат
выполняет роль "стока" при $k\not=0$. А слишком сильная накачка
приводит к нестабилизируемой турбулентности в малым уровнем
конденсата.

%\sbox{\runc}{\epsfysize=130mm\epsffile{run_2.ps}}
\begin{figure}[htbp]
%\begin{center}
\includegraphics[angle=+90,width=\PW]{Fig_3.3/run_2.ps}
\caption{a) Начальная стадия эволюции при большой накачке:
полное число частиц $N$ и число квантов в конденсате $N_0$, b) 
пространственная зависимость $|\psi(x,\pi)|^2$ при $t=42.4$.}
\label{grisha5}
%\end{center}
\end{figure}

Следующий вариант, качественно отличающийся от представленного
на Рисунках~\ref{grisha1}, \ref{grisha2} и \ref{grisha3}, в 
котором накачка находилась дальше от области накачки.
На Рисунках~\ref{grisha5} и \ref{grisha6} представлены
данные моделирования с  
$\alpha = 0.068, k_l = 13, k_r = 17$. 
Главная разница в положении накачки, которая теперь находится
при  $k_p=15$. 
Начальные условия и затухание - такие же, как на
Рисунке~\ref{grisha1}.
Также как и в случае сильной накачки, стационарное состояние в 
конечных  $k$ не наблюдается (расчеты велись до $t\simeq70$).
Полное число квантов растет экспоненциально до 
$t\approx2$, 
затем наступает промежуточная стадия роста 
$N\sim t^2$.
И наконец при  $t\simeq50$, рост  $N(t)$ выходит
на линейный по времени $N\sim t$. Числа заполнения
$n_k$ растут в области малых $k$ 
и стабилизируются в области накачки, спектр спадает быстрее
с показателем степени примерно $4.5$ на временах $t=44$.
В течение этой промежуточной стадии конденсат мал, см. 
Рисунок~\ref{grisha5}(a). И только после $t>50$, 
конденсат начинает расти, отношение   $N_0/N$ 
флуктуирует около  $1/3$.
Это значит, что среднее значение $\bar\psi$ мало, и в тоже время
величина $|\psi({\bf r})|^2$ почти постоянна в пространстве,
см. Рисунки~\ref{grisha5}~(b) и \ref{grisha6}. 
Но есть несколько глубоких минимумов у $|\psi|^2({\bf r})$
(как видно из Рисунка~\ref{grisha5}~(b) при $x\approx2.1$).
Этот минимум, соответствут темному солитону, или вихрю.
$\bar\psi$ в большинстве посчитанных вариантов похожи на то, 
что на 
Рисунке~\ref{grisha6} (сравните с Рисунком~\ref{grisha3} для
умеренной накачки).
Хорошо выдны структуры типа кинков на профилях Re$\,\Psi$
и Im$\,\psi$ в то время как $|\psi|$ - почти константа.
Тот факт, что флуктуации $|\psi({\bf r})|^2$ в пространстве 
малы, отражается также и на поведении отношения
$N^2/2SH$. Оно приближается к 1, также как и для варианта на 
Рисунке~\ref{grisha4}~(b).
%\sbox{\runc}{\epsfxsize=100mm\epsffile{profiles_2.ps}}
\begin{figure}[!htbp]
%\begin{center}
\includegraphics[angle=+90,width=\PW]{Fig_3.3/profiles_1.ps}
\caption{Профили $|\Psi|$ (сплошная), Re$\,\Psi$ (пунктирная) 
и Im$\,\Psi$ (точечная) вдоль диагонали и вдоль
границ области, $t=45.4$}
\label{grisha6}
%\end{center}
\end{figure}



\subsection{Заключение}

В заключение отметим, наблюдалось две качественно различных
компоненты в турбулентности  неравновесного Бозе-конденсата.
Умеренная накачка приводит 
\begin{itemize}
\item к слаботурбулентному режиму в
области накачки,
\item обратный каскад производит линейно растущий конденсат,
который стабилизирует вне-конденсатные флуктуации, т.е.
служит стоком в турбулентности, которая стационарна при всех
$k\not=0$.
\end{itemize}

Другие режимы, при сильной накачке, где наряду с ростом
конденсата растут и все остальные Фурье-гармоники требует
дальнейшего изучения.


\section{Неустойчивость и самофокусировка солитонов в сдвиговом потоке}
\label{Benjamin-Ono}

В рамках обобщенного двумерного уравнения Бенджамина-Оно
аналитически и численно показано, что в пределе малой
вязкости неустойчивость одномерных длинноволновых солитонов 
в пограничном слое приводит к их самофокусировке и коллапсу.
Найдена точная верхняя граница для полной энергии возмущений,
когда коллапс все еще невозможен и когда любое возмущение
асимптотически исчезает с течением времени. Теоретические
предсказания находятся в качественном согласии с 
экспериментами \cite {KR92}.

\subsection{Предыстория}  

В нелинейной акустике имеется аналог самофокусировки света.
Это коллапс акустических волн с положительной дисперсией
\cite{KMS83} который можно рассматривать как нелинейная 
стадия неустойчивости Кадомцева-Петвиашвили (КП) одномерного
солитона \cite{KP70}. 
В отличие от самофокусировки света, механизм КП-неустойчивости
и, следовательно, коллапса акустических волн связан с
уменьшением скорости солитона и увеличинением амплитуды.
Несмотря на физическое различие между самосфокусировкой 
света и акустическим коллапсом, оба явления могут быть 
описаны и, соответственно, объяснены на основе общего
гамильтонового описания. С этой точки зрения, причина
образования особенности за конечное время - та же самая
для обеих систем, а именно, она связана с неограниченностью
Гамильтониа снизу (когда другие инварианты зафиксированы,
константы) из-за нелинейных членов. 
В некотором смысле коллапс можно рассматривать как падение
частицы в неограниченном, самосогласованном потенциале.
Если же Гамильтониан ограничен снизу, тогда эта нижняя граница
соответствует стацоинарному решению солитонного типа, на которм
нелинейность и дисперсия точно компенсируют друг длуга.
Согласно теореме Ляпунова, такие солитоны 
устойчивы \cite{KRZ86}.  
Волновые коллапсы, как правило присущи многомерным системам
(см., например, \cite{ZPP82}, \cite{ZK86}), 
а устоичивые солитонные решения обычно встречаются
в одномерном случае.  
Это связано с увеличением влияния нелинейности с ростом
размерности пространства $d$.

В этом разделе мы покажем каким образом эти общие аргументы
действуют в конкретном случае при описании нелинейной динамики
длинноволновых осцилляций в пограничном слое, в пределе малой 
вязкости. В параграфе \ref{MODEL-BO}
представлена модель - двумерное обобщение уравнения
Бенджамина-Оно, впервые полученного в работе \cite{Sh89}. 
В параграфе \ref{SOLIT_PROP} обсуждаются
общие свойства одно- и двумерных солитонов, которые
распространяются в пограничном слое, и представляют собой 
"замедления" на среднем профиле скорости. 
В следующем параграфе, \ref{INST_1D} 
мы показываем, что одномерные солитоны 
являются устойчивыми относительно одномерных же возмущений,
но неустойчивы относительно изгибных возмущений (аналогично
акустическим солитонам).
Эта неустойчивость - фокусирующего типа, приводящая
на нелинейной стадии к  разбиению солитона на отдельные кластеры
и дальнейшей самофокусировке каждого 
кластера \ref{COLLAPSE_BL}. 
В параграфе \ref{EXACT_BOUNDARY} найдена точная верхняя
граница для энергии возмущений, когда коллапс ещё невозможен,
и асимптотическое состояние на больших временах лишь уширяется
из-за дисперсии.
Параграф \ref{NUM_EXP} посвящен численному эксперименту.  И,
наконец, в последнем параграфе теоретические и численные
результаты
сравниваются с экспериментальными данными о когерентных
структурах в пограничном слое \cite{KR92}.

\subsection{Модель} 
\label{MODEL-BO}
 
Рассмотрим сдвиговый поток, параллельный плоским стенкам,
с постоянной (по времени) скоростью 
$U$, зависящей от нормальной координаты $z$. 
Мы предполагаем, что
\begin{itemize}
\item функция $U(z)$ не имеет точек перегиба, 
\item $U$ стремится к некоторой константе
$U_0$ при $z
\rightarrow \infty$ и
\item первая производная $U'$ в точке $z=0$ положительна,
$U'(0)>0$.  
\end{itemize}
Такой профиль скорости $U(z)$ стационарен лишь для
идеальной жидкости, т.е в рамках уравнения Эйлера. 
Даже для малой вязкости он уже не стационарен: 
пограничный слой становится турбулентным, но среднее 
значение скорости $\overline {U(z)}$ ведет себя также.
%В этом случае толщина пограничного слоя
%$h$ зависит от расстояния $x$ до края потока
%from the edge of the blowing plate. The
%thickness is given by the following estimation (see \cite {LL}):
%$$ h
%\propto \frac {x} {\log {Re}}
%$$
%где $\mbox{Re}=U_0h/\nu$ число Рейнольдса.

Рассмотрим низкочастотные колебания (с длиной волны 
$\lambda \gg h$ ), считая их невзаимодействующими
с высокочастотными флуктуациями.
%Будем считать, что $h$ не зависит от $x$, что справедливо при
%при $\log Re \gg 1$ ($x \gg h$).
В этом случае для низкочастотых движений 
можно использовать уравнение Эйлера. 
Влияние вязкости будет малым, $\mbox{Re}^{-1}$ в сравнении 
с дисперсией
осцилляций в пограничном слое. 
В слабонелинейном приближении уравнение для амплитуды
$A(x,y,t)$ низкочастотных колебаний может было получено
в \cite{Sh89} из уравнения Эйлера:
\begin{equation} \label{eq:(1)}
\frac{\partial A}{\partial t} + U'(0)AA_x + 
U_0h\frac {\partial} {\partial x}\hat kA = 0
\end{equation}
где $h=U_0/U'(0)$. Фурье-преобразование
интегрального оператора $\hat k$  это 
$|\vec k| = (k_x^2 + k_y^2)^{1/2}$. 
Из-за этого оператора уравнение становится двумерным.
В одномерном же случае этот оператор выражается через
преобразование Гильберта  $\hat H$,
$$ \hat H\psi (x) =\frac{1}{\pi} 
P.V.\int _{-\infty}^{\infty} \frac{\psi (x')}{x'-x}dx',$$
следующим образом
$$\hat k = \partial_x\hat H.$$
Зависимость от третьей координаты $z$ в этом уравнении 
отсутствует, поскольку в главном порядке флуктуации скорости
вдоль потока (параллельного  $x$) 
выражаются через амплитуду $A$ следующим образом
\begin{equation} \label{eq:(1a)} 
v_x \approx A(x,y,t) U'(z).  
\end{equation}
Две другие компоненты - малы по сравнению с ней.

Уравнение
(\ref{eq:(1)}) было получено Шрирой в  \cite{Sh89}. 
Оно является двумерным обобщением известного уравнения
Бенджамина-Оно (БО), описывающего длинные волны в 
стратифицированной жидкости.
Следует отметить, что подобное уравнение, учитывающее малую
вязкость, было получено
в работе  \cite{ZR82}.

Уравнение (\ref{eq:(1)}) записано с точностью $(kh)^3$. 
В следующем порядке у частоты $\omega = U_0hk_x|k|$ появляется
мнимая часть  $\sim (kh)^3$,
которая обеспечивает диссипацию.
Поэтому, об этих осцилляциях можно говорить как о квази-модах,
не противоречащих общей теореме Рэлея 
см., например, \cite{Lamb}, \cite{LL}). 
Согласно этой теореме, сдвиговое течение с профилем скорости 
без перегиба, линейная спектральная проблема не имеет 
связанных состояний, а только непрерывный спектр.  

Обсуждаемые здесь квази-моды действительно
являются длинноволновыми пакетами собственных мод из 
непрерывного спектра (см. подробнее в  \cite{Sh89}). 
Эти квази-моды ведут себя как волны с дисперсией и слабым
затуханием. Поэтому нелинейные эффекты, обсуждаемые ниже,
аналогичны, например, акустическим волнам со слабой дисперсией.
Также важно, что уравнение  (\ref{eq:(1)})  не подразумевает
малости отношения $k_y/k_x$, что, наоборот, имеет место для
уравнения Кадомцева-Петвиашвили \cite{KP70}. Это связано со
структурой низкочастотных квази-мод.  Поперечная компонента
флуктуаций скорости для этих мод малы по сравнению с 
продольными, \cite{Sh89}. Аналогичная ситуация имеет место
для ионно-акустических волн в замагниченой плазме, где
ионы двигаются в основном вдоль внешнего магнитного поля,
\cite{ZK74}, а также для гравитационных волн на мелкой воде,
когда продольная компонента скорости много больше, чем
вертикальная.  
Одномерность нелинейного члена  $\sim AA_x$
в уравнении (\ref{eq:(1)}) и объясняется такой структурой мод.

\subsection{Солитоны и их свойства}
\label{SOLIT_PROP}

Обычным масштабным преобразованием
 \begin{equation} \label{eq:(2a)}
 \vec r \rightarrow - \vec rh,\quad
 t \rightarrow t/U'(0), \quad A \rightarrow -6hu
 \end{equation}
уравнение (\ref{eq:(1)}) может быть переписано
в стандартном (для уравнения Бенджамина-Оно) виде:
\begin{equation}          \label {eq:(3)}
u_t = \frac{\partial}{\partial x}\hat ku - 6uu_x =
\frac {\partial}{\partial x}
\frac {\delta H}{\delta u}
\end{equation}
где Гамильтониан есть
$$
H = \frac{1}{2}I_1 - I_2.
$$
Здесь
$$
I_1 = \int u\hat ku d\vec r,\quad I_2 =
\int u^3 d\vec r.
$$
Кроме Гамильтониана $H$, уравнение (\ref{eq:(3)}) 
сохраняет другие интегралы:
импульс $\vec P$ с компонентами $$P_x =1/2\int u^2 d\vec r, \;\;\;
P_y = 1/2 \int u\phi_y d\vec r,\;\;\; \phi_x=u,$$
"массу" на линии $y=const$,  $$M(y) = \int udx,$$ 
и центр "масс",
$$
\int \vec ru d\vec r - 6P_x\vec nt = const,
$$
где $\vec n$ единичный вектор вдоль оси $x$. 
В частности, из последнего интеграла следует, что
центр "масс" движется вдоль оси $x$ с постоянной скоростью.
Поэтому естественно искать солитонное решение, движущееся вдоль 
оси  $x$ в виде
\begin{equation}           \label{eq:(4)}
u = u_s(x-Vt,y).
\end{equation}
Форма солитона определяется уравнением
\begin{equation}            \label{eq:(5)}
 -Vu_s - \hat ku_s + 3u_s^2 = 0.
\end{equation}
Для одномерного случая решение уравнения
(\ref{eq:(5)}) известно, его явный вид
\begin{equation}            \label{eq:(6)}
u_s = \frac {2V}{3(x^2V^2 + 1)} \quad (V > 0).
\end{equation}
В двумерном случае уравнение (\ref{eq:(5)}) 
имеет более широкий класс решений. Здесь нас интересует
только солитон основного состояния, аксиально симметричное
решение  уравнения  (\ref{eq:(5)}) без нулей.
Такое решение было найдено численно в работе \cite{ASS92}.

Здесь важно отметить, что скорость двумерного солитона, так же
как и его амплитуда - положительные величины.
В физических переменных, и одномернык и двумерные солитоны,
как это следует из замены 
(\ref{eq:(2a)}), двигаются против течения и имеют 
отрицательную амплитуду. 
Это означает, что в реальном течении солитоны выглядят как 
"дырки" на профиле скорости. Именно поэтому они они движутся
медленнее основного потока.
Когда амплитуда солитона растет, его скорость падает, и 
наоборот.

Получим некоторые интегральные соотношения для солитонных 
решений уравнения  (\ref{eq:(4)}), необходимых для дальнейшего
рассмотрения.
Представим (\ref{eq:(5)}) в вариационном виде
$$
\frac {\delta}{\delta u}( H + VP_x) = 0.
$$
Солитон (\ref{eq:(5)}) является стационарной точкой 
Гамильтониана $H$ при фиксированном $P_x\equiv P$. 
Если солитон реализует минимум $H$,  
тогда он устойчив по Ляпунову.

Рассмотрим масштабное преобразование, сохраняющее $P_x$,
\begin{equation}            \label{eq:(7)}
   u_s(\vec r) \rightarrow \frac {1}{a^{d/2}} u_s(\vec r/a).
\end{equation}
При этом преобразовании Гамильтониан  $H$ становится
функцией масштабного параметра $a$,
\begin{equation}          \label{eq:(8)}
 H(a) =  \frac {I_{1s}}{2a} - \frac{I_{2s}}{a^{d/2}}.
\end{equation}
Здесь и далее индекс $s$ означает величину интегралов на 
солитонном решении. Нетрудно видеть, что в одномерном
случае  $H(a)$ имеет минимум, соответствующий солитонному 
решению (\ref{eq:(6)}),
\begin{equation}           \label{eq:(9)}
H_{min} = -\frac{1}{2} I_{1s}.
\end{equation}
Кроме того, из очевидного равенства 
$$\frac{\partial H}{\partial a}_{a=1} = 0$$ 
можно получить
\begin{equation}             \label{eq:(10.a)}
 I_{1s} =dI_{2s}.
\end{equation}
Умножая затем (\ref{eq:(5)}) на $u_s$ и интегрирую по  $x$,
можно получить ещё одно соотношение между $I_{1s}$ и $I_{2s}$:
\begin{equation}         \label{eq:(10.c)}
-2VP_{xs} - I_{1s} + 3I_{2s} = 0.
\end{equation}
Следовательно, для $d=1$ имеем
$$
 I_{1s} = I_{2s} = VP_{xs}
$$или
\begin{equation}         \label{eq:(10.b)}
 H_s = -\frac{1}{2} VP_{xs}.
\end{equation}

Для двумерного же случая, Гамильтониан на солитонном 
решении тождественно равен нулю в силу соотношения
(\ref{eq:(10.a)}). Если в начальных условиях  $I_2>I_1$,
тогда (при $d=2$), в соответствии с (\ref{eq:(8)}), он
будет неограничен снизу при  $a\rightarrow 0$. 
В противоположном случае, $I_1>I_2$, Гамильтониан
будет ограничен снизу.

Далее покажем, что на солитонном решении (\ref{eq:(6)}) 
достигается точный минимум  $H$ в классе одномерных
функций принадлежащих пространству $W_2^{1/2}$ с нормой
$$
||u||=\left(\int u^2 dx +\int u\hat ku dx\right)^{1/2}.
$$
Для этого используем неравенство \cite{N66}, следующее
из теоремы вложения для пространств $W_2^{1/2}$ и $L_3$:
\begin{equation}         \label{eq:(11.a)}
\int u^3 d\vec r \leq C \left(\int u\hat ku d\vec r\right)^{d/2}
\left(\int u^2 d\vec r\right)^{\frac {3-d}{2}}
\end{equation}
где наилучшая константа $C$ определяется как верхняя граница 
функционала
\begin{equation}         \label{eq:(11.b)}
F = \int u^3 d\vec r \left(\int u\hat ku d\vec r\right)^{-d/2}
\left(\int u^2 d\vec r\right) ^{\frac{d-3}{2}}.
\end{equation}
Отметим, что, во-первых, $\sup F$ достигается на аксиально 
симметричном решении без нулей, и, во-вторых, 
$F$, согласно определению (\ref{eq:(11.b)}), 
является инвариантным по отношению к масштабированию
координат и $u$. В частности
это значит, что уравнение для стацинарной точки $F$, т.е., 
уравнение Лагранжа 
$$\frac {\delta F}{\delta u} = 0,$$ 
всегда может быть представлено в следующем виде
$$ -Vu - \hat ku + 3u^2 = 0. $$
Это уравнение совпадает с уравнением (\ref{eq:(5)}) для
солитонного решения. Следовательно, учитывая (\ref{eq:(10.b)}),
неравенство (\ref{eq:(11.a)}) для одномерного случая даёт:
\begin{equation}
\label{eq:(11.c)} I_2 \leq I_{1s}^{1/2} I_1^{1/2} 
\frac {P_x}{P_{xs}}.
\end{equation}
Подставляя эту оценку в $H$ и полагая $P_x = P_{xs}$,
приходим к следующему неравенству для $H$,
\begin{equation}
H \geq H_s + 1/2 ( I_1^{1/2} - I_{1s}^{1/2} )^2,
\end{equation}
являющемуся точным для одномерного солитона.
Таким образом, в одномерном случае минимум $H$ достигается
на солитонном решении, и тем самым доказана его устоичивость по 
отношению к малым одномерным возмущениям.
Здесь следует отметить, что эта устойчивость
была независимо доказана ранее в работе \cite{W78}.

\subsection{Неустойчивость одномерного солитона}
\label{INST_1D}

Рассмотрим задачу о неустойчивости одномерного солитона
по отношению к двумерным возмущениям. Будем искать решение
уравнения (\ref{eq:(3)}) в виде 
$u = u_s(x') + u'(x',y,t)$ ($x' = x - Vt$),
полагая возмущение  $u'$
малым по сравнению с $u_s$. После лианеризации
получаем спектральную задачу для амплитуды $\psi$,
\begin{equation} \label{eq:(12)}
 -i\omega \psi +
\frac{\partial}{\partial x} L_0\psi - 
\frac{\partial}{\partial x} (\hat k -
\hat k_0)\psi = 0.  
\end{equation}
где $u'$ и $\psi$ связаны следующим образом
$$u'= \psi (x') \exp (-i\omega t + ik_yy)$$.

Здесь введены следующие обозначения
$$ L_0 = -V - \hat k_0 + 6u_s;
\quad \hat k^2 = k_y^2 + \hat k_0^2,\quad 
\hat k_0 = -\partial_x\hat H. $$
 
действуя аналогично работе \cite{KT82},
будем искать решение спектральной задачи в длинноволновом 
пределе ($\epsilon = k_yV \ll 1$). Разложим  $\psi$ и
$\omega$  в ряд по степеням малого параметра $\epsilon$, 
полагая:  
$$ \psi = \psi_0 +
\epsilon \psi_1 + \epsilon ^2 \psi_2 + ...,\quad \omega = \epsilon \omega_1 +
\epsilon ^2 \omega _2 +...  .
$$

В главном порядке получаем
$$
\partial _xL_o\psi_0 = 0.
$$
Одно из решений этого уравнения уже известно. 
Это нейтральная мода  
$\psi_0 = {\partial u_s}/{\partial x}$,
соответствующая сдвигу солитона.

Сдедующий порядок по $\epsilon$ дает
$$
-i\omega\partial_x u_s + \frac {\partial}{\partial x}L_0\psi_1 = 0,
$$
или
\begin{equation}            \label{eq:(13)}
-i\omega u_s + L_0\psi_1 = 0.
\end{equation}
Дифференцируя уравнение (\ref{eq:(5)}) по $V$,
$$
 -u_s + L_0\frac {\partial u_s}{\partial V} = 0,
$$
и сравнивая полученный результат с  (\ref{eq:(13)}), 
получаем
\begin{equation}        \label{eq:(14)}
   \psi_1 = -i\omega \frac {\partial u_s}{\partial V}.
\end{equation}
В следующем порядке по $\epsilon$ из (\ref{eq:(12)})
следует
\begin{equation}               \label{eq:(15)}
  -i\omega\psi_1 - \frac {k_y^2}{2} \hat H\psi_0 =
  - \partial_xL_0\psi_2.
\end{equation}
Условие разрешимости для этого уравнения определяет соотношение 
между  $\omega$ и $k_y$. Чтобы его получить,
необходимо умножить скалярно слева на собственную
функцию  $\Phi_0$
оператора, сопряженного к $\partial_xL_0$, с нулевым 
собственным числом
(легко показать, что $\Phi_0=u_s$). 
После несложных вычислений, учитывая (\ref{eq:(10.a)}) и
(\ref{eq:(10.b)}), 
получаем неустойчивость одномерного солитона по отношению
к изгибным возмущениям его фронта:
\begin{equation}               \label{eq:(16)}
     \omega^2 = -\frac{k_y^2V^2}{2} < 0.
\end{equation}
Смысл этой неустойчивости - такой же как и для неустойчивости Кадомцева-Петвиашвили для акустического солитона в среде
с положительной дисперсией \cite{KP70}. Как будет показано
в параграфе \ref{SOLIT_PROP}, скорость
солитона уменьшается с ростом его амплитуды. Поэтому
области, в которых поперечная модуляция
приводит к уменьшению амплитуды, движутся быстрее, чем области
с большой амплитудой. Это неустойчивость самофокусировочного 
типа.

\subsection{Коллапс}
\label{COLLAPSE_BL}

Развитие неустойчивости (\ref{eq:(16)}) должно приводить
разбиению солитона на отдельные кластеры. Довольно очевидно,
что для волновых чисел $k$, больших, чем обратный характерный
размер солитона $V$, неустойчивость должна отсутствовать.
Максимум же инкремента (\ref{eq:(16)}) находится 
при $k_y \propto V$. 
И следовательно размер кластера должен быть порядка
размера самого одномерного солитона. После разбиения
на отдельные кластеры, нелинейная динамика системы будет 
определяться уже поведением кластеров.
Какова же дальнейшая судьба кластеров?
Здесь имеется несколько возможностей. Первая, это
образование солитона. Но это противоречит сохранению
энергии. Для двумерного солитона Гамильтониан равен нулю,
а для одномерного - он отрицателен.
Таким образом, формирование солитона в результате эволюции
кластера выглядит маловероятным.
По той же самой причине (сохранение энергии) кластер не 
может исчезнуть, так как течение с малыми амплитудами имеет
положительный Гамильтониан.

С другой стороны,
как было показано в параграфе \ref{SOLIT_PROP},
в двумерном случае с отрицательным Гамильтонианом, такое 
состояние неограничено снизу при масштабном преобразовании,
когда параметр $a\rightarrow 0$.
Это значит, что коллапс кластера более вероятен.
С точки зрения закона сохранения энергии, этот процесс возможен.
Конечно, важно также учитывать и излучение волн малой амплитуды 
из кластера.
%
%Indeed, there is no
%alternative to the collapse in this case. It is also 
%confirmed by the
%following estimation.  Let $\Omega$  arbitrary region 
%with a negative
%Hamiltonian $H_{\Omega}$. Then using the mean value theorem
%one can get (compare with \cite{ZPP82} and \cite{KM86})
%\begin{equation}         
%\label{eq:(18)}
%    \max_{x \in \Omega} u \geq \frac{|H_\Omega|}{2P_{x\Omega}}.
%\end{equation}
%Here the expression in the r.h.s. of the inequality
%has a meaning of the mean energy per one quasi-particle.
%From this inequality follows that $\max u$ as a function 
%of t is majorized always by the conservative value. So,
%vanishing or yet some sufficient decreasing of the initially
%existed maximum of $u$ are impossible. As a sequence of this 
%fact the
%appearance from such maximum of 2D soliton represents 
%as an almost
%forbidden process. Moreover, from (\ref{eq:(18)})
%one can understand the role of the wave radiation
%in this process and  its effect on the collapse.
%
%Let initially in some
%separate region $\Omega$ the Hamiltonian is negative
%$H_{\Omega}< 0$ and the radiation happens from this region.
%Because the radiative waves carry out the positive portions
%of $H$ (at the infinity the waves have small amplitudes),
%the Hamiltonian of this region becomes more and
%more negative increasing its absolute value. Note that it is 
%possible only
%due to the unboundedness of the Hamiltonian.
%Simultaneously, $P_{x\Omega}$ as a positive value decreases so
%that the ratio in the r.h.s. of the inequality (\ref{eq:(18)})
%will increase. It automatically leads to the growth of 
%$\max u$.
%Thus, the radiation, as a dissipative process for each cluster,
%promotes its collapse.

Посмотрим на свойства масштабного преобразования 
системы  (\ref{eq:(3)}) с другой стороны.
В двумерном случае Гамильтониан уравнения (\ref{eq:(3)})
при масштабном преобразовании (\ref{eq:(7)}) ведет себя 
также, как в двумерном уравнении Шредингера (НУШ), в 
фокусирующем случае.
Главная особеннось НУШ, что это уравнение описывает 
критический коллапс. Для более слабой нелинейности, или
меньшей размерности пространства, коллапс становится 
невозможным. Он становится возможным начиная с $d=2$.
В параграфе \ref{SOLIT_PROP} было показано, что Гамильтониан
при $d=1$ ограничен снизу, и коллапс поэтому невозможен.
Для случая же $d=3$, член Гамильтониана, отвечающий за 
нелинейность, ($H_{int}=-I_2$), обеспечивает неограниченость
$H$ снизу при $a\rightarrow  0$, как это видно 
из (\ref{eq:(8)}) если только $I_2>0$.
В этом смысле двумерное уравнение Бенджамина-Оно
также является пограничным, как и двумерный НУШ.
И можно его также считать критической моделью.
Здесь следует вспомнить,что в критическом НУШ (см., например,
\cite{OptTurb}) форма коллапсирующей структуры 
практически совпвдает с формой двумерного солитона. 
Поэтому и для двумерного уравнения Бенджамина-Оно
(по аналогии с НУШ) можно ожидать такого же поведения.
Легко видеть, что уравнение (\ref{eq:(3)}) допускает 
автомодельное коллапсирующее решение (точнее подстановку)
вида 
$$ u = \frac
{1}{(t_0-t)} f(\vec\xi),\quad \vec\xi = \frac{\vec r}{(t_0-t)} $$ 
где $f$ определяется уравнением 
$$ -1/2(f + (\vec{\xi}\nabla)f) +
 \frac{\partial}{\partial{\xi_x}} \hat k_{\xi}f +
6f\frac{\partial}{\partial\xi_x}f = 0.  $$
На этом решении $P$, имеющий смысл энергии возмущений,
конечен. Однако, здесь аналогия с двумерным НУШ заканчивается.
В частости, не удаётся получить аналог теоремы вириала,
как это имеет место для НУШ \cite{VPT70}.


\subsection{О пороге коллапса}
\label{EXACT_BOUNDARY} 

Тем не менее, для неколлапсирующего сектора (так же как
и для НУШ \cite{OptTurb, VPT70}) можно найти критическую энергию
$P_{x,cr}$, ниже которой коллапс невозможен.
Как будет показано далее, величина $P_{x,cr}$ определяется
основным солитонным состоянием.
Важно, что эта энергия не зависит от $V$. Действительно,
согласно (\ref{eq:(5)}), 
$$ u_s(\vec r) = Vg(\xi),\quad \xi = \vec r/V$$
где  $g$ подчиняется уравнению
\begin{equation}            \label{eq:(17)}
 -g - \hat k_{\xi}g + 3g^2 = 0.
\end{equation}
Поэтому 
$$ P_{x,cr} = \frac{1}{2} \int g^2(\xi)d\vec \xi.$$
Покажем, что при $P_x < P_{x,cr}$,
Гамильтониан ограничен снизу и его нижняя граница
равна нулю, и достигается на распределении, в котором
$ \int u\hat ku d\vec x \rightarrow 0$.

Используем неравенство (\ref{eq:(11.c)}) и определим
наилучшую константу  $C$ для $d=2$. Учитывая соотношение
(\ref{eq:(17)})
вместо (\ref{eq:(11.b)}), получаем для двумерного случая
$$
 \int u^3 dr \leq \frac{1}{2} \left(\int u_s^2 dr\right)^{-1/2}
 \left(\int u^2 dr\right)^{1/2}\int u\hat ku dr.
$$
Подставляя это неравенство в $H$,
\begin{equation}            \label{eq:(19)}
H \geq
\frac{1}{2} \left[ 1 - 
\left(\frac {P_x}{P_{x,cr}}\right)^{1/2}\right]
 \int u\hat ku d\vec r
\end{equation}
получаем, что Гамильтониан при фиксированном 
$P_x < P_{x,cr}$ ограничен снизу, и его нижняя граница
достигается на решениях со средним  
$\langle k\rangle \rightarrow 0$.
Это и означает, что для начальных условий
с $P_x \leq P_{x,cr}$
распределение будет расплываться из-за дисперсии и 
асимптотически исчезать.


\subsection{Численный эксперимент}
\label{NUM_EXP}

Основная трудность численного моделирования
уравнения (\ref{eq:(3)}) связана с тем, что как солитоны,
так и коллапсирующие кластеры имеют медленно спадающие 
хвосты. Это требует достаточно большую область (или мелкую 
разностную сетку), чтобы обеспечить убывание хвостов
к границе моделирования. В расчетах использовалась
Лоренцева и Гауссова форма для начальной амплитуды скорости
$u(r,t)$ с характерным безразмерным размером(?) порядка $1$, 
а размер области моделирования $L$ был $32\pi x32\pi$. 
На масштабах порядка $1$, необходимо хорошее разрешение
солитота, так что число узлов сетки было выбрано  $512 x 512$.
Использовались два типа граничных условий. Первый - 
периодические по обоим переменным. Второй - (для того чтобы
обеспечить излучение из области) "поглощающие", при которых 
уже не сохраняется ни $H$ ни $P_x$.
(Впервые такая идея примеялась в численном моделировании
коллапса для трёхмерного коллапса в уравнении 
Кадомцева-Петвиашвили \cite{KMS83, KM86}).
Граничные условия были выбраны периодическими по $y$ и
$$
u|_{x=0}=\hat ku|_{x=0}=\hat ku|_{x=L}=0.
$$
Для удобства уравнение (\ref{eq:(3)}) решалось в движущейся 
системе отсчета, где коллапсирующий кластер неподвижен, или 
двигается медленно.
Т.е. фактически численно решалось уравнение
\begin{equation}          \label {eq:(20)}
u_t - Vu_x = \frac{\partial}{\partial x}\hat ku - 6uu_x
\end{equation}
Здесь $V(t)$ выбиралась численно на каждом шаге по времени,
чтобы поддерживать пик  коллапса в центре области
моделирования.

Применялась стандартная схема Лакса-Вендрофа 
для уравнения (\ref{eq:(20)}) записанного в дивергентном виде:
\begin{equation}          \label {eq:(21)}
u_t + F_x = 0.
\end{equation}
Здесь  поток $F =  - Vu - \hat k u + 3u^2$, и интегральный
оператор $\hat k u$ вычислялся спектральным методом.

Исследовались две проблемы:
\newline {\bf I)} Порог неустойчивости для начальных условий  вблизи $H = 0$.
\newline Для этих вариантов использовалась Лоренцева форма
для начальных условий
$$u(\vec r) =  \frac{2/3|\vec V|}{1 +(V_xx )^2 + (V_yy)^2 }.$$
Изменением $V$ можно получить как положительное, так и 
отрицательное значение $H$. Для всех начальных условий с
$P_x > P_{x,cr}$ и $ H < 0$ наблюдался коллапс.
Как видно из Рисунка~\ref{BO1},
%
\begin{figure}[!ht]
\includegraphics[angle=0,width=\PW]{Fig_3.4/Figure01.ps}
\caption{Зависимость максимума амплитуды от времени в 
режиме коллапса, $H<0$.}\label{BO1} 
\end{figure}
%
амплитуда пика, который движется с ускорением, увеличвается.
Зависимость от времени скорости пика (центра коллапса, см.
\ref{eq:(20)}), показанные на Рисунке~\ref{BO2} и 
Рисунке~\ref{BO1}, похожи, что свидетельствует в пользу 
автомодельного режима.
%
\begin{figure}[!ht]
\includegraphics[angle=0,width=\PW]{Fig_3.4/Figure02.ps}
\caption{Зависимость максимума скорости от времени в 
режиме коллапса}\label{BO2} 
\end{figure}
%
\begin{figure}[!ht]
\includegraphics[angle=0,width=\PW]{Fig_3.4/Figure04.ps}
\caption{Линии уровня $u(x,y)$ при $t=45$ в режиме коллапса.
Изображены контуры от -10,0 до 0,8. Интервал - 0,9.}\label{BO4} 
\end{figure}
%
Имульс вдоль оси  $x$, вычисленный по четверти области
вокруг коллапса, остаётся почти постоянным во всех вариантах
с отрицательным  $H$. В то же самое время, Гамильтониан
также вычисленный по четверти области, уменьшается.
(Рисунок~\ref{BO3}), что говорит об излучении энергии,
отмеченном в параграфе \ref{COLLAPSE_BL}.
%
\begin{figure}[!ht]
\includegraphics[angle=0,width=\PW]{Fig_3.4/Figure05.ps}
\caption{Зависимость $u(x,0)$ при $t=45$.}\label{BO5} 
\end{figure}
%
С приближением  к центру коллапса,
анизотропия исчезает, и распределение вогруг центра 
становится почти симметричным (Рисунки~\ref{BO4},\ref{BO5}).
%
%
\begin{figure}[!ht]
\includegraphics[angle=0,width=\PW]{Fig_3.4/Figure03.ps}
\caption{Эволюция Гамильтониана в режиме коллапса.
Гамильтониан уменьшается из-за излучения волн.}\label{BO3} 
\end{figure}

Для начальных условий с  $P_x < P_{x,cr}$ ($H > 0$) 
наблюдалась медленная эволюция: распределение $u$
в центре медленно падает. 
Эволюция спектра для  $P_x < P_{x,cr}$ указывает на
перераспределение энергии в длинноволновые масштабы, 
что находится в согласии с оценкой (\ref{eq:(19)}).
\newline {\bf II)} Неустойчивость одномерного солитона. 
\newline В качестве начальных условий использовалась
периодическая нелинейная волна 
\begin{equation}          
\label{eq:(22)} 
u_p(x) = \frac{k}{3}  \frac{\mbox{sinh}(k/V)}{\mbox{cosh}(k/V) - \mbox{cos}(k x)} -1
\end{equation}
возмущенная в поперечном направлении:
\begin{equation}          \label {eq:(23)}
u_{ini}(x,y) = u_p(x)\left[1 + 0.1 \mbox{cos}\left(\frac{2 \pi
y}{L_y}\right)\right].
\end{equation}
Периодическая волна (\ref{eq:(22)}) есть точное
решение одномерного уравнения Бенджамина-Оно (\ref{eq:(3)}).
Эта волна переходит в солитон (\ref{eq:(6)}) при 
$k \rightarrow 0$.
В численном эксперименте $k=0.0625$,
$V=0.4$ и размер области моделирования, естественно совпадал 
с периодом волны.
Гамильтониан $H$ с такими параметрами был равен $-0.668$. 
На Рисунке~\ref{BO5} изображен профиль скорости при $y=0$ 
и времени $T=45$.
Временная эволюция линий уровня $u(x,y)$ показана на 
Рисунке~\ref{BO6}. Легко видеть, как появляются кластеры.
%
\begin{figure}[!ht]
\includegraphics[angle=0,width=\PW]{Fig_3.4/Figure06.ps}
\caption{Эволюция $u(x,y)$ (линии уровня) с начальными 
условиями в виде возмущенной периодической волны
(\ref{eq:(23)}). Видно развитие неустойчивости.}\label{BO6} 
\end{figure}
Стабилизация роста кластеров не наблюдалась.
 
\subsection{Ремарки} 

Здесь мы хотим обратиться к экспериментальной 
работе \cite{KR92}, в которой суммированы многолетние результаты
исследования генерации когерентных структур в пограничном слое
вибрирующей пластиной (см. также \cite{BK88}, \cite{KKLR89}). 
Согласно этим данным, на начальной стадии генерятся одномерные 
солитоны, затем (на больших расстояниях от края пластины)  
одномерные солитоны демонстрируют неустоййчивость,
и распадаются на "шипы", т.е. локализованные трёхмерные
когерентные структуры. 
На ещё больших расстояниях от пластины наблюдается
самофокусировка этих структур. И затем происходит образование
вихрей и их разделение.

Теория и численный эксперимент, представленные в этом 
разделе \ref{Benjamin-Ono}, объясняют эти экпериметы вплоть до 
образования вихрей, когда уравнение (\ref{eq:(3)}) становится
неприменимым.
До этого было неясно, применимо ли оно для количественного
описания эксперимента, хотя сравнение теоретических результатов
основанных на анализе одномерной модели (\ref{eq:(3)}),
сделанное в работе \cite{ZR82}, показало хорошее соответствие
с экспериментом.

Здесь же показано, что имеется согласие между экспериментом и
теорией и численным экспериментом представленными в этом 
разделе.

И наконец, хотелось бы ответить на вопрос, почему во вмогих 
других экспериментах в пограничном слое самофокусировка
солитонов не наблюдалась, или не различалась на фоне 
турбулентного шума. По-видимому, это объясняется тем, что
коллапс в пограничном слое возможен только начиная с некоторого
уровня энергии импульса. А если уровень невысок,
то коллапс отсутствует.

