РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

имени Л. Д. ЛАНДАУ

На правах рукописи

ДЬЯЧЕНКО Александр Иванович

УДК ???.??:???.??

Турбулентность и сингулярности в нелинейных волновых

системах

Специальность 01.01.03 - Математическая физика Диссертация на соискание ученой степени

доктора физико-математических наук

Москва - 2005

Оглавление

Введение 6

I. Волновая и солитонная турбулентность в нелинейном уравнени Шредингера 8 I.1. Оптическая турбулентность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

I.1.1. Слабая волновая турбулентность и нелинейное уравне-

ние Шредингера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 I.1.2. Степенные решения кинетического уравнения . . . . . 8 I.1.3. Численный эксперимент . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

I.2. Солитонная турбулентность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

I.2.1. Слабонелинейная волновая турбулентность и “газ” со-

литонов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 I.2.2. Элементарные процессы столкновений . . . . . . . . . . 9 I.2.3. Численный эксперимент . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

I.3. О ММТ модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 II. Неустойчивость и самофокусировка солитонов в сдвиговом

потоке 10 II.1. Предыстория . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 II.2. Модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 II.3. Солитоны и их свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 II.4. Неустойчивость ономерного солитона . . . . . . . . . . . . . . 11

II.4.1. Коллапс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 II.4.2. О пороге коллапса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

II.5. Численный эксперимент . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 II.6. Ремарки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Заключение 12

Приложения 13 .1. Гамильтониан 4-го и 5-го порядков . . . . . . . . . . . . . . . . 13 .2. Элементы диаграммной техники . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 .3. 5-ти волновые диаграммы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 .4. Стационарные волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Статьи в реферируемых журналах 33

4

Список иллюстраций

5

Список таблиц

6  6

Введение

Структура диссертации следующая.

В Главе I. �Волновая и солитонная турбулентность в нелинейном уравнени Шредингера�

В Главе II. �Неустойчивость и самофокусировка солитонов в сдвиговом потоке�

В Главе III. �Интегрируема ли гидродинамика идеальной жидкости со свободной поверхностью ?�

В Главе IV. �Конформные преобразования и Гамильтонов формализм в гидродинамике несжимаемой идеальной жидкости со свободной границей�

В разделе ?? выписаны уравнения В Заключении сформулированы результаты работы. В Приложения вынесен подробный вывод некоторых формул, приведе-

7  7

ние которых в основном тексте прерывало бы связность изложения из-за их излишней громоздкости, диаграммы 5-ти волновых процессов...

Цель работы заключалась в

• Исследовании

• Изучении влияния

Работа выполнена в Институте теоретической физики им. Л. Д. Ландау Российской Академии Наук.

Основные результаты диссертации докладывались на международных научных конференциях International Conference ??, а также на научных семинарах Исследовательского центра и Института теоретической физики им. Л. Д. Ландау РАН.

По теме диссертации опубликовано 19(??) работ, список которых приведен в конце диссертации.

8  8

I. Волновая и солитонная турбулентность в нелинейном уравнени Шредингера

I.1. Оптическая турбулентность

I.1.1. Слабая волновая турбулентность и нелинейное уравнение

Шредингера I.1.2. Степенные решения кинетического уравнения I.1.3. Численный эксперимент Эти уравнения имеют вид:

(I.1)

следующее выражение:

(I.2)

I.2. СОЛИТОННАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ 9  9

I.2. Солитонная турбулентность

I.2.1. Слабонелинейная волновая турбулентность и “газ”

солитонов

I.2.2. Элементарные процессы столкновений

Исследуется характер эволюции волновой турбулентности в рамках неинтегрируемого нелинейного уравнения Шредингера при отсутствии волновых коллапсов.

I.2.3. Численный эксперимент

I.3. О ММТ модели

10  10

II. Неустойчивость и самофокусировка солитонов в сдвиговом потоке

Эта глава построена следующим образом. В разделе II.2 выписаны уравнения

II.1. Предыстория

II.2. Модель

II.3. Солитоны и их свойства

Построены интегральные характеристики...

II.4. НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ОНОМЕРНОГО СОЛИТОНА 11  11

II.4. Неустойчивость ономерного солитона

II.4.1. Коллапс II.4.2. О пороге коллапса

II.5. Численный эксперимент II.6. Ремарки

12  12

Заключение

Основные результаты диссертации состоят в следующем. Более подробно результаты обсуждались в Заключениях к каждой главе.

13  13

Приложения

.1. Гамильтониан 4-го и 5-го порядков

В этом приложении получаем члены разложения Гамильтониана до 5-го порядка включительно. Первая часть гамильтониана _{4} равна

4^{1st} = −\frac{1}{2} ∫ 2^{(3)}H^{(1)}′du =
= − ∫ (x′^{2} − y′^{2})H′du + 2 ∫ x′H(y′)H′du =
= \frac{1}{2π} ∫ |k_{3}|(|k_{1}k_{2}| + k_{1}k_{2})z_{k_{1}}z_{k_{2}}_{k_{3}}_{k_{4}}δ_{k_{1}+k_{2}+k_{3}+k_{4}}dk_{1}dk_{2}dk_{3}dk_{4}+
+ \frac{1}{π} ∫ |k_{1}|k_{2}|k_{3}|s_{k_{2}+k_{4}}z_{k_{1}}z_{k_{2}}_{k_{3}}_{k_{4}}δ_{k_{1}+k_{2}+k_{3}+k_{4}}dk_{1}dk_{2}dk_{3}dk_{4}

Вторая часть _{4} может быть записана так:

4^{2nd} = −\frac{1}{2} ∫ ^{(2)} H^{(2)}′du =
= −\frac{1}{2} ∫ (y′)H(y′)′ + (x′)H(x′)′ + 2(x′)(y′)′du

В k-пространстве она принимает вид:

4^{2nd} = \frac{1}{4π} ∫ \{(|k_{1}k_{2}| − k_{1}k_{2})|k_{2} + k_{4}| + (|k_{1}|k_{2} − k_{1}|k_{2}|)(k_{2} + k_{4})\}×
z_{k_{1}}z_{k_{2}}_{k_{3}}_{k_{4}}δ_{k_{1}+k_{2}+k_{3}+k_{4}}dk_{1}dk_{2}dk_{3}dk_{4}  (.1)

14  14

First part of _{5} is

5^{1st} = − ∫ ^{(4)}H^{(1)}′du =
\frac{−1}{(2π)^{\frac{3}{2}}}  ∫ |k_{4}|\{(3k_{1}k_{2} + |k_{1}k_{2}|)|k_{3}| + (3|k_{1}k_{2}| + k_{1}k_{2})s_{k_{3}+k_{5}}k_{3}\}×

z_{k_{1}}z_{k_{2}}z_{k_{3}}_{k_{4}}_{k_{5}}δ_{k_{1}+k_{2}+k_{3}+k_{4}+k_{5}}dk_{1}dk_{2}dk_{3}dk_{4}dk_{5}

Second part of _{5} is

5^{2nd} = − ∫ ^{(3)}H^{(2)}′du =
∫ (x′^{2} − y′^{2})(z′)′du + ∫ (x′^{2} − z′^{2})H(x′)′du−
−2 ∫ x′H(z′)(z′′)′du − 2 ∫ x′H(z′)H(x′)′du =
−\frac{1}{(2π)^{\frac{3}{2}}} ∫ \{(|k_{1}k_{2}| + k_{1}k_{2})(k_{3}(k_{3} + k_{4}) + |k_{3}||k_{3} + k_{4}|)\}×

z_{k_{1}}z_{k_{2}}z_{k_{3}}_{k_{4}}_{k_{5}}δ_{k_{1}+k_{2}+k_{3}+k_{4}+k_{5}}dk_{1}dk_{2}dk_{3}dk_{4}dk_{5}−

−\frac{2}{(2π)^{\frac{3}{2}}} ∫ |k_{1}|k_{3}s_{k_{3}+k_{4}}(k_{2}(k_{2} + k_{5}) + |k_{2}||k_{2} + k_{5}|)×

z_{k_{1}}z_{k_{2}}z_{k_{3}}_{k_{4}}_{k_{5}}δ_{k_{1}+k_{2}+k_{3}+k_{4}+k_{5}}dk_{1}dk_{2}dk_{3}dk_{4}dk_{5}

Hamiltonian can be written in symmetrical form:

= \frac{1}{2} ∫ (g|z_{k}|^{2} + |k||_{k}|^{2})dk+
+\frac{1}{2\sqrt{2π}} ∫ \{S_{k_{1}k_{2}k_{3}}z_{k_{1}}z_{k_{2}}z_{k_{3}} − F_{k_{2}k_{3}}^{k_{1}}z_{k_{1}}_{k_{2}}_{k_{3}}\}δ_{k_{1}+k_{2}+k_{3}}dk_{1}dk_{2}dk_{3}+
+\frac{1}{4π} ∫ M_{k_{3}k_{4}}^{k_{1}k_{2}}z_{k_{1}}z_{k_{2}}_{k_{3}}_{k_{4}}δ_{k_{1}+k_{2}+k_{3}+k_{4}}dk_{1}dk_{2}dk_{3}dk_{4}+
+\frac{1}{2(2π)^{\frac{3}{2}}} ∫ N_{k_{4}k_{5}}^{k_{1}k_{2}k_{3}}z_{k_{1}}z_{k_{2}}z_{k_{3}}_{k_{4}}_{k_{5}}δ_{k_{1}+k_{2}+k_{3}+k_{4}+k_{5}}dk_{1}dk_{2}dk_{3}dk_{4}dk_{5}

where S_{k_{1}k_{2}k_{3}}, L_{k_{1}k_{2}} and F_{k_{2}k_{3}}^{k_{1}} are defined in (??), and

M_{k_{3}k_{4}}^{k_{1}k_{2}} = (|k_{3}| + |k_{4}|)(k_{1}k_{2} + |k_{1}k_{2}|)+
+ \frac{1}{4}L_{−k_{1}k_{2}}(|k_{1} + k_{3}| + |k_{1} + k_{4}| + |k_{2} + k_{3}| + |k_{2} + k_{4}|)+
+ \frac{1}{2}(|k_{1}|k_{2}(2k_{2} + k_{3} + k_{4}) + k_{1}|k_{2}|(2k_{1} + k_{3} + k_{4}))+

15  15
+ |k_{1}|k_{2}(|k_{3}|s_{k_{2}+k_{4}} + |k_{4}|s_{k_{2}+k_{3}}) + k_{1}|k_{2}|(|k_{3}|s_{k_{1}+k_{4}} + |k_{4}|s_{k_{1}+k_{3}})

N_{k_{4}k_{5}}^{k_{1}k_{2}k_{3}} =
− {(|k_{1}k_{2}k_{3}| + |k_{1}|k_{2}k_{3} + k_{1}|k_{2}|k_{3} + k_{1}k_{2}|k_{3}|)(|k_{4}| + |k_{5}|)+
+ \frac{k_{1}k_{2}k_{3}}{3}(|k_{4}|(s_{k_{1}+k_{5}} + s_{k_{2}+k_{5}} + s_{k_{3}+k_{5}})+
+ |k_{5}|(s_{k_{1}+k_{4}} + s_{k_{2}+k_{4}} + s_{k_{3}+k_{4}}))+
+ |k_{4}|(k_{1}|k_{2}||k_{3}|s_{k_{1}+k_{5}} + |k_{1}|k_{2}|k_{3}|s_{k_{2}+k_{5}} + |k_{1}||k_{2}|k_{3}s_{k_{3}+k_{5}})+
+ |k_{5}|(k_{1}|k_{2}||k_{3}|s_{k_{1}+k_{4}} + |k_{1}|k_{2}|k_{3}|s_{k_{2}+k_{4}} + |k_{1}||k_{2}|k_{3}s_{k_{3}+k_{4}})}

− \frac{1}{3}\{L_{k_{1},k_{2}}L_{k_{3},k_{3}+k_{4}} + L_{k_{3},k_{2}}L_{k_{1},k_{1}+k_{4}} + L_{k_{1},k_{3}}L_{k_{2},k_{2}+k_{4}}+
+ L_{k_{1},k_{2}}L_{k_{3},k_{3}+k_{5}} + L_{k_{3},k_{2}}L_{k_{1},k_{1}+k_{5}} + L_{k_{1},k_{3}}L_{k_{2},k_{2}+k_{5}}}−
−\frac{1}{3}\{|k_{1}| ( k_{3}(L_{k_{2},k_{2}+k_{4}}s_{k_{3}+k_{5}} + L_{k_{2},k_{2}+k_{5}}s_{k_{3}+k_{4}})+
+ k_{2}(L_{k_{3},k_{3}+k_{4}}s_{k_{2}+k_{5}} + L_{k_{3},k_{3}+k_{5}}s_{k_{2}+k_{4}}))+
|k_{2}| ( k_{3}(L_{k_{1},k_{1}+k_{4}}s_{k_{3}+k_{5}} + L_{k_{1},k_{1}+k_{5}}s_{k_{3}+k_{4}})+
+ k_{1}(L_{k_{3},k_{3}+k_{4}}s_{k_{1}+k_{5}} + L_{k_{3},k_{3}+k_{5}}s_{k_{1}+k_{4}}))+
|k_{3}| ( k_{2}(L_{k_{1},k_{1}+k_{4}}s_{k_{2}+k_{5}} + L_{k_{1},k_{1}+k_{5}}s_{k_{2}+k_{4}})+
+ k_{1}(L_{k_{2},k_{2}+k_{4}}s_{k_{1}+k_{5}} + L_{k_{2},k_{2}+k_{5}}s_{k_{1}+k_{4}}))}

16  16

.2. Элементы диаграммной техники

Введем базовые объекты диаграммной техники, которые понадобятся нам в приложении .3.

Let us introduce basic object of diagrammatic technique we use in this work.

1. Bare fourth order vertex with 2 incoming and 2 outgoing wave vectors:

[figure: 2; 1; 3; 4]
W_{k_{3}k_{4}}^{k_{1}k_{2}}

2. Bare third order vertexes U and V:

[figure: 1; 2; 3]
V_{k_{2}k_{3}}^{k_{1}}

[figure: 1; 2; 3]
U_{k_{1}k_{2}k_{3}}

3. Bare Green function G(k, ω).

[figure: k, ω]

G(k, ω) = \frac{1}{ω − ω_{k}}

17  17

Note, that each vertex has just one straight line and others are wavy.

In order to calculate fourth order interaction matrix element we have to add to bare fourth order vertex all possible combinations of lower order vertexes (third order in this particular case) connected with Green function in such a way, that the resulting diagrams have 2 incoming and 2 outgoing wave vectors and having no internal loops.

It is easy to see, that the only way to fulfill these requirements is to connect 2 third order vertexes by one Green function. As the result we have 6 topologically different arrangements. The arguments k and ω of internal Green function should be calculated from resonant conditions(??). Since we are on the resonant manifold it does not matter do we calculate arguments k and ω of Green function from left or from right vertex, because it they both give the same result. This reflects the fact that two ratios in each line in square brackets of (??) are equal to each others. This removes extra 1/2.

[figure: 2; 1; 3; 4; 1+2]

−V_{k_{1}k_{2}}^{k_{1}+k_{2}}V_{k_{3}k_{4}}^{k_{3}+k_{4}} [\frac{1}{ω_{k_{1}+k_{2}} − ω_{k_{1}} − ω_{k_{2}}} ]

[figure: 2; 1; 3; 4; -1-2]

−U_{−k_{1}−k_{2}k_{1}k_{2}}U_{−k_{3}−k_{4}k_{3}k_{4}} [\frac{1}{ω_{k_{1}+k_{2}} + ω_{k_{1}} + ω_{k_{2}}} ]

[figure: 3; 1; 2; 4; 1-3]

18  18

−V_{k_{3}k_{1}−k_{3}}^{k_{1}}V_{k_{2}k_{4}−k_{2}}^{k_{4}} [\frac{1}{ω_{k_{3}} + ω_{k_{1}−k_{3}} − ω_{k_{1}}} ]

[figure: 3; 1; 2; 4; 3-1]

−V_{k_{4}k_{2}−k_{4}}^{k_{2}}V_{k_{1}k_{3}−k_{1}}^{k_{3}} [\frac{1}{ω_{k_{4}} + ω_{k_{2}−k_{4}} − ω_{k_{2}}} ]

[figure: 4; 1; 2; 3; 1-4]

−V_{k_{4}k_{1}−k_{4}}^{k_{1}}V_{k_{2}k_{3}−k_{2}}^{k_{3}} [\frac{1}{ω_{k_{4}} + ω_{k_{1}−k_{4}} − ω_{k_{1}}} ]

[figure: 4; 1; 2; 3; 4-1]

−V_{k_{3}k_{2}−k_{3}}^{k_{2}}V_{k_{1}k_{4}−k_{1}}^{k_{4}} [\frac{1}{ω_{k_{3}} + ω_{k_{2}−k_{3}} − ω_{k_{2}}} ]

19  19

.3. 5-ти волновые диаграммы

Здесь мы будем строить диаграммы 5-ти волновых процессов.

Following the same steps as in the Appendix .2, we can construct diagrammatic series for five order matrix element T_{k_{3}k_{4}}^{kk_{1}k_{2}}. We have to combine all third and fourth order vertexes in such a way that we have 2 "incoming"arguments and 3 "out-coming"arguments. The result of course will be the same if we would consider 3 "incoming"arguments and 2 "out-coming"arguments. Considering all possible topologies consistent with definitions of vertexes and Green functions and without internal loops, we conclude, that there exist 60 diagrams constructed from three third order verticesand 2 Green functions and 20 diagrams constructed from one three order vertex, one four order vertex and one Green function. We call these two groups "3+3+3"and "4+3"correspondingly.

Below are the diagrams and analytical expressions for "3+3+3"and "4+3"terms. Together with the bare fifth order vertex Q_{pq}^{k_{1}k_{2}k_{3}} this sum gives the full fifth-order interaction matrix element T_{pq}^{k_{1}k_{2}k_{3}} or T_{k_{1}k_{2}k_{3}}^{pq}. We used these expressions as an input to Matematica, therefore notation here is slightly different.

20  20

[figure: q; p; 1; 2; 3; p + q; 2+3] \frac{V (k2 + k3 , k2 , k3 ) V (p + q, k1 , k2 + k3 ) V (p + q, p, q)}{(ω(k2 ) + ω(k3 ) − ω(k2 + k3 )) (ω(p) + ω(q) − ω(p + q))}

[figure: q; p; 1; 2; 3; −p − q; 2+3] −\frac{U(k1 , −p − q, k2 + k3 ) U(p, q, −p − q) V (k2 + k3 , k2 , k3 )}{(ω(k2 ) + ω(k3 ) − ω(k2 + k3 )) (ω(p) + ω(q) + ω(p + q))}

[figure: q; p; 1; 2; 3; p + q; −2 − 3] −\frac{U(k2 , k3 , −k2 − k3 ) V (k1 , p + q, −k2 − k3 ) V (p + q, p, q)}{(ω(k2 ) + ω(k3 ) + ω(k2 + k3 )) (ω(p) + ω(q) − ω(p + q))}

[figure: q; p; 1; 2; 3; −p − q; −2 − 3] \frac{U(k2 , k3 , −k2 − k3 ) U(p, q, −p − q) V (−k2 − k3 , k1 , −p − q)}{(ω(k2 ) + ω(k3 ) + ω(k2 + k3 )) (ω(p) + ω(q) + ω(p + q))}

[figure: q; 3; 1; 2; p; q − 3; 2 − p] \frac{V (k2 , p, k2 − p) V (q, k3 , −k3 + q) V (−k3 + q, k1 , k2 − p)}{(ω(k2 ) − ω(k2 − p) − ω(p)) (−ω(k3 ) − ω(k3 − q) + ω(q))}

[figure: q; 3; 1; 2; p; 3 − q; 2 − p] \frac{U(k1 , k3 − q, k2 − p) V (k2 , p, k2 − p) V (k3 , q, k3 − q)}{(ω(k2 ) − ω(k2 − p) − ω(p)) (ω(k3 ) − ω(k3 − q) − ω(q))}

[figure: q; 3; 1; 2; p; q − 3; p − 2] \frac{V (k1 , −k3 + q, −k2 + p) V (p, k2 , −k2 + p) V (q, k3 , −k3 + q)}{(−ω(k2 ) − ω(k2 − p) + ω(p)) (−ω(k3 ) − ω(k3 − q) + ω(q))}

[figure: q; 3; 1; 2; p; 3 − q; p − 2] \frac{V (k3 , q, k3 − q) V (p, k2 , −k2 + p) V (−k2 + p, k1 , k3 − q)}{(−ω(k2 ) − ω(k2 − p) + ω(p)) (ω(k3 ) − ω(k3 − q) − ω(q))}

21  21

[figure: q; 2; 1; 3; p; q − 2; 3 − p] \frac{V (k3 , p, k3 − p) V (q, k2 , −k2 + q) V (−k2 + q, k1 , k3 − p)}{(ω(k3 ) − ω(k3 − p) − ω(p)) (−ω(k2 ) − ω(k2 − q) + ω(q))}

[figure: q; 2; 1; 3; p; 2 − q; 3 − p] \frac{U(k1 , k2 − q, k3 − p) V (k2 , q, k2 − q) V (k3 , p, k3 − p)}{(ω(k3 ) − ω(k3 − p) − ω(p)) (ω(k2 ) − ω(k2 − q) − ω(q))}

[figure: q; 2; 1; 3; p; q − 2; p − 3] \frac{V (k1 , −k2 + q, −k3 + p) V (p, k3 , −k3 + p) V (q, k2 , −k2 + q)}{(−ω(k3 ) − ω(k3 − p) + ω(p)) (−ω(k2 ) − ω(k2 − q) + ω(q))}

[figure: q; 2; 1; 3; p; 2 − q; p − 3] \frac{V (k2 , q, k2 − q) V (p, k3 , −k3 + p) V (−k3 + p, k1 , k2 − q)}{(−ω(k3 ) − ω(k3 − p) + ω(p)) (ω(k2 ) − ω(k2 − q) − ω(q))}

[figure: q; p; 2; 1; 3; p + q; 1+3] \frac{V (k1 + k3 , k1 , k3 ) V (p + q, k2 , k1 + k3 ) V (p + q, p, q)}{(ω(k1 ) + ω(k3 ) − ω(k1 + k3 )) (ω(p) + ω(q) − ω(p + q))}

[figure: q; p; 2; 1; 3; −p − q; 1+3] \frac{U(k2 , k1 + k3 , −p − q) U(p, q, −p − q) V (k1 + k3 , k1 , k3 )}{(ω(k1 ) + ω(k3 ) − ω(k1 + k3 )) (−ω(p) − ω(q) − ω(p + q))}

[figure: q; p; 2; 1; 3; p + q; −1 − 3] \frac{U(k1 , k3 , −k1 − k3 ) V (k2 , p + q, −k1 − k3 ) V (p + q, p, q)}{(−ω(k1 ) − ω(k3 ) − ω(k1 + k3 )) (ω(p) + ω(q) − ω(p + q))}

[figure: q; p; 2; 1; 3; −p − q; −1 − 3] \frac{U(−k1 − k3 , k1 , k3 ) U(p, q, −p − q) V (−k1 − k3 , k2 , −p − q)}{(−ω(k1 ) − ω(k3 ) − ω(k1 + k3 )) (−ω(p) − ω(q) − ω(p + q))}

22  22

[figure: q; 1; 2; 3; p; q − 1; 3 − p] \frac{V (k3 , p, k3 − p) V (q, k1 , −k1 + q) V (−k1 + q, k2 , k3 − p)}{(ω(k3 ) − ω(k3 − p) − ω(p)) (−ω(k1 ) + ω(q) − ω(−k1 + q))}

[figure: q; 1; 2; 3; p; 1 − q; 3 − p] \frac{U(k2 , k1 − q, k3 − p) V (k1 , q, k1 − q) V (k3 , p, k3 − p)}{(ω(k3 ) − ω(k3 − p) − ω(p)) (ω(k1 ) − ω(q) − ω(−k1 + q))}

[figure: q; 1; 2; 3; p; q − 1; p − 3] \frac{V (k2 , −k1 + q, −k3 + p) V (p, k3 , −k3 + p) V (q, k1 , −k1 + q)}{(−ω(k3 ) − ω(k3 − p) + ω(p)) (−ω(k1 ) + ω(q) − ω(−k1 + q))}

[figure: q; 1; 2; 3; p; 1 − q; p − 3] \frac{V (k1 , q, k1 − q) V (p, k3 , −k3 + p) V (−k3 + p, k2 , k1 − q)}{(−ω(k3 ) − ω(k3 − p) + ω(p)) (ω(k1 ) − ω(q) − ω(−k1 + q))}

[figure: q; 3; 2; 1; p; q − 3; 1 − p] \frac{V (k1 , p, k1 − p) V (q, k3 , −k3 + q) V (−k3 + q, k2 , k1 − p)}{(ω(k1 ) − ω(k1 − p) − ω(p)) (−ω(k3 ) − ω(k3 − q) + ω(q))}

[figure: q; 3; 2; 1; p; 3 − q; 1 − p] \frac{U(k2 , k3 − q, k1 − p) V (k1 , p, k1 − p) V (k3 , k3 − q, q)}{(ω(k1 ) − ω(k1 − p) − ω(p)) (ω(k3 ) − ω(k3 − q) − ω(q))}

[figure: q; 3; 2; 1; p; q − 3; p − 1] \frac{V (k2 , −k3 + q, −k1 + p) V (p, k1 , −k1 + p) V (q, k3 , −k3 + q)}{(−ω(k1 ) − ω(k1 − p) + ω(p)) (−ω(k3 ) − ω(k3 − q) + ω(q))}

[figure: q; 3; 2; 1; p; 3 − q; p − 1] \frac{V (k3 , k3 − q, q) V (p, k1 , −k1 + p) V (−k1 + p, k3 − q, k2 )}{(−ω(k1 ) − ω(k1 − p) + ω(p)) (ω(k3 ) − ω(k3 − q) − ω(q))}

23  23

[figure: q; p; 3; 1; 2; p + q; 1+2] \frac{V (k1 + k2 , k1 , k2 ) V (p + q, k3 , k1 + k2 ) V (p + q, p, q)}{(ω(k1 ) + ω(k2 ) − ω(k1 + k2 )) (ω(p) + ω(q) − ω(p + q))}

[figure: q; p; 3; 1; 2; −p − q; 1+2] \frac{U(k3 , k1 + k2 , −p − q) U(p, q, −p − q) V (k1 + k2 , k1 , k2 )}{(ω(k1 ) + ω(k2 ) − ω(k1 + k2 )) (−ω(p) − ω(q) − ω(p + q))}

[figure: q; p; 3; 1; 2; p + q; −1 − 2] \frac{U(k1 , k2 , −k1 − k2 ) V (k3 , p + q, −k1 − k2 ) V (p + q, p, q)}{(−ω(k1 ) − ω(k2 ) − ω(k1 + k2 )) (ω(p) + ω(q) − ω(p + q))}

[figure: q; p; 3; 1; 2; −p − q; −1 − 2] \frac{U(k1 , k2 , −k1 − k2 ) U(p, q, −p − q) V (−k1 − k2 , k3 , −p − q)}{(−ω(k1 ) − ω(k2 ) − ω(k1 + k2 )) (−ω(p) − ω(q) − ω(p + q))}

[figure: q; 1; 3; 2; p; q − 1; 2 − p] \frac{V (k2 , p, k2 − p) V (q, k1 , −k1 + q) V (−k1 + q, k3 , k2 − p)}{(ω(k2 ) − ω(k2 − p) − ω(p)) (−ω(k1 ) + ω(q) − ω(−k1 + q))}

[figure: q; 1; 3; 2; p; 1 − q; 2 − p] \frac{U(k1 − q, k3 , k2 − p) V (k1 , q, k1 − q) V (k2 , p, k2 − p)}{(ω(k2 ) − ω(k2 − p) − ω(p)) (ω(k1 ) − ω(q) − ω(−k1 + q))}

[figure: q; 1; 3; 2; p; q − 1; p − 2] \frac{V (k3 , −k1 + q, −k2 + p) V (p, k2 , −k2 + p) V (q, k1 , −k1 + q)}{(−ω(k2 ) − ω(k2 − p) + ω(p)) (−ω(k1 ) + ω(q) − ω(−k1 + q))}

[figure: q; 1; 3; 2; p; 1 − q; p − 2] \frac{V (k1 , q, k1 − q) V (p, k2 , −k2 + p) V (−k2 + p, k3 , k1 − q)}{(−ω(k2 ) − ω(k2 − p) + ω(p)) (ω(k1 ) − ω(q) − ω(−k1 + q))}

24  24

[figure: q; 2; 3; 1; p; q − 2; 1 − p] \frac{V (k1 , p, k1 − p) V (q, k2 , −k2 + q) V (−k2 + q, k3 , k1 − p)}{(ω(k1 ) − ω(k1 − p) − ω(p)) (−ω(k2 ) − ω(k2 − q) + ω(q))}

[figure: q; 2; 3; 1; p; 2 − q; 1 − p] \frac{U(k3 , k2 − q, k1 − p) V (k1 , p, k1 − p) V (k2 , q, k2 − q)}{(ω(k1 ) − ω(k1 − p) − ω(p)) (ω(k2 ) − ω(k2 − q) − ω(q))}

[figure: q; 2; 3; 1; p; q − 2; p − 1] \frac{V (k3 , −k2 + q, −k1 + p) V (p, k1 , −k1 + p) V (q, k2 , −k2 + q)}{(−ω(k1 ) − ω(k1 − p) + ω(p)) (−ω(k2 ) − ω(k2 − q) + ω(q))}

[figure: q; 2; 3; 1; p; 2 − q; p − 1] \frac{V (k2 , q, k2 − q) V (p, k1 , −k1 + p) V (−k1 + p, k3 , k2 − q)}{(−ω(k1 ) − ω(k1 − p) + ω(p)) (ω(k2 ) − ω(k2 − q) − ω(q))}

[figure: q; 1; p; 2; 3; q − 1; 2+3] \frac{V (k2 + k3 , k2 , k3 ) V (k2 + k3 , p, −k1 + q) V (q, k1 , −k1 + q)}{(ω(k2 ) + ω(k3 ) − ω(k2 + k3 )) (−ω(k1 ) + ω(q) − ω(−k1 + q))}

[figure: q; 1; p; 2; 3; 1 − q; 2+3] \frac{V (k1 , q, k1 − q) V (k2 + k3 , k2 , k3 ) V (p, k1 − q, k2 + k3 )}{(ω(k2 ) + ω(k3 ) − ω(k2 + k3 )) (ω(k1 ) − ω(q) − ω(−k1 + q))}

[figure: q; 1; p; 2; 3; q − 1; −2 − 3] \frac{U(k2 , k3 , −k2 − k3 ) U(p, −k1 + q, −k2 − k3 ) V (q, k1 , −k1 + q)}{(−ω(k2 ) − ω(k3 ) − ω(k2 + k3 )) (−ω(k1 ) + ω(q) − ω(−k1 + q))}

[figure: q; 1; p; 2; 3; 1 − q; −2 − 3] \frac{U(k2 , k3 , −k2 − k3 ) V (k1 , q, k1 − q) V (k1 − q, p, −k2 − k3 )}{(−ω(k2 ) − ω(k3 ) − ω(k2 + k3 )) (ω(k1 ) − ω(q) − ω(−k1 + q))}

25  25

[figure: q; 2; p; 1; 3; q − 2; 1+3] \frac{V (k1 + k3 , k1 , k3 ) V (k1 + k3 , p, −k2 + q) V (q, k2 , −k2 + q)}{(ω(k1 ) + ω(k3 ) − ω(k1 + k3 )) (−ω(k2 ) − ω(k2 − q) + ω(q))}

[figure: q; 2; p; 1; 3; 2 − q; 1+3] \frac{V (k2 , q, k2 − q) V (k1 + k3 , k1 , k3 ) V (p, k2 − q, k1 + k3 )}{(ω(k1 ) + ω(k3 ) − ω(k1 + k3 )) (ω(k2 ) − ω(k2 − q) − ω(q))}

[figure: q; 2; p; 1; 3; q − 2; −1 − 3] \frac{U(k1 , k3 , −k1 − k3 ) U(p, −k2 + q, −k1 − k3 ) V (q, k2 , −k2 + q)}{(−ω(k1 ) − ω(k3 ) − ω(k1 + k3 )) (−ω(k2 ) − ω(k2 − q) + ω(q))}

[figure: q; 2; p; 1; 3; 2 − q; −1 − 3]

−\frac{U(k1 , k3 , −k1 − k3 ) V (k2 , q, k2 − q) V (k2 − q, p, −k1 − k3 )}{(ω(k1 ) + ω(k3 ) + ω(k1 + k3 )) (ω(k2 ) − ω(k2 − q) − ω(q))}

[figure: q; 3; p; 1; 2; q − 3; 1+2] \frac{V (k1 + k2 , k1 , k2 ) V (k1 + k2 , p, −k3 + q) V (q, k3 , −k3 + q)}{(ω(k1 ) + ω(k2 ) − ω(k1 + k2 )) (−ω(k3 ) − ω(k3 − q) + ω(q))}

[figure: q; 3; p; 1; 2; 3 − q; 1+2] \frac{V (k1 + k2 , k1 , k2 ) V (k3 , q, k3 − q) V (p, k3 − q, k1 + k2 )}{(ω(k1 ) + ω(k2 ) − ω(k1 + k2 )) (ω(k3 ) − ω(k3 − q) − ω(q))}

[figure: q; 3; p; 1; 2; q − 3; −1 − 2] \frac{U(−k1 − k2 , k1 , k2 ) U(−k3 + q, −k1 − k2 , p) V (q, k3 , −k3 + q)}{(−ω(k1 ) − ω(k2 ) − ω(k1 + k2 )) (−ω(k3 ) − ω(k3 − q) + ω(q))}

[figure: q; 3; p; 1; 2; 3 − q; −1 − 2]

−\frac{U(k1 , k2 , −k1 − k2 ) V (k3 , q, k3 − q) V (k3 − q, p, −k1 − k2 )}{(ω(k1 ) + ω(k2 ) + ω(k1 + k2 )) (ω(k3 ) − ω(k3 − q) − ω(q))}

26  26

[figure: p; q; 1; 2; 3; p − 1; 2+3] \frac{V (k2 + k3 , k2 , k3 ) V (k2 + k3 , q, −k1 + p) V (p, k1 , −k1 + p)}{(ω(k2 ) + ω(k3 ) − ω(k2 + k3 )) (−ω(k1 ) − ω(k1 − p) + ω(p))}

[figure: p; q; 1; 2; 3; 1 − p; 2+3] \frac{V (k1 , p, k1 − p) V (k2 + k3 , k2 , k3 ) V (q, k1 − p, k2 + k3 )}{(ω(k2 ) + ω(k3 ) − ω(k2 + k3 )) (ω(k1 ) − ω(k1 − p) − ω(p))}

[figure: p; q; 1; 2; 3; p − 1; −2 − 3] \frac{U(k2 , k3 , −k2 − k3 ) U(q, −k1 + p, −k2 − k3 ) V (p, k1 , −k1 + p)}{(−ω(k2 ) − ω(k3 ) − ω(k2 + k3 )) (−ω(k1 ) − ω(k1 − p) + ω(p))}

[figure: p; q; 1; 2; 3; 1 − p; −2 − 3] \frac{U(−k2 − k3 , k2 , k3 ) V (k1 , p, k1 − p) V (k1 − p, q, −k2 − k3 )}{(−ω(k2 ) − ω(k3 ) − ω(k2 + k3 )) (ω(k1 ) − ω(k1 − p) − ω(p))}

[figure: p; q; 2; 1; 3; p − 2; 1+3] \frac{V (k1 + k3 , k1 , k3 ) V (k1 + k3 , q, −k2 + p) V (p, k2 , −k2 + p)}{(ω(k1 ) + ω(k3 ) − ω(k1 + k3 )) (−ω(k2 ) − ω(k2 − p) + ω(p))}

[figure: p; q; 2; 1; 3; 2 − p; 1+3] \frac{V (k2 , p, k2 − p) V (k1 + k3 , k1 , k3 ) V (q, k2 − p, k1 + k3 )}{(ω(k1 ) + ω(k3 ) − ω(k1 + k3 )) (ω(k2 ) − ω(k2 − p) − ω(p))}

[figure: p; q; 2; 1; 3; p − 2; −1 − 3] \frac{U(−k1 − k3 , k1 , k3 ) U(−k2 + p, q, −k1 − k3 ) V (p, k2 , −k2 + p)}{(−ω(k1 ) − ω(k3 ) − ω(k1 + k3 )) (−ω(k2 ) − ω(k2 − p) + ω(p))}

[figure: p; q; 2; 1; 3; 2 − p; −1 − 3] \frac{U(k1 , k3 , −k1 − k3 ) V (k2 , p, k2 − p) V (k2 − p, q, −k1 − k3 )}{(−ω(k1 ) − ω(k3 ) − ω(k1 + k3 )) (ω(k2 ) − ω(k2 − p) − ω(p))}

27  27

[figure: p; q; 3; 1; 2; p − 3; 1+2] \frac{V (k1 + k2 , k1 , k2 ) V (k1 + k2 , q, −k3 + p) V (p, k3 , −k3 + p)}{(ω(k1 ) + ω(k2 ) − ω(k1 + k2 )) (−ω(k3 ) − ω(k3 − p) + ω(p))}

[figure: p; q; 3; 1; 2; 3 − p; 1+2] \frac{V (k3 , p, k3 − p) V (q, k3 − p, k1 + k2 ) V (k1 + k2 , k1 , k2 )}{(ω(k1 ) + ω(k2 ) − ω(k1 + k2 )) (ω(k3 ) − ω(k3 − p) − ω(p))}

[figure: p; q; 3; 1; 2; p − 3; −1 − 2] \frac{U(k1 , k2 , −k1 − k2 ) U(q, −k3 + p, −k1 − k2 ) V (p, k3 , −k3 + p)}{(−ω(k1 ) − ω(k2 ) − ω(k1 + k2 )) (−ω(k3 ) − ω(k3 − p) + ω(p))}

[figure: p; q; 3; 1; 2; 3 − p; −1 − 2] \frac{V (k3 , p, k3 − p) V (k3 − p, q, −k1 − k2 ) U(k1 , k2 , −k1 − k2 )}{(−ω(k1 ) − ω(k2 ) − ω(k1 + k2 )) (ω(k3 ) − ω(k3 − p) − ω(p))}

[figure: q; p; 1; 2; 3; 2 + 3] \frac{V (k2 + k3 , k2 , k3 ) W (p, q, k1 , k2 + k3 )}{ω(k2 ) + ω(k3 ) − ω(k2 + k3 )}

[figure: q; p; 1; 3; 2; −2 − 3] −\frac{G(k1 , p, q, −k2 − k3 ) U(k2 , k3 , −k2 − k3 )}{ω(k2 ) + ω(k3 ) + ω(k2 + k3 )}

[figure: q; p; 2; 3; 1; 1 + 3] \frac{V (k1 + k3 , k1 , k3 ) W (p, q, k2 , k1 + k3 )}{ω(k1 ) + ω(k3 ) − ω(k1 + k3 )}

[figure: q; p; 2; 3; 1; −1 − 3] −\frac{G(k2 , p, q, −k1 − k3 ) U(k1 , k3 , −k1 − k3 )}{ω(k1 ) + ω(k3 ) + ω(k1 + k3 )}

28  28

[figure: q; p; 3; 2; 1; 1 + 2] \frac{V (k1 + k2 , k1 , k2 ) W (p, q, k3 , k1 + k2 )}{ω(k1 ) + ω(k2 ) − ω(k1 + k2 )}

[figure: q; p; 3; 2; 1; −1 − 2] −\frac{G(k3 , p, q, −k1 − k2 ) U(−k1 − k2 , k1 , k2 )}{ω(k1 ) + ω(k2 ) + ω(k1 + k2 )}

[figure: q; 2; 3; 1; p; 1 − p] \frac{G(q, k1 − p, k2 , k3 ) V (k1 , p, k1 − p)}{ω(k1 ) − ω(k1 − p) − ω(p)}

[figure: q; 2; 3; 1; p; p − 1] \frac{V (p, k1 , −k1 + p) W (q, −k1 + p, k2 , k3 )}{−ω(k1 ) − ω(k1 − p) + ω(p)}

[figure: q; 1; 3; 2; p; 2 − p] \frac{G(q, k2 − p, k1 , k3 ) V (k2 , p, k2 − p)}{ω(k2 ) − ω(k2 − p) − ω(p)}

[figure: q; 1; 3; 2; p; p − 2] \frac{V (p, k2 , −k2 + p) W (q, −k2 + p, k1 , k3 )}{−ω(k2 ) − ω(k2 − p) + ω(p)}

[figure: q; 1; 2; p; 3; 3 − p] \frac{G(q, k3 − p, k1 , k2 ) V (k3 , p, k3 − p)}{ω(k3 ) − ω(k3 − p) − ω(p)}

[figure: q; 1; 2; p; 3; p − 3] \frac{V (p, k3 , −k3 + p) W (q, −k3 + p, k2 , k1 )}{−ω(k3 ) − ω(k3 − p) + ω(p)}

29  29

[figure: q; 3; 2; 1; p; −q − p] −\frac{R(k1 , k2 , k3 , −p − q) U(−p − q, p, q)}{ω(p) + ω(q) + ω(p + q)}

[figure: q; 3; 2; 1; p; p + q] \frac{G(p + q, k1 , k2 , k3 ) V (p + q, p, q)}{ω(p) + ω(q) − ω(p + q)}

[figure: q; p; 1; 2; 3; 3 − q] \frac{G(p, k1 , k2 , k3 − q) V (k3 , q, k3 − q)}{ω(k3 ) − ω(k3 − q) − ω(q)}

[figure: q; p; 1; 2; 3; q − 3] \frac{V (q, k3 , −k3 + q) W (p, −k3 + q, k1 , k2 )}{−ω(k3 ) − ω(k3 − q) + ω(q)}

[figure: q; p; 2; 3; 1; 1 − q] \frac{G(p, k2 , k3 , k1 − q) V (k1 , q, k1 − q)}{ω(k1 ) − ω(q) − ω(−k1 + q)}

[figure: q; p; 2; 3; 1; q − 1] \frac{V (q, k1 , −k1 + q) W (p, −k1 + q, k2 , k3 )}{−ω(k1 ) + ω(q) − ω(−k1 + q)}

[figure: q; p; 1; 3; 2; 2 − q] \frac{G(p, k1 , k3 , k2 − q) V (k2 , q, k2 − q)}{ω(k2 ) − ω(k2 − q) − ω(q)}

[figure: q; p; 1; 3; 2; q − 2] \frac{V (q, k2 , −k2 + q) W (p, −k2 + q, k1 , k3 )}{−ω(k2 ) − ω(k2 − q) + ω(q)}

30  30

.4. Стационарные волны

Перепишем неявные уравнения для формы поверхности и гидродинамического потенциала Ψ:

y_{t}(1 + x̃_{u}) − x_{t}y_{u} = −R̂Ψ_{u} ,  (.2)
Ψ_{t}y_{u} − Ψ_{u}y_{t} + gyy_{u} + R̂ (Ψ_{t}(1 + x̃_{u}) − x_{t}Ψ_{u} + gy(1 + x̃_{u})) = 0 . (.3)

Последнее уравнение имеет частное решение:

y = y(u − ct), x̃ = x̃(u − ct) ,
Ψ = Ψ(u − ct) − gb_{0}t ,  (.4)

которое описывает стационарные волны, распространяющиеся с постоянной скоростью c.

Подставляя (.4) в (.2), приходим к равенству:

cy_{u} = R̂Ψ_{u} .  (.5)

Если воспользоваться (.5) и подставить (.4) в (.3), можно получить:

−(c^{2} + 2gb_{0})y_{u} + gy_{u} + gR̂(y(1 + x̃_{u})) = 0 .  (.6)

Далее мы будем педполагать все функции периодическими с периодом L = \frac{2π}{k}. В этом случае полное сохранение массы жидкости предполагает равенство

< y(1 + x̂_{u}) >= 0 ,  (.7)

где скобки означают усреднение по периоду.

31  31

Решение уравнения (.6) можно искать в виде ряда

y = a_{0} + ∞ ; ∑ ; n=1 a_{n} cos nku .  (.8)

Удобно ввести оператор

Ŝ = R̂∂^{−1} ,

действие которого на y дает:

Ŝ^{−1}y = ∞ ; ∑ ; n=1 \frac{a_{n}}{S_{n}} cos nku ,

где

S_{n} = \frac{tanh knh}{kn} .

С помощью S_{n} из (.7) a_{0} определяется:

a_{0} = −\frac{1}{2} ∞ ; ∑ ; n=1 \frac{a_{n}^{2}}{S_{n}} = h̄ − h .  (.9)

Для b_{0} имеем соотношение, следующее из (??),

b_{0} = a_{0} − \frac{c^{2}}{g} < 1 − \frac{1}{|z_{u}|^{2}} >  (.10)

Все другие коэффициенты a_{n} удовлетворяют следующей системе уравнений:

(c̃^{2} − gS_{1})a_{1} = \frac{g}{2} ∞ ; ∑ ; m=1 (1 + \frac{S_{1}(S_{m} + S_{m+1})}{S_{m}S_{m+1}}) a_{m}a_{m+1} ,  (.11)
(c̃^{2} − gS_{n})a_{n} = \frac{g}{2} ∞ ; ∑ ; m=1 (1 + \frac{S_{n}(S_{m} + S_{n+m})}{S_{m}S_{n+m}}) a_{m}a_{n+m}
+\frac{g}{4} n−1 ; ∑ ; m=1 (1 + \frac{S_{n}(S_{m} + S_{n−m})}{S_{m}S_{n−m}}) a_{m}a_{n−m} .  (.12)

Здесь c̃^{2} = c^{2} − 2g(a_{0} − b_{0}). В этих уравнениях амплитуда первой гармоники a_{1} произвольна. Полагая ее малой, в главном порядке имеем в соответствии с линейной теорией:

a_{0} = 0, b_{0} = 0 и c^{2} = c̃^{2} = \frac{g}{k} tanh kh ,  (.13)

32  32

В первом нетривиальном приближении коэффициенты a_{2} и c^{2} равны:

a_{2} = a_{1}^{2}k\frac{3 + tanh^{2} kh}{4 tanh^{3} kh} ,
c^{2} = \frac{g}{k} tanh kh (1 + [\frac{9 − 6 tanh^{2} kh + 5 tanh^{4} kh}{8 tanh^{4} kh}] (ka_{1})^{2}) . (.14)

Если вернуться к физической глубине h̄, дисперсионное соотношение (.14) совпадает с точностью с полученным в [?]:

c^{2} = \frac{g}{k} tanh kh̄ (1 + [\frac{9 − 10 tanh^{2} kh̄ + 9 tanh^{4} kh̄}{8 tanh^{4} kh̄}] (ka_{1})^{2}) .  (.15)

В пределе глубокой воды отсюда следует результат Стокса [?]:

c^{2} = \frac{g}{k}(1 + (ka_{1})^{2}) .  (.16)

Для мелкой воды

Ŝ ≃ h(1 − \frac{h^{2}}{3} \frac{∂^{2}}{∂x^{2}}) ,

и уравнение (.6) превращается в дифференциальное, описывающее солитоны КДВ типа.

33  33

Литература

[1]А.И. Дьяченко, В.Е. Захаров, А.Н. Пушкарев, В.Ф. Швец, В.В. Яньков, Солитонная турбулентность в неинтегрируемых волновых системах, ЖЭТФ, 96, Вып. 6(12), стр. 2026-2031, (1989). Sov. Phys. JETP, 69(6), pp. 1144-1147 (1989).

[2]A.I.Dyachenko, A.C.Newell, A.N.Pushkarev, and V.E.Zakharov, Optical Turbulence, Physica D, 57, pp. 96-160 (1992)

[3]A.I.Dyachenko, S.V.Nazarenko, and V.E.Zakharov, Wave-Vortex Dynamics in the Drift and β-Plane Turbulence, Phys. Lett. A, 165, pp. 330-334 (1992)

[4]A.I.Dyachenko, E.A.Kuznetsov, Instability and Self-Focusing of Solitons in the Boundary Layer, Письма в ЖЭТФ, 59, Вып. 2, стр. 103-108 (1994). JETP Lett., 59, pp. 108-113 (1994).

[5]A.I.Dyachenko, V.E.Zakharov, Is the free-surface hydrodynamics an integrable system? Phys. Lett. A 190, pp. 144-148 (1994).

[6]A.I.Dyachenko, Y.V.L’vov, On the Hasselmann’s and Zakharov’s approaches

34  34

to the kinetic equations for the gravity waves J.Phys. Oceanography 25 N12, pp. 3237-3238 (1995)

[7]A.I.Dyachenko, Y.V.L’vov and V.E.Zakharov, Five-wave interaction on the surface of deep fluid, Physica D 87, pp. 233-261 (1995)

[8]A.I.Dyachenko, E.A.Kuznetsov, Two-Dimentional Wave Collapse in The Boundary Layer, Physica D 87, pp. 301-313 (1995)

[9]A.I.Dyachenko, E.A.Kuznetsov, M.D.Spector and V.E.Zakharov, Analytical Description of the Free Surface Dynamics of an Ideal Fluid, Phys. Lett. A, 221, pp. 73-79 (1996).

[10]A.I.Dyachenko, V.E.Zakharov, Toward an Integrable Model of Deep Water, Phys. Lett. A, 221 pp. 80-87 (1996).

[11]А.И. Дьяченко, В.Е. Захаров, Е.А. Кузнецов, Нелинейная динамика свободной поверхности идеальной жидкости, Физика плазмы, 22, Вып. 10, стр. 916-928 (1996) Plasma Physics Reports, 22 # 10, pp. 829-840 (1996).

[12]A.I.Dyachenko, G.Fal’kovich, Condensate Turbulence in Two Dimensions, Physical Review E, 54, # 5, pp. 5095-5099, (1996).

[13]V.E.Zakharov, A.I.Dyachenko, High-Jacobian approximation in the free surface dynamics of an ideal fluid, Physica D 98, pp. 652-664 (1996).

[14]А.И. Дьяченко, О динамике идеальной жидкости со свободной поверх-

35  35

ностью, Доклады Академии Наук, 376, Вып. 1, стр. 27-29 (2001). Doklady Mathematics, 63, No. 1, pp. 115-118 (2001).

[15]V.E. Zakharov, O.A. Vasilyev and A.I. Dyachenko, Kolmogorov spectra in one-dimensional weak turbulence, Письма в ЖЭТФ, 73, Вып. 2, стр. 68-70 (2001). JETP Letters, 73, No. 2, pp. 63-65 (2001).

[16]V.E. Zakharov, A.I. Dyachenko and O.A. Vasilyev, New method for numerical simulation of a nonstationary potential flow of incompressible fluid with a free surface, European Journal of Mechanics B-Fluids, 21, No. 3, pp. 283-291 (2002).

[17]M. Chertkov, Y.-J. Chung, A. Dyachenko, I. Gabitov, I. Kolokolov, and V. Lebedev, Shedding and interaction of solitons in weakly disordered optical fibers, Phys. Rev. E, 67, No. 3, 036615, (2003).

[18]A.I. Dyachenko, A.O. Korotkevich, V.E. Zakharov, Decay of the monochromatic capillary wave, JETP Lett., 77, No. 9, pp. ??-?? (2003).

[19]A.I. Dyachenko, A.O. Korotkevich, V.E. Zakharov, Weak turbulence of gravity waves, JETP Lett., 77, No. 10, pp. 649-653 (2003).

Тексты публикаций автора, также как диссертации и автореферата, в нескольких форматах можно найти на сайте http://www.itp.ac.ru/ alexd