\lhead[\fancyplain{}{\textbf{\textsf{\large\thepage}}}]
    {}
\rhead[]
    {\fancyplain{}{\textbf{\textsf{\large\thepage}}}}

\chapter*{��������}
\addcontentsline{toc}{chapter}{��������} 

����� ������ ������, ������ �������� �������� ���� 
�������� �����������, �������� ��������� ��������������
������� ����������� ��������� �������� �� ��������� ��������.
��� ��������� 
������������ ����� ���� �� ������������ ������� ������������,
������� ������ �������, �������� ��� ���������� ���������
���������� �������. � ������ ������ ������������ ������������
�� ���������� ������������, � ��� ��� ��� ��� ����� �������
� �������������� �������� �� ��������� ��������.

������� ���������, ����������� ������� ����������� �������� (�� �����������
�������������) � ������� ������������ ���������
�������� $\eta(x,y,t)$, ������ ��������. ��� ��������� ������,
������� ������������� ��������, � �������������� �������
�� ��������� �������:
\begin{eqnarray}\label{WU}
\frac{\partial\vec V}{\partial t} + 
\left (\vec V \nabla \right )\vec V &=& -\nabla P +\vec g\cr
\nabla\cdot\vec V &=& 0\cr
\frac{\partial\eta}{\partial t}
+ V_x \frac{\partial\eta}{\partial x} + V_y \frac{\partial\eta}{\partial y}
&=& \left. V_z \right|_{z=\eta}.
\end{eqnarray}
����� $\vec V$ - ������ �������� ������� ��������, $P$ - �������� ��������, $\vec g$ - ������ 
��������������� ���������.
��� �������������� �� �������, �����
\begin{equation}\nonumber
\vec V = \nabla\Phi,\hspace{1cm} \nabla^2\Phi = 0
\end{equation}
($\Phi(x,y,z,t)$ - ��������� ��������) ��������� ������ ��������� ���:
\begin{equation}\label{Euler_Bern}
\nabla \left (\frac{\partial\Phi}{\partial t} + \frac{1}{2}
\left| \nabla \Phi\right|^{2} + P \right ) = \vec g.
\end{equation}
�� ��������� �� �������, ��� �������� $P$ ���������, ��� ��������� ������������
��������� ������� ������ ��� ����������, � ��������� �������� �� ���������� �������:
\begin{eqnarray}\label{Bernoulli_intro}
\nabla^2\Phi &=& 0,\cr
\frac{\partial\Phi}{\partial t} + \frac{1}{2}\left| \nabla \Phi\right|^{2}
 + g \eta &=& \left. \mbox{const}
\right|_{z =\eta},\mbox{(��������� ��������)}\cr
\frac{\partial\eta}{\partial t}
+ V_x \frac{\partial\eta}{\partial x} + V_y \frac{\partial\eta}{\partial y}
&=& \left. V_z \right|_{z=\eta}\mbox{(�������������� �������)}.
\end{eqnarray}
�������, ���� �ݣ ����� �������� ��������� ������� ��� ���������� �� ��������� �������.
��� ����� ���� ����� �������, ��� ���������� �������� �������� �� �������������,
������������� �������, ������� ������������ �� "���". 

������� �����, ��� ���� �ݣ ������ ������������� ���������,
����� � const  � ��������� �������� ������� �������� ����
\begin{equation}\label{Capillar_intro}
\sigma \left ( 1 - \sqrt{1 + \left| \nabla \eta \right|^{2}} \right ).
\end{equation}
����� $\sigma$ - ����������� �������������� ���������.

������ ����������� �� �������� �����������, ��������� ��� ���� ���������.
\begin{enumerate}
\item ������ ������ ��������� ��� ��������� (\ref{Bernoulli_intro}) ��������� 1880 ����� � �����������
������ \cite{S, Lamb}. ��� �������� ��������� � ��������������, 
������������ �������������� ������
���������� ���������. �������������� ����� ���������� ������ 
���������� ���������,
���� �� ţ ������� ���� �����, � ������� �������� �������� 
���������� � ����. ����� ��������
�������� � ���, ��� ������ ����� ����� ���������� ��������� 
�������� ������� ������ �� �������
�����, � ���� ���� ����� $120^{\circ}$. �������� ������ ����
�������� � ������� ������� � 
���������� \cite{Tol78, Tol82, Plot83}.
\item � 1921 �. �������� \cite{N}, � � 1925 �. ���������� 
����-������� ��������, ��� ��� ���������
����� ������� � ���� ��������������, ������������, ������� �����.
\item � 1957 �. ������� \cite{Crapper57} ����� ������ ������� 
������ � �������������� 
��������� ����������� ������, � ���������� ���� ������� ($g=0$). 
\item � 1974 �. ������� ������� \cite{Nalimov74}, ��� ������ ���� 
��� (\ref{Bernoulli_intro}) 
����� ������������ �������
�� �������� ��������� ������� $0\leq t\leq T$, ���� $g>0$, � ��������� ������� ���������� ����.
��� ���������� ������ ���������� �������.
� 1999 �. Wu �������� \cite{Wu99}, ��� ����� �� ����������� 
����������� � ��� ����� ������, 
����������� �������.
\end{enumerate}

������� ��������� ������� ������� 
��������� (\ref{Bernoulli_intro}) ��� ���������� � 
�������������� ���������. ���������� ������� ����������� 
������� ������� �������: ��������, ���������� � ���������.
��� ������� ���� ������� ������� �ݣ � 1860 ����. ��� �������� 
������� � ������ \cite{L-H76}.

����������, ������ ������� ������������ �������������� �����
������� ���������, ��� ���������� �����-������, ����������� 
�� ����������� ������ "�� ��������", � ������ ����������.
��� ������������ ������ ��� �������,
��-�� ��� �������� ������������ ����� � ����. ��� ����� 
�����. � ��������� ������ �� ��������, �������� ���������� 
�����������, ������� "����� ����". ����� ����, 
�������� �����-������ - 
��������� ������� \cite{Divinsky2004}. �������� ���� ����
����� ��� ��� ���������������, ��� � ��� �������������� 
�������� � ������� �������� �� ������� �������. ����� ������
�������� ���������� ������� �� ��������. ��� �������
��������,
��� �����-������ �������� ����������� ���������. ����������� 
������� ��������� ����-����� � ������������� 
��������������� ����� ������.  �������� ������ ���� 
�������������� ���� �����������
����������  � \cite{Zakh1966} � � \cite{BenFeir1967}. � ������ 
������ �������� ����������� ���������� ������
���� ��������������.

������ ��������, ��� ��������� ����������� ��������� �������� �� 
��������� 
������������ � ���� ���� ������� ������ ������������ � 
���������� ������ �������.
��������������� ����� ����� ��� ������� ���� �� ������ ���� 
(KdV\cite{GGKM67}, ��� 
��������� K��������-����������� \cite{KP}, ��� ����������� 
����������\cite{Z73}, ��� ����������� ����� ����� � �������� 
������������ ������� (���������� ��������� 
���������� \cite{NLS}).
����� ���������� �������� �������� � ���������� ���� ���� 
������� ����� 
������������ \cite{KSZ}.
����� ����������� �������������� ��������, ��� � ������������ 
���������� �������� 
��������� �������� � �������������� ���� ������������. 
�� ����� ����� ����������� ���� ������, � ���� �����, ������ 
������, �������������, ���������� �������� �������� 
����� �������������.

��������� ������ ��������, ���������� � ����������� - �������� 
�������������� �������� - �������� �������� � ������ ������ 
�������� ��������������. ��� ������� �������� ������� 
��������� ������������� ������������� 
��������� ��� ������������������ �������� ���� ~\cite{ZLF92}. 
����������, ��� �����������������
�������������� ������� ������ ������������ ��������� ��������� 
������������ �������������
������� � ��������� �������������� ��������� ����������������� 
���� ����� �������. 
������� ������ ���� ����������� ��������������. ����� ����� 
������ ������ ���� - 
������ $\epsilon_{\omega} \simeq gv/\omega^4$, ������� ������ 
����������� ��� 
����������� ������ �������������� ���� � ����.
������, ��� ����� ������ ����������� �� �����. ����� ����, ����� 
������������ ������������� 
��������� ��� ���� � �������� �������� ����� �������������. 
(��., �������� ~\cite{MMT1997}.)
����� ������������� ��������� �� �������� ������������ ��������� 
������������ ���������� 
������������� � ����������� ���, ������� ����� ���� �������� 
������������� ��������� �����������
��������, ����� ��� �������� ��������, �������� ��� 
����-���������. ����������, 
��� ������� ����� ��������� 
���������. � �������� ��������� ����������� ��������� 
����������� �����, �� � �� �� �����
��� ������ ��� ������� ������ �� ������ ������ ��������������. 
���������������� ������������,
� �� ������ ���������� ��������� ����������� ��������� 
������������ �� ����������������� 
�����������, �������� �  �������� �������� � ���������� ������� 
� ������ ���������� ��������.

�������������, ���� ������� ���������, ����� ���������� 
������������ ������ ������
��������������, �������� ��� ������, ��� ���������� ��������� 
�����, � ������, ��� 
����� ��������� �� �����. 


%� ������ G.G. Stokes \cite{Stokes} ������� ... 

\vspace{2cm}
\textbf{��������� �����������} ���������.
 
� \textbf{����� 1} ������� ������� ����� ��������� 
����������� ���
��������� ���������� ������� ��������� ����������� ��������
�� ��������� ��������. ���, � ������ �������, ���������� � 
������������, �������������� �������������� ������. 
���������� ������ ������� ����������� ���������� � ����
������� ��������� �������� ������ ����������, ������ �� �������
����������� ������ ~\cite{S}. �� ���� ��������, ��� � ������ 
��������� ������������ �������������� ���� ���������� 
���������� ������� ���� � ���������� ����, ������ $120^0$.
��� ��������� ��������� �������� ������������ �������� ������,
���������� ���������� ����������� � ������������ ��������� 
������������� �������.
���� ������ ���������� ��� ������ ����
������������ ������� � ������ ���� ������� � �������������� 
���������. ������� ��������� ������� ������������
������� �������������� �������� ��������� ������� � ����������
��������������� ���� � ��� �������������� ���������,
���������� ������ �������� ������� � 
������� ���������. �������� ������, {\it ��������� ����������}
���������, ����������� ������������� �������
��������� ����������� �������� � �������������� ����.
�����������, � �������  ��������� ���������� �����������,
�������� �������, �������� ����������� 
����������� �������������� ������� ���������� ���������, ��
������ �������������, � ����������� ������������� �������� 
�������. C ������� ���������� ��������� ��������� ��������� 
������������� ����������� �����-������, � ţ �������������.
�������� �����, ��� ����� ������ ���������� � ���������� ��������
������������� ��������������.



� \textbf{����� 2} ���������� ������ � ���������������
��������� ��������� ������������� ���������
�������� �� ��������� ������������. ������� ����������� 
����ң��������� ������������ (��������� ������������� 
�ң��������� ��������������). ������� ��������������
������������ ������������ ��� ����������� ������ � ����������
�������.  ��������, ��� ����ң��������� ��������� ������� 
�������������� ������������ ����� ���� ��
����������� �����������. ���������� ������ � ������������
������������ ��������� ������������ � ��������. ������� 
���������� ������������ ����������, ����������� ������������ 
����� (���� � ���������)
�������� ���������� ������������� �� 5-�� ������� ������������.
������������ 
��������� ���������� ���������� ��������, ����������������
�������� $3\Leftrightarrow 2$ � �ޣ��� ���������� �������������
���������. ��� ������� � ������� ���������� �������. �� �������� 
�� �������� ���� � , ��� �����, ��������, ��� ������� ���������, 
�����������
��������� �������������, ���������� �������� ������� 
����������� ��������� ��������
� �������������� ���� ��������������.
����� ���� � ���� ����� ��������� 5-�� �������� ������������
��������� � �������� ��� ������������ �������,
�������������� �������.

� \textbf{����� 3 } ��������� ������� ����������� ��������
�� ����������������� ������� � ������ ����������������
MMT-������ 
(A.Maida, D.McLaughlin � E.Tabak~\cite{MMT1997}). ������� � 
���������������� ������ "����������" ����� ������������
���������� �������������� ��������, � ������� ������� ��� 
�����\-���\-��\-����\-��\-�� ������. 

����� ���� � ���� �����,
�������� � ������������,
��������������� ����� ���������� �������������� � 
��������������� ���������� ��������� ����������. ���������
������� 
������������ ����������� ������ ��������, ������� ����������� 
���������������������� ���������,  ����������� � ��������������� 
������������. ��� �������������� ��������� �� ����������������� 
�������� ���������������� ��������� �������� ��������, 
���������� � ���������� �������� ��������� ��� ���������� 
�� �����.

����� ��������������� �������������� � ���������
��������� ���������� � ������������� (��������� 
������-�����������), � ������� ������������ � ���������, �
������, � ԣ���� �������� � ��������� �����. ��� ��������������
���-������������ ���������� ��������� �������������� �������.
����������� ����������� ����������� ���������� ��������
������������ ��������. 

�������� � ������������ ����������� ���������� ���������
��������� ����\-��\-��\-��-���, ������� ������������ 
������� �� �������
���������� ���������� ��������, ����� ������� �ݣ ����������. 
����������� �������������� ����������� �������� ������������ 
�������� ����������. ���������� ���������� ���������� �
��������� �������������. 

� \textbf{����� 4 } ���������� ������ � ������� ������������ 
�������� ����� � ��������� ������������� �����������������
�������, ����� ������ �������� ����������� �������������� ����. 
�������� � ������������ ������� ����������� �������������� 
����������� � �������������� ����. ����� ����, ���������
��������� ������������� ������ �������������� �������������� ����
�� ����������� �ң������� ��������, � ������� ��������
��� �ţ �������������� �������. ��� ������� ���� ������
���� ����������� ��������� �����, ����������� ������������
� ���������������� ������.


� \textbf{����������} �������������� ���������� ������.

� \textbf{����������} ������� ��������� ����� ��������� ������, 
����������
������� � �������� ������ ��������� �� ��������� ��������� ��-��
�� �������� ������������, ��������� 5-�� �������� ���������.

\vspace{2cm}

\textbf{����� ������} �������� �������� ������������� � ��������� 
�������
������������ ���������� ������� � ������������� ���������
�������� �� ��������� ��������. ������ �������� ��������� 
���������� ����������� ��������� ����������, �����������
��������� ��������.

����� ������ ����� ������� ����� ������������� �����������.

������������ ���� ����������� �������� � �������� �������� 
�������������� ����� ���� ����� �� ����� ������.

����� ����, �����ģ���� ������������ ����������������� ������� 
� ��������� ������� ����� ����� ����� ���������� ������������
������������ ���������, ������� ��������� � ������� �������
�������������� ������������ �������� ��������������, ��� ��������
������������ ���������.

\subsection*{������������ � ������������� �������� ������}
���������� ��������� ���������� ��������� �����������
��������� ������������� ��������� ����������� ���������
������������� ���������� ��������� �� ����������� ��������,
������� ����� ��� ��������� ����, ����� ������� �������� 
���������� �������������. 

����� ������ � ���������� ��������� ��������� 
(� ������� ���������� ������������ ����������)
��������� ���������� ��������� ����������� ��������������
���� � ��������� ������������� �������������. 

������������� � ��������� ������������ �������� � ����������� 
���� ��������� ����������� �� ��������� ����������� �������� � 
����������� ����.

����������� � ��������� ������������� �����������������
�������, � ��������������� ��������� ����������, �������
� �����������������, ��������� ���������� ����������
����� �������,
������������ ��������� ��� ������������ ���������� ��������
� ����������������� �����������.


\vspace{2cm}
������ ��������� � ��������� ������������� ������ ��.
�.~�.~������ ���������� �������� ����.


�� ���� ����������� ������������ 20 �����, ������ �������
�������� � ����� �����������.
