%\documentclass[pdf,contemporain,slideColor,colorBG,accumulate,nototal]{prosper}
\documentclass[pdf,
%rico,
slideColor,colorBG,accumulate,nototal]{prosper}

\RequirePackage[koi8-r]{inputenc}%unix encoding
\RequirePackage[T2A]{fontenc}
\RequirePackage[russian]{babel}
\RequirePackage{misccorr}
%\usepackage{macros-cp}

%\RequirePackage{color}
\RequirePackage{graphicx}


\makeatletter
\newcommand\figcap{\def\@captype{figure}\caption}
\makeatother



\def\image#1#2{
    \noindent\begin{minipage}{\textwidth}
	\centering
	\includegraphics[angle=-90,width=9.5cm]{#1}
	\figcap{#2}
    \end{minipage}
}

\renewcommand{\figurename}{\scriptsize Рисунок}

\title{Турбулентность и сингулярности\\ в нелинейных волновых системах}
%\title{Dynamical modelling of ocean waves}
\author{А.И.Дьяченко}
%\institution{Landau Institute for Theoretical Physics RAS}
\institution{Институт теоретической физики им. Л.Д. Ландау РАН}

\begin{document}
\maketitle

%------------------------------------------------------------SLIDE - 1
\begin{slide}{\hspace{7cm}Запись буя...}
\small
\vspace{-60pt}

\begin{raggedright}
%
\begin{figure}[!h]
\includegraphics[angle=-00,width=7.0cm]{./Preface/BlackSea_NewYear.ps}
\vspace{4mm}
%\caption{\tiny "New Year wave".}
\end{figure}
\end{raggedright}

\end{slide}

%------------------------------------------------------------SLIDE - 2
\begin{slide}{\hspace{7cm}Со спутника...}
\small
\begin{raggedright}
%
\vspace{-30pt}
\begin{figure}[!h]
\includegraphics[angle=-00,width=7.0cm]{./Preface/WP17.eps}
\vspace{4mm}
%\caption{\tiny "New Year wave" and record near Gelendzhik.}
\end{figure}
\end{raggedright}

\end{slide}



%------------------------------------------------------------SLIDE - 3
\begin{slide}{\small Уравнения...}
\small

\vspace*{-10pt}
\mbox{%
\begin{picture}(140,90)
% Edges
  \put(0,0){\line(1,0){140}} \put(0,90){\line(1,0){140}}
  \put(0,0){\line(0,1){90}} \put(140,0){\line(0,1){90}}
% Axises
\put(10,10){\begin{picture}(120,70)%
              \put(0,40){\vector(1,0){120}}
	      \put(60,0){\vector(0,1){70}}
	      \put(110,30){$x$} \put(65,65){$y$}
	      \qbezier[1000](0,0)(20,90)(50,40)
	      \qbezier[1000](50,40)(80,-10)(120,30)
	      \put(7,0){$\eta(x,t)$}
	      \put(117,67){\circle{15}}
	      \put(115,65){$z$}
	    \end{picture}}
\end{picture}}\qquad
\parbox[b]{5cm}{{\red{безвихревое течение}}
$$\triangle\phi (x,y,t) = 0$$}
\vspace{0.0cm}
\begin{raggedright}
{\tiny Граничные условия:}
{$\left[\begin{array}{l}
      \frac{\partial\phi}{\partial t} + \frac{1}{2}|\nabla \phi|^2 + 
g\eta = \frac{P}{\rho}, \\
      \frac{\partial\eta}{\partial t} + \eta_x \phi_x = \phi_y
  \end{array}\right\vert$}~при~$y=\eta (x,t)$.

%  \vspace*{10pt}
  \begin{minipage}{10cm}
\begin{eqnarray}\nonumber%\label{Eq2}
\frac{\partial \phi}{\partial y} &=& 0,  y \rightarrow -\infty, \cr
\frac{\partial \phi}{\partial x} &=& 0,  |x| \rightarrow \infty,
\mbox{или периодические}
%\phi(x,y) &=& \phi(x+2\pi,y).
\end{eqnarray}
\end{minipage}

\end{raggedright}
\end{slide}
%------------------------------------------------------------------------------

%--------------------------------------------------------------------- SLIDE -4
\begin{slide}{Конформное отображение}

\vspace*{-8pt}
область на плоскости $Z=x + iy$,
$$
-\infty < x < \infty,\quad -\infty < y \leq \eta (x,t)\,,
$$
на нижнюю полуплоскость,
$$
-\infty < u < \infty,\quad  -\infty < v\leq 0\,,
$$
плоскости  $\omega = u + iv$.

\makebox[5cm]{%
\begin{picture}(140,90)
% Edges
  \put(0,0){\line(1,0){140}} \put(0,90){\line(1,0){140}}
  \put(0,0){\line(0,1){90}} \put(140,0){\line(0,1){90}}
% Axises
\put(10,10){\begin{picture}(120,70)%
              \put(0,40){\vector(1,0){120}}
	      \put(60,0){\vector(0,1){70}}
	      \put(110,30){$x$} \put(65,65){$y$}
	      \qbezier[1000](0,0)(20,90)(50,40)
	      \qbezier[1000](50,40)(80,-10)(120,30)
	      \put(7,0){$\eta(x,t)$}
	      \put(117,67){\circle{15}}
	      \put(115,65){$z$}
	    \end{picture}}
\end{picture}}
\makebox[5cm]{%
\begin{picture}(140,90)
% Edges
  \put(0,0){\line(1,0){140}} \put(0,90){\line(1,0){140}}
  \put(0,0){\line(0,1){90}} \put(140,0){\line(0,1){90}}
% Axises
\put(10,10){\begin{picture}(120,70)%
              \put(0,40){\vector(1,0){120}}
	      \put(60,0){\vector(0,1){70}}
	      \put(110,30){$u$} \put(65,65){$v$}
	      \qbezier[200](0,39.0)(60,39.0)(115,39.0)
	      \qbezier[200](0,40.5)(60,40.5)(115,40.5)
	      \put(117,67){\circle{15}}
	      \put(115,65){$w$}
	    \end{picture}}
\end{picture}}
\end{slide}
%------------------------------------------------------------------------------


%--------------------------------------------------------------------- SLIDE -5
\begin{slide}{Конформное отображение}

\vspace{-8pt}
%
Теперь граница жидкости задается параметрически 
%
$$
({\red \mbox{при }\hspace{3mm} v=0}) 
\hspace{0.5cm} y=y(u,t), \quad x=u+\tilde x (u,t)\,.
$$
%
Мнимая  $y$ и вещественная  $\tilde x$ части $Z$ связаны преобразованием:
$$
y=\hat{H}\tilde{x}\,\hspace{2.5cm}\tilde{x} = -\hat{H}y\, .
$$
Здесь $\hat{H}$ преобразование Гильберта,
%
$$
\hat{H} f(u) = \frac{1}{\pi} P.V.\int_{-\infty}^{\infty}\frac{f(u')}
{(u'-u)} du'\,.
$$
Для фурье-гармоник имеем: $y_k = i\mbox{sign}(k) x_k$.
\end{slide}
%---------------------------------------------------------------------

%------------------------------------------------------------SLIDE - 6
%\overlays{1}{%
\begin{slide}{\small Уравнения для $Z$ и $\Phi$}
\small

\vspace*{-10pt}
\begin{raggedright}
После  {\it конформного преобразования} получаются
уравнения для аналитеческих функций
$$Z = x+i y,\hspace{1em} \mbox{\tiny и комплексного потенциала скорости}
\hspace{1em} \Phi = \Psi + \hat H\Psi.$$
%\fromSlide{1}{%
\vspace*{-30pt}
\begin{eqnarray}\nonumber
Z_t &=& i U Z_u, \cr
\Phi_t &=& i U \Phi_u - \hat P(\frac{|\Phi_u|^2}{|Z_u|^2}) +i g(Z-u).
\end{eqnarray}
$U$ {\scriptsize комплексная скорость переноса:}
\vspace{-10pt}
$$U = \hat P(\frac{-\hat H \Psi_u}{|Z_u|^2}).\hspace{6em} u \rightarrow w$$

$\hat P(f) = \frac{1}{2}( 1 + i\hat H )(f)$ -- оператор проектирования.
%}
\end{raggedright}
\end{slide}
%}
%---------------------------------------------------------------------


%------------------------------------------------------------SLIDE -7
%\overlays{1}{%
\begin{slide}{\small Кубические уравнения для $R$ и $V$}
\small

\vspace*{-10pt}
\begin{raggedright}
Введём вместо  $Z(w,t)$ и  $\Phi(w,t)$ другие переменные,
также аналитические функции $R(w,t)$ and $V(w,t)$ 
$$
R = \frac{1}{Z_w}, \hspace{5em}\Phi_w = -i V Z_w.
$$
%\fromSlide{1}{%
%\vspace*{-20pt}
Для них уравнения принимают предельно простой вид:
\begin{eqnarray}\nonumber
R_t &=& i\left [ UR' - U'R\right ], \cr
V_t &=& i\left [ UV' - R \hat P(V\bar V)'\right ] + g(R-1).
\end{eqnarray}
{\scriptsize Комплексная скорость переноса} $U$ {\scriptsize определяется как} 
$$ U = \hat P(V\bar R + \bar V R).$$
%}
\end{raggedright}
\end{slide}
%}
%---------------------------------------------------------------------


%------------------------------------------------------------SLIDE -8
%\overlays{1}{%
\begin{slide}{\small Образование волны-убийцы}
\small
\vspace*{-10pt}
\begin{raggedright}
\begin{itemize}
\item
Волна Стокса - решение стационарного уравнения:
$$
y = \frac{c^2}{2g}(1-\frac{1}{|Z_u|^2}),
$$
Потенциал $\Phi$ связан с конформным преобразованием
$$\Phi = -c(Z-u), \hspace{5em} V = ic(R-1).$$
Крутизна волны $\mu = a k_0$ - параметр начального условия  \\
\vspace{10pt}
\item
Цуг из  100 волн Стокса в периодической области $2\pi$
\item и  длинноволновое возмущение
\end{itemize}
%\fromSlide{1}{%
\vspace*{-20pt}
%}
\end{raggedright}
\end{slide}
%}
%---------------------------------------------------------------------


%---------------------------------------------------------------------

%-----------------------------------------------------------SLIDE - 10
\begin{slide}{\small 100 волн $\mu = 0.095$}
\small
\vspace*{-10pt}
\begin{raggedright}
\begin{figure}[!h]
\includegraphics[angle=-90,width=9.5cm]{Break/w7.eps}
\vspace{4mm}
%\caption{\tiny Fourier coefficients $|R_k|^2$}
\end{figure}
\end{raggedright}
\end{slide}
%---------------------------------------------------------------------

%-----------------------------------------------------------SLIDE - 11
\begin{slide}{100 waves $\mu = 0.095$}
\small
\vspace*{-10pt}
\begin{raggedright}
\begin{figure}[!h]
\includegraphics[angle=-90,width=9.5cm]{Fig/31-initial-3.eps}
\vspace{4mm}
\caption{\tiny Профиль поверхности}
\end{figure}
\end{raggedright}
\end{slide}
%---------------------------------------------------------------------

%-----------------------------------------------------------SLIDE - 11
\begin{slide}{100 waves $\mu = 0.095$}
\small
\vspace*{-10pt}
\begin{raggedright}
\begin{figure}[!h]
\includegraphics[angle=-90,width=9.5cm]{Fig/32-end-1.eps}
\vspace{4mm}
\caption{\tiny Surface profile}
\end{figure}
\end{raggedright}
\end{slide}
%---------------------------------------------------------------------

%-----------------------------------------------------------SLIDE - 11
\begin{slide}{100 waves $\mu = 0.095$}
\small
\vspace*{-10pt}
\begin{raggedright}
\begin{figure}[!h]
\includegraphics[angle=-90,width=9.5cm]{Fig/end-1.ps}
\vspace{4mm}
\caption{\tiny Zoom in surface profile}
\end{figure}
\end{raggedright}
\end{slide}
%---------------------------------------------------------------------

%-----------------------------------------------------------SLIDE - 11
\begin{slide}{100 waves $\mu = 0.095$}
\small
\vspace*{-10pt}
\begin{raggedright}
\begin{figure}[!h]
\includegraphics[angle=-90,width=9.5cm]{Fig/32-end-4.eps}
\vspace{4mm}
\caption{\tiny Fourier coefficients $|R_k|^2$.}
\end{figure}
\end{raggedright}
\end{slide}
%---------------------------------------------------------------------

%-----------------------------------------------------------SLIDE - 11
\begin{slide}{Wave breaks}
\small
\vspace*{-10pt}
\begin{raggedright}
\image{./Break/Break458_842.eps}{Overturning}
\end{raggedright}
\end{slide}
%---------------------------------------------------------------------

%-----------------------------------------------------------SLIDE - 11
\begin{slide}{Wave breaks. Momentum}
\small
\vspace*{-10pt}
\begin{raggedright}
\begin{figure}[!h]
\includegraphics[angle=00,width=9.5cm]{./Break/MD_for_Zakharov.eps}
\vspace{4mm}
%\caption{\tiny Zoom in surface profile}
\end{figure}
%
\end{raggedright}
\end{slide}
%---------------------------------------------------------------------



%-----------------------------------------------------------SLIDE - 12
\begin{slide}{NLSE Soliton $\mu=0.1$}
\small
\vspace*{-40pt}
\begin{raggedright}
%
$$R(u) = 1 + \mu {e^{-ik_{0}u}\over \cosh(L_{0}k_{0}u)},\hspace{1cm}
V(u) = -i\sqrt{g\over k_0}\mu {e^{-ik_{0}u}\over \cosh(L_{0}k_{0}u)},$$
\vspace*{-15pt}
\image{./Fig/14-initial-1.eps}{Initial soliton. $k_0=100$, $L_0=0.1$.}
\end{raggedright}
\end{slide}
%---------------------------------------------------------------------

%-----------------------------------------------------------SLIDE - 12
\begin{slide}{NLSE Soliton $\mu=0.1$}
\small
\vspace*{-20pt}
\begin{raggedright}
%
\image{./Fig/15-end-1.eps}{After 4000 periods (movie)}
\end{raggedright}
\end{slide}
%---------------------------------------------------------------------

%-----------------------------------------------------------SLIDE - 12
\begin{slide}{NLSE Soliton $\mu=0.14$}
\small
\vspace*{-20pt}
\begin{raggedright}
%
\image{./Fig/18-info-1.eps}{Initial soliton. $k_0=100$, $L_0=0.1$.}
\end{raggedright}
\end{slide}
%---------------------------------------------------------------------

%-----------------------------------------------------------SLIDE - 12
\begin{slide}{NLSE Soliton $\mu=0.14$}
\small
\vspace*{-20pt}
\begin{raggedright}
%
\image{./Fig/18-info-4.eps}{After 65 periods (movie)}
\end{raggedright}
\end{slide}
%---------------------------------------------------------------------

%-----------------------------------------------------------SLIDE - 12
\begin{slide}{Collision of solitons $\mu=0.12$}
\small
\vspace*{-20pt}
\begin{raggedright}
%
\image{./Fig/23-initial-1.eps}{Initial solitons}
\end{raggedright}
\end{slide}
%---------------------------------------------------------------------

%-----------------------------------------------------------SLIDE - 12
\begin{slide}{Collision of solitons $\mu=0.12$}
\small
\vspace*{-20pt}
\begin{raggedright}
%
\image{./Fig/24-coll-30-1.eps}{Collision (movie)}
\end{raggedright}
\end{slide}
%---------------------------------------------------------------------



\end{document}
%---------------------------------------------------------------------- SLIDE -
\begin{slide}{EIA4}
\small

\vspace*{-12pt}
\end{slide}
%------------------------------------------------------------------------------
