\documentclass[a4paper, 12pt]{report} 
\usepackage[T2A]{fontenc}
\RequirePackage[utf8x]{inputenc}%unix encoding
\RequirePackage[russian]{babel}
\usepackage{amssymb,amsfonts,amsmath,mathtext,cite,enumerate,float} 
\usepackage{graphicx} 
%\usepackage{subfigure}
\usepackage{color}


%\usepackage{cancel}


\makeatletter
\bibliographystyle{gost780s}
\makeatother

\usepackage{geometry} 
\geometry{left=2.cm}
\geometry{right=2.cm}
\geometry{top=2.cm}
\geometry{bottom=2.cm}
\newcounter{N}

\begin{document}

\chapter*{Восстановление сигналов с помощью канонического преобразования}

Распространение сигналов вдоль оптоволокна описываем с помощью НУШ:
\begin{equation}\label{NLSE}
i\frac{\partial q(x, t)}{\partial x} + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 q(x, t)}{\partial t^2} + |q(x, t)|^2q(x, t)=0,
\end{equation}

Пусть начальный сигнал $q(t, x=0)$ представляет собой набор из трех эквидистантно расположенных в интервале $[-\pi,\pi]$ гипергуссовых фукций:
\begin{equation}\label{GG}
f(x) = A \exp\bigg[- \left(\frac{x-r}{\sigma}\right)^p\bigg]
\end{equation}
с некоторыми фиксированными параметрами $A$, $\sigma$ и $p$.

Ниже приведены результаты для $A=0.9$, $\sigma=0.4$, $p=4$. Начальный спектр в логарифмическом масштабе показан на рисунке \ref{spectrum_pic}. Вещественная и мнимая части, а также модуль $q(t, x=0)$  приведены на рисунках \ref{Re_Im_Abs_q_0_pic} (а) и (б) соответсnвенно. 




\begin{figure}[H]
\center{\includegraphics[width=0.5\textwidth]{./pics/log_ini_spectrum.eps}}
\caption{Начальный спектр сигнала}
\label{spectrum_pic}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
\begin{minipage}[H]{0.48\linewidth}
\center{\includegraphics[width=1.0\textwidth]{./pics/re_im_q_ini.eps}\\ \vspace{-0.5cm}\small(а)}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[H]{0.48\linewidth}
\center{\includegraphics[width=1.0\textwidth]{./pics/abs_q_ini.eps}\\ \vspace{-0.5cm}\small(б)}
\end{minipage}
\caption{Рисунок (а) -- вещественная и мнимые части. Рисунок (б) -- модуль}
\label{Re_Im_Abs_q_0_pic}
\end{figure}


Для рассматриваемого сигнала $L_{Nl} \approx 4.24$, $L_{D} \approx 0.22$, т.е. отношение длин $\frac{L_D}{L_{Nl}} \approx 0.05$.

Мы распространяем такой сигнал на рассояние $L=44$, т.е примерно на 200 дисперсионных и 10 нелинейных длин. Для вычисления используем стандартный split-step метод решения НУШ.


Вещественная и мнимая части, а также модуль $q(t, x=L)$  приведены на рисунках \ref{Re_Im_Abs_q_L_pic} (а) и (б) соответственно. 

\begin{figure}[H]
\begin{minipage}[H]{0.48\linewidth}
\center{\includegraphics[width=1.0\textwidth]{./pics/re_im_q_L_split_step.eps}\\ \vspace{-0.5cm}\small(а)}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[H]{0.48\linewidth}
\center{\includegraphics[width=1.0\textwidth]{./pics/abs_q_L_split_step.eps}\\ \vspace{-0.5cm}\small(б)}
\end{minipage}
\caption{Рисунок (а) -- вещественная и мнимые части. Рисунок (б) -- модуль}
\label{Re_Im_Abs_q_L_pic}
\end{figure}


Теперь, используя каноническое преобразование, находим $b_\omega(x=L)$. Проводим элементарные вычисления для нахождения $b_\omega(x=0)$, после чего восстанавливаем сигнал с помощью обратного канонического преобразования. Восстановленный сигнал обозначим $q_{tranf}(t, x=0)$. Сравнение исходного и восстановленного сигналов приведены на рисунках \ref{Re_Im_Abs_q_recover_pic} (а) и (б).

\begin{figure}[H]
\begin{minipage}[H]{0.48\linewidth}
\center{\includegraphics[width=1.0\textwidth]{./pics/re_im_q_ini_re_im_q_transf.eps}\\ \vspace{-0.5cm}\small(а)}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[H]{0.48\linewidth}
\center{\includegraphics[width=1.0\textwidth]{./pics/abs_q_ini_abs_q_transf.eps}\\ \vspace{-0.5cm}\small(б)}
\end{minipage}
\caption{Рисунок (а) -- вещественная и мнимые части. Рисунок (б) -- модуль}
\label{Re_Im_Abs_q_recover_pic}
\end{figure}


\end{document}


