% !TeX spellcheck = ru_RU
% !TeX encoding = UTF-8
\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage{amsmath,amssymb,hyperref}
\usepackage[cm]{fullpage}
\usepackage{tikz}
\usepackage[T1,T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}

\allowdisplaybreaks

\def\smallskip{\vskip\smallskipamount}
\def\medskip{\vskip\medskipamount}
\def\bigskip{\vskip\bigskipamount}

\let\{=\lbrace
\let\}=\rbrace
\let\[=\lbracket
\let\]=\rbracket

\def\eq#1$$#2$${\begin{equation#1}#2\end{equation#1}}
\long\def\subeq#1{\begin{subequations}#1\end{subequations}}
\def\Split$$#1$${\begin{split}#1\end{split}}
\def\Align#1$$#2$${\begin{align#1}#2\end{align#1}}
\def\AlignAt#1$$#2$${\begin{alignat}{#1}#2\end{alignat}}
\def\Aligned#1{\begin{aligned}{}#1\end{aligned}}
\def\Alignedb#1{\begin{aligned}[b]#1\end{aligned}}
\def\Alignedt#1{\begin{aligned}[t]#1\end{aligned}}
\def\Gather#1$$#2$${\begin{gather#1}#2\end{gather#1}}
\def\Gathered#1{\begin{gathered}{}#1\end{gathered}}
\def\Gatheredb#1{\begin{gathered}[b]#1\end{gathered}}
\def\Gatheredt#1{\begin{gathered}[t]#1\end{gathered}}
\def\Multline#1$$#2$${\begin{multline#1}#2\end{multline#1}}
\def\Matrix#1{\begin{matrix}#1\end{matrix}}
\def\pMatrix#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}
\def\Cases#1{\begin{cases}#1\end{cases}}

\def\d{\partial}
\def\bd{{\bar\d}}
\def\bpsi{{\bar\psi}}
\def\bvarphi{{\bar\varphi}}
\def\Re{\mathop{\rm Re}\nolimits}
\def\Im{\mathop{\rm Im}\nolimits}
%\def\arctg{\mathop{\rm arctg}\nolimits}
\def\bn{{\text{\bfseries\itshape n}}}
\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\bz{{\bar z}}
\def\bw{{\bar w}}
\def\tphi{{\tilde\phi}}
\def\vq{{\vec q}}
\def\vx{{\vec x}}
\def\vy{{\vec y}}
\def\vJ{{\vec J}}

\def\lcolon{\mathopen:}
\def\rcolon{\mathclose:}

\makeatletter
\let\over\@@over
\let\atop\@@atop
\let\above\@@above
\let\overwithdelims\@@overwithdelims
\let\atopwithdelims\@@atopwithdelims
\let\abovewithdelims\@@abovewithdelims
\makeatother

\begin{document}

\centerline{\bf Лекция~2}
\centerline{\bf Бозонизация модели Тирринга}
\bigskip
Рассмотрим {\it массивную модель Тирринга} в пространстве Минковского:
\eq$$
S^{MT}[\psi,\bpsi]
=\int d^2x\,
\left(\bpsi(i\hat\d-m)\psi-{g\over2}(\bpsi\gamma^\mu\psi)^2\right).
\label{MT}
$$
Здесь $\psi(x)$, $\bpsi(x)$ "--- фермионное поле и дираковски сопряженное ему поле, $\gamma^\mu$ "--- матрицы Дирака, а $\hat\d=\gamma^\mu\d_\mu$. Матрицы Дирака удовлетворяют стандартным соотношениям
$$
\gamma^\mu\gamma^\nu+\gamma^\nu\gamma^\mu=2g^{\mu\nu},
\qquad
\gamma^{\mu+}=\gamma^0\gamma^\mu\gamma^0.
$$
В двумерном случае гамма"=матрицы можно записать в виде:
\eq$$
\gamma^0=\pMatrix{&-i\\i&},
\qquad
\gamma^1=\pMatrix{&i\\i&},
\qquad
\gamma^3=\gamma^0\gamma^1=\pMatrix{1&\\&-1}.
\label{gamma-matrices}
$$
В модели имеется сохраняющийся ток
\eq$$
j^\mu=\bpsi\gamma^\mu\psi.
\label{MTcurrent}
$$
В случае $m=0$ имеется еще один сохраняющийся ток
\eq$$
j_3^\mu=\bpsi\gamma^3\gamma^\mu\psi=-\epsilon^{\mu\nu}j_\nu.
\label{MT3current}
$$

В прошлый раз мы рассматривали модель синус"=Гордона:
\eq$$
S^{SG}[\phi]=\int d^2x\,\left({(\d_\mu\phi)^2\over8\pi}+\mu\cos\beta\phi\right).
\label{SG}
$$
В этой модели имеется топологическое число
\eq$$
q={\beta\over2\pi}(\phi(t,+\infty)-\phi(t,-\infty)),
\label{topnumber}
$$
принимающее целые значения. Его можно записать в виде
\eq$$
q={\beta\over2\pi}\int^\infty_{-\infty} dx\,\d_1\phi(t,x).
$$
Это позволяет определить ток, ответственный за топологический заряд:
\eq$$
j^\mu_{\rm top}=-{\beta\over2\pi}\epsilon^{\mu\nu}\d_\nu\phi.
\label{topcurrent}
$$
Этот ток удовлетворяет уравнению непрерывности $\d_\mu j^\mu_{\rm top}=0$ в силу антисимметрии символа $\epsilon^{\mu\nu}$ и коммутативности производных.

В этой лекции мы убедимся, что массивная модель Тирринга и модель синус"=Гордона эквивалентны\cite{Coleman,Mandelstam}, причем параметры двух моделей связаны соотношениями
\Align$$
g
&=\pi(\beta^{-2}-1),
\label{gbeta}
\\
\mu
&\sim mr_0^{\beta^2-1},
\label{mum}
$$
а тирринговский ток совпадает с топологическим:
\eq$$
j^\mu=j^\mu_{\rm top}.
\label{MT-SG-cur}
$$
Это исключительно важное соответствие, называемое {\it бозонизацией}. Уравнение (\ref{MT-SG-cur}) играет ключевую роль в бозонизации.

Перепишем действие модели Тирринга, используя явный вид гамма"=матриц:
$$
S^{MT}[\psi,\bpsi]
=\int d^2x\,(i\psi^+_1(\d_0+\d_1)\psi_1+i\psi^+_2(\d_0-\d_1)\psi_2+im(\psi^+_1\psi_2-\psi^+_2\psi_1)-2g\psi^+_1\psi^+_2\psi_2\psi_1).
$$
Подставляя $z=x^1-x^0$, $\bz=x^1+x^0$, получаем
$$
S^{MT}[\psi,\bpsi]
=\int d^2x\,(2i\psi^+_1\bd\psi_1-2i\psi^+_2\d\psi_2+im(\psi^+_1\psi_2-\psi^+_2\psi_1)-2g\psi^+_1\psi^+_2\psi_2\psi_1).
$$
В этих компонентах тирринговский ток имеет вид:
\eq$$
j_z=-\psi^+_1\psi_1,
\qquad
j_\bz=\psi^+_2\psi_2.
\label{j-psipsi}
$$

Рассмотрим случай $m=0$, который допускает точное решение\cite{Thirring}. Начнем с решения классических уравнений движения
\eq$$
\Aligned{
\bd\psi_1
&=-ig\psi^+_2\psi_2\psi_1\equiv-igj_\bz\psi_1,
\\
\d\psi_2
&=ig\psi^+_1\psi_1\psi_2\equiv-igj_z\psi_2.
}\label{Teqmotion}
$$
Так как $\epsilon^{\mu\nu}\d_\mu j_\nu=\d_\mu j_3^\mu=0$, ток $j_\mu$ является градиентом свободного поля:
\eq$$
j_\mu=-{\beta\over2\pi}\d_\mu\tphi.
\label{Ttphi}
$$
Нам удобно рассматривать поле $\tphi$ как двойственное к другому полю $\phi$, как это описано в предыдущей лекции. Оба эти поля удовлетворяют уравнению Даламбера:
$$
\d_\mu\d^\mu\phi=\d_\mu\d^\mu\tphi=0.
$$
Общее решение этих уравнений можно записать в виде
\eq$$
\Aligned{
\phi(x)
&=\varphi(z)+\bvarphi(\bz),
\\
\tphi(x)
&=\varphi(z)-\bvarphi(\bz),
}\label{phi-tphi-varphi}
$$
где $\varphi(z)$ и $\bvarphi(\bz)$ "--- произвольные функции только $z$ и $\bz$ соответственно. Коэффициент в (\ref{Ttphi}) произволен. Мы выбрали его так, чтобы формально выполнялось соотношение~(\ref{MT-SG-cur}), если отождествить поле $\phi$ с полем модели синус"=Гордона.

Мы видим, что безмассовая модель Тирринга эквивалентна свободному безмассовому бозону. Из соотношения (\ref{Ttphi}) имеем
\eq$$
{\beta\over2\pi}\d\varphi=\psi^+_1\psi_1,
\qquad
{\beta\over2\pi}\bd\bvarphi=\psi^+_2\psi_2.
\label{Tcureq}
$$
Если продолжать искать классическое решение, следует подставить эти функции в уравнения (\ref{Teqmotion}). Решая последние, находим
\eq$$
\psi_1(z,\bz)=F_1(z)e^{-i{g\beta\over2\pi}\bar\varphi(\bz)},
\qquad
\psi_2(z,\bz)=F_2(\bz)e^{i{g\beta\over2\pi}\varphi(z)}
\label{psibpsi-classical}
$$
с произвольными функциями $F_i$. Подставляя обратно в (\ref{Tcureq}), получаем
\eq$$
{\beta\over2\pi}\d\varphi(z)=F_1(z)F_1^*(z),
\qquad
{\beta\over2\pi}\bd\bar\varphi(\bz)=F_2(\bz)F_2^*(\bz),
\label{Tcur-classical}
$$
где звездочка означает комплексное сопряжение функции в предположении вещественности аргумента. Остается проинтегрировать эти уравнения и подставить результат в (\ref{psibpsi-classical}). В результате поля $\psi_i$ выражаются через две функции $F_i$ и две константы интегрирования.


Перейдем к квантовому случаю. Давайте искать решение уравнений (\ref{Tcureq}) в виде
\eq$$
\psi_i(x)=\eta_i\sqrt{N_i\over2\pi}
e^{i\alpha_i\varphi(z)+i\beta_i\bvarphi(\bz)},
\qquad
\psi^+_i(x)=\eta_i^{-1}\sqrt{N_i\over2\pi}
e^{-i\alpha_i\varphi(z)-i\beta_i\bvarphi(\bz)},
\label{psibpsiansatz}
$$
где $\eta_i$ "--- алгебраические множители, необходимые, чтобы обеспечить фермионное поведение полей~$\psi_i$. Оказывается, что решения можно найти, если положить
\eq$$
\eta_1\eta_2=-\eta_2\eta_1.
\label{algfactors}
$$
Прежде всего, потребуем, чтобы поля $\psi_i(x)$ вели себя как фермионы. Рассмотрим произведение
\eq$$
\psi_i(x')\psi_j(x)
=\eta_i\eta_j{\sqrt{N_iN_j}\over2\pi}
(z'-z)^{\alpha_i\alpha_j}
(\bz'-\bz)^{\beta_i\beta_j}
e^{i\alpha_i\varphi(z')+i\beta_i\bvarphi(\bz')
+i\alpha_j\varphi(z)+i\beta_j\bvarphi(\bz)}.
\label{psipsi}
$$
Это выражение хорошо продолжается в эвклидову область. Из требования антикоммутативности легко получить, что
\eq$$
\alpha_i^2-\beta_i^2\in2\Z+1,
\qquad
\alpha_1\alpha_2-\beta_1\beta_2\in2\Z.
\label{fermion-limitation}
$$
Из (\ref{psipsi}) видно, что произведения вроде $\psi^+_1\psi_1$ плохо определены. Давайте {\it определим\/} эти произведения следующим образом. Рассмотрим другое произведение:
\eq$$
\psi^+_1(x')\psi_1(x)
={N_1\over2\pi}(z'-z)^{-\alpha_1^2}\left(\bz'-\bz\right)^{-\beta_1^2}\left(1-i\alpha_1(z'-z)\,\d\phi(x)-i\beta_1(\bz'-\bz)\,\bd\phi(x)+\cdots\right).
\label{bpsi1psi1}
$$
Усредним это произведение по окружности $|z'-z|^2=r_0^2$ и будем считать $r_0$ малым. Старший член в разложении по $r_0$ примем за $\psi^+_1(x)\psi_1(x)$. Предположим, что
\eq$$
\alpha_1^2-\beta_1^2=1.
\label{eq1}
$$
Тогда первый и третий члены в разложении (\ref{bpsi1psi1}) при усреднении обратятся в нуль. Старшим ненулевым членом будет второй:
$$
N_1r_0^{-2\beta_1^2}\left(-i\alpha_1\d\varphi\over2\pi\right).
$$
Его мы и отождествляем с~$\psi^+_1\psi_1$. Коэффициент $N_1$ должен быть мнимым для согласованности с эрмитовостью оператора $\psi^+\psi$.

Сравнивая с (\ref{Tcureq}), получаем
\eq$$
\beta=-ir_0^{-2\beta_1^2}N_1\alpha_1.
\label{betaN1}
$$
Аналогично, полагая
\eq$$
\alpha_2^2-\beta_2^2=-1,
\label{eq2}
$$
получим
\eq$$
\beta=-ir_0^{-2\alpha_2^2}N_2\beta_2.
\label{betaN2}
$$
Теперь рассмотрим уравнения движения (\ref{Teqmotion}). Подставляя (\ref{Tcureq}) и (\ref{psibpsiansatz}), получим
$$
\Aligned{
i\beta_1\,\bd\bvarphi\,e^{i\alpha_1\varphi+i\beta_1\bvarphi}
&=-ig{\beta\over2\pi}\bd\bvarphi\,e^{i\alpha_1\varphi+i\beta_1\bvarphi},
\\
i\alpha_2\,\d\varphi\,e^{i\alpha_2\varphi+i\beta_2\bvarphi}
&=ig{\beta\over2\pi}\d\varphi\,e^{i\alpha_2\varphi+i\beta_2\bvarphi}.
}
$$
Отсюда имеем
\eq$$
\alpha_2=-\beta_1={g\beta\over2\pi},
\label{eq3}
$$
что, конечно же, согласуется с классическим решением.

Чтобы зафиксировать коэффициенты $\alpha_i$, $\beta_i$, нужно самосогласованно определить массовый член таким образом, чтобы он коммутировал с фермионным током
\eq$$
Q=\int df_\mu\,j^\mu,
\label{Qcharge-def}
$$
где $df_\mu=\epsilon_{\mu\nu}\,dx^\nu$ "--- элемент одномерной поверхности. Рассмотрим разложение
$$
\psi^+_2(x')\psi_1(x)
=-\eta_1\eta_2^{-1}{\sqrt{N_1N_2}\over2\pi}
(z'-z)^{-\alpha_1\alpha_2}(\bz'-\bz)^{-\beta_1\beta_2}
\left(
e^{i(\alpha_1-\alpha_2)\varphi(z)+i(\beta_1-\beta_2)\bvarphi(\bz)}+\cdots
\right).
$$
Первый член выживает при усреднении по углам, если
\eq$$
\alpha_1\alpha_2=\beta_1\beta_2,
\label{eq4}
$$
что согласуется с (\ref{eq1}--\ref{eq3}) и дает
\eq$$
\alpha_1=-\beta_2.
\label{eq4a}
$$
Усредняя по углам, получаем определения для произведений
\eq$$
\Aligned{
\psi^+_2\psi_1
&=-\eta_1\eta_2^{-1}{\sqrt{N_1N_2}\over2\pi}r_0^{-2\alpha_1\alpha_2}e^{i(\alpha_1-\alpha_2)\phi},
\\
\psi^+_1\psi_2
&=-\eta_2\eta_1^{-1}{\sqrt{N_1N_2}\over2\pi}r_0^{-2\alpha_1\alpha_2}e^{-i(\alpha_1-\alpha_2)\phi}.
}\label{massterms-intermediate}
$$

Проверим теперь, что так определенные операторы коммутируют с $Q$. Пусть $O(x)$ "--- локальный оператор. Вычислим коммутатор
\Multline$$
[O(0),Q]=\oint df_\mu\,j^\mu(x)\,O(0)=\oint dx^\nu\,\epsilon_{\mu\nu}j^\mu(x)O(0)
=-{\beta\over2\pi}\oint dx^\nu\,\epsilon_{\mu\nu}\,\d^\mu\tphi(x)\,O(0)
\\*
=-{\beta\over2\pi}\oint dx^\nu\,\epsilon_{\mu\nu}\epsilon^{\mu\lambda}\,\d_\lambda\phi(x)\,O(0)
={\beta\over2\pi}\oint dx^\lambda\,\d_\lambda\phi(x)\,O(0)={\beta\over2\pi}\Delta\phi(x)\,O(0),
\label{OQ-commut}
$$
Здесь $\Delta\phi(x)$ "--- приращение поля $\phi(x)$ при обходе $x$ вокруг нуля против часовой стрелки. Теперь применим эту формулу к оператору $O(x)=e^{i\alpha\varphi(z)+i\alpha'\bvarphi(\bz)}$:
\Multline$$
[e^{i\alpha\varphi(0)+i\alpha'\bvarphi(0)},Q]={\beta\over2\pi}\Delta(\varphi(z)+\bvarphi(\bz))e^{i\alpha\varphi(0)+i\alpha'\bvarphi(0)}
\\*
={i\beta\over2\pi}\Delta\left(\alpha\log{1\over z}+\alpha'\log{1\over\bz}\right)e^{i\alpha\varphi(0)+i\alpha'\bvarphi(0)}
=\beta(\alpha-\alpha')e^{i\alpha\varphi(0)+i\alpha'\bvarphi(0)}.
\label{expQ-commut}
$$
Коммутатор $[Q,O(x)]=0$, если $\alpha=\alpha'$ и, следовательно, $O(x)=e^{i\alpha\phi(x)}$. Очевидно, это условие выполнено для операторов, определенных в (\ref{massterms-intermediate}).

Теперь зафиксируем параметр $\beta$. Для этого положим $O(x)=\psi_i(x)$ в (\ref{expQ-commut}). Так как операторы $\psi_i$ имеют фермионный заряд $-1$, имеем
$$
\psi_i(0)=[\psi_i(0),Q]=\beta(\alpha_i-\beta_i)\psi_i(0)=\beta(\alpha_1+\alpha_2)\psi_i(0)
$$
Следовательно,
\eq$$
\alpha_1+\alpha_2=\beta^{-1},
\label{eq5}
$$
откуда немедленно получаем
\eq$$
\alpha_1-\alpha_2=\beta
\label{eq6}
$$
и
\eq$$
\Aligned{
\alpha_1=-\beta_2
&={1\over2}\left({1\over\beta}+\beta\right),
\\
\alpha_2=-\beta_1
&={1\over2}\left({1\over\beta}-\beta\right).
}
$$
Подставляя ответ в~(\ref{eq3}), получаем~(\ref{gbeta}).

Из (\ref{betaN1}), (\ref{betaN2}) находим
\eq$$
N_1=-N_2=ir_0^{{\beta^2\over2}+{1\over2\beta^2}-1}{2\beta^2\over\beta^2+1},
\label{N12}
$$
Отсюда получаем
\eq$$
\Aligned{
-i\psi_2^+\psi_1
&={1\over\pi}{\beta^2\over\beta^2+1}r_0^{\beta^2-1}\left(i\eta_1\eta_2^{-1}\right)e^{i\beta\phi},
\\
i\psi_1^+\psi_2
&={1\over\pi}{\beta^2\over\beta^2+1}r_0^{\beta^2-1}\left(i\eta_1\eta_2^{-1}\right)^{-1}e^{-i\beta\phi}.
}\label{massterms-final}
$$
Так как на бесконечной плоскости суммарный «заряд» должен быть равен нулю, операторы $e^{i\beta\phi}$ и $e^{-i\beta\phi}$ должны встречаться в равных количествах для корреляционных функций, полиномиальных по $\varphi$,~$\bar\varphi$. Поэтому множители $\left(i\eta_1\eta_2^{-1}\right)^{\pm1}$ тоже сократятся. В более общем случае их можно опустить, переопределив операторы:
$$
\left(i\eta_1\eta_2^{-1}\right)^{\alpha/\beta}e^{i\alpha\phi}\to e^{i\alpha\phi}.
$$
Тогда имеем
\eq$$
i(\psi^+_1\psi_2-\psi^+_2\psi_1)
={2\over\pi}{\beta^2\over\beta^2+1}r_0^{\beta^2-1}
\cos\beta\phi,
\label{psicos}
$$
откуда находим (\ref{mum}).

Строго говоря, пока мы нашли точное решение только для безмассовой модели Тирринга. Однако из наших рассуждений следует, что теории возмущений по члену $m\bpsi\psi$ для модели Тирринга и теория возмущений по $\cos\beta\phi$ для модели синус"=Гордона совпадают, что дает сильное основание в пользу совпадения теорий\cite{Coleman,Mandelstam}. Отметим, что константа связи $g$ в модели Тирринга не перенормируется, в то время как <<масса>> $m$ не является физической величиной и существенно перенормируется. Это связано с тем, что массовый член $\psi^+_1\psi_2-\psi^+_2\psi_1$ имеет масштабную размерность $\beta^2$ из-за переопределения произведения полей. Измерима константа $\mu$ модели синус"=Гордона, причем
\eq$$
\mu\sim m_{\rm phys}^{2-\beta^2},
\qquad
m\sim m_{\rm phys}(m_{\rm phys}r_0)^{1-\beta^2}
=m_{\rm phys}(m_{\rm phys}r_0)^{g/\pi\over1+g/\pi},
\label{mphys}
$$
где $m_{\rm phys}$ "--- масса физических возбуждений (например, тирринговских фермионов) в теории. Коэффициент пропорциональности между параметром $\mu$ и $m_{\rm phys}^{2-\beta^2}$ известен точно~\cite{AlZamolodchikov}.

Остается еще один вопрос: чему соответствуют тирринговские фермионы в модели синус"=Гордона? Из равенства между топологическим и фермионным токами можно заключить, что они соответствуют кинкам "--- нетривиальным возбуждениям с топологическими числами $q=\pm1$. В то же время кинковые возбуждения можно порождать не только фермионными операторами но и бозонными. Рассмотрим операторы
\eq$$
e^{iJ\varphi}=e^{{iJ\over2\beta}\tilde\phi},
\qquad
J\in\Z,
\label{exp-Jvarphi}
$$
которые входили в корреляционные функции в прошлой лекции. Этот операторы, действуя на состояние, меняют топологическое число: $q\to q+J$. При $J=\pm1$ их можно рассматривать как бозонные операторы рождения"=уничтожения кинков.

\def\refname{\normalsize Литература}
\begin{thebibliography}{9}

\bibitem{Thirring}W.~E.~Thirring, {\it Annals Phys.}\ {\bf 3} (1958) 91

\bibitem{Coleman}S.~Coleman, {\it Phys.\ Rev.}\ {\bf D11} (1975) 2088

\bibitem{Mandelstam}S.~Mandelstam, {\it Phys.\ Rev.}\ {\bf D11} (1975) 3026

\bibitem{AlZamolodchikov}Al.~B.~Zamolodchikov, {\it Int.\ J.\ Mod.\ Phys.}~{\bf A10} (1995) 1125

\end{thebibliography}

\bigbreak
\bigskip
\centerline{\bf Задачи}
\medskip
{\bf1.}~Докажите, что в безмассовой модели Тирринга ток (\ref{MT3current}) сохраняется. Найдите дивергенцию этого тока при ненулевой массе.

{\bf2.}~В модели свободных безмассовых дираковских фермионов ($m=0$, $g=0$) найдите парные корреляционные функции фермионных полей $\langle\psi^+_i(x')\psi_j(x)\rangle$.

{\bf3.}~Получите все классические решения уравнения синус"=Гордона $\phi(t,x)$ с конечной энергией, зависящие только от $x-vt$ с некоторой константой $v$, $|v|<1$. Найдите топологические заряды этих решений.

{\bf4.}~Повторите рассуждения лекции в специальном случае свободного фермиона ($g=0$). Проверьте, что в этом случае $m_{\rm phys}=m=\pi\mu$. Покажите, что бозонизация воспроизводит правильное коммутационное соотношение для свободных безмассовых фермионов.

{\bf5$^*$.}~Покажите, что в модели Тирринга, в согласии с~(\ref{mphys}), в однопетлевом приближении масса перенормируется следующим образом
$$
m_{\rm phys}=m\left(1+{g\over\pi}\log{\Lambda\over m}\right),
$$
где $\Lambda$ "--- параметр обрезания по импульсам.

При выводе диаграммной техники удобно пользоваться представлением для действия модели Тирринга со вспомогательным полем:
$$
S[\psi,\bar\psi,A^\mu]=\int d^Dx\,\left(\bar\psi(i\hat\d-\hat A-m)\psi+{1\over2g}A^\mu A_\mu\right).
$$



\end{document}
