% !TeX spellcheck = ru_RU
% !TeX encoding = UTF-8
\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage{amsmath,amssymb,hyperref}
\usepackage[cm]{fullpage}
\usepackage[T1,T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}

\allowdisplaybreaks

\def\smallskip{\vskip\smallskipamount}
\def\medskip{\vskip\medskipamount}
\def\bigskip{\vskip\bigskipamount}

\let\{=\lbrace
\let\}=\rbrace
\let\[=\lbracket
\let\]=\rbracket

\def\eq#1$$#2$${\begin{equation#1}#2\end{equation#1}}
\long\def\subeq#1{\begin{subequations}#1\end{subequations}}
\def\Split$$#1$${\begin{split}#1\end{split}}
\def\Align#1$$#2$${\begin{align#1}#2\end{align#1}}
\def\AlignAt#1$$#2$${\begin{alignat}{#1}#2\end{alignat}}
\def\Aligned#1{\begin{aligned}{}#1\end{aligned}}
\def\Alignedb#1{\begin{aligned}[b]#1\end{aligned}}
\def\Alignedt#1{\begin{aligned}[t]#1\end{aligned}}
\def\Gather#1$$#2$${\begin{gather#1}#2\end{gather#1}}
\def\Gathered#1{\begin{gathered}{}#1\end{gathered}}
\def\Gatheredb#1{\begin{gathered}[b]#1\end{gathered}}
\def\Gatheredt#1{\begin{gathered}[t]#1\end{gathered}}
\def\Multline#1$$#2$${\begin{multline#1}#2\end{multline#1}}
\def\Matrix#1{\begin{matrix}#1\end{matrix}}
\def\pMatrix#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}
\def\Cases#1{\begin{cases}#1\end{cases}}

\def\d{\partial}
\def\bd{{\bar\d}}
\def\bpsi{{\bar\psi}}
\def\bvarphi{{\bar\varphi}}
\def\Re{\mathop{\rm Re}\nolimits}
\def\Im{\mathop{\rm Im}\nolimits}
\def\const{\mathinner{\rm const}}
%\def\tg{\mathop{\rm tg}\nolimits}
%\def\arctg{\mathop{\rm arctg}\nolimits}
\def\bn{{\boldsymbol n}}
\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\bz{{\bar z}}
\def\bw{{\bar w}}
\def\bw{{\bar w}}
\def\tphi{{\tilde\phi}}
\def\vq{{\vec q}}
\def\vx{{\vec x}}
\def\vy{{\vec y}}
\def\vJ{{\vec J}}
\def\va{{\vec a}}
\def\vb{{\vec b}}

\def\lcolon{\mathopen:}
\def\rcolon{\mathclose:}

\makeatletter
\let\over\@@over
\let\atop\@@atop
\let\above\@@above
\let\overwithdelims\@@overwithdelims
\let\atopwithdelims\@@atopwithdelims
\let\abovewithdelims\@@abovewithdelims
\makeatother

\begin{document}

\centerline{\bf Лекция~4}
\centerline{\bf $O(3)$"=модель: генерация массы инстантонами}
\bigskip
Рассмотрим $O(3)$"=модель:
\eq$$
S[\bn]={1\over2g}\int d^2x\,(\d_\mu\bn)^2,
\qquad
n_1^2+n_2^2+n_3^2=1.
\label{o3model}
$$
Мы будем интересоваться функциями $\bn(x)$ в эвклидовом пространстве"=времени, на которых действие конечно. В квантовой механике эти функции будут иметь конечную амплитуду $e^{-S[\bn]}$. Из конечности действия следует, что решение должно стремиться к константе на бесконечности:
\eq$$
\bn(x)\mathinner{\mathop\to\limits_{x\to\infty}}\bn_0.
\label{bcond}
$$
Таким образом, бесконечность можно рассматривать как точку на двумерной сфере $S^2$. Непрерывная функция $\bn(x)$, удовлетворяющая условию (\ref{bcond}), осуществляет непрерывное отображение
\eq$$
\bn:S^2\to S^2.
$$
Такие отображения классифицируются {\it топологическим числом\/} $q$, таким что $\bn$ осуществляет $|q|$"=листное накрытие сферы сферой. Если $q>0$, отображение сохраняет ориентацию, а если $q<0$, меняет ее. Представителем класса $q$ является, например, отображение:
\eq$$
\theta'=\theta,
\qquad
\varphi'=q\varphi,
$$
где $(\theta,\varphi)$ "--- полярные координаты на сфере.

Выразим топологическое число через поле $\bn$. Будем считать его отображением сферы $S^2$ на сферу $S^{2\prime}$. Зададим на сфере $S^2$ координаты $x=(x^1,x^2)$, а на сфере $S^{2\prime}$ координаты $x'=(x^{\prime1},x^{\prime2})$ и метрику~$g'_{\mu\nu}$. Метрика на сфере $S^2$ несущественна. Пусть
$$
S=\int_{S^{2\prime}}d^2x'\sqrt{g'}
$$
"--- площадь сферы~$S^{2\prime}$. Тогда топологическое число можно выразить через площадь, заметаемую отображением $x'(x)$, когда $x$ заметает всю сферу~$S^2$:
$$
q={1\over S}\int_{x'(S^2)}d^2x'\,\sqrt{g'}={1\over S}\int_{S^2}d^2x{\d(x')\over\d(x)}\sqrt{g'}.
$$
В сферических координатах
$$
q={1\over4\pi}\int^{2\pi}_0d\varphi\int^\pi_0d\theta\,
{\d(\theta',\varphi')\over\d(\theta,\varphi)}\sin\theta'
={1\over4\pi}\int d^2x\,
{\d(\theta',\varphi')\over\d(x^1,x^2)}\sin\theta'.
$$
Чтобы найти якобиан $\d(\theta',\varphi')/\d(x^1,x^2)=(\d\theta'/\d x^1)(\d\varphi'/\d x^2)-(\d\theta'/\d x^2)(\d\varphi'/\d x^1)$, перепишем сферические переменные через $\bn$. Положим
\eq$$
\bn=(\sin\theta'\cos\varphi',\sin\theta'\sin\varphi',\cos\theta').
\label{jacsubst}
$$
Можно проверить прямым вычислением, что
\eq$$
{1\over2}\bn\,(\d_\mu\bn\times\d_\nu\bn)\epsilon^{\mu\nu}
={\d(\theta',\varphi')\over\d(x^1,x^2)}\sin\theta'.
\label{jacobian}
$$
Отсюда получаем
\eq$$
q={1\over8\pi}\int d^2x\,\bn\,(\d_\mu\bn\times\d_\nu\bn)\epsilon^{\mu\nu}.
\label{qint}
$$

Можно вывести (\ref{qint}) еще проще. Вектор $\d_1\bn\,dx^1$ представляет собой маленький вектор перемещения на сфере, отвечающий перемещению на $(dx^1,0)$ в $x$"=пространстве. Аналогично $\d_2\bn\,dx^2$ представляет собой вектор пенемещения на сфере, отвечающий перемещению на $(0,dx^2)$. Оба вектора перпендикулярны вектору~$\bn$. Тогда $|\d_1\bn\times\d_2\bn\,dx^1\,dx^2|=\pm\bn\,(\d_1\bn\times\d_2\bn)\,d^2x$ есть площадь маленького параллелограмма на сфере. Знак <<$+$>> отвечает отображению, сохраняющему ориентацию, а знак <<$-$>> "--- отображению, меняющему ориентацию. Следовательно,
$$
\int d^2x\,\bn\,(\d_1\bn\times\d_2\bn)
={1\over2}\int d^2x\,\bn\,(\d_\mu\bn\times\d_\nu\bn)\epsilon^{\mu\nu}
$$
равно площади на сфере, заметаемой при интегрировании по всему $x$"=пространству, равной~$4\pi q$.

Из тождества
\eq$$
\int d^2x\,(\d_\mu\bn+\epsilon_{\mu\nu}\bn\times\d^\nu\bn)^2
=2\int d^2x\,(\d_\mu\bn)^2
-2\int d^2x\,\bn\,(\d_\mu\bn\times\d_\nu\bn)\epsilon^{\mu\nu}
\label{intid}
$$
получаем
\eq$$
S[\bn]
={4\pi q\over g}
+{1\over4g}\int d^2x\,(\d_\mu\bn+\epsilon_{\mu\nu}\bn\times\d^\nu\bn)^2.
\label{Sqplus}
$$
Заменой $\bn\to-\bn$, $q\to-q$ получим
\eq$$
S[\bn]
=-{4\pi q\over g}
+{1\over4g}\int d^2x\,(\d_\mu\bn-\epsilon_{\mu\nu}\bn\times\d^\nu\bn)^2.
\label{Sqminus}
$$
Отсюда, очевидно, следует, что
\eq$$
S[\bn]\ge{4\pi|q|\over g}.
\label{Sqmin}
$$
Неравенство (\ref{Sqmin}) превращается в равенство на решениях уравнения первого порядка ({\it уравнения самодуальности\/})
\Align$$
\d_\mu\bn
&=-\epsilon_{\mu\nu}\bn\times\d^\nu\bn
\qquad(q\ge0),
\label{sdpos}
\\
\d_\mu\bn
&=\epsilon_{\mu\nu}\bn\times\d^\nu\bn
\hphantom{-}\qquad(q\le0).
\label{sdneg}
$$
Решения этих уравнений минимизируют действие, поэтому составляют подкласс решений уравнений движения. Чтобы явно решить уравнения самодуальности, используем стереографическую проекцию на плоскость. При этом удобно использовать комплексную координату $w$ на этой плоскости:
\eq$$
n_1+in_2={2w\over1+|w|^2},
\qquad
n_3={1-|w|^2\over1+|w|^2}.
\label{stereogr}
$$
Подставляя (\ref{stereogr}) в (\ref{sdpos}), (\ref{sdneg}), получим
\Align$$
\bd w
&=0
\qquad(q\ge0),
\label{sdcpos}
\\
\d w
&=0
\qquad(q\le0).
\label{sdcneg}
$$
Рассмотрим случай $q>0$. Функция $w(z)$ должна быть мероморфной функцией на сфере, то есть единственными особенностями этой функции, включая особенность в бесконечности, могут быть только полюсы. Количество нулей и полюсов такой функции должно быть конечно. Нулям отвечает точка $\bn=(0,0,1)$, а полюсам $\bn=(0,0,-1)$. Самое общее такое решение (\ref{sdcpos}) имеет вид
\eq$$
w(q,\va,\vb,c;z)=c\prod^q_{j=1}{z-a_j\over z-b_j},
\label{solution-pos}
$$
где $c\in\C\setminus\{0\}$, $a_j,b_j\in\C$, $a_i\ne b_j$ ($\forall i,j$). Кроме того, следует включить предельные случаи $a_i\to\infty$, $ca_i=\const$ и $b_i\to\infty$, $c/b_i=\const$, но такие случаи имеют меру нуль. Легко найти топологическое число, соответствующее решению (\ref{solution-pos}). Пусть $w_0\in\C\cup\{\infty\}$. Тогда число решений уравнения $w(z)=w_0$ с учетом кратностей не зависит от $w_0$. Положим $w_0$ равным, например, бесконечности. Тогда очевидно, что число решений этого уравнения равно $q$. Это значит, что $w(z)$ осуществляет $q$"=листное накрытие и топологическое число равно $q$.

Аналогично, в случае топологического числа $q<0$ получаем
\eq$$
w(q,\va,\vb,c;\bz)=c\prod^{-q}_{j=1}{\bz-a_j\over\bz-b_j},
\label{solution-neg}
$$
Решения (\ref{solution-pos}) и (\ref{solution-neg}) называются {\it (много)инстантонными решениями}.

Попробуем использовать инстантонные решения, чтобы приближенно вычислить функциональный интеграл для квантовой $O(3)$"=модели. Мы будем интегрировать по многоинстантонным решениям и малым флуктуациям вблизи них.

Перепишем (\ref{Sqplus}) и (\ref{Sqminus}) через поле $w(z,\bz)$:
\Align$$
S[w,\bw]
&={4\pi q\over g}+{8\over g}\int d^2x\,{\bd w\d\bw\over(1+|w|^2)^2}
\label{Sqwplus}
\\
&=-{4\pi q\over g}+{8\over g}\int d^2x\,{\d w\bd\bw\over(1+|w|^2)^2}.
$$

Рассмотрим случай $q\ge0$. Пусть
\eq$$
S_q[\varphi,\bvarphi]
=S[w(q,\va,\vb,c;z)(1+g^{1/2}\varphi(z,\bz)),
  w^*(q,\va,\vb,c;z)(1+g^{1/2}\bvarphi(z,\bz))].
\label{Sqactiondef}
$$
Легко видеть, что в квадратичном приближении
\eq$$
S_q[\varphi,\bvarphi]
={4\pi q\over g}
+8\int d^2x\,{|w|^2\over(1+|w|^2)^2}\bd\varphi\d\bvarphi.
$$
Соответственно, $q$"=инстантонный вклад в статсумму имеет вид
\eq$$
Z_q
={e^{-4\pi q/g}\over(q!)^2}
\int d\mu(\va,\vb,c)\,
Z[w(q,\va,\vb,c;z)],
\qquad
Z[w]
=\int D\varphi\,D\bvarphi\,\exp\left(
-8\int d^2x\,{|w|^2\over(1+|w|^2)^2}\bd\varphi\d\bvarphi
\right).
\label{Zqdef}
$$
Здесь $d\mu(\va,\vb,c)$ "--- мера интегрирования по $\va$, $\vb$ и $c$, инвариантная относительно сдвигов, растяжений и инверсии. Такую меру легко найти:
\eq$$
d\mu(\va,\vb,c)
=k^q{d^2c\over|c|^2}\prod^q_{j=1}d^2a_j\,d^2b_j\,
\prod_{i<j}|a_i-a_j|^4|b_i-b_j|^4\prod_{i,j}|a_i-b_j|^{-4}
\label{instmeasure}
$$
с некоторой константой~$k$.

Очевидно, интеграл $Z[w]$ не зависит от константы связи $g$. Из-за вклада ультрафиолетового и инфракрасного обрезаний этот интеграл не будет буквально инвариантен относительно конформных преобразований параметров $a_j$, $b_j$. Он будет преобразовываться по правилу:
$$
Z[w]\to Z[w']\prod^q_{j=1}\left|da'_j\over da_j\right|^{2\alpha}
\left|db'_j\over db_j\right|^{2\alpha}
$$
с некоторым $\alpha$. Отсюда следует, что
$$
Z[w]\sim f(c)\prod_{i<j}|a_i-a_j|^{-4\alpha}|b_i-b_j|^{-4\alpha}
\prod_{i,j}|a_i-b_j|^{4\alpha}.
$$
Некоторыми достаточно сложными вычислениями можно показать, что $\alpha=1/2$ и $f(c)=|c|^2/(1+|c|^2)^2$, так что интеграл по $c$ дает просто конечный множитель. Если это принять, то получится~\cite{BP}
\eq$$
Z_q\sim{\lambda^q\over(q!)^2}\int\prod^q_{j=1}d^2a_j\,d^2b_j\,
\prod_{i<j}|a_i-a_j|^2|b_i-b_j|^2\prod_{i,j}|a_i-b_j|^{-2},
\label{Zqfin}
$$
где $\lambda\sim e^{-4\pi/g}$.

Легко проверить, что это плазма, описываемая моделью синус"=Гордона с $\beta^2=1$ или моделью Тирринга с $g=0$, то есть свободным массивным фермионом. Это значит, что инстантоны в модели генерируют массу. Подробные вычисления выполнены в работе~\cite{FFS}.

Дефект приведенных рассуждений состоит в том, что мы учитывали только инстантонные решения. Мы можем, конечно, учесть и антиинстантонные решения. Однако реалистичное описание модели может быть только при использовании флуктуаций вблизи функций, содержащих как инстантоны, так и антиинстантоны. К сожалению, такое описание пока отсутствует.

Имеется одно важное следствие существования топологического числа (\ref{qint}). Дело в том, что действие $O(3)$"=модели можно модифицировать:
\eq$$
S_\theta(\bn)=S(\bn)+i\theta q
={1\over2g}\int d^2x\,(\d_\mu\bn)^2
+i{\theta\over8\pi}
\int d^2x\,\bn(\d_\mu\bn\times\d_\nu\bn)\epsilon^{\mu\nu}.
\label{thetaaction}
$$
Последний член называют {\it $\theta$"=членом}. Физические свойства модели существенно зависят от $\theta$, так как статсумма (и производящий функционал) записываются в виде
$$
Z=\sum^\infty_{q=-\infty}e^{i\theta q}Z_q.
$$
В частности, известно, что при $\theta=\pi$ $O(3)$"=модель безмассова, но не масштабно"=инвариантна.

\def\refname{\normalsize Литература}
\begin{thebibliography}{9}

\bibitem{BP}А.~А.~Белавин, А.~М.~Поляков, {\it Метастабильные состояния двумерного изотропного ферромагнетика}, Письма в ЖЭТФ 22 (1975) 503--506

\bibitem{FFS}{\selectlanguage{english}V.~A.~Fateev, I.~V.~Frolov, A.~S.~Shvarts, {\it Quantum Fluctuations of Instantons in the Nonlinear Sigma Model}, Nucl.\ Phys.\ B154 (1979) 1--20}

\end{thebibliography}

\noindent[Обе статьи имеются в сборнике «Инстантоны, струны и конформная теория поля», под ред.\ А.~А.~Белавина, 2002].

\bigbreak
\bigskip
\centerline{\bf Задачи}
\medskip
{\bf1.}~С помощью подстановки (\ref{jacsubst}) получите (\ref{jacobian}).

{\bf2.}~Выведите тождество (\ref{intid}).

{\bf3.}~Покажите эквивалентность уравнений (\ref{sdcpos}), (\ref{sdcneg}) уравнениям (\ref{sdpos}), (\ref{sdneg}).

{\bf4.}~Выразите топологический заряд $q$ через функцию $w(z,\bz)$ в виде двумерного интеграла.

{\bf5$^*$.}~Пусть $\bn(x)=(n_1(x),\ldots,n_N(x))$ "--- \emph{комплексные} скалярные поля на плоскости, удовлетворяющие условию
$$
|\bn(x)|^2\equiv\sum^N_{i=1}|n_i(x)|^2=1,
$$
а $A_\mu(x)$ "--- вещественное (ко)векторное поле. Рассмотрим действие
$$
S[\bn,A]={1\over2g}\int d^2x\,\overline{D_\mu\bn}\cdot D_\mu\bn,
\qquad
D_\mu=\d_\mu+A_\mu.
$$
Покажите, что величина
$$
q={1\over2\pi}\int d^2x\,\epsilon_{\mu\nu}\,\d_\mu A_\nu
$$
является целым топологическим зарядом, причем в каждом топологическом секторе
$$
S\ge{\pi\over g}|q|.
$$
Найдите уравнения самодуальности.




\end{document}
