% !TeX spellcheck = ru_RU
% !TeX encoding = UTF-8
\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage{amsmath,amssymb,hyperref}
\usepackage[cm]{fullpage}
\usepackage[T1,T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}

\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{arrows,shapes}
\usetikzlibrary{arrows.meta}
\usetikzlibrary{decorations.markings}
\usetikzlibrary{intersections}
\tikzset{>={Stealth[length=2mm]}}
\tikzstyle{every picture} += [remember picture]
\tikzstyle{na} = [baseline=-.5ex]

\allowdisplaybreaks

\def\smallskip{\vskip\smallskipamount}
\def\medskip{\vskip\medskipamount}
\def\bigskip{\vskip\bigskipamount}

\let\{=\lbrace
\let\}=\rbrace
\let\[=\lbracket
\let\]=\rbracket

\long\def\items#1{\begin{itemize}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{itemize}}
\long\def\enum#1{\begin{enumerate}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{enumerate}}

\def\eq#1$$#2$${\begin{equation#1}#2\end{equation#1}}
\long\def\subeq#1{\begin{subequations}#1\end{subequations}}
\def\Split$$#1$${\begin{split}#1\end{split}}
\def\Align#1$$#2$${\begin{align#1}#2\end{align#1}}
\def\AlignAt#1$$#2$${\begin{alignat}{#1}#2\end{alignat}}
\def\Aligned#1{\begin{aligned}{}#1\end{aligned}}
\def\Alignedb#1{\begin{aligned}[b]#1\end{aligned}}
\def\Alignedt#1{\begin{aligned}[t]#1\end{aligned}}
\def\Gather#1$$#2$${\begin{gather#1}#2\end{gather#1}}
\def\Gathered#1{\begin{gathered}{}#1\end{gathered}}
\def\Gatheredb#1{\begin{gathered}[b]#1\end{gathered}}
\def\Gatheredt#1{\begin{gathered}[t]#1\end{gathered}}
\def\Multline#1$$#2$${\begin{multline#1}#2\end{multline#1}}
\def\Matrix#1{\begin{matrix}#1\end{matrix}}
\def\pMatrix#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}
\def\Cases#1{\begin{cases}#1\end{cases}}

\def\d{\partial}
\def\bd{{\bar\d}}
\def\bpsi{{\bar\psi}}
\def\bvarphi{{\bar\varphi}}
\def\Re{\mathop{\rm Re}\nolimits}
\def\Im{\mathop{\rm Im}\nolimits}
%\def\sh{\mathop{\rm sh}\nolimits}
%\def\ch{\mathop{\rm ch}\nolimits}
%\def\tg{\mathop{\rm tg}\nolimits}
\def\tr{\mathop{\rm tr}\nolimits}
%\def\arctg{\mathop{\rm arctg}\nolimits}
\def\bn{{\boldsymbol n}}
\def\bJ{{\boldsymbol J}}
\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\bz{{\bar z}}
\def\bw{{\bar w}}
\def\bw{{\bar w}}
\def\tphi{{\tilde\phi}}
\def\vq{{\vec q}}
\def\vx{{\vec x}}
\def\vy{{\vec y}}
\def\vJ{{\vec J}}
\def\va{{\vec a}}
\def\vb{{\vec b}}
\def\eff{{\rm eff}}
\def\const{{\rm \,const\,}}

\def\lcolon{\mathopen:}
\def\rcolon{\mathclose:}

%%%%%%% For figures: %%%%%%%
\def\ar#1 #2, #3 #4 {\arrow <0.3truecm> [0.1,0.3] from #1 #2 to #3 #4 }
\catcode`!=11
\def\ln#1 #2, #3 #4 {\!start(#1,#2)\!ljoin(#3,#4)}
\catcode`!=12
\def\rl#1 #2, #3 #4 {\putrule from #1 #2 to #3 #4 }
\def\trl#1 #2, #3 #4 {\linethickness .8pt
	\putrule from #1 #2 to #3 #4 \linethickness .4pt}
\def\point#1 #2 {\put{\hbox{\kern -1pt .}} [Bl] at #1 #2 }
\def\bfpoint#1 #2 {%
\put{\hbox{\kern -2pt \raise -2.3pt%
\hbox{$\textstyle\bullet$}}} [Bl] at #1 #2 }
\def\figcap#1#2\par{\medskip{\narrower\eightpoint\noindent
	Fig.~#1. \ignorespaces#2\par}\medskip}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\makeatletter
\let\over\@@over
\let\atop\@@atop
\let\above\@@above
\let\overwithdelims\@@overwithdelims
\let\atopwithdelims\@@atopwithdelims
\let\abovewithdelims\@@abovewithdelims
\makeatother

\begin{document}

\centerline{\bf Лекция~5}
\centerline{\bf $O(N)$"=модель: $1/N$"=разложение}
\bigskip

Рассмотрим общую $O(N)$"=модель в пространстве Минковского:
\eq$$
S[\bn]={1\over2g}\int d^2x\,(\d_\mu\bn)^2,
\qquad
\bn^2=1.
\label{ONmodel}
$$
Удобно ввести вспомогательное поле $\omega(x)$ и написать действие в виде
\eq$$
S[\bn,\omega]={1\over2g}\int d^2x\,((\d_\mu\bn)^2-\omega(\bn^2-1)),
\label{ONmodelOmega}
$$
где вектор $\bn$ теперь пробегает любые значения в $\R^N$. Рассмотрим функциональный интеграл
\eq$$
Z[J]=\int D\omega\,D\bn\,e^{iS[\bn,\omega]+ig^{-1/2}\int d^2x\,\bJ\bn}.
$$
Интеграл по $\bn$ "--- гауссов. Возьмем его. Заметим, что
$$
iS[\bn,\omega]+ig^{-1/2}\int d^2x\,\bJ\bn=-{1\over2}\left({n_i\over g^{1/2}},K(\omega)\delta_{ij}{n_j\over g^{1/2}}\right)
+\left(iJ_i,{n_i\over g^{1/2}}\right)+i\int d^2x\,{\omega\over2g},
$$
где
$$
K(\omega)=i(\d^2_\mu+\omega).
$$
Отсюда получаем
$$
Z[J]=\int D\omega\,
(\det(\d^2_\mu+\omega))^{-N/2}\exp\left(i\int d^2x\,{\omega\over2g}-{1\over2}\int d^2x\,d^2x'\,J_i(x)G(x,x'|\omega)J_i(x')\right),
$$
где $G(x,x'|\omega)$ "--- решение уравнения
\eq$$
i(\d^2_\mu+\omega(x))G(x,x'|\omega)=\delta(x-x').
\label{Gdef}
$$
По"=другому производящий функционал можно переписать в виде
\Gather$$
Z[J]=\int D\omega\,\exp\left(iS_\eff[\omega]-{1\over2}\int d^2x\,d^2x'\,J_i(x)G(x,x'|\omega)J_i(x')\right),
\label{ZJomega}
\\
S_\eff[\omega]=i{N\over2}\tr\log(\d^2_\mu+\omega)+\int d^2x\,{\omega\over2g}.
\label{Seff}
$$
Найдем точку перевала этого интеграла при $N\to\infty$. Предположим, что точке перевала отвечает
$$
\omega(x)=\const=\omega_0.
$$
Тогда
\Align$$
\tr\log(\d^2_\mu+\omega_0)
&=V\int{d^2k\over(2\pi)^2}\log(\omega_0-k^2-i0)
\nonumber
\\
&=iV\int_E {d^2k\over(2\pi)^2}\log(\omega_0+k^2)
\nonumber
\\
&={iV\over2\pi}\int^\Lambda_0dk\,k\log(\omega_0+k^2)
={iV\over4\pi}\int^{\omega_0+\Lambda^2}_{\omega_0}du\,\log u
={iV\over4\pi}\left[u\log{u\over e}\right]^{\omega_0+\Lambda^2}_{\omega_0}
\nonumber
\\
&={iV\over4\pi}\left((\omega_0+\Lambda^2)\log{\omega_0+\Lambda^2\over e}-\omega_0\log{\omega_0\over e}\right)
={iV\over4\pi}\left(\omega_0\log{\Lambda^2\over\omega_0}+\Lambda^2\log{\omega_0+\Lambda^2\over e}\right).
\label{trlogK}
$$
где $\Lambda$ "--- параметр ультрафиолетового обрезания. Под знаком логарифма мы пренебрегли $\omega_0$ в выражении~$\omega_0+\Lambda^2$ в первом слагаемом. Находим
$$
0={dS[\omega_0]\over d\omega_0}=V\left(-{N\over8\pi}\log{\Lambda^2\over\omega_0}+{1\over2g}\right).
$$
Отсюда получаем
\eq$$
\omega_0=m^2=\Lambda^2\exp\left(-{4\pi\over Ng}\right).
\label{omega0}
$$
Мы видим, что в пределе $\Lambda\to\infty$ следует устремить к нулю $g$ таким образом, чтобы величина $\omega_0=m^2$ оставалась конечной. Для бета"=функции при больших $N$ находим
\eq$$
{dg\over d\log\Lambda}=\beta(g)=-{N\over2\pi}g^2.
\label{beta}
$$
Важно, что в теории возникает параметр $m$ размерности массы. Мы сейчас увидим, что это действительно масса. В теории имеет место {\it динамическая генерация массы}. Ни на каких масштабах корреляционные функции не будут спадать степенным образом, и наличие размерного параметра будет заметно в корреляционных функциях на любых масштабах.

Давайте теперь разовьем теорию возмущений по параметру $1/N$. Представим $\omega(x)$ в виде
\eq$$
\omega(x)=m^2+(2/N)^{1/2}\rho(x).
\label{omega-expansion}
$$
и разложим эффективное действие по степеням $N^{-1/2}\rho(x)$:
\Align$$
S_\eff[\omega]
&=\const
+i{N\over2}\tr\log\left(1+(2/N)^{1/2}\rho(\d^2_\mu+m^2)^{-1}\right)
+{1\over(2N)^{1/2}g}\tr\rho
\nonumber
\\
&=\const+i{N\over2}\tr\log(1+i(2/N)^{1/2}\rho G)+{1\over(2N)^{1/2}g}\tr\rho
\nonumber
\\
&=\const+\left({1\over(2N)^{1/2}g}\tr\rho-\left(N\over2\right)^{1/2}\tr\rho G\right)
-i{N\over2}\sum^\infty_{n=2}{(-i)^n(2/N)^{n/2}\over n}\tr(\rho G)^n.
\nonumber
$$
Здесь $G$ "--- оператор с ядром $G(x,x')=G(x,x'|m^2)$.

Скобка в последнем выражении равна нулю по предположению, что $\omega=m^2$ является минимумом. Давайте проверим это предположение. Имеем
$$
\Aligned{
\tr\rho
&=\int d^2x\,\rho(x),
\\
\tr\rho G
&=\int d^2x\,\rho(x)G(x,x)=G(0,0)\int d^2x\,\rho(x)=G(0,0)\tr\rho
\\
&=V\int{d^2k\over(2\pi)^2}{i\over k^2-m^2+i0}\,\tr\rho
={V\over4\pi}\log{\Lambda^2\over m^2}\,\tr\rho=(gN)^{-1}\tr\rho.
}
$$
Мы видим, что скобка в самом деле обращается в ноль. Исследуя следующий вклад ($n=2$), можно убедиться, что точка $\omega=m^2$ является локальным минимумом. Пока нет способа доказать строго, что этот минимум является абсолютным.

Окончательно имеем
\eq$$
S_\eff[\omega]=\const-i{N\over2}\sum^\infty_{n=2}{(-i)^n(2/N)^{n/2}\over n}
\int d^{2n}x\,\rho(x_1)G(x_1,x_2)\ldots\rho(x_n)G(x_n,x_1).
\label{Seff-decomp}
$$
Разложение начинается с квадратичного члена вида
$$
{i\over2}\int d^2x_1\,d^2x_2\,\rho(x_1)G(x_1,x_2)\rho(x_2)G(x_2,x_1).
$$
Поэтому пропагатор $D(x_1,x_2)$ поля $\rho(x)$ есть ядро оператора, обратного к оператору с ядром
$$
D^{-1}(x_1,x_2)=G(x_1,x_2)G(x_2,x_1).
$$
Теперь ясно, для чего понадобился множитель $(2/N)^{1/2}$ перед $\rho$. Он позволил избавиться от коэффициента $2/N$ в пропагаторе~$D(x_1,x_2)$.

Переходя к импульсному представлению, получим
\eq$$
D(k)=
\quad
\tikz[baseline=-2pt]{
  \draw[dashed] (-1,0) -- node[anchor=south] {$k$} (1,0);
}
\quad
=-\left(
\int{d^2q\over(2\pi)^2}\,
{1\over(q^2-m^2+i0)((q+k)^2-m^2+i0)}
\right)^{-1}.
\label{Dk}
$$

Кроме того, оператор $G(x,x'|\omega)$, входящий в (\ref{ZJomega}), тоже следует разложить по $\rho(x)$:
\Align$$
G[\omega]
&={1\over G^{-1}+i(2/N)^{1/2}\rho}=\sum^\infty_{n=0}(-i)^n{\textstyle\left(2\over N\right)^{n/2}}G(\rho G)^n,
\nonumber
\\
G(x_1,x_2|\omega)
&=\sum^\infty_{n=0}(-i)^n\left(2\over N\right)^{n/2}\int d^{2n}y\,G(x_1,y_1)\rho(y_1)G(y_1,y_2)\ldots\rho(y_n)G(y_n,x_2).
\nonumber
$$

Изобразим $G(x_1,x_2)$ сплошной линией:
\eq$$
G_{ij}(p)=
\quad
\tikz[baseline=-2pt]{
  \draw[-] (-1,0) node[anchor=east] {$i$} -- node[anchor=south] {$p$} (1,0) node[anchor=west] {$j$};
}
\quad
=G(p)\delta_{ij}={i\delta_{ij}\over p^2-m^2+i0}.
\label{Gp}
$$

Если еще ввести вершину
\eq$$
\tikz[baseline=-2pt] {
  \draw[-] (-.5,0) node[anchor=south] {$i$} -- (.5,0) node[anchor=south] {$j$};
  \draw[dashed] (0,0) -- (0,1);
}
\quad
=-i\left(2\over N\right)^{1/2}\delta_{ij},
\label{vertex}
$$
можно сформулировать следующие правила диаграммной техники:

\enum{

\item Диаграмма состоит из пунктирных линий (\ref{Dk}), сплошных линий (\ref{Gp}) и вершин (\ref{vertex}).

\item Внешними линиями диаграммы могут быть только сплошные линии, отвечающие массивным частицам $\varphi_i=g^{-1/2}n_i$.

\item\label{loops} Замкнутые петли сплошных линий должны содержать не менее трех вершин.

}

Мы видим, что в такой формулировке диаграммная техника вообще не содержит константы связи~$g$. Порядок диаграммы по $1/N$ равен ${1\over2}V-L$, где $V$ "--- число вершин, а $L$ "--- число петель из сплошных линий. Из правила~\ref{loops} следует, что порядок диаграммы всегда положителен.

Связь между константой связи $g$, массой $m$ и параметром обрезания $\Lambda$ можно уточнять с помощью соотношения
$$
\left\langle\sum^N_{i=1}\varphi^2_i(x)\right\rangle={1\over g}.
$$
Например в порядке $1/N$ можно получить
\eq$$
m^2=\Lambda^2\exp\left(-{4\pi\over(N-2)g'}\right),
\qquad
{1\over g'}={1\over g}+{\Lambda^2\over4\pi m^2\log(\Lambda^2/m^2)}.
\label{omega0corr}
$$
Добавка к обратной константе связи представляет собой вклад специфической для сигма"=модели квадратичной расходимости. Расходимость становится логарифмической, если мы добавляем в действие (\ref{ONmodelOmega}) член вида $\alpha\int d^2x\,\omega^2$, «размывающий» дельта"=функцию в функциональном интеграле.

Давайте теперь попробуем вычислить $S$"=матрицу $O(N)$"=модели. Разберемся сначала с кинематикой. У нас имеется $N$ частиц массы $m$. Пусть две такие частицы с импульсами $p_1$ и $p_2$ рассеиваются друг на друге, образуя две новые частицы той же массы с импульсами $p'_1$ и $p'_2$. Импульсы $p_a$ удобно параметризовать быстротами $\theta_a$:
$$
p_a=m\sh\theta_a,
\qquad
p'_a=m\sh\theta'_a.
$$
Тогда
$$
\Aligned{
m\ch\theta_1+m\ch\theta_2
&=m\ch\theta'_1+m\ch\theta'_2,
\\
m\sh\theta_1+m\sh\theta_2
&=m\sh\theta'_1+m\sh\theta'_2.
}
$$
Эти уравнения имеют ровно два решения: $\theta'_1=\theta_1$, $\theta'_2=\theta_2$ и $\theta'_1=\theta_2$, $\theta'_2=\theta_1$. Матрицу рассеяния двух частиц в две можно представить в виде
$$
S^{i'j'}_{ij}(\theta_1,\theta_2;\theta'_1,\theta'_2)
=(2\pi)^2\delta(p'_1-p_1)\delta(p'_2-p_2)S^{i'j'}_{ij}(\theta_1-\theta_2)
+(2\pi)^2\delta(p'_2-p_1)\delta(p'_1-p_2)S^{j'i'}_{ij}(\theta_1-\theta_2).
$$
Чтобы правильно нормировать, нужно преобразовать дельта"=функции к стандартному виду дельта"=функции по пространственно"=временным импульсам:
\Multline*$$
S^{i'j'}_{ij}(\theta_1,\theta_2;\theta'_1,\theta'_2)
=(2\pi)^2\delta^{(2)}(P'-P){\sh(\theta_1-\theta_2)\over\ch\theta_1\ch\theta_2}S^{i'j'}_{ij}(\theta_1-\theta_2)
\\
=(2\pi)^2\delta^{(2)}(P'-P){4m^2\sh(\theta_1-\theta_2)\over4\varepsilon_1\varepsilon_2}S^{i'j'}_{ij}(\theta_1-\theta_2),
$$
где $P^\mu=p_1^\mu+p_2^\mu$, $P^{\prime\mu}=p_1^{\prime\mu}+p_2^{\prime\mu}$. Следовательно, в стандартных обозначениях
$$
S^{i'j'}_{ij}(\theta_1-\theta_2)=\delta^{i'}_i\delta^{j'}_j+{M^{i'j'}_{ij}(\theta_1-\theta_2)\over4m^2\sh(\theta_1-\theta_2)},
$$
где амплитуды $M_{ij}$ вычисляются по правилам Фейнмана.

Условие совместимости с $O(N)$"=симметрией дает
\eq$$
S^{i'j'}_{ij}(\theta)=\delta_{i'j'}\delta_{ij}S_1(\theta)+\delta_{i'i}\delta_{j'j}S_2(\theta)+\delta_{j'i}\delta_{i'j}S_3(\theta).
\label{S1S2S3}
$$
В порядке $1/N$ матричные элементы даются следующими диаграммами:
\Align$$
4m^2\sh\theta\,S_1(\theta)
&=\quad
\tikz[baseline=-2pt]{
\draw[-] (-1.0,0.5) node[anchor=east] {$p_1$} -- (-0.5,0.0);
\draw[-] (-1.0,-0.5) node[anchor=east] {$p_2$} -- (-0.5,0.0);
\draw[-] (0.5,0.0) -- (1.0,0.5) node[anchor=west] {$p_1$};
\draw[-] (0.5,0.0) -- (1.0,-0.5) node[anchor=west] {$p_2$};
\draw[dashed] (-0.5,0.0) -- (0.5,0.0);
}
\quad,
\nonumber
\\
\nonumber
\\
4m^2\sh\theta\,(S_2(\theta)-1)
&=\quad
\tikz[baseline=-2pt] {
  \draw[-] (-1,.5) node[anchor=east] {$p_1$} -- (1,.5) node[anchor=west] {$p_1$};
  \draw[-] (-1,-.5) node[anchor=east] {$p_2$} -- (1,-.5) node[anchor=west] {$p_2$};
  \draw[dashed] (0,-.5) -- (0,.5);
}
\quad,
\nonumber
\\
\nonumber
\\
4m^2\sh\theta\,S_3(\theta)
&=
\quad
\tikz[baseline=-2pt] {
  \draw[-] (-1,.5) node[anchor=east] {$p_1$} -- (1,.5) node[anchor=west] {$p_2$};
  \draw[-] (-1,-.5) node[anchor=east] {$p_2$} -- (1,-.5) node[anchor=west] {$p_1$};
  \draw[dashed] (0,-.5) -- (0,.5);
}
\quad.
\nonumber
$$
Для вычисления этих диаграмм нам понадобится явная формула для $D(k)$. Она имеет вид
\eq$$
D^{-1}(k)={i\over2\pi k^2}
{1\over\sqrt{1-{4m^2\over k^2}}}
\log{\sqrt{1-{4m^2\over k^2}}+1\over\sqrt{1-{4m^2\over k^2}}-1}.
\label{Dkexplicit}
$$
Эта громоздкая формула становится вполне элементарной в параметризации
\eq$$
k^2=-4m^2\sh^2{\theta\over2}.
\label{param}
$$
Отметим, что угол $\theta$ в этой параметризации совпадает с $\theta_1-\theta_2$ в случае диаграммы для $S_3$. Имеем
\eq$$
D(k)=4\pi im^2\>{\sh\theta\over\theta}.
\label{Dktheta}
$$
Подставляя эти выражения в диаграммы, получаем
\eq$$
\Aligned{
S_1(\theta)
&=-{2\pi i\over N(i\pi-\theta)},
\\
S_2(\theta)
&=1-{2\pi i\over N\sh\theta},
\\
S_3(\theta)
&=-{2\pi i\over N\theta}.
}\label{Siexplicit}
$$

\def\refname{\normalsize Литература}
\begin{thebibliography}{9}

\bibitem{ZZ}A.~B.~Zamolodchikov, Al.~B.~Zamolodchikov,
{\it Annals Phys.}\ {\bf 120} (1979) 253.

\bibitem{Polyakov}А.~М.~Поляков, Калибровочные поля и струны.

\bibitem{Tsvelik}А.~М.~Цвелик, Квантовая теория поля в физике конденсированного состояния.

\end{thebibliography}

\bigbreak
\bigskip
\centerline{\bf Задачи}
\medskip
{\bf1.}~Получите формулы~(\ref{Dkexplicit}) и~(\ref{Dktheta}).

{\bf2.}~Модель Гросса"--~Невё для $N$"=компонентного майорановского (т.~е.\ вещественного в представлении с чисто мнимыми $\gamma$"=матрицами) ферми"=поля определяется действием
$$
S[\psi]
=\int d^2x\,\left(
{i\over2}\bpsi_i\gamma^\mu\d_\mu\psi_i
+{g\over8}(\bpsi_i\psi_i)^2
\right)
$$
(по повторяющимся индексам предполагается суммирование; в представлении с чисто мнимыми гамма"=матрицами $\bpsi=\psi^T\gamma^0$).

Покажите, что эта модель эквивалентна модели со вспомогательным бозонным полем
$$
S[\psi,\omega]
=\int d^2x\,\left(
{1\over2}\bpsi_i(i\gamma^\mu\d_\mu-\omega(x))\psi_i-{\omega^2(x)\over2g}
\right).
$$
Покажите, что в модели имеет место динамическая генерация массы
$$
\omega_0=m=\Lambda\exp\left(-{2\pi\over Ng}\right).
$$

{\bf3.}~Постройте диаграммную технику для $1/N$"=разложения в модели Гросса"--~Невё. Найдите $S$"=матрицу в древесном приближении.

{\bf4.}~Рассмотрите модель с ослабленным условием на $\bn^2$:
\eq$$
S[\bn]={1\over2g}\int d^2x\,\left((\d_\mu\bn)^2-{2\mu^2\over g}(\bn^2-1)^2\right),
\label{ON-n4-model}
$$
где $\mu$ "--- постоянная размерности массы. Найдите массу возбуждений в модели~(\ref{ON-n4-model}) в главном порядке. Покажите, что в пределе $\mu\to\infty$ модель переходит в сигма"=модель~(\ref{ONmodel}).

{\bf5$^*$.}~Найдите массу возбуждений в модели из задачи~5 к лекции~4 в ведущем порядке по $1/N$.

\end{document}
