% !TeX spellcheck = ru_RU
% !TeX encoding = UTF-8
\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage{amsmath,amssymb,tikz,hyperref}
\usepackage[cm]{fullpage}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1,T2A]{fontenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{misccorr}

\allowdisplaybreaks

\def\smallskip{\vskip\smallskipamount}
\def\medskip{\vskip\medskipamount}
\def\bigskip{\vskip\bigskipamount}

\let\{=\lbrace
\let\}=\rbrace
\let\[=\lbracket
\let\]=\rbracket

\long\def\items#1{\begin{itemize}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{itemize}}
\long\def\enum#1{\begin{enumerate}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{enumerate}}

%%% tikz %%%
\usetikzlibrary{arrows.meta,shapes.misc,decorations.markings}
\usetikzlibrary{calc}
\tikzset{>={Stealth[length=2mm]}}
\tikzset{cross/.style={cross out, draw=black, fill=none, minimum size=2*(#1-\pgflinewidth), inner sep=0pt, outer sep=0pt, sloped}, cross/.default={2pt}}
\def\vwave(#1,#2);{\draw[-] ([yshift=.2cm]#1,#2) to[out=-120,in=120] (#1,#2) to[out=-60,in=60] ([yshift=-.2cm]#1,#2);}
%%%%%%%%%%%%%%%%%

\def\eq#1$$#2$${\begin{equation#1}#2\end{equation#1}}
\long\def\subeq#1{\begin{subequations}#1\end{subequations}}
\def\Split$$#1$${\begin{split}#1\end{split}}
\def\Align#1$$#2$${\begin{align#1}#2\end{align#1}}
\def\AlignAt#1$$#2$${\begin{alignat}{#1}#2\end{alignat}}
\def\Aligned#1{\begin{aligned}{}#1\end{aligned}}
\def\Alignedb#1{\begin{aligned}[b]#1\end{aligned}}
\def\Alignedt#1{\begin{aligned}[t]#1\end{aligned}}
\def\Gather#1$$#2$${\begin{gather#1}#2\end{gather#1}}
\def\Gathered#1{\begin{gathered}{}#1\end{gathered}}
\def\Gatheredb#1{\begin{gathered}[b]#1\end{gathered}}
\def\Gatheredt#1{\begin{gathered}[t]#1\end{gathered}}
\def\Multline#1$$#2$${\begin{multline#1}#2\end{multline#1}}
\def\Matrix#1{\begin{matrix}#1\end{matrix}}
\def\pMatrix#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}
\def\Cases#1{\begin{cases}#1\end{cases}}

\def\d{\partial}
\def\bd{{\bar\d}}
\def\bpsi{{\bar\psi}}
\def\bvarphi{{\bar\varphi}}
\def\Re{\mathop{\rm Re}\nolimits}
\def\Im{\mathop{\rm Im}\nolimits}
%\def\sh{\mathop{\rm sh}\nolimits}
%\def\ch{\mathop{\rm ch}\nolimits}
%\def\tg{\mathop{\rm tg}\nolimits}
\def\tr{\mathop{\rm tr}\nolimits}
%\def\arctg{\mathop{\rm arctg}\nolimits}
\def\bn{{\boldsymbol n}}
\def\bJ{{\boldsymbol J}}
\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\bz{{\bar z}}
\def\bw{{\bar w}}
\def\bw{{\bar w}}
\def\tphi{{\tilde\phi}}
\def\vq{{\vec q}}
\def\vx{{\vec x}}
\def\vy{{\vec y}}
\def\vJ{{\vec J}}
\def\va{{\vec a}}
\def\vb{{\vec b}}
\def\eff{{\rm eff}}
\def\const{\mathinner{\rm const}}
\def\id{\mathinner{\rm id}}

\def\lcolon{\mathopen:}
\def\rcolon{\mathclose:}

%%%%%%% For figures: %%%%%%%
\def\ar#1 #2, #3 #4 {\arrow <0.3truecm> [0.1,0.3] from #1 #2 to #3 #4 }
\catcode`!=11
\def\ln#1 #2, #3 #4 {\!start(#1,#2)\!ljoin(#3,#4)}
\catcode`!=12
\def\rl#1 #2, #3 #4 {\putrule from #1 #2 to #3 #4 }
\def\trl#1 #2, #3 #4 {\linethickness .8pt
	\putrule from #1 #2 to #3 #4 \linethickness .4pt}
\def\point#1 #2 {\put{\hbox{\kern -1pt .}} [Bl] at #1 #2 }
\def\bfpoint#1 #2 {%
\put{\hbox{\kern -2pt \raise -2.3pt%
\hbox{$\textstyle\bullet$}}} [Bl] at #1 #2 }
\def\figcap#1#2\par{\medskip{\narrower\eightpoint\noindent
	Fig.~#1. \ignorespaces#2\par}\medskip}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\makeatletter
\let\over\@@over
\let\atop\@@atop
\let\above\@@above
\let\overwithdelims\@@overwithdelims
\let\atopwithdelims\@@atopwithdelims
\let\abovewithdelims\@@abovewithdelims
\makeatother

\begin{document}

\centerline{\bf Лекция~6}
\centerline{\bf $O(N)$"=модель: интегрируемость и точная $S$"=матрица}
\bigskip
Рассмотрим $O(N)$"=модель с действием
$$
S[\bn,\omega]
={1\over2g}\int d^2x\,((\d_\mu\bn)^2-\omega(\bn^2-1))
$$
и классическими уравнениями движения:
$$
\d^\mu\d_\mu\bn+\omega\bn=0,
\qquad
$$
В координатах светового конуса $z$, $\bz$ имеем для действия
\eq$$
S[\bn,\omega]
=-{1\over g}\int dz\,d\bz\,
\left(\d\bn\bd\bn+{\omega\over4}(\bn^2-1)\right),
\label{ONaction}
$$
а для уравнений движения
\eq$$
4\d\bd\bn=\omega\bn,
\qquad
\bn^2=1.
\label{ONeqmotion}
$$
Действие (\ref{ONaction}) инвариантно относительно {\it псевдоконформных\/} преобразований
\eq$$
\bn(z,\bz)\to\bn(f_1(z),f_2(\bz)),
\qquad
\omega(z,\bz)\to f'_1(z)f'_2(\bz)\omega(f_1(z),f_2(\bz)).
\label{pseudoconformal}
$$
Эти преобразования включают, в частности, трансляции
$$
f_1(z)=z+c,
\qquad
f_2(\bz)=\bz+\bar c,
$$
масштабное преобразование и преобразование Лоренца, для которых
$$
f_1(z)=\lambda z,
\qquad
f_2(\bz)=\bar\lambda\bz,
$$
и преобразование инверсии
$$
f_1(z)=1/z,
\qquad
f_2(\bz)=1/\bz.
$$
В пространстве Минковского параметры с черточкой и без вещественны и независимы, тогда как в эвклидовом пространстве они комплексные и комплексно"=сопряженные друг другу.

При переходе к эвклидову пространству трансляции, масштабное преобразование и инверсия образуют глобальную конформную группу, состоящую из конформных преобразований, взаимнооднозначных на сфере $\C\cup\{\infty\}$. Локальные конформные преобразования, то есть преобразования, взаимнооднозначные только на каких-то областях, даются в этом случае произвольными аналитическими функциями $f(z)\equiv f_1(z)=\overline{f_2(\bz)}$.

Ну а пока продолжим рассмотрение в пространстве Минковского. Тензор энергии"=импульса имеет вид
$$
T_{zz}={1\over g}(\d\bn)^2,
\qquad
T_{\bz\bz}={1\over g}(\bd\bn)^2,
\qquad
T_{z\bz}=T_{\bz z}=-{\omega\over4g}(\bn^2-1).
$$
На уравнениях движения компонента $T_{z\bz}=T_{\bz z}$ обращается в нуль, т.~е.\ $T^\mu_\mu=0$, что выражает масштабную инвариантность модели. Сохранение энергии"=импульса записывается в виде
\eq$$
\bd(\d\bn)^2=0,
\qquad
\d(\bd\bn)^2=0.
\label{im1classical}
$$
В большинстве случаев энергия и импульс составляют единственные локальные интегралы движения, однако в случае $O(N)$"=модели это не так. Во"=первых, есть тривиальный интеграл движения в виде квадрата тензора энергии"=импульса, следующий из конформной симметрии:
\eq$$
\bd(\d\bn)^4=0,
\qquad
\d(\bd\bn)^4=0.
\label{im-T2}
$$
Во"=вторых, нетрудно получить соотношение
\eq$$
4\bd(\d^2\bn)^2
=\d(\omega(\d\bn)^2)-3\d\omega(\d\bn)^2,
\qquad
4\d(\bd^2\bn)^2
=\bd(\omega(\bd\bn)^2)-3\bd\omega(\bd\bn)^2.
\label{im2classical}
$$
Сейчас мы покажем, что это уравнение означает существование дополнительного интеграла движения. Поскольку $(\d\bn)^2$ сохраняется, с помощью псевдоконформного преобразования $z=f_1(z')$, такого что
$$
dz'=\left|\d\bn\over\d z\right|dz,
$$
можно добиться того, чтобы в новых координатах было
$$
(\d\bn)^2=1.
$$
Тогда (\ref{im2classical}) преобразуется к виду уравнения непрерывности
$$
\bd(\d\d\bn)^2=\d(2\d\bn\bd\bn).
$$
На самом деле (хотя это непросто показать) в модели имеется бесконечное число интегралов движения в инволюции.

Мы знаем, что в квантовом случае (псевдо)конформная инвариантность модели нарушается, так как поле $\omega$ приобретает ненулевое среднее значение. Поэтому рассуждения с конформными преобразованиями теряют силу. В квантовом случае в уравнениях, из которых следуют законы сохранения, должны возникать аномалии. Аномальные члены не должны нарушать масштабную инвариантность уравнений, в которые переходят законы сохранения. Поэтому, например, в правой части закона сохранения энергии"=импульса допустим только один аномальный член, сводящийся к полной производной:
\eq$$
\bd(\d\bn)^2=-\beta\d\omega.
\label{im1anomaly}
$$
Аналогично модифицируется соотношение (\ref{im-T2}). Правая часть уже не будет полной производной:
\eq$$
\bd(\d\bn)^4=-(2\beta+\alpha')(\d\bn)^2\d\omega+\d(\ldots).
\label{im12anomaly}
$$
То же самое для (\ref{im2classical}):
\eq$$
4\bd(\d^2\bn)^2=-(3+\alpha)(\d\bn)^2\d\omega+\d(\ldots).
\label{im2anomaly}
$$
Из этих трех уравнений можно составить один закон сохранения:
\eq$$
\bd\left(
4(\d^2\bn)^2-{3+\alpha\over2\beta+\alpha'}(\d\bn)^4
\right)=\d(\ldots).
\label{im2quantum}
$$
Итак, имеется по крайней мере два интеграла движения спина~1 и~3:
\eq$$
I_1=\int dz\,(\d\bn)^2,
\qquad
I_3=\int dz\left(
4(\d^2\bn)^2-{3+\alpha\over2\beta+\alpha'}(\d\bn)^4
\right).
\label{ims}
$$
Эти интегралы удовлетворяют уравнению $\bd I_s=0$. Интегралы $I_{-1}$, $I_{-3}$, удовлетворяющие уравнению $\d I_{-s}=0$, можно получить заменой $z\leftrightarrow\bz$. При переходе к обычным координатам $x,t$ и те, и другие величины остаются интегралами движения.

Можно показать, что эти интегралы коммутируют. Из существования четырех коммутативных интегралов движения можно заключить невозможность множественного рождения частиц в столкновениях двух частиц.

Пусть $|\theta_1,\ldots,\theta_n\rangle$ "--- асимптотическое состояние из $n$ частиц с быстротами $\theta_1,\ldots,\theta_n$. Пользуясь тем, что $p_z=-{m\over2}e^\theta$, $p_\bz={m\over2}e^{-\theta}$, нетрудно проверить, что
$$
\Aligned{
I_{\pm1}|\theta_1,\ldots,\theta_n\rangle
&=\const\sum^n_{i=1}me^{\pm\theta_i}|\theta_1,\ldots,\theta_n\rangle,
\\
I_{\pm3}|\theta_1,\ldots,\theta_n\rangle
&=\const\sum^n_{i=1}m^3e^{\pm3\theta_i}|\theta_1,\ldots,\theta_n\rangle.
}
$$
Отсюда получаем четыре уравнения для рассеяния двух частиц в $n$ частиц:
$$
e^{s\theta_1}+e^{s\theta_2}
=\sum^n_{i=1}e^{s\theta'_i}
\qquad(s=-3,-1,1,3).
$$
Если зафиксировать быстроты частиц в конечном состоянии, будет четыре уравнения для двух неизвестных. Эти уравнения могут иметь решения только при специальных значениях конечных быстрот $\theta'_1,\ldots,\theta'_n$. Но из аналитичности амплитуд следует, что амплитуды таких процессов должны быть тождественно равны нулю. Единственным исключением является случай $n=2$, когда в амплитудах могут быть $\delta$"=функции, отвечающие граничным значениям полюсов вне массовой поверхности.

Можно показать, что в модели имеется бесконечно много коммутирующих интегралов движения $I_s$ с нечетными спинами $s$. В общем случае имеем
$$
I_s|\theta_1,\ldots,\theta_n\rangle
=\const\sum^n_{i=1}e^{s\theta_i}|\theta_1,\ldots,\theta_n\rangle.
$$
Отсюда следует, что модель допускает только рассеяния $n$ частиц в $n$, причем частицы могут только обмениваться импульсами.

Теперь сделаем важное

{\itshape{\bfseries Предположение факторизованного рассеяния.} Амплитуда рассеяния $n$ частиц в $n$ распадается в произведение всех попарных амплитуд рассеяния в любом порядке с суммированием по внутренним состояниям промежуточных частиц.}

Графически это предположение можно изобразить так:
\eq$$
\tikz[baseline=-2pt]{
\draw[->] (-1.333,-1.5) node[below left] {$p_1\!\!\!$} -- (1.619,1.5) node[above right] {$\!\!p_1$};
\draw[->] (-0.572,-1.5) node[below] {$p_2$} -- (1.048,1.5) node[above] {$p_2$};
\draw[->] (0.095,-1.5) node[below] {$p_3$} -- (-0.667,1.5) node[above] {$p_3$};
\draw[->] (1.429,-1.5) node[below right] {$\!\!p_4$} -- (-1.619,1.5) node[above left] {$p_4\!\!\!$};
\draw[-,fill=white] (0,0) circle (.9);
}
\quad=\quad
\tikz[baseline=-2pt]{
\draw[->] (-1.333,-1.5) node[below left] {$p_1\!\!\!$} -- (1.619,1.5) node[above right] {$\!\!p_1$};
\draw[->] (-0.572,-1.5) node[below] {$p_2$} -- (1.048,1.5) node[above] {$p_2$};
\draw[->] (0.095,-1.5) node[below] {$p_3$} -- (-0.667,1.5) node[above] {$p_3$};
\draw[->] (1.429,-1.5) node[below right] {$\!\!p_4$} -- (-1.619,1.5) node[above left] {$p_4\!\!\!$};
}
\label{factscat}
$$
В принципе, гипотезу факторизованного рассеяния можно проверять в диаграммной технике порядок за порядком по $1/N$. А можно воспользоваться следующими качественными рассуждениями. Предположим, что имеется конечный радиус взаимодействия частиц $R$, за пределами которого виртуальные частицы почти не рождаются. Это значит, что если $|x_i-x_j|\gg R$ ($\forall i,j$), волновая функция почти не отличается от волновой функции $n$ свободных частиц. Благодаря существованию $I_{\pm3}$ парное рассеяние частиц можно свести к прохождению частиц друг через друга с изменением внутренних состояний. Поэтому можно выбрать базис волновых функций без всяких отраженных волн. Пусть $\sigma$, $\tau$ "--- элементы группы перестановок $S_n$ чисел $1,\ldots,n$. Тогда система $n$ бозонов будет описываться волновой функцией
\Multline$$
\psi_{\beta_1p_1,\ldots,\beta_np_n}(\alpha_1x_1,\ldots,\alpha_nx_n)
=\sum_{\tau\in S_n}
A^{\alpha_{\sigma_1}\ldots\alpha_{\sigma_n}}
_{\beta_{1\,\hphantom\sigma}\ldots\beta_n}[\tau]
e^{i\sum^n_{i=1}p_{\tau_i}x_{\sigma_i}}
\\
\text{при}\quad
x_{\sigma_1}<x_{\sigma_2}<\cdots<x_{\sigma_n},
\quad
|x_i-x_j|\gg R.
\label{psifunction}
$$
Зависимость коэффициентов $A$ от импульсов мы опустили. Легко убедиться, что функция (\ref{psifunction}) симметрична по отношению к перестановкам пар $\alpha_ix_i\leftrightarrow\alpha_jx_j$.

Мы пока не определили смысл параметров $\beta_i$. В принципе, мы можем этого и не делать. Но если мы хотим, чтобы $\beta_i$ соответствовало, скажем, состоянию $\alpha_i$ входящей частицы $i$, мы можем потребовать
$$
A^{\alpha_1\ldots\alpha_n}_{\beta_1\ldots\beta_n}[\id]
=\prod^n_{i=1}\delta^{\alpha_i}_{\beta_i}.
$$
При $p_1>p_2>\cdots>p_n$ параметры $\beta_i$ естественно описывают внутренние состояния влетающих частиц. Хотя при таком определении мы теряем симметрию по отношению к перестановкам пар $\beta_ip_i\leftrightarrow\beta_jp_j$, зато функции становятся аналитичны по импульсам.

Перестановка двух частиц эквивалентна рассеянию этих частиц. Разумеется, рассеяние меняет настоящие состояния частиц~$\alpha_i$, а не метки волновой функции~$\beta_i$. Пусть $s^i\in S_n$ "--- перестановка чисел $i$ и $i+1$, то есть $s^i_i=i+1$, $s^i_{i+1}=i$, $s^i_j=j$ ($j\ne i,i+1$). Тогда
\eq$$
A^{\alpha_1\ldots\alpha_{i+1}\alpha_i\ldots\alpha_n}
_{\beta_1\ldots\beta_i\,\beta_{i+1}\ldots\beta_n}[\tau s^i]
=\sum_{\alpha'_i\alpha'_{i+1}}
S^{\alpha_i\alpha_{i+1}}_{\alpha'_i\alpha'_{i+1}}(p_{\tau_i},p_{\tau_{i+1}})
A^{\alpha_1\ldots\alpha'_i\alpha'_{i+1}\ldots\alpha_n}
_{\beta_1\ldots\beta_i\,\beta_{i+1}\ldots\beta_n}[\tau].
\label{Arelation}
$$

Переставим теперь три последовательные частицы, например, $123\to321$. Такой переход можно выполнить двумя способами:
$$
\Matrix{
            &        &132&\to&312&        &\\
            &\nearrow&            &   &            &\searrow&\\
123&        &            &   &            &        &321.\\
            &\searrow&            &   &            &\nearrow&\\
            &        &213&\to&231&        &
}
$$
Первый способ приводит к соотношению
\eq$$
A^{\alpha_3\alpha_2\alpha_1\ldots}_{\cdots}[321\ldots]
=\sum_{\beta_1,\beta_2,\beta_3}\left(\sum_{\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3}
S^{\alpha_1\alpha_2}_{\gamma_1\gamma_2}(p_1,p_2)
S^{\gamma_1\alpha_3}_{\beta_1\gamma_3}(p_1,p_3)
S^{\gamma_2\gamma_3}_{\beta_2\beta_3}(p_2,p_3)\right)
A^{\beta_1\beta_2\beta_3\ldots}_{\cdots}[123\ldots].
\label{rel1}
$$
Проще это записать в матричном виде
$$
A_{321\ldots}
=S_{12}(p_1,p_2)S_{13}(p_1,p_3)S_{23}(p_2,p_3)
A_{123\ldots},
$$
где индексы $1,2,3$ указывают номер пространства, на которое действуют матрицы или в котором живут векторы. Еще удобней это изобразить графически
$$
\sum_{\text{внутренние линии}}
\quad
\tikz[baseline=-2pt,yscale=1.2]{
  \draw[->] (1,-1) node[below right] {$\!\!p_3$} --
    node[pos=.1, above right=-3pt] {$\beta_3$}
    node[pos=.35, below left=-3pt] {$\gamma_3$}
    node[pos=.7, below left=-3pt] {$\alpha_3$} (-1,1);
  \draw[->] (.5,-1) node[below] {$p_2$} --
    node[pos=.1, left=-2pt] {$\beta_2$}
    node[pos=.5, right=-2pt] {$\gamma_2$}
    node[pos=.9, left=-1pt] {$\alpha_2$} (.5,1);
  \draw[->] (-1,-1) node[below left] {$p_1\!\!\!$} --
    node[pos=.25, above left=-3pt] {$\beta_1$}
    node[pos=.65, above left=-3pt] {$\gamma_1$}
    node[pos=.9, below right=-3pt] {$\alpha_1$} (1,1);
}
$$
Второй способ приводит другому соотношению
\eq$$
A^{\alpha_3\alpha_2\alpha_1\ldots}_{\cdots}[321\ldots]
=\sum_{\beta_1,\beta_2,\beta_3}\left(\sum_{\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3}
S^{\alpha_2\alpha_3}_{\gamma_2\gamma_3}(p_2,p_3)
S^{\alpha_1\gamma_3}_{\gamma_1\beta_3}(p_1,p_3)
S^{\gamma_1\gamma_2}_{\beta_1\beta_2}(p_1,p_2)\right)
A^{\beta_1\beta_2\beta_3\ldots}_{\cdots}[123\ldots],
\label{rel2}
$$
или проще
$$
A_{321\ldots}
=S_{23}(p_2,p_3)S_{13}(p_1,p_3)S_{12}(p_1,p_2)
A_{123\ldots},
$$
или графически
$$
\sum_{\text{внутренние линии}}
\quad
\tikz[baseline=-2pt,yscale=1.2]{
  \draw[->] (1,-1) node[below right] {$\!\!p_3$} --
    node[pos=.25, above right=-3pt] {$\beta_3$}
    node[pos=.65, above right=-3pt] {$\gamma_3$}
    node[pos=.85, below left=-3pt] {$\alpha_3$} (-1,1);
  \draw[->] (-.5,-1) node[below] {$p_2$} --
    node[pos=.1, right=-1pt] {$\beta_2$}
    node[pos=.5, left=-2pt] {$\gamma_2$}
    node[pos=.9, right=1pt] {$\alpha_2$} (-.5,1);
  \draw[->] (-1,-1) node[below left] {$p_1\!\!\!$} --
    node[pos=.15, above left=-2pt] {$\beta_1$}
    node[pos=.35, below right=-2pt] {$\gamma_1$}
    node[pos=.75, below right=-2pt] {$\alpha_1$} (1,1);
}
$$
Условие того, что (\ref{rel1}) и (\ref{rel2}) приводят к одинаковому соотношению, называется {\it уравнением Янга"--~Бакстера\/} и записывается в виде
\eq$$
\sum_{\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3}
S^{\alpha_1\alpha_2}_{\gamma_1\gamma_2}(p_1,p_2)
S^{\gamma_1\alpha_3}_{\beta_1\gamma_3}(p_1,p_3)
S^{\gamma_2\gamma_3}_{\beta_2\beta_3}(p_2,p_3)
=
\sum_{\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3}
S^{\alpha_2\alpha_3}_{\gamma_2\gamma_3}(p_2,p_3)
S^{\alpha_1\gamma_3}_{\gamma_1\beta_3}(p_1,p_3)
S^{\gamma_1\gamma_2}_{\beta_1\beta_2}(p_1,p_2),
\label{YBlong}
$$
или более кратко
\eq$$
S_{12}(p_1,p_2)S_{13}(p_1,p_3)S_{23}(p_2,p_3)
=S_{23}(p_2,p_3)S_{13}(p_1,p_3)S_{12}(p_1,p_2),
\label{YB}
$$
или графически
\eq$$
\tikz[baseline=-2pt,yscale=1.2]{
  \draw[->] (1,-1) node[below right] {$\!\!p_3$} --
    node[pos=.1, above right=-3pt] {$\beta_3$}
    node[pos=.7, below left=-3pt] {$\alpha_3$} (-1,1);
  \draw[->] (.5,-1) node[below] {$p_2$} --
    node[pos=.1, left=-2pt] {$\beta_2$}
    node[pos=.9, left=-1pt] {$\alpha_2$} (.5,1);
  \draw[->] (-1,-1) node[below left] {$p_1\!\!\!$} --
    node[pos=.25, above left=-3pt] {$\beta_1$}
    node[pos=.9, below right=-3pt] {$\alpha_1$} (1,1);
}
\quad=\quad
\tikz[baseline=-2pt,yscale=1.2]{
  \draw[->] (1,-1) node[below right] {$\!\!p_3$} --
    node[pos=.25, above right=-3pt] {$\beta_3$}
    node[pos=.85, below left=-3pt] {$\alpha_3$} (-1,1);
  \draw[->] (-.5,-1) node[below] {$p_2$} --
    node[pos=.1, right=-1pt] {$\beta_2$}
    node[pos=.9, right=1pt] {$\alpha_2$} (-.5,1);
  \draw[->] (-1,-1) node[below left] {$p_1\!\!\!$} --
    node[pos=.15, above left=-2pt] {$\beta_1$}
    node[pos=.75, below right=-2pt] {$\alpha_1$} (1,1);
}
\label{YBgraph}
$$
Два графика на (\ref{YBgraph}) отличаются положением одной из линий (например, второй). На первом графике она проходит слева от вершины, где пересекаются первая и третья частицы, а на втором "--- справа. Иными словами, уравнение Янга"--~Бакстера выражает условие того, что линии в (\ref{factscat}) можно как угодно смещать, пронося через вершины. То есть неважно, в каком порядке мы будем рассматривать попарные рассеяния частиц: в любом случае мы получим один и тот же ответ.

Второе условие на $S$"=матрицу более элементарно. Вернемся к соотношению (\ref{Arelation}). Понятно, что если мы дважды переставим два последовательных индекса в коэффициентах~$A$, т.~е.\ произведем преобразования
$$
12\to21\to12,
$$
мы должны получить тождественное преобразование. Отсюда следует {\it условие унитарности}
\eq$$
\sum_{\gamma_1,\gamma_2}S^{\alpha_1\alpha_2}_{\gamma_1\gamma_2}(p_1,p_2)
S^{\gamma_2\gamma_1}_{\beta_2\beta_1}(p_2,p_1)
=\delta^{\alpha_1}_{\beta_1}\delta^{\alpha_2}_{\beta_2},
\label{unitarity-long}
$$
или
\eq$$
S_{12}(p_1,p_2)S_{21}(p_2,p_1)=1,
\label{unitarity}
$$
или
\eq$$
\tikz[baseline=-2pt]{
  \draw[->] (.5,-1) node[below] {$\beta_2$} to[out=150,in=-150,looseness=1.5] (.5,1) node[above] {$\alpha_2$};
  \draw[->] (-.5,-1) node[below] {$\beta_1$} to[out=30,in=-30,looseness=1.5] (-.5,1) node[above] {$\alpha_1$};
}
\quad=\quad
\tikz[baseline=-2pt]{
  \draw[->] (.5,-1) node[below] {$\beta_2$} -- (.5,1) node[above] {$\alpha_2$};
  \draw[->] (-.5,-1) node[below] {$\beta_1$} -- (-.5,1) node[above] {$\alpha_1$};
}
\label{unitarity-graph}
$$

Последнее условие {\it кроссинг"=инвариантности\/} верно только в релятивистской теории. Его естественно сразу записать графически:
\eq$$
\tikz[baseline=-2pt,scale=.7]{
  \draw[->] (1,-1) node[below right=-1pt] {$p_2$} --
    node[pos=.15,above right=-3pt] {$\beta_2$}
    node[pos=.85,below left=-3pt] {$\alpha_2$} (-1,1);
  \draw[->] (-1,-1) node[below left=-1pt] {$p_1\!$} --
      node[pos=.15,above left=-3pt] {$\beta_1$}
      node[pos=.85,below right=-3pt] {$\alpha_1$} (1,1);
}
\quad=\quad
\tikz[baseline=-2pt,scale=.7]{
  \draw[->] (1,-1) node[below right=-2pt] {$p_2$} --
    node[pos=.15,above right=-3pt] {$\beta_2$}
    node[pos=.85,below left=-3pt] {$\alpha_2$} (-1,1);
  \draw[<-] (-1,-1) --
      node[pos=.15,above left=-3pt] {$\bar\beta_1$}
      node[pos=.85,below right=-3pt] {$\bar\alpha_1$} (1,1) node[above right=-3pt] {$\!\!-p_1$};
}
\label{cross-graph}
$$
Здесь импульсы $p_1$ и $p_2$ понимаются как пространственно"=временные импульсы, черта над индексом внутреннего состояния частицы изображает античастицу. Формульно это записывается так
\eq$$
S^{\alpha_1\alpha_2}_{\beta_1\beta_2}(p_1,p_2)
=\sum_{\alpha'_1\beta'_1}C_{\beta_1\beta'_1}S^{\alpha_2\beta'_1}_{\beta_2\alpha'_1}(p_2,-p_1)C_{\alpha'_1\alpha_1},
$$
где $C$ "--- матрица $CPT$"=сопряжения.

Если выразить импульсы через быстроты, получим:

\noindent{\it 1.~Уравнение Янга"--~Бакстера}
\eq$$
S_{12}(\theta_1-\theta_2)S_{13}(\theta_1-\theta_3)S_{23}(\theta_2-\theta_3)
=S_{23}(\theta_2-\theta_3)S_{13}(\theta_1-\theta_3)S_{12}(\theta_1-\theta_2).
\label{YBtheta}
$$
{\it 2.~Унитарность}
\eq$$
S_{12}(\theta)S_{21}(-\theta)=1.
\label{unitarity-theta}
$$
{\it 3.~Кроссинг"=симметрия}
\eq$$
S_{12}(\theta)=C_1S_{2\tilde1}(i\pi-\theta)C_1,
\label{cross-theta}
$$
где тильда над цифрой~1 означает транспонирование по индексам, отвечающим этому пространству.

Условия {\it бутстрапа\/} (\ref{YBtheta}--\ref{cross-theta}) чрезвычайно ограничительны. Вместе с симметрией модели и условиями аналитичности они позволяют найти точное выражение для $S$"=матрицы. Рассмотрим условия аналитичности. $S$"=матрица является мероморфной функцией $\theta$. Физическому листу отвечает область
\eq$$
0\le\Im\theta<\pi,
\label{physsheet}
$$
причем точка $\theta=i\pi$ отвечает точке ветвления $s=(m_1-m_2)^2$ по переменной
$$
s=m_1^2+m_2^2+2m_1m_2\ch\theta,
$$
а точке $\theta=0$ отвечает точка $s=(m_1+m_2)^2$. Линии $\Im\theta=\pi$ отвечает в плоскости $s$ левый разрез $(-\infty,(m_1-m_2)^2]$, а линии $\Im\theta=0$ "--- правый разрез $[(m_1+m_2)^2,\infty)$.

На мнимой оси $S$"=матрица вещественна:
\eq$$
S(iu)\in\R\qquad\text{при}\quad u\in\R,
\label{reality}
$$
причем все полюсы $S$"=матрицы на физическом листе находятся на мнимой оси. Части этих полюсов отвечают связанные состояния, однако чтобы установить, отвечает ли данный полюс связанному состоянию, обычно требуется дополнительное исследование.

Давайте решим уравнение Янга"--~Бакстера для $O(N)$"=симметричной ($N\ge3$) $S$"=матрицы $N^2\times N^2$ вида~\cite{ZZ}
\eq$$
S^{i'j'}_{ij}(\theta)
=\delta_{i'j'}\delta_{ij}S_1(\theta)
+\delta_{i'i}\delta_{j'j}S_2(\theta)
+\delta_{j'i}\delta_{i'j}S_3(\theta).
\label{S1S2S3}
$$
Уравнение Янга"--~Бакстера для нее приобретает вид (Рис.~\ref{fig-YBE})
\Align$$
S_2(\theta)S_3(\theta+\theta')S_3(\theta')
+S_3(\theta)S_3(\theta+\theta')S_2(\theta')
&=S_3(\theta)S_2(\theta+\theta')S_3(\theta'),
\label{yb1}
\\
S_2(\theta)S_1(\theta+\theta')S_1(\theta')
+S_3(\theta)S_2(\theta+\theta')S_1(\theta')
&=S_3(\theta)S_1(\theta+\theta')S_2(\theta'),
\label{yb2}
\\
NS_1(\theta)S_3(\theta+\theta')S_1(\theta')
+S_1(\theta)S_3(\theta+\theta')(S_2(\theta')+S_3(\theta'))
&+(S_2(\theta)+S_3(\theta))S_3(\theta+\theta')S_1(\theta')
\notag
\\
+S_1(\theta)(S_1(\theta+\theta')+S_2(\theta+\theta'))S_1(\theta')
&=S_3(\theta)S_1(\theta+\theta')S_3(\theta').
\label{yb3}
$$
\begin{figure}[t]
\Gather$$
\tikz[scale=.7,baseline=-2pt]{
  \draw[red,->] (-1,-1) -- (0,0) -- (-1,1);
  \draw[blue,->] (.5,-1) -- (.5,-.5) -- (0,0) -- (1,1);
  \draw[green,->] (1,-1) -- (.5,-.5) -- (.5,1);
  \draw (1.5,0) node {$+$};
  \begin{scope}[xshift=3cm]
    \draw[red,->] (-1,-1) -- (0,0) -- (-1,1);
    \draw[blue,->] (.5,-1) -- (.5,.5) -- (1,1);
    \draw[green,->] (1,-1) -- (0,0) -- (.5,.5) -- (.5,1);
    \draw (2,0) node {$=$};
  \end{scope}
  \begin{scope}[xshift=7cm]
    \draw[red,->] (-1,-1) -- (-.5,-.5) -- (-.5,.5) -- (-1,1);
    \draw[blue,->] (-.5,-1) -- (-.5,-.5) -- (1,1);
    \draw[green,->] (1,-1) -- (-.5,.5) -- (-.5,1);
  \end{scope}
}\tag{\ref{yb1}}
\\
\tikz[scale=.7,baseline=-2pt]{
  \draw[red,->] (-1,-1) -- (0,0) -- (.5,-.5) -- (.5,1);
  \draw[blue,-] (.5,-1) -- (.5,-.5) -- (1,-1);
  \draw[green,<->] (-1,1) -- (0,0) -- (1,1);
  \draw (1.5,0) node {$+$};
  \begin{scope}[xshift=3cm]
    \draw[red,->] (-1,-1) -- (.5,.5) -- (.5,1);
    \draw[blue,-] (.5,-1) -- (.5,-.5) -- (1,-1);
    \draw[green,<->] (-1,1) -- (.5,-.5) -- (.5,.5) -- (1,1);
    \draw (2,0) node {$=$};
  \end{scope}
  \begin{scope}[xshift=7cm]
    \draw[red,->] (-1,-1) -- (-.5,-.5) -- (-.5,1);
    \draw[blue,->] (-.5,-1) -- (-.5,-.5) -- (0,0) -- (1,-1);
    \draw[green,<->] (-1,1) -- (-.5,.5) -- (0,0) -- (1,1);
  \end{scope}
}\tag{\ref{yb2}}
\\
\tikz[scale=.7,baseline=-2pt]{
  \draw[red,->] (-1,-1) -- (0,0) -- (-1,1);
  \draw[blue,-] (.5,-1) -- (.5,-.5) -- (1,-1);
  \draw[green,<->] (.5,1) -- (.5,.5) -- (1,1);
  \draw[yellow,-] (0,0) -- (.5,-.5) -- (.5,.5) -- cycle;
  \draw (1.5,0) node {$+$};
  \begin{scope}[xshift=3cm]
    \draw[red,->] (-1,-1) -- (0,0) -- (-1,1);
    \draw[blue,-] (.5,-1) -- (.5,.5) -- (0,0) -- (1,-1); \draw[blue] (.5,-.5) node[right] {\tiny$S_2+S_3$};
    \draw[green,<->] (.5,1) -- (.5,.5) -- (1,1);
    \draw (1.5,0) node {$+$};
  \end{scope}
  \begin{scope}[xshift=6cm]
    \draw[red,->] (-1,-1) -- (0,0) -- (-1,1);
    \draw[blue,-] (.5,-1) -- (.5,-.5) -- (1,-1);
    \draw[green,<->] (.5,1) -- (.5,-.5) -- (0,0) -- (1,1); \draw[green] (.5,.5) node[right] {\tiny$S_2+S_3$};
    \draw (1.5,0) node {$+$};
  \end{scope}
  \begin{scope}[xshift=9.5cm]
    \draw[red,->] (-1,-1) -- (.5,.5) -- (.5,-.5) -- (-1,1); \draw[red] (0,0) node[left] {\tiny$S_1+S_2$};
    \draw[blue,-] (.5,-1) -- (.5,-.5) -- (1,-1);
    \draw[green,<->] (.5,1) -- (.5,.5) -- (1,1);
    \draw (2,0) node {$=$};
  \end{scope}
  \begin{scope}[xshift=13.5cm]
    \draw[red,->] (-1,-1) -- (-.5,-.5) -- (-.5,.5) -- (-1,1);
    \draw[blue,-] (-.5,-1) -- (-.5,-.5) -- (0,0) -- (1,-1);
    \draw[green,<->] (-.5,1) -- (-.5,.5) -- (0,0) -- (1,1);
  \end{scope}
}\tag{\ref{yb3}}
$$
\caption{Схематичное изображение уравнений (\ref{yb1})"--~(\ref{yb3}). Соединению двух линий одного цвета в вершине соответствует символ Кронекера в $S$"=матрице. На пересечениях линий одного цвета помечено, какие вклады в $S$"=матрицу им соответствуют.}
\label{fig-YBE}
\end{figure}%
Чтобы решить эту систему, введем обозначение $h(\theta)=S_2(\theta)/S_3(\theta)$. Первое уравнение принимает вид
$$
h(\theta)+h(\theta')=h(\theta+\theta').
$$
Следовательно $h(\theta)\sim\theta$ и
\eq$$
S_3(\theta)=-i{\lambda\over\theta}S_2(\theta).
\label{S32ratio}
$$
Пусть теперь $g(\theta)=S_2(\theta)/S_1(\theta)$. Подставляя (\ref{S32ratio}) в (\ref{yb2}), получаем
$$
g(\theta+\theta')-g(\theta')
={\theta\over i\lambda}.
$$
Это уравнение имеет решение
$$
g(\theta)={\theta-i\kappa\over i\lambda}.
$$
Подставляя это в (\ref{yb3}), получим
$$
\kappa={N-2\over2}\lambda.
$$
Это значит, что
\eq$$
S_1(\theta)=-{i\lambda\over i(N-2)\lambda/2-\theta}S_2(\theta).
\label{S12ratio}
$$
Это самое общее решение уравнения Янга"--~Бакстера, зависящее от произвольной функции $S_2(\theta)$ и произвольного параметра $\lambda$. Воспользуемся теперь условиями кроссинг"=инвариантности и унитарности, чтобы зафиксировать $S_2$ и $\lambda$.

Условие кроссинг"=симметрии имеет вид
\Align$$
S_2(\theta)
&=S_2(i\pi-\theta),
\label{cross22}
\\
S_1(\theta)
&=S_3(i\pi-\theta).
\label{cross13}
$$
Подставляя сюда (\ref{S32ratio}) и (\ref{S12ratio}), получаем
\eq$$
\lambda={2\pi\over N-2}.
\label{lambdavalue}
$$
Условие унитарности (Рис.~\ref{fig-unitarity})
\Gather$$
S_2(\theta)S_2(-\theta)+S_3(\theta)S_3(-\theta)=1,
\label{unit1}
\\
S_2(\theta)S_3(-\theta)+S_3(\theta)S_2(-\theta)=0,
\label{unit2}
\\
NS_1(\theta)S_1(-\theta)
+S_1(\theta)(S_2(-\theta)+S_3(-\theta))
+(S_2(\theta)+S_3(\theta))S_1(-\theta)
=0
\label{unit3}
$$
\begin{figure}[t]
\Gather$$
\tikz[scale=.5,baseline=-2pt]{
\draw[red,->] (-.3,-1) to[out=30,in=50-180] (0,-.75) to[out=50,in=-50] (0,.75) to[out=180-50,in=-30] (-.3,1) -- +(180-30:.2);
\draw[blue,->] (.3,-1) to[out=180-30,in=-50] (0,-.75) to[out=180-50,in=50-180] (0,.75) to[out=50,in=30-180] (.3,1) -- +(30:.2);
\draw (1,0) node {$+$};
\begin{scope}[xshift=2cm]
  \draw[red,->] (-.3,-1) to[out=30,in=50-180] (0,-.75) to[out=180-50,in=50-180] (0,.75) to[out=180-50,in=-30] (-.3,1) -- +(180-30:.2);
  \draw[blue,->] (.3,-1) to[out=180-30,in=-50] (0,-.75) to[out=50,in=-50] (0,.75) to[out=50,in=30-180] (.3,1) -- +(30:.2);
  \draw (1.5,0) node {$=$};
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=5cm]
  \draw[red,->] (-.3,-1) -- (-.3,1);
  \draw[blue,->] (.3,-1) -- (.3,1);
\end{scope}
}\tag{\ref{unit1}}
\\
\tikz[scale=.5,baseline=-2pt]{
\draw[red,->] (-.3,-1) to[out=30,in=50-180] (0,-.75) to[out=180-50,in=50-180] (0,.75) to[out=50,in=30-180] (.3,1) -- +(30:.2);
\draw[blue,->] (.3,-1) to[out=180-30,in=-50] (0,-.75) to[out=50,in=-50] (0,.75) to[out=180-50,in=-30] (-.3,1) -- +(180-30:.2);
\draw (1,0) node {$+$};
\begin{scope}[xshift=2cm]
  \draw[red,->] (-.3,-1) to[out=30,in=50-180] (0,-.75) to[out=50,in=-50] (0,.75) to[out=50,in=30-180] (.3,1) -- +(30:.2);
  \draw[blue,->] (.3,-1) to[out=180-30,in=-50] (0,-.75) to[out=180-50,in=50-180] (0,.75) to[out=180-50,in=-30] (-.3,1) -- +(180-30:.2);
  \draw (1.5,0) node {$=$};
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=5cm]
  \draw (0,0) node {$0$};
\end{scope}
}\tag{\ref{unit2}}
\\
\tikz[scale=.5,baseline=-2pt]{
\draw[red,-] (-.3,-1) to[out=30,in=50-180] (0,-.75) to[out=-50,in=180-30] (.3,-1);
\draw[blue,->] (-.3,1) to[out=-30,in=180-50] (0,.75) to[out=50,in=30-180] (.3,1) -- +(30:.2); \draw[blue,->] (-.3,1) -- +(180-30:.2);
\draw[yellow,-] (0,.75) to[out=-50,in=50] (0,-.75) to[out=180-50,in=50-180] cycle;
\draw (1,0) node {$+$};
\begin{scope}[xshift=2cm]
\draw[red,-] (-.3,-1) to[out=30,in=50-180] (0,-.75) to[out=-50,in=180-30] (.3,-1);
\draw[blue,->] (-.3,1) to[out=-30,in=180-50] (0,.75) to[out=-50,in=50] (0,-.75) to[out=180-50,in=50-180] (0,.75) to[out=50,in=30-180] (.3,1)
  -- +(30:.2); \draw[blue,->] (-.3,1) -- +(180-30:.2); \draw[blue] (0,.75) node[right=2pt] {\tiny$S_2+S_3$};
\draw (1.5,0) node {$+$};
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=5cm]
\draw[red,-] (-.3,-1) to[out=30,in=50-180] (0,-.75) to[out=50,in=-50] (0,.75) to[out=50-180,in=180-50] (0,-.75) to[out=-50,in=180-30] (.3,-1);
  \draw[red] (0,-.75) node[right] {\tiny$S_2+S_3$};
\draw[blue,->] (-.3,1) to[out=-30,in=180-50] (0,.75) to[out=50,in=30-180] (.3,1)
  -- +(30:.2); \draw[blue,->] (-.3,1) -- +(180-30:.2);
  \draw (2,0) node {$=$};
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=8.5cm]
  \draw (0,0) node {$0$};
\end{scope}
}\tag{\ref{unit3}}
$$
\caption{Схематичное изображение уравнений (\ref{unit1})"--~(\ref{unit3}).}
\label{fig-unitarity}
\end{figure}%
удовлетворяется, если
\eq$$
S_2(\theta)S_2(-\theta)={\theta^2\over\theta^2+\lambda^2}.
\label{unit22}
$$
Теперь нам надо решить совместно уравнения (\ref{cross22}) и (\ref{unit22}). Понятно, что решение этих уравнений неоднозначно. Решение переходит в решение, если домножить его на функцию
$$
{\sh\theta+i\sin\alpha\over\sh\theta-i\sin\alpha}
$$
с произвольным $\alpha$. Мы будем искать <<минимальное>> решение, то есть такое решение, которое будет иметь наименьшее количество нулей и полюсов на физическом листе.

Из (\ref{unit22}) заключаем, что $S_2(\theta)$ имеет простой нуль в точке $\theta=0$. Из кроссинг"=симметрии (\ref{cross22}) немедленно заключаем, что простой нуль имеется также в точке $\theta=i\pi$. Из унитарности находим, что в точке $\theta=-i\pi$ имеется полюс. Продолжая поочередно применять кроссинг"=симметрию и унитарность, находим набор полюсов и нулей функции $S_2(\theta)$:
\eq$$
\Aligned{{}
&\text{Нули:}\quad
&&\theta=-2\pi in,i\pi+2\pi in,
\quad&&
\\
&\text{Полюсы:}\quad
&&\theta=-i\pi-2\pi in,2\pi i+2\pi in,\quad&&n=0,1,2,\ldots
}\label{zp1}
$$
Другой набор нулей и полюсов получается следующим образом. Из (\ref{unit22}) следует, что $S_2$ должна иметь полюс в одной из точек $\theta=\mp i\lambda$. Давайте обозначать решения с такими полюсами $S^{(\pm)}_2(\theta)$. Рассуждая как и раньше, получим для $S^{(\pm)}_2(\theta)$
\eq$$
\Aligned{{}
&\text{Нули:}\quad
&&\theta=\mp i\lambda-i\pi-2\pi in,\pm i\lambda+2\pi i+2\pi in,
\quad&&
\\
&\text{Полюсы:}\quad
&&\theta=\mp i\lambda-2\pi in,\pm i\lambda+i\pi+2\pi in,\quad
&&n=0,1,2,\ldots
}\label{zp2}
$$
Собирая (\ref{zp1}), (\ref{zp2}), получим
\eq$$
S^{(\pm)}_2(\theta)
=Q^{(\pm)}(\theta)Q^{(\pm)}(i\pi-\theta),
\qquad
Q^{(\pm)}(\theta)
={\Gamma\left(\pm{\lambda\over2\pi}-i{\theta\over2\pi}\right)
\Gamma\left({1\over2}-i{\theta\over2\pi}\right)
\over
\Gamma\left({1\over2}\pm{\lambda\over2\pi}-i{\theta\over2\pi}\right)
\Gamma\left(-i{\theta\over2\pi}\right)}.
\label{S2pm}
$$
Раскладывая $S$"=матрицу (\ref{S32ratio}), (\ref{S12ratio}), (\ref{S2pm}) с учетом (\ref{lambdavalue}) по $1/N$, получаем
\Align$$
S^{(\pm)}_1(\theta)
&=-{2\pi i\over N(i\pi-\theta)},
\label{S1expand}
\\
S^{(\pm)}_2(\theta)
&=1\mp{2\pi i\over N\sh\theta},
\label{S2expand}
\\
S^{(\pm)}_3(\theta)
&=-{2\pi i\over N\theta}.
\label{S3expand}
$$
Это позволяет отождествить $S^{(+)}(\theta)$ с $S$"=матрицей $O(N)$"=модели, а $S^{(-)}(\theta)$ с $S$"=матрицей $N$"=компонентной модели Невё"--~Шварца. Заметим, что $S^{(\pm)}_1(0)=S^{(\pm)}_2(0)=0$, $S^{(\pm)}_3(0)=\mp1$. Отсюда следует
\eq$$
S^{(\pm)}_{12}(0)=\mp P_{12},
\label{S0sign}
$$
где $P_{12}:a\times b\mapsto b\times a$ "--- оператор перестановки пространств 1 и~2. Это означает, что для частиц в $O(N)$"=модели действует вариант принципа Паули, хотя мы и считали частицы бозонами. Две частицы не могут иметь одинаковый импульс.

На самом деле в двумерном пространстве"=времени нельзя сказать, является ли частица бозоном или фермионом. Если говорить о спине, то мы знаем, что такое спин оператора, но не знаем, что такое спин состояния, так как в одномерном пространстве нет вращений. Кроме того, в одном пространственном измерении есть способ построения алгебры Клиффорда (фермионной алгебры) по алгебре Гайзенберга (бозонной алгебре) и наоборот~\cite{SJM}. Это преобразование уважает понятие частицы, но меняет характер взаимодействия. Именно, матрица рассеяния частиц как фермионов отличается от матрицы рассеяния тех же частиц как бозонов знаком.

\def\refname{\normalsize Литература}
\begin{thebibliography}{9}

\bibitem{ZZ}A.~Zamolodchikov and Al.~Zamolodchikov, {\it Annals of Physics\/}
{\bf 120} (1979) 253.

\bibitem{SJM}М.~Сато, М.~Дзимбо, Т.~Мива, Голономные квантовые поля, М.,~<<Мир>>, 1983.

\end{thebibliography}

\bigbreak
\bigskip
\centerline{\bf Задачи}
\medskip
{\bf1.}~Получите уравнение~(\ref{im2classical}).

{\bf2.}~Напишите явно асимптотическое выражение для волновой функции~(\ref{psifunction}) для двух и трех частиц ($n=2,3$). Приняв условие~(\ref{Arelation}) для $n=2$ за определение $S$"=матрицы, убедитесь, что отсюда следует~(\ref{Arelation}) для случая $n=3$. Покажите, что произведение трех $S$"=матриц $S_{12}S_{13}S_{23}$ действительно имеет смысл трехчастичной $S$"=матрицы.

{\bf3.}~Выведите~(\ref{S1expand}--\ref{S3expand}).

{\bf4.}~Покажите, что из~(\ref{S0sign}) следует принцип Паули для {\it взаимодействующих бозонных\/} частиц: две частицы не могут иметь одинаковый импульс.

{\bf5$^*$.}~Покажите, что матрица $4\times4$ вида
$$
S(\theta)
=\left(S^{\alpha_1\alpha_2}_{\beta_1\beta_2}(\theta)\right)
=\pMatrix{a(\theta)&&&\\
&b(\theta)&c(\theta)&\\
&c(\theta)&b(\theta)&\\
&&&a(\theta)}
$$
(индексы $\alpha_1\alpha_2$ упорядочены как $++,+-,-+,--$) удовлетворяет уравнению Янга"--~Бакстера при
$$
{b(\theta)\over a(\theta)}
={\sh{\theta\over p}\over\sh{i\pi-\theta\over p}},
\qquad
{c(\theta)\over a(\theta)}
={\sh{i\pi\over p}\over\sh{i\pi-\theta\over p}}
$$
при произвольном $p$.

Такая $S$"=матрица представляет собой матрицу рассеяния солитонов в модели синус"=Гордона с $\beta^2=2{p\over p+1}$ при подходящем $a(\theta)$, таком что $a(0)=-1$. Покажите, что $a(\theta)$ должно удовлетворять условиям
$$
a(\theta)={\sh{i\pi-\theta\over p}\over\sh{\theta\over p}}a(i\pi-\theta),
\qquad
a(\theta)a(-\theta)=1.
$$



\end{document}
