%&pdflatex
\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage{amsmath,amssymb,fullpage}
%\usepackage[notref,notcite]{showkeys}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{misccorr}

\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{arrows,shapes}

\allowdisplaybreaks

\def\smallskip{\vskip\smallskipamount}
\def\medskip{\vskip\medskipamount}
\def\bigskip{\vskip\bigskipamount}


\def\e{{\rm e}}
\def\i{{\rm i}}

\let\{=\lbrace
\let\}=\rbrace
\let\[=\lbracket
\let\]=\rbracket

\long\def\items#1{\begin{itemize}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{itemize}}
\long\def\enum#1{\begin{enumerate}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{enumerate}}

\def\eq#1{\begin{equation}#1\end{equation}}
\def\Align#1{\begin{align}#1\end{align}}
\def\Aligned#1{\begin{aligned}#1\end{aligned}}
\def\Gather#1{\begin{gather}#1\end{gather}}
\def\Gathered#1{\begin{gathered}#1\end{gathered}}
\def\Multline#1{\begin{multline}#1\end{multline}}
\def\Matrix#1{\begin{matrix}#1\end{matrix}}
\def\pMatrix#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}
\def\Cases#1{\begin{cases}#1\end{cases}}
\long\def\subeq#1{\begin{subequations}#1\end{subequations}}

\def\d{\partial}
\def\bd{{\bar\d}}
\def\bV{{\bar V}}
\def\bpsi{{\bar\psi}}
\def\bvarphi{{\bar\varphi}}
\def\bL{{\bar L}}
\def\bT{{\bar T}}
\def\bDelta{{\bar\Delta}}
\def\Re{\mathop{\rm Re}\nolimits}
\def\Im{\mathop{\rm Im}\nolimits}
\def\Ker{\mathop{\rm Ker}\nolimits}
\def\sh{\mathop{\rm sh}\nolimits}
\def\ch{\mathop{\rm ch}\nolimits}
\def\tg{\mathop{\rm tg}\nolimits}
\def\ctg{\mathop{\rm ctg}\nolimits}
\def\tr{\mathop{\rm tr}\nolimits}
\def\arctg{\mathop{\rm arctg}\nolimits}
\def\setspan{\mathop{\rm span}\nolimits}

\def\bn{{\text{\bfseries\itshape n}}}
\def\bJ{{\text{\bfseries\itshape J}}}
\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\cF{{\cal F}}
\def\bcF{{\cal\bar F}}
\def\cH{{\cal H}}
\def\cL{{\cal L}}
\def\bcL{{\cal\bar L}}
\def\cO{{\cal O}}
\def\bz{{\bar z}}
\def\bw{{\bar w}}
\def\tphi{{\tilde\phi}}
\def\ta{{\tilde a}}
\def\vq{{\vec q}}
\def\vx{{\vec x}}
\def\vy{{\vec y}}
\def\vJ{{\vec J}}
\def\va{{\vec a}}
\def\vb{{\vec b}}
\def\eff{{\rm eff}}
\def\const{{\rm \,const\,}}

\def\lcolon{\mathopen{\>:}}
\def\rcolon{\mathclose{:\>}}

\makeatletter

\let\over\@@over
\let\atop\@@atop
\let\above\@@above
\let\overwithdelims\@@overwithdelims
\let\atopwithdelims\@@atopwithdelims
\let\abovewithdelims\@@abovewithdelims

\def\section{\@startsection{section}{1}{\z@}%
                                   {-3.5ex \@plus -1ex \@minus -.2ex}%
                                   {2.3ex \@plus.2ex}%
                                   {\normalfont\normalsize\bfseries}}
\def\subsection{\@startsection{subsection}{2}{\z@}%
                                     {-3.25ex\@plus -1ex \@minus -.2ex}%
                                     {1.5ex \@plus .2ex}%
                                     {\normalfont\normalsize\bfseries\itshape}}
\def\@seccntformat#1{\csname the#1\endcsname.~~}
\long\def\@makecaption#1#2{%
  \vskip\abovecaptionskip
  \sbox\@tempboxa{\small#1. #2}%
  \ifdim \wd\@tempboxa >0.9\hsize
  {\leftskip=0.05\hsize\rightskip=0.05\hsize\relax\small
    #1. #2\par}
  \else
    \global \@minipagefalse
    \hb@xt@\hsize{\hfil\box\@tempboxa\hfil}%
  \fi
  \vskip\belowcaptionskip}
\def\Appendix{\appendix
  \def\@seccntformat##1{Appendix~\csname the##1\endcsname.~~}}

\makeatother


\begin{document}

\nonfrenchspacing

\centerline{\bf Лекция~2}
\centerline{\bf Представление свободными полями и фоковское представление алгебры Вирасоро}
\bigskip

\setcounter{section}2

\subsection{Свободное поле}

Рассмотрим теорию свободного безмассового бозонного поля $\varphi(z,\bz)$ с действием
\eq{
S[\varphi]=\int d^2x\,{(\d_\mu\varphi)^2\over16\pi}.
\label{phiaction}
}
Из функционального интеграла нетрудно получить, что парная корреляционная функция равна
\eq{
\langle\varphi(x')\varphi(x)\rangle=2\log{R^2\over|x'-x|^2}.
\label{ff-pair}
}
Параметр $R$ выбран произвольно, но для теории на конечной области он будет порядка размера области. Мы будем рассматривать его как параметр инфракрасной обрезки и в конце вычислений будем устремлять его к бесконечности. Все остальные корреляционные функции определяются парной по теореме Вика.

Нас будут особенно интересовать экспоненциальные поля
$$
V_\alpha(x)=\e^{\i\alpha\varphi(x)}
$$
и их корреляционные функции
$$
\langle V_{\alpha_1}(x_1)\cdots V_{\alpha_N}(x_N)\rangle.
$$
Для вычисления этих корреляционных функций, воспользуемся тождеством
$$
\langle\e^\Phi\rangle=\e^{{1\over2}\langle\Phi^2\rangle},
$$
верным для любого поля $\Phi$, линейного по фундаментальному полю. Подставляя $\Phi=\alpha_1\varphi(x_1)+\cdots+\alpha_2\varphi(x_2)$, получим
$$
\langle V_{\alpha_1}(x_1)\cdots V_{\alpha_N}(x_N)\rangle
=\exp\left(-{1\over2}\sum^N_{i=1}\alpha_i^2\langle\varphi^2(x)\rangle
-\sum^N_{i<j}\alpha_i\alpha_j\langle\varphi(x_i)\varphi(x_j)\rangle\right).
$$
Здесь появилась первая трудность. Дело в том, что величина $\langle\varphi^2(x)\rangle$ формально бесконечна. Введем ультрафиолетовое обрезание, которое удобно записать в виде
$$
\langle\varphi^2(x)\rangle=2\log{R^2\over r_0^2},
$$
где $r_0$ --- масштаб обрезания.

С учетом такой ультрафиолетовой обрезки получим
$$
\langle V_{\alpha_1}(x_1)\cdots V_{\alpha_N}(x_N)\rangle
=\left(r_0\over R\right)^{2\sum\alpha_i^2}
\prod_{i<j}\left(|x_i-x_j|^2\over R^2\right)^{2\alpha_i\alpha_j}
=r_0^{2\sum\alpha_i^2}R^{-2\left(\sum\alpha_i\right)^2}\prod_{i<j}|z_i-z_j|^{4\alpha_i\alpha_j}.
$$
Мы видим, что ультрафиолетово расходящиеся множетели $r_0^{2\alpha_i^2}$ могут быть устранены перенормировкой экспоненциальных полей
$$
V_\alpha(x)\to r_0^{2\alpha^2}V_\alpha(x).
$$
При этом формально такой перенормированный экспоненциальный оператор становится размерным и имеет размерность~$2\alpha_0^2$. Инфракрасный множитель $R^{-2\left(\sum\alpha_i\right)^2}$ стремится к нулю в пределе $R\to\infty$ если только $\sum\alpha_i\ne0$. Поэтому окончательно находим
\eq{
\langle V_{\alpha_1}(x_1)\cdots V_{\alpha_N}(x_N)\rangle
=\Cases{\prod^N_{i<j}|z_i-z_j|^{4\alpha_i\alpha_j},&\text{если }\sum^N_{i=1}\alpha_i=0,\\
0,&\text{если }\sum^N_{i=1}\alpha_i\ne0.}
\label{V...V-corr0}
}
Заметим, что ненулевая парная корреляционная функция
$$
\langle V_\alpha(x)V_{-\alpha}(0)\rangle={1\over|z|^{4\alpha^2}}
$$
согласуется с предположением, что конформные размерности полей равны $\Delta_\alpha=\bDelta_\alpha=\alpha^2$.

Теперь получим тензор энергии"=импульса из действия~(\ref{phiaction}):
$$
T(z)=-{1\over4}\lcolon(\d\varphi)^2\rcolon,
\qquad
\bT(\bz)=-{1\over4}\lcolon(\d\varphi)^2\rcolon.
$$
Нетрудно проверить операторные разложения
$$
\Gathered{
T(z')T(z)={1/2\over(z'-z)^4}+{2T(z)\over(z'-z)^2}+{\d T(z)\over z'-z}+O(1),
\\
T(z')V(z)={\alpha^2 V_\alpha(z)\over(z'-z)^2}+{\d V_\alpha(z)\over z'-z}+O(1).
}
$$
Первое из этий разложений означает, что центральный заряд алгебры Вирасоро равен единице, а второе --- что экспоненциальное поле $V_\alpha(z)$ является первичным (примарным) полем с конформной размерностью $\Delta_\alpha=\alpha^2$. Заметим, что для вычисления второго разложения удобно пользоваться соотношением
$$
V_\alpha(z)=R^{-2\alpha^2}\lcolon V_\alpha(z)\rcolon.
$$
В дальнейшем, чтобы не утежелять формул, мы будем опускать все множители $R^\#$ и отождествлять экспоненты с их нормально"=упорядоченными вариантами.


\subsection{<<Заряд на бесконечности>>}

Возникает естественный вопрос: можем ли мы описать с помощью свободного бозона теорию с произвольным центральным зарядом? Попробуем модифицировать тензор энергии"=импульса, прибавив к нему полную производную. Из соображений размерности ясно, что единственное слагаемое, которое можно добавить, пропорционально $\d^2\varphi$:
\eq{
T(z)=-{1\over4}(\d\varphi)^2+\i\alpha_0\d^2\varphi,
\qquad
\bT(\bz)=-{1\over4}(\bd\varphi)^2+\i\alpha_0\bd^2\varphi.
\label{TbarTdef}
}
Нетрудно вычислить операторные разложения для такого тензора энергии"=импульса
\Align{
T(z')T(z)
&={c/2\over(z'-z)^4}+{2T(z)\over(z'-z)^2}+{\d T(z)\over z'-z}+O(1),
\qquad
c=1-24\alpha_0^2,
\label{ff-TT-OPE}
\\
T(z')V(z)
&={\Delta_\alpha V_\alpha(z)\over(z'-z)^2}+{\d V_\alpha(z)\over z'-z}+O(1),
\qquad
\Delta_\alpha=\alpha(\alpha-2\alpha_0).
\label{ff-TV-OPE}
}
Нетрудно проверить, что физически осмысленные вещественные значаения конформной размерности имеют место в двух случаях: 1)~параметр $\alpha_0$ вещественный, а $\alpha$ либо вещественный, либо лежит в множестве $\i\alpha_0+\i\R$; 2)~параметр $\alpha_0$ чисто мнимый, в то время как $\alpha$ либо тоже чисто мнимый, либо лежит в множестве $\alpha_0+\R$. В первом случае $c\le1$, а во втором $c\ge1$. Хотя мы будем, в основном, заниматься первым случаем, мы введем также обозначения, удобные во втором случае, во"=первых, потому что они красивы, а во"=вторых, потому что они удобны при исследовании теории Лиувилля, о которой вам расскажет Литвинов. Именно, положим
$$
\i\alpha_0={Q\over2},
\qquad
\i\alpha=a.
$$
Тогда центральный заряд равен
$$
c=1+6Q^2,
$$
а конформная размерность поля $\e^{a\varphi}$ равна
$$
\Delta_{-\i a}=a(Q-a).
$$
Сравнивая с формулами для кацевских размерностей из Лекции~1, нетрудно убедиться в том, что кацевские размерности вещественны только при
$$
{\rm(I)}~c\le1\quad\text{или}\quad{\rm(II)}~c\ge25.
$$
Ниже мы убедимся, что и с других точек зрения эти две области выделены. В области (I) возможно построить \emph{минимальные модели}, в которых все первичные поля вырождены (а параметр $\alpha$ вещественный), а в области (II) возможно построить самосогласованную теорию, физические первичные операторы в которой представляют собой невырожденные поля c $\alpha\in(\i\R)\cup(\alpha_0+\R)$, то есть $a\in\R\cup(Q/2+\i\R)$. Последняя теория может быть отождествлена с теорией Лиувилля.

Вернемся к конформным размерностям экспоненциальных полей. Со сдвинутым тензором энергии"=импульса одинаковую размерность имеют уже не поля $V_\alpha$ и $V_{-\alpha}$, а поля $V_\alpha$ и $V_{2\alpha_0-\alpha}$. А это значит, что, для того, чтобы теория была корректно определена на сфере, следует переопределить парную корреляционную функцию. Именно, для любого оператора $X$ положим
\eq{
\langle X\rangle_{\alpha_0}
=\lim_{|z|\to\infty}|z|^{16\alpha_0^2}\langle V_{-2\alpha_0}(z,\bz)X\rangle_0,
\label{alpha0corrdef}
}
где $\langle\cdots\rangle_0$ --- стандартное вакуумное среднее для свободного безмассового бозона. Множитель $|z|^{16\alpha_0^2}$ введен потому, что при больших значениях $|z|$ оператор общего вида $X$ будет выглядеть пропорциональными $V_{2\alpha_0}(0,0)$. Таким образом, корреляционная функция в правой части (\ref{alpha0corrdef}) будет в лидирующем порядке пропорциональна~$|z|^{-16\alpha_0^2}$. Ниже под средним $\langle\cdots\rangle$ всегда будет пониматься среднее с <<зарядом на бесконечности>>~$\langle\cdots\rangle_{\alpha_0}$. Тогда
\eq{
\langle V_\alpha(z_1,\bz_1)V_{2\alpha_0-\alpha}(z_2,\bz_2)\rangle
={1\over|z_{12}|^{4\Delta_\alpha}},
\label{VVcorr}
}
что согласуется со свойствами двухточечных корреляционных функций конформной теории на сфере. Для общих корреляционных функций имеем
\eq{
\langle V_{\alpha_1}(x_1)\cdots V_{\alpha_N}(x_N)\rangle
=\Cases{\prod^N_{i<j}|z_i-z_j|^{4\alpha_i\alpha_j},&\text{если }\sum^N_{i=1}\alpha_i=2\alpha_0,\\
0,&\text{если }\sum^N_{i=1}\alpha_i\ne2\alpha_0.}
\label{V...V-corr}
}

В картине радиального квантоваяния мы можем ввести состояния $|\alpha\rangle$ и $\langle\alpha|$ следующим очевидным образом:
\eq{
|\alpha\rangle=V_\alpha(0,0)|0\rangle,
\qquad
\langle\alpha|=\lim_{z\to\infty}(z\bz)^{4\Delta_\alpha}\langle0|V_\alpha(z,\bz).
\label{rl-vac}
}
Более аккуратно их можно ввести с помощью разложения поля $\varphi(z,\bz)$ по модам:
\eq{
\varphi(z,\bz)=Q-2\i P\log(z\bz)+\sum_{n\ne0}\left({a_n\over\i n}z^{-n}+{\bar a_n\over\i n}\bz^{-n}\right),
\label{varphi-expand}
}
где
\eq{
[P,Q]=-\i,
\qquad
[a_m,a_n]=[\bar a_m,\bar a_n]=2m\delta_{m+n,0}.
\label{ff-osc}
}
Тогда
\eq{
a_n|\alpha\rangle=\bar a_n|\alpha\rangle=0\quad(n>0),
\qquad
P|\alpha\rangle=\alpha|\alpha\rangle.
\label{vac-osc-def}
}
Нетрудно проверить, что
\eq{
|\alpha\rangle\sim\e^{\i\alpha Q}|\alpha\rangle=\lcolon V_\alpha(0)\rcolon|\alpha\rangle.
\label{vac-osc-explicit}
}
Каждый вектор $|\alpha\rangle$ порождает \emph{фоковский модуль} $\cF^{\rm tot}_\alpha$, представляющий собой свободно"=порожденное представление алгебры Гайзенберга
\eq{
\cF^{\rm tot}_\alpha=\left\{a_{-n_1}\cdots a_{-n_k}\bar a_{-\bar n_1}\cdots\bar a_{-\bar n_{\bar k}}|\alpha\rangle
\Big|k,\bar k\ge0;\ n_i,\bar n_i\ge0\right\}.
\label{cF-def}
}
В то же время, фоковский модуль является представлением двух алгебр Вирасоро, поскольку на нем алгебра Вирасоро действует коэффициентами разложения по $z$, $\bz$ компонент тензора энергии-имапульса.


\subsection{Киральные компоненты}

Хотя представление свободными полями и позволяет прямо получать корреляционные функции в конформной теории поля, нашей первой целью будет именно представление для конформных блоков. Поэтому мы разобьем свободное поле на правую и левую компоненту, или, как еще говорят, на голоморфную и антиголоморфную части:
\eq{
\varphi(z,\bz)=\varphi(z)+\bvarphi(\bz).
\label{varphichir}
}
При этом корреляционные функции по определению равны
\eq{
\langle\varphi(z')\varphi(z)\rangle_0=2\log{R\over z'-z},
\qquad
\langle\bvarphi(\bz')\bvarphi(\bz)\rangle_0=2\log{R\over\bz'-\bz},
\qquad
\langle\bvarphi(\bz')\varphi(z)\rangle_0=0.
\label{varphicorr}
}
Такое разбиение основано на том, что оно формально дает решение уравнения движения $\d\bd\varphi=0$. Из разложение по модам (\ref{ff-osc}) мы можем видеть, что это разбиение
$$
\Aligned{
\varphi(z)
&=Q-2\i P\log z+\sum_{n\ne0}{a_n\over\i n}z^{-n},
\\
\bvarphi(z)
&=Q-2\i P\log\bz+\sum_{n\ne0}{\bar a_n\over\i n}\bz^{-n}
}
$$
не вполне точно: нулевая мода $Q$ не может быть буквально <<разделена>> на правую и левую киральные части. Это отвечает неоднозначности такого представления для классического решения уравнения движения. Фоковский модуль $\cF^{\rm tot}_\alpha$ распадается в тензорное произведение
\eq{
\cF^{\rm tot}_\alpha=\cF_\alpha\otimes\bar\cF_\alpha,
\label{cFtot-decomp}
}
где $\cF_\alpha$ порождается операторми~$a_{-n}$, а $\bar\cF_\alpha$ --- операторами~$\bar a_{-n}$. Очевидно, правый и левый модули изоморфны: $\bar\cF_\alpha\cong\cF_\alpha$.

Киральные части можно определить и другим способом. Введем \emph{дуальное} поле
$$
\tilde\varphi(x)=\int^{x_1}_{-\infty}dy^1\,\d_0\varphi(x^0,y^1).
$$
Это поле нелокально, но его корреляционные функции непрерывны, пока контур интегрирования не пересечет какой"=нибудь точки, где сидит другое поле. Таким образом, <<огибая>> контуром эти точки, можно определить его корреляционные функции как многозначные функции на плоскости. Далее, поля $\varphi(z)$ и $\bvarphi(\bz)$ можно определить формулой
\eq{
\tilde\varphi(z,\bz)=\varphi(z)-\bvarphi(\bz).
\label{tvarphichir}
}

Для экпоненциальных полей киральных операторов
\eq{
V_\alpha(z)=\e^{\i\alpha\varphi(z)},
\qquad
\bV_\alpha(\bz)=\e^{\i\alpha\bvarphi(\bz)}
\label{VbV-def}
}
имеет место следующее вырожение для корреляционных функций
\eq{
\left\langle\,\mathop{\prod^N_{i=1}}^{\curvearrowright}V_\alpha(z_i)\right\rangle
=\Cases{\prod^N_{i<j}(z_i-z_j)^{2\alpha_i\alpha_j},&\sum^N_{i=1}\alpha_i=2\alpha_0,\\
0,&\sum^N_{i=1}\alpha_i\ne2\alpha_0.}
\label{expcorr}
}
Эта формула очень похожа на (\ref{V...V-corr}), но здесь важен порядок расположения операторов $V_{\alpha_i}(z_i)$. Кроме того, мы видим, что эта корреляционная функция, вообще говоря, неоднозначна. Аналогичная формула имеет место для~$\bV_\alpha(\bz)$.

\subsection{Экранирующие операторы и структура фоковских модулей}

Поскольку мы задались целью научиться вычислять конформные блоки, мы можем на время забыть про~$\bvarphi(\bz)$. Среди операторов $V_\alpha(z)$ есть два оператора конформной размерности~1. Значения параметра $\alpha$ для этих операторов определяются решением квадратного уравнения:
\eq{
\alpha_\pm(\alpha_\pm-2\alpha_0)=1.
\label{Delta1eq}
}
Решения этого уравнения очевидны:
\eq{
\alpha_\pm=\alpha_0\pm\sqrt{\alpha_0^2+1}
\label{alphapmdef}
}
В <<лиувиллевских>> обозначениях это решение выглядит особенно просто. Полагая
\eq{
Q=b+b^{-1},
\label{Qbb}
}
из уравнения $a_\pm(Q-a_\pm)$ получаем
$$
a_+=b^{-1},
\qquad
a_-=b.
$$
Соответствющие вершинные операторы мы будем обозначать~$V_\pm(z)$. Теперь в теории свободного <<кирального>> поля $\varphi(z)$ мы можем ввести два оператора
\eq{
S_\pm(C)=\int_Cdz\,V_\pm(z),
\label{Sdef}
}
зависящих от контура интегрирования~$C$. Такие операторы называются \textit{экранирующими операторами} (в просторечьи, <<скринингами>>) и в случае замкнутого (на универсальном накрытии!) контура~$C$ коммутируют с алгеброй Вирасоро. Действительно,
$$
T(z')V_\pm(z)={V_\pm(z)\over(z'-z)^2}+{\d V_\pm(z)\over z'-z}+O(1)
={\d\over\d z}{V_\pm(z)\over z'-z}+O(1)
$$
и сингулярная часть интеграла по $z$ вокруг точки $z'$ сводится к полной производной. В терминах генераторов алгебры Вирасоро это столь же просто
$$
[L_n,V_\pm(z)]=(n+1)z^nV_\pm(z)+z^{n+1}\d V_\pm(z)=\d(z^{n+1}V_\pm(z)).
$$

Давайте определим более общий оператор
\eq{
Q_\pm^{(k)}(z_0)=\int_{C(z_0)}{dz_1\over2\pi\i}\int_{C(z_1)}{dz_2\over2\pi\i}
\cdots\int_{C(z_{k-1})}{dz_k\over2\pi\i}\,V_\pm(z_1)V_\pm(z_2)\cdots V_\pm(z_k),
\label{Qk-def}
}
причем контуры $C(z_i)$ обходят вокруг нуля в положительном направлении, начинаясь и заканчиваять в точке~$z_i$. Каждый следующий контур лежит внутри предыдущего. Каждый из контуров $C(z_i)$, вообще говоря, не замкнут, но общий контур интегрирования может замкнуться. Давайте, к примеру, рассмотрим интеграл
\Multline{
Q^{(m)}_+(z_0)|\alpha\rangle
=\int{dz_1\over2\pi\i}\cdots\int{dz_m\over2\pi\i}\,
\prod^m_{i=1}z_i^{2\alpha_+\alpha_i}\prod^m_{i<j}(z_i-z_j)^{2\alpha_+^2}
\lcolon V_+(z_1)\cdots V_+(z_m)V_\alpha(0)\rcolon|0\rangle
\\
=\int{dz_1\over2\pi\i}\cdots\int{dz_m\over2\pi\i}\,
\prod^m_{i=1}z_i^{2\alpha_+\alpha_i+2(m-i)\alpha_+^2}\prod^m_{i<j}\left(1-{z_j\over z_i}\right)^{2\alpha_+^2}
\lcolon V_+(z_1)\cdots V_+(z_m)V_\alpha(0)\rcolon|0\rangle.
\notag}
Последняя строчка в этом выражении говорит о том, что интеграл в целом не будет зависеть от~$z_0$ и, на самом деле, будет замкнутым, если
$$
\sum^m_{i=1}(2\alpha_+\alpha+2(m-i)\alpha_+^2)=2m\alpha_+\alpha+m(m-1)\alpha_+^2\in\Z.
$$
Аналогично потребуем замкнутости контура в интеграле $Q^{(n)}_-(z_0)|\alpha\rangle$:
$$
\sum^n_{i=1}(2\alpha_-\alpha+2(n-i)\alpha_-^2)=2n\alpha_-\alpha+n(n-1)\alpha_-^2\in\Z.
$$
Эти два условия согласованы, если
\eq{
\alpha=\alpha_{mn}\equiv{1-m\over2}\alpha_++{1-n\over2}\alpha_-,
\quad\Leftrightarrow\quad
a=a_{mn}\equiv{1-m\over2}b^{-1}+{1-n\over2}b.
\label{ff-KacDim}
}
Соответствующие конформные размерности $\Delta_{\alpha_{mn}}$ совпадают с кацевскими размерностями $\Delta_{mn}$ вырожденных полей. Чтобы понять, с чем это связано, нам нужно будет установить несколько важных фактов. Мы будем формулировать их в терминах $Q^{(m)}_+$, предполагая, что все они без труда переписываются на $Q^{(n)}_-$.

Первый факт состоит в том, что оператор $Q^{(m)}_+$ действует на всем пространстве $\cF_{mn}=\cF_{\alpha_{mn}}$, а не только на~$|\alpha_{mn}\rangle$. Действительно, выражение под интегралом изменится, но если мы выделим произведение $\prod^m_{i=1}z_i^{2\alpha_+\alpha_i}$, остальная часть будет раскладыватьс по целым степеням~$z_j/z_i$. Более того, оператор $Q^{(m)}_+$ является \emph{сплетающим оператором} алгебры Вирасоро:
\eq{
Q^{(m)}_+:\cF_{mn}\to\cF_{-m,n},
\qquad
[L_n,Q^{(m)}_+]=0.
\label{Q-intertw}
}
Если бы оба модуля $\cF_{mn}$ и $\cF_{-m,n}$ были бы неприводимы, это автоматически означало бы их изоморфизм. Очевидно, они не изоморфны, так как имеют разные старшие веса
\eq{
\Delta_{-m,n}=\Delta_{mn}+mn.
\label{Deltamn-id}
}
Значит, они и не могут быть одновременно неприводимы. Из формулы (\ref{Deltamn-id}) немедленно следует, что
\eq{
Q^{(m)}_+|\alpha_{mn}\rangle=0,\quad\text{если $n>0$.}
\label{Qmn-zero}
}
Действительно,
$$
L_0Q^{(m)}_+|\alpha_{mn}\rangle=Q^{(m)}_+L_0|\alpha_{mn}\rangle=\Delta_{mn}Q^{(m)}_+|\alpha_{mn}\rangle,
$$
а, значат, вес вектора $Q^{(m)}_+|\alpha_{mn}\rangle$ равен $\Delta_{mn}$. Но модуль $\cF_{-m,n}$ при $n>0$ не содержит вектора с таким весом. Взаимоотношения между модулями $\cF_{mn}$ и $\cF_{-m,n}$ в точках общего положения по центральному заряду $c$ можно изобразить следующей диаграммой:
\eq{
\Matrix{&&\cF^{(0)}_{mn}\\
&&\uparrow\\
\cF_{-m,n}&\xleftarrow{Q^{(m)}_+}&\cF^{(1)}_{mn}}
\qquad\qquad
(n>0)
\label{diag-npos}
}
Здесь горизонтальная стрелка обозначает действие $Q^{(m)}_+$, а вертикальная --- отношение подмодуля. Пространство $\cF_{-m,n}$ с точки зрения алгебры Вирасоро является неприводимым представлением. Представление $\cF^{(1)}_{mn}=\cF_{mn}$ порождаемое некоторым вектором (не старшего веса!) на уровне $mn$ является приводимым, так как содержит подмодуль $\cF^{(0)}_{mn}$, порождаемый вектором страшего веса $|\alpha_{mn}\rangle$. Подмодуль $\cF^{(0)}_{mn}$ является неприводимым.

В случае $n<0$ картина другая:
\eq{
\Matrix{\cF^{(0)}_{-m,n}&&\\
\downarrow&&\\
\cF^{(-1)}_{-m,n}&\xleftarrow{Q^{(m)}_+}\cF_{mn}}
\qquad\qquad
(n<0)
\label{diag-nneg}
}
Представление (алгебры Вирасоро) $\cF_{mn}$ является неприводимым. Оно изоморфно неприводимому же подмодулю $\cF^{(-1)}_{-m,n}$, в то время как модуль $\cF^{(0)}_{-m,n}=\cF_{-m,n}$ изоморфен модулю Верма~$M_{c,\Delta_{mn}}$.


\subsection{Правила слияния и операторные разложения}

Рассмотрим произведение $V_{21}(z)V_\alpha(0)$ и попробуем вычислить его операторное разложение:
\Multline{
V_{21}(z)V_\alpha(0)=z^{2\alpha_{21}\alpha}\lcolon V_{21}(z)V_\alpha(0)\rcolon
\\
=z^{2\alpha_{21}\alpha}\Bigl(
V_{\alpha+\alpha_{21}}(0)+z\cdot\i\alpha_{21}\lcolon\d\varphi\,V_{\alpha+\alpha_{21}}\rcolon(0)
\\
+z^2\lcolon\left(\i\alpha_{21}\d^2\varphi-\alpha_{21}^2(\d\varphi)^2\right)V_{\alpha+\alpha_{21}}\rcolon(0)
+O\left(z^3\right)\Bigr).
\notag}
Мы видим, что в правой стороне находится оператор из модуля $\cF_{\alpha+\alpha_{21}}$ (не забудем про соответствие между операторами и векторами, хотя здесь и нелокальные поля!), причем $z$ в нецелой степени стоит общим множителем. Показатель у $z$ перед скобкой как раз равен $\Delta_{\alpha+\alpha_{21}}-\Delta_\alpha-\Delta_{21}$. Следовательно, при обходе точки $z$ вокруг точки $0$ набегает фаза $\e^{2\pi\i\cdot2\alpha\alpha_+}=\e^{2\pi\i(\Delta_{\alpha+\alpha_{21}-\Delta_{21}-\Delta_\alpha})}$. Кроме того, мы можем предположить, что матричные элементы
$$
\langle XV_{21}(z)V_\alpha(0)\rangle
$$
при некоторых ограничениях на оператор $X$ будут удовлетворять дифференциальному уравнению, которому удовлетворяют конформные блоки $\cF^{\alpha_4}_{\alpha_3,21,\alpha}(\alpha+\alpha_{21}|z)$. Мы уточним эти ограничения позже и выясним вид оператора~$X$.

А сейчас заметим, что если мы вставим экранирующие операторы по замкнутым контурам, то, поскольку экранирующие коммутируют с алгеброй Вирасоро, матричный элемент будет удовлетворять тому же дифференциальному уравнению. Если мы рассматриваем произведение $V_{21}(z)V_\alpha(0)$, то нацепить на него оператор $S_-$ не удастся, потому что $S_-|\alpha_{21}\rangle=0$ и экранирующий оператор <<соскальзнет>> с оператора $V_{21}$, а замкуться вокруг $V_\alpha$ он, вообще говоря, не сможет. Поэтому нацепим $S_+$ так, чтобы контур дважды обходил точки $z$ и $0$ в противоположных направлениях и контур замкнулся. Вычислять такой интеграл довольно занудно, и мы, вместо этого, сожмем контур вокруг точки $z$, превратив его в незамкнутый контур от $z$ до~$z\e^{2\pi\i}$. Иными словам, рассмотрим произведение:
\Multline{
V_{21}(z)Q^{(1)}_+(z)V_\alpha(0)
=z^{2\alpha_{21}\alpha}\int_{C(z)}{dv\over2\pi\i}\,v^{2\alpha_+\alpha}(z-v)^{2\alpha_+\alpha_{21}}
\lcolon V_{21}(z)Q^{(1)}_+(z)V_\alpha(0)\rcolon
\\
=z^{2\alpha_{21}\alpha+2\alpha_+\alpha+2\alpha_+\alpha_{21}+1}
\int_{C(1)}{d\xi\over2\pi\i}\,\xi^{2\alpha_+\alpha}(1-\xi)^{2\alpha_+\alpha_{21}}
\Bigl(V_{\alpha-\alpha_{21}}(0)
\\
+z\cdot\i(\alpha_{21}+\alpha_+\xi)\lcolon\d\varphi\,V_{\alpha-\alpha_{21}}\rcolon(0)
+O\left(z^2\right)\Bigr).
\notag}
Правая часть принадлежит модулю $\cF_{\alpha-\alpha_{21}}$, а показатель у $z$ перед интегралом равен $\Delta_{\alpha-\alpha_{21}}-\Delta_\alpha-\Delta_{21}$.
Таким образом, мы ожидаем корреляционные функции вида
$$
\langle XV_{21}(z)Q^{(1)}_+(z)V_\alpha(0)\rangle
$$
дадут нам конформные блоки $\cF^{\alpha_4}_{\alpha_3,21,\alpha}(\alpha-\alpha_{21}|z)$. Дальнейшее <<накручивание>> экранирующих операторв $S_+$ ничего не даст, так как они будут <<соскальзывать>> с $V_{21}$ и обращать корреляционнуй функцию в нуль. Следовательно наши ответы согласуются с правилом слияния, полученым на прошлой лекции:
$$
\Phi_{21}(z)\Phi_\alpha(0)\sim[\Phi_{\alpha+\alpha_{21}}(0)]+[\Phi_{\alpha-\alpha_{21}}(0)].
$$
Более того, такой ответ дает нам надежду получить конформные блоки, содержащие поле $\Phi_{21}$ в виде интегралов. Интегральные представления играют большую роль в теории линейных дифференциальных уравнений, поскольку позволяют явно найти матрицы монодромии. Этим (или почти этим) мы займемся в следующей лекции, а сейчас попробуем обобщить результат на произвольные вершинные операторы~$V_{mn}$.

Рассмотрим произведение
\eq{
V_{mn}(z)Q^{(r)}_+(z)Q^{(s)}_-(z)V_\alpha(0),
\qquad
0\le r\le m-1,
\quad
0\le s\le n-1.
\label{VQV-gen}
}
Нетрудно проверить, что общий <<заряд>> такого оператора равен
$$
\alpha_{mn}+\alpha-r\alpha_+-s\alpha_-=\alpha+\alpha_{m-2r,n-2s}.
$$
Отсюда заключаем, что
$$
V_{mn}(z)Q^{(r)}_+(z)Q^{(s)}_-(z)V_\alpha(0)
=z^{\Delta_{\alpha+\alpha_{m-2r,n-2s}}-\Delta_\alpha-\Delta_{mn}}
D^{(mn;rs)}_\alpha(V_{\alpha+\alpha_{m-2r,n-2s}}(0)+O(z)).
$$
Коэффициенты $D^{(mn;rs)}_\alpha$ можно вычислить явно, взяв кратные интегралы.

Наконец, предположим, что оператор $\Phi_\alpha$ тоже вырожденный: $\alpha=\alpha_{m_1n_1}$. Тогда произведение (\ref{VQV-gen}) обратится в нуль, если $r\ge m_1$ или $s\ge n_1$. Это согласуется правилом слияния вырожденных полей, выписанных в предыдущей лекции.


\subsection{Рациональные точки. Резольвента Фельдера}

Зададимся вопросом: что будет, если в модуле Верма имеется два нуль"=вектора:
$$
\Delta_{mn}=\Delta_{m'n'},
\qquad
m,n,m',n'>0?
$$
Это возможно, если либо $\alpha_{mn}=\alpha_{m'n'}$, либо $\alpha_{mn}+\alpha_{m'n'}=2\alpha_0$. Решая первое уравнение, мы найдем, что
$$
{n'-n\over m'-m}=-{\alpha_+\over\alpha_-}=\alpha_+^2,
$$
то есть $\alpha_+^2$ является рациональным числом $q/p$. К аналогичному выводу мы придем во втором случае:
$$
{n'+n\over m'+m}=\alpha_+^2.
$$
Более того, несомненно, что если это выполняется для одной пары $m',n'$, то существует бесконечно много решений и в модуле $M_{c,\Delta_{mn}}$ имеется бесконечно много нуль"=векторов. Считая числа $p$ и $q>p$ взаимно"=простыми, находим
\eq{
c=c(p,q)\equiv1-{6(q-p)^2\over pq}.
\label{cpq}
}
Для этих случаев все поля $\Phi_{m+kp,n+kq}$, $\Phi_{-m+(k+1)p,-n+(k+1)q}$ с неотрицательными целыми $k$ имеют одинаковую размерность. Мы будем отождествлять такие поля. В этом случае мы можем ограничиться на полосу, например, $1\le n\le q-1$. В минимальных моделях общего положения мы уже выбрасывали поля с $m\le0$, $n>0$. Это было возможно, потому что при слиянии двух полей в области $m,n>0$ снова получались поля в этой же области. В случае рациональных $\alpha_+^2$ можно выбросить и поля с $m\ge p$. Действительно, мы можем совершить преобразования $(m,n)\to(p-m,q-n)$, не меняющее размерностей. Поэтому слияние полей в области $p-m,q-n>0$ снова даст поля только в этой области. Отсюда следует, что мы можем ограничить первичные поля набором $\Phi_{m,n}$~с
\eq{
1\le m\le p-1,
\qquad
1\le n\le q-1.
\label{mn-pq}
}
При этом, чтобы, в соответствии с определением минимальных моделей, поле каждой размерности входило в теорию в одном экземпляре, мы должны отождествить
$$
\Phi_{mn}=\Phi_{p-m,q-n}.
$$
Поэтому наша теория будет иметь всего $(p-1)(q-1)/2$ первичных полей. Размерности этих полей равны
\eq{
\Delta_{mn}={(qm-pn)^2-(q-p)^2\over4pq}.
\label{Deltamn-rat}
}
Такую теорию мы будем называть \emph{рациональной минимальной моделью}. Я хочу подчеркнуть, что рациональные минимальные модели \emph{не совпадают} с минимальными моделями общего положения в пределе $c\to c(p,q)$, а получаются из них \emph{редукцией пространства состояний}. Точно также как минимальные модели общего положения не совпадают с теорией свободного бозонного поля с подкрученным тензором энергии"=импульса и зарядом на бесконечности, а получаются из нее некоторой редукцией.

Рассмотрим теперь структуру модуля Верма $M_{c,\Delta_{mn}}$. Как мы уже установили, модуль Верма содержит по крайней мере два нуль"=вектора с размерностями $\Delta_{mn}+mn=\Delta_{-m,n}$ и $\Delta_{mn}+(p-m)(q-n)=\Delta_{2p-m,n}$. Эти нуль"=векторы порождают подмодули Верма, которые содержат тоже пару нуль"=векторов с размерностями $\Delta_{-2p+m,n}=\Delta_{-m,n}+(p-m)(q+n)=\Delta_{2p-m,n}+(2p-m)n$ и $\Delta_{2p+m,n}=\Delta_{-m,n}+(p+m)(q-n)=\Delta_{2p-m,n}+m(2p-n)$. Оказывается, что эти два нуль"=вектора --- общие для подмодулей и полностью порождают пересечение этих двух подмодулей. Их подмодули также пересекаются и их пересечение порождаются двумя следующими нуль"=векторами. Размерности нуль"=векторов легко устанавливается отражениями исходной пары $(m,n)$ от двух плоскостей: $m=0$ и~$m=p$.

Изучим теперь структуру соответствующего фоковского модуля. Прежде всего заметим, что оператор $Q^{(m)}_+$ теперь определен на всех пространствах $\cF_{m+pk,n}$, переводя их в $\cF_{-m+pk,n}$. При этом $Q^{(m)}_+|\alpha_{m+pk,n}\rangle=0$, если $k\le0$. Отсюда следует, что операторы $Q^{(m)}_+$ и $Q^{(p-m)}_+$ чередуются:
\eq{
\cdots\xleftarrow{Q^{(m)}_+}\cF_{-2p+m,n}\xleftarrow{Q^{(p-m)}_+}\cF_{-m,n}\xleftarrow{Q^{(m)}_+}\cF_{mn}
\xleftarrow{Q^{(p-m)}_+}\cF_{2p-m,n}\xleftarrow{Q^{(m)}_+}\cF_{2p+m,n}\xleftarrow{Q^{(p-m)}_+}\cdots
\label{<-cFmn<-}
}
Важный факт (Дж.~Фельдер, 1989) состоит в том, что
\eq{
Q^{(m)}_+Q^{(p-m)}_+=Q^{(p-m)}_+Q^{(m)}_+=Q^{(p)}_+=0.
\label{QQ=0}
}
Для доказательства запишем интеграл явно
$$
Q^{(p)}_+=\int{dz_1\over2\pi\i}\cdots\int{dz_p\over2\pi\i}\,
\prod^p_{i=1}\prod^m_{i<j}(z_i-z_j)^{2\alpha_+^2}
\lcolon V_+(z_1)\cdots V_+(z_m)\rcolon
$$
и симметризуем его. С каждой перестановкой двух соседних переменных связан множитель $\boldsymbol q_+=\e^{2\i\pi\alpha_+^2}=\e^{\i\pi q/p}$. Вычислим сумму по перестановкой, заменив $\boldsymbol q_+$ произольным~$w$:
\eq{
\sum_{\sigma\in S_p}\prod^p{i<j}w^{\theta(\sigma_i-\sigma_j)}
=(1+w)(1+w+w^2)\cdots(1+w+\cdots+w^{p-1}),
\label{sym-sum}
}
где $\theta(x)$ --- ступенчатая функция Хевисайда. Формула доказывается по индукции. Она очевидно верна, если~$p=1$. Если формула верна на шаге $p-1$, то на шаге $p$ рассмотрим по отдельности перестановки в которых на первом месте ($\sigma_1$) стоят последовательно числа $1,2,\ldots p$. Каждый данный $\sigma_1$ дает множитель $w^{\sigma_1-1}$, так как он находится левее $(\sigma_1-1)$ чисел $1,2,\ldots,\sigma_1-1$. Для перестаноки оставшихся $p-1$ чисел пользуемся формулой (\ref{sym-sum}) и получаем одно и то же число. Таким образом, на $p$-м шаге формула просто умножается на $1+w+\cdots+w^{p-1}$. Далее, подставив $w=\boldsymbol q_+$, получим для последнего множителя
$$
1+\boldsymbol q_++\cdots+\boldsymbol q_+^{p-1}={1-\boldsymbol q_+^p\over1-\boldsymbol q_+}=0.
$$
Это завершает доказательство.

Факт (\ref{QQ=0}) означает, что цепочка (\ref{<-cFmn<-}) представляет собой цепной комплекс. Пространство физических состояний является резольвентой цепного комплекса:
$$
\cH_{mn}=\Ker Q^{(m)}_+/\Im Q^{(p-m)}_+.
$$
Можно показать, что цепной комплекс точен во всех членах, кроме нулевого. Поэтому
\eq{
\cH_{mn}=\Ker_{\cF_{mn}}Q^{(m)}_+/\Im_{\cF_{2p-m,n}}Q^{(p-m)}_+.
\label{cH-def}
}
Ситуацию можно проиллюстрировать диаграммой
\eq{
\vcenter{\hbox{
\begin{tikzpicture}
\node (F0) at (0,0) {$\cF^{(0)}_{mn}$};
\node (F1) at (-1,-2) {$\cF^{(1)}_{mn}$};
\node (F-1) at (1,-2) {$\cF^{(-1)}_{mn}$};
\node (F2) at (-1,-4) {$\cF^{(2)}_{mn}$};
\node (F-2) at (1,-4) {$\cF^{(-2)}_{mn}$};
\node (F3) at (-1,-6) {$\phantom{\cF^{(3)}_{mn}}$};
\node (F-3) at (1,-6) {$\phantom{\cF^{(-3)}_{mn}}$};
%
\node (aF0) at (-3,-2) {$\cF^{(0)}_{-m,n}$};
\node (aF1) at (-5,-4) {$\cF^{(1)}_{-m,n}$};
\node (aF-1) at (-3,-4) {$\cF^{(-1)}_{-m,n}$};
\node (aF2) at (-5,-6) {$\phantom{\cF^{(2)}_{-m,n}}$};
\node (aF-2) at (-3,-6) {$\phantom{\cF^{(-2)}_{-m,n}}$};
%
\node (aaF0) at (-7,-4) {$\phantom{\cF^{(0)}_{-m,n}}$};
%
\node (pF0) at (3,-2) {$\cF^{(0)}_{2p-m,n}$};
\node (pF1) at (3,-4) {$\cF^{(1)}_{2p-m,n}$};
\node (pF-1) at (5,-4) {$\cF^{(-1)}_{2p-m,n}$};
\node (pF2) at (3,-6) {$\phantom{\cF^{(1)}_{2p-m,n}}$};
\node (pF-2) at (5,-6) {$\phantom{\cF^{(-1)}_{2p-m,n}}$};
%
\node (ppF0) at (7,-4) {$\phantom{\cF^{(0)}_{-m,n}}$};
%
\draw[<-] (F0) -- (F1);
\draw[->] (F0) -- (F-1);
\draw[->] (F1) -- (F2);
\draw[<-] (F-1) -- (F-2);
\draw[->] (F1) -- (F-2);
\draw[<-] (F-1) -- (F2);
\draw[->] (F2) -- (F3);
\draw[->] (F-2) -- (F-3);
\draw[->] (F2) -- (F-3);
\draw[<-] (F-2) -- (F3);
%
\draw[<-] (aF0) -- (F1);
\draw[<-] (aF-1) -- (F2);
%
\draw[<-] (aF0) -- (aF1);
\draw[->] (aF0) -- (aF-1);
\draw[->] (aF1) -- (aF2);
\draw[<-] (aF-1) -- (aF-2);
\draw[->] (aF1) -- (aF-2);
\draw[<-] (aF-1) -- (aF2);
%
\draw[<-] (aaF0) -- (aF1);
%
\draw[->] (pF0) -- (F-1);
\draw[->] (pF1) -- (F-2);
%
\draw[<-] (pF0) -- (pF1);
\draw[->] (pF0) -- (pF-1);
\draw[->] (pF1) -- (pF2);
\draw[<-] (pF-1) -- (pF-2);
\draw[->] (pF1) -- (pF-2);
\draw[<-] (pF-1) -- (pF2);
%
\draw[->] (ppF0) -- (pF-1);
%
\end{tikzpicture}
}}
\label{diag-pq}
}
Фактически неприводимый модуль $\cH_{mn}$ дается факторизацией $\cF^{(0)}_{mn}/\cF^{(-1)}_{mn}$.

%\bigbreak
%\leftline{\bf Литература}




%\bigbreak
%\bigskip
%\centerline{\bf Задачи}
%\medskip
%{\bf 1.}~


\end{document}
