% !TeX spellcheck = ru_RU
% !TeX encoding = UTF-8
\section{\texorpdfstring{Ковариантная производная вдоль базсиного вектора}{Kovariantnaja proizvodnaja vdol bazisnogo vectora}}
\setcounter{page}1
\label{expl-doublecovdiv}

Есть одна тонкость в понимании ковариантной производной $\nabla_\mu a\equiv\nabla_{\d_\mu}a$ от векторного поля~$a$. Важно подчеркнуть, что это снова \emph{вектор}, а вовсе не тензор второго ранга как кажется: $\nabla_\mu a\in C(TM)$. Тензор получается, когда мы рассматриваем объект $\nabla a=dx^\mu\nabla_\mu a\in C(T^1_1\!M)$. Эту разницу важно понимать, когда мы вычисляем вторую ковариантную производную. Именно,
\eq$$
\nabla_\mu\nabla_\nu a=\nabla_\mu\nabla_\nu(a^\lambda\d_\lambda)
=\nabla_\mu(\d_\nu a^\lambda+\Gamma^\lambda_{\kappa\nu}a^\kappa)\d_\lambda=
a^\lambda{}_{;\underline{\nu\mu}}\d_\lambda,
\label{nabla2-a}
$$
где
\eq$$
a^\lambda{}_{;\underline{\nu\mu}}
=\d_\nu(\d_\nu a^\lambda+\Gamma^\lambda_{\kappa\nu}a^\kappa)
+\Gamma^\lambda_{\rho\mu}(\d_\nu a^\rho+\Gamma^\rho_{\kappa\nu}a^\kappa).
\label{semicolon2-bar-def}
$$
Неудобство такого обозначения состоит в том, что числа $a^\lambda{}_{;\underline{\nu\mu}}$ не преобразуются как компоненты тензора.

В то же время для второго объекта мы имеем
\Multline$$
\nabla\nabla a=dx^\mu\otimes\nabla_\mu(dx^\nu\otimes\nabla_\nu a)
=dx^\mu\otimes(\nabla_\mu dx^\nu)\otimes\nabla_\nu a+dx^\mu\otimes dx^\nu\otimes\nabla_\mu\nabla_\nu a
\\
=dx^\mu\otimes dx^\nu\otimes\nabla_\mu\nabla_\nu a-\Gamma^\rho_{\nu\mu}dx^\mu\otimes dx^\nu\otimes\nabla_\rho a
=a^\lambda{}_{;\nu\mu}\,dx^\mu\otimes dx^\nu\otimes\d_\lambda,
\label{nabla2-a-tensor}
$$
где
\eq$$
a^\lambda{}_{;\nu\mu}
=a^\lambda{}_{;\underline{\nu\mu}}
-\Gamma^\rho_{\nu\mu}(\d_\rho a^\lambda+\Gamma^\lambda_{\sigma\rho}a^\sigma).
\label{semicolon2-def}
$$
Этот набор чисел уже преобразуется как компоненты тензора третьего ранга, поскольку они определены через объект~$\nabla\nabla a\in C(T^1_2M)$.

Замечательное свойство состоит в том, что антисимметризация по индексам $\mu$ и $\nu$ для двух значков дает один и тот же результат для связности без кручения:
\eq$$
a^\lambda{}_{;\underline{\nu\mu}}-a^\lambda{}_{;\underline{\mu\nu}}=a^\lambda{}_{;\nu\mu}-a^\lambda{}_{;\mu\nu}
=R^\lambda{}_{\kappa\mu\nu}a^\kappa.
\label{nabla2-R}
$$
Это связано с тем, что второе слагаемое в~(\ref{semicolon2-def}) симметрично по индексам $\mu$ и~$\nu$.

Разумеется, эти рассуждения легко обобщаются на произвольное тензорное поле~$a\in C(T^m_n\!M)$.