% !TeX spellcheck = ru_RU
% !TeX encoding = UTF-8
\section{\texorpdfstring{Геометрия и физика специальной теории относительности}{Geometriya i fizika spetsialnoy teorii otnositelnosti}}
\setcounter{page}1

Специальная теория относительности основана на геометрии пространства"=времени Минковского $M^4\cong\R^{1,3}$ или, более общо, $M^d\cong\R^{1,d-1}$.%
%
\footnote{Нас, конечно, будет интересовать прежде всего случай $d=4$, однако там, где это не будет заметно усложнять рассуждения, мы будем рассматривать общие $d>1$.}
%
Это пространство-время представляет собой аффинное пространство с заданной на нем плоской метрикой сигнатуры $(1,d-1)$. Чтобы разобраться в этом, начнем с векторных (линейных) пространств.

Пусть $V$ "--- $d$"=мерное линейное пространство. С каждым таким пространством связано $d$"=мерное \emph{двойственное пространство}~$V^*$, то есть пространство линейных функций (форм) на пространстве~$V$. Предположим, что на пространстве $V$ задана невырожденная симметричная билинейная форма $g:V\otimes V\to\R$ (или, что то же самое, $g\in V^*\otimes V^*$), то есть такое билинейное симметричное отображение $g(u,v)=g(v,u)$ ($u,v\in V$), что для любого вектора $u\ne0$ существует хотя бы один вектор $v$, такой что $g(u,v)\ne0$. Форму $g$ можно также понимать как отображение $\overline g:V\to V^*$, сопоставляющее каждому вектору $u\in V$ линейную форму $g(u,\cdot)\in V^*$. Невырожденность формы $g$ означает существование обратного отображения $\overline g^*:V^*\to V$, которое по тому же принципу задает билинейную форму $g^*:V^*\otimes V^*\to\R$, то есть бивектор $g^*\in V\otimes V$.

Изучим вопрос о знакоопределенности формы $g$. Предположим, что $g(u,u)\ge0$ для любого $u\ne0$. Тогда из невырожденности формы $g$ следует, что $g(u,u)>0$. Действительно, пусть есть такой ненулевой вектор $u$, что $g(u,u)=0$. В силу невырожденности $g$ существует такой вектор $v$, что $g(u,v)\ne0$ и, по условию, $g(v,v)\ge0$. Тогда для любого $\alpha\in\R$ имеем
$$
0\le g(u+\alpha v,u+\alpha v)=2\alpha g(u,v)+\alpha^2g(v,v).
$$
Очевидно, это неравенство не может быть соблюдено в некоторой окрестности точки $\alpha=0$ в силу того, что $g(u,v)\ne0$. Таким образом, любая неотрицательная форма положительно определена.

Но это значит, что если существует «нулевой» вектор $u$, то есть вектор, такой что $g(u,u)=0$, то существуют и такие два вектора $v_+,v_-$, что $g(v_+,v_+)>0$, $g(v_-,v_-)<0$ и при этом $g(u,v_\pm)\ne0$. Более того, любой «нулевой» вектор $u$ может быть представлен как линейная комбинация двух таких векторов с разными знаками формы. Пусть имеется вектор $v_+$, такой что $g(v_+,v_+)=1$, $g(u,v_+)\ne0$. Тогда для вектора $v_-=u-g(u,v_+)v_+$ имеем $g(v_-,v_-)=-(g(u,v_+))^2$. Ни множество векторов $\cC_+$ с $g(u,u)>0$, ни множество векторов $\cC_-$ с $g(u,u)<0$, ни множество векторов $\cJ$ с $g(u,u)=0$ не образуют векторных пространств. Но тот факт, что «нулевые» векторы раскладываются в пару «положительных» и «отрицательных» векторов, позволяет предположить, что и само векторное пространство $V$ распадается в сумму $V=V_+\oplus V_-$ пространств с положительно- и отрицательно-определенной формой $g$.

Чтобы в этом убедиться, построим базис в $V_-$. Пусть $v_1$ "--- вектор с $g(v_1,v_1)<0$. Тогда множество ортогональных ему векторов, то есть векторов $u$, таких что $g(v_1,u)=0$ образует линейное пространство $V^{(1)}$. В пространстве $V^{(1)}$ форма $g$ может быть положительно определена. Тогда $V_+=V^{(1)}$, а $V_-=\spanop(v_1)$. Если же нет, выберем вектор $v_2\in V^{(1)}$ такой, что $g(v_2,v_2)<0$ и определяем пространство $V^{(2)}$ как подпространство ортогональных ему векторов в~$V^{(1)}$. Продолжаем процедуру, пока на пространстве $V^{(d_-)}$ форма $g$ не будет положительно определена. Тогда $V_+=V^{(d_-)}$ размерности $d_+=d-d_-$, а $V_-=\spanop(v_1,\ldots,v_{d_-})$. Заодно мы получили ортогональный базис в $V_-$, который легко превратить в ортонормированный, если выбирать векторы $v_i$ условием $g(v_i,v_i)=-1$. Мы будем говорить, что форма $g$ имеет \emph{сигнатуру} $(d_+,d_-)$. В теории относительности нас будут интересовать формы сигнатуры $(1,3)$.%
%
\footnote{Можно было бы рассматривать формы сигнатуры $(3,1)$. В некоторых отношениях такой выбор удобнее, а в чем-то менее удобен, так что это дело вкуса.}
%
Одномерное пространство $V^+$ отвечает времени, а трехмерное пространство $V^-$ "--- физическому пространству. Векторы из $\cC^+$ (с положительной нормой) называют \emph{времениподобными}, векторы из $\cC^-$ (с отрицательной нормой) "--- \emph{пространственноподобными}. Векторы из $\cJ$ (с нулевой нормой) называют \emph{светоподобными} или \emph{изотропными}. Само множество $\cJ$ называют \emph{световым конусом}, причем $\cC^+$ считается внутренностью светового конуса, а $\cC^-$ "--- его внешней областью. В теории относительности времениподобный базисный вектор принято обозначать $\e_0$, а три пространственноподобных "--- $\e_1,\e_2,\e_3$. Во всех векторных и матричных формулах будем принимать, что значения индексов расположены в порядке $0,1,2,3$.

Вернемся к общему случаю. Рассмотрим произвольный базис $\e_\mu$, $\mu=1,\ldots,d$ в пространстве $V$. Любой вектор $u\in V$ записывается в виде $u=u^\mu\e_\mu$, где мы предполагаем суммирование по повторяющемуся индексу. Тогда числа $g_{\mu\nu}=g(\e_\mu,\e_\nu)$ образуют симметричную матрицу $G=(g_{\mu\nu})^d_{\mu,\nu=1}$. При этом, очевидно, $g(u,v)=g(u^\mu\e_\mu,v^\nu\e_\nu)=g_{\mu\nu}u^\mu v^\nu$. Замена базиса $\e_\mu={V_\mu}^\nu\e'_\nu$ отвечает преобразованию $g_{\mu\nu}={V_\mu}^\rho{V_\nu}^\sigma g'_{\rho\sigma}$ или $G=VG'V^T$. Тот факт, что пространство $V$ распадается в сумму $V_+\oplus V_-$ означает, что таким преобразованием мы можем привести матрицу $G$ к виду
\eq$$
G=\diag(\underbrace{1,\ldots,1}_{d_+},\underbrace{-1,\ldots,-1}_{d_-})\equiv(\eta_{\mu\nu})^d_{\mu,\nu=1}\equiv{\rm H}^{(d_+,d_-)}.
\label{gdiag}
$$
Матрицы $V$, сохраняющие этот вид формы $G$, то есть
$$
{\rm H}^{(d_+,d_-)}=V{\rm H}^{(d_+,d_-)}V^T,
$$
образуют группу псевдоортогональных матриц $O(d_+,d_-)$. Те, которые при этом имеют положительный (равный единице) определитель, образуют группу $SO(d_+,d_-)$. Группа $SO(1,3)$ (и ее обобщение $SO(1,d-1)$ в гипотетическом пространстве"=времени размерности $d$) называется \emph{группой Лоренца}. В теории относительности будем писать $\eta_{00}=-\eta_{11}=-\eta_{22}=-\eta_{33}=1$.

Пусть $\omega\in V^*$, то есть $\omega$ "--- линейная форма на~$V$. Тогда мы можем ввести компоненты $\omega_\mu=\omega(\e_\mu)$. Это значит, что мы можем записать форму в виде $\omega=\omega_\mu\e^\mu$, где $\e^\mu$ "--- базисные формы, определяемые соотношением
\eq$$
\e^\mu(\e_\nu)=\delta^\mu_\nu.
\label{Vstar-basis}
$$
Бивектор $g^*$, очевидно, можно записать в виде $g^{\mu\nu}\e_\mu\otimes\e_\nu$, то есть $g^*(\omega,\sigma)=g^{\mu\nu}\omega(\e_\mu)\sigma(\e_\nu)=g^{\mu\nu}\omega_\mu\sigma_\nu$. Коэффициенты $g^{\mu\nu}$ образуют матрицу~$G^{-1}$:
\eq$$
g^{\mu\lambda}g_{\lambda\nu}=\delta^\mu_\nu.
\label{g^munu-def}
$$
Использование индексных обозначений компактно, но имеет один недостаток: мы заменяем реальные инвариантные объекты (тензоры) их компонентами, зависящими от выбора базиса. В то же время безындексная запись математически корректна, обща, но громоздка. Поэтому мы часто будем пользоваться \emph{методом формальных индексов}. Рассмотрим тензорное произведение $V\otimes V\otimes V\otimes\cdots$ и перенумеруем входящие в него пространства натуральными числами по порядку. Будем соответствующим числом жирным шрифтом указывать, в каком пространстве расположен или на какое пространство действует объект. Например, $u^{\bf k}$ "--- это вектор $u$, расположенный в $k$-й тензорной компоненте, а $\omega_{\bf k}$ "--- 1-форма, действующая на $k$-ю компоненту. Тогда $\omega_{\bf1}u^{\bf1}=u^{\bf1}\omega_{\bf1}=\omega u=\omega(u)$. Здесь от формального индекса, вроде бы, нет никакой пользы. Но вот $g_{\bf12}u^{\bf1}v^{\bf2}=g(u,v)$ и $g_{\bf12}u^{\bf1}=(\overline g(u))_{\bf2}$ записать с формальными индексами уже удобней. И все четыре объекта $g,\overline g,g^*,\overline g^*$ можно теперь обозначать одной буквой~$g$. Действительно,
\eq$$
g^{\bf13}g_{\bf32}=\delta^{\bf1}_{\bf2}
\label{g^12-def}
$$
формально похоже на (\ref{g^munu-def}), но выражает инвариантный факт, что $\overline g^*=\overline g^{-1}$. На общих многообразиях запись с формальными индексами позволит упростить вывод многих формул по сравнению с выводом в компонентах.

Нам часто удобно будет отождествлять вектор $u\in V$ c формой $\overline g(u)\in V^*$ и, наоборот, форму $\omega\in V^*$ с вектором $\overline g^*(\omega)\in V$. Чтобы подчеркнуть разницу мы будем писать верхний формальный индекс у объекта из $V$ и нижний у объекта из $V^*$. Если не будет необходимости указывать конкретную «цифру», но нужно будет подчеркнуть, какому пространству принадлежит объект, мы будем вместо индекса ставить жирную точку, например, $u^\bullet=u$, $u_\bullet=\overline g(u)$ (то есть $u_{\bf1}=g_{\bf12}u^{\bf2}$).

Теперь перейдем к аффинным пространствам. Аффинное пространство $\cA(V)$ отличается от линейного $V$ только отсутствием выделенного нуля. То есть это множество точек, такое что каждой паре точек $A,B$ отвечает вектор в линейном пространстве $V$, обозначаемый $\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}$, а для любых трех точек $A,B,C$ выполняется правило треугольника $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$. Форма $g$ определяет \emph{метрику} на аффинном пространстве, то есть расстояние $|AB|$ между точками $A$ и $B$ задается формулой
$$
|AB|^2=g(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AB}).
$$
Понятно, что определенное таким образом расстояние может быть как вещественным, так и мнимым. В специальной теории относительности пространство"=время является аффинным пространством $M^4=\cA(V)$, где $V$ "--- векторное пространство, на котором задана метрика сигнатурой $(1,3)$. Точки в этом пространстве называются \emph{событиями}. Расстояние $|AB|$ между двумя событиями называется \emph{собственным временем}, отвечающим отрезку $[AB]$.

В аффинном пространстве точки можно задать координатами. Если мы выделим «начальную» точку $O$ и базис $\{\e_\mu\}$ в пространстве $V$, то координаты $x^\mu_A$ точки $A$ задаются уравнением
$$
\overrightarrow{OA}=x^\mu_A\e_\mu.
$$
С одной стороны, это отождествляет аффинное пространство с пространством $\R^d$, которое, в случае метрики $g=\eta_{\mu\nu}\e^\mu\e^\nu$ обозначается как $\R^{d_+,d_-}$. С другой стороны, это вводит на аффинном пространстве структуру многообразия. Понятно, что аффинное пространство покрывается одной картой, но специальная теория относительности имеет смысл на многообразиях с разной топологией. Главное, чтобы матрицы перехода между картами с (псевдо)декартовыми координатами задавались бы псевдоортогональными матрицами. Обозначения и понятия, связанные со структурой многообразия мы разберем в следующей лекции, посвященной более общей геометрии.

В теории относительности мы иногда будем пользоваться обозначениями $x^0=t,x^1=x,x^2=y,x^3=z$. Скорость света мы будем всюду принимать равной единице. Соответственно, квадрат расстояния (собственного времени) между событиями в специальной теории относительности равен
\eq$$
|AB|^2=(t_A-t_B)^2-(x_A-x_B)^2-(y_A-y_B)^2-(z_A-z_B)^2.
\label{own-time}
$$
Для бесконечно"=малых расстояний собственное время обозначается $ds$ и равно
\eq$$
ds^2=\eta_{\mu\nu}\,dx^\mu\,dx^\nu=dt^2-dx^2-dy^2-dz^2.
\label{own-time-infinitezimal}
$$

Обсудим группу Лоренца $SO(1,3)$ и ее физическую интерпретацию. Рассмотрим две инерциальные системы отсчета $K$ и $K'$ и связанные с ними системы пространственных координат $x^i$ и $x^{\prime i}$ ($i=1,2,3$). Выберем эти системы координат специальным образом. Во-первых, примем, что оси времени пересекаются в точке $t=t'=0$. Эти оси лежат в одной двумерной плоскости. Векторы $\e_0,\e'_0$, очевидно, направлены вдоль этих осей. Затем выберем базисный векторы $\e_1,\e'_1$ в этой плоскости ортогонально $\e_0,\e'_0$ соответственно и по одну сторону от осей времени. В подпространстве ортогональном плоскости временных осей выберем $\e_2=\e'_2$, $\e_3=\e'_3$. Положим, что система $K'$ движется относительно системы $K$ со скоростью $v$, то есть прямая вдоль вектора $\e'_0$ задается уравнениями $x=vt$, $y=z=0$. Тогда \emph{преобразование Лоренца}
\eq$$
t'={t-vx\over\sqrt{1-v^2}},
\qquad
x'={x-vt\over\sqrt{1-v^2}},
\qquad
y'=y,
\qquad
z'=z.
\label{Lorentz-transform}
$$
принадлежит группе Лоренца. Параметр $v$ есть скорость системы $K'$ в системе отсчета $K$. Действительно, прямые вдоль вектора $\e'_0$ задаются уравнениями $x=vt+\const$, $y=\const$, $z=\const$. Три вращения и преобразование Лоренца порождают всю группу Лоренца $SO(1,3)$.%
%
\footnote{Это означает, что любой элемент группы Лоренца может быть представлен в виде произведения некоторого количества этих специальных элементов. Можно показать, что любой элемент можно представить как произведение шести таких элементов (аналогично трем поворотам Эйлера в трехмерном пространстве) и поэтому группа Лоренца четырехмерного пространства является шестимерной группой Ли.}
%
Преобразования Лоренца, также как и все остальные факты релятивистской кинематики, полностью выводятся из следующего основного постулата: \emph{квадрат собственного времени $|AB|^2$ для двух событий $A$ и $B$, определенный формулой (\ref{own-time}), не зависит от системы отсчета.}

Полезно ввести \emph{быстроту} $\theta$ уравнением $v=\th\theta$. Тогда преобразование Лоренца принимает вид
\eq$$
t'=t\ch\theta-x\sh\theta,
\qquad
x'=-t\sh\theta+x\ch\theta,
\qquad
y'=y,
\qquad
z'=z,
\label{Lorentz-theta}
$$
напоминающий вращение в эвклидовом пространстве. Легко проверить, что оно прямо переходит во вращение эвклидова пространства после \emph{викова поворота} $t=-\i\tau$ времени в комплексной плоскости. Тогда угол поворота совпадет с~$-\i\theta$.

Рассмотрим теперь динамику специальной теории относительности. Нас будет интересовать поведение частиц в геометрии Минковского.

{\bf1.~Свободная частица.} Движение частицы описывается \emph{мировой линией}, то есть линией $x^\bullet(t)=(t,\boldr(t))=t\e_0+x^i(t)\e_i$, где $\boldr(t)=(x(t),y(t),z(t))=x^i(t)\e_i$ "--- закон движения частицы. Свободная частица согласно первому закону Ньютона движется равномерно и прямолинейно. То есть, если имеются два события $A$ и $B$, то мировая линия свободной частицы, в момент $t_A$ находящейся в точке $\boldr_A=(x_A,y_A,z_A)$, а в момент $t_B$ "--- в точке $\boldr_B=(x_B,y_B,z_B)$, будет отрезком $[AB]$. Такая линия минимизирует действие
\eq$$
S[x]=-m\int^B_Ads=-m\int^{t_B}_{t_A}dt\,\sqrt{1-\boldv^2}.
\label{S-free-particle}
$$
В нерелятивистском пределе $v\ll1$ действие сводится к интегралу от кинетической энергии
\eq$$
S[x]\simeq-m\int^{t_B}_{t_A}dt\,\left(1-{\boldv^2\over2}\right)=\const+\int^{t_B}_{t_A}dt\,{m\boldv^2\over2}.
\label{S-free-particle-nonrel}
$$
Уравнение движения, отвечающее действию (\ref{S-free-particle}), очевидно, имеет вид
\eq$$
\dot\boldv=0.
\label{eqmov-free-particle}
$$
Тем не менее, полезно найти импульсы и гамильтониан системы:
\eq$$
\boldp={\d L\over\d\boldv}={m\boldv\over\sqrt{1-\boldv^2}},
\qquad
H(\boldr,\boldp)=\boldv\boldp-L={m\over\sqrt{1-\boldv^2}}=\sqrt{m^2+\boldp^2}.
\label{pH-free-particle-def}
$$
Таким образом, в гамильтоновой форме уравнение движения имеет вид
\eq$$
\dot\boldp=0,
\qquad
\dot\boldr={\boldp\over E},
\qquad
E=\sqrt{m^2+\boldp^2}.
\label{Heqmov-free-particle}
$$
Энергия $E$ и импульс $\boldp$ образуют 4-импульс%
%
\footnote{Греческие буквы из середины алфавита $\kappa,\lambda,\mu,\nu,\ldots$ будут всюду использоваться для пространственно"=временных индексов, пробегающих значения $0,1,\ldots,d-1$. Латинские буквы из середины алфавита $i,j,k,l,\dots$ будут использоваться для пространственных индексов и пробегать значения $1,\ldots,d-1$.}
%
\eq$$
p^\bullet=(E,\boldp)\equiv E\e_0+p^i\e_i=mu^\bullet,
\label{4momentum}
$$
где $u$ "--- 4-скорость
\eq$$
u^\bullet={dx^\bullet\over ds}=\left({1\over\sqrt{1-\boldv^2}},{\boldv\over\sqrt{1-\boldv^2}}\right).
\label{4velocity}
$$

Величины
\eq$$
J^{\mu\nu}=x^\mu p^\nu-x^\nu p^\mu
\label{Jmunu-def}
$$
тоже сохраняются и образуют пространственно"=временной момент импульса. Его чисто пространственные компоненты $J^{ij}$ ($i,j=1,\ldots,3$) совпадают с компонентами трехмерного момента импульса:
\eq$$
J^{ij}=\epsilon^{ijk}J_k,
\label{Ji-Jjk}
$$
где $\epsilon^{ijk}$ "--- полностью антисимметричный символ, такой что $\epsilon^{123}=1$. Временные компоненты $J^{0i}$ не порождают независимых сохраняющихся величин.

{\bf2.~Частица в электромагнитном поле.} Электромагнитное поле описывается 4-потенциалом $A_\bullet=(\varphi,-\boldA)\equiv\varphi\e^0-A^i\e^i$ или, более точно, 1-формой $A(x)=A_\mu(x)\e^\mu=A_\mu(x)\,dx^\mu$. Движение частицы заряда $e$ описывается действием
\eq$$
S[x]=\int^B_A(-m\,ds-eA)=\int^B_A(-m\,ds-eA_\mu\,dx^\mu)
=\int^{t_B}_{t_A}dt\,\left(-m\sqrt{1-\boldv^2}+e\boldA\boldv-e\varphi\right).
\label{S-particle}
$$
Уравнение движения можно написать в гамильтоновой форме. Имеем для импульсов
\eq$$
\boldP={\d L\over\d\boldv}={m\boldv\over\sqrt{1-\boldv^2}}+e\boldA=\boldp+e\boldA
\label{P-particle-def}
$$
и для гамильтониана
\eq$$
H(\boldr,\boldP)=\boldv\boldP-L=\sqrt{m^2+(\boldP-e\boldA(\boldr))^2}+e\varphi(\boldr).
\label{H-particle-def}
$$
Уравнение движения
\eq$$
\dot\boldP=-{\d H\over\d\boldr},
\qquad
\dot\boldr={\d H\over\d\boldP}
\label{Heqmov-particle-general}
$$
нетрудно привести к стандартному виду
\eq$$
\dot\boldp=e\boldE+e\boldv\times\boldH,
\qquad
\boldE=-\dot\boldA-\nabla\varphi,
\qquad
\boldH=\nabla\times\boldA.
\label{eqmov-particle}
$$
В более инвариантном виде уравнение движения можно записать как
\eq$$
m{du^\mu\over ds}=eF^\mu{}_\nu u^\nu,
\label{eqmov-particle-inv}
$$
где тензор электромагнитного поля определяется как
\eq$$
F={1\over2}F_{\mu\nu}\,dx^\mu\wedge dx^\nu=dA,
\label{Fform-def}
$$
или
\eq$$
F_{\mu\nu}=\d_\mu A_\nu-\d_\nu A_\mu,
\qquad
\d_\mu={\d\over\d x^\mu}.
\label{Ftensor-def}
$$
Этот тензор выражается через компоненты напряженности поля
\eq$$
F_{\bullet\bullet}=\pMatrix{0&E_x&E_y&E_z\\-E_x&0&-H_z&H_y\\-E_y&H_z&0&-H_x\\-E_z&-H_y&H_x&0}.
\label{emtensor-EH}
$$
Обратите внимание, что в левой части (\ref{eqmov-particle-inv}) дифференцирование выполняется по лоренц"=инвариантному собственному времени.





\bigbreak
\bigbreak
\centerline{\bf Задачи}
\medskip

\begin{asparaenum}[\bf1.]
\item Покажите, что прямой мировой линии отвечает именно минимум (а не максимум) действия (\ref{S-free-particle}), то есть максимум собственного времени $s=\int^B_A ds$. Приведите примеры мировых линий, отвечающих {\it наименьшему\/} собственному времени. Чему равно это время?

\item Рассмотрим систему нескольких частиц, которые могут взаимодействовать контактно (упругими столкновениями, слияниями или распадами).%
\footnote{Это утверждение можно обобщить на системы со взаимодействием общего вида, но при это надо будет учитывать импульс и энергию полей взаимодействия, что требует введения дополнительных понятий.}
Тогда момент импульса равен сумме их моментов:
$$
J^{\mu\nu}=\sum_s(x_s^\mu p_s^\nu-x_s^\nu p_s^\mu).
$$
Покажите, что из сохранения компонент $J^{0i}$ следует, что центр инерции системы
$$
\boldR={\sum_sE_s\boldr_s\over\sum_sE_s}
$$
движется с постоянной скоростью.

\item Покажите, что при калибровочном преобразовании
$$
A\to A+d\chi,
$$
где $\chi(x)$ "--- произвольное скалярное поле, действие (\ref{S-particle}) преобразуется как
$$
S\to S+e(\chi(x_A)-\chi(x_B)).
$$
Объясните, почему отсюда следует, что уравнение движения частицы не меняется при калибровочных преобразованиях.

\item Выведите уравнение~(\ref{eqmov-particle-inv}).

\starenumi
\item Рассмотрите незаряженную частицу во внешнем скалярном поле, которое описывается зависящей от точки массой $m(x)$ в действии~(\ref{S-particle}), зависящей от точки в пространстве"=времени. Получите уравнения движения такой частицы. Найдите гамильтониан и обобщенные импульсы. Покажите, что если $m(x)=m_0+U(x)$, $U(x)\ll m_0$ и если $U(x)$ меняется со временем $x^0$ достаточно (насколько?) медленно, то в нерелятивистском пределе эти уравнения описывают частицу во внешнем потенциальном поле~$U(x)$.

\end{asparaenum}

\bigbreak
\bigbreak
\centerline{\bf Семинар~\thesection}
\medskip
\centerline{\bf Преобразования Лоренца, координаты светового конуса, диаграмма Пенроуза}
\medskip
Для простоты мы будем рассматривать двумерное пространство"=время.

\begin{enumerate}
\item Графическое представление преобразований Лоренца в двух измерениях (Рис.~\ref{RLT-graph}).
\begin{figure}
\centering
\begin{subfigure}{7cm}
\begin{tikzpicture}
\draw[->,line width=1.5pt] (-3,0) -- (3,0) node[anchor=north] {$x$};
\draw[->,line width=1.5pt] (0,-3) -- (0,3) node[anchor=east] {$y$};
\draw[->,rotate=23] (-3,0) -- (3,0) node[anchor=north] {$x'$};
\draw[->,rotate=23]  (0,-3) -- (0,3) node[anchor=east] {$y'$};
\draw[-,dashed] (0,0) circle (1);
\draw (1,0) node[below right,xshift=-2pt,yshift=1pt] {$1$};
\draw (0,1) node[above right=-2pt] {$1$};
\draw[rotate=23] (1,0) node[above right,xshift=-2pt] {$1$};
\draw[rotate=23] (0,1) node[above left,yshift=-2pt] {$1$};
\end{tikzpicture}
\caption{Поворот.}
\end{subfigure}
\qquad
\begin{subfigure}{8cm}
\begin{tikzpicture}
\draw[->,line width=1.5pt] (-3,0) -- (3,0) node[anchor=north] {$x$};
\draw[->,line width=1.5pt] (0,-3) -- (0,3) node[anchor=east] {$t$};
\draw[->,rotate=23] (-3,0) -- (3,0) node[anchor=north] {$x'$};
\draw[->,rotate=-23]  (0,-3) -- (0,3) node[anchor=east] {$t'$};
\draw[-,line width=.3pt] (-3,-3) -- (3,3) node[anchor=south west] {$L^+$};
\draw[-,line width=.3pt] (-3,3) node[anchor=south east] {$L^-$} -- (3,-3);
\draw[-,dashed,domain=1:3,samples=50] plot (\x,{sqrt(\x*\x-1)});
\draw[-,dashed,domain=1:3,samples=50] plot (\x,{-sqrt(\x*\x-1)});
\draw[-,dashed,domain=1:3,samples=50] plot ({sqrt(\x*\x-1)},\x);
\draw[-,dashed,domain=1:3,samples=50] plot ({-sqrt(\x*\x-1)},\x);
\draw[-,dashed,domain=1:3,samples=50] plot ({-\x},{sqrt(\x*\x-1)});
\draw[-,dashed,domain=1:3,samples=50] plot ({-\x},{-sqrt(\x*\x-1)});
\draw[-,dashed,domain=1:3,samples=50] plot ({sqrt(\x*\x-1)},{-\x});
\draw[-,dashed,domain=1:3,samples=50] plot ({-sqrt(\x*\x-1)},{-\x});
\draw (1,0) node[below left,xshift=2pt] {$1$};
\draw (0,1) node[above left,xshift=2pt] {$1$};
\draw (1.1,0.47) node[below right=-2pt] {$1$};
\draw (0.47,1.1) node[above,xshift=-1pt] {$1$};
\end{tikzpicture}
\caption{Преобразование Лоренца. Прямые $L^\pm$ образуют световой конус.}
\end{subfigure}
\caption{Поворот и преобразование Лоренца в двумерном пространстве"=времени. Пунктирные линии содержат точки, удаленные на единичное (по модулю) расстояние от начала координат.}
\label{RLT-graph}
\end{figure}
\item Координаты Риндлера и равноускоренное движение. Введем координаты $\tau$ и $\xi$ уравнениями:
$$
t=\xi\sh\tau,
\qquad
x=\xi\ch\tau.
$$
Метрика в этих координатах принимает вид
$$
ds^2=\xi^2\,d\tau^2-d\xi^2.
$$
Координаты Риндлера определены в во внешней области светового конуса: $|x|<|t|$ (Рис.~\ref{Rindler-graph}). Линии постоянной координаты $\xi$ отвечают мировым линиям наблюдателей с инвариантным ускорением $\xi^{-1}$, причем собственное время такой частицы равно $\xi\tau+\const$.
\begin{figure}[t]
\centering
\begin{tikzpicture}
\draw[->,line width=.8pt] (-4,0) -- (4,0) node[anchor=north] {$x$};
\draw[->,line width=.8pt] (0,-3) -- (0,3) node[anchor=east] {$t$};
\draw[-,line width=1pt] (-3,-3) -- (3,3);
\draw[-,line width=1pt] (-3,3) -- (3,-3);
\draw[->,domain=-1.81:1.81] plot ({cosh(\x)},{sinh(\x)});
\draw[->,domain=-1.19:1.19] plot ({2*cosh(\x)},{2*sinh(\x)});
\draw[->,domain=-.88:.88] plot ({3*cosh(\x)},{3*sinh(\x)});
\draw[->,domain=-1.81:1.81] plot ({-cosh(\x)},{-sinh(\x)});
\draw[->,domain=-1.19:1.19] plot ({-2*cosh(\x)},{-2*sinh(\x)});
\draw[->,domain=-.88:.88] plot ({-3*cosh(\x)},{-3*sinh(\x)});
\draw[->] (-4,-.79) -- (4,.79);
\draw[->] (-4,-1.52) -- (4,1.52);
\draw[->] (-4,-2.15) -- (4,2.15);
\draw[->] (-4,-2.66) -- (4,2.66);
\draw[->] (-4,.79) -- (4,-.79);
\draw[->] (-4,1.52) -- (4,-1.52);
\draw[->] (-4,2.15) -- (4,-2.15);
\draw[->] (-4,2.66) -- (4,-2.66);
\end{tikzpicture}
\caption{Координаты Риндлера. Гиперболы отвечают линиям постоянной координаты $\xi=-3,-2,\ldots,3$, а прямые "--- линиям постоянного времени $\tau=-0.8,-0.6,\ldots,0.8$.}
\label{Rindler-graph}
\end{figure}

Важной особенностью риндлеровских наблюдателей является наличие горизонта событий. События вне правого (при $\xi>0$) или левого (при $\xi<0$) клина для них ненаблюдаемы. Другое полезное наблюдение: твердый стержень не может ускоряться так, чтобы все его точки ускорялись с одним и тем же ускорением. Задний конец должен иметь большее ускорение («парадокс» Белла).


\item Координаты светового конуса и причинная диаграмма (диаграмма Пенроуза) пространства Минковского.
\begin{figure}[t]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=3]
\draw[-] (-1,0) node[anchor=east] {$x=-\infty$} -- node[anchor=south,rotate=45] {$\mathcal I^+$} (-.5,.5)
  -- node[anchor=south,rotate=45] {$\cI^+$} (0,1) node[anchor=south] {$t=+\infty$}
  -- node[anchor=south,rotate=-45] {$\cJ^+$} (.5,.5)
  -- node[anchor=south,rotate=-45] {$\cJ^+$} (1,0) node[anchor=west] {$x=+\infty$}
  -- node[anchor=north,rotate=45] {$\cJ^-$} (.5,-.5)
  -- node[anchor=north,rotate=45] {$\cJ^-$} (0,-1) node[anchor=north] {$t=-\infty$}
  -- node[anchor=north,rotate=-45] {$\cI^-$} (-.5,-.5)
  -- node[anchor=north,rotate=-45] {$\cI^-$} (-1,0);
\fill (.15,.45) circle (.5pt) node[anchor=east] {$A$};
\fill (0,.8) circle (.5pt) node[anchor=east] {$B$};
\draw[-] (.15,.45) edge[->,out=80,in=-100] (0,.8);
\draw[-,dashed] (-.65,-.35) -- (.35,.65);
\draw[-,dashed] (.8,-.2) -- (-.2,.8);
\draw[->] (-.7,-.7) -- (.7,.7) node[anchor=west,rotate=45] {$v$};
\draw[->] (.7,-.7) -- (-.7,.7) node[anchor=east,rotate=-45] {$u$};
\end{tikzpicture}
\caption{Диаграмма Пенроуза для пространства Минковского. Граница $\cI^+,\cJ^+$ отвечает бесконечному будущему, а граница $\cI^-,\cJ^-$ "--- бесконечному прошлому.}
\label{confdiag-Minkowski}
\end{figure}

Введем координаты
$$
u=t-x,
\qquad
v=t+x.
$$
В этих координатах метрика имеет вид
$$
ds^2=du\,dv.
$$
В отличие от риндлеровских координат эти координаты глобально определены на всем двумерном пространстве"=времени. Используя их можно «сжать» пространство"=время, чтобы изобразить его на конечном листе:
$$
u=2\tg u',
\qquad
v=2\tg v',
\qquad
ds^2={4du'\,dv'\over\cos^2u'\cos^2v'}.
$$
Тогда пространство"=время примет вид, изображенный на Рис.~\ref{confdiag-Minkowski}. Диаграмма Пенроуза описывает причинную структуру пространства"=времени. Световой конус любого события на этой диаграмме изображается двумя прямыми, наклоненными под углов $45^\circ$ к горизонту.




\end{enumerate}