% !TeX spellcheck = ru_RU
% !TeX encoding = UTF-8
\section{\texorpdfstring{Поля в гравитационном поле. Тензор энергии"=импульса}{Polia v gravitacionnom pole. Tenzor energii-impulsa}}
\setcounter{page}1

В этой лекции мы обсудим такой фундаментальный объект как \emph{тензор энергии"=импульса}. Дело в том, что общая теория относительности является теорией поля, и взаимодействие гравитации с веществом естественнее всего описывать в терминах теории поля. Мы начнем с теории поля, но потом увидим, что соответствующие объекты достаточно хорошо определены и для более привычных вам точечных частиц.

Начнем со специальной теории относительности. Пусть $\phi^a(x)$ ($a=1,\ldots,N$) "--- набор вещественных полей. Теория поля описывается обычно действием вида
\eq$$
S[\phi]=\int d^dx\,\cL(\phi,\d_\bullet\phi).
\label{S[phi]-general}
$$
Функция $\cL(\phi,\d_\bullet\phi)$ называется \emph{плотностью лагранжиана}. Довольно широкий класс систем представляют системы с плотностью лагранжиана вида
\eq$$
\cL(\phi,\d_\bullet\phi)={1\over2}\eta^{\mu\nu}G_{ab}(\phi)\,\d_\mu\phi^a\,\d_\nu\phi^b-U(\phi),
\label{cL-sigma-model}
$$
где $G_{ij}(\phi)$ "--- симметричная матрица.

Уравнение движение записывается через плотность лагранжиана в виде
\eq$$
{\d\cL\over\d\phi^a}-\d_\mu{\d\cL\over\d(\d_\mu\phi^a)}=0.
\label{eqmov-general}
$$
Это совершенно аналогично лагранжевым уравнениям движения для частицы в нерелятивистской классической механике.

Чтобы лучше понять смысл этих уравнений, рассмотрим простой пример. Пусть $N=1$, а действие имеет вид
\eq$$
S[\phi]={1\over2}\int d^{d-1}x\left(\eta^{\mu\nu}\d_\mu\phi\,\d_\nu\phi-\omega_0^2\phi^2\right).
\label{S-KG}
$$
Соответствующее уравнение движения
\eq$$
\eta^{\mu\nu}\d_\mu\d_\nu\phi+\omega_0^2\phi=0
\label{eqmov-KG}
$$
называется \emph{уравнением Клейна"--~Г\'{о}рдона}. Это "--- простейшее волновое уравнение в физике. Легко построить его решения в виде плоских волн. Подставляя
$$
\phi_{k,\alpha}(x)=\Re\e^{-\i kx+\i\alpha},
$$
легко находим%
%
\footnote{Обратите внимание на сходство этого закона дисперсии с законом $E^2-\boldp^2=m^2$ для частицы. На самом деле в квантовой теории поля уравнение Клейна"--~Гордона действительно описывает частицу массы~$m=\hbar\omega_0$.}
\eq$$
k^2=\omega_0^2\quad\Leftrightarrow\quad k^0=\pm\omega_\boldk\equiv\pm\sqrt{\omega_0^2+\boldk^2}.
\label{KG-dispersion}
$$
В силу инвариантности решения относительно замены $k\to-k$, $\alpha\to-\alpha$ можно выбрать знак~«$+$». В силу линейности уравнения (\ref{eqmov-KG}) любая линейная комбинация этих решений тоже является решением. Более того, построенная система решений полна: любое ограниченное решение уравнения Клейна"--~Гордона раскладывается по плоским волнам. Более того, она, очевидно, избыточна. Можно ограничиться двумя различными по модулю $\pi$ значениями $\alpha$, например $\alpha=0,\pi/2$.

Теперь вернемся к лагранжиану общего вида. Изучим преобразование действия при сдвигах $x=x'+\xi$. В силу трансляционной инвариантности действие в некоторой конечной области $U$ не должно меняться:
\eq$$
0=\delta_\xi S
=\int_Ud^dx\left({\d\cL\over\d\phi}\delta_\xi\phi+{\d\cL\over\d\phi_{,\lambda}}\delta_\xi\phi_{,\lambda}\right)
-\int_Ud^dx\,\xi^\mu\d_\mu\cL.
\label{deltaS-sr}
$$
Последнее слагаемое связано с изменением области интегрирования при сдвиге. Операция $\delta_\xi$, примененная к полям "--- это уже знакомая нам производная Ли. В аффинном пространстве в случае постоянного поля $\xi$ эта производная тривиальна:
$$
\delta_\xi\phi=\xi^\mu\phi_{,\mu},
\qquad
\delta_\xi\phi_{,\lambda}=\xi^\mu\phi_{,\lambda\mu}.
$$
Перегруппируя слагаемые, получаем
\eq$$
0=\delta_\xi S
=\int_Ud^dx\,\xi^\mu\phi_{,\mu}\left({\d\cL\over\d\phi}-\d_\lambda{\d\cL\over\d\phi_{,\lambda}}\right)
+\xi^\mu\int_Ud^dx\,\d_\lambda T_\mu{}^\lambda,
\label{deltaS-sr-fin}
$$
где
\eq$$
T_\mu{}^\nu=\phi^a{}_{,\mu}\,{\d\cL\over\d\phi^a{}_{,\nu}}-\delta_\mu^\nu\cL+\d_\lambda\psi_\mu{}^{\nu\lambda},
\qquad
\psi_\mu{}^{\nu\lambda}=-\psi_\mu{}^{\lambda\nu},
\label{Tmunu-def}
$$
называется \emph{каноническим тензором энергии"=импульса}. Добавка $\psi_\mu{}^{\nu\lambda}$ обычно выбирается таким образом, чтобы тензор $T^{\mu\nu}=\eta^{\mu\lambda}T_\lambda{}^\nu$ был симметричен:
\eq$$
T^{\mu\nu}=T^{\nu\mu}.
\label{Tmunu-symm}
$$
Канонический тензор энергии"=импульса является сохраняющимся током для 4"=импульса~$P^\mu$ системы. Действительно, на решениях уравнения движения (\ref{eqmov-general}) первое слагаемое в (\ref{deltaS-sr-fin}) исчезает. В силу произвольности вектора $\xi$ и области $U$, интеграл обращается в нуль при условии
\eq$$
\d_\nu T^{\mu\nu}=0.
\label{Tmunu-continuity}
$$
Компоненты \emph{4"=импульса}
\eq$$
P^\mu=\int d^{d-1}x\,T^{\mu0}.
\label{Pmu-Tmunu}
$$
являются сохраняющимися зарядами,
\eq$$
\dot P^\mu=0.
\label{Pmu-conservation}
$$
если интеграл берется по всему пространству (или, точнее, по области пространства, где происходит динамика поля $\phi$). При этом величина $\cH(\phi,\pi)=P_0$ как функция конфигурации полей $\phi^a(\boldr)$ и обобщенных импульсов $\pi_a(\boldr)={\delta\over\delta\phi^a(\boldr)}\int d^{d-1}x\,\cL$ в данный момент времени $t$ является гамильтонианом системы.

Другая сохраняющая величина, связанная с тензором энергии"=импульса "--- это момент импульса
\Gather$$
J^{\mu\nu}=\int d^{d-1}x\,(x^\mu T^{\nu0}-x^\nu T^{\mu0}),
\label{Jmunu-Tmunu}
\\
\dot J^{\mu\nu}=0.
\label{Jmunu-conserv}
$$
Его сохранение следует из возможности сделать тензор энергии"=импульса симметричным~(\ref{Tmunu-symm}).

Рассмотрим по отдельности различные компоненты тензора энергии"=импульса:
\eq$$
\rho=T^{00},
\qquad
S^i=T^{0i}=T^{i0},
\qquad
\sigma^{ij}=-T^{ij}
\quad(i,j=1,\ldots,d-1).
\label{Tmunu-components}
$$
Величина $W$ имеет смысл плотности энергии. Компоненты $S^i$ образуют пространственный вектор $\boldS$ с двойным смыслом: плотности импульса и плотности потока энергии. Вообще говоря, эти две плотности могли бы не совпадать. Их совпадение является следствием сохранения момента импульса. Величины $\sigma^{ik}$ образуют пространственный тензор, который называется \emph{тензором напряжений} и имеет смысл плотности потока импульса.

Хорошим физическим примером поля является электромагнитное поле. Аналогом полей $\phi$ для него являются компоненты 4"=потенциала $A_\mu$. Действие электромагнитного поля (в системе Хевисайда) имеет вид
\eq$$
S_{EM}[A]=-{1\over4}\int d^4x\,F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}=-\int F\wedge*F,
\label{S-em}
$$
где $(*F)_{\mu\nu}={1\over2}\epsilon_{\mu\nu\kappa\lambda}F^{\kappa\lambda}$. Соответствующий тензор энергии"=импульса имеет вид
\eq$$
T_\mu{}^\nu=-F_{\mu\lambda}F^{\nu\lambda}+{\delta^\nu_\mu\over4}F_{\kappa\lambda}F^{\kappa\lambda}.
\label{emtensor-em}
$$
В компонентах имеем
\eq$$
\rho={\boldE^2+\boldH^2\over2},
\qquad
\boldS=\boldE\times\boldH,
\qquad
\sigma^{ij}=E_iE_j+H_iH_j-\rho\delta_{ij}.
\label{WSsigma-em}
$$
Величина $\boldS$ в случае электромагнитного поля называется \emph{вектором Пойнтинга}, а $\rho$ и $\sigma^{ij}$ "--- плотностью электромагнитной энергии, и электромагнитным тензором напряжений.


Теперь перейдем к теории поля на многообразии. В этом случае действие (\ref{S[phi]-general}) зависит также от метрики:
\eq$$
S[\phi|g]=\int d^dx\,\sqrt{|g|}\cL(\phi,\d_\bullet\phi|g,\d_\bullet g,\ldots).
\label{S-phi|g}
$$
Пока что мы будем рассматривать метрику не как поле, а как функциональный параметр. Чтобы подчеркнуть это, мы отделили ее от полей вертикальной чертой. Очевидно, что такое действие уже не является трансляционно"=инвариантным. Тем не менее, можно ввести тензор, который будет переходить в канонический тензор энергии"=импульса~(\ref{Tmunu-def}) в пределе $g=\eta$.

Нас будут интересовать \emph{общековариантные} функционалы действия, то есть такие, которые не меняются при замене координат. Лагранжианы для таких функционалов действия (их мы тоже будем называть общековариантными) несложно построить. Например, все лагранжианы вида
\eq$$
\cL(\phi,\d_\bullet\phi)={1\over2}g^{\mu\nu}G_{ab}(\phi)\,\d_\mu\phi^a\,\d_\nu\phi^b-U(\phi)-RV(\phi)
\label{cL-sigma-model-g}
$$
являются общековариантными. Большой класс общековариантных лагранжианов можно построить из лоренц"=инвариантных лагранжианов заменой
\eq$$
\eta_{\mu\nu}\to g_{\mu\nu},
\qquad
\d_\mu\to\nabla_\mu.
\label{gencov-substitution}
$$
Получаемые таким способом лагранжианы называются лагранжианами с \emph{минимальной} связью материи с гравитацией. Иными словами, лагранжиан с минимальной связью имеет вид
\eq$$
\cL(\phi,\d_\bullet\phi|g,\d_\bullet g,\ldots)=\cL(\phi,\nabla_\bullet\phi|g,0,\ldots,0).
\label{cL-minimal}
$$
Например, лагранжиан (\ref{cL-sigma-model-g}) будет лагранжианом с минимальной связью, если $V(\phi)=0$. В дальнейшем мы будем ограничиваться случаями минимальной связи.

Лагранжиан электромагнитного поля почти не меняется:
$$
\cL_{EM}(A,dA)=-{1\over4}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}=-{1\over4}g^{\kappa\mu}g^{\lambda\nu}F_{\kappa\lambda}F_{\mu\nu}.
$$
Это связано с тем, что тензор напряженностей электромагнитного поля $F=dA$ получается операцией внешней производной $d$, которая не зависит от связностей. Отсюда следует, что лагранжиан электромагнитного поля тоже является лагранжианом с минимальной связью.

Для простоты рассмотрим лагранжианы для полей $\phi^a$ с какой"=то тензорной структурой, такие что лагранжиан зависит только от компонент~$g_{\mu\nu}$ и их первых производных. Это верно, например, для лагранжианов~(\ref{cL-sigma-model-g}) с $V=0$. Мы будем также пользоваться кратким обозначением $a_{,\mu}=\d_\mu a$. Вариация \emph{общековариантного} действия при преобразовании $\delta_\xi$ должна обратиться в нуль:
\Align$$
0=\delta_\xi S
&=\int_Ud^dx\left({\d(\sqrt{|g|}\cL)\over\d\phi}\,\delta_\xi\phi
+{\d(\sqrt{|g|}\cL)\over\d\phi_{,\lambda}}\,\delta_\xi\phi_{,\lambda}\right)
\notag
\\
&\quad
+\int_Ud^dx\left({\d(\sqrt{|g|}\cL)\over\d g_{\mu\nu}}\,\delta_\xi g_{\mu\nu}
+{\d(\sqrt{|g|}\cL)\over\d g_{\mu\nu,\lambda}}\,\delta_\xi g_{\mu\nu,\lambda}\right)
-\int_Ud^dx\,\d_\mu(\xi^\mu\sqrt{|g|}\cL).
\label{deltaS}
$$
Последнее слагаемое обобщает последнее слагаемое в (\ref{deltaS-sr}) и связано с тем, что одна и та же область интегрирования на многообразии $M$ отображается в разные области в $\R^d$ в разных системах координат.

Здесь возникает некоторый вопрос, который не вызывал проблем в случае трансляций в плоском пространстве: как понимать выражение $\delta_\xi\phi_{,\lambda}$ для какого"=то набора тензорных компонент~$\phi$? Что мы делаем вначале, дифференцируем по $\lambda$ или берем производную Ли вдоль~$\xi$? Чтобы понять это, разберемся с тем, как мы понимаем вариацию лагранжиана. Правильное понимание состоит в том, что мы заменяем не переменную $x$ на $f_\xi(x)=x+\xi(x)$, а функции $\phi(x)$ преобразуем согласно их тензорной структуре. Именно в этом месте важно, чтобы действие было общековариантным: оно будет инвариантно относительно именно таких преобразований.

Более явно, рассмотрим преобразование
$$
\phi(x)\to (1+K_\xi(x))\phi(f_\xi(x)),
\qquad
\delta_\xi\phi(x)=(1+K_\xi(x))\phi(f_\xi(x))-\phi(x)=\xi\phi(x)+K_\xi(x)\phi(x),
$$
где $K_\xi(x)$ "--- оператор, отвечающий преобразованию компонент тензора, линейно (при $\xi\to0$) зависящий от векторного поля~$\xi$ и его производных. Например для скалярных полей $K_\xi\phi=0$, а для векторных $(K_\xi\phi)^\lambda=-\phi^\mu\xi^\lambda{}_{,\mu}$. Поэтому мы должны сначала применять производную Ли, а потом дифференцировать по координатам
$$
\delta_\xi\phi_{,\lambda}(x)=((1+K_\xi(x))\phi(f_\xi(x))-\phi(x))_{,\lambda}=(\delta_\xi \phi)_{,\lambda}(x).
$$
Ниже нам будет удобно слегка изменить запись для производной Ли, «перекинув» часть оператора $K_\xi$ в ковариантную производную:
$$
\delta_\xi\phi=\xi\phi+K_\xi\phi=\nabla_\xi\phi+\tilde K_\xi\phi.
$$
Например, для скалярных полей $\tilde K_\xi\phi=0$, а для векторных полей $(\tilde K_\xi\phi)^\lambda=-(\nabla_\phi\xi)^\lambda=-\phi^\mu\xi^\lambda{}_{;\mu}$.

Теперь мы можем вернуться к вычислению вариации. Прежде всего, распишем сумму первого и третьего слагаемых в~(\ref{deltaS}). При этом второй член в скобках в первом интеграле возьмем по частям и слегка перегруппируем слагаемые:
$$
{\rm(I)+(III)}
=\int_Ud^dx\left({\d(\sqrt{|g|}\cL)\over\d\phi}-\d_\lambda{\d\sqrt{|g|}\cL)\over\d\phi_{,\lambda}}\right)\delta_\xi\phi
+\int_Ud^dx\,\d_\lambda\left({\d(\sqrt{|g|}\cL)\over\d\phi_{,\lambda}}\delta_\xi\phi-\sqrt{|g|}\cL\xi^\lambda\right).
$$
Выражение в скобках в первом интеграле представляет собой левую часть уравнения движения:
\eq$$
{\d(\sqrt{|g|}\cL)\over\d\phi}-\d_\lambda{\d(\sqrt{|g|}\cL)\over\d\phi_{,\lambda}}=0.
\label{eqmov}
$$
В случае скалярного поля $\phi$ нетрудно записать его через ковариантную производную. Используя (\ref{nabla-sqrtg-a}), получим
\eq$$
{\d\cL\over\d\phi}-\nabla_\lambda{\d\cL\over\d\phi_{,\lambda}}=0.
\label{eqmov-nabla}
$$
Таким образом, первый интеграл на уравнениях движения для поля $\phi$ обращается в нуль, а оставшееся выражение можно записать в виде:
$$
{\rm(I)+(III)}
=\oint_{\d U}df_\lambda\left({\d(\sqrt{|g|}\cL)\over\d\phi_{,\lambda}}(\xi^\mu\nabla_\mu\phi+\tilde K_\xi\phi)-\sqrt{|g|}\cL\xi^\lambda\right).
$$
где $\d U$ "--- граница области $U$, а $df_\mu={1\over(d-1)!}\epsilon_{\mu\nu_1\ldots\nu_{d-1}}\,dx^{\nu_1}\wedge\cdots\wedge dx^{\nu_{d-1}}$ "--- элемент поверхности границы. Перегруппировав слагаемые, получаем
$$
{\rm(I)+(III)}
=\oint_{\d U}df_\lambda\left(\sqrt{|g|}\tilde T_\kappa{}^\lambda\xi^\kappa+{\d(\sqrt{|g|}\cL)\over\d\phi_{,\lambda}}\tilde K_\xi\phi\right),
$$
где
\eq$$
\tilde T_\mu{}^\nu=\nabla_\mu\phi\,{\d\cL\over\d\phi_{,\nu}}-\cL\delta^\nu_\mu
\label{emTensor-phi}
$$
"--- канонический тензор энергии"=импульса, определенный аналогично~(\ref{Tmunu-def}).%
%
\footnote{Строго говоря, тензор $\tilde T^\mu{}_\nu\d_\mu\otimes dx^\nu$ не зависит от системы координат только для моделей с минимальной связью.}
%
Однако в отличие от СТО действие не трансляционно"=инвариантно, что приводит к появлению второго слагаемого в~(\ref{deltaS}). Для последнего имеем
\Align*$$
{\rm(II)}
&=\int_Ud^dx\left({\d(\sqrt{|g|}\cL)\over\d g_{\mu\nu}}\delta_\xi g_{\mu\nu}
+{\d(\sqrt{|g|}\cL)\over\d g_{\mu\nu,\lambda}}(\delta_\xi g_{\mu\nu})_{,\lambda}\right)
\\
&=\int_Ud^dx\left({\d(\sqrt{|g|}\cL)\over\d g_{\mu\nu}}-\d_\lambda{\d(\sqrt{|g|}\cL)\over\d g_{\mu\nu,\lambda}}\right)\delta_\xi g_{\mu\nu}
+\oint_{\d U}df_\lambda\left({\d(\sqrt{|g|}\cL)\over\d g_{\mu\nu,\lambda}}\delta_\xi g_{\mu\nu}\right).
$$
Введем обозначение
\eq$$
T^{\mu\nu}=-{2\over\sqrt{|g|}}{\delta S\over\delta g_{\mu\nu}}
=-{2\over\sqrt{|g|}}\left({\d(\sqrt{|g|}\cL)\over\d g_{\mu\nu}}-\d_\lambda{\d(\sqrt{|g|}\cL)\over\d g_{\mu\nu,\lambda}}+\cdots\right),
\label{T-def}
$$
где многоточие изображает члены со старшими производными от компонент метрики, если таковые есть. По причине, которая сейчас будет ясна, мы будем называть эту величину \emph{метрическим тензором энергии"=импульса}. На практике довольно часто удобнее варьировать по обратной метрике. Так как $\delta g^{\mu\nu}=-g^{\mu\kappa}\,\delta g_{\kappa\lambda}\,g^{\lambda\nu}$, имеем
\eq$$
T_{\mu\nu}={2\over\sqrt{|g|}}{\delta S\over\delta g^{\mu\nu}}.
\label{Tlow-def}
$$
Используем теперь формулу для производной Ли от метрики: $\delta_\xi g_{\mu\nu}=\xi_{\mu;\nu}+\xi_{\nu;\mu}$. Имеем
$$
{\rm(II)}=-\int_Ud^dx\,\sqrt{|g|}T^{\mu\nu}\xi_{\mu;\nu}
+2\oint_{\d U}df_\lambda\,{\d(\sqrt{|g|}\cL)\over\d g_{\mu\nu,\lambda}}\xi_{\mu;\nu}.
$$
Используя тождество
$$
\sqrt{|g|}T^{\mu\nu}\xi_{\mu;\nu}=\sqrt{|g|}(T^{\mu\nu}\xi_\mu)_{;\nu}-\sqrt{|g|}T^{\mu\nu}{}_{;\nu}\,\xi_\mu
=(\sqrt{|g|}T^{\mu\nu}\xi_\mu)_{,\nu}-\sqrt{|g|}T^{\mu\nu}{}_{;\nu}\,\xi_\mu,
$$
получаем
\eq$$
0=\delta_\xi S=\int_Ud^dx\,\sqrt{|g|}T^{\mu\nu}{}_{;\nu}\xi_\mu
+\oint_{\d U}df_\nu\,\sqrt{|g|}\left((\tilde T^{\mu\nu}-T^{\mu\nu})\xi_\mu
+2{\d\cL\over\d g_{\lambda\mu,\nu}}\xi_{\mu;\lambda}+{\d\cL\over\d\phi_{,\nu}}\tilde K_\xi\phi\right).
\label{deltaS-fin}
$$
Рассмотрим сначала такие векторные поля $\xi$, которые обращаются в нуль на границе вместе со всеми своими производными. Тогда второе слагаемое в (\ref{deltaS-fin}) исчезает и мы получаем тождество
\eq$$
T^{\mu\nu}{}_{;\nu}=0.
\label{T-covconserv}
$$
которое верно для любого общековариантного действия вида (\ref{S-phi|g}). Поскольку мы можем произвольно выбирать область интегрирования, мы заключаем, что это равенство верно \emph{на уравнениях движения} во всем пространстве. Мы будем говорить, что тензор $T^{\mu\nu}\d_\mu\otimes\d_\nu$ \emph{ковариантно сохраняется}. Следует обратить внимание, что вывод уравнения ковариантного сохранения (\ref{T-covconserv}) на самом деле не использует никаких специальных свойств лагранжиана и верен для любых тензорных полей материи и любой зависимости лагранжиана от метрики и любых ее производных.

Теперь рассмотрим общее векторное поле $\xi$, не обращающееся в нуль на границе. В силу доказанного равенства (\ref{T-covconserv}) в выражении (\ref{deltaS-fin}) остается только второе слагаемое, которое сводится к поверхностному интегралу. В случае \emph{минимальной связи} для \emph{скалярного} поля действие не содержит производных от компонент метрики, а $\tilde K_\xi=0$. Поэтому второе и третье слагаемые под интегралом обращаются в нуль. Так как поверхность произвольна, отсюда следует, что метрический и канонический тензоры энергии"=импульса совпадают:
\eq$$
\tilde T^{\mu\nu}=T^{\mu\nu}.
\label{T-metric-deriv}
$$

В общем случае моделей с минимальной связью, когда полями материи являются произвольные тензорные поля,%
%
\footnote{В этом курсе мы не рассматриваем случай спинорных полей, для определения которых требуется более сложная техника "--- \emph{реперный} (или \emph{тетрадный}) формализм.}
%
второе слагаемое в поверхностном интеграле в~(\ref{deltaS}) выражается через производные по полям материи:
$$
{\d\cL\over\d g_{\lambda\mu,\nu}}={\d\cL\over\d\phi_{,\rho}}{\d\phi_{;\rho}\over\d g_{\lambda\mu,\nu}},
$$
так как производные от метрики входят только через символы Кристоффеля, входящие в ковариантные производные. В правой части этого равенства лагранжиан понимается как функция полей, их ковариантных производных и метрики, так же как в правой части~(\ref{cL-minimal}). Можно (хотя и в общем виде непросто) показать, что в этом случае
\eq$$
\tilde T^{\mu\nu}=T^{\mu\nu}+\psi^{\mu\nu\lambda}{}_{;\lambda},
\qquad
\psi^{\mu\nu\lambda}=-\psi^{\mu\lambda\nu}.
\label{T-metric-deriv-gen}
$$
Тензор $\psi$, вообще говоря, не является полностью антисимметричным, так что вектор $\psi^{\mu\nu\lambda}{}_{;\lambda\nu}\d_\mu$ не обязан обращаться в нуль иначе как в плоском пространстве. Таким образом, канонический тензор энергии"=импульса не удовлетворяет условию ковариантного сохранения. В плоском пространстве оба тензора удовлетворяют уравнению непрерывности и определяют сохраняющиеся величины. В дальнейшем под тензором энергии"=импульса мы всегда будем понимать метрический тензор энергии"=импульса (\ref{Tlow-def}), если специально не будет оговорено иное.

Как и следовало ожидать, энергия и импульс не сохраняются в отсутствие однородности (трансляционной инвариантности) пространства"=времени, а момент импульса "--- в отсутствии изотропии. Физически это означает обмен энергией, импульсом и моментом импульса с гравитационным полем. Позже мы обсудим это более подробно.

В заключение найдем тензор энергии"=импульса для точечной частицы. Запишем действие (\ref{S-em-particle}) в виде
$$
S[x|g]=\int d^dx\,\int d\tau\,\delta(x^\bullet-x^\bullet(\tau))\left(-m\sqrt{g_{\mu\nu}(x)\dot x^\mu(\tau)\dot x^\nu(\tau)}
-eA_\mu(x)\dot x^\mu(\tau)\right).
$$
Дифференцируя по метрике, получаем в калибровке $\tau=s$:
$$
T^{\mu\nu}=\int ds\,{\delta(x^\bullet-x^\bullet(s))\over\sqrt{|g|}}m\dot x^\mu(s)\dot x^\nu(s).
$$
Первый множитель представляет собой инвариантную дельта"=функцию на псевдоримановом многообразии:
\eq$$
\delta_g(x,y)={\delta(x^\bullet-y^\bullet)\over\sqrt{|g(y)|}}.
\label{delta-def}
$$
Поэтому окончательно получаем
\eq$$
T^{\mu\nu}=\int ds\,\delta_g(x,x(s))\,m\dot x^\mu(s)\dot x^\nu(s).
\label{T-particle}
$$


\bigbreak
\bigbreak
\centerline{\bf Задачи}
\medskip

\begin{asparaenum}[\bf1.]
\item Покажите, что из симметричности тензора энергии"=импульса (\ref{Tmunu-symm}) следует сохранение момента импульса~(\ref{Jmunu-conserv}).

\item С помощью формулы (\ref{T-def}) получите общерелятивистский тензор энергии"=импульса для электромагнитного поля и для скалярного поля с $V=0$.

\item Пусть $\psi$ "--- полностью антисимметричный тензор третьего ранга и $\Delta^{\mu\nu}=\psi^{\mu\nu\lambda}{}_\lambda$. Покажите, что $\Delta^{\mu\nu}=|g|^{-1/2}\d_\lambda(|g|^{1/2}\psi^{\mu\nu\lambda})$ и $\Delta^{\mu\nu}{}_{;\nu}=0$.

\item На концы тонкого стержня длиной $2a$ нулевой массы насажены точечные массы $m$. Центр стержня неподвижен с лабораторной системе отсчета, а сам стержень вращается с угловой скоростью $\omega$, причем скорость концов $\omega a$ не предполагается малой. Найдите тензор энергии"=импульса для стержня и точечных масс.

\starenumi

\item Для действия, зависящего от одного векторного поля материи $\phi=\phi^\mu\d_\mu$, минимально связанного с гравитацией, докажите~(\ref{T-metric-deriv-gen}).


\end{asparaenum}

\bigbreak
\bigbreak
\centerline{\bf Семинар~\thesection}
\medskip
\centerline{\bf Тензор энергии"=импульса разных физических систем}
\medskip
Источником гравитационного поля, как мы увидим в следующей лекции, является тензор энергии"=импульса материи. На семинаре мы будем вычислять тензор энергии"=импульса для нескольких физических систем:
\begin{enumerate}
\item Движущаяся пылевидная материя.
\item Движущаяся жидкость с плотностью $\rho$ и давлением~$p$. Нерелятивистский и ультрарелятивистский идеальные газы. \item Задача о движущемся конденсаторе.
\end{enumerate}



