% !TeX spellcheck = ru_RU
% !TeX encoding = UTF-8
\section{\texorpdfstring{Решение Шварцшильда}{Reshenie Schwarzschilda}}
\setcounter{page}1
\label{sec-Schw}

До сих пор мы рассматривали только слабые гравитационные поля, либо предполагая малость тензора"=энергии импульса, либо рассматривая систему вдали от источников. Есть большой соблазн думать, что слабое гравитационное поле описывается линейной теорией, подобной электродинамике, однако это \emph{не так}. Получаемая таким способом теория не является математически замкнутой. Это выражается, прежде всего, в том, что возмущение метрики $h_{\mu\nu}$ влияет на измерение расстояний и времени и, таким образом, не допускает масштабирования: если мы увеличим поля так, чтобы $h_{\mu\nu}$ было бы сравнимо с $\eta_{\mu\nu}$, мы получим абсурдные результаты для движения частиц в поле. Поэтому нам с необходимостью надо рассмотреть сильное поле и понять, к каким эффектам приводит сильная нелинейность. Как мы увидим, неизбежным следствием уравнений поля оказываются особенности пространственно"=временного многообразия.

В этой лекции мы построим сферически"=симметричное решение уравнений Эйнштейна "--- \emph{решение Шварцшильда} "--- в четырехмерном пространстве"=времени, а в следующей изучим движение частиц в таком поле. Формально это решение будет стационарным, то есть компоненты метрики не будут зависеть от времени. Важный вывод будет состоять в том, что стационарность этого решения фиктивна и связана с неполнотой выбранной системы координат: она определена только в одной карте и не описывает многообразие целиком.

Что могли бы означать слова «сферически"=симметричное решение» в применении к искривленному пространству"=времени? Чтобы это понять, разберем, что мы понимаем под сферически"=симметричным решением теории поля в пространстве"=времени Минковского. Плоское пространство"=время обладает группой симметрии $SO(3)$ вращений трехмерного пространства. Эта группа порождается тремя генераторами
\eq$$
J_x=z\,\d_y-y\,\d_z,
\qquad
J_y=x\,\d_z-z\,\d_x,
\qquad
J_z=y\,\d_x-x\,\d_y,
\label{Jxyz-def}
$$
образующими алгебру Ли $so(3)\simeq su(2)$ относительно коммутатора:
\eq$$
[J_i,J_j]=\sum^z_{k=x}\epsilon^{ijk}J_k,
\qquad
\epsilon^{xyz}=1,
\qquad
\epsilon^{ijk}=-\epsilon^{jik}=-\epsilon^{ikj}.
\label{Jxyz-so(3)}
$$
Генераторы $J_i$ являются векторными полями Киллинга для плоской метрики. Под сферически"=симметричными решениями мы понимаем решения, инвариантные относительно группы вращений $SO(3)$. В терминах векторных полей Киллинга это выражается так
\eq$$
\delta_{J_i}A=0,
\label{deltaJiA}
$$
где $A(x)$ "--- некоторое тензорное поле (сечение тензорного расслоения), а $\delta_\xi$ "--- уже знакомая нам производная Ли.

Для записи сферически"=симметричных решений удобно выбрать сферические координаты $t,r,\vartheta,\varphi$,
\eq$$
x=r\sin\vartheta\cos\varphi,
\qquad
y=r\sin\vartheta\sin\varphi,
\qquad
z=r\cos\vartheta,
\label{r-theta-varphi-def}
$$
причем метрика будет даваться формулой
\eq$$
ds^2=dt^2-dr^2-r^2\,d\Omega^2,
\label{r-theta-varphi-metric-plane}
$$
где $d\Omega^2$ "--- метрика на единичной сфере:
\eq$$
d\Omega^2=d\vartheta^2+\sin^2\vartheta\,d\varphi^2.
\label{dOmega2-def}
$$
В этих координатах векторы Киллинга $J_i$ имеют вид
\eq$$
J_x=\sin\varphi\,\d_\vartheta+\ctg\vartheta\cos\varphi\,\d_\varphi,
\qquad
J_y=-\cos\varphi\,\d_\vartheta+\ctg\vartheta\sin\varphi\,\d_\varphi,
\qquad
J_z=-\d_\varphi.
\label{Jxyz-spheric}
$$
Видно, что векторные поля $J_i$ действуют на сферах $r,t=\const$, причем группа $SO(3)$ действует на сфере транзитивно. Поэтому скалярные поля для сферически"=симметричного решения должны были бы быть функциями только от $r$ и~$t$.

В искривленном пространстве"=времени будем действовать точно так же. Мы назовем метрику сферически"=симметричной, если в ней имеются три пространственноподобных векторных поля Киллинга $J_i$, удовлетворяющих коммутационным соотношениям (\ref{Jxyz-so(3)}) алгебры Ли~$so(3)$. Условие (\ref{deltaJiA}) для метрики выполняется в силу того, что $J_i$ являются векторами Киллинга. В более сложных случаях, когда кроме гравитационного поля есть поля материи, на них нужно наложить условие~(\ref{deltaJiA}).

Самый простой способ построить сферически"=симметричную метрику состоит в том, чтобы «расслоить» пространство"=время на двумерные сферы со сферическими координатами на каждой. На двумерных сферах мы выберем координаты $\vartheta,\varphi$ таким образом, чтобы векторы (\ref{Jxyz-spheric}) были векторами Киллинга. Две остальные координаты мы обозначим через $t$ и $r$ по аналогии с плоским пространством. Немного ниже мы уточним их определение.

Требование, чтобы векторные поля $J_i$ являлись полями Киллинга,
$$
J_{i\mu;\nu}+J_{i\nu;\mu}=0,
\qquad
J_{i\mu}=g_{\mu\nu}J_i^\nu,
$$
накладывает ограничения на метрику. Прежде всего, для $J_z$ имеем
\eq$$
0=J_{z\mu;\nu}+J_{z\nu;\mu}=-g_{\mu\varphi,\nu}-g_{\nu\varphi,\mu}+2\Gamma^\lambda_{\mu\nu}g_{\lambda\varphi}=-g_{\mu\nu,\varphi},
\label{g-phindep-sphericsym}
$$
откуда следует, что компоненты метрики не зависят от~$\varphi$.

Далее мы будем полагать $i=x,y$. Подставляя $\mu,\nu=\vartheta,\varphi$, получаем уравнения, из которых находим
\eq$$
g_{\varphi\vartheta}=0,
\qquad
g_{\varphi\varphi}=g_{\vartheta\vartheta}\sin^2\vartheta,
\qquad
\d_\vartheta g_{\vartheta\vartheta}=0.
\label{g-angles-sphericsym}
$$
Это значит, что индуцированная метрика на каждой сфере пропорциональна стандартной метрике $d\Omega^2$ единичной сферы, то есть обладает $SO(3)$"=симметрией.

Теперь, выбирая $\mu=r,t$, $\nu=\vartheta,\varphi$, немедленно получаем
\eq$$
g_{\alpha a}=0,
\qquad
\alpha=t,r,\quad a=\vartheta,\varphi,
\label{g-rad-angles-zero-sphersym}
$$
то есть подпространства $\vartheta=\const$, $\varphi=\const$ ортогональны сферам. Заметим, что это означает, что ковекторы $\overline g(J_i)=g_{\mu\nu}J_i^\nu\,dx^\mu$ лежат в кокасательном пространстве к сфере, так же как векторы $J_i$ лежат на касательном пространстве. Это же условие достаточно для того, чтобы двумерные символы Кристоффеля на сферах совпадали с соответствующими четырехмерными. Получаем
$$
ds^2=g_{tt}\,dt^2+2g_{tr}\,dt\,dr+g_{rr}\,dr^2+g_{\vartheta\vartheta}\,d\Omega^2.
$$
Из оставшихся условий следует, что
\eq$$
\d_\vartheta g_{\alpha\beta}=0,
\qquad
\alpha,\beta=t,r,
\label{g-thetaindep-sphericsym}
$$
то есть все четыре функции $g_{tt}$, $g_{tr}$, $g_{rr}$, $g_{\vartheta\vartheta}$ зависят только от $t$ и~$r$.

Заметим теперь, что метрика в факторпространстве $M/SO(3)$, где $SO(3)$ "--- группа вращений, порожденная векторами Киллинга, есть метрика общего вида. Поэтому преобразованиями координат $t,r$ мы можем зафиксировать две функции. Во"=первых, потребуем, чтобы направления $\d_t$ и $\d_r$ были ортогональны, а во"=вторых, определим $r$ условием, чтобы длина большой окружности на любой из сфер $t,r=\const$ равнялась $2\pi r$. Это значит, что
\eq$$
g_{tr}=0,
\qquad
g_{\vartheta\vartheta}=-r^2.
\label{g-Schw-cond}
$$
Оставшиеся компоненты метрики $g_{tt},g_{rr}$ удобно записать в экспоненциальном виде $\e^{2k},\e^{2h}$. Итак, сферически"=симметричную метрику всегда можно представить в виде
\eq$$
ds^2=\e^{2k(t,r)}\,dt^2-\e^{2h(t,r)}\,dr^2-r^2\,d\Omega^2.
\label{ds2-central-symm}
$$
Метрика в таких координатах имеет диагональный вид, так что обратную метрику легко найти:
\eq$$
g^{\bullet\bullet}=\e^{-2k(t,r)}\,\d_t\otimes\d_t-\e^{-2h(t,r)}\,\d_r\otimes\d_r
-r^{-2}(\d_\vartheta\otimes\d_\vartheta+\sin^{-2}\vartheta\,\d_\varphi\otimes\d_\varphi).
\label{ginv-central-symm}
$$
Будем точкой обозначать производную по $t$ и штрихом "--- по~$r$. Имеем для ненулевых символов Кристоффеля
\eq$$
\Aligned{
&\Gamma^t_{tt}=\dot k,
\qquad
\Gamma^t_{rt}=k',
\qquad
\Gamma^r_{tt}=k'\e^{2k-2h},
\\
&\Gamma^r_{rt}=\dot h,
\qquad
\Gamma^t_{rr}=\dot h\e^{2h-2k},
\qquad
\Gamma^r_{rr}=h',
\\
&\Gamma^\vartheta_{r\vartheta}=\Gamma^\varphi_{r\varphi}=r^{-1},
\qquad
\Gamma^r_{\vartheta\vartheta}=-r\e^{-2h},
\qquad
\Gamma^r_{\varphi\varphi}=-r\e^{-2h}\sin^2\vartheta,
\\
&\Gamma^\varphi_{\vartheta\varphi}=\ctg\vartheta,
\qquad
\Gamma^\vartheta_{\varphi\varphi}=-\sin\vartheta\cos\vartheta.
}\label{Gamma-central-symm}
$$
Отсюда находим ненулевые компоненты тензора Риччи:
\eq$$
\Aligned{
R^t_t
&=(-\ddot h+\dot k\dot h-\dot h^2)\e^{-2k}+(k''+k^{\prime2}-k'h'+2r^{-1}k')\e^{-2h},
\\
R^r_r
&=(-\ddot h+\dot k\dot h-\dot h^2)\e^{-2k}+(k''+k^{\prime2}-k'h'-2r^{-1}h')\e^{-2h},
\\
R^t_r
&=2r^{-1}\e^{-2k}\dot h,
\\
R^\vartheta_\vartheta
&=R^\varphi_\varphi=-r^{-2}(1+(rh'-rk'-1)\e^{-2h}),
}\label{R-central-symm}
$$
Решим уравнения Эйнштейна в вакууме $R^\mu_\nu=0$. Из третьего уравнения немедленно имеем $\dot h=0$, то есть $h=h(r)$. В первом и втором уравнениях выпадают все члены с производными по времени, и мы имеем систему обыкновенных дифференциальных уравнений по переменной~$r$. Используя комбинации $R^t_t\mp R^r_r$, получаем
$$
\Gathered{
k'+h'=0,
\\
k''+k^{\prime2}-k'h'+r^{-1}(k'-h')=0,
\\
r(k'-h')=\e^{2h}-1.
}
$$
Из первого уравнения немедленно имеем
$$
k(t,r)=F(t)-h(r).
$$
Функцию $F(t)$ можно устранить преобразованием координат $t'=\int dt\,\e^{F(t)}$, поэтому без ограничения общности положим ее равной нулю. Имеем
$$
h=-k,
\qquad
k''+2k^{\prime2}+{2k'\over r}=0,
\qquad
{2\,dk\over\e^{-2k}-1}={dr\over r}.
$$
Третье уравнение легко решается
$$
\e^{2k}=1-{r_g\over r},
$$
где $r_g$ "--- некоторая постоянная размерности длины. Подставляя это решение во второе уравнение, убеждаемся, что оно тоже выполнено. Окончательно имеем
\eq$$
ds^2=\left(1-{r_g\over r}\right)\,dt^2-{dr^2\over1-{r_g\over r}}-r^2\,d\Omega^2.
\label{Schwarzschild-metric}
$$
Это решение называется \emph{решением Шварцшильда}, а постоянная $r_g$ "--- \emph{гравитационным радиусом}.

Величину $r_g$ легко выразить через полную энергию (массу) системы. Действительно, рассмотрим асимптотику решения Шварцшильда при $r\to\infty$:
$$
ds^2=\left(1-{r_g\over r}\right)\,dt^2-\left(1+{r_g\over r}\right)\,dr^2
-r^2\,d\Omega^2.
$$
Эта асимптотика не соответствует виду~(\ref{psi-r-solution}), так как для нее $h=0$ и, следовательно, $\psi_{rr}\ne0$. Но ее можно привести к нужному виду малым калибровочным преобразованием $r\to r+{r_g\over2}$. Тогда в первом порядке по $r_g/r$ имеем
$$
ds^2=\left(1-{r_g\over r}\right)\,dt^2-\left(1+{r_g\over r}\right)\left(dr^2+r^2\,d\Omega^2\right).
$$
Переходя к «декартовым» координатам (\ref{r-theta-varphi-def}), находим $h_{ij}=\delta_{ij}h_{tt}$, $h_{tt}=-r_g/r$, $h=2r_g/r$, откуда находим $\psi_{ij}=h_{ij}+{1\over2}h\delta_{ij}=0$, $\psi_{tt}=h_{tt}-{1\over2}h=-2r_g/r$. Это согласуется с асимптотическим решением~(\ref{psi-r-solution}) при $A=-2r_g$. Сравнивая с (\ref{psi00-fin-d=4}), получаем
\eq$$
r_g=2GM.
\label{rg-Schwarzschild}
$$
Из сферической симметрии решения физически ясно, что момент импульса системы, создающей гравитационное поле, равен нулю. Это также строго следует из того, что в асимптотике $\psi_{0i}=0$.

Важно отметить, что решение Шварцшильда является единственным (с точностью до преобразований координат) сферически"=симметричным решением уравнений Эйнштейна в вакууме для любого сферического слоя. Это значит, что радиальные движения сферически"=симметричной материи, как и в ньютоновской теории, не влияют на гравитационное поле в пустом пространстве снаружи.

Давайте изучим глобальные свойства решения~(\ref{Schwarzschild-metric}). Если размер гравитирующих тел больше $r_g$, то решение (\ref{Schwarzschild-metric}) хорошо определено. Чтобы получить полное решение, мы должны сшить его с решением в области, где $T^{\mu\nu}\ne0$. В то же время, ничто не может гарантировать, что материя распределена достаточно неплотно. Вполне возможно, что сил отталкивания не хватит, чтобы удержать материю за пределами сферы $r=r_g$, на которой метрика имеет особенность. Более того, может так случиться, что при ненулевом, но небольшом тензоре энергии"=импульса особенность просто сдвинется внутрь, но не исчезнет. Поэтому попробуем понять смысл этой особенности. Для этого найдем промежутки времени на прямых $r,\vartheta,\varphi=\const$ и расстояния на плоскостях $t=\const$. Пусть частица неподвижно висит в шварцшильдовых координатах. Пусть $dt$ "--- малый промежуток «глобального» координатного времени. Промежуток физического времени по часам частицы (ее собственного времени) $d\tau$ равен
\eq$$
d\tau=\sqrt{1-{r_g\over r}}\,dt.
\label{Deltatau-Schw}
$$
Эта величина стремиться к нулю при $r\to r_g$. Значит, прямая $r=r_g$, $\vartheta,\varphi=\const$ изотропна. Позже мы увидим, что на самом деле эта прямая является в пространстве"=времени \emph{единственной точкой}.

Теперь перейдем к измерениям расстояний в пространственных слоях. Так как система координат Шварцшильда имеет нулевые компоненты $g_{0i}$, пространственная часть метрики полностью определяет расстояния между точками. Мы немедленно получаем, что расстояния между точками на любой сфере $r=\const$, в том числе и на сфере Шварцшильда $r=r_g$, определяются стандартной метрикой на сфере радиуса~$r$:
$$
dl_{\text{сф}}^2=r^2\,d\Omega^2.
$$
Расстояния же вдоль радиуса растут с приближением к сфере Шварцшильда:
$$
dl_{\text{рад}}=\left(1-{r_g\over r}\right)^{-1/2}dr.
$$
Нетрудно проверить, что расстояние от сферы Шварцшильда до любой близлежащей точки (и, следовательно, до любой вообще точки) конечно. Пусть $r-r_g\ll r_g$. Тогда имеем
$$
l_{\text{рад}}(r,r_g)=\int dr\,\left(1-{r_g\over r}\right)^{-1/2}
\simeq\sqrt{r_g}\int{dr\over\sqrt{r-r_g}}=2\sqrt{r_g(r-r_g)}.
$$
Это значит, что сфера Шварцшильда не «утолщается» в пространственном направлении.

Теперь покажем, что эти координаты не покрывают все физическое пространственно"=временное многообразие. Для этого рассмотрим изотропные (светоподобные) кривые в плоскости $(t,r)$. В силу симметрии системы эти кривые должны быть геодезическими. Полагая $d\vartheta=d\varphi=0$ и $ds=0$, получаем
\eq$$
dt=\pm{dr\over1-{r_g\over r}}.
\label{isotr-cond-rad-Schw}
$$
Знак «$+$» отвечает «фотону», летящему из центра, а знак «$-$» "--- «фотону», летящему к центру. Это уравнение нетрудно проинтегрировать, но даже без интегрирования ясно, что будет происходить с фотоном в будущем. Фотон, удаляющийся от центра, постепенно выйдет на асимптотику $r=t$ и уйдет на бесконечность, в то время как «падающий» фотон будет приближаться к радиусу Шварцшильда по закону $r-r_g\sim\e^{-t/r_g}$. Никакая частица не может обогнать свет и, тем самым, не может пересечь сферу Шварцшильда. Тем самым, массы никогда не достигнут этой сферы и проблема сингулярности просто не возникнет. Сфера Шварцшильда недостижима, а координаты внутри сферы Шварцшильда не являются продолжением карты вне сферы Шварцшильда.

Казалось бы, мы решили проблему сингулярности. Это так и не так. Это так, если мы наблюдаем за системой издалека. Действительно, удаленный наблюдатель будет видеть как частицы приближаются к сфере Шварцшильда, образуя вокруг нее тонкий слой, но никогда не пересекают ее. В тоже время удаленный наблюдатель будет замечать, как замедляется течение времени на падающих часах. На самом деле это время будет замедляться так быстро, что падающая частица достигнет радиуса Шварцшильда (и окажется в абсолютном будущем для удаленного наблюдателя!) за \emph{конечное собственное время}.

\begin{figure}[H]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1.5]
\draw[->] (0,0) -- (5.5,0) node [anchor=north] {$r$};
\draw[->] (0,-.5) -- (0,3.5) node [anchor=west] {$t$};
\draw[-,line width=1.5pt] (1,-.5) -- (1,0) node [anchor=north west] {$r_g$}
  -- (1,2) node [anchor=south,rotate=90] {сфера Шварцшильда} -- (1,3.5);
\fill (2.5,0) circle(1.5pt);
\draw[-,domain=2.8:1.17] plot (\x,{2.5-\x-ln((\x-1)/1.5)}) node [anchor=north west] {\ $\cI^-$};
\draw[-,domain=2.25:4.8] plot (\x,{\x-2.5+ln((\x-1)/1.5)}) node [anchor=base east] {$\cI^+$};
\draw[-,domain=4.8:5] plot (\x,{\x-2.5+ln((\x-1)/1.5)});
\end{tikzpicture}
\caption{Изотропные геодезические $\cI^\pm$ в шварцшильдовой метрике, соответствующие двум знакам в уравнении~(\ref{isotr-cond-rad-Schw}). Кривая $\cI^-$ приближается к сфере Шварцшильда, но никогда не достигает ее. Кривая $\cI^+$ уходит на бесконечность. Область внутри сферы Шварцшильда не покрывается картой и, на самом деле, не имеет смысла.}
\label{isotr-Schw-graph}
\end{figure}

Чтобы убедиться в этом, найдем времениподобную геодезическую в плоскости $(t,r)$. Проще решить не уравнение геодезической (\ref{geodesic}), а уравнение Гамильтона"--~Якоби~(\ref{HJ-em-particle}):
\eq$$
\left(1-{r_g\over r}\right)^{-1}\left(\d S\over\d t\right)^2-\left(1-{r_g\over r}\right)\left(\d S\over\d r\right)^2=m^2.
\label{HJ-tr-Schw}
$$
Умножив обе части на $1-r_g/r$, мы получим
$$
\left(\d S\over\d t\right)^2
=m^2\left(1-{r_g\over r}\right)+\left(1-{r_g\over r}\right)^2\left(\d S\over\d r\right)^2.
$$
Левая часть содержит только производную по~$t$, а правая "--- только производную по~$r$. Давайте искать решение в таком виде, чтобы обе части были равны константе. Положим
\eq$$
{\d S\over\d t}=-E,
\label{E-tr-Schw}
$$
Константа $E$ имеет смысл энергии частицы, и связана с однородностью задачи по времени. Так как энергия всюду входит в виде квадрата, мы будем считать ее положительной. Теперь имеем
$$
S(t,r)=-Et+S_r(r),
$$
и уравнение превращается в уравнение для $S_r$:
$$
\left(dS_r\over dr\right)^2=E^2\left(1-{r_g\over r}\right)^{-2}-m^2\left(1-{r_g\over r}\right)^{-1}.
$$
Отсюда получаем
$$
S_r(r)=\pm\int dr\,{E\over1-{r_g\over r}}\sqrt{1-{m^2\over E^2}\left(1-{r_g\over r}\right)}.
$$
Дифференцируя полное действие $S(t,r,E)$ по параметру $E$, имеем
$$
-t_0={\d S\over\d E}=-t\pm\int{dr\over\left(1-{r_g\over r}\right)\sqrt{1-{m^2\over E^2}\left(1-{r_g\over r}\right)}},
$$
где $t_0$ "--- новая константа, имеющая смысл «начального» момента времени. Итак
\eq$$
t-t_0=\pm\int{dr\over\left(1-{r_g\over r}\right)\sqrt{1-{m^2\over E^2}\left(1-{r_g\over r}\right)}}
\label{timelike-eq-Schw}
$$
Это "--- алгебраическое уравнение, задающее мировую линию частицы. Мы сейчас не будем изучать подробно это уравнение и свойства его решений. Мы сделаем это в следующий раз. Нас интересует собственное время и мы его выпишем:
\eq$$
d\tau=ds=-{dS\over m}={E\over m}dt-{dS_r(r)\over m}=\pm{m\over E}{dr\over\sqrt{1-{m^2\over E^2}\left(1-{r_g\over r}\right)}}.
\label{ds-fall-Schw}
$$
Найдем полное собственное время, которое требуется частице, чтобы переместиться из точки $r=r_0$ в точку~$r_g$. Выбирая нижний знак, а затем меняя направление интегрирования, находим
\eq$$
\tau_{\text{пад}}={m\over E}\int^{r_0}_{r_g}{dr\over\sqrt{1-{m^2\over E^2}\left(1-{r_g\over r}\right)}}.
\label{s-fall-r0-rg-Schw}
$$
Важно, что собственное время падения \emph{конечно}, так как подынтегральное выражение всюду конечно и \emph{не имеет особенности} при $r=r_g$. Если $E<m$, имеется особенность при $r=r_gm/\sqrt{m^2-E^2}$, но это интегрируемая особенность. Она отвечает финитному движению: частица взлетела, а потом начала падать.

Заметим, что
\eq$$
d\tau={m\over E}\left(1-{r_g\over r}\right)\,dt.
\label{ds-dt-fall-rel-Schw}
$$
Первый множитель $m/E$ постоянен и для бесконечно удаленной частицы равен $\sqrt{1-v^2}$, то есть дает замедление времени частицы, связанное с ее «первоначальным» движением. Второй множитель $1-r_g/r$ дает гравитационное замедление времени, отличное от замедления (\ref{Deltatau-Schw}) для «неподвижно висящей» частицы.


Чтобы построить координаты, выходящие за пределы шварцшильдовской карты, придется отказаться от статичности метрики. Вместо координат $(t,r)$ удобно будет использовать координаты светового конуса $x^\pm$. Потребуем, чтобы решения уравнения~(\ref{isotr-cond-rad-Schw}) записывались в виде $x^\mp=\const$. Отсюда
\eq$$
dx^\pm=dt\pm{dr\over1-{r_g\over r}}.
\label{dUdV-Schw-def}
$$
Явное интегрирование дает
\eq$$
x^\pm=t\pm r^*,
\qquad
r^*=r+r_g\log\left({r\over r_g}-1\right).
\label{UV-Schw-def}
$$
Эти уравнения определяют $t,r$ как функции переменных~$x^\pm$. Важно, что любой паре вещественных чисел $(x^-,x^+)$ можно сопоставить точку в области $r>r_g$. Бесконечному прошлому и бесконечному будущему в шварцшильдовой метрике отвечают пределы $x^-+x^+\to\mp\infty$, бесконечно удаленной точке при конечном времени "--- предел $x^+-x^-\to+\infty$, а сфере Шварцшильда "--- предел $x^+-x^-\to-\infty$. Таким образом на $r=r_g$ один из параметров $x^\pm$ может оставаться конечным, но тогда на этом радиусе $t\to\pm\infty$.

Переменные $x^\pm$ дают возможность построить сразу несколько координатных систем. Начнем с простейшей. Выберем в качестве времени одну из координат светового конуса, например $x^+$, а в качестве пространственной координаты отставим~$r$. Тогда мы получим координаты Эддингтона"--~Финкельштейна:
\eq$$
ds^2=\left(1-{r_g\over r}\right)(dx^+)^2-2\,dx^+\,dr-r^2\,d\Omega^2.
\label{ds2-EF-future-Schw}
$$
Метрика в этих координатах по"=прежнему стационарна. Однако на поверхности $r=r_g$ уже нет особенности: компоненты конечные и гладкие, а метрика невырождена, $g=-r^4\sin^2\vartheta\allowbreak\ne\nobreak0$. Легко видеть, что кривые $r=r_g$, $\vartheta,\varphi=\const$ являются изотропными геодезическими. Эти геодезические входят в непрерывное семейство изотропных геодезических $x^-=\const$, которые расходятся от центра при $r>r_g$ и сходятся к центру при $r<r_g$ (Рис.~\ref{isotr-EF-Schw}). Поверхность $r=r_g$ представляет собой \emph{горизонт событий будущего $\cH^+$}, из-за которого мы не можем получать никаких сигналов, так как все частицы, испущенные под горизонтом событий, не выходят из под него, а падают на сингулярность, которая лежит на линии $r=0$. Область внутри горизонта событий будущего называют \emph{черной дырой}.

\begin{figure}[ht]
\centering
\begin{subfigure}{.5\textwidth}
\begin{tikzpicture}[scale=1.5]
\draw[->] (0,0) -- (4.5,0) node [anchor=north] {$r$};
\draw[->] (0,-1) --  (0,2) node [anchor=south,rotate=90] {сингулярность $\cS^+$} -- (0,3.5) node [anchor=west] {$t'=x^+-r$};
\draw[-,line width=1.5pt] (1,-1) -- (1,0) node [anchor=north west] {$r_g$}
  -- (1,2.5) node [anchor=north,rotate=90,align=left] {горизонт\strut\\событий $\cH^+$} -- (1,3);
\fill (2.5,0) circle(1.5pt);
\draw[-] (3.5,-1) -- (2.5,0) -- (1.5,1) node [anchor=south west] {$\cI^-$} -- (0,2.5);
\draw[-,domain=2.11:3] plot (\x,{\x-2.5+2*ln((\x-1)/1.5)}) node [anchor=base east] {$\cI^+$};
\draw[-,domain=3:4] plot (\x,{\x-2.5+2*ln((\x-1)/1.5)});
\draw[dashed,domain=1.55:4] plot (\x,{ln((\x-1)/1.5)}) node [anchor=south east,rotate=23,yshift=-2pt] {\small\strut$t=\const$};
\end{tikzpicture}
\caption{}
\end{subfigure}
\begin{subfigure}{.4\textwidth}
\begin{tikzpicture}[scale=1.5]
\draw[->] (0,0) -- (2.5,0) node [anchor=north] {$r$};
\draw[->] (0,-1) --  (0,2) node [anchor=south,rotate=90] {сингулярность $\cS^+$} -- (0,3.5) node [anchor=west] {$t'=x^+-r$};
\draw[-,line width=1.5pt] (1,-1) -- (1,0) node [anchor=north west] {$r_g$}
  -- (1,2.5) node [anchor=north,rotate=90,align=left] {горизонт\strut\\событий $\cH^+$} -- (1,3);
\fill (.7,0) circle(1.5pt);
\draw[-] (1.7,-1) -- (.7,0) -- (.1,.6) node [anchor=base west] {$\cI^-$} -- (0,.7);
\draw[-,domain=0:.5] plot (\x,{\x-.7+2*ln((1-\x)/.3)}) node [anchor=base west] {$\cI^+$};
\draw[-,domain=.5:.83] plot (\x,{\x-.7+2*ln((1-\x)/.3)});
\draw[dashed] (.7,-1) -- (.7,.75); \draw[dashed] (.7,1.1) -- node[rotate=90,above] {\small$r=\const$} (.7,3);
\end{tikzpicture}
\caption{}
\end{subfigure}
\caption{Координаты Эддингтона"--~Финкельштейна. Для большей наглядности на оси ординат мы отложили время $t'=x^+-r$, асимптотически переходящее в временную координату пространства Минковского. (a)~Начальная точка находится вне горизонта событий. Изотропная кривая $\cI^-$ ($x^+=\const$) пересекает горизонт событий и достигает сингулярности. Изотропная кривая $\cI^+$ ($x^-=\const$) уходит на бесконечность. Пунктирной линией обозначена поверхность синхронных событий, т.е.\ постоянного шварцшильдовского времени~$t$. (b)~Начальная точка находится за горизонтом событий. Обе изотропных геодезических $\cI^-$ и $\cI^+$ достигают сингулярности. Одновременными в смысле синхронизации часов здесь будут события на поверхности $r=\const$ (пунктир).}
\label{isotr-EF-Schw}
\end{figure}

Важный факт состоит в том, что внутри черной дыры частица достигает сингулярности тоже за конечное собственное время. Чтобы это показать, перейдем к координатам Шварцшильда в области \emph{под горизонтом} заменой координат
$$
x^+=t+r^*,
\qquad
r^*=r+r_g\log\left(1-{r\over r_g}\right).
$$
Заметим, что в силу условия $r<r_g$ координата $r$ играет роль времени, а $t$ "--- пространственной координаты. Теперь для вычисления собственного времени под горизонтом мы снова можем воспользоваться формулой~(\ref{ds-fall-Schw}). Имеем
\eq$$
s_\text{синг}={m\over E}\int^{r_g}_0{dr\over\sqrt{1-{m^2\over E^2}\left(1-{r_g\over r}\right)}}.
\label{s-fall-II-Schw}
$$
Эта величина, очевидно, конечна.

Координаты Эддингтона"--~Финкельштейна сохраняют стационарность метрики, но в них мы теряем симметрию по отношению к обращению времени. Дело в том, что линия $r=r_g$ в этих координатах находится \emph{в абсолютном будущем} по отношению ко всей области $r>r_g$ и в шварцшильдовых координатах находится в бесконечном будущем $t\to+\infty$. Область $r>r_g$ представляет собой одну и ту же область и в координатах Эддингтона"--~Финкельштейна и в координатах Шварцшильда, но координаты Эддингтона"--~Финкельштейна растягивают двумерную сферу $r=r_g$, $t=+\infty$, которая «собирает» все изотропные геодезические типа $\cI^-$, в трехмерный горизонт событий~$\cH^+$, и уводят сферу Шварцшильда в бесконечное прошлое $x^+=-\infty$. Обозначим карту, покрываемую координатами Эддингтона"--~Финкельштейна через~$EF^+$, а карту, покрываемую координатами Шварцшильда через~$Sc$. Тогда $EF^+\supset Sc$.

Обращению времени в этой конструкции отвечает замена $x^+\to-x^-$, что дает альтернативную систему координат Эддингтона"--~Финкельштейна $EF^-$:
\eq$$
ds^2=\left(1-{r_g\over r}\right)(dx^-)^2+2\,dx^-\,dr-r^2\,d\Omega^2.
\label{ds2-EF-past-Schw}
$$
Эта система продолжает систему координат Шварцшильда в бесконечное прошлое. В новой системе координат поверхность $r=r_g$ представляет собой \emph{горизонт событий прошлого $\cH^-$}. Сингулярность $r=0$ в этой области не поглощает частицы, а испускает их. Область внутри горизонта событий прошлого отлична от области внутри горизонта событий будущего, и попасть из нее в черную дыру минуя область $r\ge r_g$ невозможно. Ее называют \emph{белой дырой}. Карта Шварцшильда оказывается пересечением двух карт: $Sc=EF^+\cap EF^-$.

Как же совместить две картины (\ref{ds2-EF-future-Schw}) и~(\ref{ds2-EF-past-Schw})? Для этого надо полностью перейти к координатам светового конуса~$x^\pm$:
\eq$$
ds^2=\left(1-{r_g\over r(x^-,x^+)}\right)\,dx^-\,dx^+-r^2(x^-,x^+)\,d\Omega^2.
\label{ds2-UV-Schw}
$$
Пока ничего нового, по сути, не произошло. Новая идея состоит в том, чтобы отобразить каждую из переменных $x^\pm$ на полуось. Это отвечает тому, что мы теперь воспринимаем плоскость $(t,r)$ не как предел квадрата со сторонами, параллельными осям $t$ и~$r$, а как предел квадрата со светоподобными сторонами, параллельными осям $x^-$ и $x^+$. В координатах Эддингтона"--~Финкельштейна мы спокойно «уходили на временную бесконечность» вблизи горизонта событий, оставляя конечными координаты $x^+$ и $r$. Но в этой бесконечности координата $x^-$ будет стремиться к бесконечности вместе с~$t={1\over2}(x^-+x^+)$. Поэтому неплохо бы ее как-то «поджать». Аналогично, в прошлом неплохо бы «поджать» $x^+$. Это достигается в \emph{координатах Кр\'{у}скала"--~С\'{е}кереша}
\eq$$
u=-2r_g\e^{-x^-/2r_g},
\qquad
v=2r_g\e^{x^+/2r_g},
\label{uv-Schw-def}
$$
которые остаются конечными на горизонтах событий. Из~(\ref{UV-Schw-def}) получаем
\eq$$
uv=-4r_g^2\e^{r/r_g}\left({r\over r_g}-1\right).
\label{uv-r-eq}
$$
То есть условию $r=r_g$ отвечают две поверхности $u=0$ и $v=0$. Шварцшильдовской области $r>r_g$ отвечает квадрант $u<0,\allowbreak v>0$, причем значению $r=r_g$ при конечных $t$ соответствует в пространстве $(u,v)$ единственная точка $u=v=0$. То есть сфера Шварцшильда является \emph{двумерной сферой}, а не трехмерным цилиндром. Это немедленно сказывается на метрике. Она перестает быть сингулярной как на шварцшильдовской сфере, так и на горизонтах событий:
\eq$$
ds^2={r_g\over r(u,v)}\e^{-{r(u,v)\over r_g}}\,du\,dv-r^2(u,v)\,d\Omega^2.
\label{ds2-uv-Schw}
$$
Здесь $r$ записана как функция новых переменных $u,v$, которая решает уравнение~(\ref{uv-r-eq}).

\begin{figure}[ht]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=3]
\draw
  (-2,0) node [anchor=east] {$\bar i^0$} -- node [anchor=south,rotate=45] {$\bar\cJ^+$} node [anchor=north,rotate=45] {$u=+\infty$} (-1,1)
  -- node [anchor=south,rotate=-45] {$\bar\cH^+$} node [anchor=north,rotate=-45] {$r=r_g$} (0,0)% node [anchor=west] {\ $r=r_g$}
  -- node [anchor=south,rotate=45] {$\cH^+$} node [anchor=north,rotate=45] {$r=r_g,\ t=+\infty$} (1,1)
  -- node [anchor=south,rotate=-45] {$\cJ^+$} node [anchor=north,rotate=-45] {$v=+\infty,\ t=+\infty$} (2,0) node [anchor=west] {$i^0$}
  -- node [anchor=north,rotate=45] {$\cJ^-$} node [anchor=south,rotate=45] {$u=-\infty,\ t=-\infty$} (1,-1)
  -- node [anchor=north,rotate=-45] {$\cH^-$} node [anchor=south,rotate=-45] {$r=r_g,\ t=-\infty$} (0,0)
  -- node [anchor=south,rotate=45] {$\bar\cH^-$} node [anchor=north,rotate=45] {$r=r_g$} (-1,-1)
  -- node [anchor=north,rotate=-45] {$\bar\cJ^-$} node [anchor=south,rotate=-45] {$v=-\infty$} (-2,0);
\draw[dotted] (-1,1) node [anchor=south west] {$\bar i^+$}
  -- node [anchor=south] {сингулярность $\cS^+$} node [anchor=north] {$uv=4r_g^2$} (1,1) node [anchor=south east] {$i^+$};
\draw[dotted] (-1,-1) node [anchor=north] {$\bar i^-$}
  -- node [anchor=north] {сингулярность $\cS^-$\vrule width 0pt height 7pt} node [anchor=south] {$uv=4r_g^2$} (1,-1) node [anchor=north] {$i^-$};
\draw[->] (-1,1) -- (-1.15,1.15) node [anchor=north,rotate=-45] {$u$}; 
\draw[->] (1,1) -- (1.15,1.15) node [anchor=north,rotate=45] {$v$}; 
\draw (1,0) node {$I$};
\draw (0,.6) node {$II$};
\draw (0,-.6) node {$III$};
\draw (-1,0) node {$IV$};
\end{tikzpicture}
\caption{Диаграмма Пенроуза для максимально расширенного многообразия Крускала. $I$ "--- область, покрываемая картой Шварцшильда; $II$ "--- черная дыра; $III$ "--- белая дыра; $IV$ "--- «зазеркалье». Имеем $I=Sc$, $I\cup II=EF^+$, $I\cup III=EF^-$.}
\label{confdiag-Schw}
\end{figure}

Систему координат Крускала удобно изобразить графически с помощью \emph{диаграммы Пенроуза} или \emph{конформной} или \emph{причинной диаграммы}. Для этого от некомпактных координат $u,v$ следует перейти к компактным переменным $u',v'$ с помощью замены
$$
u=2r_g\tg u',
\qquad
v=2r_g\tg v'.
$$
В двумерном пространстве $(u,v)$ это преобразование является конформным и сохраняет изотропные направления. Дополнительное \emph{преобразование Вейля}
$$
g'_{\mu\nu}(x)=\Omega(x)g_{\mu\nu}(x)
$$
с множителем
$$
\Omega(x)={r(u,v)\over r_g}\e^{r(u,v)\over r_g}{1\over(1+u^2/4r_g^2)(1+v^2/4r_g^2)}
$$
отобразит метрику (\ref{ds2-uv-Schw}) в плоскую метрику листа бумаги. В общем случае диаграммы Пенроуза получаются сжатием («компактификацией») координат светового конуса, поэтому изотропные кривые всегда изображаются на них отрезками прямых, лежащими под углом $45^\circ$ к горизонту, и причинная структура пространства"=времени становится понятной. Диаграмма Пенроуза для метрики Шварцшильда изображена на Рис.~\ref{confdiag-Schw}.

Горизонт событий будущего $\cH^+$ изображается лучом $u=0$, $v>0$, а горизонт событий прошлого $\cH^-$ "--- лучом $v=0$, $u<0$. Оба луча ограничивают внешнюю область $v>0$, $u<0$, что эквивалентно $r>r_g$ в шварцшильдовых координатах. Эта область обозначена на конформной диаграмме~\ref{confdiag-Schw} как область~$I$. Схематично координаты Шварцшильда на конформной диаграмме изображены на Рис.~\ref{regionI-Schw}.

\begin{figure}[ht]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=3]
\draw[-,line width=1pt]
  (0,0) node [anchor=north east] {$r=r_g$\ }
  -- node [anchor=south,rotate=45] {$\cH^+$} (1,1) node [anchor=west] {\ $i^+:t=+\infty$}
  -- node [anchor=south,rotate=-45] {$\cJ^+$} (2,0) node [anchor=west] {$i^0:r=\infty$}
  -- node [anchor=north,rotate=45] {$\cJ^-$} (1,-1) node [anchor=north] {$i^-:t=-\infty$}
  -- node [anchor=north,rotate=-45] {$\cH^-$} (0,0);
\draw[->] (0,0) -- (-.15,.15) node [anchor=north,rotate=-45] {$u$}; 
\draw[->] (1,1) -- (1.15,1.15) node [anchor=north,rotate=45] {$v$};
\draw plot [smooth] coordinates {(0,0) (.41,.4) (.72,.7) (1,.87) (1.28,.7) (1.59,.4) (2,0)};
\draw plot [smooth] coordinates {(0,0) (.53,.5) (1,.8) (1.47,0.5) (2,0)};
\draw plot [smooth] coordinates {(0,0) (1,.7) (2,0)};
\draw plot [smooth] coordinates {(0,0) (1,.5) (2,0)};
\draw plot [smooth] coordinates {(0,0) (1,0) (2,0)};
\draw plot [smooth] coordinates {(0,0) (1,-.5) (2,0)};
\draw plot [smooth] coordinates {(0,0) (.53,-.5) (1,-.8) (1.47,-0.5) (2,0)};
\draw plot [smooth] coordinates {(0,0) (.41,-.4) (.72,-.7) (1,-.87) (1.28,-.7) (1.59,-.4) (2,0)};
\draw[dashed] plot [smooth] coordinates {(1,-1) (.6,0) (1,1)};
\draw[dashed] plot [smooth] coordinates {(1,-1) (1.1,0) (1,1)};
\draw[dashed] plot [smooth] coordinates {(1,-1) (1.4,0) (1,1)};
\draw[dashed] plot [smooth] coordinates {(1,-1) (1.58,0) (1,1)};
\draw[dashed] plot [smooth] coordinates {(1,-1) (1.67,0) (1,1)};
\draw[dashed] plot [smooth] coordinates {(1,-1) (1.73,0) (1,1)};
\end{tikzpicture}
\caption{Координатная сетка Шварцшильда в области $I$ диаграммы Пенроуза (качественно). Линии времени $t$ (пунктирные) сгущаются к правому краю, линии радиальной координаты $r$ (сплошные) одинаково сгущаются сверху и снизу.}
\label{regionI-Schw}
\end{figure}

Достоинство координат $u,v$ состоит в том, что мы можем продолжить метрику (\ref{ds2-uv-Schw}) из области $u<0,v>0$ (область~$I$) в будущее в область $u,v>0$ (область~$II$, черная дыра) и в прошлое в область $u,v<0$ (область $III$, белая дыра). Формально области $II$ и $III$ отвечают значениям $r<r_g$, но, на самом деле, представляют собой две совершенно отдельные области пространства"=времени, независимо описываемые областью $r<r_g$ координат Шварцшильда. Насколько далеко можно продолжить метрику в область положительных значений~$uv$? До тех пор, пока мы не достигнем линий сингулярности
\eq$$
r(u,v)=0
\quad\Leftrightarrow\quad
uv=4r_g^2.
\label{physsing-Schw}
$$
При $u,v>0$ сингулярность находится в абсолютном будущем (см.\ рис.~\ref{confdiag-Schw}) для всех событий внутри области~$II$. Никакая траектория не может миновать сингулярности. При $u,v<0$ сингулярность находится в абсолютном прошлом.

Кроме областей $I$, $II$ и $III$ мы видим на диаграмме область $IV$, которая необходима, если мы хотим избежать ситуации, когда частицы пропадают неизвестно куда или появляются ниоткуда в регулярных точках.%
%
\footnote{Естественно, можно рассматривать и многолистные накрытия пространства, изображенного на рис.~\ref{confdiag-Schw} с точкой ветвления $u=v=0$ ($r=r_g$), в которых будет несколько (или даже бесконечно много) областей типа $I,II,III,IV$.}
%
Эта область представляет собой невидимый «зеркальный мир», с которым не может быть никакой коммуникации из области $I$,%
%
\footnote{Точнее, мы можем что-то узнать об этом мире, только упав на черную дыру, если мы, конечно, выживем, когда нас будут разрывать приливные силы. В любом случае наше знание пропадет, когда мы упадем на сингулярность.}
%
но который обязан существовать. Формально горизонт $\bar\cH^+$ и бесконечность $\bar\cJ^+$ отображаются в область $t\to-\infty$, а горизонт $\bar\cH^-$ и бесконечность $\bar\cJ^-$ "--- в область $t\to+\infty$, так что можно предположить, что время там течет в некотором смысле назад. Однако, скорее всего, это относится к области умозрительных непроверяемых предположений.



\bigbreak
\bigbreak
\centerline{\bf Задачи}
\medskip

\begin{asparaenum}[\bf1.]
\item Покажите, что векторные поля $J_i$, определенные в~(\ref{Jxyz-def}), являются векторами Киллинга в плоском пространстве"=времени и удовлетворяют соотношениям~(\ref{Jxyz-so(3)}) алгебры~$so(3)$.

\item Завершите доказательство~(\ref{g-angles-sphericsym})--(\ref{g-thetaindep-sphericsym}).

\item Проверьте формулы~(\ref{Gamma-central-symm}) и~(\ref{R-central-symm}).

\item Используя уравнение Гамильтона"--~Якоби, покажите, что в некоторой окрестности любой точки метрику можно привести к виду
$$
ds^2=g_{--}(dx^-)^2+2\,dx^-\,d\tau+2g_{-i}\,dx^-\,dx^i+g_{ij}\,dx^idx^j,
\qquad
i=2,\ldots,d-1.
$$
Здесь $\tau$ является аффинным параметром изотропных геодезических. В случае $g_{-i}=0$ эти геодезические даются уравнениями $x^-=\const$, $x^i=\const$. Такая метрика обобщает метрику Эддингтона"--~Финкельштейна.

\starenumi
\item Используя конструкцию, которую мы обсуждали на Семинаре~6, и формулы (\ref{HJ-tr-Schw})"--~(\ref{ds-fall-Schw}), постройте синхронную систему отсчета в подпространстве $\vartheta,\varphi=\const$. Перейдите от координат $(t,x)$ к координатам $\tau=-S/m$ и $\varepsilon=E/m$ и найдите метрику в этих координатах. Как меняется с собственным временем расстояние между частицами, которые начали падать одновременно из одной точки с немного разными энергиями? Как оно ведет себя вблизи сингулярности?



\end{asparaenum}

\bigbreak
\bigbreak
\centerline{\bf Семинар~\thesection}
\medskip
\centerline{\bf Гравитационное поле статического сферически"=симметричного тела}
\medskip
В случае статического сферически"=симметричного тела с тензором энергии"=импульса
$$
T^t_t=\rho(r),
\qquad
T^i_j=-p(r)\delta^i_j
$$
задачу нахождения гравитационного поля можно решить точно. Уравнения Эйнштейна принимают вид
$$
\Gathered{
\dot h=0,
\\
r^{-1}\e^{-2h}(k'+h')=4\pi G(\rho+p),
\\
\e^{-2h}(k''+k^{\prime2}-k'h'+r^{-1}(k'-h'))=8\pi Gp,
\\
r^{-2}(1-\e^{-2h})+r^{-1}(h'-k')\e^{-2h}=4\pi G(\rho-p).
}
$$
Первое уравнение приводит к статичности метрики. Уравнение для $h(r)$ отделяется и дает
\eq$$
\e^{-2h}=1-{2Gm(r)\over r},
\qquad
m(r)=4\pi\int^r_0dr\,r^2\rho(r).
\label{h-m(r)-rel}
$$
С помощью четвертого уравнения отсюда легко найти $k'(r)$:
$$
{dk\over dr}=G{m(r)+4\pi r^3p(r)\over r(r-2Gm(r))}.
$$
Подставляя ответ в третье уравнение, получаем \emph{условие статического равновесия Оппенгеймера"--~Волкова}
\eq$$
{dp\over dr}=-G{(\rho+p)(m(r)+4\pi r^3p(r))\over r(r-2Gm(r))}.
\label{OV-eq}
$$
На этом уравнении строится теория устойчивости звезд (в тех случаях, когда вращением можно пренебречь). Уравнение следует решать с граничным условием $p(R)=0$, где $R$ "--- радиус звезды.

Давайте оценим предел устойчивости звезд. Критерий устойчивости звезды радиуса $R$ имеет вид:
\eq$$
r>2Gm(r)\quad\forall r<R.
\label{star-stablity}
$$
Проще всего найти критерий устойчивости для звезды, состоящей из несжимаемого вещества $\rho=\const$. В этом случае для предельной массы имеем
\eq$$
M_\text{max}=\sqrt{3\over32\pi\rho G^3}.
\label{Mmax-incompressible}
$$
Для нейтронной звезды с плотностью $\rho\simeq3\cdot10^{14}\>\text{g}/\text{cm}^3$ имеем $M_\text{max}\simeq6.6M_\odot$, где $M_\odot$ "--- масса Солнца.

Рассмотрим теперь звезду с уравнением состояния
\eq$$
p=\alpha\rho.
\label{prho-linear}
$$
В случае $\alpha={1\over3}$ это уравнение представляет собой уравнение ультрарелятивистского идеального газа. Здесь имеется точное решение
\eq$$
m(r)=Kr,
\qquad
K={2\alpha\over\alpha^2+6\alpha+1}G^{-1},
\label{VO-solution}
$$
и критерий устойчивости состоит в том, что $K<{1\over2G}$. Это условие выполнено при любых $\alpha$. Масса такой звезды может быть сколь угодно велика и определяется только «обрезкой» на малых плотностях, где закон~(\ref{prho-linear}) перестает работать. Поэтому предельная масса существенно зависит от уравнения состояния при малых плотностях.
