% !TeX spellcheck = ru_RU
% !TeX encoding = UTF-8
\section{\texorpdfstring{$O(2)$"=модель и переход Березинского"--~Костерлица"--~Таулеса}{O(2)-model i perexod Berzinskogo-Kosterlica-Taulesa}}
\setcounter{page}1

Здесь мы часто будем рассматривать модели в двумерном пространстве"=времени с действием
\eq$$
S[\bn]={1\over2g}\int d^2x\,(\d_\mu\bn)^2,
\qquad
\bn^2\equiv\sum^N_{i=1}n^2_i=1,
\label{O(N)-model}
$$
которые называются моделями $\bn$"=поля или $O(N)$"=моделями. Эти модели обладают явной $O(N)$"=симметрией, соответствующей вращениям сферы. Они принадлежат широкому классу сигма"=моделей, то есть моделей, у которых поля лежат на многообразиях.

Сейчас мы рассмотрим простейшую модель из этой серии "--- $O(2)$"=модель. Она элементарно линеаризуется. Положим
$$
n_1=\cos\varphi,
\qquad
n_2=\sin\varphi.
$$
Тогда
\Align$$
S[\varphi]
&={1\over2g}\int d^2x\,(\d_\mu\varphi)^2,
\label{varphiaction}
\\
\varphi(x)
&\sim\varphi(x)+2\pi.
\label{varphiequiv}
$$
Последняя строчка означает, что мы считаем значения поля $\varphi$ и $\varphi+2\pi$ эквивалентными.

Казалось бы, мы имеем безмассовое поле с корреляционными функциями, спадающими степенным образом:
\eq$$
\langle
e^{im\varphi(x)}e^{in\varphi(y)}
\rangle
\sim
\left(-(x-y)^2\right)^{{g\over4\pi}mn},
\qquad
m,n\in\Z.
\label{masslesscorr}
$$
На самом деле это совсем не так и результат существенно зависит от значения константы $g$. Чтобы в этом убедиться, рассмотрим классические решения уравнений поля
\eq$$
\nabla^2\varphi=0
\label{eqmotion}
$$
в эвклидовом пространстве. Рассмотрим набор решений
\eq$$
\varphi_{\vq\vx}(x)
=\sum^n_{a=1}q_a\Im\log(z-z_a)
=\sum^n_{a=1}{q_a\over2i}\log{z-z_a\over\bz-\bz_a},
\qquad
q_a\in\Z,
\label{vortices}
$$
где
$$
\Aligned{
z
&=x^1+ix^2=x^1-x^0,
\\
\bz
&=x^1-ix^2=x^1+x^0.
}
$$
Эти решения, хотя и имеют сингулярности (неопределенные значения) в точках $z=z_a$, очень важны. Они представляют собой решения с $n$ вихрями в точках $z_a$ с завихренностями $q_a$. В простейшем случае $n=1$ решение в радиальных координатах $z-z_1=re^{i\theta}$ имеет вид
$$
\varphi_{q_1x_1}(x)=q_1\theta.
$$

Важно отметить, что решения (\ref{vortices}) удовлетворяют уравнению (\ref{eqmotion}) даже в точках $x=x_a$. Действительно,
$$
\d_\mu\d^\mu{1\over2i}\log{z\over\bz}=\d_\mu\d^\mu\arctg{x^2\over x^1}
=-\epsilon_{\mu\nu}\d_\mu{x^\nu\over r^2}
=\epsilon^{\mu\nu}\d_\mu\d_\nu\log{1\over r}=0.
$$
Более того, для любой гладкой и достаточно быстро спадающей функции $\varphi(x)$ мы имеем
$$
\int d^2x\,\varphi(x)\d_\mu\d^\mu{1\over2i}\log{z\over\bz}
=\varphi(0)\int d^2x\,\epsilon^{\mu\nu}\d_\mu\d_\nu\log{1\over r}=0.
$$
Вклады, пропорциональные производным от $\varphi(x)$ в точке $x=0$ не дают вклада либо по соображениям симметрии, либо по соображениям конечности в нуле. Отсюда немедленно получаем
\eq$$
\int d^2x\,\d^\mu\varphi\,\d_\mu\varphi_{\vq\vx}=0.
\label{varphi-varphiqx}
$$

Вычислим значение действия на вихревых решениях (\ref{vortices}):
\Align$$
S[\varphi_{\vq\vx}]
&={2\over g}\int d^2x\,\d\varphi_{\vq\vx}\,\bd\varphi_{\vq\vx}
\nonumber
\\
&={1\over2g}\int d^2x\sum_{a,b}{q_aq_b\over(z-z_a)(\bz-\bz_b)}
\nonumber
\\
&={1\over2g}\left(
\sum_aq^2_a\int{d^2x\over|z-z_a|^2}
+\sum_{a<b}q_aq_b\int d^2x\,
{(z-z_a)(\bz-\bz_b)+(\bz-\bz_a)(z-z_b)\over|z-z_a|^2|z-z_b|^2}.
\right)
\nonumber
$$
Первый интеграл берется просто, но расходится и на больших, и на малых масштабах:
$$
\int{d^2x\over|z-z_a|^2}
\simeq2\pi\int^R_{r_0}{dr\over r}
=2\pi\log{R\over r_0},
$$
где $R$ и $r_0$ "--- параметры инфракрасного и ультрафиолетового обрезания соответственно. Второй интеграл расходится только на больших масштабах. Имеем
\eq$$
\int d^2x\,{(z-z_a)(\bz-\bz_b)+(\bz-\bz_a)(z-z_b)\over|z-z_a|^2|z-z_b|^2}=2\pi\log{R^2\over|z_a-z_b|^2}
\label{vortices-int2}
$$
Подставляя эти формулы в интеграл для действия, получим
\Align$$
S[\varphi_{\vq\vx}]
&={1\over2g}\left(
\pi\sum_aq^2_a\log{R^2\over r^2_0}
+2\pi\sum_{a<b}q_aq_b\log{R^2\over|z_a-z_b|^2}
\right)
\nonumber
\\
&={\pi\over2g}\left(\sum_a q_a\right)^2\log R^2
-{\pi\over2g}\sum_a q^2_a\log r^2_0
+{1\over2g}\sum_{a<b}q_aq_b\,2\pi\log{1\over|z_a-z_b|^2}.
\label{claction}
$$
Первый член стремится к бесконечности, когда размер системы велик, если выражение в скобках не равно нулю. Это значит, что в большой системе должно выполняться условие нейтральности
\eq$$
\sum_a q_a=0.
\label{neutrality}
$$
Второе слагаемое в (\ref{claction}) ультрафиолетово расходится. Если мы регуляризуем теорию каким"=либо естественным способом, например рассмотрим ее как предел теории вида
$$
S[\phi]
=\int d^2x\,\left(
|\d_\mu\phi|^2-{\lambda\over4}(|\phi|^2-\phi^2_0)^2
\right),
$$
эта величина будет конечной и будет зависеть от структуры кора вихрей. Ниже мы увидим, что значение $r_0$ не влияет существенно на результат.

Давайте теперь попробуем написать (эвклидов) функциональный интеграл в виде
\eq$$
Z[J]
=\sum^\infty_{n=0}{r_0^{-2n}\over n!}
\sum_{q_1,\ldots,q_n\atop q_1+\cdots+q_n=0}
\int d^2x_1\cdots d^2x_n\,
\int D\varphi\,
e^{-S[\varphi+\varphi_{\vq\vx}]-(J,\varphi+\varphi_{\vq\vx})},
\label{zj}
$$
где интеграл берется теперь по регулярным полям $\varphi$ без всякого отождествления. Множитель $1/n!$ происходит от того, что решение (\ref{claction}) не меняется при перестановках $z_a\leftrightarrow z_b$, $q_a\leftrightarrow q_b$. Таким образом, суммирование $\sum_{q_1,\ldots,q_n} \int d^2x_1\cdots d^2x_n$ учитывает одни и те же конфигурации $n!$ раз. Множитель $r_0^{-2n}$ добавлен для того, чтобы сделать интеграл безразмерным. Можно себе представить, что вихри могут занимать не любые позиции, а располагаются в ячейках размера $\sim r_0$.

Вычислим действие на фоне многовихревого решения:
$$
S[\varphi+\varphi_{\vq\vx}]
=S[\varphi_{\vq\vx}]+S[\varphi]
+{1\over g}\int d^2x\,\d^\mu\varphi\,
\d_\mu\varphi_{\vq\vx}.
$$
Первый член дается выражением~(\ref{claction}). Интеграл в последнем члене равен нулю в силу~(\ref{varphi-varphiqx}). Отсюда
\Align$$
Z[J]
&=Z_0[J]\sum^\infty_{n=0}{1\over n!}
\sum_{q_1,\ldots,q_n\atop q_1+\cdots+q_n=0}
r_0^{{\pi\over g}\sum q_a^2-2n}\int d^2x_1\cdots d^2x_n\,
\prod_{a<b}|z_a-z_b|^{2{\pi\over g}q_aq_b}\,
e^{-(J,\varphi_{\vq\vx})},
\\
Z_0[J]
&=\int D\varphi\,e^{-S[\varphi]-(J,\varphi)}.
$$
Из отождествления (\ref{varphiequiv}) следует, что мы можем рассматривать только источники $J$ вида
\eq$$
J_{\vJ\vy}(x)=-i\sum^k_{j=1}J_j\delta(x-y_j),
\qquad
J_i\in\Z.
$$
Тогда
\Align$$
Z[J_{\vJ\vy}]
&=\sum^\infty_{n=0}{1\over n!}
\sum_{q_1,\ldots,q_n\atop q_1+\cdots+q_n=0}
r_0^{{\pi\over g}\sum_a q_a^2-{g\over4\pi}\sum_j J^2_j-2n}
\int d^2x_1\cdots d^2x_n\,
\prod_{a<b}|z_a-z_b|^{{2\pi\over g}q_aq_b}
\nonumber
\\
&\quad\times
\prod_{a,j}\left(w_j-z_a\over\bw_j-\bz_a\right)^{q_aJ_j/2}\,
\prod_{j<j'}|w_j-w_{j'}|^{{g\over2\pi}J_jJ_{j'}},
\label{ZJfin}
$$
где $w_j=y^1_j+iy^2_j$.

Мы получили нечто вроде статистической суммы плазмы, частицы которой могут иметь любые заряды (причем энергия заряженного состояния пропорциональна квадрату заряда). Источник частиц $\varphi$ сложно связан с частицами плазмы, однако, в принципе, можно ожидать, что при малых константах связи $g$ (<<низкие температуры>>) плазма рекомбинирует и корреляционные функции остаются степенными, в то время как при больших $g$ (<<высокой температуре>>) имеется дебаевское экранирование, корреляционные функции спадают экспоненциально и теория массивна. Такой переход по константе связи называется {\it переходом Березинского"--~Костерлица"--~Таулеса} (БКТ).

Естественно, что мы не можем просуммировать весь ряд по теории возмущений. Тем не менее, можно точно определить точку перехода БКТ. Действительно, плазма не образуется, когда вихри начинают удерживаться в конечном объеме, то есть все интегралы, кроме одного, начинают инфракрасно сходиться при больших $n$. Кроме того, из-за электронейтральности
$$
\sum_{a<b}q_aq_b={1\over2}\sum_{a\ne b}q_aq_b
={1\over2}\left(\sum_a q_a\right)^2-{1\over2}\sum_a q_a^2
=-{1\over2}\sum_a q_a^2\le-{n\over2}
$$
Отсюда находим, что все интегралы сходятся при
$$
2{\pi\over g}\left(-{n\over2}\right)+2(n-1)<0.
$$
При больших $n$ получаем, что безмассовой фазе отвечают $g<g_{\rm KT}$,
причем
\eq$$
g_{\rm KT}={\pi\over2}.
\label{gKT}
$$
При $g>g_{\rm KT}$ вихри не удерживаются и система ведет себя как плазма с конечной корреляционной длиной. Следует отметить, что ответ не зависит от параметра ультрафиолетового обрезания $r_0$, так что фазовый переход имеет место при сколь угодно малом коре вихря. Заметим, что условие (\ref{gKT}) как раз является условием, при котором исчезает размерный множитель $r_0^{{\pi\over g}\sum q_a^2-2n}$ для системы простых вихрей $q=\pm1$. Поскольку в теории нет никаких размерных параметров, кроме $r_0$, корреляционная длина пропорциональна $r_0$, и, таким образом, даже у ``идеальной'' $O(2)$"=модели нет никаких шансов избежать фазового перехода. Качественно это можно объяснить тем, что малый статистический вес вихревых состояний с лихвой перекрывается большим объемом фазового пространства.

Выражение (\ref{ZJfin}) можно переписать по"=другому, введя новое поле $\phi(x)$. Обратим внимание, что
\eq$$
\nabla^2{1\over4\pi}\log|x|^2=\delta(x).
\label{2dcoulomb}
$$
и потому $\log{R^2\over|x|^2}$ представляет собой пропагатор свободного безмассового бозонного поля:
\eq$$
S_0[\phi]={1\over8\pi}\int d^2x(\d_\mu\phi)^2.
\label{S0phi}
$$
Поскольку уравнения движения в этой модели имеют вид
$$
\d_\mu\d^\mu\phi=0,
$$
можно ввести дуальное поле $\tphi$ условием
\eq$$
\d_\mu\tphi=-\epsilon_{\mu\nu}\d^\nu\phi
\label{phidual}
$$
или
\eq$$
\d\tphi=\d\phi,
\qquad
\bd\tphi=-\bd\phi.
$$
Хотя эти формулы имеют буквальный смысл лишь на решениях уравнений движения, легко показать, что и на корреляционных функциях эти равенства не лишены смысла. Действительно, введем поля $\phi_R(z)$ и $\phi_L(\bz)$ уравнениями
\eq$$
\Aligned{
\phi(x)
&=\phi_R(z)+\phi_L(\bz),
\\
\tphi(x)
&=\phi_R(z)-\phi_L(\bz).
}
\label{phiLR}
$$
Тогда корреляционные функции
\eq$$
\langle\phi_R(z)\phi_R(z')\rangle_0
=\log{R\over z-z'},
\qquad
\langle\phi_L(\bz)\phi_L(\bz')\rangle_0
=\log{R\over\bz-\bz'},
\qquad
\langle\phi_R(z)\phi_L(\bz')\rangle_0
=0
\label{LRcorr}
$$
согласованы с теорией.

Далее нам понадобятся корреляционные функции экспоненциальных операторов. Поскольку эти корреляционные функции содержат бесконечные множители, мы попросту исключим их, переопределив экспоненциальные операторы:
\eq$$
e^{i\alpha\phi_{R,L}}\to r_0^{\alpha^2/2}e^{i\alpha\phi_{R,L}},
\qquad
e^{i\alpha\phi}\to r_0^{\alpha^2}e^{i\alpha\phi},
\qquad
e^{\beta\tphi}\to r_0^{-\beta^2}e^{\beta\tphi}.
\label{expredef}
$$
Тогда экспоненциальные операторы перестают быть безразмерными и приобретают размерность $d=\alpha^2/2$, $\alpha^2$ и $-\beta^2$ соответственно. Эта размерность совпадает с {\it масштабной размерностью\/} этих операторов. По определению, оператор $O$ обладает масштабной размерностью $d_O$, если его корреляционные функции инвариантны по отношению к заменам
$$
O(x)\to s^{d_O}O(sx)
$$
во всех операторах.

Корреляционные функции экспонент в такой модели равны
\eq$$
\Aligned{
\langle e^{i\alpha_1\phi_R(z_1)}\cdots e^{i\alpha_n\phi_R(z_n)}\rangle_0
&=R^{-{1\over2}\left(\sum_a\alpha_a\right)^2}
\prod_{a<b}(z_a-z_b)^{\alpha_a\alpha_b},
\\
\langle e^{i\alpha_1\phi_L(\bz_1)}\cdots e^{i\alpha_n\phi_L(\bz_n)}\rangle_0
&=R^{-{1\over2}\left(\sum_a\alpha_a\right)^2}
\prod_{a<b}(\bz_a-\bz_b)^{\alpha_a\alpha_b}.
}
\label{expLRcorr}
$$
Отсюда следует, что
\Multline$$
\left\langle\prod^k_{j=1}e^{i\beta_j\tphi(y_j)}
\prod^n_{a=1}e^{i\alpha_a\phi(x_a)}\right\rangle_0
\\*
=\prod_{a<b}|z_a-z_b|^{2\alpha_a\alpha_b}
\prod_{j<j'}|w_j-w_{j'}|^{2\beta_a\beta_b}
\prod_{a,j}\left(w_j-z_a\over\bw_j-\bz_a\right)^{\alpha_a\beta_j}
\times\Cases{1,\quad\sum\alpha_a=0,\\
0,\quad\text{в пр.~сл.}}
\label{tphiphicorr}
$$
Это выражение в точности совпадает с подынтегральным выражением в~(\ref{ZJfin}) при
\eq$$
\Aligned{
\alpha_a
&=\sqrt{\pi\over g}\,q_a,
\\
\beta_j
&=\sqrt{g\over4\pi}\,J_j,
}
$$
Отсюда получаем
\eq$$
Z[J_{\vJ\vy}]
=\sum^\infty_{n=0}{1\over n!}
\sum_{q_1,\ldots,q_n\atop q_1+\cdots+q_n=0}
r_0^{{\pi\over g}\sum q_a^2+{g\over4\pi}\sum J_j^2-2n}
\int d^2x_1\cdots d^2x_n\,
\left\langle
\prod^k_{j=1}e^{i\sqrt{g\over4\pi}\,J_j\tphi(y_j)}
\prod^n_{a=1}e^{i\sqrt{\pi\over g}\,q_a\phi(x_a)}
\right\rangle_0.
\label{ZJphi}
$$
Заметим, что выражение под знаком интеграла замечательным образом симметрично относительно замен
$$
g\leftrightarrow (2\pi)^2g^{-1},
\qquad
k\leftrightarrow n,
\qquad
q_a\leftrightarrow J_j,
\qquad
\phi(x)\leftrightarrow\tphi(x).
$$
Более того, лагранжиан свободного поля пишется одинаково через поля $\phi$ и~$\tphi$. Поэтому мы можем отождествить
\eq$$
\varphi(x)=\sqrt{g\over4\pi}\tphi(x).
\label{varphi-tphi}
$$

Сделаем важное приближение, не меняющее свойств фазового перехода. Будем пренебрегать вихрями с $|q|>1$, поскольку их вклад падает с уменьшением $r_0$ быстрее вклада $|q|$ штук вихрей заряда~1. Тогда, исключив несущественный множитель $r_0^{{g\over4\pi}\sum J_j^2}$, производящий функционал можно переписать в виде
\Align$$
Z[J_{\vJ\vy}]
&=\sum^\infty_{n=0}{r_0^{2n({\pi\over g}-2)}\over(2n)!}{2n\choose n}
\int d^2x_1\cdots d^2x_{2n}\,
\left\langle
\prod^k_{j=1}e^{i\sqrt{g\over4\pi}\,J_j\tphi(y_j)}
\prod^n_{a=1}e^{i\sqrt{\pi\over g}\phi(x_a)}
\prod^{2n}_{a=n+1}e^{-i\sqrt{\pi\over g}\phi(x_a)}
\right\rangle_0
\nonumber
\\
&=\sum^\infty_{n=0}{r_0^{2n({\pi\over g}-2)}\over(2n)!}
\int d^2x_1\cdots d^2x_{2n}\,
\left\langle
\prod^k_{j=1}e^{i\sqrt{g\over4\pi}\,J_j\tphi(y_j)}
\prod^{2n}_{a=1}\left(
e^{i\sqrt{\pi\over g}\phi(x_a)}+e^{-i\sqrt{\pi\over g}\phi(x_a)}
\right)
\right\rangle_0
\nonumber
\\
&=\left\langle
\prod^k_{j=1}e^{i\sqrt{g\over4\pi}\,J_j\tphi(y_j)}
\exp\left(
2r_0^{{\pi\over g}-2}
\int d^2x\,\cos\sqrt{\pi\over g}\phi(x)
\right)
\right\rangle_0
\nonumber
\\
&=\int D\phi\,
e^{-S_{\rm SG}[\phi]}
\prod^k_{j=1}e^{i\sqrt{g\over4\pi}\,J_j\tphi(y_j)},
$$
где
\eq$$
S_{\rm SG}[\phi]
=\int d^2x\left({(\d_\mu\phi)^2\over8\pi}-\mu\cos\beta\phi\right)
\label{SGdef}
$$
"--- действие для модели синус"=Гордона с параметрами
\eq$$
\beta=\sqrt{\pi\over g},
\qquad
\mu=2r_0^{{\pi\over g}-2}.
\label{SGparams}
$$
Более подробно мы изучим эту модель в следующий раз, а пока введем несколько важных понятий. Будем рассматривать модель синус"=Гордона как возмущение свободного безмассового бозона. Тогда масштабная размерность оператора возмущения будет равна
$$
d_{\text{pert}}=\beta^2.
$$
Когда $d_{\text{pert}}<2$ возмущение называется {\it релевантным\/}. Оно существенно меняет поведение системы на больших масштабах и не меняет на малых. Когда $d_{\text{pert}}>2$ возмущение называется {\it иррелевантным\/} и не меняет качественно инфракрасного поведения. Случай $d_{\text{pert}}=2$ называется {\it маргинальным}. В случае модели синус"=Гордона именно он соответствует точке перехода БКТ.

\bigbreak
\bigbreak
\centerline{\bf Задачи}
\medskip

\begin{asparaenum}[\bf1.]

\item Возьмите интеграл~(\ref{vortices-int2})

\item Выведите формулу~(\ref{2dcoulomb}).

\item Покажите, что для свободного поля $\phi$ с
действием $S_0[\phi]$ парная корреляционная функция равна
$$
\langle\phi(x)\phi(y)\rangle=\log{R^2\over(x-y)^2}
$$
с некоторым масштабом инфракрасного обрезания $R$.

\item Выясните, при каких условиях операторы $\e^{i\alpha_1\varphi_R(z)+i\bar\alpha_1\varphi_L(\bz)}$ и $\e^{i\alpha_2\varphi_R(z)+i\bar\alpha_2\varphi_L(\bz)}$ взаимно"=локальны, то есть обладают корреляционными функциями, однозначными при обходе точкой, в которой находится один из этих операторов, вокруг точки, в которой находится другой оператор.

\starenumi
\item Предположим, что поле $\phi(x)$ с действием $S_0[\phi]$ определено на окружности радиуса $R$ ($\phi\sim\phi+2\pi R$) и живет на пространственной окружности ($x^1\sim x^1+2\pi$) с периодическими граничными условиями. Покажите, что теория эквивалентна теории поля $\tphi(x)$, определенного на окружности радиуса $2/R$ ({\it $T$"=дуальность\/}). Для решения задачи можно использовать разложение по модам в гамильтоновом формализме. При этом следует учесть, что при обходе по пространственному циклу поле может измениться на целое число периодов эквивалентности $2\pi R$ (число намотки). При преобразовании дуальности число намотки и квантовое число импульса меняются местами.

\end{asparaenum}

\bigbreak
\bigbreak
\centerline{\bf Семинар~\thesection}
\medskip
\centerline{\bf Экспоненциальные операторы в теории свободного скалярного поля.}
\medskip
Для простоты мы ограничимся функционалами от поля $\varphi(z)\equiv\varphi_R(z)$. Для этого поля можно записать разложение
\eq$$
\varphi(z)=Q-iP\log z+\sum_{k\ne0}{a_k\over ik}z^{-k},
\label{varphi-expand}
$$
где эрмитовы операторы $P,Q$ и операторы рождения"=уничтожения $a_k=a_{-k}^+$ удовлетворяют соотношениям
\eq$$
[P,Q]=-i,
\qquad
[a_k,a_l]=k\delta_{k+l,0}.
\label{PQ-aa-commut}
$$
Если определить вакуум $|0\rangle$ как
\eq$$
P|0\rangle=a_k|0\rangle=0\quad(k>0).
\label{vac-def}
$$
Нетрудно проверить, что
\eq$$
\langle\varphi(z')\varphi(z)\rangle=\langle Q^2\rangle+\langle\varphi(z')\varphi(z)\rangle_*
=\langle Q^2\rangle+\log{1\over z'-z},
\label{varphi-expanded-corr}
$$
то есть неопределенное выражение $\langle Q^2\rangle$ можно отождествить с инфракрасным членом $\log R$ в~(\ref{LRcorr}). Нетрудно проверить, что стандартное нормальное упорядочение, которое ставит $P$ справа от $Q$ и $a_k$ ($k>0$) справа от $a_{-k}$, отвечает условию
$$
\varphi(z_1)\varphi(z_2)=\lcolon\varphi(z_1)\varphi(z_2)\rcolon+\langle\varphi(z_1)\varphi(z_2)\rangle_*.
$$
Более общо, нормальное упорядочение может быть задано рекурсионным соотношением
\eq$$
\lcolon\varphi(z_1)\cdots\varphi(z_n)\rcolon\varphi(z)
=\lcolon\varphi(z_1)\cdots\varphi(z_n)\varphi(z)\rcolon
+\sum^n_{i=1}\lcolon\varphi(z_1)\mathinner{\mathop{\cdots}^{\strut\widehat i}}
\varphi(z_n)\rcolon
\langle\varphi(z_i)\varphi(z)\rangle_*
\label{normprod-recursion}
$$
с начальным условии
\eq$$
\lcolon1\rcolon=1.
\label{normprod-init}
$$
Здесь индекс $\hat i$ над многоточием означает, что из нормального произведения исключен $i$-тый множитель. Отсюда нетрудно вывести, что
\Multline$$
\lcolon\varphi(z_1)\cdots\varphi(z_m)\rcolon
\lcolon\varphi(w_1)\cdots\varphi(w_n)\rcolon=
\\
=\sum^{\min(m,n)}_{k=0}\sum_{1\le i_1<\cdots<i_k\le m\atop
1\le j_1,\ldots,j_k\le n}
\lcolon\varphi(z_1)
\mathinner{\mathop{\cdots}^{\strut\widehat{i_1}\ldots\widehat{i_k}}}\varphi(z_m)
\varphi(w_1)\mathinner{\mathop{\cdots}^{\strut\widehat{j_1}\ldots\widehat{j_k}}}
\varphi(w_n)\rcolon
\prod^k_{l=1}\langle\varphi(z_{i_l})\varphi(w_{j_l})\rangle_*.
\label{normprod-twoprods}
$$

Вернемся к операторным экспонентам $e^{i\alpha\varphi(z)}$. Операторные произведения формальных экспонент
\eq$$
e^{i\alpha_1\varphi(z_1)}e^{i\alpha_2\varphi(z_2)}
=e^{-{1\over2}\alpha_1\alpha_2[\varphi(z_1),\varphi(z_2)]}
e^{i\alpha_1\varphi(z_1)+i\alpha_2\varphi(z_2)}
\label{exp-prod}
$$
довольно плохо определены, так как содержат плохо определенный коммутатор. Корреляционные функции формальных экспонент
\eq$$
\langle e^{i\alpha_1\varphi(z_1)}\cdots e^{i\alpha_N\varphi(z_N)}\rangle
=\left(r_0\over R\right)^{{1\over2}\sum_i\alpha_i^2}
\prod_{i<j}\left(z_i-z_j\over R\right)^{\alpha_i\alpha_j}
\label{exp-corr}
$$
содержат ультрафиолетовые расходимости. Таким образом, формальные экспоненты плохо определены.

Нормальные экспоненты хорошо определены, все их корреляторы ультрафиолетово конечны. Можно проверить, что
\eq$$
\langle\lcolon e^{i\alpha_1\varphi(z_1)+\cdots+i\alpha_n\varphi(z_n)}\rcolon\rangle
=\langle e^{i(\alpha_1+\cdots+\alpha_N)Q}\rangle=R^{-{1\over2}\left(\sum\alpha_i\right)^2}.
\label{normexp-norm}
$$
Операторные произведения нормальных экспонент имеют вид
\eq$$
\lcolon e^{i\alpha_1\varphi(z_1)}\rcolon
\lcolon e^{i\alpha_2\varphi(z_2)}\rcolon
=(z_1-z_2)^{\alpha_1\alpha_2}
\lcolon e^{i\alpha_1\varphi(z_1)+i\alpha_2\varphi(z_2)}\rcolon.
\label{normexp-prod}
$$
Отсюда нетрудно найти корреляционные функции
\eq$$
\langle\lcolon e^{i\alpha_1\varphi(z_1)}\rcolon\cdots\lcolon e^{i\alpha_N\varphi(z_N)}\rcolon\rangle
=R^{-{1\over2}\left(\sum\alpha_i\right)^2}\prod_{i<j}(z_i-z_j)^{\alpha_i\alpha_j}.
\label{normexp-corr}
$$
Сравнивая это с (\ref{exp-corr}), мы видим, что
$$
e^{i\alpha\varphi(z)}
=r_0^{\alpha^2/2}\lcolon e^{i\alpha\varphi(z)}\rcolon,
$$
то есть нормальные экспоненты, зависящие от одного поля $\varphi(z)$, представляют собой не что иное как перенормированные версии полных операторных экспонент, определенные в (\ref{expredef}). Вне этого пояснения, чтобы не загромождать формулы, мы будем опускать знак нормального произведения.

Выражение (\ref{normexp-corr}) явно содержит инфракрасную обрезку $R$, но имеет хороший предел при $R\to\infty$:
\eq$$
\langle\lcolon e^{i\alpha_1\varphi(z_1)}\rcolon\cdots\lcolon e^{i\alpha_N\varphi(z_N)}\rcolon\rangle
=\Cases{\prod_{i<j}(z_i-z_j)^{\alpha_i\alpha_j},
&\text{ если $\sum_i\alpha_i=0$;}\\
0,&\text{ если $\sum_i\alpha_i\ne0$.}}
\label{normexp-corr-Rinf}
$$
В частности, на бесконечной плоскости
\eq$$
\langle\lcolon e^{i\alpha_1\varphi(z_1)+\cdots+i\alpha_n\varphi(z_n)}\rcolon\rangle
=\Cases{1,&\text{ если $\sum_i\alpha_i=0$;}\\
0,&\text{ если $\sum_i\alpha_i\ne0$}.}
\label{normexp-norm-Rinf}
$$

