% !TeX spellcheck = ru_RU
% !TeX encoding = UTF-8
\section{\texorpdfstring{Ренормгруппа для перехода Березинского"--~Костерлица"--~Таулеса}{Renormgruppa dlia perexoda Berezinskogo-Kosterlica-Taulesa}}
\setcounter{page}1

Рассмотрим переход БКТ с помощью модели синус"=Гордона. В этой лекции нам будет удобней пользоваться эвклидовым представлением:
\eq$$
S_{SG}[\phi]=\int d^2x\,\left({(\d_\mu\phi)^2\over8\pi}-\alpha_0r_0^{\beta_0^2-2}\cos\beta_0\phi\right),
\label{SG-action}
$$
Мы поставили нолики у констант для того, чтобы подчеркнуть, что это неперенормированные константы. Далее мы будем использовать также перенормированные константы $\alpha$,~$\beta$. Кроме того, по сравнению с действием в первой лекции мы добавили безразмерную постоянную~$\alpha_0$. В предыдущей лекции мы объединили константы $\alpha_0$ и $r_0$ в постоянную $\mu=\alpha_0r_0^{\beta^2-2}$. С точки зрения теории поля следует считать, что корреляционная длина $r_c\sim\mu^{-1/(2-\beta^2)}$ много больше длины ультрафиолетового обрезания~$r_0$. В случае релевантного возмущения $\beta^2<2$ это позволяет развить теорию возмущений по константе~$\mu$, так как отвечает случаю $\alpha\ll1$. В этой лекции мы, наоборот, стартуем со случая $r_c\gtrsim r_0$, более естественного для изучения перехода БКТ и посмотрим, как будет меняться теория по мере роста масштаба. Вообще говоря, это непросто сделать, но, коль скоро нас интересует окрестность точки фазового перехода $\beta^2=2+\delta$, $|\delta|\ll1$, мы можем использовать ренормгрупповой подход вместе с теорией возмущений\cite{Kosterlitz,AGG}.

Можно интерпретировать ренормгруппу и чисто теоретико"=полевым образом. Давайте рассмотрим систему в режиме $\alpha_0\ll1$ ($r_c\gg r_0$), но будем рассматривать корреляционные функции на масштабах $r$, таких что $r_0\ll r\ll r_c$. Корреляционные функции на масштабе $r$, вычисленные по затравочному действию с учетом всех перенормировок, будут вести себя как корреляционные функции в древесном приближении для перенормированного действия с подходящими перенормированными константами связи. Если мы будем знать как «бегут» перенормированные константы связи с масштабом $r$, мы сможем вычислять корреляционные функции в этой промежуточной области.

Мы говорили, что невозмущенной теории "--- теории свободного безмассового поля "--- имеется масштабный параметр $R$, имеющий смысл размера области, в которой живет теория. Нам будет удобно использовать его в качестве масштабного параметра перенормировки, но потребуется его определить несколько более аккуратным способом. Мы в самом деле могли бы рассмотреть теорию на пространстве с компактными измерениями (компактификация). Например, мы могли бы компактифицировать теорию на цилиндр окружности $R$, но это нарушило бы изотропию. Альтернативная компактификация на сферу чрезмерно усложнила бы вычисления. Поэтому вместо компактификации теории введем в лагранжиан маленький массовый член:
\eq$$
S_{SG}[\phi]=\int d^2x\,\left({(\d_\mu\phi)^2\over8\pi}
+{m_0^2\phi^2\over8\pi}-\alpha_0r_0^{\beta_0^2-2}\cos\beta_0\phi\right).
\label{SG-action-mod}
$$
Для ультрафиолетовой же регуляризации будем заменять $x^2$ на $x^2+r_0^2$. Тогда при $m_0^2x^2\ll1$ пропагатор свободного поля (с $\alpha_0=0$) равен
\eq$$
G_0(x-x')=\log{R_0^2\over(x-x')^2+r_0^2},
\qquad
R_0=(cm_0)^{-1},
\qquad
c=e^{\gamma_E}/2.
\label{G0-def}
$$
Здесь $\gamma_E$ "--- постоянная Эйлера. Мы видим, что эффективно включение массового члена меняет корреляционные функции на малых расстояниях так же, как и компактификация.

Теперь напишем перенормированное действие
\eq$$
S^R_{\rm SG}[\phi]=\int d^2x\,\left({(\d_\mu\phi)^2\over8\pi}
+{m^2\phi^2\over8\pi}-{\alpha\over R^2}\cos\beta\phi\right),
\qquad
R=(cm)^{-1},
\label{SG-action-ren}
$$
такое что $S_{\rm SG}[\phi]=S^R_{\rm SG}[Z_\phi^{-1/2}\phi]+S^{\rm ct}[Z_\phi^{-1/2}\phi]$. Мы потребуем, чтобы контрчленное действие $S^{\rm ct}[\phi]$ не содержало контрчленов к <<массовому>> члену:
$$
S^{\rm ct}[\phi]=\int d^2x\,(\#(\d_\mu\phi)^2+\#\cos\beta\phi).
$$
Это значит, что поле $\phi$ перенормируется. Хотя формально в действии буква $\phi$ "--- произвольная функция, но, поскольку нам эта буква потребуется как значок в корреляционных функциях, мы будем иногда обозначать перенормированное поле как~$\phi_R$. Кроме того, ниже мы определим перенормированную константу связи~$\alpha$. Итак, правило перенормировки должно выглядеть следующим образом:
\eq$$
\Aligned{
\phi
&=Z_\phi^{1/2}\phi_R,
\\
\beta_0
&=Z_\phi^{-1/2}\beta,
\\
\alpha_0
&=Z_\alpha\alpha,
\\
m_0
&=Z_\phi^{-1/2}m,
\\
R_0
&=Z_\phi^{1/2}R.
}\label{all-ren}
$$
Теперь рассмотрим пропагатор $G_0(x-x')=\langle\phi(x)\phi(x')\rangle_0$ невозмущенной ($\alpha_0=0$) теории и пропагатор $G(x-x')=\langle\phi(x)\phi(x')\rangle$ полной теории для перенормированного поля. Их можно рассматривать как ядра интегральных операторов $G_0=4\pi(-\d_\mu^2+m_0^2)^{-1}$ и $G$ соответственно. Между ними имеется связь
\eq$$
G^{-1}=G_0^{-1}+{1\over4\pi}\Sigma,
\label{GG0-rel}
$$
где оператор $\Sigma$ называется массовым оператором. Мы нормировали его так, чтобы восстановить его естественный смысл как поправки к квадрату массы.

В теории ренормгруппы используется два подхода. Один подход (подход Каданова) используется чаще в статистической механике, и исследует эволюцию затравочных констант связи по параметру ультрафиолетового обрезания $\Lambda\sim r_0^{-1}$ при заданных перенормированных константах связи. Другой подход, используемый обычно в квантовой теории поля, предполагает, что затравочные константы и параметр обрезания заданы (и, таким образом, задают теорию). В этом случае оказывается, что имеется некоторая неопределенность в определении перенормированных констант связи, зависящая от размерного параметра, например, точки перенормировки~$\kappa$. Исследуется эволюция констант связи по этому размерному параметру. Достоинство второго метода состоит в том, что из него можно довольно прямыми способами извлекать уравнения для корреляционных функций. Поэтому мы воспользуемся этим подходом. В нашем случае за такой размерный параметр можно принять инфракрасную обрезку $R$ или, эквивалентно, вспомогательную массу~$m$. Давайте потребуем, чтобы вблизи точки $p^2=0$ в импульсном пространстве перенормированный пропагатор $G_R(p^2)$ имел естественный вид $4\pi(p^2+M^2)^{-1}$, где $M$ "--- некоторый массовый параметр. Мы используем его для определения перенормированной константы связи~$\alpha$. В прямом пространстве
\eq$$
G_R(x-x')=Z_\phi^{-1}G(x-x')=\langle\phi_R(x)\phi_R(x')\rangle.
\label{GR-def}
$$
Наше требование состоит в том, чтобы в импульсном пространстве
\eq$$
G_R(p^2)={4\pi\over p^2+M^2}+O(p^4)\quad\text{при $p^2\to0$,}
\label{rencond}
$$
причем
\eq$$
M^2=m^2+{4\pi\alpha\beta^2\over R^2}=m^2(1+4\pi c^2\alpha\beta^2).
\label{alpha-def}
$$
Это условие можно переписать в терминах $\Sigma(p^2)=\Sigma_0+\Sigma_1p^2+O(p^4)$. Действительно,
\Multline$$
4\pi G^{-1}(p^2)=p^2+m_0^2+\Sigma(p^2)=p^2+m_0^2+\Sigma_0+\Sigma_1p^2+O(p^4))
\\
=(1+\Sigma_1)\left(p^2+m^2+\Sigma_0(1+\Sigma_1)^{-1}\right)+O(p^4)
=4\pi(1+\Sigma_1)G_R^{-1}(p^2).
\label{G-1-expansion}
$$
Отсюда следует, что
\eq$$
Z_\phi={1\over1+\Sigma_1},
\qquad
M^2=m^2+{\Sigma_0\over1+\Sigma_1},
\qquad
m^2={m_0^2\over1+\Sigma_1}.
\label{phi-m-ren}
$$

Вычисление массового оператора нам будет удобно начать с разложения для пропагатора в координатном представлении:
\Multline*$$
G(x-x')=\left\langle\phi(x)\phi(x')\right\rangle
={\left\langle\phi(x)\phi(x')e^{-S_1[\phi]}\right\rangle_0\over\left\langle e^{-S_1[\phi]}\right\rangle_0}
\\
=\left\langle\phi(x)\phi(x')\right\rangle_0
-\langle\phi(x)\phi(x')S_1[\phi]\rangle_{0,\text{c}}+{1\over2}\langle\phi(x)\phi(x')S_1^2[\phi]\rangle_{0,\text{c}}
-{1\over6}\langle\phi(x)\phi(x')S_1^3[\phi]\rangle_{0,\text{c}}
+O(\alpha_0^4).
$$
Здесь знаменатель $\langle e^{-S_1}\rangle_0$ сокращает несвязные диаграммы. Чтобы учесть это, следует вычислять только связные части корреляционных функций, обозначенные здесь как $\langle\cdots\rangle_{0,\text{c}}$. Мы исключим несвязные диаграммы на ходу. Мы также на ходу исключим одночастично"=приводимые диаграммы и легко выбросим множители $G_0$ на <<ногах>>, так что, по сути, будем сразу вычислять массовый оператор.

Чтобы продемонстрировать технику, вычислим первый порядок теории возмущений:
$$
-\langle\phi(x)\phi(x')S_1[\phi]\rangle
=\alpha_0r_0^{\delta_0}\int d^2y\,\langle\phi(x)\phi(x')\lcolon\cos\beta_0\phi(y)\rcolon\rangle_0.
$$
Среднее в правой части легко вычисляется
$$
\langle\phi(x)\phi(x')\lcolon\cos\beta_0\phi(y)\rcolon\rangle_0
=\langle\phi(x)\phi(x')\rangle_0\langle\lcolon\cos\beta_0\phi(y)\rcolon\rangle_0
-\beta_0^2\langle\phi(x)\phi(y)\rangle_0\langle\phi(x')\phi(y)\rangle_0\langle\lcolon\cos\beta_0\phi(y)\rcolon\rangle_0.
$$
Первое слагаемое представляет собой сумму несвязных диаграмм и сокращается с соответствующим вкладом от~$\langle e^{-S_1}\rangle_0$. Второе слагаемое естественно распадается на две <<хвостовые>> линии и вклад в массовый оператор. Учитывая, что $\langle\lcolon\cos\beta_0\phi(y)\rcolon\rangle_0=R_0^{-\beta_0^2}$, для вклада первого порядка в (минус) массовый оператор имеем
$$
-{1\over4\pi}\Sigma^{(1)}(y-y')=-\alpha_0\beta_0^2{r_0^{\delta_0}\over R_0^{\beta_0^2}}\delta(y-y').
$$
Отсюда
\eq$$
\Sigma^{(1)}(p^2)=\Sigma^{(1)}_0=4\pi\alpha_0\beta_0^2R_0^{-2}\left(r_0\over R_0\right)^{\delta_0}.
\label{Sigma(1)-result}
$$
Как и следовало ожидать, эта формула согласуется с квазиклассическим пределом $\beta\to0$ ($\delta\to-2$). В этом пределе вклад инфракрасного обрезания исчезает, и $M^2=m_0^2+4\pi\alpha\beta^2r_0^{-2}=m_0^2+4\pi\mu\beta^2$.

В общем случае мы видим, что масса зависит от параметра $R$ инфракрасного обрезания. Здесь надо принять во внимание, что масса $M$ не является массой элементарных возбуждений в теории. Дело в том, что при $\beta^2\le2$ теория является асимптотически свободной, то есть поле $\phi$ описывает только возбуждения на малых масштабах, в то время как на больших масштабах имеется совершенно другая система возбуждений "--- солитоны и (при $\beta^2<1$) бризеры. Здесь мы будем интересоваться именно массой этих <<асимптотических>> возбуждений.

Сравнивая ответ с (\ref{phi-m-ren}), (\ref{alpha-def}), получаем в этом приближении
\eq$$
Z_\phi=1,
\qquad
Z_\alpha=\left(R\over r_0\right)^\delta.
\label{Z(1)-result}
$$

В первом порядке по теории возмущений метод ренормгруппы не даст нам ничего нового, и я приведу его просто для иллюстрации. Разложим $Z_\alpha$ по малому параметру~$\delta$:
$$
Z_\alpha=1+\delta\log{R\over r_0},
$$
Будем считать параметр обрезки $r_0$ и затравочные константы $\alpha_0$, $\delta_0$ постоянными, а логарифм инфракрасного масштаба $R$ "--- ренормгрупповым <<временем>>. Тогда
$$
{d\alpha\over dt}=-\alpha_0\delta,\qquad t=\log R.
$$
В первом порядке по $\delta$ мы должны считать $\alpha_0=\alpha$. Поэтому получаем уравнение
$$
{d\alpha\over dt}=-\alpha\delta,
$$
которое имеет решение
$$
\alpha\sim R^{-\delta}
$$
в согласии с~(\ref{Z(1)-result}). Это естественно, поскольку результат (\ref{Z(1)-result}) точен в случае, когда константа связи $\mu$ много меньше масштаба обрезки $r_0^{\beta^2-2}$, то есть $\alpha\ll1$. Точность этого ответа обусловлена применением конформной теории возмущений.

Формально ренормгрупповые траектории выглядят как на~Рис.~\ref{fig-1order}.
\begin{figure}[ht]
$$
\begin{tikzpicture}[>=stealth]
\draw[very thick,->] (-3.5,0) -- (3.5,0) node[above right] {$\delta$};
\draw[very thick,->] (0,0) -- (0,3.5) node[above right] {$\alpha$};
\foreach \x in {-3,...,-1}
  {
  \draw[->] (\x,0) -- +(0,1);
  \draw[->] (\x,.9) -- +(0,1.1);
  \draw[->] (\x,1.9) -- +(0,1.1);
  \draw (\x,2.9) -- +(0,.35);
  }
\foreach \x in {-2.5,...,-.5}
  {
  \draw[->] (\x,0) -- +(0,.5);
  \draw[->] (\x,.4) -- +(0,1.1);
  \draw[->] (\x,1.4) -- +(0,1.1);
  \draw (\x,2.4) -- +(0,.85);
  }
\foreach \x in {1,...,3}
  {
  \draw[->] (\x,3.25) -- +(0,-.25);
  \draw[->] (\x,3.1) -- +(0,-1.1);
  \draw[->] (\x,2.1) -- +(0,-1.1);
  \draw (\x,1.1) -- +(0,-1.1);
  }
\foreach \x in {.5,...,2.5}
  {
  \draw[->] (\x,3.25) -- +(0,-.75);
  \draw[->] (\x,2.6) -- +(0,-1.1);
  \draw[->] (\x,1.6) -- +(0,-1.1);
  \draw (\x,.6) -- +(0,-.6);
  }
\end{tikzpicture}
$$
\caption{Ренормгрупповые траектории в первом порядке по теории возмущений. Стрелки указывают в направлении роста масштаба~$R$.}
\label{fig-1order}
\end{figure}
Траектории нарисованы в плоскости $(\delta,\alpha)$. Мы видим, что при $\delta<0$ имеет место асимптотическая свобода: параметр связи $\alpha$ стремится к нулю с уменьшением масштаба и неограниченно растет с ростом масштаба. Точно так же диаграмма выглядит в плоскости затравочных параметров $(\delta_0,\alpha_0)$, но уже по отношению к ультрафиолетовому <<времени>>~$\log r_0$.

Рассмотрим теперь высшие порядки по теории возмущений. Во втором порядке теории возмущений имеем
\Multline*$$
{1\over2}\langle\phi(x)\phi(x')S_1^2[\phi]\rangle_{\rm 0,conn}
={\alpha_0^2r_0^{2\delta_0}\over2}\int d^2y_1\,d^2y_2\,
\langle\phi(x)\phi(x')\lcolon\cos\beta_0\phi(y_1)\rcolon\lcolon\cos\beta_0\phi(y_2)\rcolon\rangle_{\rm 0,conn}
\\
={\alpha_0^2\beta_0^2r_0^{2\delta_0}}\int d^2y_1\,d^2y_2\,
\Bigl(\langle\phi(x)\phi(y_1)\rangle_0\langle\phi(x')\phi(y_2)\rangle_0
\langle\lcolon\sin\beta_0\phi(y_1)\rcolon\lcolon\sin\beta_0\phi(y_2)\rcolon\rangle_0
\\*
-\langle\phi(x)\phi(y_1)\rangle_0\langle\phi(x')\phi(y_1)\rangle_0
\left(\langle\lcolon\cos\beta_0\phi(y_1)\rcolon\lcolon\cos\beta_0\phi(y_2)\rcolon\rangle_0
-R_0^{-2\beta_0^2}\right)\Bigr).
$$
Множитель $R_0^{-2\beta_0^2}$ в последнем слагаемом связан с тем, что каждая вершина дает вклад в диаграмму $R_0^{-\beta_0^2}=\langle\lcolon e^{\pm i\beta\phi}\rcolon\rangle_0$. Отсюда немедленно находим
\Align$$
-{1\over4\pi}\Sigma^{(2)}(x)
&=\alpha_0^2\beta_0^2r_0^{2\delta_0}
\biggl(\langle\lcolon\sin\beta_0\phi(x)\rcolon\lcolon\sin\beta_0\phi(0)\rcolon\rangle_0
-\beta_0^2R_0^{-2\beta_0^2}\langle\phi(x)\phi(0)\rangle_0
\notag
\\*
&\quad
-\delta(x)\int d^2y\,\left(\langle\lcolon\cos\beta_0\phi(0)\rcolon\lcolon\cos\beta_0\phi(y)\rcolon\rangle_0
-R_0^{-2\beta_0^2}\right)\biggr)
\notag
\\
&={\alpha_0^2\beta_0^2r_0^{2\delta_0}\over2R_0^{2\beta_0^2}}
\Biggl(\left(R_0\over x\right)^{2\beta_0^2}-\left(x\over R_0\right)^{2\beta_0^2}
-2\beta_0^2\log{R_0^2\over x^2}
\notag
\\*
&\quad
-\delta(x)\int d^2y\,\left(\left(R_0\over y\right)^{2\beta_0^2}+\left(y\over R_0\right)^{2\beta_0^2}
-2\right)\Biggr).
\notag
$$
Член с $\langle\phi(x)\phi(0)\rangle_0$ вычитает одночастично"=приводимый вклад. В импульсном представлении имеем
\Multline*$$
\Sigma^{(2)}(p^2)=-2\pi\alpha_0^2\beta_0^2r_0^{2\delta_0}
\biggl(\int d^2x\,(e^{\i px}-1)x^{-2\beta_0^2}
\\*
-R_0^{-4\beta_0^2}\int d^2x\,(e^{\i px}+1)x^{2\beta_0^2}
-2\beta_0^2R_0^{-2\beta_0^2}G_0(p^2)+2R_0^{2-2\beta_0^2}\biggr).
$$
Очевидно, что второй интеграл ультрафиолетово сходится, а инфракрасно растет не быстрее чем $R_0^{2+2\beta_0^2}$, то есть соответствующий вклад мал. Аналогично малы два последних члена в скобке, отвечающие вычитанию одночастично"=приводимой и несвязной диаграмм. Первый интеграл дает вклад только в~$\Sigma_1$:
\Multline$$
\Sigma^{(2)}(p^2)=\pi\alpha_0^2\beta_0^2r_0^{2\delta_0}\int d^2x\,(px)^2x^{-2\beta_0^2}+O(p^4)
=\pi\alpha_0^2\beta_0^2r_0^{2\delta_0}
\int^{2\pi}_0d\theta\int^{R_0}_{r_0}d\rho\,p^2\rho^{3-2\beta_0^2}\cos^2\theta+O(p^4)
\\
={\pi^2\alpha_0^2\beta_0^2\over2\delta_0}\left(1-\left(r_0\over R_0\right)^{2\delta_0}\right)p^2+O(p^4)
\simeq\pi^2\alpha_0^2\beta_0^2p^2\log{R_0\over r_0}+O(p^4).
\label{Sigma(2)-result}
$$
Под знаком логарифма мы можем заменить $R_0$ на~$R$. Отсюда получаем во втором порядке
\eq$$
Z_\phi=1-\pi^2\alpha_0^2\beta_0^2\log{R\over r_0},
\qquad
Z_\alpha=1+\delta_0\log{R\over r_0}.
\label{Z(1)log-result}
$$
Уравнения ренормгруппы во втором порядке по $\alpha$ и в лидирующем порядке по $\delta$ имеют вид:
\eq$$
{d\alpha\over d\log R}=-\delta\alpha,
\qquad
{d\delta\over d\log R}=-4\pi^2\alpha^2.
\label{RG(2)equation}
$$
Обратим внимание, что эти уравнения можно записать в виде
\eq$$
{d(2\pi\alpha\mp\delta)\over dt}=\pm2\pi\alpha(2\pi\alpha\mp\delta).
\tag{\ref{RG(2)equation}a}
$$
Это значит, что прямые $2\pi\alpha=\pm\delta$ являются ренормгрупповыми траекториями. Эти прямые делят полуплоскость $(\delta,\alpha)$ на три части. В каждой из этих частей нетрудно качественно построить ренормгрупповые траектории (Рис.~\ref{fig-2order}).
\begin{figure}
$$
\begin{tikzpicture}[>=stealth]
\draw[very thick,->] (-3.5,0) -- (3.5,0) node[above right] {$\delta$};
\draw[very thick,->] (0,0) -- (0,3.5) node[above right] {$2\pi\alpha$};
\draw[thick,->] (0,0) -- (-1.5,1.5);
\draw[thick,->] (-1.4,1.4) -- (-3,3);
\draw[thick] (-2.9,2.9) -- (-3.5,3.5) node[above left] {$s_2$};
\draw[thick,->] (3.5,3.5) node[above right] {$s_1$} -- (2,2);
\draw[thick,->] (2.1,2.1) -- (.5,.5);
\draw[thick] (.6,.6) -- (0,0);
\foreach \i/\r in {1/3.35,2/2.9,3/1.8} {
%  \draw[domain=-\r:-.9] plot[id=u\i-1] function{sqrt(\i**2+x**2)};
%  \draw[domain=-1:1.1,<-] plot[id=u\i-2] function{sqrt(\i**2+x**2)};
%  \draw[domain=1:\r,<-] plot[id=u\i-3] function{sqrt(\i**2+x**2)};
%  \draw[parametric,domain=0:1,->] plot[id=l\i-1] function{-sqrt(\i**2+t**2),t};
%  \draw[parametric,domain=.9:\r] plot[id=l\i-2] function{-sqrt(\i**2+t**2),t};
%  \draw[parametric,domain=0:1.1] plot[id=r\i-1] function{sqrt(\i**2+t**2),t};
%  \draw[parametric,domain=1:\r,<-] plot[id=r\i-2] function{sqrt(\i**2+t**2),t};
  \draw[domain=-\r:-.9] plot (\x,{sqrt(\i*\i+\x*\x)});
  \draw[domain=-1:1.1,<-] plot (\x,{sqrt(\i*\i+\x*\x)});
  \draw[domain=1:\r,<-] plot (\x,{sqrt(\i*\i+\x*\x)});
  \draw[domain=0:1,->] plot ({-sqrt(\i*\i+\x*\x)},\x);
  \draw[domain=.9:\r] plot ({-sqrt(\i*\i+\x*\x)},\x);
  \draw[domain=0:1.1] plot ({sqrt(\i*\i+\x*\x)},\x);
  \draw[domain=1:\r,<-] plot ({sqrt(\i*\i+\x*\x)},\x);
}
\node at (2.5,.5) {\it I};
\node at (.5,2.5) {\it II};
\node at (-2.5,.5) {\it III};
\end{tikzpicture}
$$
\caption{Ренормгрупповые траектории во втором порядке по теории возмущений.}
\label{fig-2order}
\end{figure}

О чем говорит эта диаграмма? Прежде всего, область I  представляет собой область низкотемпературной (<<молекулярной>>) фазы. Точки на правой полуоси $\delta$ являются устойчивыми фиксированными точками. Это значит, что в инфракрасном пределе константа связи $\alpha$ стремится к нулю и теория описывается свободным безмассовым бозоном. Сепаратриса $s_1$, разделяющая области I и~II, является линией критических точек. Любая точка на сепаратрисе течет в точку $\alpha=\delta=0$. Области II и~III являются областями высокотемпературной (<<плазменной>>) фазы, причем область III асимптотически свободна, то есть описывается теорией свободного поля в ультрафиолетовом пределе. С ростом масштаба константа взаимодействия $\alpha$ растет, так что возбуждения в инфракрасной области никак не связаны с исходным свободным бозоном. Фактически эти возбуждения являются массивными частицами, причем массивные частицы имеются и в точке $\beta^2=2$. Это следует из того, что если мы включим даже слабое взаимодействие в этой точке, мы немедленно попадем в область II, в которой траектории уходят на бесконечность в инфракрасном пределе. С другой стороны, в этой точке теория не описывается безмассовой теорией и на малых масштабах: траектории в области II начинаются тоже на бесконечности.

Как ведут себя траектории дальше? По теории возмущений ее получить нельзя, поскольку теория возмущений дает возможность получить ренормгруппу только в случае почти безразмерной константы связи ($\delta\ll1$). Предполагается, что в области $1<\beta^2<2$ ($-1<\delta<0$) траектории стремятся к линии $\beta^2=1$, которая соответствует, как мы увидим в следующей лекции, свободнофермионной точке.


\bigbreak
\bigbreak
\centerline{\bf Задачи}
\medskip

\begin{asparaenum}[\bf1.]

\item Решите систему уравнений~(\ref{RG(2)equation}) точно. Найдите алгебраическое уравнение для траекторий и явную зависимость от~$t=\log R$.

\item Пусть $\varphi(z)$ "--- киральное (правое) поле. Введем токи масштабной размерности~1:
$$
J^0(z)={\i\over\sqrt2}\d\varphi(z),
\qquad
J^\pm(z)=\lcolon e^{\pm\i\sqrt2\varphi(z)}\rcolon.
$$
Покажите, что эти токи имеют операторные разложения (эти операторные разложения эквивалентны соотношениям алгебры Каца"--~Муди $\widehat{sl}_2$ с центральным зарядом~1):
$$
\Aligned{
J^0(z')J^0(z)
&={1/2\over(z'-z)^2}+O(1),
\\
J^+(z')J^-(z)
&={1\over(z'-z)^2}+{2J^0(z)\over z'-z}+O(1),
\\
J^\pm(z')J^0(z)
&=\mp{J^\pm(z)\over z'-z}+O(1).
}
$$
Все остальные операторные разложения регулярны. Найдите операторные разложения этих токов с полями $V_\pm(z)=\lcolon e^{\pm{\i\over\sqrt2}\varphi(z)}\rcolon$.

\item Пусть $T(z)=-{1\over2}\lcolon(\d\varphi)^2\rcolon+i\alpha_0\d^2\varphi$. Покажите, что
$$
T(z')T(z)={c/2\over(z'-z)^4}+{2T(z)\over(z'-z)^2}+{\d T(z)\over z'-z}+O(1),
\qquad
c=1-12\alpha^2.
$$

\item В условиях предыдущей задачи покажите, что
$$
T(z')\lcolon\e^{i\alpha\varphi}\rcolon
={\Delta_\alpha\lcolon\e^{i\alpha\varphi}\rcolon\over(z'-z)^2}+{\d\lcolon\e^{i\alpha\varphi}\rcolon\over z'-z}+O(1).
$$

\starenumi
\item Переформулируйте вывод ренормгруппы с помощью разбиения поля $\phi$ на быстрые и медленные моды. То есть положим
$$
\phi_\Lambda(x)=\int_{k^2\le\Lambda^2}{d^2k\over(2\pi)^2}\phi_k(x).
$$
После этого полагаем $\Lambda'$ немного меньше $\Lambda$ и берем функциональный интеграл по быстрым модам:
$$
Z_\Lambda'=\int [D\phi_k]_{\Lambda^{\prime2}<k^2\le\Lambda^2}\,e^{-S_{\alpha,\delta}[\phi_\Lambda]}.
$$
Если $\Lambda$ не слишком велико, результат можно переписать в виде
$$
Z_\Lambda'=\e^{-S_{\alpha',\delta'}[\phi_\Lambda']-\text{(иррелевантные вклады)}}
$$
с новыми значениями констант связи $\alpha'$, $\delta'$, выражающимися через $\alpha$ и~$\delta$. Эти выражения при малых значениях $\log{\Lambda\over\Lambda'}$ можно представить в виде
$$
\dot\alpha={\alpha'-\alpha\over\log(\Lambda/\Lambda')}=F(\alpha,\delta),
\qquad
\dot\delta={\delta'-\delta\over\log(\Lambda/\Lambda')}=G(\alpha,\delta),
$$
что дает уравнения ренормгруппы как дифференциальные уравнения по параметру $t=-\log\Lambda$.

\end{asparaenum}

\bigbreak
\bigbreak
\centerline{\bf Семинар~\thesection}
\medskip
\centerline{\bf Сохранение энергии и импульса в модели синус"=Гордона}
\medskip
Рассмотрим конформную теорию поля в эвклидовом пространстве с формальным действием $S_0$ и тензором энергии"=импульса $T_{\mu\nu}$ ($T^\mu_\mu=0$). Пусть $\Phi_\Delta(x)$ "--- примарный оператор конформной размерности $\Delta$. Рассмотрим возмущенную теорию с действием
\eq$$
S=S_0+S_1=S_0+\lambda\int d^2x\,\Phi_\Delta(x).
\label{cft-pert-action}
$$
Рассмотрим компоненту $T=-2\pi T_{zz}$ тензора энергии"=импульса. В конформной теории поля она удовлетворяет соотношению
$$
\bd T(x)=0
$$
Это значит, что для любых локальных операторов $\Phi_1,\ldots,\Phi_N$ имеет место тождество
$$
\langle\bd T(x)\Phi_1(x_1)\cdots\Phi_N(x_N)\rangle_0=0,
\quad\text{если $x\ne x_1,\ldots,x_N$.}
$$
Когда $x=x_i$ это уравнение может нарушаться. Рассмотрим, например, операторное разложение
$$
\Aligned{
T(x)\Phi_\Delta(x')
&={\Delta\Phi_\Delta(x')\over(z-z')^2}+{\d'\Phi_\Delta(x')\over z-z'}+O(1)
\\
&=\Delta\Phi_\Delta(x')\,\d{1\over z-z'}+{\d'\Phi_\Delta(x')\over z'-z}+O(1).
}
$$
Дифференцируя по $\bz$, получаем
$$
\Phi_\Delta(x')\,\bd T(x)=\Delta\Phi_\Delta(x')\,\bd\d'(z-z')^{-1}+\d'\Phi_\Delta(x')\,\bd(z-z')^{-1}+O(1).
$$
Нетрудно проверить, что
\eq$$
\bd{1\over z}=\pi\delta(x).
\label{bd-zinverse}
$$
Отсюда находим
$$
\Phi_\Delta(x')\bd T(x)=\pi\Delta\Phi_\Delta(x')\,\d'\delta(x-x')+\d'\Phi_\Delta(x')\,\delta(x-x')+O(1).
$$
и
\eq$$
\int d^2x'\,\Phi_\Delta(x')\bd T(x)=\pi(1-\Delta)\d\Phi_\Delta(x).
\label{PhiT-int}
$$
Теперь рассмотрим среднее от $\bd T(x)X$ с любым $X$ в виде произведения от локальных операторов в первом порядке теории возмущений:
$$
\langle\bd T(x)X\rangle={\langle e^{-S_1}\bd T(x)X\rangle_0\over\langle e^{-S_1}\rangle_0}
\simeq-\lambda\int d^2y\,\langle\Phi_\Delta(y)\bd T(x)X\rangle_0
\simeq-\pi(1-\Delta)\lambda\langle\d\Phi(x)X\rangle.
$$
Получаем
\eq$$
\bd T(x)=\d\Theta(x),
\label{EM1-quantum}
$$
где%
%
\footnote{Заметим, что мы опускаем и поднимаем индексы с помощью метрики пространства Минковского $g_{z\bz}=-1/2$, $g_{zz}=g_{\bz\bz}=0$.}
%
\eq$$
\Theta(x)=2\pi T_{z\bz}(x)=-\pi(1-\Delta)\lambda\Phi(x)+O(\lambda^2).
\label{Theta-def}
$$
Аналогично
\eq$$
\d\bar T(x)=\bd\Theta(x).
\label{EMm1-quantum}
$$
Выражение (\ref{Theta-def}) может оказаться точным, если
\eq$$
(z'-z)\Phi(x')\left(\int d^2y\,\Phi(y)\right)^kT(x)=o(1),
\quad\text{если $k>0$.}
\label{Theta-exact-cond}
$$

Для модели синус"=Гордона мы можем принять
$$
S_0=\int d^2x\,{(\d_\mu\phi)^2\over8\pi},
\qquad
\Phi_\Delta=-\cos\beta\phi,
\qquad
\lambda=\mu,
\qquad
\Delta={\beta^2\over2}.
$$
Тогда
\eq$$
T(x)=-{1\over2}(\d\phi)^2,
\qquad
\bar T(x)=-{1\over2}(\bd\phi)^2,
\qquad
\Theta(x)=\pi(1-\beta^2/2)\mu\cos\beta\phi+O(\mu^2).
\label{T-Theta-quantum}
$$
Однако условие~(\ref{Theta-exact-cond}) обращения в нуль высших поправок для $\Theta(x)$ не выполняется. Действительно, нетрудно проверить, что левая часть имеет порядок $(z'-z)^{-1}|z'-z|^{2k-k(k+1)\beta^2}$, и при любом значении $\beta$ условие~(\ref{Theta-exact-cond}) нарушается при достаточно больших~$k$.

Решить эту проблему можно двумя способами. Первый состоит в том, чтобы предположить, что поправки аналитичны по $\beta^2$ и если $n$-тый член теории возмущений обращается в нуль при достаточно малых $\beta^2$, то он обращается в нуль тождественно. Тем не менее, предположение об аналитичности требует некоторого обоснования.
