% !TeX spellcheck = ru_RU
% !TeX encoding = UTF-8
\section{\texorpdfstring{Бозонизация модели Тирринга}{Bozonizacia modeli Tirringa}}
\label{lec-MTbosonization}
\setcounter{page}1

Рассмотрим {\it массивную модель Тирринга} в пространстве Минковского:
\eq$$
S^{MT}[\psi,\bpsi]
=\int d^2x\,
\left(\bpsi(i\hat\d-m)\psi-{g\over2}(\bpsi\gamma^\mu\psi)^2\right).
\label{MT}
$$
Здесь $\psi(x)$, $\bpsi(x)$ "--- фермионное поле и дираковски сопряженное
ему поле, $\gamma^\mu$ "--- матрицы Дирака, а $\hat\d=\gamma^\mu\d_\mu$.
Матрицы Дирака удовлетворяют стандартным соотношениям
$$
\gamma^\mu\gamma^\nu+\gamma^\nu\gamma^\mu=2g^{\mu\nu},
\qquad
\gamma^{\mu+}=\gamma^0\gamma^\mu\gamma^0.
$$
В двумерном случае гамма"=матрицы можно записать в виде:
\eq$$
\gamma^0=\pMatrix{&-i\\i&},
\qquad
\gamma^1=\pMatrix{&i\\i&},
\qquad
\gamma^3=\gamma^0\gamma^1=\pMatrix{1&\\&-1}.
\label{gamma-matrices}
$$
В модели имеется сохраняющийся ток
\eq$$
j^\mu=\bpsi\gamma^\mu\psi.
\label{MTcurrent}
$$
В случае $m=0$ имеется еще один сохраняющийся ток
\eq$$
j_3^\mu=\bpsi\gamma^3\gamma^\mu\psi
=\epsilon^{\mu\nu}j_\nu.
\label{MT3current}
$$

В прошлый раз мы рассматривали модель синус"=Гордона:
\eq$$
S^{SG}[\phi]
=\int d^2x\,
\left({(\d_\mu\phi)^2\over8\pi}+\mu\cos\beta\phi\right).
\label{SG}
$$
В модели имеется топологическое число
\eq$$
q={\beta\over2\pi}(\phi(t,+\infty)-\phi(t,-\infty)),
\label{topnumber}
$$
принимающее целые значения. Его можно записать в виде
\eq$$
q={\beta\over2\pi}\int^\infty_{-\infty} dx\,\d_1\phi(t,x).
$$
Это позволяет найти ток, ответственный за топологический заряд:
\eq$$
j^\mu_{\rm top}=-{\beta\over2\pi}\epsilon^{\mu\nu}\d_\nu\phi.
\label{topcurrent}
$$

В этой лекции мы убедимся, что массивная модель Тирринга и модель
синус"=Гордона эквивалентны~[2,3], причем параметры связаны соотношениями
\Align$$
g
&=\pi(\beta^{-2}-1),
\label{gbeta}
\\
\mu
&\sim mr_0^{\beta^2-1},
\label{mum}
$$
а тирринговский ток совпадает с топологическим:
\eq$$
j^\mu=j^\mu_{\rm top}.
\label{MT-SG-cur}
$$
Это исключительно важное соответствие, называемое {\it бозонизацией}.
Уравнение (\ref{MT-SG-cur}) играет ключевую роль в бозонизации.

Перепишем действие модели Тирринга, используя явный вид гамма"=матриц:
$$
S^{MT}[\psi,\bpsi]
=\int d^2x
(i\psi^+_1(\d_0+\d_1)\psi_1+i\psi^+_2(\d_0-\d_1)\psi_2
+im(\psi^+_1\psi_2-\psi^+_2\psi_1)
-2g\psi^+_1\psi^+_2\psi_2\psi_1).
$$
Подставляя $z=x^1-x^0$, $\bz=x^1+x^0$, получаем
$$
S^{MT}[\psi,\bpsi]
=\int d^2x
(2i\psi^+_1\bd\psi_1-2i\psi^+_2\d\psi_2
+im(\psi^+_1\psi_2-\psi^+_2\psi_1)
-2g\psi^+_1\psi^+_2\psi_2\psi_1).
$$
В этих компонентах тирринговский ток имеет вид:
$$
j^z=-2\psi^+_2\psi_2,
\qquad
j^\bz=2\psi^+_1\psi_1.
$$

Рассмотрим случай $m=0$, который допускает точное решение\cite{Thirring}. Начнем с
решения классических уравнений движения
\eq$$
\Aligned{
\bd\psi_1
&=-ig\psi^+_2\psi_2\psi_1,
\\
\d\psi_2
&=ig\psi^+_1\psi_1\psi_2.
}\label{Teqmotion}
$$
Из сохранения $j_3^\mu=\epsilon^{\mu\nu}j_\nu$ следует, что ток $j^\mu$
можно представить в виде
\eq$$
j^\mu=-{\beta\over2\pi}\d^\mu\tphi.
\label{Ttphi}
$$
Здесь $\tphi$ и $\phi$ связаны между собой, как это описано в
предыдущей лекции, и удовлетворяют уравнениям движения
$$
\d_\mu\d^\mu\phi=\d_\mu\d^\mu\tphi=0.
$$
Общее решение этих уравнений можно записать в виде
\eq$$
\Aligned{
\phi(x)
&=\varphi(z)+\bvarphi(\bz),
\\
\tphi(x)
&=\varphi(z)-\bvarphi(\bz),
}
$$
где $\varphi(z)$ и $\bvarphi(\bz)$ "--- произвольные функции только $z$ и
$\bz$ соответственно. Коэффициент в (\ref{Ttphi}) произволен. Мы выбрали его так, чтобы формально выполнялось соотношение~(\ref{MT-SG-cur}).

Мы видим, что безмассовая модель эквивалентна свободному безмассовому
бозону. Из (\ref{MT-SG-cur}) и (\ref{Ttphi}) имеем
\eq$$
{\beta\over2\pi}\d\varphi=\psi^+_1\psi_1,
\qquad
{\beta\over2\pi}\bd\bvarphi=\psi^+_2\psi_2.
\label{Tcureq}
$$
Дальнейшее решение этих уравнений вместе с (\ref{Teqmotion}) в
классическом случае неоднозначно. Проще обстоит дело как раз в квантовом
случае. Давайте искать решение уравнений (\ref{Tcureq}) в виде
\eq$$
\psi_i(x)=\eta_i\sqrt{N_i\over2\pi}
e^{i\alpha_i\varphi(z)+i\beta_i\bvarphi(\bz)},
\qquad
\psi^+_i(x)=\eta_i^{-1}\sqrt{N_i\over2\pi}
e^{-i\alpha_i\varphi(z)-i\beta_i\bvarphi(\bz)},
\label{psibpsiansatz}
$$
где $\eta_i$ "--- алгебраические множители, необходимые, чтобы обеспечить
фермионное поведение полей~$\psi_i$. Оказывается, что решения можно
найти, если положить
\eq$$
\eta_1\eta_2=-\eta_2\eta_1.
\label{algfactors}
$$
Прежде всего, потребуем, чтобы поля $\psi_i(x)$ вели себя как фермионы.
Поскольку%
\footnote{Мы всюду исключаем $R$, так как знаем, что инфракрасное
обрезание в конечном итоге никуда не войдет.}
\eq$$
\psi_i(x')\psi_j(x)
=\eta_i\eta_j{\sqrt{N_iN_j}\over2\pi}
(z'-z)^{\alpha_i\alpha_j}
(\bz'-\bz)^{\beta_i\beta_j}
e^{i\alpha_i\varphi(z')+i\beta_i\bvarphi(\bz')
+i\alpha_j\varphi(z)+i\beta_j\bvarphi(\bz)},
\label{psipsi}
$$
причем это выражение хорошо продолжается в эвклидову область,
легко получить, что
\eq$$
\alpha_i^2-\beta_i^2\in2\Z+1,
\qquad
\alpha_1\alpha_2-\beta_1\beta_2\in2\Z.
\label{fermion-limitation}
$$
Из (\ref{psipsi}) видно, что произведения вроде $\psi^+_1\psi_1$ плохо
определены. Давайте {\it определим\/} эти произведения следующим
образом. Рассмотрим произведение, например
\eq$$
\psi^+_1(x')\psi_1(x)
={N_1\over2\pi}(z'-z)^{-\alpha_1^2}
\left(\bz'-\bz\right)^{-\beta_1^2}
\left(
1-i\alpha_1(z'-z)\d\phi(x)-i\beta_1(\bz'-\bz)\bd\phi(x)+\ldots
\right).
\label{bpsi1psi1}
$$
Усредним это произведение по окружности $|z'-z|^2=r_0^2$ и будем считать
$r_0$ малым. Старший член в разложении по $r_0$ примем за
$\psi^+_1(x)\psi_1(x)$. Предположим, что
\eq$$
\alpha_1^2-\beta_1^2=1.
\label{eq1}
$$
Тогда первый и третий члены в разложении (\ref{bpsi1psi1}) обратятся в
нуль. Старшим ненулевым членом будет второй:
$$
N_1r_0^{-2\beta_1^2}\left(-i\alpha_1\d\varphi\over2\pi\right).
$$
Его мы и отождествляем с~$\psi^+_1\psi_1$. Мы видим, что если бы мы потребовали буквальной эрмитовой сопряженности $\psi$ и $\psi^+$, множитель $i$ в $-i\alpha_1\varphi(z)$ испортил бы нам эрмитовость оператора~$\psi^+_1\psi_1$.

Сравнивая с (\ref{Tcureq}), получаем
\eq$$
\beta=-ir_0^{-2\beta_1^2}N_1\alpha_1.
\label{betaN1}
$$
Аналогично, полагая
\eq$$
\alpha_2^2-\beta_2^2=-1,
\label{eq2}
$$
получим
\eq$$
\beta=-ir_0^{-2\alpha_2^2}N_2\beta_2.
\label{betaN2}
$$
Теперь рассмотрим уравнения движения (\ref{Teqmotion}). Подставляя
(\ref{Tcureq}) и (\ref{psibpsiansatz}) , получим
$$
\Aligned{
i\beta_1\bd\bvarphi e^{i\alpha_1\varphi+i\beta_1\bvarphi}
&=-ig{\beta\over2\pi}\bd\bvarphi e^{i\alpha_1\varphi+i\beta_1\bvarphi},
\\
i\alpha_2\d\varphi e^{i\alpha_2\varphi+i\beta_2\bvarphi}
&=ig{\beta\over2\pi}\d\varphi e^{i\alpha_2\varphi+i\beta_2\bvarphi}.
}
$$
Отсюда получаем
\eq$$
\alpha_2=-\beta_1={g\beta\over2\pi}
\label{eq3}
$$

Чтобы зафиксировать коэффициенты $\alpha_i$, $\beta_i$, нужно узнать
еще нормировочные множители $N_i$. Вместо того, чтобы аккуратно
извлекать сингулярные члены в антикоммутаторах, давайте просто
зафиксируем их так, чтобы член
$-m\bpsi\psi=im(\psi^+_1\psi_2-\psi^+_2\psi_1)$ был бы пропорционален
$\cos\beta\phi$.

Рассмотрим разложение
$$
\psi^+_2(x')\psi_1(x)
=-\eta_1\eta_2^{-1}{\sqrt{N_1N_2}\over2\pi}
(z'-z)^{-\alpha_1\alpha_2}(\bz'-\bz)^{-\beta_1\beta_2}
\left(
e^{i(\alpha_1-\alpha_2)\varphi(z)+i(\beta_1-\beta_2)\bvarphi(\bz)}+\ldots
\right).
$$
Первый член выживает при усреднении по углам, если
\eq$$
\alpha_1\alpha_2=\beta_1\beta_2,
\label{eq4}
$$
что согласуется с (\ref{eq1}--\ref{eq3}) и дает, кроме того
\eq$$
\alpha_1=-\beta_2
\label{eq4a}
$$
Если отождествить $\psi^+_2\psi_1\sim e^{i\beta\phi}$, то мы получим
\Align$$
\alpha_1-\alpha_2
&=\beta,
\label{eq5}
\\
\beta_1-\beta_2
&=\beta.
\label{eq6}
$$
Из (\ref{eq1}), (\ref{eq3}), (\ref{eq4a}), (\ref{eq5}) легко получить
\eq$$
\Aligned{
\alpha_1=-\beta_2
&={1\over2}\left({1\over\beta}+\beta\right),
\\
\alpha_2=-\beta_1
&={1\over2}\left({1\over\beta}-\beta\right).
}
$$
Подставляя ответ в (\ref{eq3}), получаем (\ref{gbeta}).

Из (\ref{betaN1}), (\ref{betaN2}) находим
\eq$$
N_1=-N_2=ir_0^{{\beta^2\over2}+{1\over2\beta^2}-1}{2\beta^2\over\beta^2+1},
\label{N12}
$$
Отсюда получаем
$$
\Aligned{
-i\psi_2^+\psi_1
&={1\over\pi}{\beta^2\over\beta^2+1}r_0^{\beta^2-1}\left(i\eta_1\eta_2^{-1}\right)e^{i\beta\phi},
\\
i\psi_1^+\psi_2
&={1\over\pi}{\beta^2\over\beta^2+1}r_0^{\beta^2-1}\left(i\eta_1\eta_2^{-1}\right)^{-1}e^{-i\beta\phi}.
}
$$
Так как на бесконечной плоскости суммарный «заряд» должен быть равен нулю, операторы $e^{i\beta\phi}$ и $e^{-i\beta\phi}$ должны встречаться в равных количествах для корреляционных функций, полиномиальных по $\varphi$,~$\bar\varphi$. Поэтому множители $\left(i\eta_1\eta_2^{-1}\right)^{\pm1}$ тоже сократятся. В более общем случае их можно опустить, переопределив операторы:
$$
\left(i\eta_1\eta_2^{-1}\right)^{\alpha/\beta}e^{i\alpha\phi}\to e^{i\alpha\phi}.
$$
Тогда имеем
\eq$$
i(\psi^+_1\psi_2-\psi^+_2\psi_1)
={2\over\pi}{\beta^2\over\beta^2+1}r_0^{\beta^2-1}
\cos\beta\phi,
\label{psicos}
$$
откуда находим (\ref{mum}).

Строго говоря, пока мы нашли только точное решение для безмассовой
модели Тирринга. Однако из наших рассуждений следует, что теории
возмущений по члену $m\bpsi\psi$ для модели Тирринга и теория
возмущений по $\cos\beta\phi$ для модели синус"=Гордона совпадают, что
дает сильное основание в пользу совпадения теорий\cite{Coleman,Mandelstam}. Отметим, что
константа связи $g$ в модели Тирринга не перенормируется, в то время
как <<масса>> $m$ не является физической величиной и существенно
перенормируется. Это связано с тем, что массовый член
$\psi^+_1\psi_2-\psi^+_2\psi_1$ имеет масштабную размерность $\beta^2$
из-за переопределения произведения полей. Измерима
константа $\mu$ модели синус"=Гордона, причем
\eq$$
\mu\sim m_{\rm phys}^{2-\beta^2},
\qquad
m\sim m_{\rm phys}(m_{\rm phys}r_0)^{1-\beta^2}
=m_{\rm phys}(m_{\rm phys}r_0)^{g/\pi\over1+g/\pi},
\label{mphys}
$$
где $m_{\rm phys}$ "--- масса физических
возбуждений (например, тирринговских фермионов) в теории. Коэффициент пропорциональности между параметром $\mu$ и $m_{\rm phys}^{2-\beta^2}$ известен точно~\cite{AlZamolodchikov}.

Остается еще один вопрос: чему соответствуют тирринговские фермионы в модели синус"=Гордона? Из равенства между топологическим и фермионным токами можно заключить, что они соответствуют кинкам "--- нетривиальным возбуждениям с топологическими числами $q=\pm1$.

\bigbreak
\bigskip
\centerline{\bf Задачи}
\medskip

\begin{asparaenum}[\bf1.]

\item Докажите, что в безмассовой модели Тирринга ток (\ref{MT3current})
сохраняется.

\item Выведите (\ref{psipsi}).

\item Покажите, что классическая теория синус"=Гордона имеет решения
$$
\phi(t,x)=\pm{4\over\beta}\arctg\exp{m(x-vt-x_0)\over\sqrt{1-v^2}}
$$
при $m^2=4\pi\mu\beta^2$, при $|v|<1$ и произвольном $x_0$. Найдите
топологические заряды этих решений.

\item Повторите вывод для случая свободного фермиона ($g=0$).
Проверьте, что в этом случае $m_{\rm phys}=m=\pi\mu$.

\starenumi
\item Покажите, что в модели Тирринга, в согласии с (\ref{mphys}), в
однопетлевом приближении масса перенормируется следующим образом
$$
m_{\rm phys}=m\left(1+{g\over\pi}\log{\Lambda\over m}\right),
$$
где $\Lambda$ "--- параметр обрезания по импульсам.

При выводе диаграммной техники удобно пользоваться представлением для
действия модели Тирринга со вспомогательным полем:
$$
S[\psi,\bar\psi,A^\mu]=\int d^2x\,
\left(\bar\psi(i\hat\d-\hat A-m)\psi
+{1\over2g}A^\mu A_\mu\right).
$$
\end{asparaenum}

\bigbreak
\bigbreak
\centerline{\bf Семинар~\thesection}
\medskip
\centerline{\bf Сохранение энергии и импульса в модели синус"=Гордона (продолжение)}

Второй подход заключается в том, чтобы изменить само разбиение действия модели синус"=Гордона на действие конформной теории и возмущения. Альтернативное разбиение имеет вид
\eq$$
S'_0=\int d^2x\,\left({(\d_\mu\phi)^2\over8\pi}-{\mu\over2}\e^{-i\beta\phi}\right),
\qquad
S'_1=-{\mu\over2}\int d^2x\,\e^{i\beta\phi}.
\label{SG-cft+exp-action}
$$
Такое разбиение кажется нефизическим, поскольку функционал действия $S'_0$ не является вещественным, однако формально ничто не мешает определить соответствующий функциональный интеграл. И хотя этот интеграл описывает теорию со взаимодействием, невозмущенная теория является конформной и тензор энергии"=импульса может быть подкручен так, чтобы $T'{}^\mu_\mu=0$.

Для тензора энергии"=импульса теории $S'_0$ на классическом уровне (в эвклидовом пространстве) имеем
$$
T'{}^\mu_\nu=L\delta^\mu_\nu-\d_\nu{\d L\over\d\phi_{,\mu}}+\d_\lambda f^{\mu\lambda}_\nu
=T^\mu_\nu-{\mu\over2}\e^{-i\beta\phi}\delta^\mu_\nu+\d_\lambda f^{\mu\lambda}_\nu.
$$
Применяя уравнение движения
$$
\nabla^2\phi=2\pi i\mu\beta\e^{-i\beta\phi},
$$
получаем
$$
T'{}^\mu_\nu=T^\mu_\nu+{i\over4\pi\beta}\delta^\mu_\nu\nabla^2\phi+\d_\lambda f^{\mu\lambda}_\nu.
$$
Полагая
\eq$$
f^{\mu\lambda}_\nu=-{i\alpha_0\over2\pi}(\delta^\mu_\nu\d^\lambda\phi-\delta^\lambda_\nu\d^\mu\phi)
\label{f^mulambda_nu}
$$
с $\alpha_0=\beta^{-1}$, получаем $T'{}^\mu_\mu=0$. Отсюда легко получить
\eq$$
T'(x)=-{1\over2}\d\phi^2+i\alpha_0\d^2\phi,
\qquad
\bar T'(x)=-{1\over2}\bd\phi^2+i\alpha_0\bd^2\phi.
\label{T'-quantum}
$$
В квантовом случае постоянная $\alpha_0$ получает поправку. Чтобы ее найти, вычислим конформные размерности полей $\e^{i\alpha\phi}$:
$$
\Delta_\alpha={1\over2}\alpha(\alpha-2\alpha_0).
$$
Подберем $\alpha_0$ таким образом, чтобы $\Delta_{-\beta}=1$, то есть размерность потенциального члена в $S'_0$ равнялась единице. Это имеет место при
\eq$$
\alpha_0={1\over\beta}-{\beta\over2}.
\label{alpha0-def}
$$
Тогда
$$
\left[L'_n,\int d^2x\,\e^{-i\beta\phi}\right]=\left[\bar L'_n,\int d^2x\,\e^{-i\beta\phi}\right]=0,
$$
и, следовательно, в невозмущенной теории $S'_0$ бесследовый тензор энергии"=импульса сохраняется: $\bd T'=\d\bar T'=0$.

Поскольку $\Delta_\beta=\beta^2-1$ в возмущенном случае мы имеем
\eq$$
\Theta'(x)=\pi(1-\beta^2/2)\mu\e^{i\beta\phi}.
\label{Theta'-quantum}
$$
Это выражение точное, потому что левая часть (\ref{Theta-exact-cond}) для этого возмущения $(z'-z)^{-1}|z'-z|^{2k+k(k+1)\beta^2}$ имеет нужный порядок малости. «Откручивая» тензор энергии"=импульса назад, то есть добавляя $-\d_\lambda f^{\mu\lambda}_\nu$, мы убеждаемся, что поправка $O(\mu^2)$ в~(\ref{T-Theta-quantum}) равна нулю.