% !TeX spellcheck = ru_RU
% !TeX encoding = UTF-8
\section{\texorpdfstring{Двухчастичные $S$"=матрицы: теория возмущений}{Dvuxchastichnye S-matricy: teorija vozmuschenij}}
\setcounter{page}1

Предположим, что две частицы с массами $m_1$ и $m_2$ (и, возможно, с какими-то внутренними состояниями) в двумерном пространстве"=времени рассеиваются друг на друге в себя. В двумерном пространстве"=времени удобно пользоваться быстротами~$\theta_i$:
\eq$$
\ve_i=m_i\ch\theta_i,
\qquad
p_i=m_i\sh\theta_i.
\label{rapidities-def}
$$
Для начальных быстрот положим $\theta_1>\theta_2$. Пусть $\theta'_i$ "--- быстрота частицы после рассеяния. Закон сохранения энергии"=импульса
$$
\Aligned{
m_1\ch\theta'_1+m_2\ch\theta'_2
&=m_1\ch\theta_1+m_2\ch\theta_2,
\\
m_1\sh\theta'_1+m_2\sh\theta'_2
&=m_1\sh\theta_1+m_2\sh\theta_2
}
$$
имеет единственное решение $\theta'_i=\theta_i$ при $m_1\ne m_2$ и два решения $\theta'_i=\theta_i$ и $\theta'_1=\theta_2$, $\theta'_2=\theta_1$ при $m_1=m_2$.

Сначала рассмотрим случай $m_1\ne m_2$. Матрицу рассеяния можно представить в виде
\eq$$
S(\theta_1,\theta_2;\theta'_1,\theta'_2)
=(2\pi)^2\delta(p'_1-p_1)\delta(p'_2-p_2)S(\theta_1-\theta_2),
\label{Smat-def}
$$
где $p_i=m_i\sh\theta_i$, $p'_i=m_i\sh\theta'_i$ "--- пространственные компоненты импульса. Мы рассматриваем $S$"=матрицу как оператор, действующий в произведении пространств двух частиц: $S(\theta):V_1\otimes V_2\to V_1\otimes V_2$. Чтобы найти связь со стандартной в диаграммной технике амплитудой $\cM$, нужно привести дельта"=функцию к виду $\delta(P'-P)$, где $P$, $P'$ "--- конечный и начальный суммарный 2"=импульс системы. Действительно, по определению
\eq$$
S(\vec\theta;\vec\theta')
=\hat1+(2\pi)^2\delta(P'-P){\cM(\vec\theta;\vec\theta')\over\sqrt{\prod_i2\ve_i\prod_j2\ve'_j}}.
\label{cM-def}
$$
Здесь $\hat1$ обозначает единичный оператор в пространстве состояний (включая дельта"=функции по пространственным импульсам). Имеем
$$
\delta(p'_1-p_1)\delta(p'_2-p_2)=\left|{\d(P^0,P^1)\over\d(p_1,p_2)}\right|\delta(P'-P)
={p_1\ve_2-p_2\ve_1\over\ve_1\ve_2}\delta(P'-P)={m_1m_2\sh(\theta_1-\theta_2)\over\ve_1\ve_2}\delta(P'-P).
$$
Отсюда немедленно находим
\eq$$
S(\theta_1-\theta_2)=1+{\cM(\theta_1,\theta_2;\theta_1,\theta_2)\over4m_1m_2\sh(\theta_1-\theta_2)}.
\label{ScM-rel}
$$
Здесь единица в первом слагаемом означает уже единичный оператор в пространстве внутренних состояний частиц.

В случае $m_1=m_2$ разница заключается только в том, что выражение (\ref{Smat-def}) имеет два слагаемых:
\eq$$
S(\theta_1,\theta_2;\theta'_1,\theta'_2)
=(2\pi)^2\delta(p'_1-p_1)\delta(p'_2-p_2)S(\theta_1-\theta_2)+(2\pi)^2\delta(p'_1-p_2)\delta(p'_2-p_1)PS(\theta_1-\theta_2),
\label{Smat-eqm-def}
$$
где $P:V_1\otimes V_2\to V_2\otimes V_1$ "--- оператор перестановки (мы считаем частицы одинаковой массы тождественными). Соотношение~(\ref{ScM-rel}) сохраняет силу.



Рассмотрим теперь конкретные модели. Начнем с модели Тирринга. С помощью вспомогательного векторного поля $A^\mu$ действие модели Тирринга можно записать в виде:
\eq$$
S^{\text{MTM}}[\psi,\bar\psi,A^\mu]=\int d^Dx\,\left(\bar\psi(i\hat\d-\hat A-m)\psi+{1\over2g}A^\mu A_\mu\right).
\label{S-psi-A-Thirring}
$$
Диаграммная техника в этом представлении совпадает с диаграммной техникой квантовой электродинамики с той разницей, что пунктирной линии отвечает пропагатор $\langle A_\mu(x')A_\nu(x)\rangle=igg_{\mu\nu}\delta(x'-x)$. В импульсном пространстве для внутренних линий и вершины имеем:
$$
\tikz[baseline=-2pt]{
\draw[->] (-.5,0) -- (2pt,0) node[anchor=south] {$p$}; \draw[-] (2pt,0) -- (.5,0);
}
={i\over\hat p-m+i0},
\qquad
\tikz[baseline=-2pt]{
\draw[dashed] (-.5,0) node[anchor=east] {$\mu$} -- (.5,0) node[anchor=west] {$\nu$};
}
=igg_{\mu\nu},
\qquad
\tikz[baseline=-2pt]{
\draw[-] (-.5,0) -- (0,0) node[anchor=north] {$\mu$} -- (.5,0);
\draw[dashed] (0,0) -- (0,.5);
}
=-i\gamma^\mu.
$$
Для внешних линий имеем
$$
\Aligned{
\tikz[baseline=-2pt]{
\draw[->] (-.5,0) node[anchor=east] {$p$} -- (2pt,0); \draw[-] (2pt,0) -- (.5,0);
}
&=u_p\quad\text{для входящего фермиона,}
\\
\tikz[baseline=-2pt]{
\draw[->] (-.5,0) node[anchor=east] {$-p$} -- (2pt,0); \draw[-] (2pt,0) -- (.5,0);
}
&=u_{-p}\quad\text{для выходящего антифермиона,}
\\
\tikz[baseline=-2pt]{
\draw[-] (-.5,0) node[anchor=east] {$p$} -- (-2pt,0); \draw[<-] (-2pt,0) -- (.5,0);
}
&=\bar u_p\quad\text{для выходящего фермиона,}
\\
\tikz[baseline=-2pt]{
\draw[-] (-.5,0) node[anchor=east] {$-p$} -- (-2pt,0); \draw[<-] (-2pt,0) -- (.5,0);
}
&=\bar u_{-p}\quad\text{для входящего антифермиона.}
}
$$
Кроме того, каждая фермионная петля дает множитель $(-1)$, каждая пара внешних антифермионных линий дает $(-1)$ и каждая перестановка двух букв $u$ от стандартного порядка (справа налево для входящих частиц и слева направо "--- для выходящих) дает~$(-1)$. Эти знаки мы будем выписывать явно.

Буквы $u_p$ для внешних линий должны удовлетворять уравнениям
\eq$$
\bar u_pu_p=2m,
\qquad
(\hat p-m)u_p=0.
\label{up-def}
$$
Решение легко написать через быстроту~$\theta$:
\eq$$
u_p=\sqrt m\pMatrix{e^{\theta/2}\\ie^{-\theta/2}},
\qquad
u_{-p}=[u_p]_{\theta\to\theta+i\pi}=\sqrt m\pMatrix{ie^{\theta/2}\\e^{-\theta/2}}.
\label{up-theta-explicit}
$$
Нам понадобятся произведения, отвечающие четырехфермионному взаимодействию:
\eq$$
\tikz[baseline=-2pt]{
  \draw[->] (-1,.5) node[anchor=east] {$p_1$} -- ([xshift=2pt]-.5,.5); \draw[->] ([xshift=2pt]-.5,.5) -- ([xshift=2pt].5,.5);
    \draw[-] ([xshift=2pt].5,.5) --(1,.5) node[anchor=west] {$p'_1$};
  \draw[->] (-1,-.5) node[anchor=east] {$p_2$} -- ([xshift=2pt]-.5,-.5); \draw[->] ([xshift=2pt]-.5,-.5) -- ([xshift=2pt].5,-.5);
    \draw[-] ([xshift=2pt].5,-.5) --(1,-.5) node[anchor=west] {$p'_2$};
  \draw[dashed] (0,-.5) -- (0,.5);
}
=-ig(\bar u_{p'_1}\gamma^\mu u_{p_1})(\bar u_{p'_2}\gamma_\mu u_{p_2})
=-4igm^2\ch{\theta_1+\theta'_1-\theta_2-\theta'_2\over2}.
\label{4fermion}
$$
Рассмотрим фермион и антифермион как одну частицу с двумерным пространством внутренних состояний $V=\C^2=\spanop(e_+,e_-)$. Базисный вектор $e_+$ отвечает фермиону, а $e_-$ "--- антифермиону. Двухчастичная $S$"=матрица в пространстве $V\otimes V$ имеет шесть ненулевых матричных элементов. В базисе $e_+\otimes e_+,e_+\otimes e_-,e_-\otimes e_+,e_-\otimes e_-$ она имеет вид
\eq$$
S(\theta)=\,%\pMatrix{a(\theta)&&&\\&b(\theta)&c(\theta)&\\&c(\theta)&b(\theta)&\\&&&a(\theta)}
\raise 3pt\hbox{$\begin{blockarray}{ccccc}
  ++&+-&-+&--&\\
  \begin{block}{(cccc)c}
    \bigstrut a(\theta)&&&&++\\
    &b(\theta)&c(\theta)&&+-\\
    &c(\theta)&b(\theta)&&-+\\
    \bigstrut&&&a(\theta)&--\\
  \end{block}
\end{blockarray}$}
\label{Smat-abc}
$$
или
\eq$$
S(\theta)^{++}_{++}=S(\theta)^{--}_{--}=a(\theta),
\qquad
S(\theta)^{+-}_{+-}=S(\theta)^{-+}_{-+}=b(\theta),
\qquad
S(\theta)^{-+}_{+-}=S(\theta)^{+-}_{-+}=c(\theta).
\label{Smat-abc-el}
$$
Отметим, что эти амплитуды должны удовлетворять условию перекрестной симметрии:
\eq$$
a(\theta)=b(i\pi-\theta),
\qquad
c(\theta)=c(i\pi-\theta).
\label{abc-crossing}
$$

Найдем эти матричные элементы в первом порядке по константе связи~$g$. Для вклада в первый матричный элемент $a(\theta)$ имеем
\Multline*$$
\cM^{(1)}{}^{++}_{++}
=\quad
\tikz[baseline=-2pt]{
  \draw[->] (-1,.5) node[anchor=east] {$p_1$} -- ([xshift=2pt]-.5,.5); \draw[->] ([xshift=2pt]-.5,.5) -- ([xshift=2pt].5,.5);
    \draw[-] ([xshift=2pt].5,.5) --(1,.5) node[anchor=west] {$p_1$};
  \draw[->] (-1,-.5) node[anchor=east] {$p_2$} -- ([xshift=2pt]-.5,-.5); \draw[->] ([xshift=2pt]-.5,-.5) -- ([xshift=2pt].5,-.5);
    \draw[-] ([xshift=2pt].5,-.5) --(1,-.5) node[anchor=west] {$p_2$};
  \draw[dashed] (0,-.5) -- (0,.5);
}
\quad-\quad
\tikz[baseline=-2pt]{
  \draw[->] (-1,.5) node[anchor=east] {$p_1$} -- ([xshift=2pt]-.5,.5); \draw[->] ([xshift=2pt]-.5,.5) -- ([xshift=2pt].5,.5);
    \draw[-] ([xshift=2pt].5,.5) --(1,.5) node[anchor=west] {$p_2$};
  \draw[->] (-1,-.5) node[anchor=east] {$p_2$} -- ([xshift=2pt]-.5,-.5); \draw[->] ([xshift=2pt]-.5,-.5) -- ([xshift=2pt].5,-.5);
    \draw[-] ([xshift=2pt].5,-.5) --(1,-.5) node[anchor=west] {$p_1$};
  \draw[dashed] (0,-.5) -- (0,.5);
}
\\*
=-4igm^2(\ch(\theta_1-\theta_2)-1)
=-8igm^2\sh^2{\theta_1-\theta_2\over2}.
$$
Знак минус во втором слагаемом возникает от необходимости переставить $\bar u_{p_1}$ и~$\bar u_{p_2}$. Совершенно аналогично для вклада в $b(\theta)$ получаем
\Multline*$$
\cM^{(1)}{}^{+-}_{+-}
=\quad
\tikz[baseline=-2pt]{
  \draw[->] (-1,.5) node[anchor=east] {$p_1$} -- ([xshift=2pt]-.5,.5); \draw[->] ([xshift=2pt]-.5,.5) -- ([xshift=2pt].5,.5);
    \draw[-] ([xshift=2pt].5,.5) --(1,.5) node[anchor=west] {$p_1$};
  \draw[-] (-1,-.5) node[anchor=east] {$-p_2$} -- ([xshift=-2pt]-.5,-.5); \draw[<-] ([xshift=-2pt]-.5,-.5) -- ([xshift=-2pt].5,-.5);
    \draw[<-] ([xshift=-2pt].5,-.5) --(1,-.5) node[anchor=west] {$-p_2$};
  \draw[dashed] (0,-.5) -- (0,.5);
}
\quad-\quad
\tikz[baseline=-2pt]{
  \draw[->] (-1,.5) node[anchor=east] {$p_1$} -- ($(-1,.5)!.6!(-.5,0)$); \draw[-]($(-1,.5)!.6!(-.5,0)$)  -- (-.5,0);
    \draw[->] (-.5,0) -- ($(-.5,0)!.6!(-1,-.5)$); \draw[-]($(-.5,0)!.6!(-1,-.5)$) -- (-1,-.5) node[anchor=east] {$-p_2$};
  \draw[->] (1,-.5) node[anchor=west] {$-p_2$} -- ($(1,-.5)!.6!(.5,0)$); \draw[-]($(1,-.5)!.6!(.5,0)$)  -- (.5,0);
    \draw[->] (.5,0) -- ($(.5,0)!.6!(1,.5)$); \draw[-]($(.5,0)!.6!(1,.5)$) -- (1,.5) node[anchor=west] {$p_1$};
  \draw[dashed] (-.5,0) -- (.5,0);
}
\\*
=4igm^2(\ch(\theta_1-\theta_2)+1)
=8igm^2\ch^2{\theta_1-\theta_2\over2}.
$$
Для вклада в $c(\theta)$ имеем
$$
\cM^{(1)}{}^{-+}_{+-}
=-\quad
\tikz[baseline=-2pt]{
  \draw[->] (-1,.5) node[anchor=east] {$p_1$} -- ([xshift=2pt]-.5,.5); \draw[->] ([xshift=2pt]-.5,.5) -- ([xshift=2pt].5,.5);
    \draw[-] ([xshift=2pt].5,.5) --(1,.5) node[anchor=west] {$p_2$};
  \draw[-] (-1,-.5) node[anchor=east] {$-p_2$} -- ([xshift=-2pt]-.5,-.5); \draw[<-] ([xshift=-2pt]-.5,-.5) -- ([xshift=-2pt].5,-.5);
    \draw[<-] ([xshift=-2pt].5,-.5) --(1,-.5) node[anchor=west] {$-p_1$};
  \draw[dashed] (0,-.5) -- (0,.5);
}
\quad+\quad
\tikz[baseline=-2pt]{
  \draw[->] (-1,.5) node[anchor=east] {$p_1$} -- ($(-1,.5)!.6!(-.5,0)$); \draw[-]($(-1,.5)!.6!(-.5,0)$)  -- (-.5,0);
    \draw[->] (-.5,0) -- ($(-.5,0)!.6!(-1,-.5)$); \draw[-]($(-.5,0)!.6!(-1,-.5)$) -- (-1,-.5) node[anchor=east] {$-p_2$};
  \draw[->] (1,-.5) node[anchor=west] {$-p_1$} -- ($(1,-.5)!.6!(.5,0)$); \draw[-]($(1,-.5)!.6!(.5,0)$)  -- (.5,0);
    \draw[->] (.5,0) -- ($(.5,0)!.6!(1,.5)$); \draw[-]($(.5,0)!.6!(1,.5)$) -- (1,.5) node[anchor=west] {$p_2$};
  \draw[dashed] (-.5,0) -- (.5,0);
}
\quad
=-4igm^2(1+1)
=-8igm^2.
$$
Из (\ref{ScM-rel}) немедленно получаем
\eq$$
\Aligned{
a(\theta)
&=1-ig\th{\theta\over2}+O(g^2),
\\
b(\theta)
&=1+ig\cth{\theta\over2}+O(g^2),
\\
c(\theta)
&=-{2ig\over\sh\theta}+O(g^2).
}\label{abc-1st-order}
$$

Теперь обратимся к модели синус"=Гордона. При малых значениях $\beta$ поле $\phi$ отвечает некоторой частице массы $m=\sqrt{4\pi\mu\beta^2}$. Найдем двухчастичную матрицу рассеяния для этой частицы на самой себе. В первом порядке по теории возмущений вклад будет давать только четырехчастичная вершина:
$$
S^{\text{SG}}[\phi]={1\over4\pi}\int d^2x\,\left({(\d_\mu\phi)^2\over2}-{m^2\phi^2\over2}+{m^2\beta^2\phi^4\over4!}+\cdots\right),
$$
где точки обозначают сумму константы и высших степеней~$\phi$. Отсюда находим
$$
\cM^{(1)}{}^{\phi\phi}_{\phi\phi}=
\quad
\tikz[baseline=-2pt]{
  \draw[->,shorten >=-3pt] (-.5,-.5) node[anchor=east] {$p_2$} -- (-.25,-.25);
    \draw[->,shorten >=-3pt] (-.25,-.25) -- (.25,.25);
    \draw[-] (.25,.25) -- (.5,.5) node[anchor=west] {$p_1$};
  \draw[->,shorten >=-3pt] (-.5,.5) node[anchor=east] {$p_1$} -- (-.25,.25);
    \draw[->,shorten >=-3pt] (-.25,.25) -- (.25,-.25);
    \draw[-] (.25,-.25) -- (.5,-.5) node[anchor=west] {$p_2$};
}
\quad
=4\pi im^2\beta^2.
$$
Нетрудно также получить вклад второго порядка по $\beta^2$:
$$
\cM^{(2)}{}^{\phi\phi}_{\phi\phi}=
{1\over2}\quad
\tikz[baseline=-2pt]{
  \draw[->,shorten >=-3pt] (-.5,-1) node[anchor=east] {$p_2$} -- (-.25,-.75);
      \draw[-] (-.25,-.75) -- (0,-.5); \draw[-] (0,-.5) arc (-45:45:.5*sqrt 2);
      \draw[-] (0,.5) -- (-.25,.75); \draw[<-,shorten <=-3pt] (-.25,.75) -- (-.5,1) node[anchor=east] {$p_1$};
  \draw[-] (.5,-1) node[anchor=west] {$p_2$} -- ([shift=(-45:3pt)].25,-.75);
      \draw[<-,shorten <=-3pt] (.25,-.75) -- (0,-.5); \draw[-] (0,-.5) arc (225:135:.5*sqrt 2);
      \draw[->,shorten >=-3pt] (0,.5) -- (.25,.75); \draw[-] (.25,.75) -- (.5,1) node[anchor=west] {$p_1$};
}
\quad+{1\over2}\quad
\tikz[baseline=-2pt]{
  \draw[->,shorten >=-3pt] (-.5,-1) node[anchor=east] {$p_2$} -- (-.25,-.75);
      \draw[-] (-.25,-.75) -- (0,-.5); \draw[-] (0,-.5) arc (-45:45:.5*sqrt 2);
      \draw[-] (0,.5) -- (-.25,.75); \draw[<-,shorten <=-3pt] (-.25,.75) -- (-.5,1) node[anchor=east] {$p_1$};
  \draw[-] (.5,-1) node[anchor=west] {$p_1$} -- (.25,-.75);
      \draw[<-,shorten <=-3pt] (.25,-.75) -- (0,-.5); \draw[-] (0,-.5) arc (225:135:.5*sqrt 2);
      \draw[->,shorten >=-3pt] (0,.5) -- (.25,.75); \draw[-] (.25,.75) -- (.5,1) node[anchor=west] {$p_2$};
}
\quad+{1\over2}\quad
\tikz[baseline=-2pt]{
  \draw[->,shorten >=-3pt] (-1,-.5) node[anchor=north east] {$p_2$} -- (-.75,-.25);
      \draw[-] (-.75,-.25) -- (-.5,0); \draw[-] (-.5,0) arc (135:45:.5*sqrt 2);
      \draw[->,shorten >=-3pt] (.5,0) -- (.75,-.25); \draw[-] (.75,-.25) -- (1,-.5) node[anchor=north west] {$p_2$};
  \draw[->,shorten >=-3pt] (-1,.5) node[anchor=south east] {$p_1$} -- (-.75,.25);
      \draw[-] (-.75,.25) -- (-.5,0); \draw[-] (-.5,0) arc (-135:-45:.5*sqrt 2);
      \draw[->,shorten >=-3pt] (.5,0) -- (.75,.25); \draw[-] (.75,.25) -- (1,.5) node[anchor=south west] {$p_1$};
}
$$
Коэффициент $1/2$ перед диаграммами отражает их симметрию: группа перестановок линий и вершин диаграмм содержит два элемента. Петля в середине каждой диаграммы представляет собой интеграл:
$$
L(p^2)=
\quad
\tikz[baseline=-2pt]{
  \draw[->,shorten >=-3pt] (0,1) arc (45:0:sqrt 2) node[anchor=west] {$q-p$}; \draw[-] (0,-1) arc (-45:0:sqrt 2);
  \draw[->,shorten >=-3pt] (0,1) arc (135:180:sqrt 2) node[anchor=east] {$q$}; \draw[-] (0,-1) arc (-135:-180:sqrt 2);
}
\quad
=-\int{d^2q\over(2\pi)^2}\,{1\over(q^2-m^2+i0)((p-q)^2-m^2+i0)}.
$$
Для первой диаграммы $p=0$, для второй $p=p_1-p_2$, для третьей $p=p_1+p_2$. Прямое вычисление дает
\eq$$
L(p^2)={i\over2\pi p^2}
{1\over\sqrt{1-{4m^2\over p^2}}}
\log{\sqrt{1-{4m^2\over p^2}}+1\over\sqrt{1-{4m^2\over p^2}}-1}.
\label{Lp2-explicit}
$$
Формула кажется несколько громоздкой, но она может быть записана просто с помощью быстроты. Рассмотрим вторую диаграмму. Пусть $\theta=\theta_1-\theta_2$, так что
\eq$$
p^2=-4m^2\sh^2{\theta\over2}.
\label{t-theta-rel}
$$
Выражение (\ref{Lp2-explicit}) принимает простой вид
\eq$$
L(p^2)={1\over4\pi im^2}{\theta\over\sh\theta}.
\label{Lp2-fin}
$$
Отсюда находим
$$
\cM^{(2)}{}^{\phi\phi}_{\phi\phi}={(4\pi im^2\beta^2)^2\over8\pi im^2}\left(1+{\theta\over\sh\theta}+{i\pi-\theta\over\sh\theta}\right)
=2\pi im^2\beta^4\left(1+{i\pi\over\sh\theta}\right).
$$
Следовательно,%
%
\footnote{Значок $11$ станет яснее позже. Дело в том, что $\phi$ является первой частицей в серии так называемых бризеров "--- связанных состояний солитона и антисолитона.}
\eq$$
S_{11}(\theta)\equiv
S(\theta)^{\phi\phi}_{\phi\phi}=1+{i\pi\beta^2\over\sh\theta}+{i\pi\beta^4\over2\sh\theta}\left(1+{i\pi\over\sh\theta}\right)+O(\beta^6).
\label{Smat-22phi}
$$
Отметим, что в этом приближении матрица рассеяния $S_\phi(\theta)$ удовлетворяет двум соотношениям
\eq$$
S_{11}(\theta)=S_{11}(i\pi-\theta),
\qquad
S_{11}(\theta)\,S_{11}(-\theta)=1.
\label{Smat-phi-cross-unit}
$$
Первое соотношение является просто соотношением перекрестной симметрии и следует из перекрестной симметрии диаграмм. А вот второе имеет важный смысл: оно означает, что в данном порядке теории возмущений нет других каналов рассеяния двух частиц. Во втором порядке мы могли бы ожидать рассеяния двух частиц в четыре, но соответствующие диаграммы в сумме дают нулевой вклад. На самом деле это верно в любом порядке теории возмущений: в модели синус"=Гордона нет множественного рождения частиц.

Теперь вычислим рассеяние частицы $\phi$ на солитоне. Для этого разложим действие синус"=Гордона вблизи солитонного решения. Положим
\eq$$
\phi^\pm_{x_0,v}(t,x)=\pm{4\over\beta}\arctg\exp{m(x-vt-x_0)\over\sqrt{1-v^2}}
\label{SG-soliton}
$$
и рассмотрим действие $S^{\text{SG}}[\phi^\pm_{x_0,v}+\phi]$ в квадратичном приближении по~$\phi$. Линейные члены по $\phi$ сократятся в силу того, что $\phi^\pm_{x_0,v}$ есть решение уравнения движения, и мы получим
\eq$$
\delta S[\phi]\equiv S^{\text{SG}}[\phi^\pm_{x_0,v}+\phi]-S^{\text{SG}}[\phi^\pm_{x_0,v}]
={1\over4\pi}\int d^2x\,\left({(\d_\mu\phi)^2\over2}-{m^2\phi^2\over2}\cos\beta\phi^\pm_{x_0,v}\right).
\label{SSG-phi-soliton}
$$
Без ограничения общности положим $x_0=0$ и $v=0$. Все остальные случае можно получить сдвигом и преобразованием Лоренца. Тогда имеем
\eq$$
\delta S[\phi]
={1\over4\pi}\int d^2x\,\left({(\d_\mu\phi)^2\over2}-{m^2\phi^2\over2}\left(1-{2\over\ch^2 mx^1}\right)\right).
\label{deltaS-fin}
$$
Классическое уравнение движения
\eq$$
\left(\d_\mu\d^\mu+m^2\left(1-{2\over\ch^2 mx^1}\right)\right)\phi(x)=0
\label{eqmotion-phi-soliton}
$$
линейно и может рассматриваться как квантовое уравнение на оператор~$\phi(x)$. Тогда этот оператор раскладывается по модам
\eq$$
\phi(t,x)=\sqrt{4\pi}\sum_n{1\over\sqrt{2\ve_n}}\,\left(e^{-i\ve_nt}f_n(x)a_n+e^{i\ve_nt}f^*_n(x)a^+_n\right),
\label{phi-soliton-decomp}
$$
где $\ve_n=\sqrt{p_n^2+m^2}$, а $f_n(x)$ "--- решения уравнения
\eq$$
\left(\d_x^2+p_n^2+{2m^2\over\ch^2 mx}\right)f_n(x)=0
\label{fn-equation}
$$
при условии
$$
\int dx\,f^*_{n'}(x)f_n(x)=\delta_{n'n}.
$$
Давайте найдем решения уравнения~(\ref{eqmotion-phi-soliton}). Во"=первых, имеется связанное состояние с нулевой энергией:
\eq$$
f_0(x)=\sqrt{m\over2}{1\over\ch mx},
\qquad
\ve_0=0.
\label{f0-mode}
$$
Эта мода связана с возможностью перемещать солитон вдоль оси~$x$:
$$
\phi^+_{0,0}(x)+\epsilon f_0(x)=\phi^+_{-\beta\epsilon/2m,0}(x).
$$
С квантовомеханической точки зрения эту моду можно интерпретировать как результат «оживления» солитона, превращения его из заданного руками решения в частицу, обладающую собственной динамикой. Иными словами, операторы $a_0,a^+_0$ дают нам одну из солитонных степеней свободы.

Больше связанных состояний уравнение (\ref{eqmotion-phi-soliton}) не имеет. Остальные состояния можно нумеровать импульсами~$p$, в связи с чем соответствующие функции мы будем обозначать~$f_p$. Они имеют вид
\eq$$
f_p(x)=N_pe^{ipx}\left(1+{im\over p}\th mx\right).
\label{fp-modes}
$$
Чтобы их правильно нормировать, нужно найти плотность состояний. Поместим систему в большой ящик длины~$L$ с солитоном посередине и наложим циклическое граничное условие:
\eq$$
f_p(-L/2)=f_p(L/2)
\quad\Leftrightarrow\quad
e^{ipL}={p+im\th{mL\over2}\over p-im\th{mL\over2}}.
\label{fp-cyclic}
$$
Так как нас интересует случай $L\to\infty$, имеем
\eq$$
e^{ipL}={p+im\over p-im}.
\label{fp-cyclic-inf}
$$
Логарифмируя это условие, получаем
\eq$$
pL=2\pi n-2\arctg{p\over m},
\qquad
n\in\Z+{1\over2}.
\label{fp-cyclic-log}
$$
Полуцелые числа $n$ и будут нумеровать состояния. Давайте возьмем два соседних значения импульса отвечающих числам $n$ и~$n+1$. Имеем
$$
(p_{n+1}-p_n)L=2\pi-2\arctg{p_{n+1}\over m}+2\arctg{p_n\over m}.
$$
Так как $p_{n+1}-p_n\sim{2\pi\over L}\to 0$, в правой части мы можем просто взять производную:
$$
(p_{n+1}-p_n)\left(L+{2m\over(m^2+p^2)}\right)=2\pi.
$$
Отсюда следует выражение для плотности состояний:
\eq$$
\rho(p)={1\over L}{dn\over dp}={1\over L}{1\over p_{n+1}-p_n}={1\over2\pi}\left(1+{2m\over L(m^2+p^2)}\right).
\label{rho-phi-soliton}
$$
В пределе $L\to\infty$ второе слагаемое исчезает и $\rho(p)\to1/2\pi$, как и для бозона в свободном пространстве. Отсюда немедленно следует, что в непрерывном спектре
\eq$$
\sum_n\to\int{dp\over2\pi},
\qquad
\delta_{n'n}\to2\pi\delta(p'-p),
\qquad
N_p={p\over\ve_p}.
\label{fp-continuous}
$$
Тем не менее, мы запомним выражение (\ref{rho-phi-soliton}), потому что оно имеет смысл, когда бозон движется в газе из солитонов и антисолитонов. В этом случае величина $1/L\ll m$ имеет смысл средней плотности солитонов и антисолитонов.

Итак, окончательно мы можем написать
\eq$$
\phi(t,x)=\sqrt{4\pi}(a_0+a^+_0)f_0(x)
+\sqrt{4\pi}\int{dp\over2\pi\sqrt{2\ve_p}}\,\left(e^{-i\ve_pt}f_p(x)a_p+e^{i\ve_pt}f^*_p(x)a^+_p\right).
\label{phi-soliton-decomp-fin}
$$
Еще раз посмотрим на функцию $f_p(x)$. На больших расстояниях от солитона она имеет вид
\eq$$
f_p(x)=e^{ipx}\times\Cases{1+im/p,&x\to+\infty;\\1-im/p,&x\to-\infty.}
\label{fp-soliton-limits}
$$
Это значит, что поле $\phi$ проходит через солитон \emph{без отражения}. Отношение асимптотик
\eq$$
S_{1\pm}(\theta)\equiv S(\theta)^{\phi\pm}_{\phi\pm}
={p+im\over p-im}={\th\left({\theta\over2}+{i\pi\over4}\right)\over\th\left({\theta\over2}-{i\pi\over4}\right)}
\label{Smat-phi-soliton}
$$
представляет собой матрицу рассеяния частицы $\phi$ на солитоне или антисолитоне в нулевом приближении.


\bigbreak
\bigskip
\centerline{\bf Задачи}
\medskip

\begin{asparaenum}[\bf1.]

\item Выведите~(\ref{up-theta-explicit}),~(\ref{4fermion}).

\item Выведите~(\ref{Lp2-explicit}),~(\ref{Lp2-fin}).

\item Найдите полную энергию солитонного решения~(\ref{SG-soliton}).

\item Покажите, что функции $f_p(x)$ из (\ref{fp-modes}) с $N_p=p/\ve_p$ являются правильно нормированными решениями уравнения~(\ref{fn-equation}).

\starenumi
\item Найдите простейшее точное решение уравнений (\ref{Smat-phi-cross-unit}) в тригонометрических функциях, зависящее от $\beta^2$, которое имело бы своим пределом~(\ref{Smat-22phi}). Покажите, что решение имеет полюс на физическом листе $0\le\Re\theta\le\pi$. Найдите массу связанного состояния, отвечающего этому полюсу.

\end{asparaenum}


\bigbreak
\bigbreak
\centerline{\bf Семинар~\thesection}
\medskip
\centerline{\bf Пример высшего интеграла движения в возмущенной конформной теории поля}

Вернемся к возмущенной конформной теории с действием~(\ref{cft-pert-action}). В исходной конформной теории поля мы имеем операторные разложения для тензора энергии"=импульса и примарных операторов. Продолжим их на регулярные члены:
\Align$$
T(z')T(z)
&={c/2\over(z'-z)^4}+{2T(z)\over(z'-z)^2}+{\d T(z)\over z'-z}+\lcrosscolon T^2(z)\rcrosscolon+O(z'-z),
\label{TT-expansion-ext}
\\
T(z')\Phi_\Delta(z,\bz)
&={\Delta\Phi_\Delta(z,\bz)\over(z'-z)^2}+{\d\Phi_\Delta(z)\over z'-z}+\cL_{-2}\Phi_\Delta(z,\bz)
+(z'-z)\cL_{-3}\Phi_\Delta(z,\bz)+\cdots.
\label{TPhi-expansion-ext}
$$
Операторы $\cL_k$ представляют собой образующие алгебры Вирасоро, которые получаются разложением тензора энергии"=импульса вблизи точки~$(z,\bz)$, в которой расположен оператор, на который они действуют. Не будем забывать также, что $\cL_{-1}=\d$ при действии на любой локальный оператор.

Выражение (\ref{TT-expansion-ext}) определяет новый оператор $\lcrosscolon T^2(z)\rcrosscolon$, который мы будем понимать как регуляризованный квадрат компоненты тензора энергии"=импульса. В конформной теории он представляет собой сохраняющийся ток: $\bd\lcrosscolon T^2(z)\rcrosscolon=0$. Более того, соответствующий интеграл движения коммутирует с операторами энергии и импульса. Попробуем найти условие, при котором этот оператор является компонентой сохраняющегося тока в возмущенной теории~\cite{AZam-PertCFT}. Для этого возьмем интеграл
$$
\int d^2x'\,\bd\lcrosscolon T^2(z)\rcrosscolon\Phi_\Delta(z',\bz')
=\lim_{\delta\to0}\int d^2x'\,\d_\bz\left(T(z+\delta)T(z)
-{c/2\over\delta^4}-{2T(z)\over\delta^2}-{\d T(z)\over\delta}\right)\Phi_\Delta(z',\bz')
$$
Будем понимать под $T(z+\delta)$ оператор $T(z+\delta,\bz)$. Корректность такого определения можно обосновать переходом к пространству Минковского и обратно. Нам это будет важно, чтобы избавиться от необходимости разложений по~$\bar\delta$. Пользуясь (\ref{PhiT-int}), находим
\Multline*$$
\int d^2x'\,\bd\lcrosscolon T^2(z)\rcrosscolon\Phi_\Delta(z',\bz')
\\
=\pi(1-\Delta)\lim_{\delta\to0}\left(\d\Phi_\Delta(z+\delta,\bz)\,T(z)+T(z+\delta)\,\d\Phi_\Delta(z,\bz)
-{2\d\Phi_\Delta(z,\bz)\over\delta^2}-{\d^2\Phi_\Delta(z,\bz)\over\delta}\right)
\\
=\pi(1-\Delta)\lim_{\delta\to0}\biggl(\d\bigl(\Phi_\Delta(z+\delta,\bz)T(z)\bigr)+\d\bigl(T(z+\delta)\Phi_\Delta(z,\bz)\bigr)
\\
-\Phi_\Delta(z+\delta,\bz)\,\d T(z)-\d T(z+\delta)\,\Phi_\Delta(z,\bz)
-{2\d\Phi_\Delta(z,\bz)\over\delta^2}-{\d^2\Phi_\Delta(z,\bz)\over\delta}\biggr)
$$
Далее, нужно применить (\ref{TPhi-expansion-ext}) к оставшимся произведениям и разложить слагаемые по степеням~$\delta$. Результат оказывается регулярным и равным
\eq$$
\int d^2x'\,\bd\lcrosscolon T^2(z)\rcrosscolon\Phi_\Delta(z',\bz')
=\pi(1-\Delta)\left(-2\cL_{-3}+2\cL_{-1}\cL_{-2}+{\Delta-3\over6}\cL_{-1}^3\right)\Phi(z,\bz).
\label{PhiT2-int}
$$
Второе и третье слагаемое в правой части имеют вид полной производной по~$z$. Но первое слагаемое не имеет нужного вида. Поэтому для произвольного возмущения оператор $\lcrosscolon T^2(z)\rcrosscolon$ не является компонентой сохраняющегося тока.

В каких случаях первое слагаемое могло бы стать полной производной? Это может быть в случае, когда имеется линейное соотношение между $\cL_{-3}\Phi_\Delta$ и $\cL_{-1}\cL_{-2}\Phi_\Delta$, $\cL_{-1}^3\Phi_\Delta$, то есть при наличии нуль"=вектора на уровне три. Это имеет место при специальных значениях~$\Delta$:
$$
\left(\cL_{-3}+{2\over\Delta+2}\cL_{-1}\cL_{-2}+{1\over(\Delta+1)(\Delta+2)}\cL_{-1}^3\right)\Phi_\Delta=0,
\quad
\Delta=\Delta_{13},\Delta_{31}.
$$
В случае $c<1$ имеем $\Delta_{31}>1$, поэтому остается только одно возмущение оператором $\Phi_{13}=\Phi_{\Delta_{13}}$. Отметим, что для разбиения действия модели синус"=Гордона~(\ref{SG-cft+exp-action}) оператор возмущения $\e^{i\beta\phi}$ как раз имеет размерность~$\Delta_{13}=\beta^2-1$. Таким образом, эта конструкция дает высший интеграл движения для модели синус"=Гордона.
