% !TeX spellcheck = ru_RU
% !TeX encoding = UTF-8
\section{\texorpdfstring{$O(N)$"=модель: $1/N$"=разложение}{O(N)-model i 1/N-razlozhenie}}
\setcounter{page}1

Снова рассмотрим общую $O(N)$"=модель в пространстве Минковского:
\eq$$
S[\boldn]={1\over2g}\int d^2x\,(\d_\mu\boldn)^2,
\qquad
\boldn^2=1.
\label{ONmodel}
$$
В этой лекции мы обсудим предел больших~$N$ и специфическую теорию возмущений, с ним связанную~\cite{ZZ} (см.\ также \cite{Polyakov,Tsvelik}).

Удобно ввести вспомогательное поле $\omega(x)$ и написать действие в виде
\eq$$
S[\boldn,\omega]
={1\over2g}\int d^2x\,((\d_\mu\boldn)^2-\omega(\boldn^2-1)),
\label{ONmodelOmega}
$$
где вектор $\boldn$ теперь пробегает любые значения в $\R^N$. Рассмотрим
функциональный интеграл
\eq$$
Z[J]=\int D\omega\,D\boldn\,
e^{iS[\boldn,\omega]+ig^{-1/2}\int d^2x\,\boldJ\boldn}.
$$
Интеграл по $\boldn$ "--- гауссов. Возьмем его. Заметим, что
$$
iS[\boldn,\omega]+ig^{-1/2}\int d^2x\,\boldJ\boldn
=-{1\over2}\left(
{n_i\over g^{1/2}},K(\omega)\delta_{ij}{n_j\over g^{1/2}}
\right)
+\left(iJ_i,{n_i\over g^{1/2}}\right)+i\int d^2x\,{\omega\over2g},
$$
где
$$
K(\omega)=i(\d^2_\mu+\omega).
$$
Отсюда получаем
$$
Z[J]=\int D\omega\,
(\det(\d^2_\mu+\omega))^{-N/2}
\exp\left(i\int d^2x\,{\omega\over2g}
-{1\over2}\int d^2x\,d^2x'\,J_i(x)G(x,x'|\omega)J_i(x')
\right),
$$
где $G(x,x'|\omega)$ "--- решение уравнения
\eq$$
i(\d^2_\mu+\omega(x))G(x,x'|\omega)=\delta(x-x').
\label{Gdef}
$$
По"=другому производящий функционал можно переписать в виде
\Align$$
Z[J]
&=\int D\omega\,
\exp\left(
iS_\eff[\omega]-{1\over2}\int d^2x\,d^2x'\,J_i(x)G(x,x'|\omega)J_i(x')
\right),
\label{ZJomega}
\\
S_\eff[\omega]
&=i{N\over2}\tr\log(\d^2_\mu+\omega)
+\int d^2x\,{\omega\over2g}.
\label{Seff}
$$
Найдем точку перевала этого интеграла при $N\to\infty$. Предположим, что
точке перевала отвечает
$$
\omega(x)=\const=\omega_0.
$$
Тогда
\Align$$
\tr\log(\d^2_\mu+\omega_0)
&=V\int{d^2k\over(2\pi)^2}\log(\omega_0-k^2-i0)
\notag
\\
&=iV\int_E {d^2k\over(2\pi)^2}\log(\omega_0+k^2)
\notag
\\
&{iV\over2\pi}\int^\Lambda_0dk\,k\log(\omega_0+k^2)
={iV\over4\pi}\int^{\omega_0+\Lambda^2}_{\omega_0}du\,\log u
={iV\over4\pi}
\left[u\log{u\over e}\right]^{\omega_0+\Lambda^2}_{\omega_0}
\notag
\\
&={iV\over4\pi}\left(
(\omega_0+\Lambda^2)\log{\Lambda^2\over e}-\omega_0\log{\omega_0\over e}
\right)
\notag
\\
&={iV\over4\pi}\left(
\omega_0\log{e\Lambda^2\over\omega_0}+\Lambda^2\log{\Lambda^2\over e}
\right).
\label{trlogK}
$$
где $\Lambda$ "--- параметр ультрафиолетового обрезания. Под логарифмом
мы пренебрегли $\omega_0$ по сравнению с~$\Lambda$.
Находим
$$
0={dS[\omega_0]\over d\omega_0}
=V\left(-{N\over8\pi}\log{\Lambda^2\over\omega_0}+{1\over2g}\right).
$$
Отсюда находим
\eq$$
\omega_0=m^2=\Lambda^2\exp\left(-{4\pi\over Ng}\right).
\label{omega0}
$$
Мы видим, что в пределе $\Lambda\to\infty$ следует устремить к нулю и
$g$, причем таким образом, чтобы величина $\omega_0=m^2$ оставалась
конечной. Для бета"=функции при больших $N$ находим
\eq$$
{dg\over d\log\Lambda}=\beta(g)=-{N\over2\pi}g^2.
\label{beta}
$$
Важно то, что в теории возникает параметр $m$ размерности массы. Мы
сейчас увидим, что это действительно масса. В теории имеет место {\it
динамическая генерация массы}. Ни на каких масштабах корреляционные
функции не будут спадать степенным образом, и наличие размерного
параметра будет заметно в корреляционных функциях на любых масштабах.

Давайте теперь разовьем теорию возмущений по параметру $1/N$. Представим
$\omega(x)$ в виде
\eq$$
\omega(x)=m^2+(2/N)^{1/2}\rho(x).
\label{omega-expansion}
$$
и разложим эффективное действие по степеням $N^{-1/2}\rho(x)$:
\Align$$
S_\eff[\omega]
&=\const
+i{N\over2}\tr\log\left(1+(2/N)^{1/2}\rho(\d^2_\mu+m^2)^{-1}\right)
+{1\over(2N)^{1/2}g}\tr\rho
\notag
\\
&=\const+i{N\over2}\tr\log(1+i(2/N)^{1/2}\rho G)+{1\over(2N)^{1/2}g}\tr\rho
\notag
\\
&=\const+\left({1\over(2N)^{1/2}g}\tr\rho-\left(N\over2\right)^{1/2}\tr\rho G\right)
\notag
\\
&\quad
-i{N\over2}\sum^\infty_{n=2}{(-i)^n(2/N)^{n/2}\over n}\tr(\rho G)^n.
\notag
$$
Здесь $G(x,x')=G(x,x'|m^2)$ и $G$ "--- соответствующий оператор.

Скобка в последнем выражении равна нулю по предположению, что $\omega=m^2$ является минимумом. Давайте проверим это предположение. Имеем
$$
\Aligned{
\tr\rho
&=\int d^2x\,\rho(x),
\\
\tr\rho G
&=\int d^2x\,\rho(x)G(x,x)=G(0,0)\int d^2x\,\rho(x)=G(0,0)\tr\rho
\\
&=V\int{d^2k\over(2\pi)^2}{i\over k^2-m^2+i0}\,\tr\rho
={V\over4\pi}\log{\Lambda^2\over m^2}\,\tr\rho=(gN)^{-1}\tr\rho.
}
$$
Мы видим, что скобка обращается в ноль. Исследуя следующий вклад ($n=2$), можно показать, что точка $\omega=m^2$ является локальным минимумом. Пока нет способа доказать строго, что этот минимум является абсолютным.

Окончательно имеем
\eq$$
S_\eff[\omega]=\const-i{N\over2}\sum^\infty_{n=2}{(-i)^n(2/N)^{n/2}\over n}
\int d^{2n}x\,\rho(x_1)G(x_1,x_2)\ldots\rho(x_n)G(x_n,x_1).
\label{Seff-decomp}
$$
Разложение начинается с квадратичного члена вида
$$
{i\over2}\int d^2x_1\,d^2x_2\,\rho(x_1)G(x_1,x_2)\rho(x_2)G(x_2,x_1).
$$
Поэтому пропагатор $D(x_1,x_2)$ поля $\rho(x)$ есть оператор, обратный к
$$
D^{-1}(x_1,x_2)=G(x_1,x_2)G(x_2,x_1).
$$
Теперь ясно, для чего понадобился множитель $(2/N)^{1/2}$ перед $\rho$. Он позволяет избавиться от коэффициента $2/N$ в пропагаторе~$D(x_1,x_2)$.

Переходя к импульсному представлению, получим
\eq$$
D(k)=
\quad
\tikz[baseline=-2pt]{
  \draw[dashed] (-1,0) -- node[anchor=south] {$k$} (1,0);
}
\quad
=L^{-1}(k^2)
=-\left(
\int{d^2q\over(2\pi)^2}\,
{1\over(q^2-m^2+i0)((q+k)^2-m^2+i0)}
\right)^{-1}.
\label{Dk}
$$
Мы уже вычисляли эту величину на прошлой лекции:
\eq$$
D(k)=4\pi im^2\>{\sh\theta\over\theta},
\qquad
k^2=-4m^2\sh^2{\theta\over2}.
\label{Dktheta}
$$

Кроме того, оператор $G(x,x'|\omega)$, входящий в (\ref{ZJomega}), тоже
следует разложить по $\rho(x)$:
\Align$$
G[\omega]
&={1\over G^{-1}+i(2/N)^{1/2}\rho}
=\sum^\infty_{n=0}(-i)^n
{\textstyle\left(2\over N\right)^{n/2}}G(\rho G)^n
\notag
\\
G(x_1,x_2|\omega)&=\sum^\infty_{n=0}
(-i)^n\left(2\over N\right)^{n/2}
\int d^{2n}y\,G(x_1,y_1)\rho(y_1)G(y_1,y_2)
\ldots\rho(y_n)G(y_n,x_2).
\notag
$$

Изобразим $G(x_1,x_2)$ сплошной линией:
\eq$$
G_{ij}(p)=
\quad
\tikz[baseline=-2pt]{
  \draw[-] (-1,0) node[anchor=east] {$i$} -- node[anchor=south] {$p$} (1,0) node[anchor=west] {$j$};
}
\quad
=G(p)\delta_{ij}={i\delta_{ij}\over p^2-m^2+i0}.
\label{Gp}
$$

Если еще ввести вершину
\eq$$
\tikz[baseline=-2pt] {
  \draw[-] (-.5,0) node[anchor=south] {$i$} -- (.5,0) node[anchor=south] {$j$};
  \draw[dashed] (0,0) -- (0,1);
}
\quad
=-i\left(2\over N\right)^{1/2}\delta_{ij},
\label{vertex}
$$

Можно сформулировать следующие правила диаграммной техники:

\begin{enumerate}

\item Диаграмма состоит из пунктирных линий (\ref{Dk}), сплошных линий
(\ref{Gp}) и вершин (\ref{vertex}).

\item Внешними линиями диаграммы могут быть только сплошные линии,
отвечающие массивным частицам $\varphi_i=g^{-1/2}n_i$.

\item\label{loops} Замкнутые петли сплошных линий должны содержать не
менее трех вершин.

\end{enumerate}

Мы видим, что в такой формулировке диаграммная техника вообще не содержит константы связи~$g$. Порядок диаграммы по $1/N$ равен ${1\over2}V-L$, где $V$ "--- число вершин, а $L$ "--- число петель из сплошных линий. Из правила~\ref{loops} следует, что порядок диаграммы всегда положителен.

Связь между константой связи $g$, массой $m$ и параметром обрезания $\Lambda$ можно уточнять с помощью соотношения
$$
\left\langle\sum^N_{i=1}\varphi^2_i(x)\right\rangle={1\over g}.
$$
Например в порядке $1/N$ можно получить:
\eq$$
m^2=\Lambda^2\exp\left(-{4\pi\over(N-2)g'}\right),
\qquad
{1\over g'}={1\over g}+{\Lambda^2\over4\pi m^2\log(\Lambda^2/m^2)}.
\label{omega0corr}
$$
Добавка к обратной константе связи представляет собой вклад специфической для сигма"=модели квадратичной расходимости. Расходимость становится логарифмической, если мы добавляем в действие (\ref{ONmodelOmega}) член вида $\int d^2x\,\omega^2$, «размывающий» дельта"=функцию в функциональном интеграле.

Давайте теперь попробуем вычислить $S$"=матрицу $O(N)$"=модели. Условие совместимости с $O(N)$"=симметрией дает
\eq$$
S^{i'j'}_{ij}(\theta)
=\delta_{i'j'}\delta_{ij}S_1(\theta)
+\delta_{i'i}\delta_{j'j}S_2(\theta)
+\delta_{j'i}\delta_{i'j}S_3(\theta).
\label{S1S2S3}
$$
В порядке $1/N$ матричные элементы даются следующими диаграммами:
\Align$$
4m^2\sh\theta\,S_1(\theta)
&=\quad
\tikz[baseline=-2pt]{
\draw[-] (-1.0,0.5) node[anchor=east] {$p_1$} -- (-0.5,0.0);
\draw[-] (-1.0,-0.5) node[anchor=east] {$p_2$} -- (-0.5,0.0);
\draw[-] (0.5,0.0) -- (1.0,0.5) node[anchor=west] {$p_1$};
\draw[-] (0.5,0.0) -- (1.0,-0.5) node[anchor=west] {$p_2$};
\draw[dashed] (-0.5,0.0) -- (0.5,0.0);
}
\quad,
\notag
\\
\notag
\\
4m^2\sh\theta\,(S_2(\theta)-1)
&=\quad
\tikz[baseline=-2pt] {
  \draw[-] (-1,.5) node[anchor=east] {$p_1$} -- (1,.5) node[anchor=west] {$p_1$};
  \draw[-] (-1,-.5) node[anchor=east] {$p_2$} -- (1,-.5) node[anchor=west] {$p_2$};
  \draw[dashed] (0,-.5) -- (0,.5);
}
\quad,
\notag
\\
\notag
\\
4m^2\sh\theta\,S_3(\theta)
&=
\quad
\tikz[baseline=-2pt] {
  \draw[-] (-1,.5) node[anchor=east] {$p_1$} -- (1,.5) node[anchor=west] {$p_2$};
  \draw[-] (-1,-.5) node[anchor=east] {$p_2$} -- (1,-.5) node[anchor=west] {$p_1$};
  \draw[dashed] (0,-.5) -- (0,.5);
}
\quad.
\notag
$$
Используя (\ref{Dktheta}), получаем
\eq$$
\Aligned{
S_1(\theta)
&=-{2\pi i\over N(i\pi-\theta)},
\\
S_2(\theta)
&=1-{2\pi i\over N\sh\theta},
\\
S_3(\theta)
&=-{2\pi i\over N\theta}.
}\label{Siexplicit}
$$

\bigbreak
\bigskip
\centerline{\bf Задачи}
\medskip

\begin{asparaenum}[\bf1.]

\item Модель Гросса"--~Невё для $N$"=компонентного майорановского
(т.~е.\ вещественного в представлении с чисто мнимыми
$\gamma$"=матрицами) ферми"=поля определяется действием
$$
S[\psi]
=\int d^2x\,\left(
{i\over2}\bpsi_i\gamma^\mu\d_\mu\psi_i
+{g\over8}(\bpsi_i\psi_i)^2
\right)
$$
(по повторяющимся индексам предполагается суммирование от $1$ до~$N$; в представлении
с чисто мнимыми гамма"=матрицами $\bpsi=\psi^T\gamma^0$).

Покажите, что эта модель эквивалентна модели со вспомогательным бозонным
полем
$$
S[\psi,\omega]
=\int d^2x\,\left(
{1\over2}\bpsi_i(i\gamma^\mu\d_\mu-\omega(x))\psi_i-{\omega^2(x)\over2g}
\right).
$$
Покажите, что в модели имеет место динамическая генерация массы
$$
\omega_0=m=\Lambda\exp\left(-{2\pi\over Ng}\right).
$$

\item Постройте диаграммную технику для $1/N$"=разложения в модели Гросса"--~Невё. Найдите $S$"=матрицу в древесном приближении.

\item Найдите расходящуюся часть массового оператора в порядке $1/N$ для $O(N)$"=модели. Покажите, что постоянный вклад квадратично расходится по~$\Lambda$, а вклад, пропорциональный $p^2-m^2$ имеет дважды логарифмическую расходимость.

\item Рассмотрите модель с ослабленным условием на $\boldn^2$:
\eq$$
S[\boldn]={1\over2g}\int d^2x\,\left((\d_\mu\boldn)^2-{2\mu^2\over N}(\boldn^2-1)^2\right),
\label{ON-n4-model}
$$
где $\mu$ "--- постоянная размерности массы. Покажите, что в пределе $\mu\to\infty$ модель переходит в сигма"=модель~(\ref{ONmodel}). Покажите, что масса возбуждений в модели~(\ref{ON-n4-model}) в главном порядке дается той же формулой~(\ref{omega0}), что и масса возбуждений в сигма"=модели. Покажите, что $S$"=матрица в древесном приближении также совпадает с матрицей рассеяния сигма"=модели~(\ref{Siexplicit}).

\starenumi
\item Выведите формулу~(\ref{omega0corr}).


\end{asparaenum}



\bigbreak
\bigbreak
\centerline{\bf Семинар~\thesection}
\medskip
\centerline{\bf Пример высшего интеграла движения в возмущенной конформной теории поля}
\centerline{\bf(продолжение)}

