% !TeX spellcheck = ru_RU
% !TeX encoding = UTF-8
\section{\texorpdfstring{Модель Тирринга и анзац Бете: конструкция и перенормировка массы}{Model Tirringa i anzac Bete: konstrukcija i perenormirovka massy}}
\setcounter{page}1

В этой лекции мы обсудим решение массивной модели Тирринга
\eq$$
S^{TM}[\psi,\bpsi]
=\int d^2x\,
\left(\bpsi(i\hat\d-m_0)\psi-{g\over2}(\bpsi\gamma^\mu\psi)^2\right)
\label{TM}
$$
методом анзаца Бете (см.\ книгу~\cite{BIK} и ссылки в ней). Напомним, что гамма"=матрицы можно записать в виде
$$
\psi=\pMatrix{\psi_+\\\psi_-},
\qquad
\gamma^0=\pMatrix{&-i\\i&}=\sigma^2,
\qquad
\gamma^1=\pMatrix{&i\\i&}=i\sigma^1,
\qquad
\gamma^3=\gamma^0\gamma^1=\pMatrix{1&\\&-1}=\sigma^3.
$$
Гамильтониан модели Тирринга имеет вид
\eq$$
H=\int dx\,(-i\psi^+\sigma^3\d_x\psi+m_0\psi^+\sigma^2\psi
+2g\psi^+_+\psi_+\psi^+_-\psi_-)
\label{TMHam}
$$
с коммутационными соотношениями
\eq$$
\psi^+_{\alpha'}(x')\psi_\alpha(x)+\psi_\alpha(x)\psi^+_{\alpha'}(x')
=\delta_{\alpha'\alpha}\delta(x'-x),
\label{TMpsicommut}
$$
причем импульс $P$ и оператор числа частиц $Q$ имеют вид
\eq$$
P=-i\int dx\,\psi^+\d_x\psi,
\qquad
Q=\int dx\,\psi^+\psi.
\label{TMPQ}
$$
Давайте вспомним картинку Дирака. Спектр $\epsilon^2-p^2=m^2$ имеет две ветви: $\epsilon=\pm\sqrt{p^2+m^2}$. Согласно принципу Паули в одном состоянии может находиться одно возбуждение. Поэтому стандартный вакуум образован <<морем>> фермионных возбуждений с отрицательными энергиями. Если мы удалим все это <<море>>, то возникнет <<голый вакуум>> или {\it псевдовакуум}. Очевидно, голый вакуум имеет бесконечно большую энергию и не может претендовать на роль основного состояния. Тем не менее, истинный вакуум можно найти как <<возбуждение>> над псевдовакуумом.

Рассмотрим сначала случай свободных фермионов $g=0$. Обозначим через $|\Omega\rangle$ состояние, удовлетворяющее условиям
\eq$$
\psi_\alpha(x)|\Omega\rangle=0,
\qquad
\langle\Omega|\psi^+_\alpha(x)=0.
\label{Omegadef}
$$
Введем волновую функцию «$N$"=частичного» состояния:
\eq$$
|\chi_N\rangle
=\int d^Nx\,\chi^{\alpha_1\ldots\alpha_N}(x_1,\ldots,x_N)
\psi^+_{\alpha_1}(x_1)\ldots\psi^+_{\alpha_N}(x_N)|\Omega\rangle.
\label{Npart}
$$
Состояния такого вида являются собственными векторами оператора $Q$:
$$
Q|\chi_N\rangle=N|\chi_N\rangle.
$$
Таким образом, полное пространство состояний $\cH$ распадается в сумму по собственным значениям~$Q$:
\eq$$
\cH\simeq\bigoplus^\infty_{N=0}\cH_N,
\qquad v\in\cH_N\Leftrightarrow Qv=Nv.
$$

Действие $\hat H_N$ гамильтониана на волновую функцию $\chi^{\alpha_1\ldots\alpha_N}(x_1,\ldots,x_N)$, определенное уравнением
\eq$$
H|\chi_N\rangle
=\int d^Nx\,(\hat H_N\chi)^{\alpha_1\ldots\alpha_N}(x_1,\ldots,x_N)
\psi^+_{\alpha_1}(x_1)\ldots\psi^+_{\alpha_N}(x_N)|\Omega\rangle,
\label{Hhat-def}
$$
имеет вид
$$
\hat H_N=\sum^N_{k=1}(-i\sigma^3_k\d_{x_k}+m_0\sigma^2_k),
$$
где $\sigma^i_k$ действует на пространстве $k$-й частицы. При $N=1$ собственное состояние имеет вид
\eq$$
\chi_\lambda(x)=\pMatrix{e^{\lambda/2}\\ie^{-\lambda/2}}e^{ixm_0\sh\lambda}.
\label{1psolution}
$$
Многочастичное решение свободнополевого гамильтониана имеет вид
\eq$$
\chi^{\alpha_1\ldots\alpha_N}_{\lambda_1\ldots\lambda_N}(x_1,\ldots,x_N)
=\sum_\sigma(-1)^\sigma\prod^N_{k=1}
\chi^{\alpha_{\sigma_k}}_{\lambda_k}(x_{\sigma_k}).
\label{Npsolutions-free}
$$
Энергия $N$"=частичного состояния равна
\eq$$
E_N(\lambda_1,\ldots,\lambda_N)=m_0\sum^N_{k=1}\ch\lambda_k.
\label{ENfree}
$$

Какие значения могут принимать параметры $\lambda$? Если система находится в ящике размера $L$ с циклическими граничными условиями, то «быстроты» $\lambda_k$ являются решениями уравнений
\eq$$
e^{im_0L\sh\lambda_k}=1
\qquad k=1,\ldots,N.
\label{thetaquant}
$$
Следовательно,
$$
\sh\lambda_k={2\pi n_k\over m_0L},
\qquad
n_k\in\Z.
$$
Это значит, что $\lambda_k$ находится либо на вещественной оси $\R$, либо на прямой $i\pi+\R$. Последние решения соответствуют отрицательным энергиям и конденсат таких возбуждений может дать истинный вакуум. Очевидно, основному состоянию соответствует состояние, в котором все состояния отрицательной энергии заполнены. Положим $\lambda_k=i\pi+\beta_k$. Чтобы определить вакуумную энергию, введем ультрафиолетовое обрезание
\eq$$
-\Theta<\beta_k<\Theta,
\qquad
\Theta\simeq\log{\Lambda\over m_0}.
\label{cutoff}
$$
В термодинамическом пределе $L\to\infty$ энергия вакуума равна
$$
E_0=-L\int^\Theta_{-\Theta}d\beta\,
\rho(\beta)m_0\ch\beta,
\qquad
\rho(\beta)={1\over L}\left|dn\over d\beta\right|={m_0\over2\pi}\ch\beta.
$$
Конечно, энергия основного состояния сама по себе бессмысленна, интересны энергии возбужденных состояний. Возбуждению с быстротой $\theta$ соответствует дополнительный корень в точке
$$
\lambda_k=\theta
\qquad\text{(частица),}
$$
или дырка (отсутствие корня) в точке
$$
\lambda_k=\theta+i\pi
\qquad\text{(античастица).}
$$
Поскольку корни уравнений (\ref{thetaquant}) никак не связаны друг с другом, мы получаем систему невзаимодействующих частиц и античастиц с $p=(m\ch\theta,m\sh\theta)$, подчиняющихся принципу Паули, то есть то, что мы и должны были получить.

Теперь включим взаимодействие. Оператор взаимодействия в~(\ref{TMHam}) коммутирует с оператором числа частиц $Q$, а по отношению к псевдовакууму $|\Omega\rangle$ нет никаких античастиц. Поэтому оператор взаимодействия действует внутри пространств $\cH_N$:
\eq$$
\hat H_N=\sum^N_{k=1}(-i\sigma^3_k\d_{x_k}+m_0\sigma^2_k)
+g\sum^N_{k<l}\delta(x_k-x_l)
(1-\sigma^3_k\sigma^3_l).
\label{TMHN}
$$
Конструкция из сигма"=матриц в правой части есть:
\eq$$
{1\over2}(1\otimes1-\sigma^3\otimes\sigma^3)
^{\alpha'_1\alpha'_2}_{\alpha_1\alpha_2}
=\delta_{\alpha'_1+}\delta_{\alpha_1+}\delta_{\alpha'_2-}\delta_{\alpha_2-}
+\delta_{\alpha'_1-}\delta_{\alpha_1-}\delta_{\alpha'_2+}\delta_{\alpha_2+}.
\label{sigmaid}
$$
Член взаимодействия в гамильтониане (\ref{TMHN}) плохо определен. Действительно, из-за дельта"=функционального члена волновая функция разрывна при $x_k=x_l$. В то же время, действие гамильтониана зависит от волновой функции как раз в этой точке. Дельта функцию следует регуляризовать. Покажем, что ответ не зависит от регуляризации. Рассмотрим уравнение
$$
f'(x)-c\delta(x)f(x)=g(x,f(x))
$$
Регуляризуем дельта"=функцию произвольным образом:
\eq$$
f'(x)-c\delta_a(x)f(x)=g(x,f(x)),
\qquad
\lim_{a\to0}\delta_a(x)=\delta(x).
$$
Пусть
$$
\delta_a(x)=\epsilon'_a(x).
$$
Тогда
$$
{f'(x)\over f(x)}=c\epsilon'_a(x)+{g(x,f(x))\over f(x)}
$$
и при достаточно малых $a$ имеем
$$
f(x)=\const e^{c\epsilon_a(x)}.
$$
Отсюда в пределе $a\to0$ имеем
\eq$$
f(+0)=e^cf(-0).
$$

Одночастичные состояния опять описываются решениями~(\ref{1psolution}). Рассмотрим двухчастичное состояние. Поскольку взаимодействие контактное (отлично от нуля только при $x_1=x_2$), при $x_1\ne x_2$ волновая функция представляет собой решение уравнений для свободных фермионов. Благодаря законам сохранения энергии и импульса, рассеяние безотражательно и мы имеем:
\eq$$
\chi^{\alpha_1\alpha_2}_{\lambda_1\lambda_2}(x_1,x_2)
=\Cases{
A_{12}\chi^{\alpha_1}_{\lambda_1}(x_1)\chi^{\alpha_2}_{\lambda_2}(x_2)
-A_{21}\chi^{\alpha_1}_{\lambda_2}(x_1)\chi^{\alpha_2}_{\lambda_1}(x_2)
\quad\text{при $x_1<x_2$,}\\
A_{21}\chi^{\alpha_1}_{\lambda_1}(x_1)\chi^{\alpha_2}_{\lambda_2}(x_2)
-A_{12}\chi^{\alpha_1}_{\lambda_2}(x_1)\chi^{\alpha_2}_{\lambda_1}(x_2)
\quad\text{при $x_1>x_2$.}
}
\label{2pAnsatz}
$$
Эта функция, очевидно, антисимметрична по $(\alpha_1,x_1)$, $(\alpha_2,x_2)$ и содержит (с точностью до общего множителя) один свободный параметр $A_{21}/A_{12}$, который должен зависеть от константы связи $g$. Прямое вычисление дает
\eq$$
{A_{21}\over A_{12}}=R(\lambda_1-\lambda_2),
\qquad
R(\lambda)=e^{i\Phi(\lambda)}
={\ch{\lambda-ig\over2}\over\ch{\lambda+ig\over2}}.
\label{Phifunc}
$$
Функцию $\Phi(\lambda)$ удобно фиксировать условием кососимметричности
\eq$$
\Phi(-\lambda)=-\Phi(\lambda),
\label{Phiskewsym}
$$
считая, что разрезы лежат на лучах $(ig,i\infty)$, $(-i g,-i\infty)$. Величины $\lambda_k$ естественно определены по модулю~$2\pi i$.

Заметим, что функция $R(\lambda)$ периодична по $g$ с периодом $2\pi$. Так как мы будем строить вакуум, близкий к вакууму свободных фермионов, следует считать, что решение имеет смысл при
\eq$$
-\pi<g<\pi.
\label{gregion}
$$

Теперь нетрудно построить общее $N$"=частичное решение ({\it анзац
Бете\/}):
\eq$$
\chi^{\alpha_1\ldots\alpha_N}_{\lambda_1\ldots\lambda_N}(x_1,\ldots,x_N)
=\sum_\tau(-1)^{\sigma\tau}
A_\tau\prod^N_{k=1}\chi^{\alpha_{\sigma_k}}_{\lambda_{\tau_k}}(x_{\sigma_k})
\quad\text{при $x_{\sigma_1}<\ldots<x_{\sigma_N}$}.
\label{BetheAnsatz}
$$
Коэффициенты $A$ удовлетворяют соотношениями
\eq$$
A_{\ldots,i+1,i,\ldots}
=R(\lambda_{i}-\lambda_{i+1})
A_{\ldots,i,i+1,\ldots}.
\label{Arelations}
$$
Наложим теперь циклическое граничное условие
\eq$$
\chi(\ldots,x_k+L,\ldots)=\chi(\ldots,x_k,\ldots).
\label{cyclicity}
$$
Тогда получим
\eq$$
e^{im_0L\sh\lambda_k}
=\prod^N_{\scriptstyle l=1\atop\scriptstyle l\ne k}
R(\lambda_l-\lambda_k).
\label{BetheEqs}
$$
Эта система уравнений на параметры $\lambda_k$ называется системой {\it уравнений Бете}. Уравнения Бете "--- нелинейные уравнения с $N$ неизвестными, причем, как ожидается, в физически интересных случаях $N\to\infty$. Тем не менее, сделан огромный шаг: решение задачи сведено к решению системы алгебраических уравнений. Каждому решению этой системы, т.~е.\ каждому набору чисел $(\lambda_1,\ldots,\lambda_N)$, удовлетворяющему (\ref{BetheEqs}), соответствует единственное состояние системы. Компоненты $\lambda_k$ решения называются {\it корнями\/} уравнений Бете.

Логарифмируя уравнения Бете, найдем
\eq$$
m_0L\sh\lambda_k+\sum^N_{l=1}\Phi(\lambda_k-\lambda_l)=2\pi n_k,
\label{BetheLog}
$$
причем энергия и импульс состояния равны
\eq$$
E_N(\lambda_1,\ldots,\lambda_N)=m_0\sum^N_{i=1}\ch\lambda_i,
\qquad
P_N(\lambda_1,\ldots,\lambda_N)=m_0\sum^N_{i=1}\sh\lambda_i.
\label{EP}
$$
Зададимся вопросом: как могут располагаться корни уравнений Бете? Естественно, подходят вещественные корни и корни на прямой $i\pi+\R$. Общие комплексные корни могут располагаться симметрично относительно одной из прямых $\R$ и $i\pi+\R$. Более подробный анализ показывает, что других типов решений не может быть.

Можно показать, что решения уравнений Бете взаимнооднозначно связаны с наборами чисел $(n_1,\allowbreak\ldots,\allowbreak n_N)$. Понятно также, что различным $n_k$ соответствуют различные $\lambda_k$ и наоборот. Из принципа Паули следует, что все $\lambda_k$ должны быть различны и что, следовательно,
\eq$$
n_k\ne n_l
\qquad
(k\ne l).
\label{nnne}
$$

Естественно предположить, что наименьшей энергии отвечает решение уравнений Бете с отрицательными энергиями <<голых частиц>>, т.~е.\ с
$\Im\lambda_k=\pi$. Будем писать
$$
\lambda_k=i\pi+\beta_k.
$$
Чтобы минимизировать энергию, надо заполнить все состояния отрицательной энергии, поэтому надо, чтобы целые числа $n_k$ шли через единицу:
\eq$$
n_{k+1}-n_k=\pm1,
\label{ndiff1}
$$
причем удобно выбрать знак так, чтобы величина $\beta_k$ росла с~$k$. Поэтому примем
$$
n_k=k_0-k
$$
с некоторым $k_0$. Тогда
\eq$$
m_0L\sh\beta_k=2\pi(k-k_0)+\sum^N_{l=1}\Phi(\beta_k-\beta_l).
\label{BetheLog-vac}
$$
В термодинамическом пределе $L\to\infty$ расстояние между уровнями стремится к нулю и можно продифференцировать это уравнение по $\beta_k$. Мы получим
\eq$$
m_0\ch\beta=2\pi\rho(\beta)+\int^\Theta_{-\Theta}d\beta'\,\Phi'(\beta-\beta')\rho(\beta').
\label{BetheTL}
$$
Здесь
\eq$$
\rho(\beta)={1\over L}{dk\over d\beta}
\label{rhodef}
$$
"--- плотность состояний, связанная с числом голых частиц $N$ в состоянии
формулой
\eq$$
\int^\Theta_{-\Theta}d\beta\,\rho(\beta)={N\over L}.
\label{rhonorm}
$$
При $\Theta\to\infty$ величина $m_0$ стремиться к нулю при $g>0$ и к бесконечности при $g<0$. При $g>0$ можно показать, что $\rho(\beta)/m_0\to\infty$. Поэтому следует искать формальное решение однородного уравнения, которое получается из~(\ref{BetheTL}) при $m_0=0$, $\Theta\to\infty$. Оно имеет вид
\eq$$
\rho(\beta)=\const\cdot\ch{\pi\beta\over\pi+g}.
\label{rhosolution}
$$
Коэффициент пропорциональности можно найти более аккуратным вычислением, и он оказывается конечным.

Рассмотрим теперь море фермионов с дырками. Для этого обобщим уравнение~(\ref{BetheLog-vac}):
\eq$$
m_0L\sh\beta_k=-2\pi n_k+\sum^N_{l=1}\Phi(\beta_k-\beta_l).
\label{BetheLog-holes}
$$
Далее, определим $\beta(n)$ уравнением
\eq$$
m_0L\sh\beta(n)=-2\pi n+\sum^N_{l=1}\Phi(\beta(n)-\beta_l)
\label{BetheLog-holes-beta(n)}
$$
Определим плотность состояний $\rho(\beta)$ и плотность дырок $\rho_h(\beta)=\rho(\beta)-\rho_r(\beta)$ следующим образом:
\eq$$
\rho(\beta(n))={1\over L|\beta(n+1)-\beta(n)|}\simeq{1\over L}\left|dn\over d\beta(n)\right|,
\qquad
\rho_r(\beta)=\left\langle{1\over L|\beta_{k+1}-\beta_k|}\right\rangle_{\beta_k\simeq\beta}
=\left\langle{1\over L}\left|dk\over d\beta_k\right|\right\rangle_{\beta_k\simeq\beta}.
\label{rho-rhoh-def}
$$
В частности для одной дырки с параметром $\beta=\beta_0$ имеем $\rho_h(\beta)=L^{-1}\delta(\beta-\beta_0)$. Тогда система уравнений выглядит следующим образом:
\eq$$
m_0\ch\beta
=2\pi\rho(\beta)+\int^\Theta_{-\Theta}d\beta'\,\Phi'(\beta-\beta')(\rho(\beta')-\rho_h(\beta')).
\label{p-eq2}
$$
Обозначив через $\rho_0(\beta)$ решение уравнения (\ref{BetheTL}) и вычтя это уравнение из (\ref{p-eq2}), получим
\eq$$
2\pi\delta\rho(\beta)
+\int^\Theta_{-\Theta}d\beta'\,\Phi'(\beta-\beta')\delta\rho(\beta')
=\int^\Theta_{-\Theta}d\beta'\,\Phi'(\beta-\beta')\rho_h(\beta').
\label{deltarhoeq}
$$
Здесь
$$
\delta\rho(\beta)=\rho(\beta)-\rho_0(\beta).
$$
В пределе $\Theta\to\infty$ это уравнение легко решить методом Фурье. Действительно, пусть
\eq$$
\tilde X(\omega)
=\int^\infty_{-\infty}d\beta\,X(\beta)e^{i\beta\omega}
\label{X-Fourier}
$$
для любой функции $X$, например $\Phi'$, $\delta\rho$, $\rho_h$. Применяя преобразование Фурье к уравнению (\ref{deltarhoeq}), получаем алгебраическое уравнение
$$
2\pi\delta\tilde\rho(\omega)+\tilde\Phi'(\omega)\delta\tilde\rho(\omega)=\Phi'(\omega)\tilde\rho_h(\omega).
$$
Легко проверить, что
\eq$$
\tilde\Phi'(\omega)=-2\pi{\sh g\omega\over\sh\pi\omega},
\qquad
\delta\tilde\rho(\omega)=-{\sh g\omega\over2\sh{\pi-g\over2}\omega\ch{\pi+g\over2}\omega}\tilde\rho_h(\omega).
\label{Phi-deltarho-omega}
$$
Энергия $E[\rho_h]$ и импульс $P[\rho_h]$ системы являются функционалами плотности дырок~$\rho_h$, причем энергия возбуждений определяется как разность $E[\rho_h]-E[0]$. Имеем
$$
\Aligned{
E[\rho_h]-E[0]
&=m_0L\int^\Theta_{-\Theta}d\beta\,(\rho_h(\beta)-\delta\rho(\beta))\ch\beta,
\\
P[\rho_h]
&=m_0L\int^\Theta_{-\Theta}d\beta\,(\rho_h(\beta)-\delta\rho(\beta))\sh\beta.
}
$$
Ситуация здесь различна при положительных и отрицательных~$g$.

При $g<0$ интегралы в этих выражениях сходятся при $\Theta\to\infty$. Но если мы положим $\Theta=\infty$, мы получим, что $E[\rho_h]-E[0]=P[\rho_h]=0$, так как $\delta\tilde\rho(\pm i)=\tilde\rho_h(\pm i)$. Поэтому следует перенормировать затравочную массу $m_0$. Явное вычисление первой поправки, связанной с полюсами функции $\delta\tilde\rho(\omega)$ в точках $\omega=\pm{i\pi\over\pi+g}$ дает
\eq$$
E[\rho_h]-E[0]=L\int^\infty_{-\infty}d\beta\,\epsilon(\beta)\rho_h(\beta),
\qquad
P[\rho_h]=L\int^\infty_{-\infty}d\beta\,p(\beta)\rho_h(\beta)
\label{EP-fin}
$$
где
\eq$$
\epsilon(\lambda)=m\ch{\pi\lambda\over\pi+g},
\qquad
p(\lambda)=m\sh{\pi\lambda\over\pi+g},
\qquad
m={M\over g}\ctg\left({\pi\over2}{\pi-g\over\pi+g}\right),
\label{spectrum}
$$
а константа $M$ определяется равенством
\eq$$
m_0=M\exp\left(-{g\over\pi+g}\Theta\right)
\sim M\left(m_0\over\Lambda\right)^{g/(\pi+g)}.
\label{m0div}
$$
Таким образом, частицы имеют релятивистский спектр с быстротой
\eq$$
\theta={\pi\beta\over\pi+g}.
\label{theta-beta-rel}
$$

Сравнивая~(\ref{m0div}) с нашей предыдущей оценкой
\eq$$
m_0\sim M^{2-\beta^2},
$$
где $\beta$ "--- константа связи модели синус"=Гордона, получаем соотношение
$$
{g\over\pi}=1-\beta^2,
$$
отличное от соотношения
$$
{g\over\pi}=\beta^{-2}-1,
$$
приведенного в Лекции~2. Можно предположить, что нормировка константы связи $g_{\rm BA}$ в анзаце Бете отлична от физической нормировки~$g_{\rm OPE}$, определенной операторными разложениями, за пределами первой поправки по теории возмущений. Тем не менее, если постулировать
$$
{g_{\rm BA}\over\pi}={g_{\rm OPE}\over\pi+g_{\rm OPE}},
$$
то результаты, полученные разными способами, совпадают. Заметим, что область определения (\ref{gregion}) для константы $g_{\rm BA}$ эквивалентна области релевантности возмущения для модели синус"=Гордона:
$$
0<\beta^2<2.
$$

При $g>0$ ситуация несколько иная. Полюсы функции $\delta\rho_\omega(\lambda)$ при $\omega=\pm i\pi/(\pi+g)$ становятся ближе к вещественной оси, чем точки $\pm i$. Это значит, что интегралы в формулах для импульса и энергии расходятся, что соответствует $m_0\to0$. Строго говоря, требуется явное вычисление $\delta\rho(\beta,\lambda)$ и затем интегралов для энергии и импульса возбуждений. Однако вся эта процедура приводит к ответам, получающимся аналитическим продолжением из области $g<0$. Это значит, что формула для перенормировки массы~(\ref{m0div}) верна и в этом случае.

\bigbreak
\bigskip
\centerline{\bf Задачи}
\medskip

\begin{asparaenum}[\bf1.]

\item Получите~(\ref{TMHam}) из~(\ref{TM}). Выведите~(\ref{TMHN}).

\item Выведите~(\ref{Phifunc}).

\item Получите соотношения~(\ref{EP-fin})--(\ref{spectrum}).

\item Выведите~(\ref{Phi-deltarho-omega}).

\starenumi
\item Найдите спектр возбуждений, отвечающих решениям, у которых в дополнение к заполненному морю Дирака имеются вещественные корни Бете. (Это \emph{не будут} тирринговские фермионы!)

\end{asparaenum}

\bigbreak
\bigbreak
\centerline{\bf Семинар~\thesection}
\medskip
\centerline{\bf Квантовое нелинейное уравнение Шрёдингера}

На семинаре мы применим анзац Бете к квантовому нелинейному уравнению Шрёдингера, то есть системе с гамильтонианом
\eq$$
H=\int dx\,\left({\d_x\psi^+\,\d_x\psi\over2m}+{c\over2}\psi^+\psi^+\psi\psi\right)
\label{NLS-Ham}
$$
и коммутационными соотношениями
\eq$$
[\psi(x),\psi^+(x')]=\delta(x-x'),
\qquad
[\psi(x),\psi(x')]=[\psi^+(x),\psi^+(x')]=0.
\label{NLS-commut}
$$
Оператор числа частиц и оператор импульса
\eq$$
Q=\int dx\,\psi^+\psi,
\qquad
P=-{i\over2}\int dx\,(\psi^+\,\d_x\psi-\d_x\psi^+\,\psi)
\label{QP-NLS}
$$
коммутируют с гамильтонианом.

Рассмотрим вакуум $|0\rangle$, определенный соотношениями
$$
\psi(x)|0\rangle=0,
\qquad
\langle0|\psi^+(x)=0.
$$
Для каждого состояния $|\chi_N\rangle$ с данным числом частиц $N$ введем волновые функции $\chi(x_1,\ldots,x_N)$ соотношением
\eq$$
|\chi_N\rangle=\int d^Nx\,\chi(x_1,\ldots,x_N)\psi^+(x_N)\cdots\psi^+(x_1)|0\rangle.
\label{chiN-NLS}
$$
Формула, аналогичная~(\ref{Hhat-def}), определяет первично"=квантованный гамильтониан
\eq$$
\hat H=-{1\over2m}\sum^N_{i=1}\d_{x_i}^2+c\sum_{i<j}\delta(x_i-x_j).
\label{Hhat-NLS}
$$
Это "--- система свободных бозонов с контактным взаимодействием. Отсюда мы найдем, что
\eq$$
{A_{\ldots ji\ldots}\over A_{\ldots ij\ldots}}=S(p_i-p_j),
\qquad
S(p)={p+imc\over p-imc}.
\label{Aratio-NLS}
$$
На отрезке длины $L$ с циклическими граничными условиями волновые функции удовлетворяют системе уравнений Бете
\eq$$
e^{ip_kL}=\prod^N_{l=1\atop l\ne k}S(p_l-p_k),
\qquad
k=1,\ldots,N.
\label{Bethe-NLS}
$$
Мы исследуем эти уравнения, найдем вакуум в термодинамическом пределе в случае $c>0$ и конечной плотности $N/L$, покажем, что при $c\to+\infty$ система неотличима от системы свободных бесспиновых фермионов.

В случае $c<0$ возникают связанные состояния $n$ частиц с энергией $E^*_n=-{n(n^2-1)\over24}mc^2$, отвечающие струнным решениям уравнения Бете: $p^{(k)}_n=p^*_n+{imc\over2}(n+1-2k)$. В силу того, что энергии связанных состояний ограничены снизу только числом частиц, основное состояние отвечает одной частице массы $Nm$ с энергией~$E^*_N$. В этом смысле система не имеет термодинамического предела.