% !TeX spellcheck = ru_RU
% !TeX encoding = UTF-8
\section{\texorpdfstring{Модель Тирринга и анзац Бете: заряд частиц и матрица рассеяния}{Model Tirringa i anzac Bete: zariad chastic i matrica rassejanija}}
\setcounter{page}1

Продолжим исследования решения~(\ref{Phi-deltarho-omega}). Давайте вычислим заряд дырки. Казалось бы, заряд дырки должен быть равен $N-N_0=-1$. Однако это не так. Вычисляя заряд частиц, мы должны учитывать ультафиолетовое обрезание. Когда меняется плотность дырок, меняется и плотность состояний, так что число состояний под обрезкой, то есть, в интервале $-\Theta<\beta<\Theta$ тоже меняется. Нас будут интересовать две величины:
\eq$$
\Aligned{
\Delta N
&=-L\int^\Theta_{-\Theta}d\beta\,\rho_h(\beta)=-\tilde\rho_h(0),
\\
\Delta Q
&=L\int^\Theta_{-\Theta}d\beta\,(\delta\rho(\beta)-\rho_h(\beta)).
}\label{DeltaN-DeltaQ-def}
$$
В последнем равенстве в первой строчке мы использовали то факт, что $\rho_h(\beta)=0$ при $|\beta|>\Theta$. Отношение
\eq$$
z_h=-{\Delta Q\over\Delta N}
\label{charge-zh-def}
$$
дает заряд дырки. Вычисляя
\eq$$
\Delta Q=-\int^\Theta_{-\Theta}d\beta\,\int^\infty_{-\infty}{d\omega\over2\pi}\,e^{-i\omega\beta}
{\sh\pi\omega\over2\sh{\pi-g\over2}\omega\ch{\pi+g\over2}\omega}\tilde\rho_h(\omega)
\simeq{\pi\over\pi-g}\Delta N,
\label{DeltaQ-fin}
$$
находим
\eq$$
z_h=-{\pi\over\pi-g}.
\label{charge-zh-fin}
$$
Мы видим, что заряд дырки не является целым числом в терминах псевдочастиц. Иными словами, заряд частиц перенормируется.

Из выражения~(\ref{Phi-deltarho-omega}) можно немедленно извлечь матрицу рассеяния дырок. Чтобы сделать это, рассмотрим «бесспиновые» фермионы массы $m$ с матрицей рассеяния~$a(\theta)=e^{i\Psi(\theta)}$, $\Psi(-\theta)=-\Psi(\theta)$. Предположим, что эти фермионы живут в пространстве длины $L$ с циклическими граничными условиями. Совершенно аналогично (\ref{BetheEqs}) получаем
\eq$$
e^{imL\sh\theta_k}=\prod^N_{l=1\atop l\ne k}S(\theta_l-\theta_k).
\label{auxBetheEqs}
$$
Прологарифмируем уравнения:
\eq$$
mL\sh\theta_k+\sum^N_{l=1}\Psi(\theta_k-\theta_l)=2\pi n_k.
\label{auxBetheLog}
$$
и сделаем термодинамический предел. Для этого определим $\theta(n)$ уравнением
\eq$$
mL\sh\theta(n)=\sum^N_{k=1}\Psi(\theta(n)-\theta_l)=2\pi n.
\label{auxTheta(n)}
$$
Затем расположим $n_k$ по возрастанию и положим
\eq$$
\rho^*(\theta(n))={1\over L|\theta(n+1)-\theta(n)|}\simeq{1\over L}\left|dn\over d\theta(n)\right|,
\qquad
\rho^*_f(\theta)=\left\langle{1\over L|\theta_{k+1}-\theta_k|}\right\rangle_{\theta_k\simeq\theta}
=\left\langle{1\over L}\left|dk\over d\theta_k\right|\right\rangle_{\theta_k\simeq\theta}.
\label{aux-rho-rhof-def}
$$
Величина~$\rho^*(\theta)$ имеет смысл плотности состояний, а величина~$\rho^*_f(\theta)$ имеет смысл плотности частиц. Тогда уравнение для плотности состояний примет вид
\eq$$
m\ch\theta+\int^\infty_{-\infty}d\theta'\,\Psi'(\theta-\theta')\rho^*_f(\theta')=2\pi\rho^*(\theta).
\label{aux-p-eq2}
$$
При нулевой плотности частиц $\rho^*_f$ имеем $\rho^*_0(\theta)={m\ch\theta\over2\pi}$. Полагая $\delta\rho^*=\rho^*-\rho^*_0$, имеем
\eq$$
\delta\rho^*(\theta)={1\over2\pi}\int^\infty_{-\infty}d\theta'\,\Psi'(\theta-\theta')\rho^*_f(\theta').
\label{aux-deltarhoeq}
$$
Перейдем к фурье"=образам
$$
\delta\tilde\rho^*(\omega)=\int d\theta\,\delta\rho^*(\theta)e^{i\theta\omega}\quad\text{и т.д.}
$$
Уравнение (\ref{aux-deltarhoeq}) принимает вид
\eq$$
\delta\tilde\rho^*(\omega)={1\over2\pi}\tilde\Psi'(\omega)\rho^*_f(\omega).
\label{aux-p-eq2-fourier}
$$

Теперь предположим, что вспомогательные фермионы и есть наши дырки. С учетом~(\ref{theta-beta-rel}) отождествляем
\eq$$
\delta\rho^*(\theta)=\alpha\delta\rho(\alpha\theta),
\qquad
\rho^*_f(\theta)=\alpha\rho_h(\alpha\theta),
\qquad
\alpha=1+{g_{\rm BA}\over\pi}=2-\beta^2,
\label{rho*-rho-rel}
$$
имеем
\eq$$
\delta\tilde\rho^*(\omega)=\tilde\rho(\alpha^{-1}\omega),
\qquad
\delta\tilde\rho^*_f(\omega)=\tilde\rho_h(\alpha^{-1}\omega).
\label{rho*-rho-omega-rel}
$$
В этом предположении, сравнивая~(\ref{rho*-rho-omega-rel}) с~(\ref{Phi-deltarho-omega}), получаем
\eq$$
i\Psi(\theta)=-\int^\infty_{-\infty}{d\omega\over\omega}
{\sh{\pi\omega\over2}\sh{\pi(p-1)\omega\over2}\over\sh\pi\omega\sh{\pi p\omega\over2}}e^{-i\theta\omega}
=2i\int^\infty_0{d\omega\over\omega}
{\sh{\pi\omega\over2}\sh{\pi(p-1)\omega\over2}\over\sh\pi\omega\sh{\pi p\omega\over2}}\sin\theta\omega,
\label{Psi-fin}
$$
где параметр $p$ определен соотношением
$$
\beta^2=2{p\over p+1}.
$$

Функция $a(\theta)=e^{i\Psi(\theta)}$ является на самом деле компонентой матрицы рассеяния для одного типа частиц "--- антифермионов в массивной модели Тирринга.

Опишем полную $S$-матрицу модели Тирринга/синус"=Гордона~\cite{ZZ}. Фермионная $S$"=матрица является матрицей $4\times4$ в базисе $(++,+-,-+,--)$ («$+$» отвечает фермионам, а «$-$» "--- антифермионам):
\eq$$
S(\theta)
=\left(S^{\alpha_1\alpha_2}_{\beta_1\beta_2}(\theta)\right)
=\pMatrix{a(\theta)&&&\\
&b(\theta)&c(\theta)&\\
&c(\theta)&b(\theta)&\\
&&&a(\theta)}.
\label{MT-Smatrix}
$$
Солитонная $S$"=матрица для модели синус"=Гордона отличается от этой $S$"=матрицы только знаком:
\eq$$
S_{\text{SG}}(\theta)^{\alpha'_1}_{\alpha_1}{}^{\alpha'_2}_{\alpha_2}
=-S_{\text{MT}}(\theta)^{\alpha'_1}_{\alpha_1}{}^{\alpha'_2}_{\alpha_2},
\qquad
\alpha_i,\alpha'_i=\pm.
\label{SSG-SMT}
$$
Функцию $a(\theta)$ можно записать в виде
\eq$$
a(\theta)
={\Gamma\left(1\over p\right)\Gamma\left(1+{i\theta\over\pi p}\right)
\over\Gamma\left({1\over p}+{i\theta\over\pi p}\right)}
\prod^\infty_{n=1}{R_n(\theta)R_n(i\pi-\theta)\over R_n(0)R_n(i\pi)},
\qquad
R_n(\theta)
={\Gamma\left({2n\over p}+{i\theta\over\pi p}\right)
\Gamma\left(1+{2n\over p}+{i\theta\over\pi p}\right)
\over
\Gamma\left({2n+1\over p}+{i\theta\over\pi p}\right)
\Gamma\left(1+{2n-1\over p}+{i\theta\over\pi p}\right)}.
\label{a-Gamma}
$$
Это нетрудно проверить с помощью формулы Бин\'{е} для логарифма гамма"=функции:
$$
\log\Gamma(z)=\left(z-{1\over2}\right)\log z-z+{1\over2}\log2\pi
+\int^\infty_0{dt\over t}\,e^{-tz}\left({1\over e^t-1}-{1\over t}+{1\over2}\right).
$$
Отношения коэффициентов $b(\theta)/a(\theta)$ и $c(\theta)/a(\theta)$ можно найти, решив уравнение Янга"--~Бакстера совместно с уравнением кроссинг"=симметрии. Ответ имеет вид
\eq$$
{b(\theta)\over a(\theta)}
={\sh{\theta\over p}\over\sh{i\pi-\theta\over p}},
\qquad
{c(\theta)\over a(\theta)}
={\sh{i\pi\over p}\over\sh{i\pi-\theta\over p}}.
\label{ba-ca-ratios}
$$
Соотношения (\ref{ba-ca-ratios}) получаются решением уравнения Янга"--~Бакстера вместе с условием кроссинг"=симметрии:
\eq$$
a(i\pi-\theta)=b(\theta),
\qquad
c(i\pi-\theta)=c(\theta).
\label{MT-crossing}
$$
Выражение (\ref{a-Gamma}) можно получить как «минимальное» решение уравнения кроссинг"=симметрии вместе с условием унитарности
\eq$$
a(\theta)a(-\theta)=0,
\qquad
b(\theta)b(-\theta)+c(\theta)c(-\theta)=1,
\qquad
b(\theta)c(-\theta)+c(\theta)b(-\theta)=0,
\label{MT-unitarity}
$$
которое сводится в данном случае к одному первому уравнению: $a(\theta)a(-\theta)=0$.

Формула (\ref{a-Gamma}) позволяет легко найти особенности функций $a(\theta)$, $b(\theta)$ и $c(\theta)$ на мнимой оси. Особенность в интервале $(0,i\pi)$ (т.е.\ на физическом листе) отвечает связанному состоянию, если знак вычета по $i\theta$ в ней отрицателен. При $0<p<1$ ($0<\beta^2<1$) такие полюсы есть для $b(\theta)$ и $c(\theta)$:
\eq$$
\theta_n=i\pi-i\pi pn,
\qquad n=1,2,\ldots,\left\lfloor1\over p\right\rfloor.
\label{theta-SG-bound}
$$
Это отвечает нейтральным связанным состояниям (бризерам в модели синус"=Гордона) с массами
\eq$$
M_n=2m\sin{\pi pn\over2}
\label{masses-SG-bound}
$$

Матрицы рассеяния связанных состояний можно вычислить по следующему правилу. Пусть частица массы $m_c$ является связанным состоянием частиц масс $m_a$ и~$m_b$. Это значит, что диагональный матричный элемент $S(\theta)^{ab}_{ab}$ матрицы рассеяния имеет полюс с положительным вычетом по $-i\theta$ при $-i\theta=u^c_{ab}+u^c_{ba}$, положение которого определяется кинематическими условиями
\eq$$
m_c=m_ae^{\pm iu^c_{ab}}+m_be^{\mp iu^c_{ba}},
\qquad
0<u^c_{ab},u^c_{ba},u^c_{ab}+u^c_{ba}<\pi.
\label{fusion-ab->c-kincond}
$$
Более явно
\eq$$
\cos(u^c_{ab}+u^c_{ba})={m_c^2-m_a^2-m_b^2\over2m_am_b},
\qquad
{\sin u^c_{ab}\over\sin u^c_{ba}}={m_b\over m_a}.
\label{ucab-explicit}
$$
Имеем
\eq$$
S(\theta)^{ab}_{ab}=\sum_c{i(\Gamma^c_{ab})^2\over\theta-i(u^c_{ab}+u^c_{ba})}+O(1)
\quad\text{при $\theta\to i(u^c_{ab}+u^c_{ba}).$}
\label{S-pole}
$$
Знак суммирования по $c$ означает суммирование по различным внутренним состояниям частицы~$c$. Графически изобразим это равенство так
\eq$$
-i\Res_{\theta_{ab}=u^c_{ab}+u^c_{ba}}\quad
\tikz[baseline=-2pt]{
\draw[->] (-.5,-1) node[left] {$a$} -- (.5,1) node[right] {$a$};
\draw[->] (.5,-1) node[right] {$b$} -- (-.5,1) node[left] {$b$};
}
\quad=\quad
\tikz[baseline=-2pt]{
\draw[-] (-.5,-1) node[left] {$a$} -- (0,-.5);
\draw[-] (.5,-1) node[right] {$b$} -- (0,-.5);
\draw[-] (0,-.5) -- node[left] {$c$} (0,.5);
\draw[->] (0,.5) -- (.5,1) node[right] {$a$};
\draw[->] (0,.5) -- (-.5,1) node[left] {$b$};
}
\label{S-pole-graph}
$$
Здесь коэффициенты $\Gamma^c_{ab}$ приписаны вершинам. Теперь возьмем нижнюю половину диаграммы в правой части и пересечем ее с линией некоторой четвертой частицы~$d$. Поскольку, вообще говоря, нам понадобятся недиагональные элементы матриц рассеяния, будем обозначать $a',\ldots$ другие состояния тех же частиц. Имеем
\eq$$
\tikz[baseline=-2pt]{
\draw[-] (-.5,-1.5) node[left] {$a$} -- node[pos=.8, left] {$a'$} (0,0);
\draw[-] (.5,-1.5) node[right] {$b$} -- node[pos=.7, right] {$b'$} (0,0);
\draw[->] (0,0) -- (0,1.5) node[left] {$c'$};
\draw[->] (1,-1.3) node[above] {$d$} -- node[below] {$d''$} (-1,-.6) node[above] {$d'$};
}
\quad=\quad
\tikz[baseline=-2pt]{
\draw[-] (-.5,-1.5) node[left] {$a$} -- (0,0);
\draw[-] (.5,-1.5) node[right] {$b$} -- (0,0);
\draw[->] (0,0) -- node[pos=.3, left] {$c$} (0,1.5) node[left] {$c'$};
\draw[->] (1,.4) node[above] {$d$} -- (-1,1.1) node[above] {$d'$};
}
\label{S-bound-eq-graph}
$$
Явно имеем уравнение на $S$"=матрицу рассеяния частиц $c$ и~$d$:
\eq$$
\sum_{a',b',d''}\Gamma^{c'}_{a'b'}S(\theta+iu^c_{ab})_a^{a'}{}^{d'}_{d''}S(\theta-iu^c_{ba})^{b'}_b{}^{d''}_d
=\sum_c\Gamma^c_{ab}S(\theta)^{c'}_c{}^{d'}_d.
\label{S-bound-eq}
$$
Очень часто можно подобрать базис так, чтобы уравнение имело только одно промежуточное состояние $c$ в правой стороне. Тогда права сумма исчезает, и уравнение превращается в явное выражение для $S$"=матрицы. Иногда можно сделать так, чтобы в уравнение входили только диагональные матричные элементы. Тогда знаки суммы в обеих частях, а также коэффициенты $\Gamma$ исчезают, и мы получаем простую формулу
\eq$$
S(\theta)^{cd}_{cd}=S(\theta+iu^c_{ab})^{ad}_{ad}S(\theta-iu^c_{ba})^{bd}_{bd}.
\label{S-bound-diag}
$$
В рассматриваемой модели это так, поскольку связанные состояния нейтральны и их пространство внутренних состояний одномерны. Для рассеяния фермиона на связанном состоянии можно получить:
\eq$$
S_{\pm n}(\theta)\equiv S(\theta)^{\pm n}_{\pm n}=
\prod^n_{k=1}S_{+1}\left(\theta+{\i\pi p\over2}(n+1-2k)\right),
\qquad
S_{+1}(\theta)={\th\left({\theta\over2}+{i\pi\over4}(1-p)\right)\over\th\left({\theta\over2}-{i\pi\over4}(1-p)\right)}.
\label{MT-S-kink-breather}
$$
При этом $S_{\pm n}(\theta)=S_{n\pm}(\theta)$. Рассеяние двух связанных состояний (бризеров) дается выражением:
\eq$$
S_{nn'}(\theta)\equiv S(\theta)^{nn'}_{nn'}
=\prod^n_{k=1}\prod^{n'}_{l=1}S_{11}\left(\theta+{i\pi p\over2}(n-n'-2k+2l)\right),
\qquad
S_{11}(\theta)={\th{\theta+i\pi p\over2}\over\th{\theta-i\pi p\over2}}.
\label{MT-S-breather-breather}
$$
Из этих формул нетрудно убедиться, что $n$-тый бризер является также связанным состоянием $(n-1)$-го и первого бризеров.



\bigbreak
\bigskip
\centerline{\bf Задачи}
\medskip

\begin{asparaenum}[\bf1.]

\item Возьмите интеграл в~(\ref{DeltaQ-fin}) и получите~(\ref{charge-zh-fin}).

\item Найдите предел матрицы рассеяния~(\ref{MT-Smatrix})--(\ref{ba-ca-ratios}) в пределе малых~$g$ и покажите, что он совпадает с~(\ref{abc-1st-order}).

\item Получите матрицы рассеяния $S_{\pm1}(\theta)$ и $S_{11}(\theta)$ из матрицы рассеяния для фермионов. (\textit{Подсказки}: Выберите правильно состояния $a,b,d$ в (\ref{S-bound-eq-graph}), чтобы уравнение приняло вид~(\ref{S-bound-diag}). Воспользуйтесь условием унитарности, чтобы вычислять отношение функций $a(\theta)$ вместо произведения. Не забудьте потом пересобрать бесконечные произведения в гамма"=функции.)

\item Найдите квазиклассический в смысле модели синус"=Гордона ($\beta^2\to0$) предел матриц рассеяния $S_{11}(\theta)$ и $S_{\pm1}(\theta)$ и покажите, что он дается формулами (\ref{Smat-22phi}),~(\ref{Smat-phi-soliton}).

\starenumi
\item Получите функцию $a(\theta)$ в виде~(\ref{a-Gamma}) путем решения уравнений кроссинг"=симметрии и унитарности методом подсчета нулей и полюсов.

\end{asparaenum}

\bigbreak
\bigbreak
\centerline{\bf Семинар~\thesection}
\medskip
\centerline{\bf Решение уравнения Янга"--~Бакстера для модели Тирринга}
