% !TeX spellcheck = ru_RU
% !TeX encoding = UTF-8
\section{\texorpdfstring{Интегрируемые возмущения минимальных моделей двумерной конформной теории поля}{Integriruemye vozmuschenija minimalnyx modelej dvumernoj konformnoj teorii polia}}
\setcounter{page}1

Здесь мы рассмотрим интегрируемые возмущения конформной теории поля на примере возмущений минимальных конформных моделей~\cite{AZam-PertCFT}. Пусть $S_0$ "--- формальное действие минимальной конформной модели с центральным зарядом $c<1$. Сначала мы будем интересоваться моделями общего положения, потом специализируемся на рациональные случаи. Рассмотрим возмущенную модель в эвклидовом пространстве с формальным действием
\eq$$
S=S_0+\lambda\int d^2x\,\Phi_\pert(x),
\label{Spert}
$$
где $\Phi_\pert(x)$ "--- примарный оператор нулевого спина и размерности~$\Delta_\pert<1$. Пока не будем более ограничивать допустимые значения размерности возмущающего оператора.

В конформной теории поля имеется бесконечно много интегралов движения. Обозначим через $\cL_n$, $\bar\cL_n$ генераторы двух представлений алгебры Вирасоро, действующих на локальные операторы:
$$
(\cL_n\Phi)(x)=\oint{dw\over2\pi i}(w-z)^{n+1}T(w)\Phi(x),
\qquad
(\bar\cL_n\Phi)(x)=\oint{d\bar w\over2\pi i}(\bar w-\bz)^{n+1}\bar T(\bw)\Phi(x),
$$
где интегралы берутся по маленьким петлям, охватывающим точку~$x$. Тогда для любого элемента $\Lambda$ подалгебры универсальной обвертывающей алгебры $U(\textit{Vir})$ алгебры Вирасоро, порожденной элементами $L_{-n}$ ($n>0$), можно определить операторы
$$
\Lambda(x)=(\Lambda1)(x),
\qquad
\bar\Lambda(x)=(\bar\Lambda1)(x)
$$
в конформном семействе единичного оператора~$[1]$. Например,
$$
\Gathered{
(\cL_{-1}1)(x)=\d1=0,
\qquad
(\cL_{-2}1)(x)=T(x),
\qquad
(\cL_{-3}1)(x)=(\cL_{-1}\cL_{-2}1)(x)=\d T(x),
\\
(\cL_{-2}^21)(x)=\lcrosscolon T^2(x)\rcrosscolon,
\qquad
(\cL_{-4}1)(x)={1\over2}(\cL_{-1}\cL_{-3}1)(x)={1\over2}\,\d^2T(x)
\quad\text{и т.д.}
}
$$
Для этих операторов имеем
\eq$$
\bd\Lambda(x)=0,
\qquad
\d\bar\Lambda(x)=0.
\label{im-cft}
$$
Среди них имеются серии коммутирующих интегралов движения, которые обеспечивают интегрируемость минимальных конформных моделей.

Изучим, как меняются тождества (\ref{im-cft}) под действием возмущения. Наша задача будет состоять в том, чтобы найти такие операторы $T_s(x)$ спина $s$ среди киральных (правых или левых) потомков единичного оператора и такие операторы $\Theta_s(x)$ спина $s$, чтобы они удовлетворяли уравнениям
\eq$$
\Aligned{
\bd T_{s+1}
&=\d\Theta_{s-1},\quad
&&\text{если $s>0$;}
\\
\d T_{s-1}
&=\bd\Theta_{s+1},\quad
&&\text{если $s<0$.}
}\label{TTheta-continuity}
$$
Тогда мы сможем сказать, что система обладает интегралами движения
\eq$$
I_s=\Cases{\int dz\,T_{s+1}+\int d\bz\,\Theta_{s-1},&\text{если $s>0$;}\\
  \int d\bz\,T_{s-1}+\int dz\,\Theta_{s+1},&\text{если $s<0$;}}
\label{Is-def}
$$
Интегралы можно брать вдоль любых контуров (комплексно"=сопряженных друг другу для $z$ и~$\bz$ в эвклидовом пространстве), уходящих в обе стороны на пространственную бесконечность. Продолжение в пространство Минковского очевидно. Коммутативность этих интегралов движения, несомненно, должна проверяться отдельно.

В первом порядке по теории возмущений имеем
\eq$$
\bd\Lambda(x)=-\lambda\int d^2y\,\Phi_\pert(y)\,\bd\Lambda(x).
\label{bdLambda-pert}
$$
Если элемент $\Lambda$ является элементом градуировки $-s$ в $U(\textit{Vir})$, в конформной теории поля операторное разложение для оператора $\Lambda(x)$ с примарным оператором $\Phi_\Delta(x)$ имеет вид
\eq$$
\Lambda(x')\Phi_\Delta(x)=\sum^\infty_{k=0}(z'-z)^{k-s}(\Lambda_{-k}\Phi_\Delta)(x).
\label{LambdaPhi-OPE}
$$
Здесь $(\Lambda_{-k}\Phi_\Delta)$ "--- некоторый правый (киральный) потомок оператора $\Phi_\Delta$ уровня~$k$. Отсюда находим
$$
\Phi_\pert(y)\,\bd\Lambda(x)
=\sum^\infty_{k=0}\bd_z(z-w)^{k-s}(\Lambda_{-k}\Phi_\pert)(y)
=-\pi\sum^{s-1}_{k=0}{(-1)^{k-1}\over k!}\,\d_z^k\delta(y-x)(\Lambda_{k-s+1}\Phi_\pert)(y).
$$
Мы положили $x=(z,\bz)$, $y=(w,\bw)$ и использовали тождество $\bd z^{-1}=\pi\delta(x)$. Отсюда находим
$$
\bd\Lambda(x)=\pi\lambda\sum^{s-1}_{k=0}{(-1)^{k-1}\over k!}\,\d^k(\Lambda_{k-s+1}\Phi_\pert)(x).
$$
Снова учитывая разложение (\ref{LambdaPhi-OPE}), находим
\eq$$
\bd\Lambda(x)=\pi\lambda\sum^{s-1}_{k=0}{(-1)^{k-1}\over k!}\,\d^k\oint{dw\over2\pi i}\,(w-z)^k\Lambda(y)\Phi_\pert(x)
=\pi\lambda\oint{dw\over2\pi i}\,\Phi_\pert(w,\bz)\Lambda(z,\bz)
\label{bdLambda-prefin}
$$
или
\eq$$
\bd\Lambda(x)=\pi\lambda(\cD_1\Lambda)(x),
\qquad
(\cD_n\Lambda)(z,\bz)=\oint{dw\over2\pi i}\,(w-z)^{n-1}\Phi_\pert(w,\bz)\Lambda(z,\bz).
\label{bdLambda-fin}
$$
Из стандартного соотношения конформной теории поля
\eq$$
[L_n,\Phi_\Delta(x)]=z^{n+1}\d\Phi_\Delta(x)+(n+1)\Delta z^n\Phi_\Delta(x)
\label{LPhi-commut}
$$
мы находим
\eq$$
[\cL_m,\cD_n]=-((1-\Delta_\pert)(m+1)+n-1)\cD_{m+n}.
\label{LD-commut}
$$
Кроме того, из определения имеем
\eq$$
(\cD_{-n}1)(x)={1\over n!}(\cL_{-1}^n\Phi_\pert)(x).
\label{D-on1}
$$
Применим теперь (\ref{LD-commut}) и (\ref{D-on1}) к вычислению правых частей нескольких первых операторов~$\Lambda$. Мы будем рассматривать только случаи четных значений~$s$, поскольку для нечетных~$s$ операторы сводятся к производным от операторов с четными~$s$. Для $T(x)$ имеем
\eq$$
\bd T=\pi\lambda\cD_1\cL_{-2}1=-\pi\lambda(1-\Delta_\pert)\cD_{-1}1=-\pi\lambda(1-\Delta_\pert)\cL_{-1}\Phi_\pert=-\pi\lambda(1-\Delta_\pert)\d\Phi_\pert.
\label{T2-continuity}
$$
Отсюда получаем
\eq$$
T_2=\cL_{-2}1,
\qquad
\Theta_0=-\pi\lambda(1-\Delta_\pert)\Phi_\pert.
\label{T2-Theta0-fin}
$$
Аналогично, нетрудно получить
\Align$$
\bd\cL_{-2}^21
&=\pi\lambda\cD_1\cL_{-2}^21=-\pi\lambda(1-\Delta_\pert)\left(2\cL_{-2}\cL_{-1}-{3-\Delta_\pert\over6}\cL_{-1}^3\right)\Phi_\pert,
\label{bdL22-fin}
\\
\bd\cL_{-2}^31
&=-\pi\lambda(1-\Delta_\pert)
\left(3\cL_{-2}^2\cL_{-1}-{3-\Delta_\pert\over2}\cL_{-2}\cL_{-1}^3+{(3-\Delta_\pert)(5-\Delta_\pert)\over120}\cL_{-1}^5\right)\Phi_\pert,
\label{bdL23-fin}
\\
\bd\cL_{-3}^21
&=-2\pi\lambda(1-\Delta_\pert)\left(\cL_{-3}\cL_{-1}^2-{5-2\Delta_\pert\over120}\cL_{-1}^5\right)\Phi_\pert.
\label{bdL32-fin}
$$
Вообще говоря, правые части этих уравнений нельзя представить в виде $\cL_{-1}(\cdots)$, поэтому при произвольном возмущении интегралы движения спинов~3 и~5 пропадают.

Рассмотрим сначала правую часть~(\ref{bdL22-fin}). Выражение может быть представлено в виде $\cL_{-1}(\cdots)$, только если имеется соотношение на третьем уровне. Вспомним, что такие соотношения возникают в вырожденных неприводимых представлениях алгебры Вирасоро, старшие веса которых даются формулой Каца:
\eq$$
\Delta_{mn}={1\over4}\left((\alpha_+m+\alpha_-n)^2-(\alpha_++\alpha_-)^2\right),
\quad
\alpha_\pm=\alpha_0\pm\sqrt{\alpha_0^2+1},
\quad
c=1-24\alpha_0^2.
\label{Deltamn-def}
$$
Представление со старшим весом $\Delta_{mn}$ имеет соотношение на уровне~$mn$. Таким образом, нужное соотношение имеет место, если $\Delta_\pert=\Delta_{13}$ или $\Delta_\pert=\Delta_{31}$:
\eq$$
\left(\cL_{-3}-{2\over\Delta+2}\cL_{-1}\cL_{-2}+{1\over(\Delta+1)(\Delta+2)}\cL_{-1}^3\right)\Phi_\Delta(x)=0,
\qquad
\Delta=\Delta_{13},\Delta_{31}.
\label{level3-null}
$$
Поскольку $\Delta_{31}>1$, остается только $\Delta_\pert=\Delta_{13}$. В этом случае получаем
\eq$$
\Aligned{
T_4
&=\cL_{-2}^21,
\\
\Theta_2
&=-\pi\lambda{(1-\Delta_{13})(12\Delta_{13}(1+\Delta_{13})\cL_{-2}+(1-\Delta_{13})(2-\Delta_{13})(3+\Delta_{13})\cL_{-1}^2)
  \over6(1+\Delta_{13})(2+\Delta_{13})}\Phi_{13}.
}\label{T4-Theta2-fin}
$$

Теперь будем искать ток спина~6 в виде
$$
T_6=A\cL_{-2}^31+B\cL_{-3}^21.
$$
Выдели в $\bd T_6$ слагаемые, не имеющие вида $\cL_{-1}(\cdots)$:
$$
\bd T_6\sim(A(3\cL_{-2}^2\cL_{-1}1+\alpha\cL_{-2}\cL_{-1}^3)+B\cL_{-3}\cL_{-1}^2+\cL_{-1}(\cdots))\Phi_{13},
\qquad
\alpha=(3-\Delta_{13})/2.
$$
Коммутируя генераторы алгебры Вирасоро, нетрудно привести выражение в скобках к виду
$$
\Lambda=6A\cL_{-2}\cL_{-3}+\left(3A-{A\alpha-B\over6}\right)\cL_{-5}+\cL_{-1}(\cdots).
$$
Далее, из условия нулевого вектора получаем
$$
\cL_{-2}\cL_{-3}=\beta\cL_{-2}\cL_{-1}\cL_{-2}+\gamma\cL_{-2}\cL_{-1}^3
=\beta\cL_{-5}-\beta\cL_{-2}\cL_{-3}-{\gamma\over6}\cL_{-5}+\cL_{-1}(\cdots),
$$
где $\beta=2/(2+\Delta_{12})$, $\gamma=-1/(1+\Delta_{13})(2+\Delta_{13})$. Отсюда выражаем $\cL_{-2}\cL_{-3}$ через $\cL_{-5}$. Собирая все вместе, можно получить
\eq$$
T_6=\cL_{-2}^31+{c+2\over2}cL_{-3}^21.
\label{T6-fin}
$$
На шестом уровнем можно также доказать, что существует интеграл движения
\eq$$
T'_6=\cL_{-2}^31+\left({18\over2\Delta+1}+\Delta-2\right)\cL_{-3}^2,
\quad\text{для $\Delta_\pert=\Delta_{12},\Delta_{21}$.}
\label{T6-1221-fin}
$$
Таким образом интегрируемые системы можно ожидать для
\eq$$
\Delta_\pert=\Delta_{13},\Delta_{12},\Delta_{21}.
\label{Deltapert-allowed}
$$
Однако мы видим, что вычисления становятся все сложнее и сложнее. Использовать явные формулы становится затруднительно. Чтобы продвинуться дальше, Замолодчиков предложил такой прием. Сначала найдем число потомков на каждом уровне, претендующих на то, чтобы давать ток. Пусть $\cH_{mn}$ "--- неприводимое представление алгебры Вирасоро со старшим весом $\Delta_{mn}$, а $(\cH_{mn})_s$ "--- подпространство уровня~$s$. Размерности этих подпространств даются характерами
\eq$$
\chi_{mn}(q)=\sum^\infty_{s=0}q^s\dim(\cH_{mn})_s,
\label{chimn-def}
$$
вид которых известен из конформной теории поля. Тогда размерность таких пространств подходящих операторов, из которых мы можем построить $T_{s+1}$ есть
\eq$$
k_s=\dim(\cH_{11})_{s+1}-\dim(\cH_{11})_s+\delta_{s0}.
\label{ks-def}
$$
Вычитание $\dim(\cH_{11})_s$ нужно для того, чтобы исключить операторы вида $\cL_{-1}(\cdots)$, а прибавление символа Кронекера "--- чтобы скомпенсировать тот факт, что производная от единичного оператора равна нулю. Для величин $k_s$ имеем характер
\eq$$
\chi_0(q)\equiv\sum^\infty_{s=1}k_sq^s=q^{-1}((1-q)\chi_{11}(q)+q-1).
\label{chi0-def}
$$
Теперь найдем количество уравнений, которые накладываются на коэффициенты в операторе~$T_s$:
\eq$$
l_s=\dim(\cH_\pert)_s-\dim(\cH_\pert)_{s-1}.
\label{ls-def}
$$
Здесь мы снова вычли из количества всех линейно"=независимых операторов количество операторов вида $\cL_{-1}(\cdots)$. Для соответствующего характера имеем
\eq$$
\chi_1(q)\equiv\sum^\infty_{s=1}l_sq^s=(1-q)\chi_\pert(q).
\label{chi1-def}
$$
Вычитая одно из другого, получаем минимальное количество решений $\delta_s=k_s-l_s$ на каждом уровне. В частности, в точках общего положения имеем
\eq$$
\chi_{mn}(q)=(1-q^{mn})\prod^\infty_{k=1}{1\over1-q^k}.
\label{chimn-gen}
$$
Для $\Phi_\pert=\Phi_{13}$ получаем
\eq$$
\chi_0(q)-\chi_1(q)=-1+q-q^2+q^3-2q^4+q^5-3 q^6+q^7-4q^8-6q^{10}-10q^{12}-2q^{13}+O(q^{14}).
\label{deltachi-13}
$$
Мы видим, что $\delta_1=\delta_3=\delta_5=\delta_7=1$, а все остальные $\delta_s\le0$. Это значит, что, по крайней мере, на уровнях $1,3,5,7$ имеются решения. На более высоких уровнях, на самом деле, уравнения избыточны.

Для случаев $\Phi_\pert=\Phi_{12},\Phi_{21}$ имеем
\eq$$
\chi_0(q)-\chi_1(q)=-1+q-q^4+q^5-2q^6+q^7-2q^8-3q^10+q^{11}-6q^{12}-6q^{14}-3q^{15}+O(q^{16}).
\label{deltachi-12}
$$
Мы получаем $\delta_1=\delta_5=\delta_7=\delta_{11}=1$, то есть, по крайней мере, имеется четыре интеграла движения.

Опишем другой подход к задаче. Пусть $T_s$ "--- сохраняющийся ток, удовлетворяющий уравнению непрерывности~(\ref{TTheta-continuity}). Определим «невозмущенный» интеграл движения
\eq$$
I^{(0)}_s=\int_{C_\perp} dz\,T_{s+1}.
\label{I0s-def}
$$
Будем рассматривать систему не на плоскости, а на цилиндре окружности~$R$: $x^1\sim x^1+R$ и брать интеграл в~(\ref{I0s-def}) по замкнутому контуру $C_\perp$ вокруг цилиндра. Интеграл по контуру $x^2=\const$ от $\Phi_\pert$ дает гамильтониан возмущения
\eq$$
\Hint=\lambda\int^R_0dx^1\,\Phi_\pert(x).
\label{Hint-def-PCFT}
$$
Однако нам сейчас понадобиться формальный гамильтониан в координатах светового конуса, где переменная $\bar z$ играет роль времени. В этом случае заменяем интегрирование по~$x^1$ на интегрирование по~$z$, а $\bar z$ фиксируем:
\eq$$
\Hint^+(\bz_0)=\lambda\int_{C_\perp}dz\,\Phi_\pert(z,\bar z_0).
\label{Hint-lightcone-def-PCFT}
$$
Тогда условие, что $\cD_1T_s=\d(\cdots)$ эквивалентна тому, что
\eq$$
[I^{(0)}_s,\Hint^+]=0.
\label{IHint-commut}
$$
Важно то, что это уравнение можно решать в рамках одной (правой) киральности в конформной теории поля. Давайте перепишем первые сохраняющиеся токи в этом виде. Для этого нужно ввести алгебру Вирасоро на цилиндре. Отобразим цилиндр на плоскость заменой переменных
\eq$$
\zeta=e^{-2\pi i{z\over R}},
\qquad
\bar\zeta=e^{2\pi i{\bz\over R}}.
\label{cyl-plane-map}
$$
Это отображение позволяет задать алгебру Вирасоро соотношением
\eq$$
\Lcyl_n=\oint{d\zeta\over2\pi i}\,\zeta^{n+1}\tilde T(\zeta)
\label{Lcyl-def}
$$
и аналогично для левой киральности. Оператор $\tilde T(z)$ представляет собой компоненту тензора энергии"=импульса в плоскости $(\zeta,\bar\zeta)$. Далее воспользуемся формулой для конформного преобразования тензора энергии"=импульса:
\eq$$
T(z)\to(f'(z))^2T(f(z))+{c\over12}\{f(z),z\},
\qquad
\{f(z),z\}={f'''(z)\over f'(z)}-{3\over2}\left(f''(z)\over f'(z)\right)^2.
\label{T-conftransform}
$$
Фигурными скобками обозначена так называемая производная Шварца. В нашем случае шварциан равен $\{z,\zeta\}=1/2\zeta^2$. Отсюда находим, что
\eq$$
T(z)=\left(2\pi i\over R\right)^2\left(\zeta^2\tilde T(\zeta)-{c\over24}\right).
\label{T-tildeT-rel}
$$
Подставляя это в~(\ref{Lcyl-def}), получаем
\eq$$
\bbT_n\equiv\int_{C_\perp}dz\,e^{-2\pi in{z\over R}}T(z)
=-{(2\pi)^2\over R}\left(\Lcyl_n-{c\over24}\delta_{n0}\right).
\label{T-Lcyl}
$$
Кроме того, из преобразования (\ref{cyl-plane-map}) находим
\eq$$
[\Lcyl_n,\Phi_\Delta(x)]=\zeta^n\left({iR\over2\pi}\d\Phi(x)+n\Delta\Phi_\Delta(x)\right).
\label{Lcyl-Phi-commut}
$$

Из~(\ref{T-Lcyl}) легко получить первый невозмущенный интеграл движения
\eq$$
I^{(0)}_1=\bbT_0=-{(2\pi)^2\over R}\left(\Lcyl_0-{c\over24}\right).
\label{I01-Lcyl}
$$
Применяя~(\ref{Lcyl-Phi-commut}), получаем
$$
[I^{(0)}_1,\Hint^+]=-\lambda{(2\pi)^2\over R}\int_{C_\perp}dz\,[\Lcyl_0,\Phi_\pert(z,\bz_0)]
=-2\pi i\lambda\int_{C_\perp}dz\,\d\Phi_\pert(z,\bz_0)=0.
$$

Рассмотрим теперь случай $\Phi_\pert=\Phi_{13}$ и запишем оператор $I^{(0)}_3$ через алгебру Вирасоро:
$$
I^{(0)}_3=\cL_{-2}^21=\int_{C_\perp}dz\,\cL_{-2}T(z)=\int_{C_\perp}dz\oint_{C_z}{dw\over2\pi i}\,{T(w)T(z)\over w-z}
$$
Контур $C_z$ обходит точку $z$ против часовой стрелки. Для дальнейших преобразований нужно сделать так, чтобы подынтегральное выражение было периодично с периодом~$R$. Воспользуемся тождеством
$$
{1\over z}={\pi\over iR}\left(\cth{\pi\over iR}z+{i\pi\over3R}z+{i\pi^3\over45R^3}z^3\right)+O(z^5).
$$
Имеем
\Multline*$$
I^{(0)}_3={\pi\over iR}\int_{C_\perp}dz\oint_{C_z}{dw\over2\pi i}\,T(w)T(z)\left(\cth{\pi\over iR}(w-z)+{i\pi\over3R}(w-z)
+{i\pi^3\over45R^3}(w-z)^3\right)
\\
={\pi\over iR}\int_{C_\perp}dz\,\left(\oint_{C_z}{dw\over2\pi i}\,T(w)T(z)\cth{\pi\over iR}(w-z)+{2i\pi\over3R}T(z)
+{i\pi^3c\over90R^3}\right)
\\
={\pi\over iR}\int_{C_\perp}dz\oint_{C_z}{dw\over2\pi i}\,T(w)T(z)\cth{\pi\over iR}(w-z)+{2\pi\over3R^2}\bbT_0+{\pi^4c\over90R^3}.
$$
Здесь мы использовали операторное разложение для тензора энергии"=импульса. В первом слагаемом превратим интеграл по $C_z$ в разность двух контуров $C_\perp$ смещенных так, чтобы проходить выше и ниже точки~$z$. Это дает коммутатор
\Multline*$$
{1\over2R}\int_{C_\perp}dz\int_{C_\perp}dw\,[T(w),T(z)]\cth{\pi\over iR}(w-z)+{2\pi^2\over3R^2}\bbT_0
\\
={1\over2R}\int_{C_\perp}dz\int_{C_\perp}dw\,\left(T(w)T(z)\cth{\pi\over iR}(w-z)+T(z)T(w)\cth{\pi\over iR}(z-w)\right)
\\
={1\over R}\int_{C_\perp}dz\int_{C_\perp}dw\,T(w)T(z)\cth{i\pi\over R}(z-w).
$$
Воспользуемся разложением
$$
\cth z={1+e^{-2z}\over1-e^{-2z}}=(1+e^{-2z})\sum^\infty_{n=0}e^{-2nz}=1+2\sum^\infty_{n=1}e^{-2nz}.
$$
Отсюда находим
\Multline$$
I^{(0)}_3={1\over R}\left(\bbT_0^2+2\sum^\infty_{n=1}\bbT_{-n}\bbT_n\right)+{2\pi\over3R^2}\bbT_0+{\pi^4c\over90R^3}
\\
={(2\pi)^4\over R^3}\left(\left(\Lcyl_0-{c\over24}\right)^2+2\sum^\infty_{n=1}\Lcyl_{-n}\Lcyl_n
-{1\over6}\left(\Lcyl_0-{c\over24}\right)+{c\over1440}\right).
\label{I03-Lcyl}
$$
Существенно новый вклад здесь дает $\sum^\infty_{n=1}\Lcyl_{-n}\Lcyl_n$, однако проверить, что этот член коммутирует с $\Hint^+$ не так просто. Зато совершенно очевидной оказывается коммутативность двух построенных «невозмущенных» интегралов: $[I^{(0)}_1,I^{(0)}_3]=0$. Далее для нечетных значений $s>0$ можно построить серию коммутирующих между собой операторов вида
$$
I^{(0)}_s=\int_{C_\perp}dz\,\left(\cL_{-2}^{s+1\over2}+\cdots\right)1
\sim\sum_{n_1+\cdots+n_s=0}\lcolon\Lcyl_{n_1}\cdots\Lcyl_{n_s}\rcolon
+\sum^{s-1}_{k=1}\sum_{n_1+\cdots+n_k=0}A_{n_1\ldots n_k}\lcolon\Lcyl_{n_1}\cdots\Lcyl_{n_k}\rcolon,
$$
где знак $\lcolon\cdots\rcolon$ означает упорядочение индексов по возрастанию слева направо. Такие операторы строятся достаточно прямо с помощью коммутационных соотношений алгебры Вирасоро. В предположении, что оператор $I^{(0)}_3$ имеет невырожденный спектр на неприводимых представлениях алгебры Вирасоро, отсюда следует, что все операторы $I^{(0)}_s$ коммутируют с~$\Hint^+$. Отсюда следует, что величины $I_s$ в полной теории являются пространственно"=однородными интегралами движения, то есть коммутируют с гамильтонианом $H\sim I_1+I_{-1}$ и импульсом $P\sim I_1-I_{-1}$. Разумно предположить, что в точках общего положения в возмущенной теории спектр гамильтониана на цилиндре невырожден. В этом случае все операторы, коммутирующие с гамильтонианом, коммутируют между собой.

Заметим, что интегралы движения $I^{(0)}_s$ образуют набор интегралов движения, обеспечивающих интегрируемость конформной теории поля, и их совместный спектр невырожден в точках общего положения. В квазиклассическом пределе $c\to-\infty$ интеграл движения $I^{(0)}_3$ представляет собой гамильтониан уравнения Кортевега"--~де Фриза, а система $I^{(0)}_s$ "--- соответствующую иерархию, существование которой доказано методами обратной задачи рассеяния. Существование такого набора интегралов движения в точках общего положения в квантовом случае было доказано методами теории гомологий Б.~Фейгиным и Э.~Френкелем~\cite{FF}. Альтернативный подход, близкий к классической теории, развит в работах В.~Бажанова, С.~Лукьянова и А.~Замолодчикова~\cite{BLZ}.

В общих точках минимальных конформных моделей с $c<1$ имеется по одному интегралу движения для следующих спинов:
\eq$$
\Aligned{
s
&=2n-1,
\quad
n\in\Z
&&\text{для $\Phi_\pert=\Phi_{13}$;}
\\
s
&=6n\pm1,
\quad
n\in\Z
&&\text{для $\Phi_\pert=\Phi_{12},\Phi_{21}$.}
}\label{Is-s-general}
$$
В частности, эти ответы верны для унитарных моделей с $c=1-6/p(p+1)$ для $p\ge3$ в случае возмущения $\Phi_{13}$ и для $p\ge6$ в случае возмущений $\Phi_{12},\Phi_{21}$. В случае $\Phi_{12}$ для моделей с $p=3,4,5$ имеется особый набор интегралов движения:
\eq$$
\Aligned{
&\Phi_\pert=\Phi_{12}
&&p=3:
&&s=1,7,11,13,17,19,23,29\pmod{30};
\\
&&&p=4:
&&s=1,5,7,9,11,13,17\pmod{18};
\\
&&&p=5:
&&s=1,4,5,7,8,11\pmod{12}.
}\label{Is-s-12p345}
$$
Кроме того, нам будут интересны интегралы движения для неминимальной серии $c=1-6(p'-p)^2/pp'$ с $p=2$, $p'=2N+1$. Для нее
\eq$$
c=1-{3(2N-1)^2\over(2N+1)},\ \Phi_\pert=\Phi_{13}:
\quad
s\in(2\Z+1)\setminus((2N-1)\Z).
\label{Is-s-ribbon}
$$
В случае $N=2$ ($c=-22/5$), отвечающем модели Ли"--~Янга, $\Phi_{13}=\Phi_{12}$ и спектр спинов $s$ является пересечением двух серий в~(\ref{Is-s-general}).

\bigbreak
\bigskip
\centerline{\bf Задачи}
\medskip

\begin{asparaenum}[\bf1.]

\item Выведите~(\ref{LD-commut}).

\item Получите~(\ref{bdL22-fin})--(\ref{bdL32-fin}).

\item Получите~(\ref{Lcyl-Phi-commut}).

\item Покажите, что для свободного майорановского фермиона (отвечающего минимальной модели с $c=1/2$) сохраняющиеся токи можно записать в виде
$$
T_{2n}=i^{2n+1}\lcolon\d^{n-1}\psi_+\d^n\psi_+\rcolon,
\qquad
T_{-2n}=i^{2n-1}\lcolon\bd^{n-1}\psi_-\bd^n\psi_-\rcolon
\qquad(n>0).
$$
Найдите соответствующие компоненты $\Theta_{\pm(2n-2)}$.

\starenumi
\item Используя характеры (\ref{chi0-def}), (\ref{chi1-def}), найдите, интегралы движения каких спинов имеются в унитарных моделях с $p=3,4,5$ и в неунитарных моделях с $N=2,3$ для $\Phi_\pert=\Phi_{13},\Phi_{12},\Phi_{21}$.

\end{asparaenum}