% !TeX spellcheck = ru_RU
% !TeX encoding = UTF-8
\section{\texorpdfstring{Конформная теория возмущений}{Konformnaja teorija vozmuschenij}}
\label{lec-CPT}
\setcounter{page}1

Снова рассмотрим возмущенную конформную теорию поля с эвклидовым действием
\eq$$
\cS=\cS_0+S_\pert=\cS_0+\lambda\int d^2x\,\Phi_\pert(x),
\label{Spert-rep}
$$
на плоскости. Это действие означает, что корреляционные функции в этой теории должны считаться по правилу
\eq$$
\langle\Phi_N(x_N)\cdots\Phi_1(x_1)\rangle
={\langle\Phi_N(x_N)\cdots\Phi_1(x_1)e^{-\lambda\cS_\pert}\rangle_0\over\langle e^{-\lambda\cS_\pert}\rangle_0}.
\label{PCFT-corrfun}
$$
Далее, согласно общим правилам следует разложить экспоненту в ряд и вычислять корреляционные функции по теории возмущений. Давайте рассмотрим этот процесс более подробно.

Начнем с конформной теории поля. Пусть $\cO_I(x)$ "--- некоторый базис набора взаимно"=локальных операторов в конформной теории поля, обладающий следующими свойствами. Каждый оператор $\cO_I(x)$ имеет определенную конформную размерность $(\Delta_I,\bar\Delta_I)$. Имеется единственный единичный оператор $\cO_0(x)=1$ конформной размерности $(0,0)$ и со средним $\langle1\rangle_0=1$.%
%
\footnote{Тем самым мы исключаем из рассмотрения логарифмические конформные теории поля.}
%
Средние значения остальных операторов равны нулю: $\langle \cO_I(x)\rangle=0$, $I\ne0$. Базис замкнут относительно операторных разложений:
\eq$$
\cO_I(x)\cO_J(0)
=\sum_K\cC^K_{IJ}(x)\cO_K(0),
\qquad
\cC^K_{IJ}(x)=\cC^K_{IJ}z^{\Delta_K-\Delta_I-\Delta_J}\bz^{\bar\Delta_K-\bar\Delta_I-\bar\Delta_J}.
\label{CFT-OI-OPE}
$$
Функции $\cC^K_{IJ}(x)$ называются \emph{структурными функциями} операторной алгебры. В конформной теории структурные функции тривиально зависят от координат, и существенными параметрами являются \emph{структурные константы}~$\cC^K_{IJ}$. Последовательно применяя операторные разложения, мы можем свести корреляционные функции к одночастичным. Поскольку только одна одночастичная функция равна нулю, мы имеем
\eq$$
\langle\cO_{I_N}(x_N)\cdots\cO_{I_1}(x_1)\rangle_0
=\sum_{J_1,\ldots,J_{N-2}}\cC^0_{I_NJ_{N-2}}(x_N-x_1)\cdots\cC^{J_2}_{I_3J_1}(x_3-x_1)\cC^{J_1}_{I_2I_1}(x_2-x_1)
\label{CFT-Npoint-corrfun}
$$
при условии
\eq$$
|x_N-x_1|>\cdots>|x_3-x_1|>|x_2-x_1|.
\label{xi-Torder}
$$
Давайте ограничимся \emph{квазипримарными} операторами, то есть операторами, удовлетворяющими условию
\eq$$
(\cL_1\cO_I)(x)=(\bar\cL_1\cO_I)(x)=0.
\label{CFT-quasiprimary}
$$
Эти операторы являются старшими весами представлений малой конформной алгебры $sl(2)$, порожденной операторами $\cL_1$, $\cL_0$,~$\cL_{-1}$. Иными словами, эти операторы не получаются действием операторов $\cL_{-1}=\d$, $\bar\cL_{-1}=\bd$ из других операторов. Зная структурные константы квазипримарных операторов, можно уже найти структурные константы для всех операторов. Для квазипримарных операторов структурные константы $G_{IJ}=C^0_{IJ}$ равны нулю, если $\Delta_I\ne\Delta_J$ или $\bar\Delta_I\ne\bar\Delta_J$, так что матрица $G_{IJ}$ на квазипримарных операторов имеет блочно"=диагональную структуру. Нам понадобится матрица $(G^{-1})^t$, матричные элементы которой мы будем обозначать~$G^{IJ}$. Введем операторы
\eq$$
\cO^I(x)=\sumprime_JG^{IJ}\cO_J(x),
\label{OsuperI-def}
$$
где сумма со штрихом обозначает суммирование только по квазипримарным операторам. В силу блочной диагональности матрицы $G$ конформная размерность оператора $\cO^I$ совпадает с~$\Delta_I$. Для парной корреляционной функции имеем
\eq$$
\langle\cO^I(x)\cO_J(0)\rangle_0=\delta^I_Jz^{-2\Delta_I}\bz^{-2\bar\Delta_I}.
\label{CFT-cO-2p-corrfun}
$$
Теперь определим оператор «на бесконечности»:
\eq$$
\cO^I(\infty)=\lim_{x\to\infty}z^{2\Delta_I}\bz^{2\Delta_J}\cO(x).
\label{cO-infty}
$$
Тогда, очевидно
\eq$$
\langle\cO^I(\infty)\cO_J(0)\rangle_0=\delta^I_J.
\label{CFT-cO-infty-0-corrfun}
$$

Казалось бы, в возмущенном случае можно было бы подставить разложение~(\ref{CFT-OI-OPE}) в~(\ref{PCFT-corrfun}) и свести корреляционную функцию к одночастичным средним~$\langle\cO_K\rangle$. Однако это \emph{не так}. Дело в том, что в среднем (\ref{PCFT-corrfun}) содержатся интегралы от операторов $\Phi_\pert$, и эти операторы тоже надо включать в упорядочение~(\ref{xi-Torder}) и, соответственно, в разложение~(\ref{CFT-Npoint-corrfun}).

Проблема теории возмущений состоит в том, что буквальное применение формулы (\ref{PCFT-corrfun}) неизбежно приводит к инфракрасным расходимостям. Расходимости возникают из-за того, что конформная теория поля не описывает правильно большие (порядка корреляционной длины) масштабы. Следуя работе Ал.~Замолодчикова~\cite{AlZ-CPT}, мы покажем, как вычислять коэффициенты операторных разложений по теории возмущений. Это означает, что структурные функции имеют вид
\eq$$
C^K_{IJ}(x)=z^{d_{K,IJ}}\bz^{\bar d_{K,IJ}}\tilde C^K_{IJ}(t),
\qquad
t=\lambda|x|^{2-2\Delta_\pert},
\qquad
d_{K,IJ}=\Delta_K-\Delta_I-\Delta_J,
\label{C-cC-genrel}
$$
где $\tilde C^K_{IJ}(t)$ являются целыми функциями переменной~$t$, $\tilde C^K_{IJ}(0)=\cC^K_{IJ}$. Замечательно факт состоит в том, что, как мы увидим, инфракрасные расходимости в выражениях для структурных функций (в отличие от пертурбативных выражений для корреляционных функций) сокращаются. Чтобы получить инфракрасно"=конечные корреляционные функции, надо будет учесть \emph{точно} вакуумные средние. Очевидно, что вакуумные средние не равны нулю только для бесспиновых операторов, не являющихся пространственными производными других локальных операторов. Из размерных соображений получаем
\eq$$
\langle\cO_I(x)\rangle=G_I\lambda^{\Delta_I\over1-\Delta_\pert},
\label{VEV-genform}
$$
где $G_I$ "--- безразмерная константа. Поэтому корреляционная функция
\eq$$
\langle\cO_{I_N}(x_N)\cdots\cO_{I_1}(x_1)\rangle
=\sum_{J_1,\ldots,J_{N-1}}C^{J_{N-1}}_{I_NJ_{N-2}}(x_N-x_1)\cdots C^{J_2}_{I_3J_1}(x_3-x_1)C^{J_1}_{I_2I_1}(x_2-x_1)
\langle\cO_{J_{N-1}}\rangle
\label{Npoint-corrfun}
$$
уже не будет целой функцией параметра~$\lambda$. Мы обсудим два примера точных вакуумных средних, где эти средние можно получить известными нам методами. В общем случае вакуумные средние получают на основе эвристических соображений~\cite{LZ,FLZZ}. Но и это еще не вся история. Дело в том, что теория возмущений для структурных функций может содержать \emph{ультрафиолетовые} расходимости, которые следует исключать добавлением к операторам $\cO_I$ операторов меньшей конформной размерности. Перенормированные таким образом операторы мы будем обозначать~$O_I$.

Наша первая задача будет состоять в том, чтобы вычислить матрицу
\eq$$
\cD^I_J=\langle\cO^I(\infty)\cO_J(0)\rangle
\label{cD-def}
$$
по теории возмущений при ненулевых значениях константы связи~$\lambda$. Интегралы теории возмущений могут расходиться на больших и малых масштабах, поэтому будем изучать функцию
\eq$$
\cD^I_J(R,r_0)=\sum^\infty_{n=0}{(-\lambda)^n\over n!}\int_{r_0\le|y_i|\le R}d^2y_1\cdots d^2y_n\,
\langle\cO^I(\infty)\Phi_\pert(y_n)\cdots\Phi_\pert(y_1)\cO_J(0)\rangle_0.
\label{cD-perttheory}
$$
При этом, чтобы интеграл был не нулевым, спины операторов $\cO^I$ и $\cO_J$ должны совпадать:
\eq$$
\Delta_I-\bar\Delta_I=\Delta_J-\bar\Delta_J.
\label{cD-spinconserv}
$$

Давайте сначала рассмотрим член с $n=1$, то есть первый порядок теории возмущений. Для удобства примем $\cO_1=\Phi_\pert$. Под интегралом мы имеем произведение
\eq$$
\Phi_\pert(y_1)\cO_J(0)=\cC^I_{1J}\cO_I(0)|w_1|^{2\Delta_I-2\Delta_1-2\Delta_J}+\cdots,
\label{CFT-pertJ-OPE}
$$
где точки обозначают члены, не дающие вклада в интеграл. То есть
$$
\cD^{(1)}{}^I_J=-\lambda\cC^I_{1J}\int d^2y_1\,|y_1|^{2(\Delta_I-\Delta_1-\Delta_J)}
=-{\pi\lambda\cC^I_{1J}\over2d_{IJ}}
\left(R^{2d_{IJ}}-r_0^{2d_{IJ}}\right),
$$
где
\eq$$
d_{IJ}=\Delta_I-\Delta_J+1-\Delta_1.
\label{dIJ-def}
$$
Интеграл ультрафиолетово расходится, если $d_{IJ}\le0$, то есть
\eq$$
\Delta_I\le\Delta_J-(1-\Delta_1).
\label{DeltaIlim-n=1}
$$
Чтобы он сходился необходимо вычесть из оператора~$\cO_J$ оператор $\cO_I$ с подходящим бесконечным коэффициентом:
\eq$$
O_J(x)=\cO_J(x)-\sum_{I,\ d_{IJ}<0}
{\pi\lambda\cC^I_{1J}\over2d_{IJ}}\cO_K(x)r_0^{2d_{IJ}}+O(\lambda^2).
\label{OJ(1)-renorm}
$$
Тогда вклад нулевого порядка по теории возмущений сократит ультрафиолетовую расходимость в первом порядке и при условии~(\ref{DeltaIlim-n=1}) матрица
\eq$$
D^I_J(R)=\langle\cO^I(\infty)O_J(0)\rangle
=\cD^I_J-{\pi\lambda\cC^I_{1J}\over2d_{IJ}}r_0^{2d_{IJ}}+O(\lambda^2)
=\delta^I_J-{\pi\lambda\cC^I_{1J}\over2d_{IJ}}R^{2d_{IJ}}+O(\lambda^2)
\label{DIJ-n=1}
$$
не будет зависеть от~$r_0$.

В общем случае порядка $n$ теории возмущений условие ультрафиолетовой расходимости имеет вид
\eq$$
\Delta_I\le\Delta_J-n(1-\Delta_1).
\label{DeltaIlim}
$$
Поэтому ультрафиолетовая перенормировка операторы $\cO_J$ имеет вид
\eq$$
O_J(x)=\sum_IU^I_J(r_0)\cO_I(x),
\qquad
U^I_J(r_0)=\delta^I_J+\sum^\infty_{n=1}\lambda^nU^{(n)}{}^I_Jr_0^{2(\Delta_I-\Delta_J+n(1-\Delta_1))},
\label{OJ-def}
$$
причем $U^{(n)}{}^I_J=0$, если не выполняется условие~(\ref{DeltaIlim}). Соответственно, матрица
\eq$$
D^I_J(R)=\langle\cO^I(x)O_J(0)\rangle=\sum_IU^K_J(r_0)\cD^I_K(R,r_0)
\label{DIJ-def}
$$
не зависит от~$r_0$ и может содержать только инфракрасную расходимость, то есть не иметь конечного предела при~$R\to\infty$.

Тонкий момент возникает, если имеется оператор $\cO_I$, удовлетворяющий \emph{условию резонанса}
\eq$$
\Delta_I=\Delta_J-n(1-\Delta_1).
\label{DeltaI-resonance}
$$
В этом случае, как легко видеть на примере первого порядка по теории возмущений ультрафиолетово"=расходящаяся часть пропорциональна $\log r_0$. Отсюда следует, что соответствующий член в~(\ref{OJ-def}) должен быть пропорционален $\log r_0$. Более точно,
\eq$$
O_J=\cO_J-2C\log\mu r_0,
\label{OJ-resonance}
$$
где $C$ "--- некоторая константа, а $\mu$ "--- произвольный параметр размерности массы. Наличие произвольного размерного приводит к неоднозначности определения перенормированного оператора~$O_J$.

Если в теории есть непрерывный параметр, от которого зависят размерности, резонанс может иметь еще один эффект. В точке резонанса оператора $O_J$ с оператором $\cO_I$, корреляционные функции оператора $O_J$ имеют полюс. Выберем параметр так, чтобы в окрестности резонансной точки он совпадал с~$d^{(n)}_{IJ}=\Delta_I-\Delta_J+n(1-\Delta_1)$. Тогда для любой корреляционной функции оператора $O_J$ имеем
\eq$$
\Res_{d^{(n)}_{IJ}=0}\langle O_J(x)X\rangle=C\langle O_I(x)X\rangle
\label{resonance-id}
$$
с некоторой константой~$C$. Перенормированный оператор $O_J$ непосредственно в точке $d^{(n)}_{IJ}=0$ определяется вычитанием этого полюсного члена:
\eq$$
\langle O_J(x)X\rangle_{d^{(n)}_{IJ}=0}=\lim_{d^{(n)}_{IJ}\to0}\left(\langle O_J(x)X\rangle-{C\over d^{(n)}_{IJ}}\langle O_IX\rangle\right).
\label{OJ-resonance-Res}
$$
Ясно что оператор $O'_J=O_J+\alpha O_I$ с некоторым коэффициентом~$\alpha$ ничем не хуже в качестве перенормированной версии оператора~$\cO_J$. Эта неоднозначность соответствует неоднозначности параметра $\mu$ в конструкции~(\ref{OJ-resonance}). Важная роль резонансов состоит в том, что они являются точным пертурбативным эффектом, и резонансные полюсы могут быть использованы в качестве условий бутстрапа при поиске решений эвристическими методами.

Теперь рассмотрим трехточечную функцию
\Multline$$
G^K_{IJ}(x,R)=\langle\cO^K(\infty)O_I(x)O_J(0)\rangle
\\
=\sum^\infty_{n=0}{(-\lambda)^n\over n!}
\int_{|y_i|\le R}d^2y_1\cdots d^2y_n\,\langle\cO^K(\infty)\Phi_\pert(y_n)\cdots\Phi_\pert(y_1)O_I(x)O_J(0)\rangle_0.
\label{PCFT-3p-corrfun}
$$
С другой стороны,
\eq$$
G^K_{IJ}(x,R)=\sum_LC^L_{IJ}(x)\langle\cO^K(\infty)O_L(0)\rangle
=\sumprime_LC^L_{IJ}(x)D^K_L(R).
\label{PCFT-3p-decomp}
$$
Во втором равенстве суммирование по всем операторам заменено на суммирование по квазипримарным оператором, потому что второй множитель под знаком суммы равен нулю, если $O_L$ представляет собой пространственно"=временную производную. Таким образом, структурные константы для квазипримарных операторов находятся как
\eq$$
C^K_{IJ}(x)=(D^{-1})^K_L(R)G^L_{IJ}(x,R).
\label{PCFT-CKIJ}
$$
Важный факт состоит в том, что структурные константы не содержат инфракрасных расходимостей. Проверим это в первом порядке по теории возмущений. Имеем
\Multline$$
G^K_{IJ}(x,R)=\cC^K_{IJ}(x)-\lambda\int_{|x|<|y_1|<R}d^2y_1\,\sumprime_L\cC^K_{1L}\cC^L_{IJ}(x)|y_1|^{2d_{KL}-2}
\\
-\lambda\int_{|y_1|<|x|}d^2y_1\,\sumprime_L\cC^K_{IL}(x)\cC^L_{1J}|y_1|^{2d_{LJ}-2}
+(\text{УФ"=контрчлены})+O(\lambda^2).
\label{GKIJ-n=1-int}
$$
где опущены контрчлены к ультрафиолетово"=расходящейся части. Они сократят ультрафиолетовую расходимость во втором слагаемом, так что учтем с нем только инфракрасно"=расходящуюся часть:
$$
G^K_{IJ}(x,R)=\cC^K_{IJ}(x)
-\pi\lambda\sumprime_L\left({\cC^K_{1L}\cC^L_{IJ}(x)\over2d_{KL}}(R^{2d_{KL}}-|x|^{2d_{KL}})
  +{\cC^K_{IL}(x)\cC^L_{1J}\over2d_{LJ}}|x|^{2d_{LJ}}\right)+O(\lambda^2).
$$
Подставляя это и~(\ref{DIJ-n=1}) в~(\ref{PCFT-CKIJ}), видим, что слагаемое первого порядка в $D^{-1}$ в точности сокращает слагаемое c $R$ в~$G$. Получаем
\Align$$
C^K_{IJ}(x)
&=\cC^K_{IJ}(x)+\pi\lambda\sumprime_L\left({\cC^K_{1L}\cC^L_{IJ}(x)\over2d_{KL}}|x|^{2d_{KL}}
  -{\cC^K_{IL}(x)\cC^L_{1J}\over2d_{LJ}}|x|^{2d_{LJ}}\right)+O(\lambda^2)
\notag
\\
&=z^{d_{K,IJ}}\bz^{\bar d_{K,IJ}}
\left(\cC^K_{IJ}+\pi t\sumprime_L\left({\cC^K_{1L}\cC^L_{IJ}\over2d_{KL}}
    -{\cC^K_{IL}\cC^L_{1J}\over2d_{LJ}}\right)
  +O(t^2)\right),
\qquad
t=\lambda|x|^{2-2\Delta_1}.
\label{CKIJ-n=1}
$$

Итак, мы видим, что структурные константы допускают сходящееся разложение по теории возмущений для перенормированных операторов. Перейдем ко второй составляющей формулы~(\ref{Npoint-corrfun}) "--- вакуумным средним. Прежде всего, нужно определить эту величину. Пусть $\cO_I(x)$ "--- квазипримарный оператор нулевого спина. Рассмотрим корреляционную функцию $\langle O^I(x)O_I(0)\rangle$. На малых масштабах мы можем выделить конформный вклад:
\eq$$
\langle O^I(x)O_I(0)\rangle=|x|^{-4\Delta_I}+\cdots,
\qquad
|x|\to0.
\label{OIOI-smalldist}
$$
То, что мы обозначили точками есть вклад возмущения. Он мал при $|x|\to0$ в унитарной теории, но в неунитарной (как мы убедимся ниже) он может быть не мал. Тем не менее, даже в неунитарном случае его можно выделить по характерной особенности. Рассмотрим теперь большие расстояния. Даже в безмассовой теории, где корреляционные функции на больших масштабах спадают степенным образом, корреляционные функции в конце концов факторизуются:
\eq$$
\langle O^I(x)O_I(0)\rangle\to\langle O^I(x)\rangle\langle O_I(0)\rangle
=\langle O_I(0)\rangle\sumprime_JG^{IJ}\langle O_J(0)\rangle,
\qquad
|x|\to\infty.
\label{OIOI-largedist}
$$
Это уравнение всегда можно решить и найти (с точностью до знака) средние значения~$\langle O_I\rangle$ в виде~(\ref{VEV-genform}).

Одно вакуумное среднее немедленно получается из термодинамического анзаца Бете. Вспомним, что в энергии системы на конечной окружности есть вклад $-\ve_\infty R$ пропорциональный длине системы~$R$. Этот вклад, как мы говорили, связан с вычитанием из полной энергии системы энергии нулевых колебаний при $R=\infty$. Таким образом, мы можем интерпретировать $(-\ve_\infty)$ как перенормированную плотность энергии системы. В эвклидовых компонентах тензора энергии"=импульса
$$
-\ve_\infty=\langle T_{22}\rangle=\langle2T_{z\bz}-T_{zz}-T_{\bz\bz}\rangle=2\langle T_{z\bz}\rangle=-{1\over\pi}\langle\Theta\rangle.
$$
То есть,
\eq$$
\langle\Theta\rangle=\pi\ve_\infty,
\qquad
\langle\Phi_\pert\rangle=-{\ve_\infty\over\lambda(1-\Delta_\pert)}.
\label{Theta-VEV-veinf}
$$
Последнее равенство верно, когда $\Theta$ не содержит вкладов высших порядков теории возмущений.

Другой интересный и важный пример "--- это оператор~$T\bar T$. В конформной теории поля это произведение хорошо определено, но в возмущенной теории оно перенормируется добавлением оператора~$\Theta$. Также оно находится в резонансе с оператором $\d\bd\Theta$, но этот оператор не является квазипримарным и не дает вклада в вакуумное среднее. Вместо того, чтобы аккуратно учитывать перенормировки, рассмотрим комбинацию~\cite{AZ-TbarT}
\eq$$
(T\bar T)_\ve(x)={1\over2}T(x+\ve)\bar T(x)+{1\over2}\bar T(x+\ve)T(x)-\Theta(x+\ve)\Theta(x)
=-{\pi^2\over2}\epsilon^{\mu\kappa}\epsilon^{\nu\lambda}T_{\mu\nu}(x+\ve)T_{\kappa\lambda}(x).
\label{TbarT-ve-def}
$$
Каждое из трех произведений $T\bar T$, $\bar TT$, $\Theta\Theta$ расходится при $\ve\to0$, но расходящаяся часть имеет вид пространственно"=временной производной. В самом деле, нетрудно показать,что
\eq$$
{\d\over\d\ve^\mu}(T\bar T)_\ve(x)=-{\pi^2\over2}\epsilon_{\mu\nu}\epsilon_{\kappa\lambda}\d_\rho(T^{\nu\lambda}(x+\ve)T^{\kappa\rho}(x)).
\label{TbarT-ve-derivs}
$$
Это значит, что $(T\bar T)_\ve$ есть некоторый постоянный (то есть, не зависящий от~$\ve$) оператор плюс полная дивергенция:
\eq$$
(T\bar T)_\ve(x)=(T\bar T)(x)+\d_\mu J^\mu_\ve(x).
\label{TbarT-def}
$$
Это определяет конечный оператор $T\bar T$ с точностью до пространственно"=временных производных. В тоже время из (\ref{TbarT-ve-derivs}) немедленно следует, что вакуумное среднее $\langle(T\bar T)_\ve\rangle$ не зависит от~$\ve$:
\eq$$
{\d\over\d\ve^\mu}\langle(T\bar T)_\ve(x)\rangle=0.
\label{TbarT-VEV-veindep}
$$
Отсюда получаем
\eq$$
\langle T\bar T\rangle=\langle(T\bar T)_\ve(x)\rangle\mathrel{\mathop=_{\ve\to\infty}}-\langle\Theta\rangle^2.
\label{TbarT-VEV}
$$
Мы учли, что $\langle T\rangle=\langle\bar T\rangle=0$, поскольку это операторы ненулевого спина.

Все остальные известные вакуумные средние найдены эвристическими методами. Несмотря на это они хорошо проверены и считаются точными. Приведем один пример. Для экспоненциальных операторов в модели синус"=Гордона имеется формула~\cite{LZ}:
\eq$$
\langle e^{i\alpha\phi}\rangle
=M^{\alpha^2}
\exp\int^\infty_0{dt\over t}\left({\sh^2(\alpha\sqrt{2p(p+1)}t)\over2\sh t\sh pt\sh(p+1)t}-\alpha^2e^{-2(p+1)t}\right).
\label{SG-VEV-exp}
$$
Эта интегральная формула верна и для модели sh"=Гордона, хотя функция и не продолжается в область $\beta^2<0$ аналитически. Параметр $M$ связан с массой $m$ солитона или с параметром взаимодействия $\mu$ формулой
\eq$$
M={\sqrt\pi\over2}{\Gamma\left(1+p\over2\right)\over\Gamma\left(p\over2\right)}m
=\left({\pi\over2}{\Gamma\left(1\over p+1\right)\over\Gamma\left(p\over p+1\right)}\mu\right)^{p+1\over2}.
\label{SG-mu-m-relation}
$$
Связь между~$m$ и~$\mu$ была найдена в~\cite{AlZ-mass} методом термодинамического анзаца Бете. Для примарных операторов минимальных конформных моделей тоже известна формула~\cite{FLZZ}, но я ее приводить не буду. Замечу только, что в $\Phi_{13}$"=возмущенной модели $M(P,P')$ есть $P-1$ вакуумов, и вакуумное среднее зависит от вакуума $s$ согласно
\eq$$
\langle\Phi_{mn}\rangle_s={\sin{\pi s\over P}|P'm-Pn|\over\sin{\pi s\over P}(P'-P)}Q_{mn}(P,P'),
\qquad
s=1,\ldots,P-1,
\label{Phimn-VEV}
$$
где $Q_{mn}(P,Q)$ несложно выражается через~(\ref{SG-VEV-exp}).

В качестве простого примера вычисления корреляционной функции методом конформной теории возмущений рассмотрим модель Ли"--~Янга. В ней имеется всего два примарных оператора $\Phi_{11}=1$ и $\Phi_{12}=\cO_1=\varphi$ размерности $-{1\over5}$. Для модели Ли"--~Янга известно, что массивной теории отвечает мнимая константа связи $\lambda=ih$, причем масса связана с константой связи согласно~\cite{AlZamolodchikov,AlZ-mass}
\eq$$
h=\alpha m^{12/5},
\qquad
\alpha=0.0970\ldots
\label{LY-hm-rel}
$$
Нас будет интересовать парная корреляционная функция $G(x)=\langle\varphi(x)\varphi(0)\rangle$. В конформной теории поля для оператора $\varphi(x)$ имеется разложение
\eq$$
\varphi(x)\varphi(0)=|x|^{4/5}\left(1+{|x|^4\over121}T\bar T(0)+O(|x|^12)\right)
+|x|^{2/5}\cC^\varphi_{\varphi\varphi}\left(\varphi(0)+O(|x|^8)\right).
\label{LY-CFT-vphi-OPE}
$$
Структурная константа $\cC^\varphi_{\varphi\varphi}$ равна
\eq$$
\cC^\varphi_{\varphi\varphi}=i\kappa={i\over2}\gamma^{3/2}\left(1\over5\right)\gamma^{1/2}\left(2\over5\right),
\qquad
\gamma(x)={\Gamma(x)\over\Gamma(1-x)}.
\label{LY-cCppp}
$$
Интересующие нас вакуумные средние равны
\eq$$
\langle\varphi\rangle={5im^2\over24\sqrt3},
\qquad
\langle T\bar T\rangle=-{\pi^2m^4\over48}.
\label{LY-VEVs}
$$
Соответственно,
\eq$$
G(x)=C^1_{\varphi\varphi}(x)+{5im^2\over24\sqrt3}C^\varphi_{\varphi\varphi}(x)-{\pi^2m^4\over48}C^{T\bar T}_{\varphi\varphi}(x)+\cdots.
\label{LY-ppcorr-genform}
$$
Обратим внимание, что при малых значениях $|x|$ второй член пропорционален $|x|^{2/5}$, в то время как первый "--- $|x|^{4/5}$. Это значит, что при любых ненулевых значениях константы связи $h$ ультрафиолетовое поведение определяется возмущением, а не конформной теорией поля. Это явление "--- следствие отрицательной размерности поля~$\varphi(x)$.

Структурные функции выражаются в виде~(\ref{CKIJ-n=1}), но проще прямо вычислить интеграл и вычесть из него инфракрасно расходящуюся часть. В случае $C^1_{\varphi\varphi}(x)$ это можно сделать аналитически и получить
\eq$$
C^1_{\varphi\varphi}(x)=|x|^{4/5}+\kappa h{\pi\gamma^2(1/5)\over14^2\gamma(2/5)}|x|^{16/5}+O(|x|^{28/5})
=|x|^{4/5}\left(1+0.0310\ldots\times(m|x|)^{12/5}+O(|x|^{24/5})\right).
\label{LY-C1pp-fin}
$$
В случае $C^\varphi_{\varphi\varphi}$ интеграл приходится брать численно и численно же исключать инфракрасную расходимость. Ответ имеет вид
\eq$$
C^\varphi_{\varphi\varphi}(r)=i\kappa|x|^{2/5}\left(1+0.0212\ldots\times(mr)^{12/5}+O(|x|^{24/5})\right).
\label{LY-Cppp-fin}
$$

\bigbreak
\bigskip
\centerline{\bf Задачи}
\medskip

\begin{asparaenum}[\bf1.]

\item Покажите, что в~(\ref{GKIJ-n=1-int}) контрчлены из~(\ref{OJ(1)-renorm}) действительно сокращают ультрафиолетовые расходимости. (Не забудьте, что ультрафиолетовые расходимости есть и вблизи точки $y_1=x$, но они «спрятаны» в суммирование по~$L$.)

\item Оцените ультрафиолетовые расходимости в $n$том порядке теории возмущений и покажите, что неравенство~(\ref{DeltaIlim}) является условием наличия ультрафиолетовой расходимости.

\item Выведите~(\ref{TbarT-ve-derivs}).

\item Рассмотрим модель синус"=Гордона как возмущение свободного безмассового бозона. Покажите, в какой области значений $\alpha$ экспоненциальные операторы $e^{i\alpha\varphi}$ не требуют перенормировки в конформной теории возмущений.

\starenumi
\item Используя технику, известную вам из конформной теории поля, вычислите интеграл
$$
I(a,b;x)=\int d^2y\,|y|^{2a}|y-x|^{2b}
$$
в области его сходимости. Аналитическим продолжением найдите член первого порядка в структурной функции $C^1_{\varphi\varphi}(x)$ теории Ли"--~Янга.

\end{asparaenum}