% !TeX spellcheck = ru_RU
% !TeX encoding = UTF-8
\section{\texorpdfstring{Точные формфакторы квазилокальных операторов}{Tochnye formfaktory kvazilokalnyx operatorov}}
\label{lec-FF}
\setcounter{page}1

Вернемся к алгебре Фаддеева"--~Замолодчикова. Напомним, что операторы $V_\alpha(\theta)$ определены на двух прямых
\eq$$
\theta_i\in\cCrr\equiv\R\cup(\R-i\pi)
\label{cC-twolines-rep}
$$
и удовлетворяю соотношению
\Multline$$
V^{\alpha_1}(\theta_1)V^{\alpha_2}(\theta_2)
-\sum_{\alpha'_1\alpha'_2}S(\theta_1-\theta_2)^{\alpha_1}_{\alpha'_1}{}^{\alpha_2}_{\alpha'_2}V^{\alpha'_2}(\theta_2)V^{\alpha'_1}(\theta_1)
=2\pi C^{\alpha_1\alpha_2}\delta(\theta_1-\theta_2-i\pi)
\\
-2\pi\sum_{\alpha'_1,\alpha'_2}C^{\alpha'_1\alpha'_2}S(-i\pi)^{\alpha_2\alpha_1}_{\alpha'_2\alpha'_1}\delta(\theta_1-\theta_2+i\pi),
\label{VV-unif-commut-rep}
$$
При этом операторы на верхней прямой можно интерпретировать как операторы уничтожения, а операторы на нижней прямой "--- как операторы рождения:
\eq$$
V^+_\alpha(\theta)=\sum_\beta C_{\alpha\beta}V^\beta(\theta-i\pi).
\label{V+-V-rel-rep}
$$
Можно естественным способом определить нормальное упорядочение:
\eq$$
\Gathered{
\lcolon X\rcolon=X,
\text{ если }
X=V^+_{\beta_1}(\vartheta_1)\cdots V^+_{\beta_L}(\vartheta_L)V^{\alpha_K}(\theta_K)\cdots V^{\alpha_1}(\theta_1),
\quad
\theta_i,\vartheta_j\in\R;
\\
\lcolon XV^{\alpha_1}(\theta_1)V^{\alpha_2}(\theta_2)Y\rcolon
=\sum_{\alpha'_1\alpha'_2}S^{\alpha_1\alpha_2}_{\alpha'_1\alpha'_2}(\theta_1-\theta_2)
\lcolon XV^{\alpha'_2}(\theta_2)V^{\alpha'_1}(\theta_1)Y\rcolon.
}\label{VV-normorder}
$$
В случаях, когда $S(\theta)=\pm1$, алгебра Фаддеева"--~Замолодчикова сводится к алгебре бозонных или фермионных операторов, описывающих систему свободных бозонов или фермионов соответственно.

Давайте определим оператор
\eq$$
O(x)=\sum^\infty_{n=0}{1\over n!}\sum_{\{\alpha_i\}}\prod^n_{i=1}\int_\cCrr{d\theta_i\over2\pi}\,
e^{-ix\sum^n_{i=1}P_{\alpha_i}(\theta_i)}
F_O(\theta_1,\ldots,\theta_n)_{\alpha_1\ldots\alpha_n}\lcolon V^{\alpha_n}(\theta_n)\cdots V^{\alpha_1}(\theta_1)\rcolon,
\label{O-ffdecomp}
$$
заданный бесконечным набором мероморфных функций $F_O(\theta_1,\ldots,\theta_N)$ комплексных переменных~$\theta_i$, называемых \emph{формфакторами} оператора~$O$. Здесь
$$
P^0_\alpha(\theta)=m_\alpha\ch\theta,
\qquad
P^1_\alpha(\theta)=m_\alpha\sh\theta.
$$
Сходимость интегралов в мнимом времени требует, чтобы формфакторы росли медленнее, чем $e^{\tau e^\theta}$ с любым положительным~$\tau$.

Очевидно, эти операторы являются трансляционно"=инвариантными в следующем смысле
\eq$$
i\d_\mu O(x)=[O(x),P_\mu],
\label{O-translinv}
$$
где $P_\mu$ "--- оператор импульса. Так как $P_0=H$ является гамильтонианом, оператор $O(x)$ является решением уравнения Гайзенберга. Легко видеть, что на вещественной оси функции $F_O$ являются матричными элементами вида
\eq$$
\langle\vac|O(x)|\theta_1,\ldots,\theta_n\rangle_{\alpha_1\ldots\alpha_n}
=e^{-ix\sum^n_{i=1}P_{\alpha_i}(\theta_i)}F_O(\theta_1,\ldots,\theta_n)_{\alpha_1\ldots\alpha_n},
\qquad
\theta_1>\cdots>\theta_n.
\label{O-vac-matel}
$$
Более общо,
\Multline$$
{}_{\beta_1\ldots\beta_{n'}}\langle\vartheta_1,\ldots,\vartheta_{n'}|O(x)|\theta_1,\ldots,\theta_n\rangle_{\alpha_1\ldots\alpha_n}
=\sum_{\{\beta'_i\}}e^{-ix\sum^n_{i=1}P_{\alpha_i}(\theta_i)+ix\sum^{n'}_{i=1}P_{\beta_i}(\vartheta_i)}
\prod^{n'}_{i=1}C_{\beta_i\beta'_i}
\\
\times
F_O(\theta_1-i0,\ldots,\theta_n-i0,\vartheta_{n'}-i\pi+i0,\ldots,\vartheta_1-i\pi+i0)_{\alpha_1\ldots\alpha_n\beta'_{n'}\ldots\beta'_1},
\label{O-matel}
$$
если $\theta_1>\ldots>\theta_n$, $\vartheta_1>\ldots>\vartheta_{n'}$. Обратим внимание, что функции $F_O$ совпадают с матричными элементами только в точках, где все $\theta_i$ различны. Там, где они совпадают, в матричных элементах возникают контактные члены, которые легко извлекаются из определения~(\ref{O-ffdecomp}). Бесконечно"=малые добавки будет пояснены позже.

Графически это равенство можно изобразить так:
$$
\tikz[baseline=-2pt]{
% lower legs
  \coordinate (t) at (-2.5,-2.5); \coordinate (tar) at ($(t)!.3!(0,0)$);
  \draw[->] (t) node[below] {$\theta_1$} -- (tar) node[left] {$\alpha_1\,$}; \draw[-] (tar) -- (0,0);
  \coordinate (t) at (-1,-2.5); \coordinate (tar) at ($(t)!.3!(0,0)$);
  \draw[->] (t) node[below] {$\theta_2$} -- (tar) node[left] {$\alpha_2$}; \draw[-] (tar) -- (0,0);
  \coordinate (t) at (0,-2.5); \coordinate (tar) at ($(t)!.3!(0,0)$);
  \draw[->] (t) node[below] {$\>\theta_3$} -- (tar) node[left] {$\alpha_3$}; \draw[-] (tar) -- (0,0);
  \node at (1,-2.5) {$\cdots$};
  \coordinate (t) at (2,-2.5); \coordinate (tar) at ($(t)!.3!(0,0)$);
  \draw[->] (t) node[below] {$\>\>\theta_n$} -- (tar) node[left] {$\alpha_n$}; \draw[-] (tar) -- (0,0);
% upper legs
  \coordinate (t) at (1.5,2.5); \coordinate (tar) at ($(0,0)!.7!(t)$);
  \draw[->] (0,0) -- (tar) node[right] {$\beta_1$}; \draw[-] (tar) -- (t) node[above] {$\>\vartheta_1$};
  \coordinate (t) at (.5,2.5); \coordinate (tar) at ($(0,0)!.7!(t)$);
  \draw[->] (0,0) -- (tar) node[right] {$\beta_2$}; \draw[-] (tar) -- (t) node[above] {$\vartheta_2$};
  \node at (-.5,2.5) {$\cdots$};
  \coordinate (t) at (-1.6,2.5); \coordinate (tar) at ($(0,0)!.7!(t)$);
  \draw[->] (0,0) -- (tar) node[right] {$\>\beta_{n'}$}; \draw[-] (tar) -- (t) node[above] {$\vartheta_{n'}$};
% circle
  \draw[thick,fill=lightgray!30] (0,0) node {$O(x)$} circle (.5cm);
}
\quad=\quad
\tikz[baseline=-2pt]{
% lower legs
  \coordinate (t) at (-2.5,-2.5); \coordinate (tar) at ($(t)!.3!(0,0)$);
  \draw[->] (t) node[below] {$\theta_1$} -- (tar) node[left] {$\alpha_1\,$}; \draw[-] (tar) -- (0,0);
  \coordinate (t) at (-1,-2.5); \coordinate (tar) at ($(t)!.3!(0,0)$);
  \draw[->] (t) node[below] {$\theta_2$} -- (tar) node[left] {$\alpha_2$}; \draw[-] (tar) -- (0,0);
  \coordinate (t) at (0,-2.5); \coordinate (tar) at ($(t)!.3!(0,0)$);
  \draw[->] (t) node[below] {$\>\theta_3$} -- (tar) node[left] {$\alpha_3$}; \draw[-] (tar) -- (0,0);
  \node at (1,-2.5) {$\cdots$};
  \coordinate (t) at (2,-2.5); \coordinate (tar) at ($(t)!.3!(0,0)$);
  \draw[->] (t) node[below] {$\>\>\theta_n$} -- (tar) node[left] {$\alpha_n$}; \draw[-] (tar) -- (0,0);
% upper legs
  \coordinate (t) at (1.5,2.5); \coordinate (tar) at ($(0,0)!.7!(t)$);
  \draw[-] (0,0) -- (tar) node[right] {$\bar\beta_1$}; \draw[<-] (tar) -- (t) node[above right] {$\vartheta_1-i\pi$};
  \coordinate (t) at (.5,2.5); \coordinate (tar) at ($(0,0)!.7!(t)$);
  \draw[-] (0,0) -- (tar) node[right] {$\bar\beta_2$}; \draw[<-] (tar) -- (t) node[above] {$\vartheta_2-i\pi$};
  \node at (-.5,2.5) {$\cdots$};
  \coordinate (t) at (-1.6,2.5); \coordinate (tar) at ($(0,0)!.7!(t)$);
  \draw[-] (0,0) -- (tar) node[right] {$\>\bar\beta_{n'}$}; \draw[<-] (tar) -- (t) node[above left] {$\vartheta_{n'}-i\pi$};
% circle
  \draw[thick,fill=lightgray!30] (0,0) node {$O(x)$} circle (.5cm);
}
$$

Представление оператора в виде разложения по произведениям $V_\alpha(\theta)$ позволяет найти выражения для корреляционных функций в виде \emph{спектральных разложений}. Для двухточечной корреляционной функции, например, имеем
\Multline$$
\langle O_1(x)O_2(0)\rangle
=\sum^\infty_{n=0}{1\over n!}\sum_{\{\alpha_i\},\{\alpha'_i\}}\int_\R{d^n\theta\over(2\pi)^n}\,
e^{-ix\sum^n_{i=1}P_{\alpha_i}(\theta_i)}\prod^n_{i=1}C^{\alpha_i\alpha'_i}
\\
\times
F_{O_1}(\theta_1,\ldots,\theta_n)_{\alpha_1\ldots\alpha_n}F_{O_2}(\theta_n-i\pi,\ldots,\theta_1-i\pi)_{\alpha'_n\ldots\alpha'_1}.
\label{2point-corrfun-spectral}
$$
Эта формула получается либо коммутацией операторов $V_\alpha(\theta)$, либо вставкой разложения единицы по собственным векторам. В последнем случае экспоненциальный множитель от суммы импульсов имеет смысл собственного значения оператора эволюции. Ясно, что эта формула позволяет эффективно вычислять корреляционные функции, только когда ряд убывает. Это верно для больших расстояний между операторами. Действительно, рассмотрим операторы, разделенные мнимым временем~$\tau$. Тогда множитель
$$
\left|e^{-ix\sum^n_{i=1}P_{\alpha_i}(\theta_i)}\right|=e^{-\tau\sum_im_{\alpha_i}\ch\theta_i}\le e^{-\tau\sum_im_{\alpha_i}}
$$
экспоненциально быстро убывает с числом частиц, причем тем быстрее, чем больше~$\tau$.

Из равенства~(\ref{O-matel}) немедленно следует условие эрмитовости оператора~$O$:
\Multline$$
O^+(x)=O(x)
\quad\Leftrightarrow
\\
\left(F_O(\theta_1,\ldots,\theta_n)_{\alpha_1\ldots\alpha_n}\right)^*
=\sum_{\{\alpha'_i\}}\prod^{n'}_{i=1}C_{\alpha_i\alpha'_i}\cdot F_O(\theta_n-i\pi,\ldots,\theta_1-i\pi)_{\alpha'_n\ldots\alpha'_1}
\quad(\forall n\in\Z_{\ge0},\ \theta_i\in\R).
\label{O-hermitian}
$$

Оператор $O(x)$, определенный в~(\ref{O-ffdecomp}), является трансляционно"=инвариантным, но для функций $F_O$ общего вида он не является локальным. Давайте попробуем наложить условия, которые обеспечили бы в каком"=то смысле его локальность. Прежде всего, заметим, что мы можем понимать формулу~(\ref{O-matel}) как результат применения кроссинг"=симметрии к формуле~(\ref{O-vac-matel}). Давайте потребуем, чтобы двукратное применение кроссинг"=симметрии переводило бы формфактор в себя. Постулируем \emph{циклическое свойство}:
\eq$$
F_O(\theta_1,\theta_2,\ldots,\theta_n)_{\alpha_1\alpha_2\ldots\alpha_n}
=\sum_{\alpha'_1}\Omega^{\alpha'_1}_{\alpha_1}(O)F_O(\theta_2,\ldots,\theta_n,\theta_1-2\pi i)_{\alpha_2\ldots\alpha_n\alpha'_1}.
\label{FO-cyclic}
$$
Здесь $\Omega(O)$ "--- некоторая постоянная матрица, смысл которой мы проясним позднее. По кинематическим соображениям мы потребуем, чтобы матрица имела ненулевые матричные элементы только для частиц одинаковой массы. Важно, что при двукратном применении кроссинг"=симметрии мы переместили быстроту~$\theta_n$ из последней позиции в первую:
$$
\tikz[baseline=-2pt]{
% lower legs
  \coordinate (t) at (-2.5,-2.5); \coordinate (tar) at ($(t)!.3!(0,0)$);
  \draw[->] (t) node[below] {$\theta_1$} -- (tar) node[left] {$\alpha_1\,$}; \draw[-] (tar) -- (0,0);
  \coordinate (t) at (-1,-2.5); \coordinate (tar) at ($(t)!.3!(0,0)$);
  \draw[->] (t) node[below] {$\theta_2$} -- (tar) node[left] {$\alpha_2$}; \draw[-] (tar) -- (0,0);
  \node at (-.2,-2.5) {$\cdots$};
  \coordinate (t) at (.6,-2.5); \coordinate (tar) at ($(t)!.3!(0,0)$);
  \draw[->] (t) node[below] {$\ \theta_{n-1}$} -- (tar) node[left] {$\alpha_{n-1}\!\!$}; \draw[-] (tar) -- (0,0);
  \coordinate (t) at (1.6,-2.5); \coordinate (tar) at ($(t)!.3!(0,0)$);
  \draw[->] (t) node[below] {$\ \theta_n$} -- (tar) node[right] {$\alpha_n$}; \draw[-] (tar) -- (0,0);
% circle
  \draw[thick,fill=lightgray!30] (0,0) node {$O(x)$} circle (.5cm);
}
\quad=\quad
\tikz[baseline=-2pt]{
% lower legs
  \coordinate (t) at (3,-2.5); \coordinate (tar) at ($(t)!.3!(0,0)$);
    \coordinate (Omega) at ($(t)!.45!(0,0)$); \coordinate (t1ar) at ($(t)!.7!(0,0)$);
  \draw[->] (t) node[below] {$\theta_1-2\pi i$} -- (tar) node[right] {$\>\alpha_1$};
    \draw[->] (tar) -- (Omega) node[cross,rotate=50.2] {} node [above right] {$\Omega$} -- (t1ar); \draw[-] (t1ar) -- (0,0);
  \coordinate (t) at (-1,-2.5); \coordinate (tar) at ($(t)!.3!(0,0)$);
  \draw[->] (t) node[below] {$\theta_2$} -- (tar) node[left] {$\alpha_2$}; \draw[-] (tar) -- (0,0);
  \node at (-.2,-2.5) {$\cdots$};
  \coordinate (t) at (.6,-2.5); \coordinate (tar) at ($(t)!.3!(0,0)$);
  \draw[->] (t) node[below] {$\ \theta_{n-1}$} -- (tar) node[left] {$\alpha_{n-1}\!\!$}; \draw[-] (tar) -- (0,0);
  \coordinate (t) at (1.6,-2.5); \coordinate (tar) at ($(t)!.3!(0,0)$);
  \draw[->] (t) node[below] {$\theta_n$} -- (tar) node[right] {$\alpha_n$}; \draw[-] (tar) -- (0,0);
% circle
  \draw[thick,fill=lightgray!30] (0,0) node {$O(x)$} circle (.5cm);
}
$$

Далее, определим \emph{лоренцев спин} $s_O$ оператора $O(x)$ следующим свойством:
\eq$$
F_O(\theta_1+\lambda,\ldots,\theta_n+\lambda)_{\alpha_1\ldots\alpha_n}
=e^{s_O\lambda}F_O(\theta_1,\ldots,\theta_n)_{\alpha_1\ldots\alpha_n}
\label{FO-spin}
$$
Давайте теперь фиксируем аналитические свойства формфакторов, согласовав их с аналитическими свойствами волновой функции, заданными в лекции~\ref{lec-IMs}, то есть потребовав, чтобы за пределами домена, определенного в~(\ref{O-vac-matel}), сама формула оставалась верной. Именно, потребуем выполнения \emph{перестановочного свойства}:
\eq$$
F_O(\ldots,\theta_i,\theta_{i+1},\ldots)_{\ldots\alpha_i\alpha_{i+1}\ldots}
=\sum_{\alpha'_i\alpha'_{i+1}}S(\theta_i-\theta_{i+1})^{\alpha'_i\alpha'_{i+1}}_{\alpha_i\alpha_{i+1}}
F_O(\ldots,\theta_{i+1},\theta_i,\ldots)_{\ldots\alpha'_{i+1}\alpha'_i\ldots}.
\label{FO-trasnposition}
$$
Это требование эквивалентно требованию, чтобы подынтегральное выражение в~(\ref{O-ffdecomp}) было симметрично по отношению к перестановкам $(\theta_i,\alpha_i)\leftrightarrow(\theta_j,\alpha_j)$. Графически уравнение~(\ref{FO-trasnposition}) представляется так (суммирование по индексам на внутренних линиях здесь и ниже подразумевается):
$$
\tikz[baseline=-2pt]{
% lower legs
  \coordinate (t) at (-1.6,-2.5); \coordinate (tar) at ($(t)!.3!(0,0)$);
  \draw[->] (t) node[below] {$\theta_1$} -- (tar) node[left] {$\alpha_1\,$}; \draw[-] (tar) -- (0,0);
  \node at (-.9,-2.5) {$\cdots$};
  \coordinate (t) at (-.2,-2.5); \coordinate (tar) at ($(t)!.3!(0,0)$);
  \draw[->] (t) node[below] {$\theta_i$} -- (tar) node[left] {$\alpha_i$}; \draw[-] (tar) -- (0,0);
  \coordinate (t) at (.6,-2.5); \coordinate (tar) at ($(t)!.3!(0,0)$);
  \draw[->] (t) node[below] {$\ \ \theta_{i+1}$} -- (tar) node[right] {$\alpha_{i+1}$}; \draw[-] (tar) -- (0,0);
  \node at (1.6,-2.5) {$\cdots$};
  \coordinate (t) at (2.6,-2.5); \coordinate (tar) at ($(t)!.3!(0,0)$);
  \draw[->] (t) node[below] {$\ \theta_n$} -- (tar) node[right] {$\alpha_n$}; \draw[-] (tar) -- (0,0);
% circle
  \draw[thick,fill=lightgray!30] (0,0) node {$O(x)$} circle (.5cm);
}
\quad=\quad
\tikz[baseline=-2pt]{
% lower legs
  \coordinate (t) at (-1.6,-2.5); \coordinate (tar) at ($(t)!.3!(0,0)$);
  \draw[->] (t) node[below] {$\theta_1$} -- (tar) node[left] {$\alpha_1\,$}; \draw[-] (tar) -- (0,0);
  \node at (-.9,-2.5) {$\cdots$};
  \coordinate (t1) at (-.2,-2.5); \coordinate (t2ar) at ($(t1)!.6!(0,0)$);
  \coordinate (t2) at (.6,-2.5); \coordinate (t1ar) at ($(t2)!.6!(0,0)$);
  \draw[->] (t1) node[below] {$\theta_i$} node[above left] {$\alpha_i\!\!$} .. controls ($(t1)!.3!(0,0)$) and ($(t2)!.3!(0,0)$) .. (t1ar);
    \draw[-] (t1ar) -- (0,0);
  \draw[->] (t2) node[below] {$\ \ \theta_{i+1}$} node[above right] {$\!\!\alpha_{i+1}$} .. controls ($(t2)!.3!(0,0)$) and ($(t1)!.3!(0,0)$) .. (t2ar);
    \draw[-] (t2ar) -- (0,0);
  \node at (1.6,-2.5) {$\cdots$};
  \coordinate (t) at (2.6,-2.5); \coordinate (tar) at ($(t)!.3!(0,0)$);
  \draw[->] (t) node[below] {$\ \theta_n$} -- (tar) node[right] {$\alpha_n$}; \draw[-] (tar) -- (0,0);
% circle
  \draw[thick,fill=lightgray!30] (0,0) node {$O(x)$} circle (.5cm);
}
$$

Требования (\ref{FO-cyclic})--(\ref{FO-trasnposition}) описывают свойства функций $F_O$ при фиксированном числе частиц каждого сорта (каждого значения массы). В то же время, ясно, что проверка взаимной локальности двух операторов требует коммутации каждой пары компонент в разложениях~(\ref{O-ffdecomp}). Было бы странно, если бы коммутативности можно было достичь почленно.

Постулируем два свойства, связывающих формфакторы с различными числами частиц. Положим, что на физическом листе $0\le\Im(\theta_i-\theta_{i+1})\le\pi$ из особенностей имеются только простые полюсы двух типов. Первый тип полюсов, \emph{кинематические полюсы}, расположены в точках $\theta_i-\theta_{i+1}=i\pi$ и имеют вычеты, определяемые уравнением
\Multline$$
\Res_{\vartheta'=\vartheta}F_O(\vartheta'+i\pi,\vartheta,\theta_1,\ldots,\theta_n)_{\beta'\beta\alpha_1\ldots\alpha_n}=
\\*
=i\sum_{\beta'',\{\alpha'_i\}}C_{\beta'\beta''}\left(\delta^{\beta''}_\beta\delta^{\alpha'}_\alpha
  -\sum_{\{\gamma_i\}}\Omega^{\beta''}_{\gamma_n}(O)\delta^{\gamma_0}_\beta
  \prod^n_{i=1}S(\vartheta-\theta_i)^{\gamma_i}_{\gamma_{i-1}}{}^{\alpha'_i}_{\alpha_i}\right)
F_O(\theta_1,\ldots,\theta_n)_{\alpha'_1\ldots\alpha'_n}.
\label{FO-kinpole}
$$
Графически это уравнение записывается так:
$$
\tikz[baseline=-2pt]{
% lower legs
  \coordinate (t) at (-2.5,-4); \coordinate (tar) at ($(t)!.2!(0,0)$);
    \coordinate (t2ar) at ($(t)!1.2!(0,0)$); \coordinate (tfin) at ($(t)!1.25!(0,0)$);
  \draw[->] (t) node[below] {$\vartheta$} -- (tar) node[left] {$\beta\,$};
    \draw[->] (tar) -- (t2ar); \draw[-] (t2ar) node[left] {$\bar\beta'$} -- (tfin) node[above] {$\vartheta'$};
  \coordinate (t) at (-.2,-4); \coordinate (tar) at ($(t)!.2!(0,0)$);
  \draw[->] (t) node[below] {$\theta_1$} -- (tar) node[left] {$\alpha_1$}; \draw[-] (tar) -- (0,0);
  \coordinate (t) at (.6,-4); \coordinate (tar) at ($(t)!.2!(0,0)$);
  \draw[->] (t) node[below] {$\>\theta_2$} -- (tar) node[left] {$\alpha_2$}; \draw[-] (tar) -- (0,0);
  \node at (1.4,-4) {$\cdots$};
  \coordinate (t) at (2.2,-4); \coordinate (tar) at ($(t)!.2!(0,0)$);
  \draw[->] (t) node[below] {$\>\>\theta_n$} -- (tar) node[right] {$\alpha_n$}; \draw[-] (tar) -- (0,0);
% circle
  \draw[thick,fill=lightgray!30] (0,0) node {$O(x)$} circle (.5cm); \node at (-1.2,0) {$-i\Res\limits_{\vartheta'=\vartheta}$};
}
=
\tikz[baseline=-2pt]{
% lower legs
  \coordinate (t) at (-3.5,-4); \coordinate (tar) at ($(t)!.2!(-1,0)$); \coordinate (t1ar) at ($(t)!.63!(-1,0)$);
    \coordinate (t2ar) at ($(t)!1.2!(-1,0)$); \coordinate (tfin) at ($(t)!1.25!(-1,0)$);
  \draw[-] (t) node[below] {$\vartheta$} -- (tar) node[left] {$\beta\,$}; \draw[->] (tar) -- (t1ar);
    \draw[-] (t1ar) -- (t2ar); \draw[-] (t2ar) node[left] {$\bar\beta'$} -- (tfin) node[above] {$\vartheta'$};
  \coordinate (t) at (-.2,-4); \coordinate (tar) at ($(t)!.2!(0,0)$);
  \draw[->] (t) node[below] {$\theta_1$} -- (tar) node[left] {$\alpha_1$}; \draw[-] (tar) -- (0,0);
  \coordinate (t) at (.6,-4); \coordinate (tar) at ($(t)!.2!(0,0)$);
  \draw[->] (t) node[below] {$\>\theta_2$} -- (tar) node[left] {$\alpha_2$}; \draw[-] (tar) -- (0,0);
  \node at (1.4,-4) {$\cdots$};
  \coordinate (t) at (2.2,-4); \coordinate (tar) at ($(t)!.2!(0,0)$);
  \draw[->] (t) node[below] {$\>\>\theta_n$} -- (tar) node[right] {$\alpha_n$}; \draw[-] (tar) -- (0,0);
% circle
  \draw[thick,fill=lightgray!30] (0,0) node {$O(x)$} circle (.5cm);
}
\kern -1em-\quad
\tikz[baseline=-2pt]{
% lower legs
  \coordinate (t) at (-1.5,-4); \coordinate (tar) at ($(t)!.2!(1,0)$); \coordinate (Omega) at($(t)!1.05!(1,0)$);
    \coordinate (t2ar) at ($(t)!1.2!(1,0)$); \coordinate (tfin) at ($(t)!1.25!(1,0)$);
  \draw[->] (t) node[below] {$\vartheta$} -- (tar) node[left] {$\beta\,$};
    \draw[->] (tar) -- (Omega) node[cross,rotate=58] {} node[right] {$\Omega$} -- (t2ar);
    \draw[-] (t2ar) node[left] {$\bar\beta'$} -- (tfin) node[above] {$\vartheta'$};
  \coordinate (t) at (-.2,-4); \coordinate (tar) at ($(t)!.2!(0,0)$);
  \draw[->] (t) node[below] {$\theta_1$} -- (tar) node[left] {$\alpha_1$}; \draw[-] (tar) -- (0,0);
  \coordinate (t) at (.6,-4); \coordinate (tar) at ($(t)!.2!(0,0)$);
  \draw[->] (t) node[below] {$\>\theta_2$} -- (tar) node[left] {$\alpha_2$}; \draw[-] (tar) -- (0,0);
  \node at (1.4,-4) {$\cdots$};
  \coordinate (t) at (2.2,-4); \coordinate (tar) at ($(t)!.2!(0,0)$);
  \draw[->] (t) node[below] {$\>\>\theta_n$} -- (tar) node[right] {$\alpha_n$}; \draw[-] (tar) -- (0,0);
% circle
  \draw[thick,fill=lightgray!30] (0,0) node {$O(x)$} circle (.5cm);
}
$$
Вместе с уравнением~(\ref{FO-trasnposition}) это уравнение задает все кинематические полюсы.

В левой части мы можем перенести частицу с быстротой $\vartheta'+i\pi$ из первой позиции в последнюю, используя циклическое свойство (при этом ее быстрота станет равной $\vartheta'-i\pi$), а затем, используя перестановочное свойство протащить ее на вторую позицию. Тогда первое и второе слагаемое в правой части поменяются местами. Для самосогласованности следует потребовать, чтобы
\eq$$
\sum_{\alpha,\beta}C_{\alpha\beta}\Omega^\alpha_{\alpha'}(O)\Omega^\beta_{\beta'}(O)=C_{\alpha'\beta'}.
\label{COmega-rel}
$$
Всегда можно выбрать базис из нескольких нейтральных и нескольких заряженных частиц. В нем матрица $C$ будет иметь блочно"=диагональный вид с блоками $1\times1$ вида $\pm1$ (нейтральные частицы) и $2\times2$ вида $\pm\sigma^2$ (заряженные частицы). Дополнительной заменой базиса матрицу $\Omega$ можно диагонализовать, $\Omega=\diag(\Omega_\alpha)$, так что
$$
\Omega_\alpha\Omega_{\bar\alpha}=1.
$$
В частности, для нейтральных частиц $\Omega_\alpha=\pm1$. Кроме того, в $C$"=симметричной модели $\Omega_{\bar\alpha}=\Omega_\alpha^*$, так что $|\Omega_\alpha|=1$.

Второй тип полюсов, \emph{динамические полюсы}, связан с полюсами $S$"=матрицы, отвечающим связанным состояниям: $\theta_i-\theta_{i+1}=i(u^3_{12}+u^3_{21})$. Вычеты в этих полюсах определяются уравнением
\eq$$
\Res_{\vartheta'=\vartheta}F_O(\vartheta'+iu^\gamma_{\beta'\beta},\vartheta-iu^\gamma_{\beta\beta'},
  \theta_1,\ldots,\theta_n)_{\beta'\beta\alpha_1\ldots\alpha_n}
=i\sum_\gamma\Gamma^\gamma_{\beta'\beta}F_O(\vartheta,\theta_1,\ldots,\theta_n)_{\gamma\alpha_1\ldots\alpha_n}.
\label{FO-dynpole}
$$
Графически это уравнение имеет вид:
$$
\tikz[baseline=-2pt]{
% lower legs
  \coordinate (t) at (-3,-3); \coordinate (tar) at ($(t)!.3!(0,0)$);
  \draw[->] (t) node[above, rotate=45] {$\vartheta'+iu^\gamma_{\beta'\beta}\ $} -- (tar) node[above left=-4pt] {$\beta'$};
    \draw[-] (tar) -- (0,0);
  \coordinate (t) at (-2,-3); \coordinate (tar) at ($(t)!.3!(0,0)$);
  \draw[->] (t) node[below, rotate=56.3] {$\vartheta-iu^\gamma_{\beta\beta'}\ $} -- (tar) node[below right=-2pt] {$\beta$};
    \draw[-] (tar) -- (0,0);
  \coordinate (t) at (-.2,-3); \coordinate (tar) at ($(t)!.2!(0,0)$);
  \draw[->] (t) node[below] {$\theta_1$} -- (tar) node[left] {$\alpha_1$}; \draw[-] (tar) -- (0,0);
  \coordinate (t) at (.6,-3); \coordinate (tar) at ($(t)!.2!(0,0)$);
  \draw[->] (t) node[below] {$\>\theta_2$} -- (tar) node[left] {$\alpha_2$}; \draw[-] (tar) -- (0,0);
  \node at (1.4,-3) {$\cdots$};
  \coordinate (t) at (2.2,-3); \coordinate (tar) at ($(t)!.2!(0,0)$);
  \draw[->] (t) node[below] {$\>\>\theta_n$} -- (tar) node[right] {$\alpha_n$}; \draw[-] (tar) -- (0,0);
% circle
  \draw[thick,fill=lightgray!30] (0,0) node {$O(x)$} circle (.5cm); \node at (-1.2,0) {$-i\Res\limits_{\vartheta'=\vartheta}$};
}
\quad=\quad
\tikz[baseline=-2pt]{
% lower legs
  \coordinate (t1) at (-3,-3); \coordinate (t1Gamma) at ($(t1)!.6!(0,0)$);
  \coordinate (t2) at (-2,-3); \coordinate (t2Gamma) at ($(t2)!.6!(0,0)$); \coordinate (Gamma) at ($(t1Gamma)!.5!(t2Gamma)$);
  \coordinate (t1ar) at ($(t1)!.5!(Gamma)$); \coordinate (t2ar) at ($(t2)!.5!(Gamma)$);
  \draw[->] (t1) node[above, rotate=45] {$\vartheta'+iu^\gamma_{\beta'\beta}\ $} -- (t1ar) node[above left=-4pt] {$\beta'$};
    \draw[-] (t1ar) -- (Gamma);
  \draw[->] (t2) node[below, rotate=56.3] {$\vartheta-iu^\gamma_{\beta\beta'}\ $} -- (t2ar) node[below right=-2pt] {$\beta$};
    \draw[-] (t2ar) -- (Gamma);
  \coordinate (tar) at ($(Gamma)!.4!(0,0)$);
  \draw[->] (Gamma) node[above left=-2pt] {$\Gamma$} -- (tar);
    \draw[-] (tar) -- (0,0);
  \coordinate (t) at (-.2,-3); \coordinate (tar) at ($(t)!.2!(0,0)$);
  \draw[->] (t) node[below] {$\theta_1$} -- (tar) node[left] {$\alpha_1$}; \draw[-] (tar) -- (0,0);
  \coordinate (t) at (.6,-3); \coordinate (tar) at ($(t)!.2!(0,0)$);
  \draw[->] (t) node[below] {$\>\theta_2$} -- (tar) node[left] {$\alpha_2$}; \draw[-] (tar) -- (0,0);
  \node at (1.4,-3) {$\cdots$};
  \coordinate (t) at (2.2,-3); \coordinate (tar) at ($(t)!.2!(0,0)$);
  \draw[->] (t) node[below] {$\>\>\theta_n$} -- (tar) node[right] {$\alpha_n$}; \draw[-] (tar) -- (0,0);
% circle
  \draw[thick,fill=lightgray!30] (0,0) node {$O(x)$} circle (.5cm);
}
$$

Обратим внимание на то, что кинематический полюс может быть представлен как динамический полюс, в котором частица и античастица связываются в фиктивную частицу нулевой массы. Наличие в вычете двух вкладов связано с циклическим свойством~(\ref{FO-cyclic}) и положением полюса на краю физического листа.

Рассмотрим одновременное произведение двух операторов $O_1(x)O_2(y)$. Для определенности положим, что оператор~$O_1$ находится правее~$O_2$:
\eq$$
x^0=y^0,
\qquad
x^1>y^1.
\label{xy-order}
$$
Чтобы формулы выглядели короче, введем такие обозначения. Для любого набора переменных $\{\xi_i\}^k_{i=1}$ будем обозначать $\overrightarrow{\xi}$ последовательность $\xi_1,\ldots,\xi_k$, а $\overleftarrow{\xi}$ последовательность $\xi_k,\ldots,\xi_1$. Там, где порядок будет неважен, будем просто писать $\xi$. Кроме того, через $(\overrightarrow{\xi})_i$, $(\overleftarrow{\xi})_i$, $(\xi)_i$ будем обозначать соответствующую последовательность без $i$го элемента. Кроме того, выражения типа $C^{\alpha\beta}$ будут обозначать $\prod_i C^{\alpha_i\beta_i}$. Итак,
\Align$$
O_1(x)O_2(y)
&=\sum^\infty_{m,n,k=0}{1\over m!n!k!}\sum_{\{\alpha_i\},\ldots,\{\gamma'_i\}}
\int_\R{d^k\xi\over(2\pi)^k}\int_\cCrr{d^m\theta\over(2\pi)^m}\int_\cCrr{d^n\vartheta\over(2\pi)^n}\,
e^{-iP_\gamma(\xi)(x-y)-iP_\alpha(\theta)x-iP_\beta(\vartheta)y}
\notag
\\*
&\quad\times
C^{\gamma\gamma'}
F_{O_1}(\overrightarrow{\xi-i0},\overrightarrow{\theta})_{\overrightarrow{\gamma}\overrightarrow{\alpha}}
F_{O_2}(\overrightarrow{\vartheta},\overleftarrow{\xi-i\pi+i0})_{\overrightarrow{\beta}\overleftarrow{\gamma'}}
\notag
\\*
&\quad\times
\lcolon V^{\alpha_m}(\theta_m)\cdots V^{\alpha_1}(\theta_1)V^{\beta_n}(\vartheta_n)\cdots V^{\beta_1}(\vartheta_1)\rcolon.
\label{O1O2-prod}
$$
Бесконечно"=малые слагаемые к $\xi_i$ и $\xi_i-i\pi$ добавлены таким образом, чтобы контуры интегрирования при перемножении матричных элементов правильно обходили кинематические полюсы: во входящем состоянии контур должен проходить под всеми кинематическими полюсами, отвечающими выходящему состоянию, а в выходящем состоянии "--- над всеми полюсами, отвечающими входящему состоянию.

Теперь сдвинем контур интегрирования по $\xi_i$ вверх на $i\pi$. Множитель $e^{-iP_\gamma(\xi)(x-y)}$ для $0<\Im\xi_i<\pi$ стремиться к нулю при $\xi_i\to\pm\infty$ в силу~(\ref{xy-order}), так что он не будет нарушать сходимость интегралов. Но интегралы будут зацепляться за кинематические и динамические полюсы. При этом контур мы проведем так, чтобы после сдвига $\xi_i-i0$ в первом формфактору перешли $\xi_i+i\pi+i0$, непременно зацепившись за все кинематические полюсы, а во втором формфакторе $\xi_i-i\pi+i0$ перешло в $\xi_i-i0$, не зацепившись ни за один кинематический полюс.

Давайте возьмем $\xi_k$ и найдем разность $\left(\int_{\R-i0}-\int_{\R+i\pi+i0}\right){d\xi_k\over2\pi}$ от всего подынтегрального выражения. Это будет сумма вычетов, умноженная на~$i$. Рассмотрим вычет в полюсе, отвечающем кинематическому полюсу, связанному с~$\theta_1$:
\Multline*$$
-e^{-iP_{(\gamma)_k}((\xi)_k)(x-y)-iP_{(\alpha)_1}((\theta)_1)x-i(P_\beta(\vartheta)+P_{\alpha_1}(\theta_1))y}
\\
\times\sum_{\{\alpha\},\ldots,\{\gamma''\}}
C^{(\gamma)_1(\gamma')_1}
F_{O_1}\left((\overrightarrow{\xi-i0})_k,(\overrightarrow\theta)_1\right)_{(\overrightarrow{\gamma''})_k(\overrightarrow{\alpha'})_1}
F_{O_2}\left(\overrightarrow\vartheta,\theta_1,(\overleftarrow{\xi-i\pi+i0})_k\right)_{\overrightarrow\beta,\alpha'_1,
  (\overleftarrow\gamma)_1}
\\
\times\left(\delta^{\alpha'}_\alpha\delta^{\gamma''}_\gamma
  -\delta^{\delta_1}_{\alpha_1}\Omega^{\alpha'_1}_{\delta_{n+k}}(O_1)
  \prod^{k-1}_{i=1}S(\theta_1-\xi_i+2\pi i)^{\delta_{n+i+1}}_{\delta_{n+i}}{}^{\gamma''_i}_{\gamma_i}
  \prod^m_{i=2}S(\theta_1-\theta_i)^{\delta_i}_{\delta_{i-1}}{}^{\alpha'_i}_{\alpha_i}\right)
\lcolon\overleftarrow{V^\alpha(\theta)}\overleftarrow{V^\beta(\vartheta)}\rcolon.
$$
Буква~$\theta_1$ перекочевала из первого формфактора во второй, превращая его в~$\vartheta_{n+1}$. Мы видим, что этот вклад соответствует значениям $k'=k-1$, $m'=m-1$, $n'=n+1$. При этом первое слагаемое в скобках сокращает соответствующий член в разложении, «заменяя» его на второй член в скобках. При этом произведение матриц $S(\theta_1-\theta_i)$ во втором слагаемом «подтаскивает» $V(\theta_1)$ к~$V(\vartheta_n)$. Произведение же матриц $S(\theta_1-\xi_i+2\pi i)$ протаскивает $\theta_i$ в формфакторе~$F_{O_2}$ до конца направо. В результате такой процедуры эффективно каждое слагаемое суммы умножается на $\Omega^{\alpha'_1}_{\alpha_1}(O_1)$, а $\vartheta_n$ в~$F_{O_2}$ протаскивается до конца направо через буквы~$\xi_i$. Возможность выбрать разные $\xi_i$ и $\theta_j$ в этой процедуре в качестве «начальных» просто исправляет комбинаторные множители.

Продолжая процедуру, мы домножаем $F_{O_2}$ последовательно на все $\Omega^{\beta'_i}_{\beta_i}(O_1)$, меняем местами $\overleftarrow{V^\alpha(\theta)}$ и $\overleftarrow{V^\beta(\vartheta)}$ в нормально"=упорядоченном произведении и перемещаем $\xi-i\pi$ справа налево в~$F_{O_2}$. После этого остается перенести все $\xi_i$ в~$F_{O_1}$ по циклическому свойству, что домножит $F_{O_1}$ на множители~$\Omega^{\gamma''_i}_{\gamma_i}(O_1)$.

Теперь нужно разобраться с динамическими полюсами. Нетрудно понять, что динамические полюсы сокращают друг друга. Действительно, $\xi_k$ «зацепляется» за два полюса:%
%
\footnote{На самом деле я упрощаю. Речь идет, конечно, о наборах полюсов.}
%
$$
\Aligned{
\xi_k^{(1)}
&=\theta_1+iu^\delta_{\gamma_k\alpha_1}+iu^\delta_{\alpha_1\gamma_k},
\\
\xi_k^{(2)}
&=\vartheta_n+i\pi-iu^{\delta'}_{\beta_n\gamma'_k}-iu^{\delta'}_{\gamma'_k\beta_n}.
}
$$
Легко проверить, что в формфакторе~$F_{O_1}$ результат слияния~$\xi_k^{(1)}$ и~$\theta_1$ даст быстроту
$$
\theta'_1=\theta_1+iu^\delta_{\gamma_k\alpha_1},
$$
а в формфакторе~$F_{O_1}$ это даст
$$
\vartheta_{k+1}=\xi_k^{(1)}-i\pi=\theta_1-i(\pi-u^\delta_{\gamma_k\alpha_1}-u^\delta_{\alpha_1\gamma_k})
=\theta_1-iu^{\bar\alpha_1}_{\gamma_k\bar\delta}
$$
Аналогично, результат слияния~$\vartheta_n$ с~$\xi_k^{(2)}-i\pi$ даст в первом формфакторе
$$
\theta_0=\xi_i^{(2)}=\vartheta_n+i(\pi-u^{\delta'}_{\beta_n\gamma'_k}-iu^{\delta'}_{\gamma'_k\beta_n})
=\vartheta_n+iu^{\bar\gamma'_k}_{\beta_n\bar\delta'}
$$
и во втором формфакторе
$$
\vartheta'_k=\xi_i^{(2)}-i\pi+iu^{\delta'}_{\gamma_k\beta_n}=\vartheta_n-iu^{\delta'}_{\beta_n\gamma'_k}.
$$
Эти манипуляции легко получаются из такой картинки для первого полюса:
$$
\tikz[baseline=-2pt,scale=.7]{
  \draw[->] (0,0) -- (90:1); \draw[-] (90:1) -- (90:2) node[above] {$\delta$};
  \draw[-] (0,0) -- (-30:1); \draw[<-] (-30:1) -- (-30:2) node[below right] {$\gamma$};
  \draw[-] (0,0) -- (-150:1); \draw[<-] (-150:1) -- (-150:2) node[below left] {$\alpha$};
  \draw[dotted] (0,0) -- (-90:2); \draw[dotted] (0,0) -- (30:2); \draw[dotted] (0,0) -- (150:2);
  \node at (-120:1.5) {$u^\delta_{\alpha\gamma}$}; \node at (-60:1.5) {$u^\delta_{\gamma\alpha}$};
  \node at (180:1.5) {$u^{\bar\gamma}_{\alpha\bar\delta}$}; \node at (120:1.5) {$u^{\bar\gamma}_{\bar\delta\alpha}$};
  \node at (0:1.5) {$u^{\bar\alpha}_{\gamma\bar\delta}$}; \node at (60:1.5) {$u^{\bar\alpha}_{\bar\delta\gamma}$};
}
\qquad
\Aligned{
u^{\bar\alpha}_{\bar\delta\gamma}
&=u^\delta_{\alpha\gamma},
\\
u^{\bar\gamma}_{\bar\delta\alpha}
&=u^\delta_{\gamma\alpha},
\\
u^{\bar\alpha}_{\gamma\bar\delta}
&=u^{\bar\gamma}_{\alpha\bar\delta}.
}
$$
Для второго полюса надо заменить~$\alpha$ на~$\beta$, а к~$\gamma$ и~$\delta$ пририсовать штрихи.

Теперь выберем такую пару слагаемых, для которых
$$
\Gathered{
m\equiv m^{(1)}=m^{(2)}+1,
\qquad
n\equiv n^{(2)}=n^{(1)}+1,
\qquad
k\equiv k^{(1)}=k^{(2)},
\\
\vartheta_n^{(2)}=\theta_1^{(1)},
\qquad
\beta^{(2)}_n=\alpha^{(1)}_1,
\qquad
\gamma_k^{\prime(2)}=\bar\delta^{(1)},
\qquad
\delta^{\prime(2)}=\bar\gamma_k^{(1)}.
}
$$
Тогда
$$
\theta_0^{(2)}=\theta_1^{\prime(1)},
\qquad
\vartheta_k^{\prime(2)}=\vartheta_{k+1}^{(1)}.
$$
С учетом равенства
\eq$$
\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}=\sum_{\beta',\gamma'}\Gamma^{\beta'}_{\alpha\gamma'}C_{\beta\beta'}C^{\gamma\gamma'},
\label{Gamma-crossing}
$$
которое следует из кроссинг"=симметрии, эти два слагаемых совпадают с точностью до знака. Поскольку они содержат множители $(\xi_k-\theta_1)^{-1}$ и $(\vartheta_n-\xi_k+i\pi)^{-1}$ соответственно, знаки будут разными, и слагаемые сократят друг друга.

Графически это выглядит так:
$$
\tikz[baseline=-2pt]{
  \draw[double distance=3pt,thick,-{Stealth[length=3mm,width=3mm]}] (0,-2) node[right] {$\vartheta$} node[below] {$\beta$} -- (0,-1.5);
  \draw[double distance=3pt,thick,-{Stealth[length=3mm,width=3mm]}] (0,2) node[right] {$\theta$} node[above] {$\alpha$} -- (0,1.5);
  \draw[double distance=3pt,thick,-{Stealth[length=3mm,width=3mm]}] (0,-.5) -- node[right] {$\xi$} (0,.5);
%
  \coordinate (a) at ($(0,-1)+(150:.5)$); \coordinate (b) at ($(0,1)+(-150:.5)$);
  \begin{scope}[decoration={markings,mark=at position 0.25 with {\arrow{>}},mark=at position 0.8 with {\arrow{>}}}]
    \draw[-,postaction={decorate}] (a) to[out=150,in=-150] node[pos=.5] {} coordinate (c)
      node[pos=.25,left] {$\gamma$} node[pos=.75,left] {$\delta$} (b);
  \end{scope}
  \draw[->] (-1.5,0) node[left] {$\alpha_1$} -- (-1,0); \draw[-] (-1,0) -- (c);
%
  \draw[thick,fill=lightgray!30] (0,1) node {$O_1(x)$} circle (.5cm);
  \draw[thick,fill=lightgray!30] (0,-1) node {$O_2(y)$} circle (.5cm);
}
\quad+\quad
\tikz[baseline=-2pt]{
  \draw[double distance=3pt,thick,-{Stealth[length=3mm,width=3mm]}] (0,-2) node[right] {$\vartheta$} node[below] {$\beta$} -- (0,-1.5);
  \draw[double distance=3pt,thick,-{Stealth[length=3mm,width=3mm]}] (0,2) node[right] {$\theta$} node[above] {$\alpha$} -- (0,1.5);
  \draw[double distance=3pt,thick,-{Stealth[length=3mm,width=3mm]}] (0,-.5) -- node[right] {$\xi$} (0,.5);
%
  \coordinate (a) at ($(0,-1)+(150:.5)$); \coordinate (b) at ($(0,1)+(-150:.5)$);
  \begin{scope}[decoration={markings,mark=at position 0.25 with {\arrow{<}},mark=at position 0.8 with {\arrow{<}}}]
    \draw[-,postaction={decorate}] (a) to[out=150,in=-150] node[pos=.5] {} coordinate (c)
          node[pos=.25,left] {$\delta'$} node[pos=.75,left] {$\gamma'$} (b);
  \end{scope}
  \draw[->] (-1.5,0) node[left] {$\beta_n$} -- (-1,0); \draw[-] (-1,0) -- (c);
%
  \draw[thick,fill=lightgray!30] (0,1) node {$O_1(x)$} circle (.5cm);
  \draw[thick,fill=lightgray!30] (0,-1) node {$O_2(y)$} circle (.5cm);
}
\quad\mathrel{\mathop=\limits_{\substack{\beta_n=\alpha_1\\\gamma'=\bar\delta\\\delta'=\bar\gamma}}}0.
$$

Итак, вклады динамических полюсов сокращают друг друга, а вклады кинематических, суммированные вместе дают:
\Align$$
O_1(x)O_2(y)
&=\sum^\infty_{m,n,k=0}{1\over m!n!k!}\sum_{\{\alpha_i\},\ldots,\{\gamma''_i\}}
\int_\R{d^k\xi\over(2\pi)^k}\int_\cCrr{d^m\theta\over(2\pi)^m}\int_\cCrr{d^n\vartheta\over(2\pi)^n}\,
e^{-iP_\gamma(\xi)(x-y)-iP_\alpha(\theta)x-iP_\beta(\vartheta)y}
\notag
\\*
&\quad\times
\Omega^{\gamma''}_{\gamma'}(O_1)\Omega^{\beta''}_\beta(O_1)C^{\gamma\gamma'}
F_{O_2}(\overrightarrow{\xi-i0},\overrightarrow{\vartheta})_{\overrightarrow{\gamma''}\overrightarrow{\beta''}}
F_{O_1}(\overrightarrow{\theta},\overleftarrow{\xi-i\pi+i0})_{\overrightarrow\alpha\overleftarrow\gamma}
\notag
\\*
&\quad\times
\lcolon V^{\beta_n}(\vartheta_n)\cdots V^{\beta_1}(\vartheta_1)V^{\alpha_m}(\theta_m)\cdots V^{\alpha_1}(\theta_1)\rcolon.
\label{O1O2-permut}
$$
То, что мы получили, это почти произведение $O_2(y)O_1(x)$. Чтобы действительно получить это произведение, наложим условие. Будем говорить, что операторы $O_1$ и $O_2$ взаимно"=квазилокальны, если для всех~$n$ выполняются равенства
\eq$$
\sum_{\{\alpha_i\}}\prod^n_{i=1}\Omega^{\alpha_i}_{\alpha'_i}(O_I)F_{O_J}(\theta_1,\ldots,\theta_n)_{\alpha'_1\ldots\alpha'_n}
=C(O_I,O_J)F_{O_J}(\theta_1,\ldots,\theta_n)_{\alpha_1\ldots\alpha_n},
\qquad
(I,J)=(1,2),(2,1).
\label{O1O2-quasilocal}
$$
Здесь $C(O_I,O_J)$ "--- числа. В блочно"=диагональном базисе частиц легко видеть, что это не такое уж ограничительное условие. Оно просто говорит о том, что для любых~$n$ и наборов~$\{\alpha_i\}$, для которых имеются ненулевые формфакторы $F_{O_J}$ произведение $\prod^n_{i=1}\Omega_{\alpha_i}(O_I)$ не зависит от~$n$ и~$\{\alpha_i\}$. Тогда одновременные коммутаторы операторов~$O_1$ и~$O_2$ выглядят так:
\eq$$
O_1(x)O_2(y)=\Cases{C(O_1,O_2)O_2(y)O_1(x),&x^0=y^0,\ x^1>y^1;\\C^{-1}(O_2,O_1)O_2(y)O_1(x),&x^0=y^0,\ x^1<y^1.}
\label{O1O2-commut}
$$
Это есть основная теорема, доказанная Федором Смирновым. Подробное доказательство и разбор следствий этой теоремы можно найти в книге~\cite{Smirnov-book}. Условие сходимости интегралов, условие цикличности~(\ref{FO-cyclic}), лоренц"=инвариантность в форме~(\ref{FO-spin}), перестановочное условие~(\ref{FO-trasnposition}) и условия кинематического~(\ref{FO-kinpole}) и динамического~(\ref{FO-dynpole}) полюсов называются \emph{формфакторными аксиомами} или \emph{аксиомами Каровского"--~Вайша"--~Смирнова}. Кроме теоремы Смирнова о взаимной квазилокальности есть еще \emph{гипотеза Смирнова}, согласно которой \emph{все} квазилокальные операторы в теории поля могут быть найдены как решения формфакторных аксиом.

Величину $\omega(O_1,O_2)$, определяемую формулой
\eq$$
e^{2\pi i\omega(O_1,O_2)}=\Omega(O_1,O_2)=C(O_1,O_2)C(O_2,O_1)
\label{omega(O1,O2)}
$$
называют \emph{показателем взаимной локальности} операторов~$O_1$ и~$O_2$. Величину $\Omega(O_1,O_2)$ обычно называют \emph{индексом взаимной локальности}. Если показатель взаимной локальности равен нулю, операторы~$O_1$ и~$O_2$ называют \emph{взаимно"=локальными}. Нетрудно проверить, что если оператор $O(x)$ самолокален (взаимно"=локален с собой) и имеет целый или полуцелый спин, то 
\eq$$
C(O,O)=(-1)^{2s_O},
\label{C-spin-rel}
$$
то есть коммутирует с собой, если его спин целый, и антикоммутирует, если его спин полуцелый.

Теперь нетрудно понять смысл матрицы $\Omega^\alpha_\beta(O)$. Давайте рассмотрим оператор
$$
A^\alpha(x)=\int_\cCrr{d\theta\over2\pi}\,e^{-iP_\alpha(\theta)x}V^\alpha(\theta)+\cdots,
$$
где точки обозначают вклады высших формфакторов. Этот оператор представляет собой бозонный (нулевого спина) оператор, уничтожающий бозон в данной точке. Хотя этот оператор определен неоднозначно, его коммутатор с любым другим оператором $O$, с которым он взаимно"=квазилокален хорошо определен. Поскольку $F_{A^\alpha}(\theta)_\beta=\delta^\alpha_\beta$, оператор $A^\alpha$ может быть взаимно"=квазилокален только с оператором, для которого матрица $\Omega^\alpha_\beta(O)$ в выбранном базисе диагональна. Тогда числа
\eq$$
\Omega_\alpha(O)=C(O,A^\alpha)=\Omega(O,A^\alpha)
\label{Omega(O)-mutualloc}
$$
имеют простой смысл индексов взаимной локальности оператора~$O$ с бозонным оператором, уничтожающим элементарное возбуждение~$\alpha$.

Теперь рассмотрим простой пример "--- скейлинговую модель Изинга при нулевом магнитном поле, то есть $\Phi_{13}$"=возмущение минимальной конформной модели~$M(3,4)$ ($c=1/2$) \cite{SJM,YZ}. В этой модели, как мы помним, имеется один свободный массивный фермион или, на бозонном языке, один бозон с матрицей рассеяния $S(\theta)=-1$. Это значит, что алгебра Фаддеева"--~Замолодчикова для этой модели имеет вид фермионной алгебры:
$$
V(\theta_1)V(\theta_2)+V(\theta_2)V(\theta_1)=2\pi\delta(\theta_1-\theta_2-i\pi)+2\pi\delta(\theta_1-\theta_2+i\pi).
$$
Поле свободного фермиона $\psi_\pm(x)$ имеет вид
\eq$$
\psi_\pm(x)=\sqrt m\int_\cCrr{d\theta\over2\pi}\,e^{-iP(\theta)x\pm{1\over2}(\theta-{i\pi\over2})}V(\theta),
\qquad
s_{\psi_\pm}=\pm{1\over2},
\qquad
\Omega_1(\psi_\pm)=-1.
\label{IsingT-psi}
$$
Формфакторы оператора $F_{\psi_\pm}(\theta)=\sqrt me^{\pm{1\over2}(\theta-{i\pi\over2})}$ при $n=1$ и ноль во всех остальных случаях, очевидно, удовлетворяют формфакторным аксиомам. Пользуясь~(\ref{O-hermitian}), нетрудно проверить эрмитовость операторов~$\psi_\pm(x)$.

Отсюда легко найти компоненты тензора энергии"=импульса. В пространстве Минковского имеем
\eq$$
T_{++}={i\over2}\lcolon\psi_-\,\d_+\psi_-\rcolon,
\qquad
T_{--}=-{i\over2}\lcolon\psi_+\,\d_-\psi_+\rcolon,
\qquad
T_{+-}={im\over2}\lcolon\psi_+\psi_-\rcolon,
\label{IsingT-T}
$$
причем нормальное упорядочение совпадает с нормальным упорядочением~(\ref{VV-normorder}). Учитывая, что
\eq$$
P_+(\theta)={m\over2}e^{-\theta},
\qquad
P_-(\theta)=-{m\over2}e^\theta,
\label{Ppm-theta}
$$
получаем, что единственные ненулевые формфакторы компонент тензора энергии"=импульса равны
\eq$$
\Aligned{
F_{T_{++}}(\theta_1,\theta_2)
&=im^2e^{-\theta_1-\theta_2}\sh{\theta_1-\theta_2\over2},
&&s_{T_{++}}=-2,
&&\Omega_1(T_{++})=1,
\\
F_{T_{--}}(\theta_1,\theta_2)
&=im^2e^{\theta_1+\theta_2}\sh{\theta_1-\theta_2\over2},
&\quad&s_{T_{--}}=2,
&\quad&\Omega_1(T_{--})=1,
\\
F_{T_{+-}}(\theta_1,\theta_2)
&=im^2\sh{\theta_1-\theta_2\over2},
&\quad&s_{T_{+-}}=0,
&\quad&\Omega_1(T_{+-})=1.
}
\label{IsingT-FT}
$$
Эти ответы хорошо нам известны из теории свободного Майорановского фермиона. Найдем теперь нетривиальные формфакторы. Поскольку связанных состояний в этой задаче нет, а кинематический полюс связывает формфакторы только для чисел частиц, отличающихся на два, мы можем разбить все операторы на четные, для которых все формфакторы с нечетным числом частиц равны нулю, и нечетные, для которых все формфакторы с четным числом частиц равны нулю. Простейшие такие операторы мы обозначим~$\sigma(x)$ и~$\mu(x)$. Их формфакторы равны
\Align$$
F_\sigma(\theta_1,\ldots,\theta_{2n})
&=i^nG_\sigma m^{1/8}\prod^{2n}_{i<j}\th{\theta_i-\theta_j\over2},
&&s_\sigma=0,
&&\Omega_1(\sigma)=-1,
\label{IsingT-sigma}
\\
F_\mu(\theta_1,\ldots,\theta_{2n+1})
&=i^{n-1}G_\mu m^{1/8}\prod^{2n+1}_{i<j}\th{\theta_i-\theta_j\over2},
&&s_\mu=0,
&&\Omega_1(\mu)=1,
\label{IsingT-mu}
$$
где $n=1,2,\ldots$. Постоянные $G_\sigma$ и~$G_\mu$ являются безразмерными нормировочными множителями для этих операторов. Их нельзя извлечь непосредственно из формфакторных аксиом. Размерные константы $m^{1/8}$ выбраны из отождествления этих операторов с оператором параметра порядка и параметром беспорядка в модели Изинга чуть ниже точки перехода.

Теперь изучим вопрос о взаимной локальности этих операторов. Очевидно, операторы $\psi_\pm$ "--- фермионные, а все остальные перечисленные операторы "--- бозонные, причем все операторы самолокальны. Заметим, что для нечетных операторов $C(O,O)=\Omega_1(O)$, а для четных операторов всегда $C(O,O)=1$. Сопоставляя это с~(\ref{C-spin-rel}), приходим к выводу, что не может быть бозонных нечетных операторов с $\Omega_1(O)=-1$, фермионных нечетных операторов с $\Omega_1(O)=1$, а также фермионных четных операторов. Поэтому остаются следующие классы:
\begin{itemize}
\item[$\{\ve\}$:] Бозонные четные операторы с $\Omega_1(O)=1$. Это семейство включает в себя, например, $1$ и~$T_{\mu\nu}$.
\item[$\{\mu\}$:] Бозонные нечетные операторы с $\Omega_1(O)=1$. Семейство включает~$\mu$.
\item[$\{\sigma\}$:] Бозонные четные операторы с $\Omega_1(O)=-1$. Семейство включает~$\sigma$.
\item[$\{\psi\}$:] Фермионные нечетные операторы с $\Omega_1(O)=-1$. Семейство включает~$\psi_\pm$.
\end{itemize}
Для представителей этих классов имеем ($x^0=y^0$)
\eq$$
\Gathered{
\ve(x)\ve(y)=\ve(y)\ve(x),
\quad
\ve(x)\mu(y)=\mu(y)\ve(x),
\quad
\ve(x)\sigma(y)=\sigma(y)\ve(x),
\quad
\ve(x)\psi(y)=\psi(y)\ve(x),
\\
\mu(x)\mu(y)=\mu(y)\mu(x),
\quad
\mu(x)\sigma(y)=\sign(x^1-y^1)\sigma(y)\mu(x),
\quad
\mu(x)\psi(y)=\sign(x^1-y^1)\psi(y)\mu(x),
\\
\sigma(x)\sigma(y)=\sigma(y)\sigma(x),
\quad
\sigma(x)\psi(y)=-\sign(x^1-y^1)\psi(y)\sigma(x),
\\
\psi(x)\psi(y)=-\psi(y)\psi(x).
}\label{ve-mu-sigma-psi-commut}
$$
Эти коммутационные соотношения позволяют разбить все квазилокальные операторы модели Изинга на три сектора взаимно"=локальных операторов:
\begin{itemize}
\item[]«бозонный» сектор $\{\epsilon,\mu\}$;
\item[]«фермионный» сектор $\{\epsilon,\psi\}$;
\item[]«двойственный бозонный» сектор $\{\epsilon,\sigma\}$.
\end{itemize}
В «бозонном» секторе оператором, рождающим частицу, является бозонный оператор $\mu(x)$, в «фермионном» "--- фермионные операторы $\psi_\pm(x)$, а в «двойственном бозонном» секторе вообще таких операторов нет. Условно можно сказать, что «бозонный» сектор описывает систему ниже точки перехода, «двойственный бозонный» сектор "--- выше точки перехода, а «фермионный» сектор описывает вспомогательный майорановский фермион, с помощью которого осуществляется решение модели Изинга. На самом деле, конечно, все эти объекты и представления равноправны. Более того, описанная только что классификация операторов верна для \emph{любой} модели с одной нейтральной частицей без внутренних состояний и без связанных состояний, например, для модели sh"=Гордона. В модели, в которой имеются связанные состояния, каких-то секторов может не быть. В модели Ли"--~Янга, например, со связанным состоянием $1+1\to1$, во"=первых, операторы нельзя разделить на четные и нечетные, а во"=вторых, непременно $\Omega_1(O)=1$. Поэтому в этой модели имеется только один, «бозонный» сектор.

Итак, решение уравнений на формфакторы, в принципе, позволяет получить любой квазилокальный оператор в теории, однако отождествление таких решений с операторами, определенными в лагранжевом подходе или в рамках конформной теории возмущений, представляет отдельную сложную проблему, которая в общем виде не решена ни для одной теории со взаимодействием.

В качестве примера формфакторов для несвободной теории приведу формфакторы экспоненциальных операторов модели sh"=Гордона. Во"=первых, определим так называемый минимальный двухчастичный формфактор $R(\theta)$, удовлетворяющий условиям
\eq$$
R(\theta)=R(2\pi i-\theta),
\qquad
R(\theta)=S_{11}(\theta)R(-\theta),
\label{R-relations}
$$
и не имеющий особенностей на полосе $0\le\Im\theta\le\pi$. Действительно, функция $F(\theta_1,\theta_2)=R(\theta_1-\theta_2)$ удовлетворяет формфакторным аксиомам для операторов с~$\Omega_1(O)=1$. Функция $R(\theta)$ легко строится по правилу:
\eq$$
S(\theta)=\exp i\int^\infty_0{dt\over t}\,f(t)\sin\theta t
\quad\Rightarrow\quad
R(\theta)=R_0\exp\int^\infty_0{dt\over t}\,{f(t)(\cos(\theta-i\pi)t-1)\over2\sh\pi t},
\label{R-S-rel}
$$
где $R_0$ "--- произвольная константа. В случае модели sh"=Гордона $f(t)=O(t^2)$ и константу $R_0$ удобно выбрать так, чтобы она сокращала $-1$ в скобках:
\eq$$
R(\theta)=\exp\left(4\int^\infty_0{dt\over t}\,
{\sh{\pi t\over2}\sh{\pi pt\over2}\sh{\pi(p+1)t\over2}\over\sh^2\pi t}\cos(\theta-i\pi)t\right).
\label{ShG-R}
$$
(Напомним: $0<p<1$.) В этом случае произведение
\eq$$
R(\theta)R(\theta+i\pi)={\sh\theta\over\sh\theta-i\sin\pi p}=1/f(e^{-\theta}),
\qquad
f(z)=1+{2i\sin\pi p\over z-z^{-1}}.
\label{ShG-RR-id}
$$
Заметим, что
\eq$$
{f(e^\theta)\over f(e^{-\theta})}=S_{11}(\theta).
\label{ShG-f-S-rel}
$$
Введем также константы
\eq$$
\rho=(-R(i\pi)\sin\pi p)^{-1/2}.
\label{ShG-rhoconst}
$$
Теперь формфакторы из «бозонного» сектора можно записать в виде
\eq$$
F_O(\theta_1,\ldots,\theta_n)
=\rho^n\prod^n_{i<j}R(\theta_i-\theta_j)\cdot J_O(e^\theta_1,\ldots,e^\theta_n),
\label{FO-JO-rel}
$$
где $J_O(x_1,\ldots,x_n)$ "--- рациональные симметричные функции с полюсами в точка $x_i=-x_j$:
\eq$$
\Res_{z'=-z}J_O(z',z,x_1,\ldots,x_n)=-iz\sin\pi p\cdot 
\left(\prod^n_{i=1}f\left(z\over x_i\right)-\prod^n_{i=1}f\left(x_i\over z\right)\right)J(x_1,\ldots,x_n).
\label{JO-kinpole}
$$
Множители $f(z/x_i)=f(e^{\vartheta-\theta_i})$ в первом слагаемом сокращают вклады от произведений $R(\vartheta-\theta_i)R(\vartheta-\theta_i+i\pi)$ а функции $f(x_i/z)$ во втором слагаемом поделенные на $f(z/x_i)$ дают произведение $S$"=матриц из~(\ref{FO-kinpole}). Рассмотрим решение вида
\eq$$
J_a(x_1,\ldots,x_n)
=\sum_{I_n=I_-\sqcup I_+}e^{i\pi a(\#I_--\#I_+)}\prod_{i\in I_-\atop j\in I_+}f\left(x_i\over x_j\right),
\label{Ja-def}
$$
где $I_n=\{1,2,\ldots,n\}$, а сумма берется по всем разбиениям этого множества на два непересекающиеся подмножества. Оказывается, если положить
$$
a={1\over2}-\alpha\sqrt{(-p)(1+p)\over2},
$$
то функции $J_a$ определяют по формуле~(\ref{FO-JO-rel}) формфакторы оператора $e^{\alpha\varphi}/\langle e^{\alpha\varphi}\rangle$.







\bigbreak
\bigskip
\centerline{\bf Задачи}
\medskip

\begin{asparaenum}[\bf1.]

\item Покажите, что если набор функций $\{F_O(\theta_1,\ldots,\theta_n)_{\alpha_1\ldots\alpha_n}\}$ удовлетворяет формфакторным аксиомам, то и набор функций $\{F_O(\theta_1,\ldots,\theta_n)_{\alpha_1\ldots\alpha_n}I_s(\theta_1,\ldots,\theta_n)_{\alpha_1\ldots\alpha_n}\}$, где $I_s$ "--- собственные значения локального интеграла движения~$\hat I_s$, удовлетворяет формфакторным аксиомам и отвечает оператору~$O'(x)=[O(x),\hat I_s]$ при целых значениях спина~$s$.

\item Покажите, что выражения (\ref{IsingT-FT}), (\ref{IsingT-sigma}),~(\ref{IsingT-mu}) удовлетворяют формфакторным аксиомам.

\item Рассмотрим свободный бозон $S(\theta)=1$. Введем операторы
$$
\Aligned{
\varphi(x)
&={1\over\sqrt2}\int_\cCrr{d\theta\over2\pi}V(\theta)e^{-iP(\theta)x},
\\
\sigma(x)
&=\lcolon e^{\rho(x)}\rcolon,
\\
\psi_\pm(x)
&=\sqrt m\int_\cCrr{d\theta\over2\pi}\,e^{-iP(\theta)x\pm{1\over2}(\theta-{i\pi\over2})}\lcolon V(\theta)e^{\rho(x)}\rcolon,
\qquad
\rho(x)=-\int_\cCrr{d\theta_1\over2\pi}\,{d\theta_2\over2\pi}\,
{e^{-iP(\theta_1,\theta_2)x}\over\ch{\theta_1-\theta_2\over2}}V(\theta_1)V(\theta_2).
}
$$
Покажите, что все эти операторы квазилокальны, причем оператор $\varphi(x)$ принадлежит классу~$\{\mu\}$, оператор $\sigma(x)$ принадлежит классу $\{\sigma\}$, а операторы $\psi_\pm(x)$ "--- классу~$\{\psi\}$.

\item Выведите условие~(\ref{JO-kinpole}) из условия кинематического полюса~(\ref{FO-kinpole}). Покажите, что выражение~(\ref{Ja-def}) удовлетворяет этому условию и не имеет других полюсов.

\starenumi
\item Покажите, что функции~(\ref{Ja-def}) удовлетворяют рекурсионному соотношению
\eq$$
J_a(z,x_1,\ldots,x_n)=2\cos\pi a\cdot J_a(x_1,\ldots,x_n)
+\sum^n_{i=1}{x_iR_a(z;x_1,\ldots,\widehat{x_i},\ldots,x_n)\over z+x_i},
\label{Ja-recurs}
$$
где
\eq$$
R_a(z;x_1,\ldots,x_n)=-i\sin\pi p\cdot\left(\prod^n_{i=1}f\left(z\over x_i\right)-\prod^n_{i=1}f\left(x_i\over z\right)\right)
J_a(x_1,\ldots,x_n),
\label{Ja-recurs-Ra}
$$
с начальным условием
\eq$$
J_a(\varnothing)=1.
\label{Ja-recurs-init}
$$
Покажите отсюда, что выполняется \emph{отражательное соотношение}
$$
J_a(x_1,\ldots,x_n)=J_{-a}(x_1,\ldots,x_n),
$$
а формфакторы единичного оператора, кроме нуль"=частичного, обращаются в нуль:
$$
J_{1/2}(x_1,\ldots,x_n)=0\quad\text{при $n>0$.}
$$

\end{asparaenum}
