% !TeX spellcheck = ru_RU
% !TeX encoding = UTF-8
\section{\texorpdfstring{Решение модели Тирринга методом анзаца Бете: спектр частиц и матрица рассеяния}{Reshenie modeli Tirringa metodom anzaca Bete: spektr chastic i matrica rassejanija}}
\setcounter{page}1

Рассмотрим теперь море фермионов с дырками. Для этого обобщим уравнение~(\ref{BetheLog-vac}):
\eq$$
m_0L\sh\xi_k=-2\pi n_k+\sum^N_{l=1}\Phi(\xi_k-\xi_l).
\label{BetheLog-holes}
$$
Далее, определим $\xi(n)$ уравнением
\eq$$
m_0L\sh\xi(n)=-2\pi n+\sum^N_{l=1}\Phi(\xi(n)-\xi_l)
\label{BetheLog-holes-beta(n)}
$$
В термодинамическом пределе определим спектральную плотность состояний $\rho(\xi)$ и спектральную плотность частиц $\rho^\bullet(\xi)$ следующим образом:
\eq$$
\rho(\xi(n))={2\pi\over L|\xi(n+1)-\xi(n)|}\simeq{2\pi\over L}\left|dn\over d\xi(n)\right|,
\qquad
\rho^\bullet(\xi)=\left\langle{2\pi\over L|\xi_{k+1}-\xi_k|}\right\rangle_{\xi_k\simeq\xi}
=\left\langle{2\pi\over L}\left|dk\over d\xi_k\right|\right\rangle_{\xi_k\simeq\xi}.
\label{rho-rhoh-def}
$$
Вместо спектральной плотности частиц нам будет удобнее использовать спектральную плотность дырок $\rho^\circ(\xi)=\rho(\xi)-\rho^\bullet(\xi)$. В частности для одной дырки с параметром $\xi=\xi_0$ имеем $\rho^\circ(\xi)=2\pi L^{-1}\delta(\xi-\xi_0)$. Совершенно аналогично выводу уравнения (\ref{BEint-LL}) получим интегральное уравнение
\eq$$
m_0\ch\xi
=\rho(\xi)+\int^\Theta_{-\Theta}{d\xi'\over2\pi}\,\Phi'(\xi-\xi')(\rho(\xi')-\rho^\circ(\xi')).
\label{p-eq2}
$$
Обозначив через $\rho_0(\xi)$ вакуумную плотность, то есть решение уравнения (\ref{BetheTL}), и вычтя это уравнение из (\ref{p-eq2}), получим
\eq$$
\delta\rho(\xi)
+\int^\Theta_{-\Theta}{d\xi'\over2\pi}\,\Phi'(\xi-\xi')\delta\rho(\xi')
=\int^\Theta_{-\Theta}{d\xi'\over2\pi}\,\Phi'(\xi-\xi')\rho^\circ(\xi').
\label{deltarhoeq}
$$
Здесь
$$
\delta\rho(\xi)=\rho(\xi)-\rho_0(\xi).
$$
В пределе $\Theta\to\infty$ это уравнение легко решить методом Фурье. Применяя преобразование Фурье (\ref{X-Fourier}), получаем алгебраическое уравнение
$$
\delta\tilde\rho(\omega)+\tilde\Phi'(\omega)\delta\tilde\rho(\omega)=\tilde\Phi'(\omega)\tilde\rho^\circ(\omega).
$$
Легко проверить, что
\eq$$
\delta\tilde\rho(\omega)=-{\sh\pi g\omega\over2\sh{\pi(1-g)\omega\over2}\ch{\pi(1+g)\omega\over2}}\tilde\rho^\circ(\omega).
\label{Phi-deltarho-omega}
$$

Начнем исследование решения~(\ref{Phi-deltarho-omega}) с вычисления заряда возбуждения, отвечающего дырке. Казалось бы, заряд дырки должен быть равен $N-N_0=-1$. Однако это не так из-за ультрафиолетового обрезания. Когда меняется плотность дырок, меняется и плотность состояний, так что число состояний под обрезкой, то есть, в интервале $-\Theta<\xi<\Theta$ тоже меняется. Нас будут интересовать две величины:
\eq$$
\Aligned{
\Delta N
&=-L\int^\Theta_{-\Theta}{d\xi\over2\pi}\,\rho^\circ(\xi)=-L\tilde\rho^\circ(0),
\\
\Delta Q
&=L\int^\Theta_{-\Theta}{d\xi\over2\pi}\,(\delta\rho(\xi)-\rho^\circ(\xi)).
}\label{DeltaN-DeltaQ-def}
$$
В первой строчке мы предполагаем, что все дырки находятся под обрезкой, то есть $\rho^\circ(\xi)=0$ при $|\xi|>\Theta$. Отношение
\eq$$
z^\circ=-{\Delta Q\over\Delta N}
\label{charge-zh-def}
$$
дает заряд дырки. Вычисляя
\eq$$
\Delta Q=-L\int^\Theta_{-\Theta}{d\xi\over2\pi}\,\int^\infty_{-\infty}d\omega\,e^{-i\omega\xi}
{\sh\pi\omega\over2\sh{\pi(1-g)\over2}\omega\ch{\pi(1+g)\over2}\omega}\tilde\rho^\circ(\omega)
\simeq{\Delta N\over1-g},
\label{DeltaQ-fin}
$$
находим
\eq$$
z^\circ=-{1\over1-g}.
\label{charge-zh-fin}
$$
Мы видим, что заряд дырки не является целым числом в терминах псевдочастиц. Иными словами, заряд частиц перенормируется.

Эта перенормировка имеет существенное последствие. Чтобы понять его, вернемся к выводу гамильтониана~(\ref{MTHam}). Мы формально выводили его по классическим правилам из классического действия. Квантовый эффект состоит в том, что одна физическая частица составляет $|z^\circ|$ псевдочастиц, определенных в~(\ref{Npart}):
\eq$$
Q=|z^\circ|\int dx\,\psi_\phys^+\psi_\phys+\const,
\label{Q-psiphys}
$$
где $\psi_\phys$ "--- физические поля, то есть именно те поля, которые обсуждались в лекции~\ref{lec-MTbosonization}. Это значит, что
\eq$$
\psi=|z^\circ|^{1/2}\psi_\phys.
\label{psi-psiphys}
$$
Подставляя это в гамильтониан~(\ref{MTHam}), мы видим, что физическая константа $g_\phys$ (которая была обозначена как $g$ в лекции~\ref{lec-MTbosonization}) связана с формальной константой $g$ соотношением
\eq$$
g_\phys=g|z^\circ|={g\over1-g}
\quad\Leftrightarrow\quad
g_\phys^{-1}=g^{-1}-1.
\label{g-gphys}
$$
Если формальная константа связи меняется в пределах $-1\le g<1$, то физическая меняется в пределах $-{1\over2}\le g_\phys<\infty$ в согласии с результатами бозонизации.

Теперь вычислим энергию и импульс возбуждений. Энергия $E[\rho^\circ]$ и импульс $P[\rho^\circ]$ системы являются функционалами плотности дырок~$\rho^\circ$, причем энергия, связанная с возбуждениями, определяется как разность $E[\rho^\circ]-E[0]$. Имеем
$$
\Aligned{
E[\rho^\circ]-E[0]
&=m_0L\int^\Theta_{-\Theta}{d\xi\over2\pi}\,(\rho^\circ(\xi)-\delta\rho(\xi))\ch\xi,
\\
P[\rho^\circ]
&=m_0L\int^\Theta_{-\Theta}{d\xi\over2\pi}\,(\rho^\circ(\xi)-\delta\rho(\xi))\sh\xi.
}
$$
Ситуация здесь различна при положительных и отрицательных~$g$.

При $g<0$ интегралы в этих выражениях сходятся при $\Theta\to\infty$. Но если мы положим $\Theta=\infty$, мы получим, что $E[\rho^\circ]-E[0]=P[\rho^\circ]=0$, так как $\delta\tilde\rho(\pm i)=\tilde\rho^\circ(\pm i)$. Поэтому следует перенормировать затравочную массу $m_0$. Явное вычисление первой поправки, связанной с полюсами функции $\delta\tilde\rho(\omega)$ в точках $\omega=\pm i(1+g)^{-1}$ дает
\eq$$
E[\rho^\circ]-E[0]=L\int^\infty_{-\infty}{d\xi\over2\pi}\,\epsilon(\xi)\rho^\circ(\xi),
\qquad
P[\rho^\circ]=L\int^\infty_{-\infty}{d\xi\over2\pi}\,p(\xi)\rho^\circ(\xi)
\label{EP-fin}
$$
где
\eq$$
\epsilon(\lambda)=m\ch{\lambda\over1+g},
\qquad
p(\lambda)=m\sh{\lambda\over1+g},
\qquad
m={M\over\pi g}\ctg\left({\pi\over2}{1-g\over1+g}\right),
\label{spectrum}
$$
а константа $M$ определяется равенством
\eq$$
m_0=M\exp\left(-{g\over1+g}\Theta\right)
\sim M\left(m_0\over\Lambda\right)^{g/(1+g)}.
\label{m0div}
$$
Таким образом, частицы имеют релятивистский спектр с быстротой
\eq$$
\theta={\xi\over1+g}.
\label{theta-beta-rel}
$$

Вспоминая~(\ref{mphys}) и учитывая, что $\mu$ пропорционально $m_0$, получаем
\eq$$
m_0\sim M^{2-\beta^2},
$$
где $\beta$ "--- константа связи модели синус"=Гордона. Сравнивая это с~(\ref{m0div}), получаем соотношение
$$
g=1-\beta^2.
$$
В терминах физической константы связи имеем
$$
g_\phys=\beta^{-2}-1,
$$
что согласуется с~(\ref{gbeta}). Заметим, что в первом порядке по теории возмущений по константе $g$ разница между формальной и физической константами связи отсутствует. Она появляется в высших порядках теории возмущений, и важна для правильной интерпретации точных результатов.

При $g>0$ ситуация несколько иная. Полюсы функции $\delta\tilde\rho(\omega)$ при $\omega=\pm i(1+g)^{-1}$ становятся ближе к вещественной оси, чем точки $\pm i$. Это значит, что интегралы в формулах для импульса и энергии расходятся, что соответствует $m_0\to0$. Строго говоря, требуется явное вычисление $\delta\rho(\xi)$ и затем интегралов для энергии и импульса возбуждений. Однако вся эта процедура приводит к ответам, получающимся аналитическим продолжением из области $g<0$. Поэтому формула для перенормировки массы~(\ref{m0div}) верна и в этом случае.

Из выражения~(\ref{Phi-deltarho-omega}) можно немедленно извлечь матрицу рассеяния дырок. Чтобы сделать это, сравним изменение плотности состояний в модели Тирринга под влиянием дырок с изменением плотности состояний под влиянием частиц во вспомогательной модели частиц с заданной матрицей рассеяния. Именно, рассмотрим систему «бесспиновых» фермионов массы $m$ с матрицей рассеяния~$a(\theta)=e^{i\Psi(\theta)}$, $\Psi(-\theta)=-\Psi(\theta)$. Предположим, что эти фермионы живут в пространстве длины $L$ с циклическими граничными условиями. Совершенно аналогично (\ref{BetheEqs}) получаем
\eq$$
e^{imL\sh\theta_k}\prod^N_{l=1\atop l\ne k}a(\theta_k-\theta_l)=1.
\label{auxBetheEqs}
$$
Прологарифмируем уравнения:
\eq$$
mL\sh\theta_k+\sum^N_{l=1}\Psi(\theta_k-\theta_l)=2\pi n_k.
\label{auxBetheLog}
$$
и сделаем термодинамический предел. Для этого определим $\theta(n)$ уравнением
\eq$$
mL\sh\theta(n)+\sum^N_{k=1}\Psi(\theta(n)-\theta_l)=2\pi n.
\label{auxTheta(n)}
$$
Затем расположим $n_k$ по возрастанию и положим
\eq$$
\rho_*(\theta(n))={2\pi\over L|\theta(n+1)-\theta(n)|}\simeq{2\pi\over L}\left|dn\over d\theta(n)\right|,
\qquad
\rho^\bullet_*(\theta)=\left\langle{2\pi\over L|\theta_{k+1}-\theta_k|}\right\rangle_{\theta_k\simeq\theta}
=\left\langle{2\pi\over L}\left|dk\over d\theta_k\right|\right\rangle_{\theta_k\simeq\theta}.
\label{aux-rho-rhof-def}
$$
Величина~$\rho_*(\theta)$ имеет смысл плотности состояний, а величина~$\rho^\bullet_*(\theta)$ имеет смысл плотности частиц. Тогда уравнение для плотности состояний примет вид
\eq$$
m\ch\theta+\int^\infty_{-\infty}{d\theta'\over2\pi}\,\Psi'(\theta-\theta')\rho^\bullet_*(\theta')=\rho_*(\theta).
\label{aux-p-eq2}
$$
При нулевой плотности частиц $\rho^\bullet_*$ имеем $\rho_{*0}(\theta)=m\ch\theta$. Полагая $\delta\rho_*=\rho_*-\rho_{*0}$, имеем
\eq$$
\delta\rho_*(\theta)=\int^\infty_{-\infty}{d\theta'\over2\pi}\,\Psi'(\theta-\theta')\rho^\bullet_*(\theta').
\label{aux-deltarhoeq}
$$
Перейдем к фурье"=образам
$$
\delta\tilde\rho_*(\omega)=\int{d\theta\over2\pi}\,\delta\rho_*(\theta)e^{i\theta\omega}\quad\text{и т.д.}
$$
Уравнение (\ref{aux-deltarhoeq}) принимает вид
\eq$$
\delta\tilde\rho_*(\omega)=\tilde\Psi'(\omega)\rho^\bullet_*(\omega).
\label{aux-p-eq2-fourier}
$$

Теперь предположим, что вспомогательные фермионы и есть наши дырки. С учетом~(\ref{theta-beta-rel}) отождествляем
\eq$$
\delta\rho_*(\theta)=\alpha\delta\rho(\alpha\theta),
\qquad
\rho^\bullet_*(\theta)=\alpha\rho^\circ(\alpha\theta),
\qquad
\alpha=1+g=2-\beta^2.
\label{rho*-rho-rel}
$$
Имеем
\eq$$
\delta\tilde\rho_*(\omega)=\delta\tilde\rho(\alpha^{-1}\omega),
\qquad
\tilde\rho^\bullet_*(\omega)=\tilde\rho^\circ(\alpha^{-1}\omega).
\label{rho*-rho-omega-rel}
$$
В этом предположении, сравнивая~(\ref{rho*-rho-omega-rel}) с~(\ref{Phi-deltarho-omega}), получаем
\eq$$
i\Psi(\theta)=-\int^\infty_{-\infty}{d\omega\over\omega}
{\sh{\pi\omega\over2}\sh{\pi(p-1)\omega\over2}\over\sh\pi\omega\sh{\pi p\omega\over2}}e^{-i\theta\omega}
=2i\int^\infty_0{d\omega\over\omega}
{\sh{\pi\omega\over2}\sh{\pi(p-1)\omega\over2}\over\sh\pi\omega\sh{\pi p\omega\over2}}\sin\theta\omega,
\label{Psi-fin}
$$
где параметр $p$ определен соотношением
$$
\beta^2=2{p\over p+1}.
$$

Таким образом, функция $a(\theta)=e^{i\Psi(\theta)}$ является на самом деле компонентой матрицы рассеяния для одного типа частиц "--- антифермионов в массивной модели Тирринга. Опишем полную $S$-матрицу модели Тирринга/синус"=Гордона~\cite{ZZ}. Фермионная $S$"=матрица является матрицей $4\times4$ в базисе $(++,+-,-+,--)$ («$+$» отвечает фермионам, а «$-$» "--- антифермионам):
\eq$$
S_\text{MT}(\theta)
=\left(S_\text{MT}(\theta)^{\alpha_1\alpha_2}_{\beta_1\beta_2}\right)
=\pMatrix{a(\theta)&&&\\
&b(\theta)&c(\theta)&\\
&c(\theta)&b(\theta)&\\
&&&a(\theta)}.
\label{MT-Smatrix}
$$
Солитонная (бозонная) $S$"=матрица для модели синус"=Гордона отличается от этой $S$"=матрицы только знаком:
\eq$$
S_\text{SG}(\theta)^{\alpha'_1}_{\alpha_1}{}^{\alpha'_2}_{\alpha_2}
=-S_\text{MT}(\theta)^{\alpha'_1}_{\alpha_1}{}^{\alpha'_2}_{\alpha_2},
\qquad
\alpha_i,\alpha'_i=\pm.
\label{SSG-SMT}
$$
Именно эту матрицу мы будем ниже обозначать через $S(\theta)$. Функцию $a(\theta)$ можно записать в виде
\eq$$
a(\theta)
={\Gamma\left(1\over p\right)\Gamma\left(1+{i\theta\over\pi p}\right)
\over\Gamma\left({1\over p}+{i\theta\over\pi p}\right)}
\prod^\infty_{n=1}{R_n(\theta)R_n(i\pi-\theta)\over R_n(0)R_n(i\pi)},
\qquad
R_n(\theta)
={\Gamma\left({2n\over p}+{i\theta\over\pi p}\right)
\Gamma\left(1+{2n\over p}+{i\theta\over\pi p}\right)
\over
\Gamma\left({2n+1\over p}+{i\theta\over\pi p}\right)
\Gamma\left(1+{2n-1\over p}+{i\theta\over\pi p}\right)}.
\label{a-Gamma}
$$
Это нетрудно проверить с помощью формулы Бин\'{е} для логарифма гамма"=функции:
$$
\log\Gamma(z)=\left(z-{1\over2}\right)\log z-z+{\log2\pi\over2}
+\int^\infty_0{dt\over t}\,e^{-tz}\left({1\over e^t-1}-{1\over t}+{1\over2}\right).
$$
Отношения коэффициентов $b(\theta)/a(\theta)$ и $c(\theta)/a(\theta)$ можно найти, решив уравнение Янга"--~Бакстера совместно с уравнением кроссинг"=симметрии. Ответ имеет вид
\eq$$
{b(\theta)\over a(\theta)}
={\sh{\theta\over p}\over\sh{i\pi-\theta\over p}},
\qquad
{c(\theta)\over a(\theta)}
={\sh{i\pi\over p}\over\sh{i\pi-\theta\over p}}.
\label{ba-ca-ratios}
$$
Соотношения (\ref{ba-ca-ratios}) получаются решением уравнения Янга"--~Бакстера вместе с условием кроссинг"=симметрии:
\eq$$
a(i\pi-\theta)=b(\theta),
\qquad
c(i\pi-\theta)=c(\theta).
\label{MT-crossing}
$$
Выражение (\ref{a-Gamma}) можно получить как «минимальное» решение уравнения кроссинг"=симметрии вместе с условием унитарности
\eq$$
a(\theta)a(-\theta)=1,
\qquad
b(\theta)b(-\theta)+c(\theta)c(-\theta)=1,
\qquad
b(\theta)c(-\theta)+c(\theta)b(-\theta)=0,
\label{MT-unitarity}
$$
которое сводится в данном случае к одному первому уравнению: $a(\theta)a(-\theta)=1$.

Формула (\ref{a-Gamma}) позволяет легко найти особенности функций $a(\theta)$, $b(\theta)$ и $c(\theta)$ на мнимой оси. Особенность в интервале $(0,i\pi)$ (т.е.\ на физическом листе) отвечает связанному состоянию, если знак вычета по переменной $u=-i\theta$ в бозонной $S$"=матрице положителен. При $0<p<1$ ($0<\beta^2<1$) такие полюсы есть у $b(\theta)$ и $c(\theta)$:
\eq$$
u_n=-i\theta_n=\pi-\pi pn,
\qquad n=1,2,\ldots,\left\lfloor1\over p\right\rfloor.
\label{theta-SG-bound}
$$
Это отвечает нейтральным связанным состояниям (бризерам в модели синус"=Гордона) с массами
\eq$$
M_n=2m\sin{\pi pn\over2}
\label{masses-SG-bound}
$$

Матрицы рассеяния связанных состояний можно вычислить по следующему правилу. Пусть частица массы $m_c$ является связанным состоянием частиц масс $m_a$ и~$m_b$, то есть диагональный матричный элемент $S(iu)^{ab}_{ab}$ бозонной матрицы рассеяния имеет полюс при $u=u^c_{ab}$ с положительным вычетом. Графически изобразим это так:
\eq$$
\begin{tikzpicture}[baseline=5pt]
\draw[<-,very thick] (0,0) -- +(-140:1) node[below left] {$a$};
\draw[<-,very thick] (0,0) -- +(-30:1) node[below right] {$b$};
\draw[->,very thick] (0,0) -- +(90:1) node[above] {$c$};
\draw[-] +(-30:.4) arc (-30:-140:.4) node[midway,below] {$u^c_{ab}$};
\draw[-] +(220:.35) arc (220:90:.35) node[midway,above left=-2pt] {$u^{\bar b}_{\bar ca}$};
\draw[-] +(90:.45) arc (90:-30:.45) node[midway,above right=-4pt] {$u^{\bar a}_{b\bar c}$};
\end{tikzpicture}
\qquad
\Gathered{
u^c_{ab}+u^{\bar b}_{\bar ca}+u^{\bar a}_{b\bar c}=2\pi,
\\
0<u^c_{ab},u^{\bar b}_{\bar ca},u^{\bar a}_{b\bar c}<\pi,
}\qquad
\Aligned{
\bar u^c_{ab}
&=\pi-u^c_{ab},
\\
\bar u^{\bar b}_{\bar ca}
&=\pi-u^{\bar b}_{\bar ca},
\\
\bar u^{\bar a}_{b\bar c}
&=\pi-u^{\bar a}_{b\bar c}.
}\label{fusion-ab->c}
$$
Массы и угловые переменные связаны кинематическим соотношением
\eq$$
m_c=m_ae^{\pm i\bar u^{\bar b}_{\bar ca}}+m_be^{\mp i\bar u^{\bar a}_{b\bar c}}.
\label{fusion-ab->c-kincond}
$$
Более явно
\eq$$
\cos u^c_{ab}={m_c^2-m_a^2-m_b^2\over2m_am_b},
\qquad
{\sin u^{\bar b}_{\bar ca}\over\sin u^{\bar a}_{b\bar c}}={m_b\over m_a}.
\label{ucab-explicit}
$$
Очевидно, что при условиях (\ref{fusion-ab->c}) выполняется неравенство
\eq$$
|m_a-m_b|<m_c<m_a+m_b.
\label{mabc-rel}
$$
Все уравнения обладают симметрией относительно перестановок $a,b,c$. В симметричном виде можно написать
\eq$$
\sin u^c_{ab}={\sqrt{2m_a^2m_b^2+2m_a^2m_c^2+2m_b^2m_c^2-m_a^4-m_b^4-m_c^4}\over2m_am_b}.
\label{ucab-symmetric}
$$

Имеем
\eq$$
S(\theta)^{ab}_{ab}=\sum_c{i\Gamma^c_{ab}\Gamma^{\bar c}_{\bar a\bar b}\over\theta-iu^c_{ab}}+O(1)
\quad\text{при $\theta\to iu^c_{ab}.$}
\label{S-pole}
$$
Знак суммирования по $c$ означает суммирование по различным внутренним состояниям частицы~$c$. Графически изобразим это равенство так
\eq$$
-i\Res_{\theta=iu^c_{ab}}\quad
\tikz[baseline=-2pt]{
\draw[->] (-.5,-1) node[left] {$a$} -- (0,0) node[right] {$S(\theta)^{ab}_{ab}$} -- (.5,1) node[right] {$a$};
\draw[->] (.5,-1) node[right] {$b$} -- (-.5,1) node[left] {$b$};
}
\quad=\quad
\tikz[baseline=-2pt]{
\draw[->] (-.5,-1) node[left] {$a$} -- (0,-.5);
\draw[->] (.5,-1) node[right] {$b$} -- (0,-.5);
\draw[->] (0,-.5) node[right,yshift=1pt] {$\Gamma^c_{ab}$} -- node[left] {$c$} (0,.5) node[right,yshift=-4pt] {$\Gamma^{\bar c}_{\bar a\bar b}$};
\draw[->] (0,.5) -- (.5,1) node[right] {$a$};
\draw[->] (0,.5) -- (-.5,1) node[left] {$b$};
}
\label{S-pole-graph}
$$
Здесь коэффициенты $\Gamma^c_{ab}$ приписаны вершинам. Теперь возьмем нижнюю половину диаграммы в правой части и пересечем ее с линией некоторой четвертой частицы~$d$. Поскольку, вообще говоря, нам понадобятся недиагональные элементы матриц рассеяния, будем штрихами ($a',\ldots$) другие состояния тех же частиц. Имеем
\eq$$
\tikz[baseline=-2pt]{
\draw[-] (-.5,-1.5) node[left] {$a$} -- node[pos=.8, left] {$a'$} (0,0);
\draw[-] (.5,-1.5) node[right] {$b$} -- node[pos=.7, right] {$b'$} (0,0);
\draw[->] (0,0) -- (0,1.5) node[left] {$c'$};
\draw[->] (1,-1.3) node[above] {$d$} -- node[below] {$d''$} (-1,-.6) node[above] {$d'$};
}
\quad=\quad
\tikz[baseline=-2pt]{
\draw[-] (-.5,-1.5) node[left] {$a$} -- (0,0);
\draw[-] (.5,-1.5) node[right] {$b$} -- (0,0);
\draw[->] (0,0) -- node[pos=.3, left] {$c$} (0,1.5) node[left] {$c'$};
\draw[->] (1,.4) node[above] {$d$} -- (-1,1.1) node[above] {$d'$};
}
\label{S-bound-eq-graph}
$$
Явно имеем уравнение на $S$"=матрицу рассеяния частиц $c$ и~$d$:
\eq$$
\sum_{a',b',d''}\Gamma^{c'}_{a'b'}S(\theta+i\bar u^{\bar b}_{\bar ca})_a^{a'}{}^{d'}_{d''}S(\theta-i\bar u^{\bar a}_{b\bar c})^{b'}_b{}^{d''}_d
=\sum_c\Gamma^c_{ab}S(\theta)^{c'}_c{}^{d'}_d.
\label{S-bound-eq}
$$
Очень часто можно подобрать базис так, чтобы уравнение имело только одно промежуточное состояние $c$ в правой стороне. Тогда правая сумма исчезает, и уравнение превращается в явное выражение для $S$"=матрицы. Иногда можно сделать так, чтобы в уравнение входили только диагональные матричные элементы. Тогда знаки суммы в обеих частях, а также коэффициенты $\Gamma$ исчезают, и мы получаем простую формулу
\eq$$
S(\theta)^{cd}_{cd}=S(\theta+i\bar u^{\bar b}_{\bar ca})^{ad}_{ad}S(\theta-i\bar u^{\bar a}_{b\bar c})^{bd}_{bd}.
\label{S-bound-diag}
$$
В рассматриваемой модели это так, поскольку связанные состояния нейтральны и пространства их внутренних состояний одномерны. Для рассеяния фермиона на связанном состоянии можно получить:
\eq$$
S_{\pm n}(\theta)\equiv S(\theta)^{\pm n}_{\pm n}=
\prod^n_{k=1}S_{+1}\left(\theta+{\textstyle{i\pi p(n+1-2k)\over2}}\right),
\qquad
S_{+1}(\theta)={\th\left({\theta\over2}+{i\pi(1-p)\over4}\right)\over\th\left({\theta\over2}-{i\pi(1-p)\over4}\right)}.
\label{MT-S-kink-breather}
$$
При этом $S_{\pm n}(\theta)=S_{n\pm}(\theta)$. Рассеяние двух связанных состояний (бризеров) дается выражением:
\eq$$
S_{nn'}(\theta)\equiv S(\theta)^{nn'}_{nn'}
=\prod^n_{k=1}\prod^{n'}_{l=1}S_{11}\left(\theta+{\textstyle{i\pi p(n-n'-2k+2l)\over2}}\right),
\qquad
S_{11}(\theta)={\th{\theta+i\pi p\over2}\over\th{\theta-i\pi p\over2}}.
\label{MT-S-breather-breather}
$$
Из этих формул нетрудно убедиться, что $n$-тый бризер является также связанным состоянием $m$-го и $m'$-го бризеров при $|m-m'|\le n\le m+m'$, $n-m-m'\in2\Z$.



\bigbreak
\bigskip
\centerline{\bf Задачи}
\medskip

\begin{asparaenum}[\bf1.]

\item Возьмите интеграл в~(\ref{DeltaQ-fin}) и получите~(\ref{charge-zh-fin}).

\item Получите соотношения~(\ref{EP-fin})--(\ref{spectrum}).

\item Найдите предел матрицы рассеяния~(\ref{MT-Smatrix})--(\ref{ba-ca-ratios}) в пределе малых~$g$ и покажите, что он совпадает с~(\ref{abc-1st-order}).

\item Найдите квазиклассический в смысле модели синус"=Гордона ($\beta^2\to0$) предел матриц рассеяния $S_{11}(\theta)$ и $S_{\pm1}(\theta)$ и покажите, что он дается формулами (\ref{Smat-22phi}),~(\ref{Smat-phi-soliton}).

\starenumi
\item Найдите спектр возбуждений, отвечающих решениям, у которых в дополнение к до конца заполненному морю Дирака имеются вещественные корни Бете. Найдите заряд этих возбуждений и их матрицу рассеяния. Отдельно рассмотрите случаи $-{1\over3}<g<0$ и $g>0$.


\end{asparaenum}

\bigbreak
\bigbreak
\centerline{\bf Семинар~\thesection}
\medskip
\centerline{\bf Решение уравнения Янга"--~Бакстера для модели Тирринга}
