% !TeX spellcheck = ru_RU
% !TeX encoding = UTF-8
\section{\texorpdfstring{Интегралы движения и матрицы рассеяния}{Integraly dvizheniya i matricy rassejanija}}
\label{lec-IMs}
\setcounter{page}1

Вернемся к формулам из лекции~\ref{lec-O(N)-integrability} для асимптотической волновой функции $n$ частиц
\Multline$$
\psi_{\beta_1p_1,\ldots,\beta_np_n}(\alpha_1x_1,\ldots,\alpha_nx_n)
=\sum_{\tau\in S_n}
A^{\alpha_{\sigma_1}\ldots\alpha_{\sigma_n}}
_{\beta_{1\,\hphantom\sigma}\ldots\beta_n}[\tau]
e^{i\sum^n_{i=1}p_{\tau_i}x_{\sigma_i}}
\\
\text{при}\quad
x_{\sigma_1}<x_{\sigma_2}<\cdots<x_{\sigma_n},
\quad
|x_i-x_j|\gg R.
\label{psifunction-rep}
$$
Мы говорили, что внешние значки $\beta_i$ можно определить условием
\eq$$
A^{\alpha_1\ldots\alpha_n}_{\beta_1\ldots\beta_n}[\id]=\prod^n_{i=1}\delta^{\alpha_i}_{\beta_i}.
\label{psinorm-analytic}
$$
Эти условия выбраны так, чтобы значки $\beta_i$ совпадали со значками внутренних состояний $\alpha_i$ частиц во входящем канале при условии $p_1>p_2>\ldots>p_n$. В остальных случаях матричные элементы по этим векторам будут аналитическими продолжениями «правильных» матричных элементов. Эта аналитичность нам сегодня пригодится.

Эти формулы верны не только для $O(N)$"=модели, но для любой системы бозонных частиц. Обратим внимание на то, как меняются волновые функции при перестановке индексов $\beta_ip_i\leftrightarrow\beta_jp_j$:
\eq$$
\psi_{\ldots,\beta_ip_i,\beta_{i+1}p_{i+1},\ldots}(\alpha_1x_1,\ldots,\alpha_nx_n)
=\sum_{\beta'_i\beta'_{i+1}}S(p_i,p_{i+1})^{\beta'_i}_{\beta_i}{}^{\beta'_{i+1}}_{\beta_{i+1}}
\psi_{\ldots,\beta'_{i+1}p_{i+1},\beta'_ip_i,\ldots}(\alpha_1x_1,\ldots,\alpha_nx_n).
\label{psi-p-commut}
$$
Поскольку вывод этой формулы составляет задачу~5 лекции~\ref{lec-O(N)-integrability}, я не привожу здесь вывод полностью. Для ясности приведу вывод для волновой функции двух частиц. Если $x_1<x_2$, имеем
\Multline*$$
\psi_{\beta_1p_1,\beta_2p_2}(\alpha_1x_1,\alpha_2x_2)
=\delta^{\alpha_1}_{\beta_1}\delta^{\alpha_2}_{\beta_2}e^{ip_1x_1+ip_2x_2}+S(p_1,p_2)^{\alpha_2\alpha_1}_{\beta_1\beta_2}e^{ip_2x_1+ip_1x_2}
\\
=\sum_{\beta'_1\beta'_2}S(p_1,p_2)^{\beta'_1\beta'_2}_{\beta_1\beta_2}
\left(\delta^{\alpha_1}_{\beta'_2}\delta^{\alpha_2}_{\beta'_1}e^{ip_2x_1+ip_1x_2}
+S^{-1}(p_1,p_2)^{\alpha_1\alpha_2}_{\beta'_1\beta'_2}e^{ip_1x_1+ip_2x_2}\right)
\\
=\sum_{\beta'_1\beta'_2}S(p_1,p_2)^{\beta'_1\beta'_2}_{\beta_1\beta_2}
\left(\delta^{\alpha_1}_{\beta'_2}\delta^{\alpha_2}_{\beta'_1}e^{ip_2x_1+ip_1x_2}
+S(p_2,p_1)^{\alpha_2\alpha_1}_{\beta'_2\beta'_1}e^{ip_1x_1+ip_2x_2}\right)
\\
=\sum_{\beta'_1\beta'_2}S(p_1,p_2)^{\beta'_1\beta'_2}_{\beta_1\beta_2}\psi_{\beta'_2p_2,\beta'_1p_1}(\alpha_1x_1,\alpha_2x_2).
$$
Будем считать, что волновая функция $\psi_{\beta_1p_1,\ldots,\beta_np_n}$ задает состояние $|p_1,\ldots,p_n\rangle_{\beta_1\ldots\beta_n}$ с точностью до вещественного симметричного по импульсам нормировочного множителя. Поскольку нас интересуют релятивистские теории, перейдем от импульсов к быстротам: $p_i=m_i\ch\theta_i$. Тогда
\eq$$
|\ldots,\theta_i,\theta_{i+1},\ldots\rangle_{\ldots\beta_i\beta_{i+1}\ldots}
=\sum_{\beta'_i\beta'_{i+1}}S(\theta_i-\theta_{i+1})^{\beta'_i}_{\beta_i}{}^{\beta'_{i+1}}_{\beta_{i+1}}
|\ldots,\theta_{i+1},\theta_i,\ldots\rangle_{\ldots\beta'_{i+1}\beta'_i\ldots}.
\label{vec-theta-commut}
$$
Это равенство можно записать короче. Напомню, что мы считаем все частицы одной массы одной частицей. Пусть $V^{(\nu)}$ "--- пространство состояний частицы сорта~$\nu$, а векторы $e^\beta_{(\nu)}$ являются проекциями состояний $\beta$ на пространство $V_\nu$. Используя обозначение
\eq$$
|\nu_1\theta_1,\ldots,\nu_N\theta_n\rangle=\sum_{\beta_1,\ldots,\beta_n}|\theta_1,\ldots,\theta_n\rangle_{\beta_1\ldots\beta_n}
e^{\beta_1}_{(\nu_1)}\otimes\cdots\otimes e^{\beta_n}_{(\nu_n)},
\label{vec-shortform}
$$
получаем
\eq$$
|\ldots,\nu_i\theta_i,\nu_{i+1}\theta_{i+1},\ldots\rangle
=S^{(\nu_i,\nu_{i+1})}_{i,i+1}(\theta_i-\theta_{i+1})|\ldots,\nu_{i+1}\theta_{i+1},\nu_i\theta_i,\ldots\rangle.
\label{vec-theta-commut-short}
$$

Введем «операторы рождения» $V^+_\beta(\theta)$ и «уничтожения»~$V^\beta(\theta)$:%
\footnote{Здесь написаны формулы только для различных значений $\theta_i$. Для совпадающих значений в случае «бозонной» статистики нужно добавить обычные множители (корни из чисел заполнения).}
%
\eq$$
\Aligned{
V^+_\beta(\theta)|\theta_1,\ldots,\theta_n\rangle_{\beta_1\ldots\beta_n}
&=|\theta,\theta_1,\ldots,\theta_n\rangle_{\beta\beta_1\ldots\beta_n},
\\
V^\beta(\theta)|\theta_1,\ldots,\theta_n\rangle_{\beta_1\ldots\beta_n}
&=\sum^n_{k=1}2\pi\delta(\theta-\theta_k)
\\
&\quad\times\sum_{\beta'_1,\ldots,\beta'_{k-1}\atop\alpha_1,\ldots,\alpha_k}
\delta^\beta_{\alpha_1}\delta^{\alpha_k}_{\beta_k}\prod^{k-1}_{i=1}S(\theta_i-\theta_k)^{\beta'_i}_{\beta_i}{}^{\alpha_i}_{\alpha_{i+1}}
|\theta_1,\ldots,\hat\theta_k,\ldots,\theta_n\rangle_{\beta'_1\ldots\beta'_{k-1}\hat\beta_k\beta_{k+1}\ldots\beta_n}.
}\label{V+V-def}
$$
Отсюда находим квадратичные соотношения
\subeq{\label{VV+-gen-commut}
\Align$$
V^{\beta_1}(\theta_1)V^{\beta_2}(\theta_2)
-\sum_{\beta'_1\beta'_2}S(\theta_1-\theta_2)^{\beta_1}_{\beta'_1}{}^{\beta_2}_{\beta'_2}V^{\beta'_2}(\theta_2)V^{\beta'_1}(\theta_1)
&=0,
\label{VV-commut}
\\
V^+_{\beta_1}(\theta_1)V^+_{\beta_2}(\theta_2)
-\sum_{\beta'_1\beta'_2}S(\theta_1-\theta_2)^{\beta'_1}_{\beta_1}{}^{\beta'_2}_{\beta_2}V^+_{\beta'_2}(\theta_2)V^+_{\beta'_1}(\theta_1)
&=0,
\label{V+V+-commut}
\\
V^{\beta_1}(\theta_1)V^+_{\beta_2}(\theta_2)
-\sum_{\beta'_1\beta'_2}S(\theta_2-\theta_1)^{\beta'_2}_{\beta_2}{}^{\beta_1}_{\beta'_1}V^+_{\beta'_2}(\theta_2)V^{\beta'_1}(\theta_1)
&=2\pi\delta^{\beta_1}_{\beta_2}\delta(\theta_1-\theta_2).
\label{VV+-commut}
$$}
Алгебра с такими соотношениями называется \emph{алгеброй Фаддеева"--~Замолодчикова}. Обратим внимание, что, с учетом условия кроссинг"=симметрии~(\ref{cross-theta}), эти уравнения могут быть записаны в одну строчку
\Multline$$
V^{\beta_1}(\theta_1)V^{\beta_2}(\theta_2)
-\sum_{\beta'_1\beta'_2}S(\theta_1-\theta_2)^{\beta_1}_{\beta'_1}{}^{\beta_2}_{\beta'_2}V^{\beta'_2}(\theta_2)V^{\beta'_1}(\theta_1)
=2\pi C^{\beta_1\beta_2}\delta(\theta_1-\theta_2-i\pi)
\\
-2\pi\sum_{\beta'_1\beta'_2}C^{\beta'_1\beta'_2}S(-i\pi)^{\beta_1\beta_2}_{\beta'_1\beta'_2}\delta(\theta_1-\theta_2+i\pi),
\label{VV-unif-commut}
$$
если положить
\eq$$
V^+_\alpha(\theta)=\sum_\beta C_{\alpha\beta}V^\beta(\theta-i\pi).
\label{V+-V-rel}
$$
Здесь $C_{\alpha\beta}$ "--- матрица $CPT$"=преобразования, представляющая собой симметричную матрицу, для которой существует унитарная матрица $U$, такая что $UCU^t=1$. В уравнении (\ref{VV-unif-commut}) мы считаем, что переменные $\theta_i$ могут пробегать значения на двух (направленных, по соглашению, слева направо) прямых:
\eq$$
\theta_i\in\cC_\rightrightarrows\equiv\R\cup(\R-i\pi).
\label{cC-twolines}
$$

Обратим внимание еще на один важный момент. Вообще говоря, матрица $S(i\pi)$ не обязана быть обратимой, так что матрица $S(-i\pi)$ может не существовать. Это случается, например, когда $S(0)=\pm P$ при размерности пространства внутренних состояний больше~1. Но произведение $S_{12}(-i\pi+\varepsilon)C_{12}$ имеет конечный предел при $\varepsilon\to0$. Например, для модели синус-Гордона и $O(N)$"=моделей этот предел равен~$-C_{12}$.

Пусть теперь $\hat I_s$ "--- локальный интеграл движения спина~$s$, причем в выбранном базисе действие интегралов движения диагонализуется:
\eq$$
\hat I_s|\theta_1,\ldots,\theta_n\rangle_{\beta_1\ldots\beta_n}
=I_s(\theta_1,\ldots,\theta_n)_{\beta_1\ldots\beta_n}|\theta_1,\ldots,\theta_n\rangle_{\beta_1\ldots\beta_n},
\qquad
I_s(\theta_1,\ldots,\theta_n)_{\beta_1\ldots\beta_n}=\sum^n_{i=1}I_{s,\beta_i}e^{s\theta_i}.
\label{Is-eigenvalue}
$$
Отсюда очевидно следуют коммутационные соотношения
\eq$$
[\hat I_s,V^+_\beta(\theta)]=I_{s,\beta}e^{s\theta}V^+_\beta(\theta),
\qquad
[\hat I_s,V^\beta(\theta)]=-I_{s,\beta}e^{s\theta}V^\beta(\theta).
\label{Is-V+V-commut}
$$
Согласие с условием кроссинг"=симметрии в виде~(\ref{V+-V-rel}) накладывает на собственные значения ограничение
\eq$$
I_{s,\alpha}\delta^\alpha_{\alpha'}=(-1)^{s-1}\sum_\beta C^{\alpha\beta}I_{s,\beta}C_{\beta\alpha'}.
\label{Is-crossing}
$$
Отсюда немедленно следует

\begin{theorem}
Если в лоренц"=инвариантной модели имеется нейтральная частица или пара частица"--~античастица с недиагональной матрицей рассеяния, на которых интегралы движения диагонализуются, интегралы движения четных спинов имеют нулевые собственные значения на этих частицах. Как следствие, если в модели есть только частицы этих двух сортов, она не имеет интегралов движения четных спинов.
\end{theorem}

Действительно, наличие нейтральной частицы $1$ означает, что в подходящем базисе имеется блок $1\times1$ с матрицей $C=1$ на нем. Следовательно, $I_{s,1}=(-1)^{s-1}I_{s,1}$. Следовательно, $I_{2n,1}=0$.

Пусть теперь в системе имеется частица $1$ и античастица $\bar1$ с $C=\sigma^1$ (в этом блоке), такие что матричный элемент $1+\bar1\to\bar1+1$ не равен нулю. Тогда $I_{s,1}=(-1)^{s-1}I_{s,\bar1}$. Рассмотрим процесс рассеяния частицы с быстротой $\theta_1$ и античастицы с быстротой $\theta_2$. Тогда до и после рассеяния собственные значения интегралов движения должны быть одинаковы:
$$
I_{s,1}e^{s\theta_1}+I_{s,\bar1}e^{s\theta_2}=I_{s,\bar1}e^{s\theta_1}+I_{s,1}e^{s\theta_2}.
$$
Это значит, что $I_{s,1}=I_{s,\bar1}=(-1)^{s-1}I_{s,1}$. Отсюда заключаем, что $I_{2n,1}=0$.

Теперь мы видим причину, почему модель синус"=Гордона имеет только интегралы движения нечетных спинов. Однако ограничения на спины интегралов движения могут иметь и другой характер: они могут быть связаны со связанными состояниями.

Посмотрим, как ведут себя интегралы движения на связанных состояниях. Вспомним формулу~(\ref{S-bound-eq}) и картинку к ней~(\ref{S-bound-eq-graph}). Слиянию двух линий на картинке следует сопоставить слияние операторов~$V$:
\eq$$
V^c(\theta)=\sum_{a,b}\Gamma^c_{ab}V^b(\theta-i\bar u^{\bar a}_{b\bar c})V^a(\theta+i\bar u^{\bar b}_{\bar ca}).
\label{V-bound}
$$
Суммирование по $a$ и $b$ ведется только по внутренним состояниям частиц $a$ и~$b$ соответственно. Из коммутационных соотношений~(\ref{Is-V+V-commut}) получаем
\eq$$
I_{s,c}=I_{s,a}e^{is\bar u^{\bar b}_{\bar ca}}+I_{s,b}e^{-is\bar u^{\bar a}_{b\bar c}}.
\label{Is-bound}
$$
Дополнительные ограничения возникают, когда при последовательном построении связанных состояний какое"=то связанное состояние совпадает с одной из «элементарных» частиц, из которых оно построено.

Приведем пример. Рассмотрим матрицу рассеяния первого бризера в модели синус"=Гордона в специальной точке $\beta^2=4/5$:
\eq$$
S_{11}(\theta)={\th{1\over2}(\theta+{2\pi i\over3})\over\th{1\over2}(\theta-{2\pi i\over3})}.
\label{S11-p2/3}
$$
Мы хотим построить на основе этой $S$"=матрицы модель, которая содержала бы эту частицу как элементарную. Разумеется, такая модель (если она возможна) будет редукцией модели синус"=Гордона, так как ее пространство состояний будем меньше пространства состояний модели синус"=Гордона. $S$"=матрица~(\ref{S11-p2/3}) имеет полюс на физическом листе: $\theta=2\pi i/3$, однако знак вычета этого полюса по переменной $u=-i\theta$ отрицательный. В модели синус"=Гордона это значило, что этот полюс не отвечает связанному состоянию. Но модель синус"=Гордона "--- унитарная в том смысле, что все ее состояния имеют положительную норму, а редуцированная модель не обязана быть унитарной. Поэтому предположим, что этому полюсу отвечает частица. Назовем ее~$2$. Нетрудно проверить, что масса частицы~$2$ равна массе $M_1$ первого бризера:
$$
M_2=2M_1\cos{\pi\over3}=M_1,
$$
а ее матрицы рассеяния с первым бризером и с собой совпадают с~$S_{11}(\theta)$:
$$
S_{21}(\theta)=S_{11}\left(\theta+{i\pi\over3}\right)S_{11}\left(\theta-{i\pi\over3}\right)=S_{11}(\theta).
$$
Вообще говоря, это не значит, что она совпадает с первым бризером, но если это не так, возникает следующее состояние, которое имеет ту же массу и матрицу рассеяния и т.д. Давайте замкнем спектр частиц на одной частице и \emph{постулируем}, что в нашей теории связанное состояние двух частиц~$1$ является частицей~$1$: $2=1$. Уравнение (\ref{Is-bound}) в этом случае имеет вид:
$$
I_{s,1}=2I_{s,1}\cos{\pi s\over3}.
$$
Отсюда заключаем, что интегралы движения отвечают только таким спинам, что $\cos{\pi s\over3}={1\over2}$, то есть $s=\pm1\pmod6$. Все эти спины нечетные, так что больше никаких ограничений мы не видим. Спектр спинов интегралов движения отвечает $\Phi_{12}$"=возмущениям минимальных конформных моделей. Возмущению какой именно модели отвечает эта теория рассеяния? Как правильно отвечать на этот вопрос, мы разберем в следующей лекции, а сейчас ограничимся эвристическим рассуждением.

Рассмотрим модель синус"=Гордона. Как мы уже это делали на семинаре к лекции~\ref{lec-MTbosonization}, разобьем действие следующим образом:
\eq$$
\cS_0=\int d^2x\,\left({(\d_\mu\phi)^2\over8\pi}+{\mu\over2}e^{-i\beta\phi}\right),
\qquad
\cS_1={\mu\over2}\int d^2x\,e^{i\beta\phi}.
\label{SG-cft+exp-action-Mink}
$$
и будем изучать теорию возмущений по~$\cS_1$. На семинаре мы уже убедились, что первый член описывает некоторую (вообще говоря, неунитарную) конформную теорию с центральным зарядом
$$
c=1-6\left({\sqrt2\over\beta}-{\beta\over\sqrt2}\right)^2.
$$
Эта теория наверняка шире, чем минимальная конформная теория поля и каким"=то образом содержит ее.%
%
\footnote{Минимальные конформные теории поля получаются из них так называемой фельдеровской редукцией. Пространства состояний минимальных моделей находятся как когомологии некоторого сложно устроенного нильпотентного оператора.}
%
Сравнивая с~(\ref{Deltamn-def}), легко заключить, что $\alpha_+=\beta/\sqrt2$, $\alpha_-=-\sqrt2/\beta$. Конформная размерность оператора возмущения $e^{i\beta\phi}$ в этой конформной теории поля равна
\eq$$
\Delta_\pert={\beta\over\sqrt2}\left({\beta\over\sqrt2}-{\sqrt2\over\beta}+{\beta\over\sqrt2}\right)
={1\over4}\left(3{\sqrt2\over\beta}-{\beta\over\sqrt2}\right)^2-{1\over4}\left({\sqrt2\over\beta}-{\beta\over\sqrt2}\right)^2=\Delta_{13}.
\label{Delta13-SG}
$$
Гипотеза состоит в том, что некоторые редукции модели синус"=Гордона описывают $\Phi_{13}$"=возмущения конформных моделей. Поэтому $S$"=матрицы возмущенных минимальных моделей можно получить из $S$"=матриц модели синус"=Гордона в подходящем базисе.

Вернемся к модели с матрицей рассеяния~(\ref{S11-p2/3}). Эта модель представляет собой редукцию модели синус"=Гордона с $\beta^2=4/5$, то есть, как мы ожидаем, $\Phi_{13}$"=возмущения минимальной конформной модели с центральным зарядом $c=1-6(\sqrt{5/2}-\sqrt{2/5})^2=-22/5$. Это "--- минимальная модель $M(2,5)$, иначе именуемая моделью Ли"--~Янга. Эта модель содержит всего два примарных поля с размерностями
$$
\Delta_{11}=\Delta_{14}=0,
\qquad
\Delta_{12}=\Delta_{13}=-1/5.
$$
Таким образом, в этой модели $\Phi_{13}$"=возмущение совпадает с $\Phi_{12}$"=возмущением, что объясняет спектр спинов интегралов движения.

Попробуем продолжить серию моделей с частицами, которые даются бризерным сектором модели синус"=Гордона. Массы бризеров, как мы помним, даются формулой
$$
M_n=2M_{\text{kink}}\sin{\pi pn\over2},
\qquad
n=1,2,\ldots,<1/p,
\qquad
\beta^2=2{p\over p+1}.
$$
Давайте продолжим спектр бризеров за предел $1/p$ и потребуем, чтобы спектр частиц после этого допускал замыкание на «правильные» бризеры. Это так, если $2/p$ "--- целое число. Тогда $M_n=M_{2/p-n}$. Тут возможны два случая. Если $2/p$ четно, это формально соответствует минимальной модели $M(1,1/p)$, обладающей сложными свойствами. Ее таблица Каца пуста, но в ней есть так называемые логарифмические операторы. В модели синус"=Гордона такие модели отвечают безотражательным точкам, когда амплитуда отражения антисолитона на солитоне $c(\theta)=0$. Мы не будем рассматривать этот случай.

Изучим второй случай, отвечающий
\eq$$
{2\over p}=2N-1,
\qquad
N=2,3,\ldots;
\qquad
M_n=M_{2N-1-n}=M_1{\sin{\pi n\over2N-1}\over\sin{\pi\over2N-1}}
\quad(n=1,2,\ldots,2N-2).
\label{ribbon-spectrum}
$$
Этот случай отвечает, как мы ожидаем, $\Phi_{13}$"=возмущению «ленточных» минимальных моделей $M(2,\allowbreak2N+1)$, примарные операторы $\Phi_{1n}=\Phi_{1,2N+1-n}$ которых имеют размерности
\eq$$
\Delta_{1n}=-{(n-1)(2N-n)\over2(2N+1)}
\quad(n=1,2,\ldots,2N).
\label{Delta1n-ribbon}
$$
Нетрудно показать, что
\eq$$
S_{n,2N-1-n'}(\theta)=S_{nn'}(\theta),
\label{S-ribbon-symmetry}
$$
что согласуется с отождествлением частиц $n=(2N-1-n)$. Посмотрим, как это отождествление ограничивает набор интегралов движения. Как видно из спектра масс, $n$-тая частица представляет собой связанное состояние частиц $(n-1)$ и~$1$ с параметрами
\eq$$
\bar u^1_{n,n-1}={\pi\over2N-1},
\qquad
\bar u^{n-1}_{1n}={\pi(n-1)\over2N-1}.
\label{un-ribbon}
$$
Следовательно
\Multline*$$
I_{s,n}=I_{s,n-1}e^{i\pi s/(2N-1)}+I_{s,1}e^{-i\pi s(n-1)/(2N-1)}=I_{s,1}\sum^n_{k=1}e^{i\pi s(n+1-2k)/(2N-1)}
\\
=I_{s,1}\times\Cases{{\sin{\pi sn\over2N-1}\over\sin{\pi s\over2N-1}},&s\ne0\pmod{2N-1};\\
n(-1)^{s(n+1)/(2N-1)},&s=0\pmod{2N-1}.}
$$
Потребовав $I_{s,2N-2}=I_{s,1}$, получаем, что $s\ne0\pmod{2N-1}$ и $(-1)^{s-1}=1$, то есть спины нечетны и не кратны $2N-1$. Это соответствует спектру $\Phi_{13}$"=возмущений «ленточных» моделей, описанному в прошлой лекции.

Хотя мы рассматривали очень частные модели, наши рассуждения вполне достаточны для доказательства следующей теоремы:

\begin{theorem}
Если теория содержит нейтральную частицу обладающую $\Phi^n$"=свойством, то есть, если имеется цепочка последовательных $n-2$ слияний:
$$
1+1\to2,\ 1+2\to3,\ \ldots,\ (n-2)+1\to1,
$$
причем каждая следующая частица $1$ в цепочке отстоит от предыдущей на один и тот же угол $u^2_{11}$ в одном и том же направлении,%
%
\footnote{Это значит, что все слияния связаны с одним и тем же полюсом в матрице $S_{11}(\theta)$, входящей в каждую матрицу $S_{k1}(\theta)$ с наименьшей мнимой частью.}
%
собственные значения интегралов движения спинов кратных $n$ равны нулю на этой частице.
\end{theorem}

Центральные заряды и конформные размерности в моделях, о которых мы до сих пор говорили, отрицательны, так что модели неунитарны. Попробуем изучить какую"=нибудь унитарную модель. Рассмотрим конформную модель $M(3,4)$ ($c=1/2$), отвечающую скейлинговому пределу модели Изинга. В этой модели в симметричном секторе имеется три примарных оператора:
\eq$$
\Phi_{11}=\Phi_{23}=1:\ \Delta_{11}=0;
\qquad
\Phi_{21}=\Phi_{13}=\ve:\ \Delta_{13}={1\over2};
\qquad
\Phi_{12}=\Phi_{22}=\sigma:\ \Delta_{12}={1\over16}.
\label{Ising-primops}
$$
Оператор $\ve$ принято называть энергетическим оператором, хотя, строго говоря, он отвечает плотности энтропии магнетика. В представлении свободными фермионами это оператор~$\bar\psi\psi$, а коэффициент при нем есть масса фермиона, которая, как известно, пропорциональна $T-T_c$. Оператор $\sigma$ пропорционален намагниченности и коэффициент при нем пропорционален внешнему магнитному полю. То есть, общее возмущение теории имеет (в эвклидовом пространстве) вид:%
%
\footnote{В пространстве Минковского только меняются знаки перед $\tau$ и~$h$.}
%
$$
\cS=\cS_{M(3,4)}+\tau\int d^2x\,\ve(x)-h\int d^2x\,\sigma(x),
\qquad
\tau\sim{T-T_c\over T_c},
\qquad
h\sim H_{\text{ext}}.
$$
Такая общая теория не является интегрируемой, поскольку не имеет высших интегралов движения. В то же время по"=отдельности теории с $h=0$ (температурное возмущение) и $\tau=0$ (возмущение внешним магнитным полем) интегрируемы.

С другой стороны мы знаем, что модель Изинга соответствует классической теории Ландау со свободной энергией
\eq$$
F[\sigma]=\int d^2x\,\left({g\over2}(\nabla\sigma)^2-h\sigma+{a\tau\sigma^2\over2}+{b\sigma^4\over4!}+\cdots\right).
\label{Ising-FLandau}
$$
Теория Ландау является теорией среднего поля и теряет применимость в достаточно малой окрестности критической точки (флуктуационной области). Но свободную энергию~(\ref{Ising-FLandau}) можно использовать в качестве «затравочного действия» для флуктуационной теории.

Рассмотрим сначала температурное возмущение. Теория Ландау здесь не очень полезна. Зато имеется точное и явное решение, сводящее теорию к свободному майорановским фермиону с эвклидовым действием $S[\psi]={1\over2}\int d^2x\,\bar\psi(i\hat\d+m)\psi$. Соответственно, если описывать частицы бозонным полем $\sigma$, матрица рассеяния будет равна $S(\theta)=-1$. Интегралы движения выражаются явно через фермионное поле (см.\ задачу к предыдущей лекции).

Теперь рассмотрим возмущение магнитным полем~\cite{FZ}. Размерность константы связи $h$ равна $2-1/8=15/8$. Так как в теории больше нет размерных постоянных, массы частиц пропорциональны~$h^{8/15}$. Пусть $m_1$ "--- масса самой легкой частицы~1. Предположим, что это "--- нейтральная частица, связанная с флуктуациями параметра порядка. Вспомним, что спины интегралов движения модели равны
\eq$$
s=1,7,11,13,17,19,23,29\pmod{30}.
\label{IsingMF-s-spectrum}
$$
Обратим внимание, что в этом спектре отсутствуют спины кратные~$3$. Это может говорить о том, что частица обладает $\Phi^3$"=свойством в согласии с теорией Ландау. Действительно, при $\tau=0$ параметр порядка $\sigma$ в свободной энергии Ландау имеет минимум в точке $\sigma=\sigma_0=(6h/b)^{1/3}$. Вблизи минимума свободную энергию можно разложить по $\varphi=\sigma-\sigma_0$:
$$
F[\sigma_0+\varphi]=\const+\int d^2x\,\left({g\over2}(\nabla\varphi)^2+{b^{1/3}(6h)^{2/3}\varphi^2\over4}
+h\varphi^3+{b\varphi^4\over4!}+\cdots\right).
$$
Заметим, что критические индексы при $T=T_c$ в теории Ландау не слишком сильно отличаются от точных критических индексов (что не так при $T\ne T_c$).

Кроме того, в спектре отсутствуют спины кратные~$5$. Для того, чтобы выполнялось $\Phi^5$"=свойство необходимо, чтобы была еще одна частица~$2$, которая была бы связанным состоянием $1+1$, и при этом частица~$1$ была бы связанным состоянием $2+2$. Из~(\ref{Is-bound}) находим уравнения
$$
I_{s,2}=2I_{s,1}\cos s\bar u^1_{21},
\qquad
I_{s,1}=2I_{s,2}\cos s\bar u^2_{12}
$$
для всех $s$ из~(\ref{IsingMF-s-spectrum}). Отсюда
$$
4\cos s\bar u^1_{21}\cos s\bar u^2_{12}=1.
$$
При условии $2\cos\bar u^1_{21}=m_2/m_1>1$ эта система уравнений имеет решение
\eq$$
\bar u^1_{21}={\pi\over5},
\qquad
\bar u^2_{12}={2\pi\over5}.
\label{IsingMF-u211-u122}
$$
Отсюда находим
\eq$$
{m_2\over m_1}=2\cos{\pi\over5}\simeq1.618.
\label{IsingMF-m2}
$$
Теперь нам нужно найти $S$"=матрицу $S_{11}(\theta)$, удовлетворяющую обычным условиям $S_{11}(\theta)=S_{11}(i\pi-\theta)=S_{11}^{-1}(-\theta)$ и условию
\eq$$
S_{11}\left(\theta+{i\pi\over3}\right)S_{11}\left(\theta-{i\pi\over3}\right)=S_{11}(\theta),
\label{S11-selfeq}
$$
как и для модели Ли"--~Янга, но при этом также имеющую полюс при $-i\theta={2\pi\over5}$ с положительным вычетом. Из~(\ref{S11-selfeq}) немедленно следует, что $S$"=матрица имеет полюсы при $-i\theta={\pi\over15},{14\pi\over15}$ от первого сомножителя, причем второй (возникающий в силу кроссинг"=симметрии) полюс должен иметь отрицательный вычет, чтобы не было частиц меньшей массы. Возможные полюсы $-i\theta={11\pi\over15},{4\pi\over15}$ от второго сомножителя сокращаются нулями от первого сомножителя:
$$
S_{11}\left({11\pi i\over15}+{i\pi\over3}\right)=S_{11}\left(i\pi+{i\pi\over15}\right)=S_{11}\left(-{i\pi\over15}\right)
=S_{11}^{-1}\left({i\pi\over15}\right)=0.
$$
Нетрудно подобрать $S_{11}$ в виде
\eq$$
S_{11}(\theta)={\th{\theta+2\pi i/3\over2}\th{\theta+2\pi i/5\over2}\th{\theta+\pi i/15\over2}
  \over\th{\theta-2\pi i/3\over2}\th{\theta-2\pi i/5\over2}\th{\theta-\pi i/15\over2}}.
\label{IsingMF-S11}
$$
Полюс в точке $-i\theta={\pi\over15}$ имеет положительный вычет, и, таким образом, в системе имеется еще одна частица~$3$:
\eq$$
\bar u^1_{31}={\pi\over30},
\qquad
{m_3\over m_1}=2\cos{\pi\over30}\simeq1.989.
\label{IsingMF-m3}
$$
Далее, амплитуда рассеяния
\eq$$
S_{12}(\theta)=S_{11}\left(\theta+{i\pi\over5}\right)S_{11}\left(\theta-{i\pi\over5}\right)
\label{IsingMF-S12}
$$
имеет полюсы в точках $-i\theta={4\pi\over5},{3\pi\over5},{7\pi\over15},{4\pi\over15}$. Первые три легко отождествляются с $u^a_{12}$, $a=1,2,3$. Последний соответствует новой частице~$4$ массы
\eq$$
{m_4\over m_1}=4\cos{\pi\over5}\cos{7\pi\over30}\simeq2.405.
\label{IsingMF-m4}
$$
Продолжая процедуру дальше, можно найти еще четыре частицы с массами
\eq$$
\Aligned{
{m_5\over m_1}
&=4\cos{\pi\over5}\cos{2\pi\over15}\simeq2.956,
&\quad
{m_6\over m_1}
&=4\cos{\pi\over5}\cos{\pi\over30}\simeq3.218,
\\
{m_7\over m_1}
&=8\cos^2{\pi\over5}\cos{7\pi\over30}\simeq3.891,
&\quad
{m_8\over m_1}
&=8\cos^2{\pi\over5}\cos{2\pi\over15}\simeq4.783.
}\label{IsingMF-m5678}
$$
Частицы~5 и~6 появляются как связанные состояния $2+2$, частица~7 появляется в канале $3+3$, а частица~8 "--- в канале $4+4$.

\bigbreak
\bigskip
\centerline{\bf Задачи}
\medskip

\begin{asparaenum}[\bf1.]

\item Проверьте, что соотношения~(\ref{VV+-gen-commut}) могут быть записаны в виде~(\ref{VV-unif-commut}).

\item Покажите, что определение~(\ref{V-bound}) согласуется с уравнением~(\ref{S-bound-eq}) для матрицы рассеяния связанных состояний.

\item Рассмотрите модель синус"=Гордона в безотражательных точках $p=1/N$. Покажите, что спектр разрешенных спинов интегралов движения состоит из всех нечетных значений $s$ и значений $s=N\pmod{2N}$: $s\in(2\Z+1)\cup N(2\Z+1)$.

\item Рассмотрите теорию с парой частица"--~античастица $(1,\bar1)$ массы $m$ с матрицей рассеяния
\eq$$
S_{11}={\sh(\theta/2-i\pi g)\over\sh(\theta/2+i\pi g)},
\qquad
S_{1\bar1}(\theta)=S_{11}(i\pi-\theta).
\label{CsG-Smatrix}
$$
Найдите спектр интегралов движения этой теории. Найдите отношения $I_{s,\bar1}/I_{s,1}$ для этих интегралов движения. Покажите, что матрица рассеяния (\ref{CsG-Smatrix}) в первом порядке по теории возмущений совпадает с матрицей рассеяния теории с действием (в пространстве Минковского) \emph{комплексной модели синус"=Гордона}:
\eq$$
\cS[\chi,\bar\chi]=\int {d^2x\over4\pi}\,\left({\d_\mu\chi\,\d^\mu\bar\chi\over1+g\bar\chi\chi}-m^2\bar\chi\chi\right).
\label{CsG-action}
$$
(На самом деле, после подходящей перенормировки массы и константы связи, выражение (\ref{CsG-Smatrix}) дает точную $S$"=матрицу этой теории.)

\starenumi
\item Снова рассмотрим $S$"=матрицу~(\ref{CsG-Smatrix}), но при значениях константы связи~$-1<g<0$. В этом случае $S$"=матрица имеет полюс при $-i\theta=\pi|g|$ с положительным вычетом. Найдите спектр связанных состояний, порожденных из частиц~$1$ и~$\bar1$. При целых значениях величины $-g^{-1}=N\ge2$ спектр частиц содержит пары частиц одинаковой массы и равного по модулю $N$ заряда. Покажите, что при отождествлении частиц в этих парах теория рассеяния самосогласованна (\emph{$\Z_N$"=симметричная модель Изинга}). Найдите спектр спинов интегралов движения в этой теории.

\end{asparaenum}

%\null
%\bigbreak
%\bigbreak
%\centerline{\bf Семинар~\thesection}
%\medskip
%\centerline{\bf Квантовая группа $U_q(sl_2)$}
%
%Сегодня мы рассмотрим квантовую деформацию универсальной обвертывающей алгебры $U(sl_2)$, называемую обычно \emph{квантовой группой} $U_q(sl_2)$. Вспомним для начала структуру алгебры Ли $sl_2\equiv sl(2,\C)$. Мы знаем, что она порождается тремя элементами $e,f,h$ с коммутационными соотношениями
%\eq$$
%[e,f]=h,
%\qquad
%[h,e]=2e,
%\qquad
%[h,f]=-2f.
%\label{sl2-relations}
%$$
%В теории представлений удобнее работать не с самой алгеброй Ли, а с ее универсальной обвертывающей. Если $g$ "--- алгебра Ли, $T(g)$ "--- тензорная алгебра над векторным пространством~$g$, а $I(g)$ "--- идеал в $T(g)$, порожденный элементами $a\otimes b-b\otimes a-[a,b]$, $a,b\in g$, то $U(g)=T(g)/I(g)$. Иными словами, универсальная обвертывающая алгебра "--- это ассоциативная алгебра порожденная генераторами алгебры Ли, в которой коммутатор двух элементов отождествлен со скобкой Ли и никаких других соотношений нет.
%
%В физике нам важно «складывать спины», то есть важно, чтобы для любых двух представлений $(V_1,\pi_1)$ и $(V_2,\pi_2)$ было определено представление на пространстве $V_1\otimes V_2$. В алгебрах Ли это делается элементарно: для любого элемента $a\in g$ определяется представление $\pi_{12}(a)=\pi_1(a)\otimes1+1\otimes\pi_2(a)$. При этом
%\Multline*$$
%\pi_{12}([a,b])=\pi_1([a,b])\otimes1+1\otimes\pi_2([a,b])=[\pi_1(a),\pi_1(b)]\otimes1+1\otimes[\pi_2(a),\pi_2(b)]
%\\
%=[\pi_1(a)\otimes1+1\otimes\pi_2(a),\pi_1(b)\otimes1+1\otimes\pi_2(b)]=[\pi_{12}(a),\pi_{12}(b)],
%\qquad
%a,b\in g.
%$$
%Более того, если здесь заменить скобку Ли произведением в универсальной обвертывающей, равенство сохранится. Иными словами, можно определить оператор $\Delta:U(g)\to U(g)\otimes U(g)$ уравнением
%$$
%\Delta(a)=a\otimes1+1\otimes a,\qquad a\in g,
%$$
%такой что $\Delta(a)\Delta(b)=\Delta(ab)$, если $a,b\in U(g)$. Существование такого отображения и позволяет нам «складывать спины».
%
%Деформируем теперь коммутационные соотношения (\ref{sl2-relations}). Пусть $q\in\C$. Построим ассоциативную алгебру $U_q(sl_2)$ с образующими $e,f,t^{\pm1}$ и соотношениями
%\eq$$
%tt^{-1}=1=t^{-1}t,
%\qquad
%tet^{-1}=q^2e,
%\qquad
%tft^{-1}=q^{-2}f,
%\qquad
%ef-fe={t-t^{-1}\over q-q^{-1}}.
%\label{Uqsl2-relations}
%$$
%Если положить $t=q^h$ и устремить $q\to1$, в пределе мы получим соотношения~(\ref{sl2-relations}). Однако эти соотношения не являются соотношениями в какой бы то ни было алгебре Ли. Можно ли как-то обобщить теорию представлений алгебры Ли $sl_2$ на деформированную алгебру~$U_q(sl_2)$? Оказывается, это делается довольно просто в случае когда $q$ не является корнем из единицы, т.е.\ $q^n\ne1$ для любого целого~$n$. Во"=первых, как и для алгебры $U(sl_2)$ определены представления старшего веса. Пусть $v$ "--- вектор в пространстве~$M(n)$, такой что
%$$
%\pi(e)v=0,
%\qquad
%\pi(t)v=q^nv,
%$$
%а само $M_n$ является линейной оболочкой линейно"=независимых векторов~$\pi(f^k)v$, $k\ge0$. Такое представление называется модулем Верма. Если $n\in\Z$ и $n\ge0$, в модуле Верма имеется нуль"=вектор $\pi(f^{n+1})v$. Фактор"=пространство
%\eq$$
%V(n)=M(n)/\{\pi(af^{n+1})v|a\in g\}
%\label{Uqsl2-irrep}
%$$
%представляет собой $(n+1)$"=мерное представление алгебры~$U_q(sl_2)$. Простой пример представляет собой пространство $V(2)$ на котором
%$$
%\pi(e)=\pMatrix{0&1\\0&0},
%\qquad
%\pi(f)=\pMatrix{0&0\\1&0},
%\qquad
%\pi(t)=\pMatrix{q&0\\0&q^{-1}}.
%$$
%
%Возможность перемножать представления связана с тем, что на алгебре $U_q(sl_2)$ задана структура \emph{алгебры Хопфа}. Алгеброй Хопфа называется ассоциативная алгебра $A$, на которой заданы два гомоморфизма "--- коумножение $\Delta:A\to A\otimes A$ и коединица $\epsilon:A\to\C$ "--- и один антигомоморфизм "--- антипод $S:A\to A$ "--- со следующими свойствами
%\eq$$
%\Aligned{
%(\Delta\otimes\id)\circ\Delta
%&=(\id\otimes\Delta)\circ\Delta,
%\\
%(\epsilon\otimes\id)\circ\Delta
%&=\id=(\id\otimes\epsilon)\circ\Delta,
%\\
%m\circ(S\otimes\id)\circ\Delta
%&=\epsilon=m\circ(\id\otimes S)\circ\Delta.
%}\label{Hopf-relations}
%$$
%В последней строчке $m:A\otimes A\to A$ "--- умножение в алгебре~$A$. В универсальной обвертывающей $U(g)$ структура алгебры Хопфа проста:
%$$
%\Gathered{
%\Delta(1)=1\otimes1,
%\qquad
%\Delta(a)=a\otimes1+1\otimes a,
%\\
%\epsilon(1)=1,
%\qquad
%\epsilon(a)=0,
%\\
%S(1)=1,
%\qquad
%S(a)=-a
%\qquad(a\in g).
%}
%$$
%В квантовой деформации $U_q(sl_2)$ все немного сложнее:
%\eq$$
%\Gathered{
%\Delta(e)=e\otimes1+t\otimes e,
%\qquad
%\Delta(f)=f\otimes t^{-1}+1\otimes f,
%\qquad
%\Delta(t^{\pm1})=t^{\pm1}\otimes t^{\pm1},
%\\
%\epsilon(e)=\epsilon(f)=0,
%\qquad
%\epsilon(t^{\pm1})=1,
%\\
%S(e)=-t^{-1}e,
%\qquad
%S(f)=-ft,
%\qquad
%S(t^{\pm1})=t^{\mp1}.
%}\label{Uqsl2-Hopf-structure}
%$$
