% !TeX spellcheck = ru_RU
% !TeX encoding = UTF-8
\section{\texorpdfstring{Точные формфакторы квазилокальных операторов}{Tochnye formfaktory kvazilokalnyx operatorov}}
\label{lec-FF}
\setcounter{page}1

Вернемся к алгебре Фаддеева"--~Замолодчикова. Напомним, что операторы $V_\alpha(\theta)$ определены на двух прямых
\eq$$
\theta_i\in\cCrr\equiv\R\cup(\R-i\pi)
\label{cC-twolines-rep}
$$
и удовлетворяют соотношению
\Multline$$
V^{\alpha_1}(\theta_1)V^{\alpha_2}(\theta_2)
-\sum_{\alpha'_1\alpha'_2}S(\theta_1-\theta_2)^{\alpha_1}_{\alpha'_1}{}^{\alpha_2}_{\alpha'_2}V^{\alpha'_2}(\theta_2)V^{\alpha'_1}(\theta_1)
=2\pi C^{\alpha_1\alpha_2}\delta(\theta_1-\theta_2-i\pi)
\\
-2\pi\sum_{\alpha'_1,\alpha'_2}C^{\alpha'_1\alpha'_2}S(-i\pi)^{\alpha_1\alpha_2}_{\alpha'_1\alpha'_2}\delta(\theta_1-\theta_2+i\pi),
\label{VV-unif-commut-rep}
$$
При этом операторы на верхней прямой можно интерпретировать как операторы уничтожения, а операторы на нижней прямой "--- как операторы рождения:
\eq$$
V^+_\alpha(\theta)=\sum_\beta C_{\alpha\beta}V^\beta(\theta-i\pi).
\label{V+-V-rel-rep}
$$
Можно естественным способом определить нормальное упорядочение:
\eq$$
\Gathered{
\lcolon X\rcolon=X,
\text{ если }
X=V^+_{\beta_1}(\vartheta_1)\cdots V^+_{\beta_L}(\vartheta_L)V^{\alpha_K}(\theta_K)\cdots V^{\alpha_1}(\theta_1),
\quad
\theta_i,\vartheta_j\in\R;
\\
\lcolon XV^{\alpha_1}(\theta_1)V^{\alpha_2}(\theta_2)Y\rcolon
=\sum_{\alpha'_1\alpha'_2}S(\theta_1-\theta_2)^{\alpha_1\alpha_2}_{\alpha'_1\alpha'_2}
\lcolon XV^{\alpha'_2}(\theta_2)V^{\alpha'_1}(\theta_1)Y\rcolon.
}\label{VV-normorder}
$$
В случаях, когда $S(\theta)=\pm1$, алгебра Фаддеева"--~Замолодчикова сводится к алгебре бозонных или фермионных операторов, описывающих систему свободных бозонов или фермионов соответственно.

Определим оператор
\eq$$
O(x)=\sum^\infty_{n=0}{1\over n!}\sum_{\{\alpha_i\}}\prod^n_{i=1}\int_\cCrr{d\theta_i\over2\pi}\,
e^{-ix\sum^n_{i=1}P_{\alpha_i}(\theta_i)}
F_O(\theta_1,\ldots,\theta_n)_{\alpha_1\ldots\alpha_n}\lcolon V^{\alpha_n}(\theta_n)\cdots V^{\alpha_1}(\theta_1)\rcolon,
\label{O-ffdecomp}
$$
заданный бесконечным набором мероморфных функций $F_O(\theta_1,\ldots,\theta_N)$ комплексных переменных~$\theta_i$, называемых \emph{формфакторами} оператора~$O$. Здесь
$$
P^0_\alpha(\theta)=m_\alpha\ch\theta,
\qquad
P^1_\alpha(\theta)=m_\alpha\sh\theta.
$$
Сходимость интегралов в мнимом времени требует, чтобы формфакторы росли медленнее, чем $e^{\tau e^\theta}$ с любым положительным~$\tau$.

Очевидно, эти операторы являются трансляционно"=инвариантными в следующем смысле
\eq$$
i\d_\mu O(x)=[O(x),P_\mu],
\label{O-translinv}
$$
где $P_\mu$ "--- оператор импульса, определенный как
\eq$$
P_\mu=\sum_\alpha\int_\R{d\theta\over2\pi}\,P_{\alpha\mu}(\theta)V^+_\alpha(\theta)V^\alpha(\theta)
\quad\Rightarrow\quad
[P_\mu,V^\alpha(\theta)]=-P_{\alpha\mu}(\theta)V^\alpha(\theta).
\label{Pmu-def}
$$
Так как $P_0=H$ является гамильтонианом, оператор $O(x)$ является решением уравнения Гайзенберга. Кроме трансляционной инвариантности мы будем требовать лоренц"=инвариантности. Определим \emph{лоренцев спин} $s_O$ оператора $O(x)$ следующим свойством:
\eq$$
F_O(\theta_1+\lambda,\ldots,\theta_n+\lambda)_{\alpha_1\ldots\alpha_n}
=e^{s_O\lambda}F_O(\theta_1,\ldots,\theta_n)_{\alpha_1\ldots\alpha_n}.
\label{FO-spin}
$$
Тогда
\eq$$
i(x^\mu\d^\nu-x^\nu\d^\mu)O(x)=\epsilon^{\mu\nu}\left(is_OO(x)+[O(x),L]\right),
\label{O-Lorentzinv}
$$
где антисимметричный тензор нормирован условием $\epsilon_{01}=-\epsilon^{01}=1$, а оператор момента $L$ определяется как
\eq$$
L=i\sum_\alpha\int_\R{d\theta\over2\pi}\,V^+_\alpha(\theta){d\over d\theta}V^\alpha(\theta)
\quad\Rightarrow\quad
[L,V^\alpha(\theta)]=-i{d\over d\theta}V^\alpha(\theta).
\label{L-def}
$$
В результате при преобразовании Лоренца, характеризуемом быстротой $\lambda$, корреляционные функции вида $\langle\prod O_i(x_i)\rangle$ будут умножаться на на $e^{\lambda\sum s_{O_i}}$.

Легко видеть, что на вещественной оси функции $F_O$ являются матричными элементами вида
\eq$$
\langle\vac|O(x)|\theta_1,\ldots,\theta_n\rangle_{\alpha_1\ldots\alpha_n}
=e^{-ix\sum^n_{i=1}P_{\alpha_i}(\theta_i)}F_O(\theta_1,\ldots,\theta_n)_{\alpha_1\ldots\alpha_n},
\qquad
\theta_1>\cdots>\theta_n.
\label{O-vac-matel}
$$
Более общо,
\Multline$$
{}_{\beta_1\ldots\beta_{n'}}\langle\vartheta_1,\ldots,\vartheta_{n'}|O(x)|\theta_1,\ldots,\theta_n\rangle_{\alpha_1\ldots\alpha_n}
=e^{-ix\sum^n_{i=1}P_{\alpha_i}(\theta_i)+ix\sum^{n'}_{i=1}P_{\beta_i}(\vartheta_i)}
\\
\times
\sum_{\{\beta'_i\}}\prod^{n'}_{i=1}C_{\beta_i\beta'_i}\cdot
F_O(\theta_1^-,\ldots,\theta_n^-,\vartheta_{n'}^+-i\pi,\ldots,\vartheta_1^+-i\pi)_{\alpha_1\ldots\alpha_n\beta'_{n'}\ldots\beta'_1},
\label{O-matel}
$$
где мы обозначили $\theta_i^\pm=\theta_i\pm i0$, если $\theta_1>\ldots>\theta_n$, $\vartheta_1>\ldots>\vartheta_{n'}$. Обратим внимание, что функции $F_O$ совпадают с матричными элементами только в точках, где все $\theta_i\ne\vartheta_j$. Там, где какие"=нибудь $\theta_i$ и $\vartheta_j$ совпадают, в матричных элементах возникают контактные члены, которые легко извлекаются из определения~(\ref{O-ffdecomp}). Бесконечно малые добавки будут пояснены позже.

Графически это равенство можно изобразить так:
$$
\tikz[baseline=-2pt]{
% lower legs
  \coordinate (t) at (-2.5,-2.5); \coordinate (tar) at ($(t)!.3!(0,0)$);
  \draw[->] (t) node[below] {$\theta_1$} -- (tar) node[left] {$\alpha_1\,$}; \draw[-] (tar) -- (0,0);
  \coordinate (t) at (-1,-2.5); \coordinate (tar) at ($(t)!.3!(0,0)$);
  \draw[->] (t) node[below] {$\theta_2$} -- (tar) node[left] {$\alpha_2$}; \draw[-] (tar) -- (0,0);
  \coordinate (t) at (0,-2.5); \coordinate (tar) at ($(t)!.3!(0,0)$);
  \draw[->] (t) node[below] {$\>\theta_3$} -- (tar) node[left] {$\alpha_3$}; \draw[-] (tar) -- (0,0);
  \node at (1,-2.5) {$\cdots$};
  \coordinate (t) at (2,-2.5); \coordinate (tar) at ($(t)!.3!(0,0)$);
  \draw[->] (t) node[below] {$\>\>\theta_n$} -- (tar) node[left] {$\alpha_n$}; \draw[-] (tar) -- (0,0);
% upper legs
  \coordinate (t) at (-1.7,2.5); \coordinate (tar) at ($(0,0)!.7!(t)$);
  \draw[->] (0,0) -- (tar) node[left] {$\beta_1\!$}; \draw[-] (tar) -- (t) node[above] {$\>\vartheta_1$};
  \coordinate (t) at (-.5,2.5); \coordinate (tar) at ($(0,0)!.7!(t)$);
  \draw[->] (0,0) -- (tar) node[left] {$\beta_2\!$}; \draw[-] (tar) -- (t) node[above] {$\vartheta_2$};
  \node at (.5,2.3) {$\cdots$};
  \coordinate (t) at (1.6,2.5); \coordinate (tar) at ($(0,0)!.7!(t)$);
  \draw[->] (0,0) -- (tar) node[left] {$\beta_{n'}$}; \draw[-] (tar) -- (t) node[above] {$\vartheta_{n'}$};
% circle
  \draw[thick,fill=lightgray!30] (0,0) node {$O(x)$} circle (.5cm);
}
\quad=\quad
\tikz[baseline=-2pt]{
% lower legs
  \coordinate (t) at (-2.5,-2.5); \coordinate (tar) at ($(t)!.3!(0,0)$);
  \draw[->] (t) node[below] {$\theta_1$} -- (tar) node[left] {$\alpha_1\,$}; \draw[-] (tar) -- (0,0);
  \coordinate (t) at (-1,-2.5); \coordinate (tar) at ($(t)!.3!(0,0)$);
  \draw[->] (t) node[below] {$\theta_2$} -- (tar) node[left] {$\alpha_2$}; \draw[-] (tar) -- (0,0);
  \coordinate (t) at (0,-2.5); \coordinate (tar) at ($(t)!.3!(0,0)$);
  \draw[->] (t) node[below] {$\>\theta_3$} -- (tar) node[left] {$\alpha_3$}; \draw[-] (tar) -- (0,0);
  \node at (1,-2.5) {$\cdots$};
  \coordinate (t) at (2,-2.5); \coordinate (tar) at ($(t)!.3!(0,0)$);
  \draw[->] (t) node[below] {$\>\>\theta_n$} -- (tar) node[left] {$\alpha_n$}; \draw[-] (tar) -- (0,0);
% upper legs
  \coordinate (t) at (-1.7,2.5); \coordinate (tar) at ($(0,0)!.7!(t)$);
  \draw[-] (0,0) -- (tar) node[left] {$\bar\beta_1\!$}; \draw[<-] (tar) -- (t) node[above left] {$\vartheta_1-i\pi$};
  \coordinate (t) at (-.5,2.5); \coordinate (tar) at ($(0,0)!.7!(t)$);
  \draw[-] (0,0) -- (tar) node[left] {$\bar\beta_2\!$}; \draw[<-] (tar) -- (t) node[above] {$\vartheta_2-i\pi$};
  \node at (.5,2.3) {$\cdots$};
  \coordinate (t) at (1.6,2.5); \coordinate (tar) at ($(0,0)!.7!(t)$);
  \draw[-] (0,0) -- (tar) node[left] {$\bar\beta_{n'}$}; \draw[<-] (tar) -- (t) node[above right] {$\vartheta_{n'}-i\pi$};
% circle
  \draw[thick,fill=lightgray!30] (0,0) node {$O(x)$} circle (.5cm);
}
$$

Представление оператора в виде разложения по произведениям $V^\alpha(\theta)$ позволяет найти выражения для корреляционных функций в виде \emph{спектральных разложений}. Для двухточечной корреляционной функции, например, имеем
\Multline$$
\langle O_1(x)O_2(0)\rangle
=\sum^\infty_{n=0}{1\over n!}\sum_{\{\alpha_i\},\{\alpha'_i\}}\int_\R{d^n\theta\over(2\pi)^n}\,
e^{-ix\sum^n_{i=1}P_{\alpha_i}(\theta_i)}\prod^n_{i=1}C^{\alpha_i\alpha'_i}
\\
\times
F_{O_1}(\theta_1,\ldots,\theta_n)_{\alpha_1\ldots\alpha_n}F_{O_2}(\theta_n-i\pi,\ldots,\theta_1-i\pi)_{\alpha'_n\ldots\alpha'_1}.
\label{2point-corrfun-spectral}
$$
Эта формула получается либо коммутацией операторов $V_\alpha(\theta)$, либо вставкой разложения единицы по собственным векторам. В последнем случае экспоненциальный множитель от суммы импульсов имеет смысл собственного значения композиции оператора эволюции и оператора пространственного сдвига. Ясно, что эта формула позволяет эффективно вычислять корреляционные функции только тогда, когда ряд убывает. Это верно в случае больших расстояний между операторами. Действительно, рассмотрим операторы, разделенные мнимым временем~$-i\tau$. Тогда множитель
$$
\left|e^{-ix\sum^n_{i=1}P_{\alpha_i}(\theta_i)}\right|=e^{-\tau\sum_im_{\alpha_i}\ch\theta_i}\le e^{-\tau\sum_im_{\alpha_i}}
$$
экспоненциально быстро убывает с числом частиц, причем тем быстрее, чем больше~$\tau$.

Из равенства~(\ref{O-matel}) немедленно следует условие эрмитовости оператора, определенного разложением~(\ref{O-ffdecomp}):
\Multline$$
O^+(x)=O(x)
\quad\Leftrightarrow
\\
\left(F_O(\theta_1,\ldots,\theta_n)_{\alpha_1\ldots\alpha_n}\right)^*
=\sum_{\{\alpha'_i\}}\prod^n_{i=1}C_{\alpha_i\alpha'_i}\cdot F_O(\theta_n-i\pi,\ldots,\theta_1-i\pi)_{\alpha'_n\ldots\alpha'_1}
\quad(\forall n\in\Z_{\ge0},\ \theta_i\in\R).
\label{O-hermitian}
$$

Оператор $O(x)$, определенный в~(\ref{O-ffdecomp}), является трансляционно"=инвариантным, но для функций $F_O$ общего вида он не является локальным. Давайте попробуем наложить условия, которые обеспечили бы в каком"=то смысле его локальность. Прежде всего, заметим, что мы можем понимать формулу~(\ref{O-matel}) как результат применения кроссинг"=симметрии к формуле~(\ref{O-vac-matel}). Давайте потребуем, чтобы двукратное применение кроссинг"=симметрии переводило бы формфактор в себя. Постулируем \emph{циклическое свойство}:
\eq$$
F_O(\theta_1,\theta_2,\ldots,\theta_n)_{\alpha_1\alpha_2\ldots\alpha_n}
=\sum_{\alpha'_1}(\Omega^{-1}(O))^{\alpha'_1}_{\alpha_1}F_O(\theta_2,\ldots,\theta_n,\theta_1-2\pi i)_{\alpha_2\ldots\alpha_n\alpha'_1}.
\label{FO-cyclic}
$$
Здесь $\Omega(O)$ "--- некоторая постоянная матрица, смысл которой мы проясним позднее. По кинематическим соображениям мы потребуем, чтобы матрица имела ненулевые матричные элементы только для частиц одинаковой массы. Важно, что при двукратном применении кроссинг"=симметрии мы переместили быстроту~$\theta_1$ из первой позиции в последнюю:
$$
\tikz[baseline=-2pt]{
% lower legs
  \coordinate (t) at (-2.5,-2.5); \coordinate (tar) at ($(t)!.3!(0,0)$);
  \draw[->] (t) node[below] {$\theta_1$} -- (tar) node[left] {$\alpha_1\,$}; \draw[-] (tar) -- (0,0);
  \coordinate (t) at (-1,-2.5); \coordinate (tar) at ($(t)!.3!(0,0)$);
  \draw[->] (t) node[below] {$\theta_2$} -- (tar) node[left] {$\alpha_2$}; \draw[-] (tar) -- (0,0);
  \node at (-.2,-2.5) {$\cdots$};
  \coordinate (t) at (.6,-2.5); \coordinate (tar) at ($(t)!.3!(0,0)$);
  \draw[->] (t) node[below] {$\ \theta_{n-1}$} -- (tar) node[left] {$\alpha_{n-1}\!\!$}; \draw[-] (tar) -- (0,0);
  \coordinate (t) at (1.6,-2.5); \coordinate (tar) at ($(t)!.3!(0,0)$);
  \draw[->] (t) node[below] {$\ \theta_n$} -- (tar) node[right] {$\alpha_n$}; \draw[-] (tar) -- (0,0);
% circle
  \draw[thick,fill=lightgray!30] (0,0) node {$O(x)$} circle (.5cm);
}
\quad=\quad
\tikz[baseline=-2pt]{
% lower legs
  \coordinate (t) at (3,-2.5); \coordinate (tar) at ($(t)!.3!(0,0)$);
    \coordinate (Omega) at ($(t)!.45!(0,0)$); \coordinate (t1ar) at ($(t)!.7!(0,0)$);
  \draw[->] (t) node[below] {$\theta_1-2\pi i$} -- (tar) node[right] {$\>\alpha_1$};
    \draw[->] (tar) -- (Omega) -- node[pos=0,cross] {} node [pos=0,above right] {$\Omega^{-1}$} (t1ar); \draw[-] (t1ar) -- (0,0);
  \coordinate (t) at (-1,-2.5); \coordinate (tar) at ($(t)!.3!(0,0)$);
  \draw[->] (t) node[below] {$\theta_2$} -- (tar) node[left] {$\alpha_2$}; \draw[-] (tar) -- (0,0);
  \node at (-.2,-2.5) {$\cdots$};
  \coordinate (t) at (.6,-2.5); \coordinate (tar) at ($(t)!.3!(0,0)$);
  \draw[->] (t) node[below] {$\ \theta_{n-1}$} -- (tar) node[left] {$\alpha_{n-1}\!\!$}; \draw[-] (tar) -- (0,0);
  \coordinate (t) at (1.6,-2.5); \coordinate (tar) at ($(t)!.3!(0,0)$);
  \draw[->] (t) node[below] {$\theta_n$} -- (tar) node[right] {$\alpha_n$}; \draw[-] (tar) -- (0,0);
% circle
  \draw[thick,fill=lightgray!30] (0,0) node {$O(x)$} circle (.5cm);
}
$$
Нетрудно проверить, что
\eq$$
S_{12}(\theta)\Omega_1(O)\Omega_2(O)=\Omega_1(O)\Omega_2(O)S_{12}(\theta).
\label{SOmegaOmega-commut}
$$

Давайте теперь зафиксируем аналитические свойства формфакторов, согласовав их с аналитическими свойствами волновой функции, заданными в лекции~\ref{lec-IMs}, то есть потребовав, чтобы за пределами домена, определенного в~(\ref{O-vac-matel}), сама формула оставалась верной. Именно, потребуем выполнения \emph{перестановочного свойства}:
\eq$$
F_O(\ldots,\theta_i,\theta_{i+1},\ldots)_{\ldots\alpha_i\alpha_{i+1}\ldots}
=\sum_{\alpha'_i\alpha'_{i+1}}S(\theta_i-\theta_{i+1})^{\alpha'_i\alpha'_{i+1}}_{\alpha_i\alpha_{i+1}}
F_O(\ldots,\theta_{i+1},\theta_i,\ldots)_{\ldots\alpha'_{i+1}\alpha'_i\ldots}.
\label{FO-trasnposition}
$$
Это требование эквивалентно требованию, чтобы подынтегральное выражение в~(\ref{O-ffdecomp}) было симметрично по отношению к перестановкам $(\theta_i,\alpha_i)\leftrightarrow(\theta_j,\alpha_j)$. Графически уравнение~(\ref{FO-trasnposition}) представляется так (суммирование по индексам на внутренних линиях здесь и ниже подразумевается):
$$
\tikz[baseline=-2pt]{
% lower legs
  \coordinate (t) at (-1.6,-2.5); \coordinate (tar) at ($(t)!.3!(0,0)$);
  \draw[->] (t) node[below] {$\theta_1$} -- (tar) node[left] {$\alpha_1\,$}; \draw[-] (tar) -- (0,0);
  \node at (-.9,-2.5) {$\cdots$};
  \coordinate (t) at (-.2,-2.5); \coordinate (tar) at ($(t)!.3!(0,0)$);
  \draw[->] (t) node[below] {$\theta_i$} -- (tar) node[left] {$\alpha_i$}; \draw[-] (tar) -- (0,0);
  \coordinate (t) at (.6,-2.5); \coordinate (tar) at ($(t)!.3!(0,0)$);
  \draw[->] (t) node[below] {$\ \ \theta_{i+1}$} -- (tar) node[right] {$\alpha_{i+1}$}; \draw[-] (tar) -- (0,0);
  \node at (1.6,-2.5) {$\cdots$};
  \coordinate (t) at (2.6,-2.5); \coordinate (tar) at ($(t)!.3!(0,0)$);
  \draw[->] (t) node[below] {$\ \theta_n$} -- (tar) node[right] {$\alpha_n$}; \draw[-] (tar) -- (0,0);
% circle
  \draw[thick,fill=lightgray!30] (0,0) node {$O(x)$} circle (.5cm);
}
\quad=\quad
\tikz[baseline=-2pt]{
% lower legs
  \coordinate (t) at (-1.6,-2.5); \coordinate (tar) at ($(t)!.3!(0,0)$);
  \draw[->] (t) node[below] {$\theta_1$} -- (tar) node[left] {$\alpha_1\,$}; \draw[-] (tar) -- (0,0);
  \node at (-.9,-2.5) {$\cdots$};
  \coordinate (t1) at (-.2,-2.5); \coordinate (t2ar) at ($(t1)!.6!(0,0)$);
  \coordinate (t2) at (.6,-2.5); \coordinate (t1ar) at ($(t2)!.6!(0,0)$);
  \draw[->] (t1) node[below] {$\theta_i$} node[above left] {$\alpha_i\!\!$} .. controls ($(t1)!.3!(0,0)$) and ($(t2)!.3!(0,0)$) .. (t1ar);
    \draw[-] (t1ar) -- (0,0);
  \draw[->] (t2) node[below] {$\ \ \theta_{i+1}$} node[above right] {$\!\!\alpha_{i+1}$} .. controls ($(t2)!.3!(0,0)$) and ($(t1)!.3!(0,0)$) .. (t2ar);
    \draw[-] (t2ar) -- (0,0);
  \node at (1.6,-2.5) {$\cdots$};
  \coordinate (t) at (2.6,-2.5); \coordinate (tar) at ($(t)!.3!(0,0)$);
  \draw[->] (t) node[below] {$\ \theta_n$} -- (tar) node[right] {$\alpha_n$}; \draw[-] (tar) -- (0,0);
% circle
  \draw[thick,fill=lightgray!30] (0,0) node {$O(x)$} circle (.5cm);
}
$$

Требования (\ref{FO-cyclic})--(\ref{FO-trasnposition}) описывают свойства функций $F_O$ при фиксированном числе частиц каждого сорта (каждого значения массы). Ясно, что проверка взаимной локальности двух операторов требует коммутации каждой пары компонент в разложениях~(\ref{O-ffdecomp}). В то же время было бы странно, если бы коммутативности можно было достичь почленно.

Постулируем два свойства, связывающие формфакторы с различными числами частиц. Положим, что на физическом листе $0\le\Im(\theta_i-\theta_{i+1})\le\pi$ из особенностей имеются только простые полюсы двух типов. Первый тип полюсов, \emph{кинематические полюсы}, расположены в точках $\theta_i-\theta_{i+1}=i\pi$ и имеют вычеты, определяемые уравнением
\Multline$$
\Res_{\vartheta'=\vartheta}F_O(\vartheta'+i\pi,\vartheta,\theta_1,\ldots,\theta_n)_{\beta'\beta\alpha_1\ldots\alpha_n}=
\\*
=i\sum_{\beta'',\{\alpha'_i\}}C_{\beta'\beta''}\left(\delta^{\beta''}_\beta\delta^{\alpha'}_\alpha
  -\sum_{\{\gamma_i\}}\Omega^{\beta''}_{\gamma_n}(O)\delta^{\gamma_0}_\beta
  \prod^n_{i=1}S(\vartheta-\theta_i)^{\gamma_i}_{\gamma_{i-1}}{}^{\alpha'_i}_{\alpha_i}\right)
F_O(\theta_1,\ldots,\theta_n)_{\alpha'_1\ldots\alpha'_n}.
\label{FO-kinpole}
$$
Графически это уравнение записывается так:
$$
\tikz[baseline=-2pt]{
% lower legs
  \coordinate (t) at (-2.5,-4); \coordinate (tar) at ($(t)!.2!(0,0)$);
    \coordinate (t2ar) at ($(t)!1.2!(0,0)$); \coordinate (tfin) at ($(t)!1.25!(0,0)$);
  \draw[->] (t) node[below] {$\vartheta$} -- (tar) node[left] {$\beta\,$};
    \draw[->] (tar) -- (t2ar); \draw[-] (t2ar) node[left] {$\bar\beta'$} -- (tfin) node[above] {$\vartheta'$};
  \coordinate (t) at (-.2,-4); \coordinate (tar) at ($(t)!.2!(0,0)$);
  \draw[->] (t) node[below] {$\theta_1$} -- (tar) node[left] {$\alpha_1$}; \draw[-] (tar) -- (0,0);
  \coordinate (t) at (.6,-4); \coordinate (tar) at ($(t)!.2!(0,0)$);
  \draw[->] (t) node[below] {$\>\theta_2$} -- (tar) node[left] {$\alpha_2$}; \draw[-] (tar) -- (0,0);
  \node at (1.4,-4) {$\cdots$};
  \coordinate (t) at (2.2,-4); \coordinate (tar) at ($(t)!.2!(0,0)$);
  \draw[->] (t) node[below] {$\>\>\theta_n$} -- (tar) node[right] {$\alpha_n$}; \draw[-] (tar) -- (0,0);
% circle
  \draw[thick,fill=lightgray!30] (0,0) node {$O(x)$} circle (.5cm); \node at (-1.2,0) {$-i\Res\limits_{\vartheta'=\vartheta}$};
}
=
\tikz[baseline=-2pt]{
% lower legs
  \coordinate (t) at (-3.5,-4); \coordinate (tar) at ($(t)!.2!(-1,0)$); \coordinate (t1ar) at ($(t)!.63!(-1,0)$);
    \coordinate (t2ar) at ($(t)!1.2!(-1,0)$); \coordinate (tfin) at ($(t)!1.25!(-1,0)$);
  \draw[-] (t) node[below] {$\vartheta$} -- (tar) node[left] {$\beta\,$}; \draw[->] (tar) -- (t1ar);
    \draw[-] (t1ar) -- (t2ar); \draw[-] (t2ar) node[left] {$\bar\beta'$} -- (tfin);
  \coordinate (t) at (-.2,-4); \coordinate (tar) at ($(t)!.2!(0,0)$);
  \draw[->] (t) node[below] {$\theta_1$} -- (tar) node[left] {$\alpha_1$}; \draw[-] (tar) -- (0,0);
  \coordinate (t) at (.6,-4); \coordinate (tar) at ($(t)!.2!(0,0)$);
  \draw[->] (t) node[below] {$\>\theta_2$} -- (tar) node[left] {$\alpha_2$}; \draw[-] (tar) -- (0,0);
  \node at (1.4,-4) {$\cdots$};
  \coordinate (t) at (2.2,-4); \coordinate (tar) at ($(t)!.2!(0,0)$);
  \draw[->] (t) node[below] {$\>\>\theta_n$} -- (tar) node[right] {$\alpha_n$}; \draw[-] (tar) -- (0,0);
% circle
  \draw[thick,fill=lightgray!30] (0,0) node {$O(x)$} circle (.5cm);
}
\kern -1em-\quad
\tikz[baseline=-2pt]{
% lower legs
  \coordinate (t) at (-1.5,-4); \coordinate (tar) at ($(t)!.2!(1,0)$); \coordinate (Omega) at($(t)!1.05!(1,0)$);
    \coordinate (t2ar) at ($(t)!1.2!(1,0)$); \coordinate (tfin) at ($(t)!1.25!(1,0)$);
  \draw[->] (t) node[below] {$\vartheta$} -- (tar) node[left] {$\beta\,$};
    \draw[->] (tar) -- (Omega) -- node[pos=0,cross] {} node[pos=0,right] {$\Omega$} (t2ar);
    \draw[-] (t2ar) node[left] {$\bar\beta'$} -- (tfin);
  \coordinate (t) at (-.2,-4); \coordinate (tar) at ($(t)!.2!(0,0)$);
  \draw[->] (t) node[below] {$\theta_1$} -- (tar) node[left] {$\alpha_1$}; \draw[-] (tar) -- (0,0);
  \coordinate (t) at (.6,-4); \coordinate (tar) at ($(t)!.2!(0,0)$);
  \draw[->] (t) node[below] {$\>\theta_2$} -- (tar) node[left] {$\alpha_2$}; \draw[-] (tar) -- (0,0);
  \node at (1.4,-4) {$\cdots$};
  \coordinate (t) at (2.2,-4); \coordinate (tar) at ($(t)!.2!(0,0)$);
  \draw[->] (t) node[below] {$\>\>\theta_n$} -- (tar) node[right] {$\alpha_n$}; \draw[-] (tar) -- (0,0);
% circle
  \draw[thick,fill=lightgray!30] (0,0) node {$O(x)$} circle (.5cm);
}
$$
Вместе с уравнением~(\ref{FO-trasnposition}) это уравнение задает все кинематические полюсы.

В левой части мы можем перенести частицу с быстротой $\vartheta'+i\pi$ из первой позиции в последнюю, используя циклическое свойство (при этом ее быстрота станет равной $\vartheta'-i\pi$), а затем, используя перестановочное свойство протащить ее на вторую позицию. Тогда первое и второе слагаемое в правой части поменяются местами. Для самосогласованности следует потребовать, чтобы
\eq$$
\sum_{\alpha,\beta}C_{\alpha\beta}\Omega^\alpha_{\alpha'}(O)\Omega^\beta_{\beta'}(O)=C_{\alpha'\beta'}.
\label{COmega-rel}
$$
Всегда можно выбрать базис из нескольких нейтральных и нескольких заряженных частиц. В нем матрица $C$ будет иметь блочно"=диагональный вид с блоками $1\times1$ вида $1$ (нейтральные частицы) и $2\times2$ вида $\sigma^1$ (заряженные частицы). Дополнительной заменой базиса матрицу $\Omega$ можно диагонализовать, $\Omega=\diag(\Omega_\alpha)$, так что
$$
\Omega_\alpha\Omega_{\bar\alpha}=1.
$$
В частности, для нейтральных частиц $\Omega_\alpha=\pm1$. Кроме того, в $C$"=симметричной модели $\Omega_{\bar\alpha}=\Omega_\alpha^*$, так что $|\Omega_\alpha|=1$.

Второй тип полюсов, \emph{динамические полюсы}, связан с полюсами $S$"=матрицы, отвечающими связанным состояниям: $\theta_i-\theta_j=iu^\gamma_{\alpha\beta}$ ($i<j$). Вычеты в этих полюсах определяются уравнением
\eq$$
\Res_{\vartheta'=\vartheta}F_O(\vartheta'+i\bar u^{\bar\beta}_{\bar\gamma\beta'},\vartheta-i\bar u^{\bar\beta'}_{\beta\bar\gamma},
  \theta_1,\ldots,\theta_n)_{\beta'\beta\alpha_1\ldots\alpha_n}
=i\sum_\gamma\Gamma^\gamma_{\beta'\beta}F_O(\vartheta,\theta_1,\ldots,\theta_n)_{\gamma\alpha_1\ldots\alpha_n}.
\label{FO-dynpole}
$$
Графически это уравнение имеет вид:
$$
\tikz[baseline=-2pt]{
% lower legs
  \coordinate (t) at (-3,-3); \coordinate (tar) at ($(t)!.3!(0,0)$);
  \draw[->] (t) -- node[pos=0,above,sloped] {$\vartheta'+i\bar u^{\bar\beta}_{\bar\gamma\beta'}\ $} (tar) node[above left=-4pt] {$\beta'$};
    \draw[-] (tar) -- (0,0);
  \coordinate (t) at (-2,-3); \coordinate (tar) at ($(t)!.3!(0,0)$);
  \draw[->] (t) -- node[pos=0,below,sloped] {$\vartheta-i\bar u^{\bar\beta'}_{\beta\bar\gamma}\ $} (tar) node[below right=-2pt] {$\beta$};
    \draw[-] (tar) -- (0,0);
  \coordinate (t) at (-.2,-3); \coordinate (tar) at ($(t)!.2!(0,0)$);
  \draw[->] (t) node[below] {$\theta_1$} -- (tar) node[left] {$\alpha_1$}; \draw[-] (tar) -- (0,0);
  \coordinate (t) at (.6,-3); \coordinate (tar) at ($(t)!.2!(0,0)$);
  \draw[->] (t) node[below] {$\>\theta_2$} -- (tar) node[left] {$\alpha_2$}; \draw[-] (tar) -- (0,0);
  \node at (1.4,-3) {$\cdots$};
  \coordinate (t) at (2.2,-3); \coordinate (tar) at ($(t)!.2!(0,0)$);
  \draw[->] (t) node[below] {$\>\>\theta_n$} -- (tar) node[right] {$\alpha_n$}; \draw[-] (tar) -- (0,0);
% circle
  \draw[thick,fill=lightgray!30] (0,0) node {$O(x)$} circle (.5cm); \node at (-1.2,0) {$-i\Res\limits_{\vartheta'=\vartheta}$};
}
\quad=\quad
\tikz[baseline=-2pt]{
% lower legs
  \coordinate (t1) at (-3,-3); \coordinate (t1Gamma) at ($(t1)!.6!(0,0)$);
  \coordinate (t2) at (-2,-3); \coordinate (t2Gamma) at ($(t2)!.6!(0,0)$); \coordinate (Gamma) at ($(t1Gamma)!.5!(t2Gamma)$);
  \coordinate (t1ar) at ($(t1)!.5!(Gamma)$); \coordinate (t2ar) at ($(t2)!.5!(Gamma)$);
  \draw[->] (t1) -- node[pos=0,above,sloped] {$\vartheta'+i\bar u^{\bar\beta}_{\gamma\beta'}\ $} (t1ar) node[above left=-4pt] {$\beta'$};
    \draw[-] (t1ar) -- (Gamma);
  \draw[->] (t2) -- node[pos=0,below,sloped] {$\vartheta-i\bar u^{\bar\beta'}_{\beta\bar\gamma}\ $} (t2ar) node[below right=-2pt] {$\beta$};
    \draw[-] (t2ar) -- (Gamma);
  \coordinate (tar) at ($(Gamma)!.4!(0,0)$);
  \draw[->] (Gamma) node[above left=-2pt] {$\Gamma$} -- (tar);
    \draw[-] (tar) -- (0,0);
  \coordinate (t) at (-.2,-3); \coordinate (tar) at ($(t)!.2!(0,0)$);
  \draw[->] (t) node[below] {$\theta_1$} -- (tar) node[left] {$\alpha_1$}; \draw[-] (tar) -- (0,0);
  \coordinate (t) at (.6,-3); \coordinate (tar) at ($(t)!.2!(0,0)$);
  \draw[->] (t) node[below] {$\>\theta_2$} -- (tar) node[left] {$\alpha_2$}; \draw[-] (tar) -- (0,0);
  \node at (1.4,-3) {$\cdots$};
  \coordinate (t) at (2.2,-3); \coordinate (tar) at ($(t)!.2!(0,0)$);
  \draw[->] (t) node[below] {$\>\>\theta_n$} -- (tar) node[right] {$\alpha_n$}; \draw[-] (tar) -- (0,0);
% circle
  \draw[thick,fill=lightgray!30] (0,0) node {$O(x)$} circle (.5cm);
}
$$

Обратим внимание на то, что кинематический полюс может быть представлен как динамический полюс, в котором частица и античастица связываются в фиктивную частицу нулевой массы, не участвующую в разложении для оператора. Наличие в вычете кинематического полюса двух вкладов связано с циклическим свойством~(\ref{FO-cyclic}) и положением полюса на краю физического листа.

Рассмотрим одновременное произведение двух операторов $O_1(x)O_2(y)$. Для определенности положим, что оператор~$O_1$ находится правее~$O_2$:
\eq$$
x^0=y^0-i0,
\qquad
x^1>y^1.
\label{xy-order}
$$
Сдвижка $-i0$ отвечает хронологическому упорядочению в мнимом времени. Чтобы формулы выглядели короче, введем такие обозначения. Для любого набора переменных $\{\xi_i\}^k_{i=1}$ будем обозначать $\overrightarrow{\xi}$ последовательность $\xi_1,\ldots,\xi_k$, а $\overleftarrow{\xi}$ последовательность $\xi_k,\ldots,\xi_1$. Там, где порядок будет неважен, будем просто писать $\xi$. Через $(\overrightarrow{\xi})_i$, $(\overleftarrow{\xi})_i$, $(\xi)_i$ будем обозначать соответствующую последовательность без $i$го элемента. Кроме того, выражения типа $C^{\alpha\beta}$ будут обозначать $\prod_i C^{\alpha_i\beta_i}$. Итак,
\Align$$
O_1(x)O_2(y)
&=\sum^\infty_{m,n,k=0}{1\over m!n!k!}\sum_{\{\alpha_i\},\ldots,\{\gamma'_i\}}
\int_\R{d^k\xi\over(2\pi)^k}\int_\cCrr{d^m\theta\over(2\pi)^m}\int_\cCrr{d^n\vartheta\over(2\pi)^n}\,
e^{-iP_\gamma(\xi)(x-y)-iP_\alpha(\theta)x-iP_\beta(\vartheta)y}
\notag
\\*
&\quad\times
C^{\gamma\gamma'}
F_{O_1}(\overrightarrow{\xi^-},\overrightarrow{\theta})_{\overrightarrow{\gamma}\overrightarrow{\alpha}}
F_{O_2}(\overrightarrow{\vartheta},\overleftarrow{\xi^+-i\pi})_{\overrightarrow{\beta}\overleftarrow{\gamma'}}
\lcolon V^{\alpha_m}(\theta_m)\cdots V^{\alpha_1}(\theta_1)V^{\beta_n}(\vartheta_n)\cdots V^{\beta_1}(\vartheta_1)\rcolon.
\label{O1O2-prod}
$$
Здесь мы снова положили $\xi_i^\pm=\xi_i\pm i0$. Бесконечно"=малые слагаемые к $\xi_i$ и $\xi_i-i\pi$ добавлены таким образом, чтобы контуры интегрирования при перемножении матричных элементов правильно обходили кинематические полюсы: для частицы с быстротой $\xi_i$ контур должен проходить под всеми кинематическими полюсами оператора $\cO_1$, по отношению к которому она входящая, и над всеми кинематическими полюсами оператора $\cO_2$, по отношению к которому она выходящая.

Теперь сдвинем контур интегрирования по $\xi_k$ вверх на $i\pi$. Множитель $e^{-iP_\gamma(\xi)(x-y)}$ для $0<\Im\xi_k<\pi$ стремиться к нулю при $\xi_k\to\pm\infty$ в силу~(\ref{xy-order}), так что он не будет нарушать сходимость интегралов. Но интегралы будут зацепляться за кинематические и динамические полюсы. При этом контур мы проведем так, чтобы после сдвига $\xi_k^-$ в первом формфакторе перешли $\xi_k^++i\pi$, непременно зацепившись за все кинематические полюсы, а во втором формфакторе $\xi_k^+-i\pi$ перешло в $\xi_k^-$, не зацепившись ни за один кинематический полюс.

Давайте найдем разность $\left(\int_{\R-i0}-\int_{\R+i\pi+i0}\right){d\xi_k\over2\pi}$ от всего подынтегрального выражения. Это будет сумма вычетов, умноженная на~$i$. Рассмотрим вычет в полюсе, отвечающем кинематическому полюсу, связанному с~$\theta_1$:
\Multline*$$
e^{-iP_{(\gamma)_k}((\xi)_k)(x-y)-iP_{(\alpha)_1}((\theta)_1)x-i(P_\beta(\vartheta)+P_{\alpha_1}(\theta_1))y}
\\
\times\sum_{\{\alpha\},\ldots,\{\delta'\}}
C^{(\gamma)_1(\gamma')_1}
F_{O_1}\left((\overrightarrow{\xi^-})_k,(\overrightarrow\theta)_1\right)_{(\overrightarrow{\gamma''})_k(\overrightarrow{\alpha'})_1}
F_{O_2}\left(\overrightarrow\vartheta,\theta_1,(\overleftarrow{\xi^+-i\pi})_k\right)_{\overrightarrow\beta,\alpha'_1,
  (\overleftarrow\gamma)_1}
\\
\times\left(-\delta^{\alpha'}_\alpha\delta^{\gamma''}_\gamma
  +\delta^{\delta_1}_{\alpha_1}\delta^{\alpha'_1}_{\delta'_k}\Omega^{\delta'_1}_{\delta_m}(O_1)
  \prod^{k-1}_{i=1}S(\theta_1-\xi_i+2\pi i)^{\delta'_{i+1}}_{\delta'_i}{}^{\gamma''_i}_{\gamma_i}
  \prod^m_{i=2}S(\theta_1-\theta_i)^{\delta_i}_{\delta_{i-1}}{}^{\alpha'_i}_{\alpha_i}\right)
\lcolon\overleftarrow{V^\alpha(\theta)}\overleftarrow{V^\beta(\vartheta)}\rcolon.
$$
Буква~$\theta_1$ перекочевала из первого формфактора во второй, превращая его в~$\vartheta_{n+1}$. Мы видим, что этот вклад соответствует значениям $k'=k-1$, $m'=m-1$, $n'=n+1$. При этом первое слагаемое в скобках сокращает соответствующий член в разложении, «заменяя» его на второй член в скобках. При этом произведение матриц $S(\theta_1-\theta_i)$ во втором слагаемом «подтаскивает» $V(\theta_1)$ к~$V(\vartheta_n)$. Произведение же матриц $S(\theta_1-\xi_i+2\pi i)$ протаскивает $\theta_1$ в формфакторе~$F_{O_2}$ до конца направо. В результате такой процедуры эффективно каждое слагаемое суммы умножается на $\Omega^{\alpha'_1}_{\alpha_1}(O_1)$, а $\vartheta_n$ в~$F_{O_2}$ протаскивается до конца направо через буквы~$\xi_i$. Возможность выбрать разные $\xi_i$ и $\theta_j$ в этой процедуре в качестве «начальных» просто исправляет комбинаторные множители.

Продолжая процедуру, мы домножаем $F_{O_2}$ последовательно на все $\Omega^{\beta'_i}_{\beta_i}(O_1)$, меняем местами $\overleftarrow{V^\alpha(\theta)}$ и $\overleftarrow{V^\beta(\vartheta)}$ в нормально"=упорядоченном произведении и перемещаем $\xi-i\pi$ справа налево в~$F_{O_2}$. После этого остается перенести все $\xi_i$ в~$F_{O_1}$ по циклическому свойству, что домножит $F_{O_1}$ на множители~$\Omega^{\gamma''_i}_{\gamma_i}(O_1)$.

Теперь нужно разобраться с динамическими полюсами. Нетрудно понять, что динамические полюсы сокращают друг друга. Действительно, $\xi_k$ «зацепляется» за два полюса:%
%
\footnote{На самом деле я упрощаю. Речь идет, конечно, о наборах полюсов.}
%
$$
\Aligned{
\xi_k^{(1)}
&=\theta_1+iu^\delta_{\gamma_k\alpha_1},
\\
\xi_k^{(2)}
&=\vartheta_n+i\pi-iu^{\delta'}_{\beta_n\gamma'_k}=\vartheta_n+i\bar u^{\delta'}_{\beta_n\gamma'_k}.
}
$$
Легко проверить, что в формфакторе~$F_{O_1}$ результат слияния~$\xi_k^{(1)}$ и~$\theta_1$ даст быстроту
$$
\theta'_1=\theta_1+i\bar u^{\bar\gamma_k}_{\alpha_1\bar\delta},
$$
а в формфакторе~$F_{O_2}$ это даст
$$
\vartheta_{n+1}=\xi_k^{(1)}-i\pi=\theta_1-i(\pi-u^\delta_{\gamma_k\alpha_1})
=\theta_1-i\bar u^\delta_{\gamma_k\alpha_1}.
$$
Аналогично, результат слияния~$\vartheta_n$ с~$\xi_k^{(2)}-i\pi$ даст в первом формфакторе
$$
\theta_0=\xi_i^{(2)}=\vartheta_n+i\bar u^{\delta'}_{\beta_n\gamma'_k}
$$
и во втором формфакторе
$$
\vartheta'_k=\xi_i^{(2)}-i\pi+iu^{\bar\beta_n}_{\gamma_k\bar\delta'}=\vartheta_n-i\bar u^{\bar\gamma'_k}_{\bar\delta'\beta_n}.
$$

Теперь выберем такую пару слагаемых, для которых
$$
\Gathered{
m\equiv m^{(1)}=m^{(2)}+1,
\qquad
n\equiv n^{(2)}=n^{(1)}+1,
\qquad
k\equiv k^{(1)}=k^{(2)},
\\
\vartheta_n^{(2)}=\theta_1^{(1)},
\qquad
\beta^{(2)}_n=\alpha^{(1)}_1,
\qquad
\gamma_k^{\prime(2)}=\bar\delta^{(1)},
\qquad
\delta^{\prime(2)}=\bar\gamma_k^{(1)}.
}
$$
Тогда
$$
\theta_0^{(2)}=\theta_1^{\prime(1)},
\qquad
\vartheta_k^{\prime(2)}=\vartheta_{k+1}^{(1)}.
$$
С учетом равенства
\eq$$
\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}=\sum_{\beta',\gamma'}\Gamma^{\beta'}_{\alpha\gamma'}C_{\beta\beta'}C^{\gamma\gamma'},
\label{Gamma-crossing}
$$
которое следует из кроссинг"=симметрии, эти два слагаемых совпадают с точностью до знака. Поскольку они содержат множители $(\xi_k-\theta_1)^{-1}$ и $(\vartheta_n-\xi_k+i\pi)^{-1}$ соответственно, знаки будут разными, и слагаемые сократят друг друга.

Графически это выглядит так:
$$
\tikz[baseline=-2pt]{
  \draw[double distance=3pt,thick,-{Stealth[length=3mm,width=3mm]}] (0,-2) node[left] {$(\beta)_n$} node[below] {$(\vartheta)_n$} -- (0,-1.5);
  \draw[double distance=3pt,thick,-{Stealth[length=3mm,width=3mm]}] (0,2) node[left] {$(\alpha)_1$} node[above] {$(\theta)_1$} -- (0,1.5);
  \draw[double distance=3pt,thick,-{Stealth[length=3mm,width=3mm]}] (0,-.5) -- node[left] {$(\gamma)_k$} (0,.5);
%
  \coordinate (a) at ($(0,-1)+(30:.5)$); \coordinate (b) at ($(0,1)+(-30:.5)$);
  \begin{scope}[decoration={markings,mark=at position 0.25 with {\arrow{>}},mark=at position 0.8 with {\arrow{>}}}]
    \draw[-,postaction={decorate}] (a) to[out=30,in=-30] node[pos=.5] {} coordinate (c)
      node[pos=.25,right] {$\gamma$} node[pos=.75,right] {$\delta$} (b);
  \end{scope}
  \draw[->] (1.5,0) node[right] {$\theta_1$} -- node[pos=.2,above] {$\alpha_1$} (1,0); \draw[-] (1,0) -- (c);
%
  \draw[thick,fill=lightgray!30] (0,1) node {$O_1(x)$} circle (.5cm);
  \draw[thick,fill=lightgray!30] (0,-1) node {$O_2(y)$} circle (.5cm);
}
\quad-\quad
\tikz[baseline=-2pt]{
  \draw[double distance=3pt,thick,-{Stealth[length=3mm,width=3mm]}] (0,-2) node[left] {$(\beta)n$} node[below] {$(\vartheta)_n$} -- (0,-1.5);
  \draw[double distance=3pt,thick,-{Stealth[length=3mm,width=3mm]}] (0,2) node[left] {$(\alpha)_1$} node[above] {$(\theta)_1$} -- (0,1.5);
  \draw[double distance=3pt,thick,-{Stealth[length=3mm,width=3mm]}] (0,-.5) -- node[left] {$(\gamma)_k$} (0,.5);
%
  \coordinate (a) at ($(0,-1)+(30:.5)$); \coordinate (b) at ($(0,1)+(-30:.5)$);
  \begin{scope}[decoration={markings,mark=at position 0.25 with {\arrow{<}},mark=at position 0.8 with {\arrow{<}}}]
    \draw[-,postaction={decorate}] (a) to[out=30,in=-30] node[pos=.5] {} coordinate (c)
          node[pos=.25,right] {$\delta'$} node[pos=.75,right] {$\gamma'$} (b);
  \end{scope}
  \draw[->] (1.5,0) node[right] {$\vartheta_n$} -- node[pos=.2,above] {$\beta_n$} (1,0); \draw[-] (1,0) -- (c);
%
  \draw[thick,fill=lightgray!30] (0,1) node {$O_1(x)$} circle (.5cm);
  \draw[thick,fill=lightgray!30] (0,-1) node {$O_2(y)$} circle (.5cm);
}
\quad\mathrel{\mathop=\limits_{\substack{\vartheta_n=\theta_1\\\beta_n=\alpha_1\\\gamma'=\bar\delta\\\delta'=\bar\gamma}}}0.
$$

Итак, вклады динамических полюсов сокращают друг друга, а вклады кинематических, суммированные вместе дают:
\Align$$
O_1(x)O_2(y)
&=\sum^\infty_{m,n,k=0}{1\over m!n!k!}\sum_{\{\alpha_i\},\ldots,\{\gamma''_i\}}
\int_\R{d^k\xi\over(2\pi)^k}\int_\cCrr{d^m\theta\over(2\pi)^m}\int_\cCrr{d^n\vartheta\over(2\pi)^n}\,
e^{-iP_\gamma(\xi)(y-x)-iP_\alpha(\theta)x-iP_\beta(\vartheta)y}
\notag
\\*
&\quad\times
C^{\gamma\gamma'}\Omega^{\gamma''}_{\gamma'}(O_1)\Omega^{\beta''}_\beta(O_1)
F_{O_2}(\overrightarrow{\xi^-},\overrightarrow{\vartheta})_{\overrightarrow{\gamma''}\overrightarrow{\beta''}}
F_{O_1}(\overrightarrow{\theta},\overleftarrow{\xi^+-i\pi})_{\overrightarrow\alpha\overleftarrow\gamma}
\notag
\\*
&\quad\times
\lcolon V^{\beta_n}(\vartheta_n)\cdots V^{\beta_1}(\vartheta_1)V^{\alpha_m}(\theta_m)\cdots V^{\alpha_1}(\theta_1)\rcolon.
\label{O1O2-permut}
$$
То, что мы получили, это почти произведение $O_2(y)O_1(x)$. Чтобы действительно получить это произведение, наложим условие. Будем говорить, что операторы $O_1$ и $O_2$ взаимно"=квазилокальны, если для всех~$n$ выполняются равенства
\eq$$
\sum_{\{\alpha'_i\}}\prod^n_{i=1}\Omega^{\alpha'_i}_{\alpha_i}(O_I)F_{O_J}(\theta_1,\ldots,\theta_n)_{\alpha'_1\ldots\alpha'_n}
=C(O_I,O_J)F_{O_J}(\theta_1,\ldots,\theta_n)_{\alpha_1\ldots\alpha_n},
\qquad
(I,J)=(1,2),(2,1).
\label{O1O2-quasilocal}
$$
Здесь $C(O_I,O_J)$ "--- числа. В блочно"=диагональном базисе частиц легко видеть, что это не такое уж ограничительное условие. Оно просто говорит о том, что для любых~$n$ и наборов~$\{\alpha_i\}$, для которых имеются ненулевые формфакторы $F_{O_J}$ произведение $\prod^n_{i=1}\Omega_{\alpha_i}(O_I)$ не зависит от~$n$ и~$\{\alpha_i\}$ и равно $C(O_I,O_J)$. Тогда одновременные коммутаторы операторов~$O_1$ и~$O_2$ выглядят так:
\eq$$
O_1(x)O_2(y)=\Cases{C(O_1,O_2)O_2(y)O_1(x),&x^0=y^0,\ x^1>y^1;\\C^{-1}(O_2,O_1)O_2(y)O_1(x),&x^0=y^0,\ x^1<y^1.}
\label{O1O2-commut}
$$
Это есть основная теорема, доказанная Федором Смирновым. Подробное доказательство и разбор следствий этой теоремы можно найти в книге~\cite{Smirnov-book}. Условие сходимости интегралов, лоренц"=инвариантность в форме~(\ref{FO-spin}), условие цикличности~(\ref{FO-cyclic}), перестановочное условие~(\ref{FO-trasnposition}) и условия кинематического~(\ref{FO-kinpole}) и динамического~(\ref{FO-dynpole}) полюсов называются \emph{формфакторными аксиомами} или \emph{аксиомами Каровского"--~Вайша"--~Смирнова}. Кроме теоремы Смирнова о взаимной квазилокальности есть еще \emph{гипотеза Смирнова}, согласно которой \emph{все} квазилокальные операторы в теории поля могут быть найдены как решения формфакторных аксиом.

Величину $\omega(O_1,O_2)$, определяемую по модулю единицы формулой
\eq$$
e^{2\pi i\omega(O_1,O_2)}=\Omega(O_1,O_2)=C(O_1,O_2)C(O_2,O_1)
\label{omega(O1,O2)}
$$
называют \emph{показателем взаимной локальности} операторов~$O_1$ и~$O_2$. Величину $\Omega(O_1,O_2)$ обычно называют \emph{индексом взаимной локальности}. Если показатель взаимной локальности равен нулю, операторы~$O_1$ и~$O_2$ называют \emph{взаимно"=локальными}. Нетрудно проверить, что если оператор $O(x)$ самолокален (взаимно"=локален с собой) и имеет целый или полуцелый спин, то 
\eq$$
C(O,O)=(-1)^{2s_O},
\label{C-spin-rel}
$$
то есть коммутирует с собой, если его спин целый, и антикоммутирует, если его спин полуцелый.

Теперь нетрудно понять смысл матрицы $\Omega^\alpha_\beta(O)$. Давайте рассмотрим оператор
$$
A^\alpha(x)=\int_\cCrr{d\theta\over2\pi}\,e^{-iP_\alpha(\theta)x}V^\alpha(\theta)+\cdots,
$$
где точки обозначают вклады высших формфакторов. Этот оператор представляет собой бозонный (нулевого спина) оператор, уничтожающий бозон в данной точке. Хотя этот оператор определен неоднозначно, его коммутатор с любым другим оператором $O$, с которым он взаимно"=квазилокален, хорошо определен. Поскольку $F_{A^\alpha}(\theta)_\beta=\delta^\alpha_\beta$, оператор $A^\alpha$ может быть взаимно"=квазилокален только с оператором, для которого матрица $\Omega^\alpha_\beta(O)$ в выбранном базисе диагональна. Тогда числа
\eq$$
\Omega_\alpha(O)=C(O,A^\alpha)=\Omega(O,A^\alpha)
\label{Omega(O)-mutualloc}
$$
имеют простой смысл индексов взаимной локальности оператора~$O$ с бозонным оператором, уничтожающим элементарное возбуждение~$\alpha$.

Теперь рассмотрим простой пример "--- скейлинговую модель Изинга при нулевом магнитном поле, то есть $\Phi_{13}$"=возмущение минимальной конформной модели~$M(3,4)$ ($c=1/2$) \cite{SJM,YZ}. В этой модели, как мы помним, имеется один свободный массивный фермион или, на бозонном языке, один бозон с матрицей рассеяния $S(\theta)=-1$. Это значит, что алгебра Фаддеева"--~Замолодчикова для этой модели имеет вид фермионной алгебры:
$$
V(\theta_1)V(\theta_2)+V(\theta_2)V(\theta_1)=2\pi\delta(\theta_1-\theta_2-i\pi)+2\pi\delta(\theta_1-\theta_2+i\pi).
$$
Поле свободного фермиона $\psi_\pm(x)$ имеет вид
\eq$$
\psi_\pm(x)=\pm\sqrt{m\over2}\int_\cCrr{d\theta\over2\pi}\,e^{-iP(\theta)x\pm{1\over2}(\theta+{i\pi\over2})}V(\theta),
\qquad
s_{\psi_\pm}=\pm{1\over2},
\qquad
\Omega_1(\psi_\pm)=-1.
\label{IsingT-psi}
$$
Единственный ненулевой формфактор этого оператора "--- одночастичный: $F_{\psi_\pm}(\theta)=\pm\sqrt{m\over2}e^{\pm{1\over2}(\theta+{i\pi\over2})}$. Очевидно, такой набор формфакторов удовлетворяют формфакторным аксиомам. Пользуясь~(\ref{O-hermitian}), нетрудно проверить эрмитовость операторов~$\psi_\pm(x)$.

Отсюда легко найти компоненты тензора энергии"=импульса. В пространстве Минковского имеем
\eq$$
T_{zz}=-{i\over2}\lcolon\psi_+\,\d\psi_+\rcolon,
\qquad
T_{\bz\bz}={i\over2}\lcolon\psi_-\,\bd\psi_-\rcolon,
\qquad
T_{z\bz}={im\over4}\lcolon\psi_+\psi_-\rcolon,
\label{IsingT-T}
$$
причем нормальное упорядочение совпадает с нормальным упорядочением~(\ref{VV-normorder}). Учитывая, что
\eq$$
P_z(\theta)=-{m\over2}e^\theta,
\qquad
P_\bz(\theta)={m\over2}e^{-\theta},
\label{Ppm-theta}
$$
получаем, что единственные ненулевые формфакторы компонент тензора энергии"=импульса равны
\eq$$
\Aligned{
F_{T_{zz}}(\theta_1,\theta_2)
&={im^2\over4}e^{\theta_1+\theta_2}\sh{\theta_1-\theta_2\over2},
&\quad&s_{T_{zz}}=2,
&\quad&\Omega_1(T_{zz})=1,
\\
F_{T_{\bz\bz}}(\theta_1,\theta_2)
&={im^2\over4}e^{-\theta_1-\theta_2}\sh{\theta_1-\theta_2\over2},
&&s_{T_{\bz\bz}}=-2,
&&\Omega_1(T_{\bz\bz})=1,
\\
F_{T_{z\bz}}(\theta_1,\theta_2)
&={im^2\over4}\sh{\theta_1-\theta_2\over2},
&\quad&s_{T_{z\bz}}=0,
&\quad&\Omega_1(T_{z\bz})=1.
}
\label{IsingT-FT}
$$
Эти ответы хорошо нам известны из теории свободного майорановского фермиона. Найдем теперь нетривиальные формфакторы. Поскольку связанных состояний в этой задаче нет, а кинематический полюс связывает формфакторы только для чисел частиц, отличающихся на два, мы можем разбить все операторы на четные, для которых все формфакторы с нечетным числом частиц равны нулю, и нечетные, для которых все формфакторы с четным числом частиц равны нулю. Простейшие такие операторы мы обозначим~$\sigma(x)$ и~$\mu(x)$. Их формфакторы равны
\Align$$
F_\sigma(\theta_1,\ldots,\theta_{2n})
&=i^nG_\sigma m^{1/8}\prod^{2n}_{i<j}\th{\theta_i-\theta_j\over2},
&&s_\sigma=0,
&&\Omega_1(\sigma)=-1,
\label{IsingT-sigma}
\\
F_\mu(\theta_1,\ldots,\theta_{2n+1})
&=i^{n-1}G_\mu m^{1/8}\prod^{2n+1}_{i<j}\th{\theta_i-\theta_j\over2},
&&s_\mu=0,
&&\Omega_1(\mu)=1,
\label{IsingT-mu}
$$
где $n=1,2,\ldots$. Постоянные $G_\sigma$ и~$G_\mu$ являются безразмерными нормировочными множителями для этих операторов. Их нельзя извлечь непосредственно из формфакторных аксиом. Размерные константы $m^{1/8}$ выбраны из отождествления этих операторов с оператором параметра порядка и параметром беспорядка в модели Изинга чуть ниже точки перехода.

Теперь изучим вопрос о взаимной локальности этих операторов. Очевидно, операторы $\psi_\pm$ "--- фермионные, а все остальные перечисленные операторы "--- бозонные, причем все операторы самолокальны. Заметим, что для нечетных операторов $C(O,O)=\Omega_1(O)$, а для четных операторов всегда $C(O,O)=1$. Сопоставляя это с~(\ref{C-spin-rel}), приходим к выводу, что не может быть бозонных нечетных операторов с $\Omega_1(O)=-1$, фермионных нечетных операторов с $\Omega_1(O)=1$, а также фермионных четных операторов. Поэтому остаются следующие классы:
\begin{itemize}
\item[$\{\ve\}$:] Бозонные четные операторы с $\Omega_1(O)=1$. Это семейство включает в себя, например, $1$ и~$T_{\mu\nu}$.
\item[$\{\mu\}$:] Бозонные нечетные операторы с $\Omega_1(O)=1$. Семейство включает~$\mu$.
\item[$\{\sigma\}$:] Бозонные четные операторы с $\Omega_1(O)=-1$. Семейство включает~$\sigma$.
\item[$\{\psi\}$:] Фермионные нечетные операторы с $\Omega_1(O)=-1$. Семейство включает~$\psi_\pm$.
\end{itemize}
Для представителей этих классов имеем ($x^0=y^0$)
\eq$$
\Gathered{
\ve(x)\ve(y)=\ve(y)\ve(x),
\quad
\ve(x)\mu(y)=\mu(y)\ve(x),
\quad
\ve(x)\sigma(y)=\sigma(y)\ve(x),
\quad
\ve(x)\psi(y)=\psi(y)\ve(x),
\\
\mu(x)\mu(y)=\mu(y)\mu(x),
\quad
\mu(x)\sigma(y)=\sign(x^1-y^1)\sigma(y)\mu(x),
\quad
\mu(x)\psi(y)=\sign(x^1-y^1)\psi(y)\mu(x),
\\
\sigma(x)\sigma(y)=\sigma(y)\sigma(x),
\quad
\sigma(x)\psi(y)=-\sign(x^1-y^1)\psi(y)\sigma(x),
\\
\psi(x)\psi(y)=-\psi(y)\psi(x).
}\label{ve-mu-sigma-psi-commut}
$$
Эти коммутационные соотношения позволяют разбить все квазилокальные операторы модели Изинга на три сектора взаимно"=локальных операторов:
\begin{itemize}
\item[]«бозонный» сектор $\{\ve,\mu\}$;
\item[]«фермионный» сектор $\{\ve,\psi\}$;
\item[]«двойственный бозонный» сектор $\{\ve,\sigma\}$.
\end{itemize}
В «бозонном» секторе оператором, рождающим частицу, является бозонный оператор $\mu(x)$, в «фермионном» "--- фермионные операторы $\psi_\pm(x)$, а в «двойственном бозонном» секторе вообще таких операторов нет. Условно можно сказать, что «бозонный» сектор описывает систему ниже точки перехода, «двойственный бозонный» сектор "--- выше точки перехода, а «фермионный» сектор описывает вспомогательный майорановский фермион, с помощью которого осуществляется решение модели Изинга. На самом деле, конечно, все эти объекты и представления равноправны. Более того, описанная только что классификация операторов верна для \emph{любой} модели с одной нейтральной частицей без внутренних состояний и без связанных состояний, например, для модели sh"=Гордона. В модели, в которой имеются связанные состояния, каких-то секторов может не быть. В модели Ли"--~Янга, например, со связанным состоянием $1+1\to1$, во"=первых, операторы нельзя разделить на четные и нечетные, а во"=вторых, непременно $\Omega_1(O)=1$. Поэтому в этой модели имеется только один, «бозонный» сектор.

Итак, решение уравнений на формфакторы, в принципе, позволяет получить любой квазилокальный оператор в теории, однако отождествление таких решений с операторами, определенными в лагранжевом подходе или в рамках конформной теории возмущений, представляет отдельную сложную проблему, которая в общем виде не решена ни для одной теории со взаимодействием.

В качестве примера формфакторов для несвободной теории приведу формфакторы экспоненциальных операторов модели sh"=Гордона. Во"=первых, определим так называемый минимальный двухчастичный формфактор, то есть функцию $R(\theta)$, удовлетворяющую условиям
\eq$$
R(\theta)=R(2\pi i-\theta),
\qquad
R(\theta)=S_{11}(\theta)R(-\theta),
\label{R-relations}
$$
и не имеющую особенностей на полосе $0\le\Im\theta\le\pi$. Действительно, функция $F(\theta_1,\theta_2)=R(\theta_1-\theta_2)$ удовлетворяет формфакторным аксиомам для операторов с~$\Omega_1(O)=1$. Функция $R(\theta)$ легко строится по правилу:
\eq$$
S_{11}(\theta)=\exp i\int^\infty_0{dt\over t}\,f(t)\sin\theta t
\quad\Rightarrow\quad
R(\theta)=R_0\exp\int^\infty_0{dt\over t}\,{f(t)(\cos(\theta-i\pi)t-1)\over2\sh\pi t},
\label{R-S-rel}
$$
где $R_0$ "--- произвольная константа. В случае модели sh"=Гордона $f(t)=O(t^2)$ и константу $R_0$ удобно выбрать так, чтобы она сокращала $-1$ в скобках:
\eq$$
R(\theta)=\exp\left(4\int^\infty_0{dt\over t}\,
{\sh{\pi t\over2}\sh{\pi pt\over2}\sh{\pi(p+1)t\over2}\over\sh^2\pi t}\cos(\theta-i\pi)t\right).
\label{ShG-R}
$$
(Напомним: $-1<p<0$.) В этом случае произведение
\eq$$
R(\theta)R(\theta+i\pi)={\sh\theta\over\sh\theta-i\sin\pi p}=1/f(e^{-\theta}),
\qquad
f(z)=1+{2i\sin\pi p\over z-z^{-1}}.
\label{ShG-RR-id}
$$
Заметим, что
\eq$$
{f(e^\theta)\over f(e^{-\theta})}=S_{11}(\theta).
\label{ShG-f-S-rel}
$$
Введем также константы
\eq$$
\rho=(-R(i\pi)\sin\pi p)^{-1/2}.
\label{ShG-rhoconst}
$$
Теперь формфакторы из «бозонного» сектора можно записать в виде
\eq$$
F_O(\theta_1,\ldots,\theta_n)
=\rho^n\prod^n_{i<j}R(\theta_i-\theta_j)\cdot J_O(e^\theta_1,\ldots,e^\theta_n),
\label{FO-JO-rel}
$$
где $J_O(x_1,\ldots,x_n)$ "--- рациональные симметричные функции с полюсами в точка $x_i=-x_j$:
\eq$$
\Res_{z'=-z}J_O(z',z,x_1,\ldots,x_n)=-iz\sin\pi p\cdot 
\left(\prod^n_{i=1}f\left(z\over x_i\right)-\prod^n_{i=1}f\left(x_i\over z\right)\right)J_O(x_1,\ldots,x_n).
\label{JO-kinpole}
$$
Множители $f(z/x_i)=f(e^{\vartheta-\theta_i})$ в первом слагаемом сокращают вклады от произведений $R(\vartheta-\theta_i)R(\vartheta-\theta_i+i\pi)$ а функции $f(x_i/z)$ во втором слагаемом поделенные на $f(z/x_i)$ дают произведение $S$"=матриц из~(\ref{FO-kinpole}). Рассмотрим решение вида
\eq$$
J_a(x_1,\ldots,x_n)
=\sum_{I_n=I_-\sqcup I_+}e^{i\pi a(\#I_--\#I_+)}\prod_{i\in I_-\atop j\in I_+}f\left(x_i\over x_j\right),
\label{Ja-def}
$$
где $I_n=\{1,2,\ldots,n\}$, а сумма берется по всем разбиениям этого множества на два непересекающиеся подмножества. Оказывается, если положить
$$
a={1\over2}-\alpha\sqrt{(-p)(1+p)\over2},
$$
то функции $J_a$ определяют по формуле~(\ref{FO-JO-rel}) формфакторы оператора $e^{\alpha\varphi}/\langle e^{\alpha\varphi}\rangle$.







\bigbreak
\bigskip
\centerline{\bf Задачи}
\medskip

\begin{asparaenum}[\bf1.]

\item Покажите, что если набор функций $\{F_O(\theta_1,\ldots,\theta_n)_{\alpha_1\ldots\alpha_n}\}$ удовлетворяет формфакторным аксиомам, то и набор функций $\{F_O(\theta_1,\ldots,\theta_n)_{\alpha_1\ldots\alpha_n}I_s(\theta_1,\ldots,\theta_n)_{\alpha_1\ldots\alpha_n}\}$, где $I_s$ "--- собственные значения локального интеграла движения~$\hat I_s$ спина $s\in\Z$, удовлетворяет формфакторным аксиомам и отвечает оператору~$O'(x)=[O(x),\hat I_s]$.

\item Покажите, что выражения (\ref{IsingT-FT}), (\ref{IsingT-sigma}),~(\ref{IsingT-mu}) удовлетворяют формфакторным аксиомам.

\item Рассмотрим свободный бозон $S(\theta)=1$. Введем операторы
$$
\Aligned{
\varphi(x)
&={1\over\sqrt2}\int_\cCrr{d\theta\over2\pi}V(\theta)e^{-iP(\theta)x},
\\
\sigma(x)
&=\lcolon e^{\rho(x)}\rcolon,
\\
\psi_\pm(x)
&=\pm\sqrt{m\over2}\int_\cCrr{d\theta\over2\pi}\,e^{-iP(\theta)x\pm{1\over2}(\theta+{i\pi\over2})}\lcolon V(\theta)e^{\rho(x)}\rcolon,
\qquad
\rho(x)=-\int_\cCrr{d\theta_1\over2\pi}\,{d\theta_2\over2\pi}\,
{e^{-iP(\theta_1,\theta_2)x}\over\ch{\theta_1-\theta_2\over2}}V(\theta_1)V(\theta_2).
}
$$
Покажите, что все эти операторы квазилокальны, причем оператор $\varphi(x)$ принадлежит классу~$\{\mu\}$, оператор $\sigma(x)$ принадлежит классу $\{\sigma\}$, а операторы $\psi_\pm(x)$ "--- классу~$\{\psi\}$.

\item Выведите условие~(\ref{JO-kinpole}) из условия кинематического полюса~(\ref{FO-kinpole}). Покажите, что выражение~(\ref{Ja-def}) удовлетворяет этому условию и не имеет других полюсов.

\starenumi
\item Покажите, что функции~(\ref{Ja-def}) удовлетворяют рекурсионному соотношению
\eq$$
J_a(z,x_1,\ldots,x_n)=2\cos\pi a\cdot J_a(x_1,\ldots,x_n)
+\sum^n_{i=1}{x_iR_a(x_i;x_1,\ldots,\widehat{x_i},\ldots,x_n)\over z+x_i},
\label{Ja-recurs}
$$
где
\eq$$
R_a(z;x_1,\ldots,x_n)=-i\sin\pi p\cdot\left(\prod^n_{i=1}f\left(z\over x_i\right)-\prod^n_{i=1}f\left(x_i\over z\right)\right)
J_a(x_1,\ldots,x_n),
\label{Ja-recurs-Ra}
$$
с начальным условием
\eq$$
J_a(\varnothing)=1.
\label{Ja-recurs-init}
$$
Покажите отсюда, что выполняется \emph{отражательное соотношение}
$$
J_a(x_1,\ldots,x_n)=J_{-a}(x_1,\ldots,x_n),
$$
а формфакторы единичного оператора, кроме нуль"=частичного, обращаются в нуль:
$$
J_{1/2}(x_1,\ldots,x_n)=0\quad\text{при $n>0$.}
$$

\end{asparaenum}
