\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage{amsmath,amssymb,pictex,russian,fullpage}
%\usepackage[retainmissing,cmsy]{MnSymbol}
%\usepackage[notref]{showkeys}

\allowdisplaybreaks

% Back to Knuth's definitions
\makeatletter
\def\smallskip{\vskip\smallskipamount}
\def\medskip{\vskip\medskipamount}
\def\bigskip{\vskip\bigskipamount}
\let\over\@@over
\let\atop\@@atop
\let\above\@@above
\let\overwithdelims\@@overwithdelims
\let\atopwithdelims\@@atopwithdelims
\let\abovewithdelims\@@abovewithdelims
\let\frac\undefined
\let\dfrac\undefined
\let\genfrac\undefined
\makeatother
% End 'Back...' section

\let\{=\lbrace
\let\}=\rbrace
\let\[=\lbracket
\let\]=\rbracket

\long\def\items#1{\begin{itemize}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{itemize}}
\long\def\enum#1{\begin{enumerate}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{enumerate}}

\def\eq#1{\begin{equation}#1\end{equation}}
\def\Align#1{\begin{align}#1\end{align}}
\def\Aligned#1{\begin{aligned}#1\end{aligned}}
\def\Gather#1{\begin{gather}#1\end{gather}}
\def\Gathered#1{\begin{gathered}#1\end{gathered}}
\def\Multline#1{\begin{multline}#1\end{multline}}
\long\def\Subeq#1{\begin{subequations}#1\end{subequations}}
\def\Matrix#1{\begin{matrix}#1\end{matrix}}
\def\pMatrix#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}
\def\Cases#1{\begin{cases}#1\end{cases}}

\def\i{{\rm i}}
\def\ve{\varepsilon}
\def\d{\partial}
\def\bd{{\bar\d}}
\def\bpsi{{\bar\psi}}
\def\bvarphi{{\bar\varphi}}
\def\Re{\mathop{\rm Re}\nolimits}
\def\Im{\mathop{\rm Im}\nolimits}
\def\sh{\mathop{\rm sh}\nolimits}
\def\ch{\mathop{\rm ch}\nolimits}
\def\tg{\mathop{\rm tg}\nolimits}
\def\ctg{\mathop{\rm ctg}\nolimits}
\def\arth{\mathop{\rm arth}\nolimits}
\def\tr{\mathop{\rm tr}\nolimits}
\def\arctg{\mathop{\rm arctg}\nolimits}
\def\bzero{{\boldsymbol 0}}
\def\bn{{\boldsymbol n}}
\def\bp{{\boldsymbol p}}
\def\br{{\boldsymbol r}}
\def\bk{{\boldsymbol k}}
\def\bR{{\boldsymbol R}}
\def\bS{{\boldsymbol S}}
\def\bJ{{\boldsymbol J}}
\def\bsigma{{\boldsymbol\sigma}}
\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\cA{{\cal A}}
\def\cH{{\cal H}}
\def\cO{{\cal O}}
\def\cS{{\cal S}}
\def\bz{{\bar z}}
\def\bw{{\bar w}}
\def\bw{{\bar w}}
\def\tphi{{\tilde\phi}}
\def\trho{{\tilde\rho}}
\def\ta{{\tilde a}}
\def\vq{{\vec q}}
\def\vx{{\vec x}}
\def\vy{{\vec y}}
\def\vJ{{\vec J}}
\def\va{{\vec a}}
\def\vb{{\vec b}}
\def\eff{{\rm eff}}
\def\const{{\rm \,const\,}}
\def\eF{{\epsilon_F}}
\def\Ech{{E_{\text{ch}}}}
\def\Esp{{E_{\text{sp}}}}
\def\Espel{{E_{\text{sp}}^{\text{el}}}}
\def\Eim{{E_{\text{im}}}}
\def\el{{\text{el}}}
\def\im{{\text{im}}}
\def\Gi{{\text{\sffamily Gi}}}

\def\lcolon{\mathopen:}
\def\rcolon{\mathclose:}
\def\llangle{\mathopen{\langle\!\langle}}
\def\rrangle{\mathclose{\rangle\!\rangle}}
\def\Biggllangle{\Biggl\langle\!\!\!\Biggl\langle}
\def\Biggrrangle{\Biggr\rangle\!\!\!\Biggr\rangle}

\def\aux{{\tilde1}}

%%%%%%% For figures: %%%%%%%
\def\ar#1 #2, #3 #4 {\arrow <0.3truecm> [0.1,0.3] from #1 #2 to #3 #4 }
\catcode`!=11
\def\ln#1 #2, #3 #4 {\!start(#1,#2)\!ljoin(#3,#4)}
\catcode`!=12
\def\rl#1 #2, #3 #4 {\putrule from #1 #2 to #3 #4 }
\def\trl#1 #2, #3 #4 {\linethickness .8pt
	\putrule from #1 #2 to #3 #4 \linethickness .4pt}
\def\point#1 #2 {\put{\hbox{\kern -1pt .}} [Bl] at #1 #2 }
\def\bfpoint#1 #2 {%
\put{\hbox{\kern -2pt \raise -2.3pt%
\hbox{$\textstyle\bullet$}}} [Bl] at #1 #2 }
\def\figcap#1#2\par{\medskip{\narrower\eightpoint\noindent
	Fig.~#1. \ignorespaces#2\par}\medskip}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\makeatletter
\let\over\@@over
\let\atop\@@atop
\let\above\@@above
\let\overwithdelims\@@overwithdelims
\let\atopwithdelims\@@atopwithdelims
\let\abovewithdelims\@@abovewithdelims
\makeatother

\begin{document}

\begin{center}
{\bf Лекция~3}\\
{\bf Масштабная и конформная инвариантность. Операторная алгебра и конформная теория возмущений.}
\end{center}

Рассмотрим корреляционные функции модели Изинга в области
$$
r_0\ll r\ll r_c.
$$
В этой области корреляционные функции не зависят ни от одного из этих масштабов и потому обладают масштабной инвариантностью. Именно, корреляционные функции не меняются при масштабном преобразовании
\eq{
\varphi(x)\to\lambda^{d_\varphi}\varphi(\lambda x),
\qquad
d_\varphi={d-2+\eta\over2}.
\label{dvarphidef}
}
Более общо, рассмотрим пространство локальных операторов в теории поля~$\cO$. Это значит, что для любых двух операторов $\Phi,\Psi\in\cO$ корреляционная функция
$$
\langle\Phi(x)\Psi(x')\dots\rangle
$$
является непрерывной функцией $x$ в окрестности точки $x'$ за исключением самой точки~$x'$. На гамильтоновом языке это значит, что одновременный коммутатор операторов $\Phi$ и $\Psi$ в разных точках равен нулю. Давайте рассматривать операторы в картине \textit{радиального квантования}. Запишем
\eq{
x=ne^\tau,
\qquad
|n|=1.
\label{radqu}
}
Сферу, заметаемую вектором $\bn$ мы будем считать пространством, а параметр $\tau$ --- мнимым (мацубаровским) временем. Таким образом, бесконечному прошлому отвечает точка $x=0$, а бесконечному будущему --- бесконечно удаленная точка. В такой картине корреляционная функция $\langle\Phi(x_1)\Psi(x_2)\ldots\rangle$ становится вакуумным средним $\langle0|T(\Phi(x_1)\Psi(x_2)\ldots)|0\rangle$. В дальнейшем мы будем опускать знак хронологического упорядочения. При этом имеется очевидный изоморфизм между пространством локальных операторов $\cO$ и пространством состояний~$\cH$. Действительно, каждому оператору $\Phi(x)$ отвечает состояние $\Phi(0)|0\rangle$, а каждое состояние $|X\rangle$ дает набор корреляционных функций $\langle0|\Phi(x_1)\Psi(x_2)\ldots|X\rangle$. Эти функции переменных $x_1,x_2,\ldots$ непрерывны в окрестности точки~$0$, поэтому эту корреляционную функцию можно представить в виде $\langle\Phi(x_1)\Psi(x_2)\ldots X(0)\rangle$.

На пространстве состояний действует гамильтониан системы, который мы здесь обозначим буквой~$D$. Ясно, что $D$ представляет собой оператор масштабного преобразования:
\eq{
D=\i\int df_\mu\,x^\nu T^\mu_\nu,
\label{Ddef}
}
где $df_\mu$ --- элемент площади. Давайте диагонализуем оператор $D$:
\eq{
D|\Phi_\alpha\rangle=d_\alpha|\Phi_\alpha\rangle.
\label{Ddiag}
}
Состояниям $|\Phi_\alpha\rangle$ отвечают локальные операторы $\Phi_\alpha(x)$ с определенными \textit{масштабными размерностями}~$d_\alpha$. Важный факт состоит в том, что корреляционные функции этих операторов не меняются, если одновременно во всех операторах мы сделаем замену
\eq{
\Phi_\alpha(x)\to\lambda^{d_\alpha}\Phi_\alpha(\lambda x).
\label{scalTrans}
}
Чтобы доказать это, вычислим коммутатор $[D,\Phi_\alpha(x)]$. Пусть $S_x$ --- маленькая сфера вокруг точки~$x$. Тогда
\Multline{
[D,\Phi_\alpha(x)]
=\i\int_{S_x}df'_\mu\,x^{\prime\nu}T^\mu_\nu(x')\Phi_\alpha(x)
\\
=\i\int_{S_0}df'_\mu\,(x^\nu+x^{\prime\nu})T^\mu_\nu(x+x')\Phi_\alpha(x)
=\i x^\nu[P_\nu,\Phi_\alpha(x)]+d_\alpha \Phi_\alpha(x)
\\
=x^\nu\d_\nu \Phi_\alpha(x)+d_\alpha \Phi_\alpha(x)
=\left.d\Phi_\alpha(x e^\tau)\over d\tau\right|_{\tau=0}+d_\alpha \Phi_\alpha(x).
\notag
}
Уравнение
\eq{
[D,\Phi_\alpha(x)]
=\left.d\Phi_\alpha(x e^\tau)\over d\tau\right|_{\tau=0}+d_\alpha \Phi_\alpha(x)
\label{DAcommut}
}
играет роль уравнения Гайзенберга в радиальном квантовании.

Очевидно $D|0\rangle=0$. Кроме того, из соображений ортогональности имеем $\langle0|D=0$. Следовательно,
$$
\Aligned{
0
&=\langle0|[D,\Phi_{\alpha_1}(x_1e^\tau)\ldots \Phi_{\alpha_N}(x_Ne^\tau)]|0\rangle
\\
&={d\over d\tau}\langle\Phi_{\alpha_1}(x_1e^\tau)\ldots \Phi_{\alpha_N}(x_Ne^\tau)\rangle
+\langle\Phi_{\alpha_1}(x_1e^\tau)\ldots \Phi_{\alpha_N}(x_Ne^\tau)\rangle\sum_{i=1}^Nd_{\alpha_i}.
}
$$
Интегрируя это уравнение по~$\tau$, получаем
\eq{
\langle\Phi_{\alpha_1}(x_1)\ldots\Phi_{\alpha_N}(x_N)\rangle
=\lambda^{\sum_{i=1}^Nd_{\alpha_i}}
\langle\Phi_{\alpha_1}(\lambda x_1)\ldots \Phi_{\alpha_N}(\lambda x_N)\rangle,
\label{corrinv}
}
что и требовалось доказать.

Из масштабной инвариантности мгновенно следует два важных результата. Во-первых, почти все одноточечные корреляционные функции обращаются в нуль:
\eq{
\langle\Phi_\alpha\rangle=0,
\qquad\text{если $d_\alpha\ne0$,}
\label{onepoint}
}
что естественно для критической точки. Во всех разумных теориях единственным оператором нулевой размерности является единичный оператор.

Во-вторых, парные корреляционные функции имеют степенной вид. В случае скалярных полей
\eq{
\langle\Phi_\alpha(x)\Phi_\beta(x')\rangle
={\const\over|x-x'|^{d_\alpha+d_\beta}}.
\label{scalpaircorr}
}
В случае полей со спином вместо константы появляется некоторая функция единичного вектора, направленного вдоль $x-x'$, зависящего от спинорной структуры полей.

В классической теории поля масштабная инвариантность эквивалентна требованию бесследовости тензора напряжений (тензора энергии-импульса):
\eq{
T^\mu_\mu=0.
\label{Tmumu0}
}
Однако из этого равенства немедленно следует более высокая инвариантность модели --- конформная инвариантность.

Мы можем рассуждать иначе. Картина радиального квантования эквивалентна квантованию теории на пространстве $S^{d-1}\otimes\R$. Типичная масштабно-инвариантная теория, возникающая в контексте теории критических явлений, инвариантна относительно отражений. Это значит, что на пространстве $S^{d-1}\otimes\R$ теория должна быть инвариантной относительно обращения времени. Но в исходных координатах преобразование $\tau\to-\tau$ имеет вид \textit{инверсии}:
\eq{
x\to{x\over|x|^2}
\label{inversion}
}
Группа, состоящая из сдвигов, поворотов, масштабного преобразования и инверсии называется \textit{конформной группой}. Для полноты картины приведем инфинитезимальные генераторы конформной группы:
\Subeq{\label{gen}
\Align{
&\text{Сдвиги:}
&&\i P_\mu=\d_\mu,
\label{gen-shift}
\\
&\text{Повороты:}
&&\i M_{\mu\nu}=x_\mu\d_\nu-x_\nu\d_\mu,
\label{gen-rotation}
\\
&\text{Дилатации:}
&&D=x^\mu\d_\mu,
\label{gen-dilatation}
\\
&\text{Инвертированные сдвиги:}
&&\i Q^\mu=(|x|^2\delta^{\mu\nu}-2x^\mu x^\nu)\d_\nu.
\label{gen-invshift}
}}
Всего имеется ${d(d+3)\over2}+1$ генераторов. Инвертированные сдвиги представляют собой композицию инверсии, сдвига и снова инверсии.

Мы будем принимать

\textbf{Гипотезу конформной инвариантности}: \textit{все корреляционные функции теории инвариантны относительно конформных преобразований вместе с соответствующими преобразованиями локальных операторов.}

Найдем преобразования полей, связанные с инверсией. Операторы
$$
\tilde \Phi_\alpha(n,\tau)=e^{d_\alpha\tau}\Phi_\alpha(ne^\tau)
$$
удовлетворяю обычному уравнению Гайзенберга:
$$
{\d\tilde \Phi_\alpha\over\d\tau}=[D,\tilde \Phi_\alpha].
$$
Это значит, что в этом операторе обращение времени тривиально: $\tilde \Phi_\alpha(n,\tau)\to\tilde \Phi_\alpha(n,-\tau)$. Отсюда находим, что инверсия полей фиксированной размерности имеет вид
\eq{
\Phi_\alpha(x)\to r^{-2d_\alpha}\Phi_\alpha\left(x\over|x|^2\right).
\label{Ainversion}
}
Но это правило верно не для всех полей. Но в каждом представлении конформной группы есть такое поле. Оно определяется тем, что соответствующего состояние $|\Phi_\alpha\rangle$ реализует представление группы вращений данного спина и, кроме того,
\eq{
Q^\mu|\Phi_\alpha\rangle=0.
\label{hwstate}
}
Это состояние называется \textit{состоянием старшего веса}, а соответствующее поле --- \textit{примарным} или \textit{первичным}. Все остальные поля \textit{конформного семейства} (\textit{потомки} или \textit{вторичные поля}) получаются из примарного действием элементов алгебры $P_\mu$, $M_{\mu\nu}$ на соответствующее состояние старшего веса.

Начиная с этого места индекс $\alpha$ будет нумеровать не все поля, а только конформные семейства, а символ $\Phi_\alpha$ будет обозначать примарное поле.

Гипотеза конформной инвариантности накладывает сильные ограничения на вид двух- и трехточечных корреляционных функций. Для простоты рассмотрим теорию, в которой все примарные поля --- бесспиновые. Прежде всего, применим преобразование (\ref{Ainversion}) к корреляционной функции~(\ref{scalpaircorr}):
$$
\Aligned{
\langle\Phi_\alpha(x)\Phi_\beta(x')\rangle
&=r^{-2d_\alpha}r^{\prime-2d_\beta}
\left\langle\Phi_\alpha\left(x\over r^2\right)\Phi_\beta\left(x'\over r^{\prime2}\right)\right\rangle
\\
&=\const\,{r^{-2d_\alpha}r^{\prime-2d_\beta}
\over\left(\left({x\over r^2}-{x'\over r^{\prime2}}\right)^2\right)^{(d_\alpha+d_\beta)/2}}
\\
&=\const\,{r^{-2d_\alpha}r^{\prime-2d_\beta}
\over\left((x-x')^2\over r^2r^{\prime2}\right)^{(d_\alpha+d_\beta)/2}}
\\
&={\const(r'/r)^{d_\alpha-d_\beta}\over|x-x'|^{d_\alpha+d_\beta}},
\qquad
r=|x|,\quad r'=|x'|.
}
$$
Последнее выражение совпадает с правой частью (\ref{scalpaircorr}) только если $d_\alpha=d_\beta$. Следовательно,
\eq{
\langle\Phi_\alpha(x)\Phi_\beta(x')\rangle
=\Cases{{G_{\alpha\beta}\over|x-x'|^{2d_\alpha}},&d_\alpha=d_\beta,\\
0,&d_\alpha\ne d_\beta}
\label{confpaircorr}
}
с некоторыми константами $G_{\alpha\beta}$. Таким образом, парные корреляционные функции играют роль естественной скобки на пространстве операторов~$\cO$. Преобразованием базиса можно привести матрицу $G_{\alpha\beta}$ к единичной~$\delta_{\alpha\beta}$. Значит, парные корреляционные функции можно использовать для естественной нормировки полей.

Весьма жесткие условия накладываются и на вид трехточечных корреляционных функций. Они имеют вид
\eq{
\langle\Phi_\alpha(x_1)\Phi_\beta(x_2)\Phi_\gamma(x_3)\rangle
={C_{\alpha\beta\gamma}
\over|x_1-x_2|^{d_\alpha+d_\beta-d_\gamma}
|x_1-x_3|^{d_\alpha+d_\gamma-d_\beta}
|x_2-x_3|^{d_\beta+d_\gamma-d_\alpha}}
\label{confthreepoint}
}
с некоторыми константами~$C_{\alpha\beta\gamma}$.

Рассмотрим теперь произведения операторов, например $\Phi_\alpha(x')\Phi_\beta(x)$. С большого расстояния $R\gg|x'-x|$ это произведение должно выглядеть как локальный оператор. Должно иметь место \textit{операторное разложение}
\eq{
\Phi_\alpha(x')\Phi_\beta(x)
=\sum_\gamma f^\gamma_{\alpha\beta}(x',x)\Phi_\gamma(x)
\qquad
\text{(все поля)}.
\label{ope}
}
Здесь $f^\gamma_{\alpha\beta}(x',x)$ --- некоторые числовые функции, называемые \textit{структурными функциями}. Кроме того, в этом месте мы считали, что индексы $\alpha$, $\beta$, $gamma$ пробегают все поля.

Вернемся к примарным операторам конформной теории поля. В этом случае структурные функции могут иметь только степенной вид. Легко проверить, что
\eq{
\Phi_\alpha(x')\Phi_\beta(x)
=\sum_\gamma{C^\gamma_{\alpha\beta}\over|x'-x|^{d_\alpha+d_\beta-d_\gamma}}
(\Phi_\gamma(x)+k^\gamma_{\alpha\beta,1}(x^{\prime\mu}-x^\mu)\d_\mu \Phi_\gamma(x)+\dots).
\label{confope}
}
Второй член в скобках и дальнейшие поправки, обозначенные точками, представляют собой вклады полей-потомков. Константы $k^\gamma_{\alpha\beta,1}$ и т.~д.\ определяются конформной симметрией модели и, в принципе, могут быть вычислены явно. \textit{Структурные константы} $C^\gamma_{\alpha\beta}$ операторной алгебры (\ref{confope}) связаны с трехточечными корреляционными функциями. Действительно, при $|x_3-x_2|\gg|x_1-x_2|$ имеем
$$
\Aligned{
\langle\Phi_\alpha(x_1)\Phi_\beta(x_2)\Phi_\gamma(x_3)\rangle
&\simeq\sum_{\gamma'}{C^{\gamma'}_{\alpha\beta}\over|x_1-x_2|^{d_\alpha+d_\beta-d_{\gamma'}}}
\langle\Phi_{\gamma'}(x_2)\Phi_\gamma(x_3)\rangle
\\
&=\sum_{\gamma'(d_{\gamma'}=d_\gamma)}
{C^{\gamma'}_{\alpha\beta}\over|x_1-x_2|^{d_\alpha+d_\beta-d_\gamma}}
{G_{\gamma'\gamma}\over|x_2-x_3|^{2d_\gamma}}.
}
$$
Сравнивая с (\ref{confthreepoint}) находим
\eq{
C_{\alpha\beta\gamma}
=\sum_{\gamma'(d_{\gamma'}=d_\gamma)}
C^{\gamma'}_{\alpha\beta}G_{\gamma'\gamma}.
\label{Crelation}
}
Отметим, что полное разложение (с учетом потомков) позволяет, в принципе, полностью воспроизвести выражение~(\ref{confthreepoint}). Точно такими же разложениями можно определить четырех- и более точечные функции. Таким образом, набор конформных размерностей и спинов примарных полей и набор структурных констант полностью описывает конформную теорию поля. Позже мы покажем, как их можно находить точно в двумерном случае.

В модели Изинга имеется два примарных поля наинизшей размерности: спин $\varphi(x)\equiv\sigma(x)$ и плотность энергии $\ve(x)$. Имеются три важнейших операторных разложения:
\Align{
\sigma(x')\sigma(x)
&={G_{\sigma\sigma}\over|x'-x|^{2d_\sigma}}
+{C^\ve_{\sigma\sigma}\ve(x)
\over|x'-x|^{2d_\sigma-d_\ve}}+\ldots,
\label{sigmasigma-ope}
\\
\sigma(x')\ve(x)
&={C^\sigma_{\sigma\ve}\sigma(x)\over|x'-x|^{d_\ve}}+\ldots,
\label{sigmave-ope}
\\
\ve(x')\ve(x)
&={G_{\ve\ve}\over|x'-x|^{2d_\ve}}
+{C^\ve_{\ve\ve}\ve(x)\over|x'-x|^{d_\ve}}+\ldots.
\label{veve-ope}
}
Заметим, что нормировочные множители $G_{\sigma\sigma}$ и $G_{\ve\ve}$ не могут быть найдены из конформной теории, а должны диктоваться физическими соображениями. Соответственно, структурные константы довольно просто от них зависят:
$$
C^\ve_{\sigma\sigma}=G_{\sigma\sigma}G_{\ve\ve}^{-1/2}\mathbf{C}^\ve_{\sigma\sigma},
\qquad
C^\sigma_{\sigma\ve}=G_{\ve\ve}^{1/2}\mathbf{C}^\sigma_{\sigma\ve},
\qquad
C^\ve_{\ve\ve}=G_{\ve\ve}^{1/2}\mathbf{C}^\ve_{\ve\ve}.
$$
И только константы $\mathbf{C}^\alpha_{\beta\gamma}$ являются инвариантными величинами, которые определяются из теории поля.

Теперь давайте выясним, как меняются результаты под действием возмущений. Пусть $\Phi_0[\varphi]$ --- функционал действия в критической точке. Предположим, что полный функционал действия имеет вид
$$
A[\varphi]=A_0[\varphi]+A_1[\varphi],
\qquad
A_1[\varphi]=\lambda\int d^dx\,\Phi_{\text{pert}}(x),
$$
где $\Phi_{\text{pert}}(x)$ --- некоторое скалярное примарное поле. Корреляционные функции в возмущенной теории равны
$$
\langle\varphi(x)\varphi(0)\rangle
={\langle\varphi(x)\varphi(0)e^{-A_1[\varphi]}\rangle_0
\over\langle e^{-A_1[\varphi]}\rangle_0},
$$
где нолик обозначает корреляционные функции, вычисленные в невозмущенной теории. Раскладывая экспоненты в ряд, мы получим отношение двух рядов. Можно показать, что это отношение можно свести к одному ряду с помощью \textit{неприводимых средних} $\llangle\cdots\rrangle$. Для бозонных полей неприводимые средние определяются соотношением
\eq{
\langle\Phi_1\ldots\Phi_N\rangle
=\sum_{k=1}^N\sum_{\text{разбиения $I_1,\ldots,I_k$}}
\prod_{i=1}^k\Biggllangle\prod_{j\in I_i}\Phi_j\Biggrrangle.
\label{irredev}
}
Например,
$$
\Aligned{
\langle\Phi\rangle
&=\llangle\Phi\rrangle,
\\
\langle\Phi_1\Phi_2\rangle
&=\llangle\Phi_1\Phi_2\rrangle+\llangle\Phi_1\rrangle\llangle\Phi_2\rrangle,
\\
\langle\Phi_1\Phi_2\Phi_3\rangle
&=\llangle\Phi_1\Phi_2\Phi_3\rrangle
+\llangle\Phi_1\rrangle\llangle\Phi_2\Phi_3\rrangle
+\llangle\Phi_2\rrangle\llangle\Phi_1\Phi_3\rrangle
+\llangle\Phi_3\rrangle\llangle\Phi_1\Phi_2\rrangle
+\llangle\Phi_1\rrangle\llangle\Phi_2\rrangle\llangle\Phi_3\rrangle.
}
$$
Ясно, что эти соотношения рекуррентно определяют неприводимые средние.

Итак, неприводимый парный коррелятор равен
\eq{
\llangle\varphi(x)\varphi(0)\rrangle_{\text{pert}}
=\llangle\varphi(x)\varphi(0)e^{-A_1[\varphi]}\rrangle.
\label{pertcorrdef}
}
В первом порядке теории возмущений
$$
\delta\llangle\varphi(x)\varphi(0)\rrangle
\equiv\llangle\varphi(x)\varphi(0)\rrangle
-\llangle\varphi(x)\varphi(0)\rrangle_0
=-\lambda\int d^dx_1\,
\llangle\varphi(x)\varphi(0)\Phi_{\text{pert}}(x_1)\rrangle_0.
$$
В конформной теории поля все одноточечные функции равны нулю, так что в правой части можно заменить неприводимую трехточку обычной. На поведение корреляционной функции может влиять три области интегрирования: 1)~$|x_1|\ll|x|$, 2)~$|x_1-x|\ll|x|$, 3)~$|x_1|\gg|x|$. Первые две области не изменят размерности поля~$\varphi$, поскольку в разложении, например, $\varphi(x)\Phi_{\text{pert}}(x_1)$ вклад могут дать только поля размерности~$d_\varphi$. В третьей же области мы можем разложить произведение
полей $\varphi(x)\varphi(0)$ в ряд:
$$
\varphi(x)\varphi(0)
=\sum_\alpha\mu_\alpha|x|^{d_\alpha-2d_\varphi}\Phi_\alpha(0)
+(\text{потомки}).
$$
Подставляя это в предыдущее равенство, получаем
\eq{
\delta\llangle\varphi(x)\varphi(0)\rrangle
\simeq-\lambda|x|^{d_{\text{pert}}-2d_\varphi}
\sum_{\alpha(d_\alpha=d_{\text{pert}})}
\int_{|x_1|\gg|x|}d^dx_1\,
{G_{\alpha,\text{pert}}\over|x_1|^{2d_\text{pert}}}
\simeq-\const\Cases{|x|^{d-d_{\text{pert}}-2d_\varphi},&d\ne d_{\text{pert}},\\
|x|^{-2d_\varphi}\log|x|,&d=d_{\text{pert}}.}
\label{firstcorrection}
}
Если $d_{\text{pert}}>d$, это представляет собой малую поправку к невозмущенному коррелятору $\propto|x|^{-2d_\varphi}$. Такое возмущение называют \textit{иррелевантным}, так как оно не меняет критического поведения корреляционных функций на больших расстояниях и может, разве что, изменить радиус взаимодействия~$r_0$. Учет высших порядков не меняет этого результата.

Если, наоборот, $d_{\text{pert}}<d$ (такое возмущение называют \textit{релевантным}), первая поправка (\ref{firstcorrection}) превышает нулевой порядок на больших масштабах и инфракрасное поведение корреляционных функций существенно меняется. При этом может быть два случая, которые зачастую непросто различить. В первом случае теория теряет масштабную инвариантность, но при этом начиная с некоторого масштаба $r'_0$ корреляторы снова выходят на степенной закон и на масштабах $r\gg r'_0$ теория снова становится конформной, но с другими критическими индексами и структурными константами. Часть полей при этом может в инфракрасной области просто <<вымереть>>, если их корфункции слишком быстро спадают при $r_0\lesssim r\lesssim r'_0$.

В другом случае корреляторы всех полей начнут затухать экспоненциально и в теории появится конечная корреляционная длина~$r_c$. Примерами таких возмущений могут быть возмущение плотностью энергии, $\Phi_{\text{pert}}=\ve$, и возмущение параметром порядка, $\Phi_{\text{pert}}=\varphi$. В первом случае параметр $\lambda$ имеет естественный смысл изменения температуры ($\lambda=\beta_c\tau$), а во втором --- внешнего поля ($\lambda=-\beta_ch$).

Особый интерес представляет случай $d=d_{\text{pert}}$ (\textit{маргинальное} возмущение), когда логарифмическая добавка может означать либо потерю конформной инвариантности, либо быть первым членом в поправке к размерности полей. В первом случае корреляционные функции начинают содержать логарифмы, из-за которых масштабная инвариантность нарушается на всех масштабах, а во втором случае (случай \textit{истинно маргинального} возмущения) конформные размерности непрерывно зависят от параметра модели~$\lambda$. Различить эти два случая можно только суммированием бесконечного числа важных членов в теории возмущений с учетом конкретного вида операторной алгебры.

\Subeq{\label{ftdef}
Теперь нам легко выразить критические индексы из прошлой лекции через конформные размерности. Мы уже установили, что
\eq{
\eta=2d_\varphi+2-d,
\label{eta-ftdef}
}
Поскольку размерность $\tau$ должна быть равна $d_\tau=d-d_\ve$, а размерность $h$ --- $d_h=d-d_\varphi$, мы немедленно получаем
\Align{
\nu
&=d_\tau^{-1}=(d-d_\ve)^{-1},
\label{nu-ftdef}
\\
\mu
&=d_h^{-1}=(d-d_\varphi)^{-1}.
\label{mu-ftdef}
\\
\beta
&={d_\varphi\over d_\tau}={d_\varphi\over d-d_\ve}.
\label{beta-ftdef}
\\
\delta
&={d_h\over d_\varphi}={d-d_\varphi\over d_\varphi}.
\label{delta-ftdef}
\\
\gamma
&=-{d_\varphi-d_h\over d_\tau}={d-2d_\varphi\over d-d_\ve}.
\label{gamma-ftdef}
}
Для индексов, связанных с удельной теплоемкостью, сохраняется прежняя аргументация: плотность свободной энергии имеет размерность $d$, а теплоемкость есть ее вторая производная по~$\tau$. Поэтому
\Align{
\alpha
&=-{d_c\over d_\tau}=-{d-2d_\tau\over d_\tau}={d-2d_\ve\over d-d_\ve},
\label{alpha-ftdef}
\\
\ve
&=-{d_c\over d_h}={d-2d_\ve\over d-d_\varphi}.
\label{ve-ftdef}
}
Итак, мы выразили все критические индексы через две масштабные размерности $d_\ve$ и~$d_\varphi$. Соотношения (31) из Лекции~2 мгновенно проверяются.
}

\bigbreak
\bigskip
\centerline{\bf Задачи}
\medskip

{\bf1.}~Доказать, что в классической масштабно-инвариантной теории поля, построенной из мас\-штаб\-но-инвариантных скалярных полей, след тензора напряжений равен нулю.

{\bf2.}~Показать, что трехточечные корреляционные функции в конформной теории поля имеют вид~(\ref{confthreepoint}).

{\bf3.}~Рассмотрим двумерную \textit{теорию поля Лиувилля} с действием
$$
\cS[\varphi]=\int d^2x\,\left({1\over2}(\d_\mu\varphi)^2+e^\varphi\right).
$$
Это действие обладает масштабной инвариантностью по отношению к преобразованию
$$
\varphi(x)\to\varphi(\lambda x)-2\log\lambda,
$$
то есть и сами поля преобразуются под действием дилатаций. След тензора напряжений, построенный согласно стандартному определению, не равен нулю даже на уравнениях движения. Покажите, что некоторой добавкой и применением уравнений движения можно переопределить тензор напряжений так, чтобы его след тождественно обратился в нуль.

\end{document}