\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm,pictex,russian,fullpage}
%\usepackage[notref]{showkeys}

\allowdisplaybreaks


% Back to Knuth's definitions
\makeatletter
\def\smallskip{\vskip\smallskipamount}
\def\medskip{\vskip\medskipamount}
\def\bigskip{\vskip\bigskipamount}
\let\over\@@over
\let\atop\@@atop
\let\above\@@above
\let\overwithdelims\@@overwithdelims
\let\atopwithdelims\@@atopwithdelims
\let\abovewithdelims\@@abovewithdelims
\let\frac\undefined
\let\dfrac\undefined
\let\genfrac\undefined
\makeatother
% End 'Back...' section

\let\{=\lbrace
\let\}=\rbrace
\let\[=\lbracket
\let\]=\rbracket

\long\def\items#1{\begin{itemize}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{itemize}}
\long\def\enum#1{\begin{enumerate}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{enumerate}}

\def\eq#1{\begin{equation}#1\end{equation}}
\def\Align#1{\begin{align}#1\end{align}}
\def\Aligned#1{\begin{aligned}#1\end{aligned}}
\def\Gather#1{\begin{gather}#1\end{gather}}
\def\Gathered#1{\begin{gathered}#1\end{gathered}}
\def\Multline#1{\begin{multline}#1\end{multline}}
\def\Subeq#1{\begin{subequations}#1\end{subequations}}
\def\Matrix#1{\begin{matrix}#1\end{matrix}}
\def\pMatrix#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}
\def\Cases#1{\begin{cases}#1\end{cases}}

\def\i{{\rm i}}
\def\ve{\varepsilon}
\def\vp{\varphi}
\def\d{\partial}
\def\bd{{\bar\d}}
\def\bpsi{{\bar\psi}}
\def\bvarphi{{\bar\varphi}}
\def\Re{\mathop{\rm Re}\nolimits}
\def\Im{\mathop{\rm Im}\nolimits}
\def\sh{\mathop{\rm sh}\nolimits}
\def\ch{\mathop{\rm ch}\nolimits}
\def\tg{\mathop{\rm tg}\nolimits}
\def\ctg{\mathop{\rm ctg}\nolimits}
\def\arth{\mathop{\rm arth}\nolimits}
\def\arch{\mathop{\rm arch}\nolimits}
\def\tr{\mathop{\rm tr}\nolimits}
\def\Tr{\mathop{\rm Tr}\nolimits}
\def\arctg{\mathop{\rm arctg}\nolimits}
\def\diag{\mathop{\rm diag}\nolimits}
\def\sign{\mathop{\rm sign}\nolimits}
\def\bzero{{\boldsymbol 0}}
\def\be{{\boldsymbol e}}
\def\bh{{\boldsymbol h}}
\def\bn{{\boldsymbol n}}
\def\bp{{\boldsymbol p}}
\def\br{{\boldsymbol r}}
\def\bk{{\boldsymbol k}}
\def\bR{{\boldsymbol R}}
\def\bS{{\boldsymbol S}}
\def\bJ{{\boldsymbol J}}
\def\bsigma{{\boldsymbol\sigma}}
\def\bvp{{\boldsymbol\varphi}}
\def\bpi{{\boldsymbol\pi}}
\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\cA{{\cal A}}
\def\cD{{\cal D}}
\def\cH{{\cal H}}
\def\cL{{\cal L}}
\def\cM{{\cal M}}
\def\cO{{\cal O}}
\def\cS{{\cal S}}
\def\bz{{\bar z}}
\def\bw{{\bar w}}
\def\bw{{\bar w}}
\def\tphi{{\tilde\phi}}
\def\trho{{\tilde\rho}}
\def\ta{{\tilde a}}
\def\vq{{\vec q}}
\def\vx{{\vec x}}
\def\vy{{\vec y}}
\def\vJ{{\vec J}}
\def\va{{\vec a}}
\def\vb{{\vec b}}
\def\eff{{\rm eff}}
\def\const{{\rm \,const\,}}
\def\eF{{\epsilon_F}}
\def\Ech{{E_{\text{ch}}}}
\def\Esp{{E_{\text{sp}}}}
\def\Espel{{E_{\text{sp}}^{\text{el}}}}
\def\Eim{{E_{\text{im}}}}
\def\el{{\text{el}}}
\def\im{{\text{im}}}
\def\Gi{{\text{\sffamily Gi}}}
\def\qu{{\text{qu}}}

\def\lcolon{\mathopen:}
\def\rcolon{\mathclose:}
\def\llangle{\mathopen{\langle\!\langle}}
\def\rrangle{\mathclose{\rangle\!\rangle}}
\def\Biggllangle{\Biggl\langle\!\!\!\Biggl\langle}
\def\Biggrrangle{\Biggr\rangle\!\!\!\Biggr\rangle}

\def\aux{{\tilde1}}

%%%%%%% For figures: %%%%%%%
\def\ar#1 #2, #3 #4 {\arrow <0.3truecm> [0.1,0.3] from #1 #2 to #3 #4 }
\catcode`!=11
\def\ln#1 #2, #3 #4 {\!start(#1,#2)\!ljoin(#3,#4)}
\catcode`!=12
\def\rl#1 #2, #3 #4 {\putrule from #1 #2 to #3 #4 }
\def\trl#1 #2, #3 #4 {\linethickness .8pt
	\putrule from #1 #2 to #3 #4 \linethickness .4pt}
\def\point#1 #2 {\put{\hbox{\kern -1pt .}} [Bl] at #1 #2 }
\def\bfpoint#1 #2 {%
\put{\hbox{\kern -2pt \raise -2.3pt%
\hbox{$\textstyle\bullet$}}} [Bl] at #1 #2 }
\def\figcap#1#2\par{\medskip{\narrower\eightpoint\noindent
	Fig.~#1. \ignorespaces#2\par}\medskip}
\def\mpicture#1#2\endmpicture{\quad\vcenter{\hbox{%
	\vphantom{\vrule height#1 depth#1}%
	\beginpicture
	\setcoordinatesystem units <1cm,1cm> point at 0 0
	#2
	\endpicture}}\quad}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\makeatletter
\let\over\@@over
\let\atop\@@atop
\let\above\@@above
\let\overwithdelims\@@overwithdelims
\let\atopwithdelims\@@atopwithdelims
\let\abovewithdelims\@@abovewithdelims
\makeatother

\begin{document}


\begin{center}
{\bf ������~8}\\
{\bf ������ � ����������� ���������� � �����-������.}
\end{center}

���������� ������� ������� � ������� � ����������������� ����� $\bvp=(\vp_1,\ldots,\vp_N)$, ����������� ���������
\eq{
S[\bvp]=\int d^dx\,\left({1\over2}(\d_\mu\bvp)^2+{m^2\over2}\bvp^2+{g\over8}(\bvp^2)^2\right).
\label{Sbvp-def}
}
�������� �������� ������� ��������� $O(N)$ --- ������� ������������� ������ ������� $N\times N$, �� ���� ������� ���������. ���������� ������
$$
m^2=-{\mu^2\over2}<0
\qquad(\tau<0).
$$
������ � ������ ������. ������� �������� ������������� �����
\eq{
\bvp(x)=\bn\vp_s,
\qquad
\bn^2=1,
\qquad
\vp_s={\mu\over g^{1/2}}.
\label{vp_s}
}
�������� �������� ������� ������������ --- ����� $S^{N-1}$, ������ �������� �������� ��� ���� ����� ����� ���������. ���������� ����������� ����� �� ����� �� �����. �����
\eq{
\bvp(x)=\left(\vp_s+\delta\vp_\parallel(x)\right)\bn+\delta\bvp_\perp(x),
\qquad
\bn\delta\bvp_\perp(x)=0.
\label{bndef}
}
�����
\Multline{
S[\bvp]-S[\vp_s\bn]=\int d^dx\,\biggl({1\over2}(\d_\mu\delta\bvp_\perp)^2
+{1\over2}(\d_\mu\delta\vp_\parallel)^2+{\mu^2\over2}\delta\vp_\parallel^2
\\
+{g\vp_s\over2}\delta\vp_\parallel^3+{g\over8}\delta\vp_\parallel^4
+{g\over4}\left(2\vp_s\delta\vp_\parallel+\delta\vp_\parallel^2\right)\delta\bvp_\perp^2
+{g\over8}(\delta\bvp_\perp^2)^2\biggr).
\label{Sminexpansion}
}
�� �����, ��� ���� ����������� �� ������������ ���������� � ������ $\mu$ � ����������� ���������������� (\textit{��������������� �����}). �������� � ������ ����������� ������������ ��������� � ������������ ���� $\delta\bvp_\perp$, �� ���� ������������ ������ $O(N-1)$. ����� ������� ������������ ��������� $S^N\simeq O(N)/O(N-1)$.

��������� <<������>> ��������������� ���������� �������� � ������������ �������������� �������� ��� � ������� ������������ ������ ������. �������, ������� ������������ �� $\delta\bvp_\perp$ ����, ���������������� $2\vp_s\delta\vp_\parallel+\delta\vp_\parallel^2$, �������, � ��������, ����� �������� � ����� ��������������� ������� ��� �����������. �� ������ �������, ������ ����� �� ����������.

������� ����������� ������� $\delta\bvp_\perp(x)$ � ����� ��������� �������������� �������������� ������ �� ������� $\delta\vp_\parallel(x)$. ��� ���� ����� �������, ��� ��������� $\mu$ � $\vp_s$ �������� ���������� �������� �������������� ������ � ���������� <<��������>>. ��� ��� ��� ���������� ��������� ������ ��������������� ��������� ��� ��� ����� $\delta\bvp_\perp^2$, �������� �������� $\int D\delta\vp_\parallel\,e^{-S[\bvp]}$ �� �������� $\delta\bvp_\perp^2$. ����������� ��� ������ ������� �����, ��������, �������������� $\langle2\vp_s\delta\vp_\parallel+\delta\vp_\parallel^2\rangle$. ����� ��������� ��� �������: $\langle\delta\vp_\parallel\rangle$ � $\langle\delta\vp_\parallel^2\rangle$. ������ ������� ����� ���� � ���� �����������~$\vp_s$. ������ ������� ���������� � ���� � ���������� �������������� ����������� ��������. ����,
$$
\langle2\vp_s\delta\vp_\parallel+\delta\vp_\parallel^2\rangle=0,
$$
��� ��������� �� ��, ��� $\delta\bvp_\perp(x)$ ������������� �����������.

���� ��������� ������������ ����� ������� ������ �����

\newtheorem*{Gthm}{������� ����������}
\begin{Gthm} ���� � ���������� ����������� ��������� ��������� ������� ������ ���� �������� $k$-������ ������������, �� � ������ ������� �� ������� ���� $k$ ����������� �������.
\end{Gthm}

������� ������� ������� ���������� � ������ ������ ����. ������� �������� � ������������ �����������. ����� ������� ����������� ������� $x^d\to\i x^0$, $g_{\mu\nu}\to-g_{\mu\nu}$. �� ���� ����������� ������ ����������� ��� $g_{00}=-g_{11}=\cdots=-g_{d-1,d-1}=1$. ��� ����
$$
e^{-S_{\text{Euc}}}=e^{\i S_{\text{Mink}}}.
$$
�������, ���� �������� ���������� ����� ���
$$
L_{\text{Euc}}(\bvp,\d_\mu\bvp)={1\over2}(\d_\mu\bvp)^2+U(\bvp),
$$
�� ���������� ���������� �����
$$
L_{\text{Mink}}(\bvp,\d_\mu\bvp)={1\over2}(\d_\mu\bvp)^2-U(\bvp)
\equiv{1\over2}g^{\mu\nu}\d_\mu\bvp\d_\nu\bvp-U(\bvp),
$$
� ������������
$$
H[\bvp,\bpi]=\int d^{d-1}x\,\left({\bpi^2\over2}
+{1\over2}\sum_{i=1}^{d-1}(\d_i\bvp)^2+U(\bvp)\right),
\qquad
\bpi={\d\over\d\bvp}\int d^{d-1}x\,L_{\text{Mink}}(\bvp,\d_\mu\bvp).
$$
�� �����, ��� ��� ������ �������� �������� ������� ��������� �������� ������������� �������� ������������� �������, � ������ � �������������. � ����������� $d=1$ �� �����, ��� ���� ������� �������������, ��� �� ����� � ��������� ������� ������� ������������ ������������� �������� ���������. ��� � �������� ������������� ���������� �������� �������� ��� �������� ������������ � ���������� ������������ �������. ��� $d>1$ �������� ����������� �������.

�����������, ��� � ������� ������������� ������� ����������� ��������� ����������� ��������. ����� $|0\rangle$ --- ���� �� ��������, � $Q(x^0)=\int d^{d-1}x\,j^0(x)$ --- ��������� ������ ���������, ����� ���
$$
|\alpha\rangle\equiv e^{\alpha Q}|0\rangle\ne\lambda|0\rangle
$$
��� ����� ��������~$\alpha$. ��������� ��������� �������� ������������� �������
$$
{dQ(t)\over dt}=0.
$$
����� $A$ --- �����-������ ��������, ����� ���
$$
a(t)=\langle0|[Q(t),A]|0\rangle\ne0.
$$
�������� ������������ �� ������������� ���������� $\sum_n|n\rangle\langle n|$, ��������
$$
\Aligned{
a(t)
&=\sum_n\int d^{d-1}x\,\left(\langle0|j^0(0)|n\rangle\langle n|A|0\rangle e^{-\i P_nx}
-\langle0|A|n\rangle\langle n|j^0(0)|0\rangle e^{\i P_nx}\right)
\\
&=\sum_n(2\pi)^{d-1}\delta^{d-1}(p_n)\left(\langle0|j^0(0)|n\rangle\langle n|A|0\rangle e^{-\i E_nt}
-\langle0|A|n\rangle\langle n|j^0(0,0)|0\rangle e^{\i E_nt}\right),
}
$$
��� $p_n$ --- ���������������� ���������� �������� $P_n$. � ������ �������, ����� ���������� ������ $Q$, �����
$$
0=\dot a(t)=-\i\sum_n(2\pi)^{d-1}\delta^{d-1}(p_n)E_n
\left(\langle0|j^0(0)|n\rangle\langle n|A|0\rangle e^{-\i E_nt}
+\langle0|A|n\rangle\langle n|j^0(0,0)|0\rangle e^{\i E_nt}\right).
$$
�������������, ������ � $E_n\ne0$, $p_n\ne0$ ��� ���������� � ����:
$$
\langle0|j^0(0)|n\rangle\langle n|A|0\rangle
=\langle0|A|n\rangle\langle n|j^0(0)|0\rangle=0
\quad
\text{��� $P_n\ne0$}.
$$
��� ��� $a(t)\ne0$, ����� ������� �������-�������� ������ ���� ���������:
$$
\langle0|j^0(0)|n\rangle\langle n|A|0\rangle\ne0
\quad\text{���}\quad
\langle0|A|n\rangle\langle n|j^0(0)|0\rangle\ne0
\quad
\text{��� $P_n=0$}.
$$
� ��� � ������, ��� ������� �� ������� ���� ���� ������� ���� $P_n=0$, ����������� ����������~$j^0(0)$, � ������ � ����������� �������. ���� ������� $k$-������ ������������ ��������, �� ������� $k$ ������� $Q_i$ � $k$ ������� ���, ���������� $k$ ����������� ��������.

���� �� ��������, ��� � ������������ ������� ������ (�� ���� � ������ ������ �� ����� ������ ������� ���������) � ��������� (\ref{Sbvp-def}) ��� $m^2<0$ ������� ���������� ��������� ���������, ������ ������� �������� �����~$S^{N-1}\simeq O(N)/O(N-1)$. �� �������� �����, ��� ���� ��� ����������� (����� �������������� ��������) ��������� ��������� �����������, ��, � �������� � �������� ����������, ������ ���� �������� $N-1$ ����������� �������. ��������� ��������� ������: �� ��������������� �� ��������� (=��������������) �������� �������� $O(N)$-��������� �������. ������� �������� ������ �������������� ������� ��������������� �����. � ������������ ����������� ��� �������� �������� ���������:
\eq{
\nabla^2\langle\delta\vp_{\perp i}(x)\delta\vp_{\perp j}(x')\rangle
=-(\delta_{ij}-n_in_j)\delta(x-x').
\label{Gperp}
}
������� ����� ��������� �� ��� ��������� ��� ������:
\eq{
\langle\delta\vp_{\perp i}(x)\delta\vp_{\perp j}(x')\rangle
=(\delta_{ij}-n_in_j)\Cases{{\displaystyle{1\over(d-2)S_d|x-x'|^{d-2}}},&d>2;\\
{\displaystyle{1\over2\pi}\log{R\over|x-x'|}},\vphantom{\Bigg|}&d=2.\\
{1\over2}(R-|x-x'|),&d=1.}
\label{Gperp-solution}
}
���� � ������ $d>2$ �������������� ������� ��������� � ���� ��� $|x-x'|\to\infty$, �� ��� $d\le2$ ��� ��������� � �������������. ������ � ���� ������� ��������� ��������� $R$ � �������������� ������� ��� $d\le2$, ������� ����� ������������ �������.

��� ����, ��� ��� $d>2$ �������������� ������� (\ref{Gperp-solution}) ��������� � ����, ��������, ��� ����������� ������� $\bvp(x)$ �� ������� ����������� ��������������, �� ���� ������� ������� �������. � �� �� ����� � ������������ $d=1,2$ � �������� � ����������� ������� ��������� ������� ������� �����������. ��� $d=1$ �� �����, ��� ����������� � ������� �������. ������� ������ ������: ����� �� ���� ������� ������� � �����������~$d=2$? � ���� ����� ������� ����, �� ��� ����������� ����������� ������������������� � ������������������ ����? �� ��� ������� �� ������� � ��������� ������.

������� ������ $\bvp(x)$ � ����
\eq{
\bvp(x)=\bn(x)\vp(x),
\qquad
|\bn(x)|=1,
\qquad
\vp(x)\ge0.
\label{bvp-bn}
}
�������� � ���� ���������� ��������� ���
\eq{
S[\bvp]=\int d^dx\,\left(
{\vp^2\over2}(\d_\mu\bn)^2+{1\over2}(\d_\mu\vp)^2+{m^2\over2}\vp^2+{g\over8}\vp^4\right).
\label{Sbvp-bnvp}
}
����� $\tau<0$ � �� ������� �������� ��������� ������� $\bn(x)\to\bn_0$ ��� $|x|\to\infty$. ����� �����������
\eq{
\langle\bvp(x)\rangle=\bn_0\vp_s
\label{bvp-xinf}
}
���������� �������� <<���������� ���������������>> $\vp_s$ � ������ �������������� ��������. � ������� ������������ ������ ������ ���������� $\vp(x)$ �� ��������� ������� ��� ������ �������������� ����� ��� ���������� ���������� � $\langle\vp^2(x)\rangle\simeq\vp_s^2$. �� �� ����� ���������� � �� �������������� �������, �� �� ���������, �� ������ ������, ����� ������ �������������� �����. ������� �� ���������� ������� ��������� ����������� $\vp^2/2$ ��� $(\d_\mu\bn)^2$ �~(\ref{Sbvp-bnvp}) ����� �������� ��~$\vp_s^2/2$. ��� ������, ��� ���������������� ���������� ������������ ��������� \textit{$O(N)$-������������ �����-������}:
\eq{
S[\bn]=\int d^dx\,{\vp_s^2\over2}(\d_\mu\bn)^2,
\qquad
\bn=(n_1,\ldots,n_N),
\qquad
\bn^2(x)=1.
\label{ONsigmamodel}
}
����� �� �������� ������ ����������������� ������ �����-������.

������� � �������� (\ref{Sbvp-def}) ����� �������� ����
\eq{
S_\bh[\bvp]=S[\bvp]-\int d^dx\,\bh(x)\bvp(x).
\label{Sbh[bvp]def}
}
������� ���� �������� $\vp_s$ �� <<�����������>> ������� $\vp(x)$ � ��������� ����������� �������~$\bn_0$. �������� ��� �����-������ ��� ���� �������������� ��������� �������:
\eq{
S_\bh[\bn]=\int d^dx\,{\vp^2(x)\over2}(\d_\mu\bn)^2-\int d^dx\,\vp(x)\bh(x)\bn(x).
\label{Sbh[bn]def}
}
� ���������� �� ����� ������� ������� ���� ����������: $\bh(x)=\bh=h\bn_0$. � ���������� ��������� ���� ���������� ��������� �������� ���������������
\eq{
\chi_{ij}={\d\vp_i\over\d h_j}=\chi_\parallel(h^2)n_{0i}n_{0j}
+\chi_\perp(h^2)(\delta_{ij}-n_{0i}n_{0j}).
\label{chidef}
}
�������� $\chi_\parallel$ � $\chi_\perp$ ���������� ���������� � ���������� ����������������� ��������������. ��� �������� ���������� �������� ��� ����� ���������� ���� � ������������ �����������:
\eq{
S={1\over2}\int d^dx\,\left((\d_\mu\delta\vp_\parallel)^2+(\d_\mu\delta\bvp_\perp)^2
+{1\over\chi_\parallel}\delta\vp_\parallel^2+{1\over\chi_\perp}\delta\bvp_\perp^2\right).
\label{Sdelta}
}

�������� ���������� ��������������� ���� $\bvp$ �� ������� ����. ��� ����� ������� �����. �������������, ���� ������ �� ������� ���� $d\bh$, ������������� ���� $h$ ������� � ���, ��� ���� $\bvp$ (��� $\bn$) �������������� �� ����. �������������
$$
{d\bh\over h}=d\bn={d\bvp\over\vp}
$$
�
\eq{
\chi_\perp={\vp\over h}.
\label{chi_perp}
}
�� �����, ��� ���������� ��������������� ���� ����� �������� ���������� � ������������� ��� $h\to0$. �������� ��������, ��� � ���������� ��������������� ��������� � ������������� � ���� �������, �� �� ��� ������. ��� ���������� ��� �� ���� ����������.

��� ��� $\bn^2=1$ ����� ��� ���������� ������� �����������
$$
2\bn_0\delta\bn+\delta\bn^2=0.
$$
��������� $\delta n_\parallel=\bn_0\delta\bn$, �� ���� ���������� ���������� ����������. ��� ��� ���������� ���������� $\delta\bn_\perp\simeq\delta\bn$ � ���������� �������. ������ ������� �����������
\eq{
\delta n_\parallel=-{\delta\bn_\perp^2\over2},
\quad\text{���� $|\delta\bn_\perp|\ll1$.}
\label{deltanparallel}
}
�������������,
$$
\langle\delta\vp_\parallel\rangle=-{\vp\over2}\langle\delta\bn_\perp^2\rangle
=-{1\over2\vp}\langle\delta\bvp_\perp^2\rangle.
$$
�� (\ref{Sdelta}) �� �����, ��� $\chi_\perp^{-1}$ ������ ���� �������� �����, �������
$$
\langle\delta\bvp_\perp^2\rangle=(N-1)\int{d^dk\over(2\pi)^d}\,{1\over k^2+\chi_\perp^{-1}}.
$$
��� �������� ����������. ������ �� ����������� �� $h$ �������� � �����
$$
{\d\over\d h}\langle\delta\bvp_\perp^2\rangle
=-{N-1\over\vp}\int{d^dk\over(2\pi)^d}{1\over(k^2+h/\vp)^2}
=-{\pi(N-1)(d-2)S_d\over4(2\pi)^d\sin{\pi(d-2)\over2}}\vp^{2-d\over2}h^{-{4-d\over2}}.
$$
������ ��������
\eq{
\chi_\parallel
={\pi(N-1)(d-2)S_d\over8(2\pi)^d\sin{\pi(d-2)\over2}}\vp^{-{d\over2}}h^{-{4-d\over2}}
+{\d\vp\over\d h},
\label{chiparallel}
}
��� $\d\vp/\d h$ ������������ ����� ���������� ��� $h\to0$ ����� �� ����������� �������� ��� ����~$\vp(x)$. � ���������, ��� $d=3$ �����
\eq{
\chi_\parallel={N-1\over16\pi\vp_s^{3/2}h^{1/2}}+O(1)
\quad\text{��� $h\to0$.}
\label{chiparallel3}
}
����� ������� ����������, ��������� ������� ���������� ��������������, ���������� ���� ����� ���������� � ������ ������ � ������������ ��������� �����-���������� ����������� (\textit{�������� ���������� ������}).

���������� ������ ���������� ����� ���������� � ���������� ����������:
$$
\delta\vp^2=2\vp\delta\vp_\parallel^2+\delta\bvp_\perp^2.
$$
���� �������� ����������� �������� � ����
\eq{
S_{\text{eff}}[\bvp]=\int d^dx\,\left({1\over2}(\d_\mu\bvp)^2
+f(\vp^2)-\bh\bvp+(\text{������ �����������})\right),
\label{Seff}
}
�������� �����, ���
\Align{
\chi_\perp^{-1}
&=2f'(\vp^2),
\label{chiperpinv}
\\
\chi_\parallel^{-1}
&=4\vp^2f''(\vp^2)+2f'(\vp^2).
\label{chiparinv}
}
����������� ������������� ���� �~(\ref{Seff}) �� ������ ������� �� $\delta\bvp_\perp^2$, ����� �����
\eq{
S_{\text{eff}}[\bvp]={1\over2}\int d^dx\,\left({1\over\chi_\perp}\delta\bvp_\perp^2
+{1\over\chi_\parallel}{(\delta\vp^2)^2\over4\vp^2}\right)+(\text{����� � ������������}).
\label{Seff-exp}
}
�������� �������
$$
\langle\delta\bvp_\perp^2\rangle_V
\equiv{1\over V}\int_V d^dx\,\langle\delta\bvp_\perp(0)\delta\bvp_\perp(x)\rangle
\simeq{\chi_\perp\over V}
\quad\text{��� $V\gg\chi_\perp^{d/2}$}.
$$
����������,
$$
\langle(\delta\vp^2)^2\rangle_V
\equiv{1\over V}\int_V d^dx\,\langle\delta\vp^2(0)\delta\vp^2(x)\rangle
\simeq{4\vp^2\chi_\parallel\over V}
\quad\text{��� $V\gg\chi_\parallel^{d/2}$}.
$$
������� ������������ �����-���������� �����������
\eq{
\sqrt{\langle(\delta\vp^2)^2\rangle_V}\ll\langle\delta\bvp_\perp^2\rangle_V
\label{deltavp<<deltabvpperp}
}
����� ���
\eq{
V\ll{\chi_\perp^2\over4\vp^2\chi_\parallel}.
\label{V<<rat}
}
��� $h\to0$ ������ ����� ��������� ��������� � �������������, ��� ��� �����-��������� ����������� � ������ ������� ���� ���������. � �� �� ����� ���������� (\ref{Sdelta}), (\ref{Seff-exp}), � ������ � ������ (\ref{V<<rat}) ����� �����, ������ ����� $\langle\delta\bvp_\perp^2\rangle_V\ll\vp^2$, �� ����
\eq{
V\gg{\chi_\perp\over4\vp^2}.
\label{V>>rat}
}



\bigbreak
\bigskip
\centerline{\bf ������}
\medskip

{\bf1.}~������� ��������� (\ref{chiperpinv}), (\ref{chiparinv}) ��� ���������������� � (\ref{Seff-exp}) ��� ������������ �������� (��������� �������).

{\bf2.}~��������, ��� �� (\ref{chiparallel3}) �������, ��� ������� ����� � ���������� $f(\vp^2)$ ��� $\vp>\vp_s$ ����� ���
$$
f(\vp^2)=C(\vp-\vp_s)^3.
$$
����� ����������~$C$.





\end{document}
