\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm,pictex,russian,fullpage}
%\usepackage[notref]{showkeys}

\allowdisplaybreaks


% Back to Knuth's definitions
\makeatletter
\def\smallskip{\vskip\smallskipamount}
\def\medskip{\vskip\medskipamount}
\def\bigskip{\vskip\bigskipamount}
\let\over\@@over
\let\atop\@@atop
\let\above\@@above
\let\overwithdelims\@@overwithdelims
\let\atopwithdelims\@@atopwithdelims
\let\abovewithdelims\@@abovewithdelims
\let\frac\undefined
\let\dfrac\undefined
\let\genfrac\undefined
\makeatother
% End 'Back...' section

\let\{=\lbrace
\let\}=\rbrace
\let\[=\lbracket
\let\]=\rbracket

\long\def\items#1{\begin{itemize}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{itemize}}
\long\def\enum#1{\begin{enumerate}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{enumerate}}

\def\eq#1{\begin{equation}#1\end{equation}}
\def\Align#1{\begin{align}#1\end{align}}
\def\Aligned#1{\begin{aligned}#1\end{aligned}}
\def\Gather#1{\begin{gather}#1\end{gather}}
\def\Gathered#1{\begin{gathered}#1\end{gathered}}
\def\Multline#1{\begin{multline}#1\end{multline}}
\def\Subeq#1{\begin{subequations}#1\end{subequations}}
\def\Matrix#1{\begin{matrix}#1\end{matrix}}
\def\pMatrix#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}
\def\Cases#1{\begin{cases}#1\end{cases}}

\def\i{{\rm i}}
\def\ve{\varepsilon}
\def\vp{\varphi}
\def\d{\partial}
\def\bd{{\bar\d}}
\def\bpsi{{\bar\psi}}
\def\bvarphi{{\bar\varphi}}
\def\Re{\mathop{\rm Re}\nolimits}
\def\Im{\mathop{\rm Im}\nolimits}
\def\sh{\mathop{\rm sh}\nolimits}
\def\ch{\mathop{\rm ch}\nolimits}
\def\tg{\mathop{\rm tg}\nolimits}
\def\ctg{\mathop{\rm ctg}\nolimits}
\def\arth{\mathop{\rm arth}\nolimits}
\def\arch{\mathop{\rm arch}\nolimits}
\def\tr{\mathop{\rm tr}\nolimits}
\def\Tr{\mathop{\rm Tr}\nolimits}
\def\arctg{\mathop{\rm arctg}\nolimits}
\def\diag{\mathop{\rm diag}\nolimits}
\def\sign{\mathop{\rm sign}\nolimits}
\def\bzero{{\boldsymbol 0}}
\def\be{{\boldsymbol e}}
\def\bn{{\boldsymbol n}}
\def\bp{{\boldsymbol p}}
\def\br{{\boldsymbol r}}
\def\bk{{\boldsymbol k}}
\def\bR{{\boldsymbol R}}
\def\bS{{\boldsymbol S}}
\def\bJ{{\boldsymbol J}}
\def\bsigma{{\boldsymbol\sigma}}
\def\bvp{{\boldsymbol\varphi}}
\def\bpi{{\boldsymbol\pi}}
\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\cA{{\cal A}}
\def\cD{{\cal D}}
\def\cH{{\cal H}}
\def\cL{{\cal L}}
\def\cM{{\cal M}}
\def\cO{{\cal O}}
\def\cS{{\cal S}}
\def\bz{{\bar z}}
\def\bw{{\bar w}}
\def\bw{{\bar w}}
\def\tphi{{\tilde\phi}}
\def\trho{{\tilde\rho}}
\def\ta{{\tilde a}}
\def\vq{{\vec q}}
\def\vx{{\vec x}}
\def\vy{{\vec y}}
\def\vJ{{\vec J}}
\def\va{{\vec a}}
\def\vb{{\vec b}}
\def\eff{{\rm eff}}
\def\const{{\rm \,const\,}}
\def\eF{{\epsilon_F}}
\def\Ech{{E_{\text{ch}}}}
\def\Esp{{E_{\text{sp}}}}
\def\Espel{{E_{\text{sp}}^{\text{el}}}}
\def\Eim{{E_{\text{im}}}}
\def\el{{\text{el}}}
\def\im{{\text{im}}}
\def\Gi{{\text{\sffamily Gi}}}
\def\qu{{\text{qu}}}

\def\lcolon{\mathopen:}
\def\rcolon{\mathclose:}
\def\llangle{\mathopen{\langle\!\langle}}
\def\rrangle{\mathclose{\rangle\!\rangle}}
\def\Biggllangle{\Biggl\langle\!\!\!\Biggl\langle}
\def\Biggrrangle{\Biggr\rangle\!\!\!\Biggr\rangle}

\def\aux{{\tilde1}}

%%%%%%% For figures: %%%%%%%
\def\ar#1 #2, #3 #4 {\arrow <0.3truecm> [0.1,0.3] from #1 #2 to #3 #4 }
\catcode`!=11
\def\ln#1 #2, #3 #4 {\!start(#1,#2)\!ljoin(#3,#4)}
\catcode`!=12
\def\rl#1 #2, #3 #4 {\putrule from #1 #2 to #3 #4 }
\def\trl#1 #2, #3 #4 {\linethickness .8pt
	\putrule from #1 #2 to #3 #4 \linethickness .4pt}
\def\point#1 #2 {\put{\hbox{\kern -1pt .}} [Bl] at #1 #2 }
\def\bfpoint#1 #2 {%
\put{\hbox{\kern -2pt \raise -2.3pt%
\hbox{$\textstyle\bullet$}}} [Bl] at #1 #2 }
\def\figcap#1#2\par{\medskip{\narrower\eightpoint\noindent
	Fig.~#1. \ignorespaces#2\par}\medskip}
\def\mpicture#1#2\endmpicture{\quad\vcenter{\hbox{%
	\vphantom{\vrule height#1 depth#1}%
	\beginpicture
	\setcoordinatesystem units <1cm,1cm> point at 0 0
	#2
	\endpicture}}\quad}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\makeatletter
\let\over\@@over
\let\atop\@@atop
\let\above\@@above
\let\overwithdelims\@@overwithdelims
\let\atopwithdelims\@@atopwithdelims
\let\abovewithdelims\@@abovewithdelims
\makeatother

\begin{document}


\begin{center}
{\bf Лекция~9}\\
{\bf $O(2)$-модель в двух измерениях и переход Березинского--Костерлица--Таулеса.}
\end{center}

В этих лекциях мы часто будем рассматривать модели в двумерном пространстве с действием%
%
\footnote{Константа связи $T$ в этой формуле равна $\vp_s^{-2}$, если мы стартуем с теории Ландау, но может действиетльно оказаться температурой (см.\ ниже).}
%
\eq{
S[\bn]={1\over2T}\int d^dx\,(\d_\mu\bn)^2,
\qquad
\bn^2\equiv\sum^N_{i=1}n^2_i=1,
\label{O(N)-model}
}
которые называются моделями $\bn$-поля или $O(N)$-моделями. Эти модели обладают явной $O(N)$-симметрией, соответствующей вращениям сферы. Они принадлежат широкому классу сиг\-ма-мо\-де\-лей, то есть моделей, поля в которых лежат на многообразиях.

В прошлой лекции мы говорили, что в случае $d=2$ в системе с непрерывной симметрией отсутствует спонтанное упорядочение, поскольку корреляционные функции поперечных (голдстоуновских) полей в этом случае растут логарифмически на больших масштабах и размывают локально скоррелированные значения параметра порядка. Мы также задали вопрос о том, означает ли это отсутствие фазового перехода в двумерных системах. В этой лекции мы увидим, что, несмотря на отсутствие упорядочения, фазовый переход в некоторых случаях имеет место.

Сейчас мы рассмотрим простейшую модель из этой серии --- $O(2)$-модель. Она элементарно линеаризуется. Положим
$$
n_1=\cos\varphi,
\qquad
n_2=\sin\varphi.
$$
Тогда
\Align{
S[\varphi]
&={1\over2T}\int d^2x\,(\d_\mu\varphi)^2,
\label{varphiaction}
\\
\varphi(x)
&\sim\varphi(x)+2\pi.
\label{varphiequiv}
}
Последняя строчка означает, что мы считаем значения поля $\varphi$ и $\varphi+2\pi$ эквивалентными.

Эту модель можно рассматривать как непрерывный аналог нескольких микроскопических моделей. Самой простой из них является модель классического двумерного плоского магнетика (непрерывна $XY$-модель). Пусть в узлах $\br=(ij)$ квадратной решетки находятся единичные классические спины $\bn_\br$ на плоскости. Система описывается статсуммой
\eq{
Z=\int\prod_{(ij)}dn\>e^{\beta\sum_{(ij)}(\bn_{ij}(\bn_{i+1,j}+\bn_{i,j+1})-2)}
=\prod_{ij}\int^\pi_{-\pi}{d\vp_{ij}\over2\pi}\>
e^{\beta\sum_{(ij)}(\cos(\vp_{ij}-\vp_{i+1,j})+\cos(\vp_{ij}-\vp_{i,j+1})-2)}.
\label{ZcontXY}
}
В пределе низких температур (слабой связи) косинус можно разложить в ряд и написать:
$$
Z\simeq\prod_{ij}\int^\pi_{-\pi}{d\vp_{ij}\over2\pi}\>
e^{-{\beta\over2}\sum_{(ij)}\left((\vp_{ij}-\vp_{i+1,j})^2+(\vp_{ij}-\vp_{i,j+1})^2\right)}
\simeq\int D\vp\,e^{-S[\varphi]}.
$$
Здесь разности вида $\vp_\br-\vp_{\br'}$ следует понимать как наименьшую разность по модулю~$2\pi$. Например если $\vp_\br$ немного больше $-\pi$, а $\vp_{\br'}$ немного меньше $\pi$, то разность надо заменять на $\vp_\br-\vp_{\br'}+2\pi$.

Казалось бы, мы имеем безмассовое поле с корреляционными функциями, спадающими степенным образом:
\eq{
\langle e^{im\varphi(x)}e^{in\varphi(y)}\rangle
=e^{-mn\langle\vp(x)\vp(y)\rangle}
\sim|x-y|^{{T\over2\pi}m^2}\delta_{|m|,|n|},
\qquad
m,n\in\Z.
\label{masslesscorr}
}
Это значит, что конформные размерности равны
\eq{
d_{e^{\i m\vp}}={T\over4\pi}m^2,
\qquad
d_{\bn}={T\over4\pi}.
\label{dexp}
}
На самом деле это совсем не так и результат существенно зависит от значения константы $T$. Чтобы в этом убедиться, рассмотрим классические решения уравнений поля
\eq{
\nabla^2\varphi=0
}
в эвклидовом пространстве. Рассмотрим набор решений
\eq{
\varphi_{\vq\vx}(x)
=\sum^n_{a=1}q_a\Im\log(z-z_a)
=\sum^n_{a=1}{q_a\over2i}\log{z-z_a\over\bz-\bz_a},
\qquad
q_a\in\Z,
\label{vortices}
}
где
$$
\Aligned{
z
&=x^1+ix^2,
\\
\bz
&=x^1-ix^2.
}
$$
Эти решения, хотя и имеют сингулярности (неопределенные значения) в точках $z=z_a$, очень важны. Они представляют собой решения с $n$ вихрями в точках $z_a$ с завихренностями $q_a$. В простейшем случае $n=1$ решение в радиальных координатах $z-z_1=re^{i\theta}$ имеет вид
$$
\varphi_{q_1x_1}(x)=q_1\theta.
$$

Вычислим значение действия на вихревых решениях (\ref{vortices}):
\Align{
S[\varphi_{\vq\vx}]
&={2\over T}\int d^2x\,\d\varphi_{\vq\vx}\,\bd\varphi_{\vq\vx}
\nonumber
\\
&={1\over2T}\int d^2x\sum_{a,b}{q_aq_b\over(z-z_a)(\bz-\bz_b)}
\nonumber
\\
&={1\over2T}\left(
\sum_aq^2_a\int{d^2x\over|z-z_a|^2}
+\sum_{a<b}q_aq_b\int d^2x\,
{(z-z_a)(\bz-\bz_b)+(\bz-\bz_a)(z-z_b)\over|z-z_a|^2|z-z_b|^2}.
\right)
\nonumber
}
Первый интеграл берется просто, но расходится и на больших, и на малых масштабах:
$$
\int{d^2x\over|z-z_a|^2}
\simeq2\pi\int^R_{r_0}{dr\over r}
=2\pi\log{R\over r_0},
$$
где $R$ и $r_0$ --- параметры инфракрасного и ультрафиолетового обрезания соответственно. Второй интеграл расходится только на больших масштабах. Чтобы его взять, удобно считать, что $x_a=y_a=0$, $x_b=X$, $y_b=0$. Имеем
\Multline{
\int d^2x\,
{(z-z_a)(\bz-\bz_b)+(\bz-\bz_a)(z-z_b)\over|z-z_a|^2|z-z_b|^2}
\\
=2\int d^2x\,{x(x-X)+y^2\over(x^2+y^2)((x-X)^2+y^2)}
=2\int^1_0 dt\int d^2x\,
{x(x-X)+y^2\over(x^2+y^2+t(X^2-2xX))^2}
\\
=\left|x\to x+tX\right|
=2\int^1_0 dt\int d^2x\,
{x^2+y^2+(2t-1)xX+t(1-t)X^2\over(x^2+y^2+t(1-t)X^2)^2}
\\
\simeq
4\pi\int^1_0dt\int^R_0dr\,
{r(r^2+t(1-t)X^2)\over(r^2+t(1-t)X^2)^2}
=2\pi\int^1_0dt\int^{R^2}_0{d\xi\over\xi+t(1-t)X^2}
=2\pi\int^1_0dt\log{R^2\over t(1-t)X^2}
\\
=2\pi\log{R^2\over|z_a-z_b|^2}-4\pi\int^1_0\log t
=2\pi\log{R^2\over|z_a-z_b|^2}+4\pi
\nonumber
}
Последним слагаемым можно пренебречь. Подставляя эти формулы в интеграл для действия, получим
\Align{
S[\varphi_{\vq\vx}]
&={1\over2T}\left(
\pi\sum_aq^2_a\log{R^2\over r^2_0}
+2\pi\sum_{a<b}q_aq_b\log{R^2\over|z_a-z_b|^2}
\right)
\nonumber
\\
&={\pi\over2T}\left(\sum_a q_a\right)^2\log R^2
-{\pi\over2T}\sum_a q^2_a\log r^2_0
+{1\over2T}\sum_{a<b}q_aq_b\,2\pi\log{1\over|z_a-z_b|^2}.
\label{claction}
}
Первый член стремится к бесконечности, когда размер системы велик. Это значит, что в большой системе должно выполняться условие
\eq{
\sum_a q_a=0.
\label{neutrality}
}
Второе слагаемое ультрафиолетово расходится. Если мы рассматриваем $O(2)$-модель как предел большой массы $\mu$ для разложения Ландау, описанного в предыдущей лекции, то величина $r_0$ будет конечной и точное значение будет зависеть от структуры кора вихрей. По порядку величины
$$
r_0\sim\mu^{-1}.
$$

Давайте теперь попробуем написать функциональный интеграл в виде
\eq{
Z[J]
=\sum^\infty_{n=0}{r_0^{-2n}\over n!}
\sum_{q_1,\ldots,q_n\atop q_1+\cdots+q_n=0}
\int d^2x_1\ldots d^2x_n\,
\int D\varphi\,
e^{-S[\varphi+\varphi_{\vq\vx}]-(J,\varphi+\varphi_{\vq\vx})},
\label{zj}
}
где интеграл берется теперь по регулярным полям $\varphi$ без всякого отождествления. Множитель $1/n!$ происходит от того, что решение (\ref{claction}) не меняется при заменах $z_a\leftrightarrow z_b$, $q_a\leftrightarrow q_b$. Таким образом, суммирование $\sum_{q_1,\ldots,q_n} \int d^2x_1\ldots d^2x_n$ учитывает одни и те же конфигурации $n!$ раз. Множитель $r_0^{-2n}$ добавлен для того, чтобы сделать интеграл безразмерным. Можно себе представить, что вихри могут занимать не любые позиции, а располагаются в ячейках размера $\sim r_0$.

Вычислим действие на фоне многовихревого решения:
$$
S[\varphi+\varphi_{\vq\vx}]
=S[\varphi_{\vq\vx}]+S[\varphi]
+{1\over T}\int d^2x\,\d_\mu\varphi\,
\d_\mu\varphi_{\vq\vx}.
$$
Первый член дается выражением~(\ref{claction}). Интеграл в последнем члене равен
$$
\int d^2x\,\d_\mu\varphi\,
\d^\mu\sum^n_{a=1}{q_a\over2i}\log{z-z_a\over\bz-\bz_a}
=\sum^n_{a=1}q_a\int d^2x\,
\d_\mu\varphi\,\d^\mu{1\over2i}\log{z-z_a\over\bz-\bz_a}.
$$
Далее
$$
{1\over2i}\log{z\over\bz}=\arctg{x^2\over x^1}
$$
и
$$
\d_\mu{1\over2i}\log{z\over\bz}
=-\epsilon_{\mu\nu}{x^\nu\over r^2}
=\epsilon_{\mu\nu}\d^\nu\log{1\over r}.
$$
Следовательно,
\Align{
\int d^2x\,\d_\mu\varphi
\d^\mu\sum^n_{a=1}{q_a\over2i}\log{z-z_a\over\bz-\bz_a}
&=\sum_a q_a\int d^2x\,
\epsilon^{\mu\nu}\d_\mu\varphi\,\d_\nu\log{1\over|z-z_a|^2}
\nonumber
\\
&=-\sum_a q_a\int d^2x\,
\epsilon^{\mu\nu}\varphi\,\d_\mu\d_\nu\log{1\over|z-z_a|^2}
\nonumber
\\
&=0.
\nonumber
}
Отсюда
\Align{
Z[J]
&=Z_0[J]\sum^\infty_{n=0}{1\over n!}
\sum_{q_1,\ldots,q_n\atop q_1+\cdots+q_n=0}
r_0^{{\pi\over T}\sum q_a^2-2n}\int d^2x_1\ldots d^2x_n\,
\prod_{a<b}|z_a-z_b|^{2{\pi\over T}q_aq_b}\,
e^{-(J,\varphi_{\vq\vx})},
\\
Z_0[J]
&=\int D\varphi\,e^{-S[\varphi]-(J,\varphi)}.
}
Без потери общности можно рассмотреть источники $J$ вида
\eq{
J_{\vJ\vy}(x)=-i\sum^k_{j=1}J_j\delta(x-y_j).
}
Тогда
\Align{
Z[J_{\vJ\vy}]
&=\sum^\infty_{n=0}{1\over n!}
\sum_{q_1,\ldots,q_n\atop q_1+\cdots+q_n=0}
r_0^{{\pi\over T}\sum_a q_a^2-{T\over4\pi}\sum_j J^2_j-2n}
\int d^2x_1\ldots d^2x_n\,
\prod_{a<b}|z_a-z_b|^{2{\pi\over T}q_aq_b}
\nonumber
\\
&\quad\times
\prod_{a,j}\left(w_j-z_a\over\bw_j-\bz_a\right)^{q_aJ_j/2}\,
\prod_{j<j'}|w_j-w_{j'}|^{2{T\over4\pi}J_jJ_{j'}},
\label{ZJfin}
}
где $w_j=y^1_j+iy^2_j$.

Мы получили нечто вроде статистической суммы плазмы, частицы которой могут иметь любые заряды (причем энергия заряженного состояния пропорциональна квадрату заряда). Источник частиц $\varphi$ сложно связан с частицами плазмы, однако, в принципе, можно ожидать, что при низких температурах плазма рекомбинирует и корреляционные функции остаются степенными, в то время как при высоких температурах имеется дебаевское экранирование, корреляционные функции спадают экспоненциально и теория массивна. Такой переход по константе связи называется {\it переходом Березинского--Костерлица--Таулеса (BKT)}.

Естественно, что мы не можем просуммировать весь ряд по теории возмущений. Тем не менее, можно точно определить точку перехода BKT. Действительно, плазма не образуется, когда вихри начинают удерживаться в конечном объеме, то есть все интегралы, кроме одного, начинают инфракрасно сходиться при больших $n$. Кроме того, из-за электронейтральности
$$
\sum_{a<b}q_aq_b={1\over2}\sum_{a,b}q_aq_b
={1\over2}\left(\sum_a q_a\right)^2-{1\over2}\sum_a q_a^2
=-{1\over2}\sum_a q_a^2\le-{n\over2}
$$
Отсюда находим, что все интегралы сходятся при
$$
2{\pi\over T}\left(-{n\over2}\right)+2(n-1)<0.
$$
При больших $n$ получаем, что безмассовой фазе отвечают $T<T_{\rm BKT}$,
причем
\eq{
T_{\rm BKT}={\pi\over2}.
\label{TBKT}
}
При этом корреляционные функции имеют степенной вид, а размерности физических полей даются формулами~(\ref{dexp}). Мы видим, что корреляционные функции в этой фазе убывают сравнительно медленно и, хотя спонтанная <<намагниченность>> и равна нулю, система обладает определенной \textit{поперечной жесткостью}. Жесткая фаза демонстрирует критическое поведение с критическими индексами, непрерывно зависящими от температуры. Отметим, что температура $T_{\textrm{BKT}}$ конечна в единицах решеточной модели~(\ref{ZcontXY}).

При $T>T_{\rm BKT}$ вихри не удерживаются и система ведет себя как плазма с конечной корреляционной длиной. Следует отметить, что ответ не зависит от параметра ультрафиолетового обрезания $r_0$, так что фазовый переход имеет место при сколь угодно малом коре вихря. Заметим, что условие (\ref{TBKT}) как раз является условием, при котором исчезает размерный множитель $r_0^{{\pi\over T}\sum q_a^2-2n}$ для системы простых вихрей $q=\pm1$. Поскольку в теории нет никаких размерных параметров, кроме $r_0$, корреляционная длина пропорциональна $r_0$, и, таким образом, даже у ``идеальной'' $O(2)$-модели нет никаких шансов избежать фазового перехода. Качественно это можно объяснить тем, что малый статистический вес вихревых состояний с лихвой перекрывается большим объемом фазового пространства.

Выражение (\ref{ZJfin}) можно переписать по-другому, введя новое поле $\phi(x)$. Обратим внимание, что
\eq{
\nabla^2{1\over4\pi}\log|x|^2=\delta(x).
\label{2dcoulomb}
}
и потому $\log{R^2\over|x|^2}$ представляет собой пропагатор свободного безмассового бозонного поля:
\eq{
S_0[\phi]={1\over8\pi}\int d^2x(\d_\mu\phi)^2.
\label{S0phi}
}
Поскольку уравнения движения в этой модели имеют вид
$$
\d_\mu\d^\mu\phi=0,
$$
можно ввести дуальное поле $\tphi$ условием
\eq{
\d_\mu\tphi=-\epsilon_{\mu\nu}\d^\nu\phi
\label{phidual}
}
или
\eq{
\d\tphi=\d\phi,
\qquad
\bd\tphi=-\bd\phi.
}
Хотя эти формулы имеют буквальный смысл лишь на уравнениях движения, легко показать, что и на корреляционных функциях эти равенства не лишены смысла. Действительно, введем поля $\phi_L(z)$ и $\phi_R(\bz)$ уравнениями
\eq{
\Aligned{
\phi(x)
&=\phi_L(z)+\phi_R(\bz),
\\
\tphi(x)
&=\phi_L(z)-\phi_R(\bz).
}
\label{phiLR}
}
Тогда корреляционные функции
\eq{
\langle\phi_L(z)\phi_L(z')\rangle_0
=\log{R\over z-z'},
\qquad
\langle\phi_R(\bz)\phi_R(\bz')\rangle_0
=\log{R\over\bz-\bz'},
\qquad
\langle\phi_L(z)\phi_R(\bz')\rangle_0
=0
\label{LRcorr}
}
согласованы с теорией.

Далее нам понадобятся корреляционные функции экспоненциальных операторов. Поскольку эти корреляционные функции содержат бесконечные множители, мы попросту исключим их, переопределив экспоненциальные операторы:
\eq{
e^{i\alpha\phi_{L,R}}\to r_0^{\alpha^2/2}e^{i\alpha\phi_{L,R}},
\qquad
e^{i\alpha\phi}\to r_0^{\alpha^2}e^{i\alpha\phi},
\qquad
e^{\beta\tphi}\to r_0^{-\beta^2}e^{\beta\tphi}.
\label{expredef}
}
Тогда экспоненциальные операторы перестают быть безразмерными и приобретают размерность $d=\alpha^2/2$, $\alpha^2$ и $-\beta^2$ соответственно. Эта размерность совпадает с {\it масштабной размерностью\/} этих операторов. По определению, оператор $O$ обладает масштабной размерностью $d_O$, если его корреляционные функции инвариантны по отношению к заменам
$$
O(x)\to s^{d_O}O(sx)
$$
во всех операторах.

Корреляционные функции экспонент в такой модели равны
\eq{
\Aligned{
\langle e^{i\alpha_1\phi_L(z_1)}\ldots e^{i\alpha_n\phi_L(z_n)}\rangle_0
&=R^{-{1\over2}\left(\sum_a\alpha_a\right)^2}
\prod_{a<b}(z_a-z_b)^{\alpha_a\alpha_b},
\\
\langle e^{i\alpha_1\phi_R(\bz_1)}\ldots
e^{i\alpha_n\phi_R(\bz_n)}\rangle_0
&=R^{-{1\over2}\left(\sum_a\alpha_a\right)^2}
\prod_{a<b}(\bz_a-\bz_b)^{\alpha_a\alpha_b}.
}
\label{expLRcorr}
}
Отсюда следует, что
\Multline{
\left\langle\prod^k_{j=1}e^{i\beta_j\tphi(y_j)}
\prod^n_{a=1}e^{i\alpha_a\phi(x_a)}\right\rangle_0
\\
=\prod_{a<b}|z_a-z_b|^{2\alpha_a\alpha_b}
\prod_{j<j'}|w_j-w_{j'}|^{2\beta_a\beta_b}
\prod_{a,j}\left(w_j-z_a\over\bw_j-\bz_a\right)^{\alpha_a\beta_j}
\times\Cases{1,\quad\sum\alpha_a=0,\\
0,\quad\text{в пр.~сл.}}
\label{tphiphicorr}
}
Это выражение в точности совпадает с подынтегральным выражением в подынтегральным выражением в (\ref{ZJfin}) при
\eq{
\Aligned{
\alpha_a
&=\sqrt{\pi\over T}\,q_a,
\\
\beta_j
&=\sqrt{T\over4\pi}\,J_j,
}
}
Отсюда получаем
\eq{
Z[J_{\vJ\vy}]
=\sum^\infty_{n=0}{1\over n!}
\sum_{q_1,\ldots,q_n\atop q_1+\cdots+q_n=0}
r_0^{{\pi\over T}\sum q_a^2+{T\over4\pi}\sum J_j^2-2n}
\int d^2x_1\ldots d^2x_n\,
\left\langle
\prod^k_{j=1}e^{i\sqrt{T\over4\pi}\,J_j\tphi(y_j)}
\prod^n_{a=1}e^{i\sqrt{\pi\over T}\,q_a\phi(x_a)}
\right\rangle_0.
\label{ZJphi}
}
Отсюда очевидно следует, что
\eq{
\varphi(x)=\sqrt{T\over4\pi}\tphi(x).
\label{varphi-tphi}
}

Сделаем важное приближение, не меняющее свойств фазового перехода. Будем пренебрегать вихрями с $|q|>1$, поскольку их вклад падает с уменьшением $r_0$ быстрее вклада $|q|$ вихрей заряда~1. Тогда, исключив несущественный множитель $r_0^{{T\over4\pi}\sum J_j^2}$, производящий функционал можно переписать в виде
\Align{
Z[J_{\vJ\vy}]
&=\sum^\infty_{n=0}{r_0^{2n({\pi\over T}-2)}\over(2n)!}{2n\choose n}
\int d^2x_1\ldots d^2x_{2n}\,
\left\langle
\prod^k_{j=1}e^{i\sqrt{T\over4\pi}\,J_j\tphi(y_j)}
\prod^n_{a=1}e^{i\sqrt{\pi\over T}\phi(x_a)}
\prod^{2n}_{a=n+1}e^{-i\sqrt{\pi\over T}\phi(x_a)}
\right\rangle_0
\nonumber
\\
&=\sum^\infty_{n=0}{r_0^{2n({\pi\over T}-2)}\over(2n)!}
\int d^2x_1\ldots d^2x_{2n}\,
\left\langle
\prod^k_{j=1}e^{i\sqrt{T\over4\pi}\,J_j\tphi(y_j)}
\prod^{2n}_{a=1}\left(
e^{i\sqrt{\pi\over T}\phi(x_a)}+e^{-i\sqrt{\pi\over T}\phi(x_a)}
\right)
\right\rangle_0
\nonumber
\\
&=\left\langle
\prod^k_{j=1}e^{i\sqrt{T\over4\pi}\,J_j\tphi(y_j)}
\exp\left(
2r_0^{{\pi\over T}-2}
\int d^2x\,\cos\sqrt{\pi\over T}\phi(x)
\right)
\right\rangle_0
\nonumber
\\
&=\int D\phi\,
e^{-S_{\rm SG}[\phi]}
\prod^k_{j=1}e^{i\sqrt{T\over4\pi}\,J_j\tphi(y_j)},
}
где
\eq{
S_{\rm SG}[\phi]
=\int d^2x\left({(\d_\mu\phi)^2\over8\pi}-\lambda\cos\beta\phi\right)
\label{SGdef}
}
--- действие для модели синус-Гордона с параметрами
\eq{
\beta=\sqrt{\pi\over T},
\qquad
\lambda=2r_0^{{\pi\over T}-2}.
\label{SGparams}
}
Более подробно мы изучим эту модель в следующий раз, а пока введем несколько важных понятий. Будем рассматривать модель синус-Гордона как возмущенных свободный безмассовый бозон. Тогда масштабная размерность оператора возмущения будет равна
$$
d_{\text{pert}}=\beta^2.
$$
Когда $d_{\text{pert}}<2$ возмущение называется {\it релевантным\/}. Оно существенно меняет поведение системы на больших масштабах и не меняет на малых. Когда $d_{\text{pert}}>2$ возмущение называется {\it иррелевантным\/} и не меняет качественно инфракрасного поведения. Случай $d_{\text{pert}}=2$ называется {\it маргинальным}. В случае модели синус-Гордона именно он соответствует точке перехода Костерлица--Таулеса.

\bigbreak
\bigskip
\centerline{\bf Пояснение}
\medskip

Это пояснение касается определения экспоненциальных полей. Для простоты мы ограничимся функционалами от поля $\varphi(z)\equiv\varphi_L(z)$. Прежде всего, введем нормальное произведение полей $\lcolon\ldots\rcolon$ с помощью рекурсионного соотношения
$$
\lcolon\varphi(z_1)\ldots\varphi(z_n)\rcolon\varphi(z)
=\lcolon\varphi(z_1)\ldots\varphi(z_n)\varphi(z)\rcolon
+\sum^n_{i=1}\lcolon\varphi(z_1)\mathinner{\mathop{\ldots}^{\strut\widehat i}}
\varphi(z_n)\rcolon
\langle\varphi(z_i)\varphi(z)\rangle
$$
с начальным условии
$$
\lcolon1\rcolon=1.
$$
Здесь индекс $\hat i$ над многоточием означает, что из нормального произведения исключен $i$-тый множитель. Отсюда нетрудно вывести, что
\Multline{
\lcolon\varphi(z_1)\ldots\varphi(z_m)\rcolon
\lcolon\varphi(w_1)\ldots\varphi(w_n)\rcolon=
\\
=\sum^{\min(m,n)}_{k=0}\sum_{1\le i_1<\ldots<i_k\le m\atop
1\le j_1,\ldots,j_k\le n}
\lcolon\varphi(z_1)
\mathinner{\mathop{\ldots}^{\strut\widehat{i_1}\ldots\widehat{i_k}}}
\varphi(z_m)\rcolon
\lcolon\varphi(w_1)
\mathinner{\mathop{\ldots}^{\strut\widehat{j_1}\ldots\widehat{j_k}}}
\varphi(w_n)\rcolon
\prod^k_{l=1}\langle\varphi(z_{i_l})\varphi(w_{j_l})\rangle.
\notag
}

Вернемся к операторным экспонентам. Интересны три разновидности таких экспонент. Во-первых, это формальные экспоненты $[e^{i\alpha\varphi(z)}]_{\textrm{nonren}}$. Во-вторых, это экспоненты, переопределенные соотношениями (\ref{expredef}), $[e^{i\alpha\varphi(z)}]_{\textrm{ren}}$. И, в-третьих, это нормальные экспоненты $\lcolon e^{i\alpha\varphi(z)}\rcolon$.

Операторные произведения формальных экспонент
$$
[e^{i\alpha_1\varphi(z_1)}]_{\textrm{nonren}}
[e^{i\alpha_2\varphi(z_2)}]_{\textrm{nonren}}
=e^{-{1\over2}\alpha_1\alpha_2[\varphi(z_1),\varphi(z_2)]}
[e^{i\alpha_1\varphi(z_1)+i\alpha_2\varphi(z_2)}]_{\textrm{nonren}}
$$
довольно плохо определены, так как содержат плохо определенный коммутатор. Корреляционные функции формальных экспонент
$$
\langle[e^{i\alpha_1\varphi(z_1)}]_{\textrm{nonren}}\ldots
[e^{i\alpha_N\varphi(z_N)}]_{\textrm{nonren}}\rangle
=\left(r_0\over R\right)^{{1\over2}\sum_i\alpha_i^2}
\prod_{i<j}\left(z_i-z_j\over R\right)^{\alpha_i\alpha_j}
$$
содержат ультрафиолетовые расходимости. Таким образом, формальные экспоненты плохо определены.

Нормальные экспоненты хорошо определены, все их корреляторы ультрафиолетово конечны. Например,
$$
\langle
\lcolon e^{i\alpha_1\varphi(z_1)+\ldots+i\alpha_n\varphi(z_n)}\rcolon
\rangle=1.
$$
Проблема в том, что корреляторы нормальных экспонент явно содержат инфракрасную обрезку. Действительно, раскладывая экспоненты в ряды, можно убедиться, что
$$
[e^{i\alpha\varphi(z)}]_{\textrm{nonren}}
=\left(r_0\over R\right)^{\alpha^2/2}\lcolon e^{i\alpha\varphi(z)}\rcolon.
$$
Операторные произведения нормальных экспонент имеют вид
$$
\lcolon e^{i\alpha_1\varphi(z_1)}\rcolon
\lcolon e^{i\alpha_2\varphi(z_2)}\rcolon
=\left(z_1-z_2\over R\right)^{\alpha_1\alpha_2}
\lcolon e^{i\alpha_1\varphi(z_1)+i\alpha_2\varphi(z_2)}\rcolon.
$$
Корреляционные функции имеют вид
$$
\langle\lcolon e^{i\alpha_1\varphi(z_1)}\rcolon\ldots
\lcolon e^{i\alpha_N\varphi(z_N)}\rcolon\rangle
=\prod_{i<j}\left(z_i-z_j\over R\right)^{\alpha_i\alpha_j}.
$$
Все эти выражения явно содержат параметр инфракрасной обрезки~$R$. Давайте \emph{определим} перенормированные экспоненты условием
$$
[e^{i\alpha_1\varphi(z_1)+\ldots+i\alpha_n\varphi(z_n)}]_{\textrm{ren}}
\mathrel{\mathop{=}^{\textrm{def}}}
R^{-{1\over2}\left(\sum_i\alpha_i\right)^2}
\lcolon e^{i\alpha_1\varphi(z_1)+\ldots+i\alpha_n\varphi(z_n)}\rcolon.
$$
В случае $n=1$ это определение совпадает с определением~(\ref{expredef}). Для таких перенормированных экспонент операторное произведение хорошо определено и не содержит инфракрасной обрезки:
$$
[e^{i\alpha_1\varphi(z_1)}]_{\textrm{ren}}
[e^{i\alpha_2\varphi(z_2)}]_{\textrm{ren}}
=(z_1-z_2)^{\alpha_1\alpha_2}
[e^{i\alpha_1\varphi(z_1)+i\alpha_2\varphi(z_2)}]_{\textrm{ren}}.
$$
Корреляционная функция формально содержит инфракрасную обрезку:
$$
\langle[e^{i\alpha_1\varphi(z_1)}]_{\textrm{ren}}\ldots
[e^{i\alpha_N\varphi(z_N)}]_{\textrm{ren}}\rangle
=R^{-{1\over2}\left(\sum_i\alpha_i\right)^2}
\prod_{i<j}(z_i-z_j)^{\alpha_i\alpha_j}.
$$
Однако это выражение имеет хороший предел при $R\to\infty$:
$$
\langle[e^{i\alpha_1\varphi(z_1)}]_{\textrm{ren}}\ldots
[e^{i\alpha_N\varphi(z_N)}]_{\textrm{ren}}\rangle
=\Cases{\prod_{i<j}(z_i-z_j)^{\alpha_i\alpha_j},
&\text{ если $\sum_i\alpha_i=0$}\\
0,&\text{ если $\sum_i\alpha_i\ne0$}}.
$$
В частности, на бесконечной плоскости
$$
\langle
[e^{i\alpha_1\varphi(z_1)+\ldots+i\alpha_n\varphi(z_n)}]_{\textrm{ren}}
\rangle
=\Cases{1,&\text{ если $\sum_i\alpha_i=0$}\\
0,&\text{ если $\sum_i\alpha_i\ne0$}}.
$$


\bigbreak
\bigskip
\centerline{\bf Задачи}
\medskip

{\bf 1.}~Вывести формулу~(\ref{2dcoulomb}).

{\bf 2.}~Показать, что для свободного поля $\phi$ с действием $S_0[\phi]$ парная корреляционная функция равна
$$
\langle\phi(x)\phi(y)\rangle=\log{R^2\over(x-y)^2}
$$
с некоторым масштабом инфракрасного обрезания $R$.

{\bf 3.}~Вывести формулы~(\ref{expLRcorr}).

\end{document}
