\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage{amsmath,amssymb,pictex,russian,fullpage}
%\usepackage[notref]{showkeys}


\allowdisplaybreaks

\def\smallskip{\vskip\smallskipamount}
\def\medskip{\vskip\medskipamount}
\def\bigskip{\vskip\bigskipamount}

\let\{=\lbrace
\let\}=\rbrace
\let\[=\lbracket
\let\]=\rbracket

\long\def\items#1{\begin{itemize}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{itemize}}
\long\def\enum#1{\begin{enumerate}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{enumerate}}

\def\eq#1{\begin{equation}#1\end{equation}}
\def\Align#1{\begin{align}#1\end{align}}
\def\Aligned#1{\begin{aligned}#1\end{aligned}}
\def\Gather#1{\begin{gather}#1\end{gather}}
\def\Gathered#1{\begin{gathered}#1\end{gathered}}
\def\Multline#1{\begin{multline}#1\end{multline}}
\def\Matrix#1{\begin{matrix}#1\end{matrix}}
\def\pMatrix#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}
\def\Cases#1{\begin{cases}#1\end{cases}}

\def\d{\partial}
\def\bd{{\bar\d}}
\def\bpsi{{\bar\psi}}
\def\bvarphi{{\bar\varphi}}
\def\Re{\mathop{\rm Re}\nolimits}
\def\Im{\mathop{\rm Im}\nolimits}
\def\sh{\mathop{\rm sh}\nolimits}
\def\ch{\mathop{\rm ch}\nolimits}
\def\tg{\mathop{\rm tg}\nolimits}
\def\tr{\mathop{\rm tr}\nolimits}
\def\arctg{\mathop{\rm arctg}\nolimits}
\def\mathspan{\mathop{\rm span}\nolimits}
\def\bn{{\boldsymbol n}}
\def\bJ{{\boldsymbol J}}
\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\bz{{\bar z}}
\def\bw{{\bar w}}
\def\bw{{\bar w}}
\def\tphi{{\tilde\phi}}
\def\vq{{\vec q}}
\def\vx{{\vec x}}
\def\vy{{\vec y}}
\def\vJ{{\vec J}}
\def\va{{\vec a}}
\def\vb{{\vec b}}
\def\eff{{\rm eff}}
\def\const{{\rm \,const\,}}
\def\ve{\varepsilon}
\def\cH{{\cal H}}
\def\cW{{\cal W}}
\def\i{{\rm i}}

\def\lcolon{\mathopen:}
\def\rcolon{\mathclose:}

%%%%%%% For figures: %%%%%%%
\def\ar#1 #2, #3 #4 {\arrow <0.3truecm> [0.1,0.3] from #1 #2 to #3 #4 }
\catcode`!=11
\def\ln#1 #2, #3 #4 {\!start(#1,#2)\!ljoin(#3,#4)}
\catcode`!=12
\def\rl#1 #2, #3 #4 {\putrule from #1 #2 to #3 #4 }
\def\trl#1 #2, #3 #4 {\linethickness .8pt
	\putrule from #1 #2 to #3 #4 \linethickness .4pt}
\def\point#1 #2 {\put{\hbox{\kern -1pt .}} [Bl] at #1 #2 }
\def\bfpoint#1 #2 {%
\put{\hbox{\kern -2pt \raise -2.3pt%
\hbox{$\textstyle\bullet$}}} [Bl] at #1 #2 }
\def\figcap#1#2\par{\medskip{\narrower\eightpoint\noindent
	Fig.~#1. \ignorespaces#2\par}\medskip}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\makeatletter
\let\over\@@over
\let\atop\@@atop
\let\above\@@above
\let\overwithdelims\@@overwithdelims
\let\atopwithdelims\@@atopwithdelims
\let\abovewithdelims\@@abovewithdelims
\makeatother

\begin{document}

\centerline{\bf ������~16}
\centerline{\bf �������� ������� ����������� � ������ ����}
\bigskip

���������� ������� �� $N$ ������ $S=1/2$, �� ���� ������������
\eq{
\cH_N=\underbrace{\C^2\otimes\cdots\otimes\C^2}_N\>,
\label{HNspace}
}
�� ������� ��������� ������������
\eq{
H_{XYZ}=-{1\over2}\sum^N_{n=1}
\left(J_x\sigma^x_n\sigma^x_{n+1}
+J_y\sigma^y_n\sigma^y_{n+1}
+J_z\sigma^z_n\sigma^z_{n+1}\right).
\label{HXYZgen}
}
����� $\sigma^i_n$ ��������� �� $n$-� ���������� � $\cH_N$, ������
$(N+1)$-� ���������� ��������������� � ������. ����� ������ ����������
{\it XYZ-������� �����������\/} � ������������ ���������� ���������. �
������ $J_x=J_y$ ������ �������� {\it XXZ-�������\/}, � � ������
$J_x=J_y=\pm J_z$ --- {\it XXX-�������}. �� ����� ������� $N$ ������
������.

����� � ������������ $\cH_N$ �� ����� ���������� � ����
\eq{
|\ve_1\rangle\otimes|\ve_2\rangle\otimes\cdots\otimes|\ve_N\rangle
\equiv|\ve_1\ve_2\ldots\ve_N\rangle,
\qquad
\sigma^z|\ve\rangle=\ve|\ve\rangle,
\qquad
\ve=\pm.
\label{statesnot}
}

��������� ������ �� ������� �� ������ ��������� � �������������, ������
������ �����������
\eq{
\Gamma=J_y/J_x,
\qquad
\Delta=J_z/J_x
}
��� ���� �����������, ���
$$
J_x>0,
\qquad
|\Gamma|\le1,
\qquad
|\Delta|\le|\Gamma|
\quad\text{���}\quad
|\Delta|\ge1.
$$
��� ����������� �������� �� ������� $J_x=1$.
������������ ������������ � ����
\eq{
H_{XYZ}=-{1\over2}\sum^N_{n=1}
\left(
(1+\Gamma)(\sigma^+_n\sigma^-_{n+1}+\sigma^-_n\sigma^+_{n+1})
+(1-\Gamma)(\sigma^+_n\sigma^+_{n+1}+\sigma^-_n\sigma^-_{n+1})
+\Delta\sigma^z_n\sigma^z_{n+1}
\right).
\label{HXYZ}
}
�����
\eq{
\sigma^+={\sigma^x+i\sigma^y\over2}=\pMatrix{0&1\\0&0},
\qquad
\sigma^-={\sigma^x-i\sigma^y\over2}=\pMatrix{0&0\\1&0}
\label{sigmapm}
}
--- ��������� ��������� � ��������� �����.

�� ����������� ������� {\it XXZ-������� �����������}, �� ���� ������ � $\Gamma=1$:
\eq{
H\equiv H_{XXZ}=-{1\over2}\sum^N_{n=1}\left(\sigma^x_n\sigma^x_{n+1}
+\sigma^y_n\sigma^y_{n+1}+\Delta\sigma^z_n\sigma^z_{n+1}\right)
=-\sum^N_{n=1}\left(\sigma^+_n\sigma^-_{n+1}+\sigma^-_n\sigma^+_{n+1}
+{\Delta\over2}\sigma^z_n\sigma^z_{n+1}\right).
\label{HXXZ}
}
� ���� ������ ������������ ����������� � $z$-����������� ���������� ����� �������
\eq{
[H_{XXZ},S^z]=0,
\qquad
S^z={1\over2}\sum^N_{n=1}\sigma^z_n.
\label{HScommut}
}
�������������� ������������ ��������� ������ ������������ �� ����������� ������������ ��������� $S^z$:
$$
\cH_N=\bigoplus_{s=-N/2,-N/2+1,\ldots,N/2}\cW_N(s).
$$
����� ������, ��� ������������ $\cW_N(\pm N/2)$ ���������. ��� ������, ��� �� ����� ��� ����������� �������, ������� �� ����� �������� {\it ���������������\/}:
\eq{
|\Omega_\pm\rangle=|\pm\pm\cdots\pm\rangle,
\qquad
H|\Omega_\pm\rangle=-{N\Delta\over2}|\Omega_\pm\rangle.
\label{Omegapm}
}
�������� �� ��� ����������� ������� ��������� �����������? � ����� �� �������� ������ ����������� �������?

������� ������� ��������� $|\Omega_+\rangle$ � ���������� ���� ����:
\eq{
|n\rangle=\sigma^-_n|\Omega_+\rangle
=|+\cdots+\mathord{\mathop-^n}+\cdots+\rangle.
\label{nstatedef}
}
������ ��� ������ <<$-$>> �������� ��� �������. ��������,
$$
\cW_N(N/2-1)=\mathspan\{|n\rangle\}^N_{n=1}.
$$
� ���� ������������ (��������� ���������) ������������� ����������� ��������� � ���� ��������������� ������ ����� ��� ����� �����:
\eq{
|p\rangle=\sum^N_{n=1}e^{\i pn}|n\rangle.
\label{pstatedef}
}
� ���� ����������� ��������� ���������� $p$ ���������� ��������
\eq{
e^{\i pN}=1.
\label{b1eq}
}
������ ������� ��������� $|p\rangle$:
$$
\Aligned{
H|p\rangle
&=-\sum^N_{n=1}e^{\i pn}\left(|n-1\rangle+|n+1\rangle+{\Delta\over2}(N-4)|n\rangle\right)
\\
&=-\sum^N_{n=1}e^{\i pn}\left(e^{\i p}+e^{-\i p}+{(N-4)\Delta\over2}\right)|n\rangle.
}
$$
������ �������
\eq{
H|p\rangle=\left(-{N\Delta\over2}+\epsilon(p)\right)|p\rangle,
\qquad
\epsilon(p)=2(\Delta-\cos p).
\label{epsilonpdef}
}
�� �����, ��� $\epsilon(p)>0$ ��� ����� $p$, ������ ���� $\Delta>1$. ��� ��� ������ � ���� ������ ��������� $\Omega_+$ ����� ��������� ��������. ����� ����, ���� ��� ���, �� ��� $\Delta<-1$ ��� ��������� ����� ���������� ���������� �������. ����� ����, ����� ������, ��� ��� $\Delta\to+\infty$ �������������� ��������� $|\Omega_\pm\rangle$ ������������� �������� ���������, � �� ����� ��� ��� $\Delta\to-\infty$ � ������ $N$ ��������� ����������� �������� {\it ������������������\/} ��������� $|\pm\mp\pm\mp\cdots\pm\mp\rangle$.

�� ����� {\it ������������}, ��� ������������ ��������� $\Delta$ ������� �� ��� �������:

1) $\Delta>1$: ������� �������������� �������� ��������� $|\Omega_\pm\rangle$;

2) $-1<\Delta<1$: ������� ��������������� �������� ���������, ������� � ������� $\cW_N(0)$ ��� $\cW_N(\pm1/2)$;

3) $\Delta<-1$: ������� ������������������ �������� ���������, ������� � ������� $\cW_N(0)$ ��� $\cW_N(\pm1/2)$.

��� ������������� ������������� �������������� ������ �������� � ����������������� ������� $N\to\infty$. �������, ��� ������ 2) � 3) �������� ���������, ��� ��� ���� �������� ��������� � ��� ������������.

��� ��������� ����������� �������� � �������� $W_N(\pm N/2)$, $W_N(\pm(N/2-1))$ ������������� �� ����� ���� ������, ����� ���������� �����~$S^z$. ������ �� ��������� �������� ����������� ��������� � ����� ������������� �������, �.~�.\ � ������� $W_N(N/2-2)$. ��� ����� ��� ����������� ������ ��������� ������������� �������� �������������~(\ref{HXXZ}). ������ ����� �������
\eq{
|n_1n_2\rangle=\sigma^-_{n_1}\sigma^-_{n_2}|\Omega_+\rangle
=|+\cdots+\mathord{\mathop-^{n_1}}+\cdots+\mathord{\mathop-^{n_2}}+\cdots+\rangle,
\qquad
n_1<n_2.
\label{n1n2statedef}
}
������� ��������� ������ ����
$$
|\psi\rangle=\sum_{1\le n_1<n_2\le N}\psi(n_1,n_2)|n_1n_2\rangle.
$$
���������, ��� ������������ ��������� �� ��� ���������:
$$
\Aligned{
H|\psi\rangle
&=-\sum_{n_1+1<n_2<n_1+N-1}\psi(n_1,n_2)\biggl(|n_1-1,n_2\rangle+|n_1+1,n_2\rangle
+|n_1,n_2-1\rangle+|n_1,n_2+1\rangle
\\
&\quad+{(N-8)\Delta\over2}|n_1n_2\rangle\biggr)
\\
&\quad-\sum_n\psi(n,n+1)\left(|n-1,n+1\rangle+|n,n+2\rangle+{(N-4)\Delta\over2}|n,n+1\rangle\right)
\\
&=-\sum_{n_1+1<n_2<n_1+N-1}\biggl(\psi(n_1+1,n_2)+\psi(n_1-1,n_2)+\psi(n_1,n_2+1)+\psi(n_1,n_2-1)
\\
&\quad+{(N-8)\Delta\over2}\psi(n_1,n_2)\biggr)|n_1n_2\rangle
\\
&\quad-\sum_n\left(\psi(n-1,n+1)+\psi(n,n+2)+{(N-4)\Delta\over2}\psi(n,n+1)\right)|n,n+1\rangle.
}
$$
��������� �������� $\hat H$, ����������� �� �������� ������� $\psi(n_1,n_2)$, ��������
$$
H|\psi\rangle=\sum_{n_1<n_2}(\hat H\psi)(n_1,n_2)|n_1n_2\rangle,
$$
�����
\Align{
(\hat H\psi)(n_1,n_2)
&=-{(N-8)\Delta\over2}\psi(n_1,n_2)
\notag
\\
&\quad-\psi(n_1+1,n_2)-\psi(n_1-1,n_2)-\psi(n_1,n_2+1)-\psi(n_1,n_2-1),
\qquad
n_1+1<n_2,
\label{Hpsi1}
\\
(\hat H\psi)(n_1,n_2)
&=-{(N-4)\Delta\over2}\psi(n_1,n_2)-\psi(n_1-1,n_2)-\psi(n_1,n_2+1),
\qquad
n_1+1=n_2.
\label{Hpsi2}
}
������ ����������� ����� ��������� ��� $\hat H\psi=(-N\Delta/2+\hat H_1+\hat H_2)\psi$, ��� ������ �� �������������� $\hat H_i$, $i=1,2$ ��������� �� $i$-� ����������. ������� ���� �� ������� � ������ �����������~(\ref{Hpsi2}), �� �� ������ ������ ������� �����������~(\ref{Hpsi1}) �� �������, ��� ������� ��������� $\hat H\psi=E\psi$ ������ ���� ������������ ������� ����
$$
\psi(n_1,n_2)=e^{\i p_1n_1+\i p_2n_2},
$$
� ���������
$$
E=-{N\Delta\over2}+\epsilon(p_1)+\epsilon(p_2).
$$
�� ����� ��������� ��� ������� ���������, ��� ��������� ���������� 16 ������
$$
e^{\pm\i p_1n_1\pm\i p_2n_2},
\quad
e^{\pm\i p_1n_2\pm\i p_2n_1},
$$
(����� <<$\pm$>> ����� ����������). ������������, ��� �������, ������� ������� ��~(\ref{Hpsi2}), ��������� ��� ����� $p_1$, $p_2$ ������� � ���� �������� ���������� ����� ���� ���������
\eq{
\psi_{p_1p_2}(n_1,n_2)=A_{12}(p_1,p_2)e^{\i p_1n_1+\i p_2n_2}
+A_{21}(p_1,p_2)e^{\i p_2n_1+\i p_1n_2}.
\label{psip1p2def}
}
�� ���� �������������� <<������������>> � ���� ������ {\it ����������������}.

����������� (\ref{Hpsi2}) ����������� ����� �� ������������ $A_{12}$, $A_{21}$. ���� ����� $n_1$, $1\le n_1\le N-1$ ��������
\eq{
{A_{12}(p_1,p_2)\over A_{21}(p_1,p_2)}=S(p_1,p_2)
\equiv-{1+e^{\i p_1+\i p_2}-2\Delta e^{\i p_1}\over1+e^{\i p_1+\i p_2}-2\Delta e^{\i p_2}}
\label{Sdef}
}
�������� ���������~(\ref{Hpsi2}) � ����� $n_1=N$, $n_2=1$. ����� �� ��������� ���� ����������, ����� ��������������� ����������� ����������. �������������, ��� ������� �������� �~(\ref{Sdef}), ���� �����������
\eq{
\psi(n_1,n_2)=\psi(n_2,n_1+N).
\label{cycl2}
}
������ ��������
\eq{
{A_{12}(p_1,p_2)\over A_{21}(p_1,p_2)}=e^{\i p_1N}=e^{-\i p_2N}.
\label{cycl2A}
}
������ � �������� (\ref{Sdef}), �������� ������� ��������� �� $p_1$, $p_2$
\eq{
e^{\i p_1N}=S(p_1,p_2),
\qquad
e^{\i p_2N}=S(p_2,p_1).
\label{b2eq}
}
��� ������� ������������ ����� ��������� ��������� (\ref{b1eq}) �� ������ ���� ������������ � �������� ������ ������������� �������� ������� ��������� ���� � ���� ������. ������� $S(p_1,p_2)$ ������ ���� $S$-������� ���� ������������ (�� ��� $\Delta<1$ �� ��������� �����������!).

��������� ������������ (\ref{HXXZ}) �������� ������ �����, ���������� �������������� ������ �������� ������, ��� ���� � ����� ������������ ������ �� ��������� ������� ����� ���������� ������. ������� ��������� �� ����� ������ $k$ ������������ ������ (������������ $\cW_N(N/2-k)$) ������� ����� �����. ��������� ���������
\eq{
|n_1\ldots n_k\rangle=\sigma^-_{n_1}\ldots\sigma^-_{n_k}|\Omega_+\rangle.
\label{nkstatedef}
}
�����, ���� ����������� ������� ������������� � ���� <<�������������>> ������� ����
\eq{
|p_1\ldots p_k\rangle
=\sum_{1\le n_1<\cdots<n_k\le N}\sum_{\sigma\in S_k}A_\sigma(p_1,\ldots,p_k)
e^{\i\sum^k_{i=1}p_{\sigma_i}n_i}|n_1\ldots n_k\rangle.
\label{BetheVectors}
}
������� �� ������������ � �������� ������� ����� ���
\eq{
{A_{\ldots ij\ldots}(p_1,\ldots,p_k)\over A_{\ldots ji\ldots}(p_1,\ldots,p_k)}
=S(p_i,p_j).
\label{AAratio}
}
������ � ����������� ��������
\eq{
{A_{\sigma_1\sigma_2\ldots\sigma_k}\over A_{\sigma_2\ldots\sigma_k\sigma_1}}=e^{\i p_{\sigma_1}N}
\label{cyclA}
}
�������� ��������� ����
\eq{
e^{\i p_iN}=\prod^k_{j=1(j\ne i)}S(p_i,p_j),
\qquad
i=1,\ldots,k.
\label{BetheEq}
}
� ������� �� ������ $k=1$ � ����� ������ ��������� ���� ��������� �������, ��� ������� $p_i$ �� �����������. �����, ������, ��������, ��� ��� ������� ������������ $p_i$ ������� ���������� ����������� ���~$p_j$. ����� ���� ������� ��������� ���� �� ����� ��������� ���� ���������� ������. �������� ��������, ��� ���� $p_i=p_j$, $i\ne j$, �� ����������� ������ ����� ����.

������� � ������������ ��������� (\ref{BetheVectors}) �����
\eq{
E_{p_1\ldots p_k}=-{N\Delta\over2}+\sum^k_{i=1}\epsilon(p_i),
\qquad
P_{p_1\ldots p_k}=\sum^k_{i=1}p_i.
\label{EnergyMomentum}
}
��� � ��������� �������, ������� � ������������� ��������� �����������.

��� ����� ������������� ��������� ������� (\ref{BetheEq}) �������� ������������� ����������� �������������� $p_i=p(v_i)$, � ������� ������� $S(p_i,p_j)$ ������� ������ �� ��������~$v_i-v_j$. ������, ���� ��������
\eq{
\Delta=-\cos\lambda,
\qquad
p(v)={\sin({\lambda\over2}+\i v)\over\sin({\lambda\over2}-\i v)},
\qquad
S(v)=-{\sin(\lambda+\i v)\over\sin(\lambda-\i v)}
\label{vsin}
}
��� $-1\le\Delta\le1$ �
\eq{
\Delta=-\ch\lambda,
\qquad
p(v)={\sh({\lambda\over2}+\i v)\over\sh({\lambda\over2}-\i v)},
\qquad
S(v)=-{\sh(\lambda+\i v)\over\sh(\lambda-\i v)}
\label{vsh}
}
��� $\Delta<-1$, ��������� ���� ������ ���
\eq{
e^{\i p(v_i)N}=\prod^k_{j=1(j\ne i)}S(v_i-v_j),
\qquad
i=1,\ldots,k.
\label{vBetheEq}
}
����� �������������� ������� �����, ��� ����� ������� � ������ ����������� ���������� ����������� �������� � ���� ��������� ���������~(\ref{BetheVectors}). � ��������� ��� �� ������� ����������� ������� � ��������� ���� � ��������� ����� ����� ���� ������ �������� � ������� �� ����� � ���������������� XXZ-�������.

\bigbreak
\bigskip
\centerline{\bf ������}
\medskip

{\bf1.}~�������� ����������� (\ref{Sdef}),~(\ref{cycl2A}).

{\bf2.}~������ ��������� ���� ��� $\Delta=0$. �������� ���� ��� ����������� ��������� � ������ ������� �������.

{\bf3.}~������� ��� ����������� ��������� � ������ ������� ��� �������� ������� � $N=2,3$.

{\bf4.}~��������� ������� (\ref{vsin})---(\ref{vBetheEq}) ��� �������������� ��������� ����� ����������~$v_i$.








\end{document}
