\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage{amsmath,amssymb,pictex,russian,fullpage}
%\usepackage[notref]{showkeys}


\allowdisplaybreaks

\def\smallskip{\vskip\smallskipamount}
\def\medskip{\vskip\medskipamount}
\def\bigskip{\vskip\bigskipamount}

\let\{=\lbrace
\let\}=\rbrace
\let\[=\lbracket
\let\]=\rbracket

\long\def\items#1{\begin{itemize}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{itemize}}
\long\def\enum#1{\begin{enumerate}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{enumerate}}

\long\def\subeq#1{\begin{subequations}\ignorespaces#1\end{subequations}}
\def\eq#1{\begin{equation}#1\end{equation}}
\def\Align#1{\begin{align}#1\end{align}}
\def\Aligned#1{\begin{aligned}#1\end{aligned}}
\def\Gather#1{\begin{gather}#1\end{gather}}
\def\Gathered#1{\begin{gathered}#1\end{gathered}}
\def\Multline#1{\begin{multline}#1\end{multline}}
\def\Matrix#1{\begin{matrix}#1\end{matrix}}
\def\pMatrix#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}
\def\Cases#1{\begin{cases}#1\end{cases}}

\def\d{\partial}
\def\bd{{\bar\d}}
\def\bpsi{{\bar\psi}}
\def\bvarphi{{\bar\varphi}}
\def\bDelta{{\bar\Delta}}
\def\Re{\mathop{\rm Re}\nolimits}
\def\Im{\mathop{\rm Im}\nolimits}
\def\sh{\mathop{\rm sh}\nolimits}
\def\ch{\mathop{\rm ch}\nolimits}
\def\tg{\mathop{\rm tg}\nolimits}
\def\tr{\mathop{\rm tr}\nolimits}
\def\arctg{\mathop{\rm arctg}\nolimits}
\def\mathspan{\mathop{\rm span}\nolimits}
\def\bn{{\boldsymbol n}}
\def\bJ{{\boldsymbol J}}
\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\bT{{\bar T}}
\def\bL{{\bar L}}
\def\bz{{\bar z}}
\def\bw{{\bar w}}
\def\bw{{\bar w}}
\def\tphi{{\tilde\phi}}
\def\vq{{\vec q}}
\def\vx{{\vec x}}
\def\vy{{\vec y}}
\def\vJ{{\vec J}}
\def\va{{\vec a}}
\def\vb{{\vec b}}
\def\eff{{\rm eff}}
\def\const{{\rm \,const\,}}
\def\ve{\varepsilon}
\def\cH{{\cal H}}
\def\cW{{\cal W}}
\def\i{{\rm i}}

\def\lcolon{\mathopen:}
\def\rcolon{\mathclose:}

%%%%%%% For figures: %%%%%%%
\def\ar#1 #2, #3 #4 {\arrow <0.3truecm> [0.1,0.3] from #1 #2 to #3 #4 }
\catcode`!=11
\def\ln#1 #2, #3 #4 {\!start(#1,#2)\!ljoin(#3,#4)}
\catcode`!=12
\def\rl#1 #2, #3 #4 {\putrule from #1 #2 to #3 #4 }
\def\trl#1 #2, #3 #4 {\linethickness .8pt
	\putrule from #1 #2 to #3 #4 \linethickness .4pt}
\def\point#1 #2 {\put{\hbox{\kern -1pt .}} [Bl] at #1 #2 }
\def\bfpoint#1 #2 {%
\put{\hbox{\kern -2pt \raise -2.3pt%
\hbox{$\textstyle\bullet$}}} [Bl] at #1 #2 }
\def\figcap#1#2\par{\medskip{\narrower\eightpoint\noindent
	Fig.~#1. \ignorespaces#2\par}\medskip}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\makeatletter
\let\over\@@over
\let\atop\@@atop
\let\above\@@above
\let\overwithdelims\@@overwithdelims
\let\atopwithdelims\@@atopwithdelims
\let\abovewithdelims\@@abovewithdelims
\makeatother

\begin{document}

\centerline{\bf ������~19}
\centerline{\bf ���������� ��������� � ���� ���������� � ������� ��������}
\bigskip
������� ���������� ��������� ������ ���� � ���� ����������. � ����������� ����������� $z=x^1+\i x^2$, $\bz=x^1-\i x^2$ ������ ������ ��������� �����������
$$
T(z,\bz)=2\pi T_{zz},
\qquad
\bT(z,\bz)=2\pi T_{\bz\bz},
\qquad
\Theta(z,\bz)=-2\pi T_{z\bz}.
$$
����� ���������� �������-�������� ������������ ��������� �������:
$$
\bd T(z,\bz)=\d\Theta(z,\bz),
\qquad
\d\bT(z,\bz)=\bd\Theta(z,\bz).
$$
��� ����� ������������ ������ \textit{���������� ������ ����}, ���������� ��������� ����������� �����. �� ������������ ����� ������� �������-�������� �������, ��� $\Theta(z,\bz)=0$, � ������ ���������� ����������� ���
\eq{
\bd T(z,\bz)=0,
\qquad
\d\bT(z,\bz)=0.
\label{TbTconserv}
}
��������, ��� ��������, ��� �������� $T$ �������� ������������� �������� ����������~$z$, � $\bT$ --- ���������� $\bz$.%
%
\footnote{����������, ��� ������� � ������, ��� ����������� ������ ����.}
%
������� ������ �� ����� ������ $T(z)$ �~$\bT(\bz)$. ������� ��������, ��� ��������� (\ref{TbTconserv}) ���������� ��� ����������� ����� ���������� ��������. ����� ������� ���, ������������� ����������� ����������� $\tau$,~$\sigma$:
\eq{
z=e^{\tau+\i\sigma},
\qquad
\bz=e^{\tau-\i\sigma}.
\label{tausigmadef}
}
� ���� ������� $\tau$ ������ ���� (��������������) �������, ������ ����������� ������� ��������� � ����� $z=\bz=0$, � ����������� ������� --- � ����� $z=\bz=\infty$. ���������� $\sigma$ ������ ���� ���������������� ����������. ����������� (\ref{tausigmadef}) ������������ ����� ����������� �������� �� ���������, ��� � ���������� ������ �� ������ ���� ��������� ����.

������ ���������
\eq{
L_n=\oint_C{dz\over2\pi\i}\,z^{n+1}T(z),
\qquad
\bL_n=\oint_{\bar C}{d\bz\over2\pi\i}\,\bz^{n+1}\bT(\bz).
\label{Lndef}
}
��������� �� �������� ��� ���������� ������� $C$, ���� ������ ������ �� ���������� �����, � ������� ��������� ������ ����. ������, ��� $L_n(\tau)$, $\bL_n(\tau)$ ������������ ����� ��������� �� ������� $C(\tau)=\{z=e^{\tau+\i\sigma}|\>0\le\sigma<2\pi\}$, �� ������� ��������� (\ref{TbTconserv}) � ����
\eq{
{dL_n(\tau)\over d\tau}={d\bL_n(\tau)\over d\tau}=0.
\label{Lnconserv}
}
��������� $T(z)$,~$\bT(\bz)$ ��� $L_n$,~$\bL_n$ ��������� ���������� ��������������. ���������� ��������� $\delta_\ve\Phi(z,\bz)$ ���������� ���� $\Phi(z,\bz)$ ��� ����� �������������� ���������
$$
z\to z+\ve(z),
\qquad
\bz\to\bz+\overline{\ve(z)}.
$$
��������,
\eq{
\delta_\ve\Phi(z,\bz)=\oint_{C_z}{d\zeta\over2\pi\i}\,\ve(\zeta)[T(\zeta),\Phi(z,\bz)]
+\oint_{\bar C_z}{d\bar\zeta\over2\pi\i}\,\overline{\ve(\zeta)}[\bT(\bar\zeta),\Phi(z,\bz)].
\label{deltavePhi}
}

������� ����� ���������� ���������� �������� $L_n$,~$\bL_n$. ���������� $\i L_{-1}$,~$\i \bL_{-1}$ ������������ ����� ������ ���������� $P_z$ � $\bar P_z$ �������� �������, �� ���� ��������� ������ � ���������. ���������� $L_0+\bL_0$ � $L_0-\bL_0$ ������������ ����� ������ � ���������� $\tau$ �~$\sigma$, �� ���� �� ��������� ��������� ���������� �������������� � ��������. ����������� �������� $L_0-\bL_0$ ������������ ����� �������� ���� ��������� � ����� $z=\bz=0$. ���������� $L_1$, $\bL_1$ ������������� ���������� ���� ��������������: ��������, ������ � ����� ��������.

������ ������ ����� ����� ��� �������������� ������� �������-�������� ��� ��������� ����������� ��������������:
\eq{
\delta_\ve T(z)=\ve(z)\d T(z)+2\ve'(z)T(z)+{c\over12}\ve'''(z).
\label{deltaveT}
}
������ ��� ����� �������� ��������� �� ���������� �������� � �� �������� � ���� ������, ����� ����, ��� �������� $T(z)$ �������� ���������� �����~2. ������ ���� �������� ����� ����� �������� �����~2, �� ���������� ������� �������������� �����. �� �������� ��������� ����� $c$, ���������� \textit{����������� �������}. � ���������, ������ �������, ���
\eq{
[T(z),\bT(\bz')]=0.
\label{TbTcommut}
}
����������������� �������������� (\ref{deltaveT}) ����� ���������������� ��~$\ve$ � �������� �������� ��������������
\eq{
T(z)\to\left(d\zeta\over dz\right)^2T(\zeta)+{c\over12}\{\zeta,z\},
\qquad
\{\zeta,z\}={d^3\zeta\over dz^3}{dz\over d\zeta}
-{3\over2}\left({d^2\zeta\over dz^2}{dz\over d\zeta}\right)^2.
\label{Ttransfin}
}
������ $\{\zeta,z\}$ ������ ���������� ����������� ������.

������ ������ ����������� ����������, ���������� �������������� (\ref{deltaveT}). ������ �� ��������, ��� ��� ���������� ����� ���
\eq{
T(z')T(z)={c/2\over(z'-z)^4}+{2T(z)\over(z'-z)^2}+{\d T(z)\over z'-z}+O(1).
\label{TTope}
}
��������, ��� � ������������ ������� � ���� ���������� ������� ������-������� (� �� �����������), �������������� ����������������� $T(z')$ � $T(z)$ � ���������� ����� ����������� ����� $z'=z$. �� �������� � ������-��������� �������� ��������. ������� �� ������� ����������� ������ ��������. ������� �������� �� �����������
$$
\oint{dz'\over2\pi\i}\ve(z')[T(z'),T(z)]
=\left[\oint{dz'\over2\pi\i}\ve(z')T(z'),T(z)\right]
=\oint_{C_>}{dz'\over2\pi\i}\ve(z')T(z')T(z)
-\oint_{C_<}{dz'\over2\pi\i}\ve(z')T(z')T(z),
$$
��� ������� $C_\gtrless$ �������� �����~0, ������ ������ $C_>$ ������� ����� $z$ �������, � ������ $C_<$ --- ������. ������, ��������, �������, ���
$$
\oint{dz'\over2\pi\i}\ve(z')[T(z'),T(z)]
=\oint_{C_z}{dz'\over2\pi\i}\ve(z')T(z')T(z),
$$
��� ������ $C_z$ ������������ ����� ��������� ���������� ������ �����~$z$. ���������� ���� ����������� ���������� (\ref{TTope}), ���������� ��������~(\ref{deltaveT}).

��������� � (\ref{deltaveT}) ������� $\ve(z)$ � ���� $\epsilon z^{m+1}$, ��������
$$
[L_m,T(z)]=z^{m+1}\d T(z)+2(m+1)z^mT(z)+{c\over12}m(m^2-1)z^{m-1}.
$$
������� ��� ��������� �� $z^{n+1}$ � ��������������� �� $dz$, �������
\subeq{\label{Virasoro}
\eq{
[L_m,L_n]=(m-n)L_{m+n}+{c\over12}m(m^2-1)\delta_{m+n,0}.
\label{Virasoro-L}
}
����������,
\eq{
[\bL_m,\bL_n]=(m-n)\bL_{m+n}+{c\over12}m(m^2-1)\delta_{m+n,0}.
\label{Virasoro-bL}
}}
������� (\ref{Virasoro-L}) (���~(\ref{Virasoro-bL}) ���������� \textit{�������� ��������} (���, ����� ���������, �� ����� �����������, \textit{��������}). ������� �������� ������������ ����� ���������������� ������� ��, � �� ������ ������������� ��������� ������� ����������� � ������������ ����������� ��������� ���������� ������ ���� � ���� �� ������ ������� ����� ���� �������������� �������.

���������� <<���������>> ��������� � ���������� �������:
\eq{
L_n|\Delta,\bDelta\rangle=\bL_n|\Delta,\bDelta\rangle=0\quad(n>0),
\qquad
L_0|\Delta,\bDelta\rangle=\Delta|\Delta,\bDelta\rangle,
\qquad
\bL_0|\Delta,\bDelta\rangle=\bDelta|\Delta,\bDelta\rangle.
\label{hwstates}
}
����� ��������� ���������� \textit{��������� �������� ����}. ��������� $L_{-n}$,~$\bL_{-n}$ ($n>0$) ��������� �� �������� �������� ���� �������������, ������� ���������� \textit{��������������� �������� ����}. ���������� � ���������� ������� �������� ���������, ���������� � ����� $z=\bz=0$. ���������� \textit{���������} ��� \textit{���������} ���������~$\phi_{\Delta\bDelta}(z,\bz)$ � ����������� �����������
\eq{
\Aligned{
T(z')\phi_{\Delta\bDelta}(z,\bz)
&={\Delta\phi_{\Delta\bDelta}(z,\bz)\over(z'-z)^2}+
{\d\phi_{\Delta\bDelta}(z,\bz)\over z'-z}+O(1),
\\
\bT(\bz')\phi_{\Delta\bDelta}(z,\bz)
&={\bDelta\phi_{\Delta\bDelta}(z,\bz)\over(\bz'-\bz)^2}+
{\bd\phi_{\Delta\bDelta}(z,\bz)\over\bz'-\bz}+O(1),
}\label{Tphi-ope}
}
����� ���������, ��� ���������
\eq{
|\Delta,\bDelta\rangle=\phi_{\Delta\bDelta}(0,0)|0,0\rangle
\label{hwstates-phi}
}
������������� �������~(\ref{hwstates}). ����� ����, ��� ��������� ������������� ��� ���������� ��������������� ���
\eq{
\phi_{\Delta\bDelta}(z,\bz)
\to\left(d\zeta\over dz\right)^\Delta\left(d\bar\zeta\over d\bz\right)^\bDelta
\phi_{\Delta\bDelta}(\zeta,\bar\zeta)
\label{phi-transform}
}
� ������������� �������������� ������������
\eq{
\Aligned{{}
[L_n,\phi_{\Delta\bDelta}(z,\bz)]
&=z^{n+1}\d\phi_{\Delta\bDelta}(z,\bz)+\Delta(n+1)z^n\phi_{\Delta\bDelta}(z,\bz),
\\
[\bL_n,\phi_{\Delta\bDelta}(z,\bz)]
&=\bz^{n+1}\bd\phi_{\Delta\bDelta}(z,\bz)+\bDelta(n+1)\bz^n\phi_{\Delta\bDelta}(z,\bz).
}\label{Lnphicommut}
}
����� ������� �������� $d=\Delta+\bDelta$ ����� ����� ���������� ����������� ���������, � $s=\Delta-\bDelta$ --- ��� �����. �������� $\Delta$ � $\bDelta$ ���������� \textit{����������� �������������} ���������� ���������.

������ ������� ������������ ��������� ����������� $\Delta=\bDelta=1$. ��� ����� ���������� �������� �� ��������� $\int d^2x\,\phi_{11}(z,\bz)$ �����������:
$$
\int dz\,d\bz\,\phi_{11}(z,\bz)
\to\int dz\,d\bz\,{d\zeta\over dz}{d\bar\zeta\over d\zeta}\,\phi_{11}(\zeta,\bar\zeta)
=\int d\zeta\,d\bar\zeta\,\phi_{11}(\zeta,\bar\zeta).
$$

������ ��� ����������� ����� �������� � ������ ������������� ������� �������� ������� �������� ������� ������, ��� ������� �������� ��������� ���������� �����������. ��� ������ �������� � ���������
\eq{
S_{\text{Liouville}}[\varphi]
=\int d^2x\,\left({(\d_\mu\varphi(x))^2\over16\pi}+\mu e^{b\varphi}\right).
\label{Liouville-def}
}
������������ ��������� �������� ����� ���
$$
\d\bd\varphi=2\pi\mu be^{b\varphi}.
$$
�� ������������ ������ ��� ������ �������� ���������-������������ �� ��������� � ���������������
$$
\varphi(z,\bz)\to\varphi(\zeta,\bar\zeta)+{1\over b}\log\zeta'\bar\zeta'.
$$
����������� ���������� ������� �������-�������� ������ ����� ���
$$
T(z)=-{1\over4}(\d\varphi)^2,
\qquad
\bT(z)=-{1\over4}(\bd\varphi)^2,
\qquad
\Theta(z,\bar z)=\pi\mu e^{b\varphi}.
$$
����� ���������� $T_{z\bz}$ �� ����� ����. ����� ������ ��������� ������ �������-��������:
$$
T(z)=-{1\over4}(\d\varphi)^2+{1\over2b}\d^2\varphi,
\qquad
\bT(\bz)=-{1\over4}(\bd\varphi)^2+{1\over2b}\bd^2\varphi,
\qquad
\Theta=0.
$$
������ �������� � ���������� ������. �� ����� ������ ������ �������-�������� � ����
\eq{
T(z)=-{1\over4}\lcolon(\d\varphi)^2\rcolon+{Q\over2}\d^2\varphi,
\qquad
\bT(z)=-{1\over4}\lcolon(\bd\varphi)^2\rcolon+{Q\over2}\bd^2\varphi.
\label{TbTLiouville}
}
�������� ���������, ��� ��� ���������� �������� ������� �������� � ����������� �������
\eq{
c=1+6Q^2.
\label{c-Liouville}
}
����� ����, ���������������� ���� $e^{a\varphi}$ �������� ���������� ������ � ����������� �������������
\eq{
\Delta_a=\bDelta_a=a(Q-a).
\label{Delta-Liouville}
}
������ ����������� �������� ��������~$Q$. ������ �����, �������, ��� ������ �������� ����� ������������� ��� ������ ���������� ����, ����������� ���������� $\mu\int d^2x\,e^{b\varphi}$. ����� ������������ ������ ���� ���������-�����������, ����������, ����� ���� �������� ��� ����������� ��� ���������� ���������������, �� ���� �������� $e^{b\varphi}$ ������ ����� ���������� ����������� $(1,1)$: $\Delta_b=1$. ������ ���������� �������
\eq{
Q=b+b^{-1}.
\label{Qdef}
}
�������, ��� $Q\ge2$ � �������
\eq{
c\ge25.
\label{cge25}
}

������������� ������� �������� ������ $b\to0$, ������ �� ����� ��� � ������������� $c\to\infty$. ����� �������, ����������� ����� ������ �� �������� � ������������ �������. � ������������ ������� ������ ��������
$$
\phi=b\varphi,
\qquad
\hbar=b^2\simeq24/c,
\qquad
t(z)=\hbar T(z),
\qquad
l_n=\hbar L_n.
$$
������� ���������� ����� ������ ��������, $[\cdot,\cdot]\simeq-\i\hbar\{\cdot,\cdot\}$, ��������
$$
\{l_m,l_n\}=\i(m-n)l_{m+n}+2\i m(m^2-1)\delta_{m+n,0}.
$$
��� ����������� ����� �������� � ��������������� �� ������ �������� ��� ����� $\phi(\tau,\sigma)$ � $\d_\tau\phi(\tau,\sigma)$.

� ��������� ���������� ������ ���� ��� ���� ����� ���������������� �� �������������� ���� ����� ������� ��������. ������� ����� ����� ������� ��������� ���� �������. ����� $|\Delta\rangle$ --- ������ �������� ���� ����� ������� �������� � ����������� �������~$c$. ��� ������ ������� � ������������� ����� �������� ��������� ���������� $L_{-n}$:
\eq{
L_{-n_1}L_{-n_2}\ldots L_{-n_k}|\Delta\rangle,
\qquad
n_1\ge n_2\ge\cdots\ge n_k>0.
\label{descendants}
}
��� ������� �������� ����� � �������������, ������� ���������� \textit{������� �����} ��� \textit{��������-����������� ������}. ������ ������� � ���, �������� �� ������ ����� ������������ ��������������. ������ ����� ��������, ���� �� �������� ������ ������ ����� � �������� ��������� (�.~�.\ ����������������). ��� ������, ��� �� �������� ������ $|\chi\rangle$, ����� ���
\eq{
L_n|\chi\rangle=0\quad(n>0),
\qquad
L_0|\chi\rangle=(\Delta+N)|\chi\rangle.
\label{null-vector}
}
����� ������ ���������� \textit{����-��������} �� ������~$N>0$, � ������ ����� � ���� ������ �������� \textit{�����������} �� ������~$N$. ����� ��������, ��� ����-������ ������ ���� ����������� ���� ��������� ��������. ������ �����, �������� ��������, ��� �������� ����������, ������������� � �������� �������� ����� ���
\eq{
L_n^+=L_{-n}.
\label{Lndagger}
}
����� ����, �������, ��� ��� ������� $|A\rangle$ � $|B\rangle$ �������������� ����,
$$
L_0|A\rangle=\Delta_A|A\rangle,
\qquad
L_0|B\rangle=\Delta_B|B\rangle
$$
������������, ���� $\Delta_A\ne\Delta_B$:
$$
0=\langle A|(L_0-L_0)|B\rangle=(\Delta_A-\Delta_B)\langle A|B\rangle.
$$
�����
$$
|A\rangle
=\sum^\infty_{k=0}\sum_{n_1\ge n_2\ge\cdots\ge n_k>0}
A_{n_1n_2\ldots n_k}L_{-n_1}L_{-n_2}\ldots L_{-n_k}|\Delta\rangle.
$$
�����
$$
\langle A|\chi\rangle
=\sum^\infty_{k=0}\sum_{n_1\ge n_2\ge\cdots\ge n_k>0}
A_{n_1n_2\ldots n_k}\langle\Delta|L_{n_1}L_{n_2}\ldots L_{n_k}|\chi\rangle
=A\langle\Delta|\chi\rangle=0.
$$
����� �������, � ���������� ����� ������ ����-������� � �� ������� �������� �������� ���������, � � �������������� ������ ����� ����� ���������������� �� ����������, ����������� ����� ����-���������, � ����� ����� ��������� ������������ �������������.

������� ��������� ����� ���������� ����-�������. ��� ����, ����� ���������, ��� ������ ������ $|\chi\rangle$ �������� ����-��������, ���������� ���������, ���
$$
L_1|\chi\rangle=L_2|\chi\rangle=0.
$$
���� � ���, ��� ��� ��������� $L_n$ ($n\ge3$) ����� �������� ��� ����������� ���� ���� ���������� � ����������� ����������:
$$
L_n={1\over n-2}[L_{n-1},L_1]
={1\over(n-2)!}[\ldots[[L_2.L_1],L_1]\ldots,L_1].
$$

����� $N=1$. ����� ������� ������������ ������� $|\chi_1\rangle=L_{-1}|\Delta\rangle$, ������� � ������ ��������� ����-��������. ��������, $L_2|\chi\rangle=0$. ����������� ������ ����������~$L_1$:
$$
L_1|\chi_1\rangle=L_1L_{-1}|\Delta\rangle=2L_0|\Delta\rangle=2\Delta|\Delta\rangle.
$$
������������� ������ $|\chi_1\rangle$ �������� ����-��������, ���� $\Delta=0$. ���������, ��� ��� ������ ���������. ���������� �������������� �������
\Multline{
0=\langle0,0|\phi_{\Delta_1,\bDelta_1}(z_1,\bz_1)
\ldots\phi_{\Delta_k\bDelta_k}(z_k,\bz_k)L_{-1}|0,0\rangle
=\langle0,0|[\phi_{\Delta_1,\bDelta_1}(z_1,\bz_1)
\ldots\phi_{\Delta_k\bDelta_k}(z_k,\bz_k),L_{-1}]|0,0\rangle
\\
=-\sum^k_{i=1}\d_i\langle0,0|\phi_{\Delta_1,\bDelta_1}(z_1,\bz_1)
\ldots\phi_{\Delta_k\bDelta_k}(z_k,\bz_k)|0,0\rangle.
\notag
}
�� ���� �������������� ������� ��������� �����, ������������ � ���������� �������, �� �������� ��� ���������� ������ ��~$z$. ���������� ��� �� �������� ��� ���������� ������ ��~$\bz$.

���������� ������ ������ $N=2$. ��������, �� ������� ����� �������������� ���������. �����
$$
|\chi_2\rangle=(AL_{-2}+BL_{-1}^2)|\Delta\rangle.
$$
����� ������� ����-�������
$$
\Aligned{
0
&=L_1|\chi_2\rangle=(3A+2(2\Delta+1)B)L_{-1}|\Delta\rangle,
\\
0
&=L_2|\chi_2\rangle=((4\Delta+c/2)A+6\Delta B)|\Delta\rangle.
}
$$
�� �������� ������� ���������
$$
\Gathered{
3A+2(2\Delta+1)B=0,
\\
(4\Delta+c/2)A+6\Delta B=0.
}
$$
������� ������������ ���� ���������
$$
9\Delta=(2\Delta+1)(4\Delta+c/2)
$$
����� �������
\eq{
\Delta=\Delta_{12/21}\equiv{1\over16}\left(5-c\pm\sqrt{(c-1)(c-25)}\right).
\label{Delta1221}
}
�� �����, ��� ������ ����� ����� ���� �������� �� ������~2, ������ ���� $c\le1$ ��� $c\ge25$. �� ���������� ��� ����������� ��� $\Delta_{12}$ � $\Delta_{21}$ ���� � ���� ������ ������������� ����������� �������, ������� �� ������ � ��������� ���. ����� $\Delta_*$ --- ����� �� ���� ���� �������. ������� $A=1$, �������
\eq{
|\chi_2\rangle=\left(L_{-2}-{3\over2(2\Delta_*+1)}L_{-1}^2\right)|\Delta_*\rangle.
\label{chi2def}
}
������ ��������� �������� � ���� �������� �������������� �������:
\Multline{
0=\langle0,0|\phi_{\Delta_1,\bDelta_1}(z_1,\bz_1)
\ldots\phi_{\Delta_k\bDelta_k}(z_k,\bz_k)|\chi_2,\bDelta\rangle
\\
=\langle0,0|[\phi_{\Delta_1,\bDelta_1}(z_1,\bz_1)
\ldots\phi_{\Delta_k\bDelta_k}(z_k,\bz_k),L_{-2}]|\Delta_*,\bDelta\rangle
\\
-{3\over2(2\Delta_*+1)}\langle0,0|[\phi_{\Delta_1,\bDelta_1}(z_1,\bz_1)
\ldots\phi_{\Delta_k\bDelta_k}(z_k,\bz_k),L_{-1}^2]|\Delta_*,\bDelta\rangle.
\notag
}
�� �������������� ����������� (\ref{Lnphicommut}) ������� ���������������� ���������
\Multline{
\left(\sum^k_{i=1}\left({1\over z_i-z}\d_i+{\Delta_i\over(z_i-z)^2}\right)
-{3\over2(2\Delta_*+1)}\d^2\right)
\\
\times\langle0,0|\phi_{\Delta_1,\bDelta_1}(z_1,\bz_1)
\ldots\phi_{\Delta_k\bDelta_k}(z_k,\bz_k)\phi_{\Delta_*\bDelta}(z,z)|0,0\rangle
=0,
\label{chi2eq}
}
��� � ��������� ��������� �� �������� $(\sum\d_i)^2$ �� $\d^2\equiv\d^2/\d z^2$, �������� ������������ �������������� �������.

����, ������� � �������������� ������� ������������ ���� �������� � ���������� ����������������� ��������� �� �������������� �������. � ��������� ��� �� ��������, ��� ��� ���������������� ��������� ��������� ����� ������ �������������� ������� ����. � ������ �������, �� ������, ��� ���� ��� ���� �������������� ������� ���������� ��������� ��������� ������ ������ � $c<1$ � $c>25$, ���� � ����� ������ �������������� ������� �� ����� ���� �������� � ����� ����� ����, ��� � ������ ����������� �����.

\bigbreak
\bigskip
\leftline{\bf ����������}
\medskip

A.~A.~Belavi, A.~M.~Polyakov, and A.~B.~Zamolodchikov, Infinite conformal symmetry in two-dimensional quantum field theory, {\it Nuclaer Physics\/} {\bf B241} (1984) 333--380.

\bigbreak
\centerline{\bf ������}
\medskip

{\bf1.}~�������� (\ref{deltaveT}) �� ������������ ����������~(\ref{TTope}).

{\bf2.}~�������� ��������� (\ref{c-Liouville}) � (\ref{Delta-Liouville}) ��� ������������ ������ � ���������� ������������ � ������ ��������.

{\bf3.}~������� ���������� ������� �������-�������� ��� ���������� �������������� ��������
$$
S[\psi]={1\over4\pi}\int d^2x\,(\psi\bd\psi-\bar\psi\d\bar\psi),
$$
������� ��������� ������ ������ � ����������� �����. ��������, ��� ����������� ����� ������ $c=1/2$. ������� ����������� ����� $\psi$ �~$\bar\psi$. ��������� ����������� �����, ���������� ����������� ������� ����� �� ������~2.




\end{document}
