\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage{amsmath,amssymb,pictex,theorem,russian,fullpage}
%\usepackage[notref]{showkeys}


\allowdisplaybreaks

\def\smallskip{\vskip\smallskipamount}
\def\medskip{\vskip\medskipamount}
\def\bigskip{\vskip\bigskipamount}

\let\{=\lbrace
\let\}=\rbrace
\let\[=\lbracket
\let\]=\rbracket

\long\def\items#1{\begin{itemize}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{itemize}}
\long\def\enum#1{\begin{enumerate}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{enumerate}}

\long\def\subeq#1{\begin{subequations}\ignorespaces#1\end{subequations}}
\def\eq#1{\begin{equation}#1\end{equation}}
\def\Align#1{\begin{align}#1\end{align}}
\def\Aligned#1{\begin{aligned}#1\end{aligned}}
\def\Gather#1{\begin{gather}#1\end{gather}}
\def\Gathered#1{\begin{gathered}#1\end{gathered}}
\def\Multline#1{\begin{multline}#1\end{multline}}
\def\Matrix#1{\begin{matrix}#1\end{matrix}}
\def\pMatrix#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}
\def\Cases#1{\begin{cases}#1\end{cases}}

\def\d{\partial}
\def\bd{{\bar\d}}
\def\bpsi{{\bar\psi}}
\def\bvarphi{{\bar\varphi}}
\def\bDelta{{\bar\Delta}}
\def\Re{\mathop{\rm Re}\nolimits}
\def\Im{\mathop{\rm Im}\nolimits}
\def\sh{\mathop{\rm sh}\nolimits}
\def\ch{\mathop{\rm ch}\nolimits}
\def\tg{\mathop{\rm tg}\nolimits}
\def\tr{\mathop{\rm tr}\nolimits}
\def\arctg{\mathop{\rm arctg}\nolimits}
\def\mathspan{\mathop{\rm span}\nolimits}
\def\bn{{\boldsymbol n}}
\def\bJ{{\boldsymbol J}}
\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\bD{{\bar D}}
\def\bL{{\bar L}}
\def\bT{{\bar T}}
\def\bz{{\bar z}}
\def\bw{{\bar w}}
\def\tphi{{\tilde\phi}}
\def\vq{{\vec q}}
\def\vx{{\vec x}}
\def\vy{{\vec y}}
\def\vJ{{\vec J}}
\def\va{{\vec a}}
\def\vb{{\vec b}}
\def\eff{{\rm eff}}
\def\const{{\rm \,const\,}}
\def\ve{\varepsilon}
\def\cF{{\cal F}}
\def\bcF{{\cal\bar F}}
\def\cH{{\cal H}}
\def\cL{{\cal L}}
\def\bcL{{\cal\bar L}}
\def\cW{{\cal W}}
\def\i{{\rm i}}

\def\lcolon{\mathopen:}
\def\rcolon{\mathclose:}

\newtheorem{theorem}{Теорема}

%%%%%%% For figures: %%%%%%%
\def\ar#1 #2, #3 #4 {\arrow <0.3truecm> [0.1,0.3] from #1 #2 to #3 #4 }
\catcode`!=11
\def\ln#1 #2, #3 #4 {\!start(#1,#2)\!ljoin(#3,#4)}
\catcode`!=12
\def\rl#1 #2, #3 #4 {\putrule from #1 #2 to #3 #4 }
\def\trl#1 #2, #3 #4 {\linethickness .8pt
	\putrule from #1 #2 to #3 #4 \linethickness .4pt}
\def\point#1 #2 {\put{\hbox{\kern -1pt .}} [Bl] at #1 #2 }
\def\bfpoint#1 #2 {%
\put{\hbox{\kern -2pt \raise -2.3pt%
\hbox{$\textstyle\bullet$}}} [Bl] at #1 #2 }
\def\figcap#1#2\par{\medskip{\narrower\eightpoint\noindent
	Fig.~#1. \ignorespaces#2\par}\medskip}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\makeatletter
\let\over\@@over
\let\atop\@@atop
\let\above\@@above
\let\overwithdelims\@@overwithdelims
\let\atopwithdelims\@@atopwithdelims
\let\abovewithdelims\@@abovewithdelims
\makeatother

\begin{document}

\centerline{\bf Лекция~22}
\centerline{\bf Свободнополевое представление}
\bigskip
Рассмотрим теорию свободного бозонного поля $\varphi(z,\bz)$ с действием
\eq{
S[\varphi]=\int d^2x\,{(\d_\mu\varphi)^2\over16\pi}.
\label{phiaction}
}
При этом компоненты тензора энергии импульса определим как в теории Лиувилля ($Q=b+b^{-1}=2\i\alpha_0$):
\eq{
T(z)=-{1\over4}(\d\varphi)^2+\i\alpha_0\d^2\varphi,
\qquad
\bT(\bz)=-{1\over4}(\bd\varphi)^2+\i\alpha_0\bd^2\varphi.
\label{TbarTdef}
}
Как мы уже установили, центральный заряд, отвечающий этому тензору энергии-импульса, равен
\eq{
c=1+6Q^2=1-24\alpha_0^2.
\label{calpha0}
}
Дополнительные члены $\i\alpha_0\d^2\varphi$ и $\i\alpha_0\bd^2\varphi$ не проходят для свободного безмассового поля бесследно. Дело в том, что конформные размерности экспоненциальных полей
$$
V_\alpha(z,\bz)=e^{\i\alpha\varphi(z,\bz)}
$$
равны
\eq{
\Delta_\alpha=a(Q-a)=\alpha(\alpha-2\alpha_0).
\label{Deltaalpha}
}
Поэтому
\eq{
\Delta_\alpha=\Delta_{2\alpha_0-\alpha},
\label{Deltaeq}
}
то есть одинаковую размерность имеют уже не поля $V_\alpha$ и $V_{-\alpha}$, как при обычном тензоре энергии-импульса, поля $V_\alpha$ и $V_{2\alpha_0-\alpha}$. А это значит, что, для того, чтобы теория была корректно определена на сфере, следует переопределить парную корреляционную функцию. Именно, для любого оператора $X$ положим
\eq{
\langle X\rangle_{\alpha_0}
=\lim_{|z|\to\infty}|z|^{16\alpha_0^2}\langle V_{-2\alpha_0}(z,\bz)X\rangle_0,
\label{alpha0corrdef}
}
где $\langle\cdots\rangle_0$ --- стандартное вакуумное среднее для свободного безмассового бозона. Множитель $|z|^{16\alpha_0^2}$ введен потому, что при больших значениях $|z|$ оператор общего вида $X$ будет выглядеть пропорциональными $V_{2\alpha_0}(0,0)$. Таким образом, корреляционная функция в правой части будет в лидирующем порядке пропорциональна~$|z|^{-16\alpha_0^2}$. Ниже под средним $\langle\ldots\rangle$ всегда будет пониматься среднее с <<зарядом на бесконечности>>~$\langle\ldots\rangle_{\alpha_0}$. Тогда
\eq{
\langle V_\alpha(z_1,\bz_1)V_{2\alpha_0-\alpha}(z_2,\bz_2)\rangle
={1\over|z_{12}|^{4\Delta_\alpha}}.
\label{VVcorr}
}

Хотя представление свободными полями и позволяет прямо получать корреляционные функции в конформной теории поля, нашей первой целью будет именно представление для конформных блоков. Поэтому мы разобьем свободное поле на две киральности, или, как еще говорят, на голоморфную и антиголоморфную части:
\eq{
\varphi(z,\bz)=\varphi(z)+\bvarphi(\bz).
\label{varphichir}
}
При этом корреляционные функции по определению равны
\eq{
\langle\varphi(z')\varphi(z)\rangle_0=2\log{R\over z'-z},
\qquad
\langle\bvarphi(\bz')\bvarphi(\bz)\rangle_0=2\log{R\over\bz'-\bz},
\qquad
\langle\bvarphi(\bz')\varphi(z)\rangle_0=0.
\label{varphicorr}
}
Напомню, что общие корреляционные функции (с учетом заряда на бесконечности) перенормированных экспоненциальных полей равны
\eq{
\langle\,\mathop{\prod^N_{i=1}}^\curvearrowright e^{\i\alpha_i\varphi(z_i)}\rangle
=\Cases{\prod^N_{i<j}(z_i-z_j)^{2\alpha_i\alpha_j},&\sum^N_{i=1}\alpha_i=2\alpha_0,\\
0,&\sum^N_{i=1}\alpha_i\ne2\alpha_0.}
\label{expcorr}
}
Аналогичная формула имеет место для $e^{\i\alpha_i\bvarphi(\bz)}$.

Пока что забудем про~$\bvarphi(\bz)$. Среди операторов $e^{\i\alpha\varphi(z)}$ есть два оператора конформной размерности~1. Размерности этих операторов определяются решением квадратного уравнения:
\eq{
a_\pm(Q-a_\pm)\equiv\alpha_\pm(\alpha_\pm-2\alpha_0)=1.
\label{Delta1eq}
}
Решения этого уравнения очевидны:
$$
a_+=b^{-1},
\qquad
a_-=b
$$
или
\eq{
\alpha_\pm=\alpha_0\pm\sqrt{\alpha_0^2+1}
\label{alphapmdef}
}
Вспомним, что именно это требовалось от оператора возмущения в теории Лиувилля. При этом теория оказывалась удивительно симметричной относительно замены $b\to b^{-1}$. Теперь, в теории свободного <<кирального>> поля $\varphi(z)$ мы можем ввести два оператора
\eq{
S_\pm(C)=\int_Cdz\,e^{\i\alpha_\pm\varphi(z)},
\label{Sdef}
}
зависящих от контура интегрирования~$C$. Такие операторы называются \textit{экранирующими операторами} и в случае замкнутого (с учетом ветвлений) контура~$C$ коммутируют с алгеброй Вирасоро.

Предположим, что мы хотим написать в виде вакуумного среднего от экспонент какой-нибудь конформный блок $\cF^{\alpha,\alpha_{12}}_{\alpha,\alpha_{12}}(\alpha\pm\alpha_{12};w)$ для корреляционной функции
$$
G(w,\bw)=\langle\phi_{\Delta_\alpha}(\infty,\infty)\phi_{12}(1,1)
\phi_{12}(w,\bw)\phi_{\Delta_\alpha}(0,0)\rangle.
$$
Естественно было бы сопоставить
$$
\phi_{\Delta_\alpha}\sim e^{\i\alpha\varphi},
\qquad
\phi_{12}\sim e^{\i\alpha_{12}\varphi}.
$$
Рассмотрим произведение полей
$$
e^{\i\alpha_{12}\varphi(z')}e^{\i\alpha\varphi(z)}
=\left(z'-z\over R\right)^{2\alpha\alpha_{12}}
e^{\i\alpha_{12}\varphi(z')+\i\alpha\varphi(z)}
=\left(z'-z\over R\right)^{2\alpha\alpha_{12}}
e^{\i(\alpha+\alpha_{12})\varphi(z)}+\cdots,
$$
где точки обозначают члены более высокого порядка. Мы видим, что это соответствует первому слагаемому в правиле слияния
$$
[\phi_{12}][\phi_\alpha]=[\phi_{\alpha+\alpha_{12}}]+[\phi_{\alpha-\alpha_{12}}].
$$
То есть, можно думать, что корреляционная функция отождествляется с конформным блоком примерно так
$$
\langle\cdots e^{\i\alpha_{12}\varphi(w)}e^{\i\alpha\varphi(0)}\rangle
\cF^{\alpha,\alpha_{12}}_{\alpha,\alpha_{12}}(\alpha+\alpha_{12};w).
$$
Точками мы просто заменили пока неизвестное нам представление для остальных полей. Можно было бы для первого поля попробовать другое представление:
$$
\phi_\alpha\sim e^{\i(2\alpha_0-\alpha)\varphi}.
$$
Тогда получим
$$
e^{\i(2\alpha_0-\alpha)\varphi(z')}e^{\i\alpha_{12}\varphi(z)}
=\left(z'-z\over R)\right)^{\i(2\alpha_0-\alpha)\alpha_{12}
e^{\i(2\alpha_0-\alpha+\alpha_{12}}\varphi(z)}+\cdots.
$$
Это соответствует второму члену в правиле слияния, что не дает возможности построить конформный блок. И действительно
$$
\langle e^{\i(2\alpha_0-\alpha)\varphi(\infty)}e^{\i\alpha_{12}\varphi(1)}
e^{\i\alpha_{12}\varphi(w)}e^{\i\alpha\varphi(0)}\rangle=0
$$
в силу того, что
$$
(2\alpha_0-\alpha)+\alpha_{12}+\alpha_{12}+\alpha=2\alpha_0-\alpha_-\ne2\alpha_0.
$$
Отсюда видно, что коррелятор станет ненулевым, если в него вставить оператор $S_-$, заряд которого как раз равен~$\alpha_-$:
$$
\langle e^{\i(2\alpha_0-\alpha)\varphi(\infty)}e^{\i\alpha_{12}\varphi(1)}
e^{\i\alpha_{12}\varphi(w)}e^{\i\alpha\varphi(0)}S_-(C)\rangle\ne0.
$$
Вопрос состоит в том, как провести контур $C$. Есть способ действительно нарисовать замкнутый (на накрывающей поверхности!) контур в виде <<очков>>, охватывающих два поля. Но для вычислительных целей эти очки можно сжать и свести задачу к вычислению интеграла по незамкнутой кривой, соединяющей два поля. Если интеграл в силу особенностей начнет расходиться, его можно доопределить как аналитическое продолжение по $\alpha$ и $\alpha_-$ из той области, где он сходится. Мотивированные этими соображениями, напишем операторное разложение
\Multline{
e^{\i\alpha_{12}\varphi(z')}\int^{z'}_zdu\,e^{\i\alpha_-\varphi(u)}\>e^{\i\alpha\varphi(z)}
=R^\#(z'-z)^{2\alpha\alpha_{12}}\int^{z'}_zdu\,(z'-u)^{-\alpha_-^2}(u-z)^{2\alpha\alpha_-}
+\cdots
\\
=R^\#(z'-z)^{1+(\alpha-\alpha_-)\alpha_-}
{\Gamma(1-\alpha_-^2)\Gamma(1+2\alpha\alpha_-)\over\Gamma(2+2\alpha\alpha_--\alpha_-^2)}
e^{\i(\alpha-\alpha_{12})\varphi(z)}+\cdots.
\label{alphaalpha12minus}
}
Здесь мы использовали стандартное представление бета-функции
$$
\int^1_0du\,u^\alpha(1-u)^\beta={\Gamma(\alpha+1)\Gamma(\beta+1)\over\Gamma(\alpha+\beta+2)}.
$$
В (\ref{alphaalpha12minus}) мы как раз получили второй член в правиле слияния! Теперь мы можем написать
\Align{
\cF^{\alpha,\alpha_{12}}_{\alpha,\alpha_{12}}(\alpha-\alpha_{12};w)
&=A_-^{-1}\langle e^{\i(2\alpha_0-\alpha)\varphi(\infty)}e^{\i\alpha_{12}\varphi(1)}
e^{\i\alpha_{12}\varphi(w)}S_-(C^w_0)e^{\i\alpha\varphi(0)}\rangle
\notag
\\
&=A_-^{-1}\int^w_0du\,u^{2\alpha\alpha_-}(w-u)^{-\alpha_-^2}(1-u)^{-\alpha_-^2}.
\label{cF12minus}
}
Здесь $C^{z'}_z$ обозначает контур идущий от точки $z$ до точки~$z'$, а $A_-$ --- некоторая константа. Наша уверенность в том, что мы можем поставить знак равенства основывается на двух фактах:

1. Правая часть уравнения (\ref{cF12minus}) конформно-инвариантна и потому является решением дифференциального уравнения второго порядка, связанного с нуль-вектором.

2. При обходе переменной $w$ вокруг нуля в правой части просто набегает множитель $e^{2\pi(\alpha-\alpha_-)\alpha_-}$ в точности такой, который набегает для конформного блока.

Отметим, что эти соображения остаются в силе и если мы не фиксируем точки значениями $\infty$, $1$, $w$,~$0$, а также в случае многоточечных функций. Главное условие применимости этих соображений состоит в том, что среди $N$ полей имеется как минимум $N-2$ вырожденных поля.

Как найти второе решение дифференциального уравнения? Для этого достаточно просто провести контур как-нибудь по-другому. Чтобы свойства монодромии вокруг нуля остались такими же простыми, контур следует провести от единицы до бесконечности:
\Align{
\cF^{\alpha,\alpha_{12}}_{\alpha,\alpha_{12}}(\alpha+\alpha_{12};w)
&=A_+^{-1}\langle e^{\i(2\alpha_0-\alpha)\varphi(\infty)}S_-(C^\infty_1)e^{\i\alpha_{12}\varphi(1)}
e^{\i\alpha_{12}\varphi(w)}e^{\i\alpha\varphi(0)}\rangle
\notag
\\
&=A_+^{-1}\int^\infty_1du\,u^{2\alpha\alpha_-}(u-w)^{-\alpha_-^2}(u-1)^{-\alpha_-^2}.
\label{cF12plus}
}
С этим конформным блоком связано также разложение
\Multline{
e^{\i(2\alpha_0-\alpha)\varphi(z')}\int^{z'}_zdu\,e^{\i\alpha_-\varphi(u)}
\>e^{\i\alpha_{12}\varphi(z)}
\\
=R^\#(z'-z)^{1+(2\alpha_0-\alpha-\alpha_-)\alpha_-}
{\Gamma(1-\alpha_-^2)\Gamma(-1-2\alpha\alpha_-+2\alpha_-^2)\over\Gamma(\alpha_-^2-2\alpha\alpha_-)}
e^{\i(2\alpha_0-\alpha-\alpha_{12})\varphi(z)}+\cdots,
\label{tildealphaalpha12plus}
}
которое получается из (\ref{alphaalpha12minus}) заменой $\alpha$ на $2\alpha_0-\alpha$.

Константы $A_\pm$ нетрудно найти. При $w\to0$ четырехточки распадаются в две трехточки:
\Multline{
\langle e^{\i(2\alpha_0-\alpha)\varphi(\infty)}e^{\i\alpha_{12}\varphi(1)}
e^{\i\alpha_{12}\varphi(w)}S_-(C^w_0)e^{\i\alpha\varphi(0)}\rangle
\\
=\langle e^{\i(2\alpha_0-\alpha)\varphi(\infty)}e^{\i\alpha_{12}\varphi(1)}
e^{\i(\alpha-\alpha_{12})\varphi(0)}\rangle
\langle e^{\i(2\alpha_0-\alpha+\alpha_{12})\varphi(\infty)}
e^{\i\alpha_{12}\varphi(w)}e^{\i\alpha\varphi(0)}\rangle
\\
=w^{1+(\alpha-\alpha_-)\alpha_-}
{\Gamma(1-\alpha_-^2)\Gamma(1+2\alpha\alpha_-)\over\Gamma(2+2\alpha\alpha_--\alpha_-^2)}.
\notag
}
Отсюда
\eq{
A_-={\Gamma(1-\alpha_-^2)\Gamma(1+2\alpha\alpha_-)\over\Gamma(2+2\alpha\alpha_--\alpha_-^2)}.
\label{Aminus}
}
Аналогично,
\Multline{
\langle e^{\i(2\alpha_0-\alpha)\varphi(\infty)}S_-(C^\infty_1)e^{\i\alpha_{12}\varphi(1)}
e^{\i\alpha_{12}\varphi(w)}e^{\i\alpha\varphi(0)}\rangle
\\
=\langle e^{\i(2\alpha_0-\alpha)\varphi(\infty)}S_-(C^\infty_1)e^{\i\alpha_{12}\varphi(1)}
e^{\i(\alpha+\alpha_{12})\varphi(0)}\rangle
\langle e^{\i(2\alpha_0-\alpha-\alpha_{12})\varphi(\infty)}
e^{\i\alpha_{12}\varphi(w)}e^{\i\alpha\varphi(0)}\rangle
\\
=w^{-\alpha\alpha_-}
{\Gamma(1-\alpha_-^2)\Gamma(-1-2\alpha\alpha_-+2\alpha_-^2)\over\Gamma(\alpha_-^2-2\alpha\alpha_-)}.
\notag
}
Отсюда получаем
\eq{
A_+={\Gamma(1-\alpha_-^2)\Gamma(-1-2\alpha\alpha_-+2\alpha_-^2)\over\Gamma(\alpha_-^2-2\alpha\alpha_-)}.
\label{Aplus}
}

Теперь мы имеем явное интегральное представление для конформных блоков. Поэтому корреляционная функция записывается как
\Align{
G(w,\bw)
&=C_{\alpha,\alpha_{12},\alpha+\alpha_{12}}C^{\alpha+\alpha_{12}}_{\alpha_{12},\alpha}
\cF^{\alpha,\alpha_{12}}_{\alpha,\alpha_{12}}(\alpha+\alpha_{12};w)
\overline{\cF^{\alpha,\alpha_{12}}_{\alpha,\alpha_{12}}(\alpha+\alpha_{12};w)}
\notag
\\
&\quad+C_{\alpha,\alpha_{12},\alpha-\alpha_{12}}C^{\alpha-\alpha_{12}}_{\alpha_{12},\alpha}
\cF^{\alpha,\alpha_{12}}_{\alpha,\alpha_{12}}(\alpha-\alpha_{12};w)
\overline{\cF^{\alpha,\alpha_{12}}_{\alpha,\alpha_{12}}(\alpha-\alpha_{12};w)}.
\label{GFF}
}
Если мы найдем структурные константы $C^{\alpha\pm\alpha_{12}}_{\alpha_{12},\alpha}$, мы будем иметь явное интегральное представление для всех (не только четырехточечных) корреляционных функций в теории. Но для этого нужно выписать коэффициенты разложения конформных блоков $\cF(\ldots;w)$ по конформным блокам $\cF(\ldots;1-w)$, а затем решить уравнения ассоциативности. Оказывается, сделать это не так уж трудно. Обратим внимание на конформные блоки $\cF(\ldots;1-w)$ можно записать через практически те же корреляционные функции экспонент:
\Align{
\cF^{\alpha\phantom{{}_{12}},\alpha}_{\alpha_{12},\alpha_{12}}(0;1-w)
&=A_-^{\prime-1}\langle e^{\i(2\alpha_0-\alpha)\varphi(\infty)}e^{\i\alpha_{12}\varphi(1)}
S_-(C^1_w)e^{\i\alpha_{12}\varphi(w)}e^{\i\alpha\varphi(0)}\rangle
\notag
\\
&=A_-^{\prime-1}\int^1_wdu\,u^{2\alpha\alpha_-}(u-w)^{-\alpha_-^2}(1-u)^{-\alpha_-^2},
\label{cF'12minus}
\\
\cF^{\alpha\phantom{{}_{12}},\alpha}_{\alpha_{12},\alpha_{12}}(\alpha_{13};1-w)
&=A_+^{\prime-1}\langle e^{\i(2\alpha_0-\alpha)\varphi(\infty)}e^{\i\alpha_{12}\varphi(1)}
e^{\i\alpha_{12}\varphi(w)}e^{\i\alpha\varphi(0)}S_-(C^0_{-\infty})\rangle
\notag
\\
&=A_+^{\prime-1}\int^0_{-\infty}du\,(-u)^{2\alpha\alpha_-}(w-u)^{-\alpha_-^2}(1-u)^{-\alpha_-^2},
\label{cF'12plus}
}
причем
\Align{
A'_-
&={\Gamma^2(1-\alpha_-^2)\over\Gamma(2-2\alpha_-^2)},
\label{A'minus}
\\
A'_+
&={\Gamma(-1-2\alpha\alpha_-+2\alpha_-^2)\Gamma(1+2\alpha\alpha_-)\over\Gamma(2\alpha_-^2)}.
\label{A'plus}
}
Разница заключается только в том, что контуры интегрирования проходят от $w$ до $1$ и от $-\infty$ до~$0$. То есть функции (\ref{cF12minus}), (\ref{cF12plus}) можно выразить через (\ref{cF'12minus}), (\ref{cF'12plus}) путем перекидывания контуров. Я не буду утомлять вас вычислением (хотя оно и очень поучительно) и приведу лишь результат:
\eq{
\Aligned{
\cF^{\alpha,\alpha_{12}}_{\alpha,\alpha_{12}}(\alpha-\alpha_{12};w)
&=K_{--}\cF^{\alpha\phantom{{}_{12}},\alpha}_{\alpha_{12},\alpha_{12}}(0;1-w)
+K_{-+}\cF^{\alpha\phantom{{}_{12}},\alpha}_{\alpha_{12},\alpha_{12}}(\alpha_{13};1-w),
\\
\cF^{\alpha,\alpha_{12}}_{\alpha,\alpha_{12}}(\alpha+\alpha_{12};w)
&=K_{+-}\cF^{\alpha\phantom{{}_{12}},\alpha}_{\alpha_{12},\alpha_{12}}(0;1-w)
+K_{++}\cF^{\alpha\phantom{{}_{12}},\alpha}_{\alpha_{12},\alpha_{12}}(\alpha_{13};1-w),
}\label{12assotiativity}
}
где
\eq{
\Aligned{
K_{--}&=-{A'_-\over A_-}{\sin\pi\alpha_-^2\over\sin2\pi\alpha_-^2},
&K_{-+}&={A'_+\over A_-}{\sin2\pi(\alpha\alpha_--\alpha_-^2)\over\sin2\pi\alpha_-^2},
\\
K_{+-}&=-{A'_-\over A_+}{\sin\pi\alpha_-^2\over\sin2\pi\alpha_-^2},
&K_{++}&={A'_+\over A_+}{\sin2\pi\alpha\alpha_-\over\sin2\pi\alpha_-^2}.
}\label{12K}
}
В обозначениях Лекции~20, полагая $\phi_m=\phi_{\alpha-\alpha_{12}}$, $\phi_{m'}=\phi_{\alpha+\alpha_{12}}$, получим
$$
(C^{\alpha-\alpha_{12}}_{\alpha,\alpha_{12}})^2K_{--}K_{-+}
+(C^{\alpha+\alpha_{12}}_{\alpha,\alpha_{12}})^2K_{+-}K_{++}=0
$$
Используя симметрию структурных констант в нашей теории, получим
\Align{
\left(C^{\alpha+\alpha_{12}}_{\alpha,\alpha_{12}}
\over C^\alpha_{\alpha-\alpha_{12},\alpha_{12}}\right)^2
&=-{K_{+-}K_{++}\over K_{--}K_{-+}}
=-{A_+^2\over A_-^2}{\sin2\pi(\alpha\alpha_--\alpha_-^2)\over\sin2\pi\alpha\alpha_-}
\notag
\\
&={\gamma(1+2\alpha\alpha_--\alpha_-^2)\gamma(2+2\alpha\alpha_--\alpha_-^2)
\over\gamma(1+2\alpha\alpha_-)\gamma(2+2\alpha\alpha_--2\alpha_-^2)},
\label{Cratio}
}
где
$$
\gamma(z)={\Gamma(z)\over\Gamma(1-z)}.
$$
Если, например, мы положим $\alpha=\alpha_{12}$, то, поскольку $C^{\alpha_{12}}_{0,\alpha_{12}}=1$, мы немедленно получим
$$
(C^{13}_{12,12})^2={\gamma(1-2\alpha_-^2)\gamma(2-2\alpha_-^2)
\over\gamma(1-\alpha_-^2)\gamma(2-3\alpha_-^2)}.
$$
Легко проверить, что в случае модели Изинга ($\alpha_-^2=3/4$) этот квадрат равен единице.

Таким способом можно найти все структурные константы $C^{1.n+1}_{1n,12}$. Заменой $\alpha_-^2$ на $\alpha_+^2$ получаются структурные константы~$C^{m+1.1}_{m1,21}$. Чтобы найти вообще все структурные константы $C^{m''n''}_{mn,m'n'}$ необходимо научиться вычислять интегралы вида
\Multline{
\langle e^{\i(2\alpha_0-\alpha-\alpha_{mn}-k\alpha_+-l\alpha_-)\varphi(\infty)}
e^{\i\alpha_{mn}\varphi(1)}
\int^1_0du_k\int^{u_k}_0du_{k-1}\ldots\int^{u_2}_0du_1\,
e^{\i\alpha_+\varphi(u_k)}\ldots e^{\i\alpha_+\varphi(u_1)}
\\
\times
\int^1_0dv_k\int^{v_l}_0dv_{l-1}\ldots\int^{v_2}_0dv_1\,
e^{\i\alpha_-\varphi(v_k)}\ldots e^{\i\alpha_-\varphi(v_1)}e^{\i\alpha\varphi(0)}\rangle
\\
=\int^1_0du_k\int^{u_k}_0du_{k-1}\ldots\int^{u_2}_0du_1
\int^1_0dv_l\int^{v_l}_0dv_{l-1}\ldots\int^{v_2}_0dv_1
\\
\times
\prod^k_{i=1}u_i^{2\alpha\alpha_{1n}}(1-u_i)^{(2\alpha_0-\alpha-\alpha_{1n}-k\alpha_-)\alpha_{1n}}
\prod^k_{i>j}(u_i-u_j)^{2\alpha_-^2}
\\
\times
\prod^l_{i=1}v_i^{2\alpha\alpha_{1n}}(1-v_i)^{(2\alpha_0-\alpha-\alpha_{1n}-l\alpha_-)\alpha_{1n}}
\prod^l_{i>j}(v_i-v_j)^{2\alpha_-^2}
\prod^k_{i=1}\prod^l_{j=1}(u_i-v_j)^{-2}
\notag
}
и научиться перебрасывать интегралы в соответствующих четырехточках. Это было сделано Доценко и Фатеевым (1985), причем были получены явные формулы для всех структурных констант вырожденных полей.

Обратим внимание, что в последнем выражении $k\le m$, $l\le n$. С чем это связано? Не может ли быть коррелятора, нарушающего это условие? Оказывается, не может. Чтобы понять это давайте вспомним, что интегралы от $z$ до $z'$ возникли как сжатие замкнутых контуров. Рассмотрим интеграл
$$
Q^{(m)}_\pm
=\int_{C(z_0)}du_m\int_{C(u_m)}du_{m-1}\ldots\int_{C(u_2)}du_1\,
e^{\i\alpha_+\varphi(u_m)}e^{\i\alpha_\pm\varphi(u_m-1)}\ldots e^{\i\alpha_\pm\varphi(u_1)}
$$
где $z_0\ne z$, контур $C(\zeta)$ начинается в точке $\zeta$, обходит точку $z$ и возвращается в~$\zeta$. Пусть $\cF_\alpha$ --- фоковский модуль над оператором $e^{\i\alpha\varphi(z)}$, то есть пространство всех операторов, получаемых из него умножением на производные от поля~$\varphi(z)$:
$$
\cF_\alpha=\mathspan\left\{(\d^{r_1}\varphi(z)\d^{r_2}\varphi(z)\cdots)e^{\i\alpha\varphi(z)}\right\},
\qquad
\cF_{mn}=\cF_{\alpha_{mn}}
$$
Рассмотрим выражения
$$
Q^{(m)}_+\Phi\in\cF_{-m,n},
\qquad
Q^{(n)}_-\Phi\in\cF_{m,-n},
\quad\text{если}\quad
\Phi\in\cF_{mn}.
$$
Нетрудно доказать, что такой интеграл не зависит от начальной точки~$z_0$. Действительно, суммарная степень интеграла для первого выражения,
$$
m+2m\alpha_+\alpha_{mn}+2{m(m-1)\over2}\alpha_+^2+(\text{целое})
=mn+(\text{целое}),
$$
целая (аналогично для второго выражения). Это значит, что этот интегралы хорошо определены. При этом $Q_+^{(m)}$ действует из фоковского модуля над полем $e^{\i\alpha_{mn}\varphi}$ в фоковский модуль над полем $e^{\i\alpha_{-m,n}\varphi}$. С другой стороны, как легко проверить,
\eq{
\Delta_{-m,n}=\Delta_{m,-n}=\Delta_{mn}+mn.
\label{Delta-mn}
}
Это значит, что для $\Phi=e^{\i\alpha_{mn}\varphi}$ интегралы равны нулю:
$$
Q_+^{(m)}e^{\i\alpha_{mn}\varphi(z)}=Q_-^{(n)}e^{\i\alpha_{mn}\varphi(z)}=0.
$$
То есть мы не можем <<навесить>> на поле $e^{\i\alpha_{mn}\varphi}$ больше чем $m-1$ экранирующих операторов $S_+$ и больше чем $n-1$ операторов~$S_-$.

Пусть $v$ --- некоторый вектор в $\cF_{mn}$ на уровне $mn$. Тогда
$$
Q^{(m)}_+v=\const e^{\i\alpha_{-m,n}\varphi}.
$$
Если константа не равна нулю, этот вектор не может быть получен из старшего вектора действием алгебры Вирасоро, так как она коммутирует с экранирующими операторами. Поэтому физическим векторам в фоковском модули соответствует подпредставление определенное условием
$$
Q^{(m)}_+\Phi=0
$$
или
$$
Q^{(n)}_-\Phi=0.
$$
Оба условия эквивалентны.

В модуле же $\cF_{-m,-n}$, соответствующем полю $e^{\i(2\alpha_0-\alpha_{mn})\varphi(z)}$, физическими состояниями являются состояния, не являющиеся образами $Q^{(m)}_+\cF_{m,-n}$ (либо $Q^{(n)}_-\cF_{-m,n}$. То есть, чтобы получить неприводимое представление, по этим образам нужно профакторизовать. Все это верно для иррациональных значений $\alpha_-^2$. Для рациональных теорий конструкция значительно сложнее.

В случае теории Лиувилля ($c>25$) интерес представляют как раз \textit{невырожденные} поля. При этом представление свободными полями отсутствуют, однако соотношение (\ref{Cratio}) и некоторые другие соотношения дают \textit{функциональные} уравнения на структурные константы, которые можно решить. Ответ был найден А.~Замолодчиковым и Ал.~Замолодчиковым в 1995~г.





\bigbreak
\centerline{\bf Задачи}
\medskip

{\bf1.}~Найти все структурные константы вида $C^{1.n+1}_{1.n,12}$.

{\bf2.}~Найти все структурные константы вида $C^\alpha_{\alpha,\alpha_{13}}$.


\end{document}
