\def\d{\partial}
\def\qd{\dot q}
\def\qdd{\ddot q}
\def\H{{\cal H}}
\def\F{{\cal F}}
\def\O{{\cal O}}
\def\Dt{\Delta t}
\def\D{{\cal D}}
\def\vp{\varphi}

\centerline{\bf Лекция 1}
\centerline{\bf Квантование и функциональные интегралы}
\bigskip
Рассмотрим частицу в одномерном потенциале $U(q)$:
$$
S=\int dt\,L(q,\qd)=\int dt\,\left({m\qd^2\over2}-U(q)\right).
\eqno(1)
$$
Классическое уравнение движения:
$$
\qdd=-{1\over m}U'(q).
\eqno(2)
$$
Рассмотрим различные схемы квантования. Начнем с канонического
операторного квантования. Введем канонические переменные
$q$, $p=\d L/\d\qd=m\qd$ со скобкой Пуассона
$$
\{p,q\}=1.
\eqno(3)
$$
Тогда гамильтониан имеет вид
$$
H={p^2\over2m}+U(q).
\eqno(4)
$$
В квантовом случае вводится коммутатор по правилу ({\it алгебра Гайзенберга})
$$
[p,q]=-i.
\eqno(5)
$$
Следующий шаг состоит в построении пространства, на котором
операторы $f(p,q)$ действуют как операторы. Рассмотрим пространство
гладких функций $\psi(x)$, в котором определяется действие:
$$
\eqalign{
q\psi(x)&=x\psi(x),\cr
p\psi(x)&=-i{\d\psi(x)\over\d x}.
}
$$
В нем определим собственные векторы и собственные значения гамильтониана:
$$
H\psi_n=E_n\psi_n\qquad\hbox{или}\qquad
H|n\rangle=E_n|n\rangle.
$$
На векторы $|n\rangle$ (т.~е.\ функции $\psi_n$) натягиваем
{\it пространство состояний} $\H$ с квадратичной формой
$$
\langle a|b\rangle=\int dx\,\psi_a^*(x)\psi_b(x).
$$
Рассмотрим теперь частный случай гармонического
осциллятора $U_0(q)={\omega^2q^2\over2}$.
В этом случае пространство состояний можно построить прямо.
Положим
$$
\eqalign{
\span
a={1\over\sqrt{2m\omega}}(p-im\omega q),\qquad
a^+={1\over\sqrt{2m\omega}}(p+im\omega q).
\cr
\span
[a,a]=[a^+,a^+]=0,\quad[a,a^+]=1.
}\eqno(6)
$$
Тогда
$$
H_0={\omega\over2}+\omega a^+a.
\eqno(7)
$$
Пусть $|\lambda\rangle$ --- собственный вектор оператора $a^+a$,
$$
a^+a|\lambda\rangle=\lambda|\lambda\rangle.
$$
Тогда
$$
\eqalign{
(a^+a)a|\lambda\rangle
&=aa^+a|\lambda\rangle-a|\lambda\rangle=(\lambda-1)a|\lambda\rangle.
\cr
(a^+a)a^+|\lambda\rangle
&=a^+a^+a|\lambda\rangle+a^+|\lambda\rangle=(\lambda+1)a^+|\lambda\rangle.
}
$$
Отсюда
$$
a|\lambda\rangle\sim|\lambda-1\rangle,
\qquad
a^+|\lambda\rangle\sim|\lambda+1\rangle.
$$
Было бы естественно выбрать представление, на котором спектр
гамильтониана (7) ограничен снизу, т.~е.\ существует такой вектор
$|\lambda_0\rangle$, что $a|\lambda_0\rangle=0$. Очевидно,
что в этом случае $a^+a|\lambda_0\rangle=0$ и $\lambda_0=0$.
Такое представление алгебры Гайзенберга называется {\it фоковским модулем}.

Итак, {\it вакуумный вектор\/} $|0\rangle$ определяется условиями
$$
a|0\rangle=0,\qquad \langle0|0\rangle=1.
\eqno(8)
$$
Фоковский модуль $\F$ порождается из него алгеброй Гайзенберга, т.~е.\
натянут на векторы
$$
|n\rangle={1\over\sqrt{n!}}(a^+)^n|0\rangle,
\qquad\langle n|n\rangle=1.
$$
Тогда
$$
a^+|n\rangle=\sqrt{n+1}|n+1\rangle,
\qquad
a|n\rangle=\sqrt{n}|n-1\rangle.
$$
Очевидно
$$
a^+a|n\rangle=n|n\rangle
\quad\Rightarrow\quad
H|n\rangle=\omega\left({1\over2}+n\right)|n\rangle.
$$

{\bf Интерпретация\/}: система состоит из {\it невзаимодействующих
частиц\/} с энергией $\omega$,
причем {\it энергия вакуума\/} равна $\omega/2$.
Такая интерпретация будет иметь смысл в полевых системах.

Вычислим теперь {\it вакуумные средние} $\langle\O\rangle=
\langle0|\O|0\rangle$ с помощью (6), (8), например
$$
\eqalign{
\langle q\rangle&=0,
\qquad
\langle p\rangle=0,
\cr
\langle q^2\rangle
&=-{1\over2m\omega}\langle0|(a-a^+)^2|0\rangle
={1\over2m\omega},
\cr
\langle p^2\rangle
&={m\omega\over2}\langle0|(a+a^+)^2|0\rangle={m\omega\over2}\hbox{ и т.~д.}
}
$$
В общем случае для средних от координаты
$$
\eqalign{
\langle q^{2n+1}\rangle&=0,
\cr
\langle q^{2n}\rangle&={(2n)!\over2^n n!}\langle q^2\rangle^n.
}
$$

Теперь рассмотрим {\it возмущенный} потенциал
$$
U(q)=U_0(q)+\lambda V(q)\quad\hbox{или}\quad
H=H_0+\lambda V(q).
$$
При достаточно малом $\lambda$ и не слишком плохом $V(q)$ мы можем
развить теорию возмущений. Мы можем, например, вычислить поправку
к вакуумной энергии в первом порядке
$$
E_0={\omega\over2}+\langle V(q)\rangle_0.
$$
Мы можем также вычислить поправки к средним, но проще их вычислять
в формализме {\it функционального интеграла}.

Рассмотрим снова общий случай (4). Найдем амплитуду $U(x',x;\Dt)$ перехода
системы из точки $q=x$ в точку $q=x'$ за малое время $\Dt$. Будем считать,
что $U(q)$ почти постоянно в большой области, содержащей
$x$ и $x'$. Тогда
$$
\eqalignno{
U(x',x,\Dt)&=\langle x'|e^{-iH\Dt}|x\rangle
=\int{dp\over2\pi}\,\langle x'|e^{-iH\Dt}|p\rangle\,\langle p|x\rangle
\cr
&=\int{dp\over2\pi}\,\psi_p(x')\psi_p^*(x)e^{-iE(p)\Dt}
=\int {dp\over 2\pi}\,e^{ip(x'-x)-i{p^2\over2m}\Dt-iU(x)\Dt}
\cr
&=\sqrt{m\over2\pi i\Dt}\,\exp\left(i{m(x'-x)^2\over2\Dt}-iU(x)\Dt\right).
&(9)}
$$
Амплитуду за конечное время можно записать как
$$
U(x',x,t)=\int_{q(0)=x}^{q(t)=x'} Dq\,e^{iS[q]}.
\eqno(10)
$$
Здесь предполагается предел при $\Dt\to0$, $n\to\infty$ с
$$
\eqalign{
\span
S[q]=\sum_{i=0}^{n-1}\left({m(q_{i+1}-q_i)^2\over2\Dt}-U(q_i)\Dt\right)
\mathinner{\mathop{\longrightarrow}\limits_{\Dt\to0}}
\int dt\,\left({m\qd^2\over2}-U(q)\right),
\cr
\span
Dq=\left(m\over2\pi i\Dt\right)^{n/2}\prod_{i=1}^{n-1} dq_i,
}
$$
причем $t_0=0$, $t_n=t$, $x_0=x$, $x_n=x'$.

Чтобы сделать интеграл хорошо определенным, выполним {\it виков поворот}.
Положим $t=-i\tau$. Тогда интеграл будет сходиться. Удобно ввести
{\it евклидово действие}
$$
S_E[q]=\int d\tau\,\left[{m\over2}\left(dq\over d\tau\right)^2+U(q)\right]
\eqno(11)
$$
и писать
$$
U(x',x,i\tau)=\int_{q(0)=x}^{q(\tau)=x'} Dq\,e^{-S_E[q]}.
\eqno(12)
$$
Обратим внимание, что поворачивать ось времени нужно так, чтобы
положительная полуось $t$ переходила в положительную
полуось $\tau$.

Введем {\it хронологические средние}
$$
\langle {\rm T}(q(t_1)\ldots q(t_n))\rangle
=\langle q(t_{T(1)})\ldots q(t_{T(n)})\rangle
\quad\hbox{при}\quad t_{T(1)}\ge\cdots\ge t_{T(n)}.
$$
Можно проверить ({\bf проверить!}), что
$$
\langle {\rm T}(q(t_1)\ldots q(t_n))\rangle
={1\over Z}\int Dq\,q(t_1)\ldots q(t_n)\,e^{iS[q]}.
\eqno\rm(13a)
$$
с
$$
Z=\int Dq\,e^{iS[q]}.
$$
Интегрирование здесь понимается по всей оси времени.
В евклидовом варианте ({\bf с него и надо начинать проверку})
$$
\langle {\rm T}_E(q(\tau_1)\ldots q(\tau_n))\rangle
={1\over Z}\int Dq\,q(\tau_1)\ldots q(\tau_n)\,e^{-S_E[q]},
\eqno\rm(13b)
$$
а
$$
Z=\int Dq\,e^{-S_E[q]}.
$$
Мы будем писать просто $\langle\ldots\rangle$ вместо
$\langle{\rm T}(\ldots)\rangle$ (и $\langle{\rm T}_E(\ldots)\rangle$).

Удобно рассмотреть {\it источник\/} (``внешнюю силу")
$J(t)\equiv iJ_E(\tau)$. Обозначим
$$
(f,g)=\int dt\,f(t)g(t),
\qquad
(f,g)_E=\int d\tau\,f(\tau)g(\tau).
$$
Тогда
$$
Z[J]\equiv Z_E[J_E]
=\int Dq e^{iS[q]+i(J,q)}=\int Dq e^{-S_E[q]-(J_E,q)_E}.
\eqno(14)
$$
Через {\it производящую функцию} $Z[J]$ можно выразить все корреляторы:
$$
\eqalign{
\langle q(t)\rangle&=-i\left.\delta\log Z[J]\over\delta J(t)\right|_{J=0},
\cr
\langle q(t_1)q(t_2)\rangle
&=-\left.Z[J]^{-1}\,\delta^2 Z[J]\over\delta J(t_1)\delta J(t_2)\right|_{J=0}
\quad\hbox{и т.~д.}
}\eqno(15)
$$

Рассмотрим опять гармонический осциллятор. Вычислим производящую
функцию. Для этого заметим, что
$$
iS[q]=-S_E[q]=-{1\over2}(q,Kq)=-{1\over2}(q,K_Eq)_E,
$$
где
$$
K=im{d^2\over dt^2}+im\omega^2,\qquad
K_E=-m{d^2\over d\tau^2}+m\omega^2.
$$
Далее воспользуемся формулой, известной из конечномерного анализа
$$
\int d^n x\,e^{-{1\over2}(x,Kx)-(a,x)}
=\sqrt{(2\pi)^n\over\det K}\,e^{{1\over2}(a,K^{-1}a)}.
\eqno(16)
$$
Множитель $(2\pi)^n$ в нашем случае вообще не существен.
Если мы не собираемся дифференцировать функциональные интегралы
по $m$ и $\omega$ (что иногда действительно нужно), то $\det K$ ---
тоже константа. Получаем
$$
Z[J]\sim e^{-{1\over2}(J,K^{-1}J)}.
$$
Отсюда, например,
$$
\eqalign{
\langle q(t_1)q(t_2)\rangle
&=G(t_1,t_2)\equiv K^{-1}(t_1,t_2),
\cr
\langle q(t_1)\ldots q(t_4)\rangle
&=G(t_1,t_2)G(t_3,t_4)+G(t_1,t_3)G(t_2,t_4)+G(t_1,t_4)G(t_2,t_3)
\quad\hbox{и т.~д.}
}
$$
\proclaim Теорема Вика. Среднее от четного числа полей для систем
с квадратичным действием равно сумме произведений всех спариваний.

Как найти $G(t',t)=K^{-1}(t',t)$? 1) Можно использовать операторный формализм
({\bf проделайте это!}); 2) Можно воспользоваться определением обратного
оператора, но нужно позаботиться о граничных условиях. Итак
$$
im\left({d^2\over dt^{\prime2}}+\omega^2\right)G(t',t)
=\delta(t'-t).
$$
Учтем, что $G(t',t)=G(t'-t)$. Получаем
$$
\eqalign{
\span
G(t)
=\cases{a_1 e^{-i\omega t}+b_1 e^{i\omega t}&при $t>0$,\cr
        a_2 e^{-i\omega t}+b_2 e^{i\omega t}&при $t<0$,}
\cr
\span
G(0^+)=G(0^-),\qquad
im(\dot G(0^+)-\dot G(0^-))=1.
}
$$
Теперь учтем, что при виковом повороте функция $G(-i\tau)$ должна
убывать при $\tau\to\pm\infty$. Именно это означает усреднение
по вакуумному состоянию. Отсюда $b_1=a_2=0$, $a_1=b_2=1/2m\omega$.
Окончательно
$$
G(t)={1\over2m\omega}e^{-i\omega|t|}
\eqno\rm(17a)
$$
при вещественном времени и
$$
G(-i\tau)={1\over2m\omega}e^{-\omega|\tau|}
\eqno\rm(17b)
$$
при мнимом. Легко видеть, что $\langle q^2\rangle=1/2m\omega$.

Наконец, рассмотрим кратко теорию возмущений. Пусть
$$
S[q]=S_0[q]+\lambda S_1[q],
$$
где $S_0$ --- действие гармонического осциллятора, а $\lambda S_1$ ---
поправка, например
$$
S_1[q]=-{1\over 4!}\int dt\,q^4.
\eqno(18)
$$
Тогда поправка к $Z[J]$ вычисляется так
$$
Z[J]=Z_0[J]+i\lambda\int Dq\,S_1[q] e^{iS_0+(J,q)}
-{\lambda^2\over2}\int Dq\,S_1^2[q] e^{iS_0+(J,q)}
+\cdots.
$$
Корреляторы невозмущенной теории мы знаем. Мы можем вычислять
поправки из этой формулы. Например для модели (18) получаем
$$
\eqalign{
\langle q(t_1)q(t_2)\rangle
&=G(t_1-t_2)-{i\lambda\over2}\int ds\,G(t_1-s)G^2(0)G(s-t_2)
\cr
&\quad
-{\lambda^2\over4}\int ds_1\,ds_2\,G(t_1-s_1)G^2(0)G(s_1-s_2)
G^2(0)G(s_2-t_2)
\cr
&\quad
-{\lambda^2\over4}\int ds_1\,ds_2\,G(t_1-s_1)G(s_1-s_2)G^2(0)
G(s_2-s_1)G(s_1-t_2)
\cr
&\quad
-{\lambda^2\over6}\int ds_1\,ds_2\,G(t_1-s_1)G^3(s_1-s_2)G(s_2-t_2)
+\cdots.
}
$$
\end
