\def\d{\partial}
\def\qd{\dot q}
\def\qdd{\ddot q}
\def\vp{\varphi}
\def\vpd{\dot\varphi}
\def\vpb{{\bar\vp}}
\def\ve{\varepsilon}
\def\vpdd{\ddot\varphi}
\def\ta{{\tilde a}}
\def\tb{{\tilde b}}
\def\x{\xvec}
\def\y{\yvec}
\def\p{\pvec}
\def\half{{1\over2}}
\def\H{{\cal H}}
\def\F{{\cal F}}
\def\O{{\cal O}}
\def\Dt{\Delta t}
\def\D{{\cal D}}
\def\L{{\cal L}}
\def\const{\mathop{\rm const}\nolimits}
\def\lvac{\langle0|}
\def\rvac{|0\rangle}
\def\Sym{\mathop{\rm Sym}\limits}
\newfam\mibfam
\font\tenib=cmmib10
\font\sevenib=cmmib7
\font\fiveib=cmmib5
\textfont\mibfam=\tenib
\scriptfont\mibfam=\sevenib
\scriptscriptfont\mibfam=\fiveib
\def\bfm{\fam\mibfam\tenib}
\mathchardef\alpha="710B
\mathchardef\beta="710C
\mathchardef\gamma="710D
\mathchardef\delta="710E
\mathchardef\epsilon="710F
\mathchardef\zeta="7110
\mathchardef\eta="7111
\mathchardef\theta="7112
\mathchardef\iota="7113
\mathchardef\kappa="7114
\mathchardef\lambda="7115
\mathchardef\mu="7116
\mathchardef\nu="7117
\mathchardef\xi="7118
\mathchardef\pi="7119
\mathchardef\rho="711A
\mathchardef\sigma="711B
\mathchardef\tau="711C
\mathchardef\upsilon="711D
\mathchardef\phi="711E
\mathchardef\chi="711F
\mathchardef\psi="7120
\mathchardef\omega="7121
\mathchardef\varepsilon="7122
\mathchardef\vartheta="7123
\mathchardef\varpi="7124
\mathchardef\varrho="7125
\mathchardef\varsigma="7126
\mathchardef\varphi="7127
\def\evec{{\bfm e}}
\def\jvec{{\bfm j}}
\def\nvec{{\bfm n}}
\def\pvec{{\bfm p}}
\def\svec{{\bfm s}}
\def\vvec{{\bfm v}}
\def\xvec{{\bfm x}}
\def\yvec{{\bfm y}}
\def\alphavec{{\bfm\alpha}}
\def\gammavec{{\bfm\gamma}}
\def\muvec{{\bfm\mu}}
\def\sigmavec{{\bfm\sigma}}
\def\thetavec{{\bfm\theta}}
\def\vpvec{{\bfm\varphi}}
\def\Jvec{{\bfm J}}
\def\Kvec{{\bfm K}}
\def\Avec{{\bfm A}}
\def\Bvec{{\bfm B}}
\def\Sigmavec{{\bf\Sigma}}

\centerline{\bf Лекция 2}
\centerline{\bf Квантование скалярного поля}
\bigskip
Рассмотрим поле $\vp(x)$ с действием
$$
S[\vp]=\int d^Dx\,\left(\half\d_\mu\vp\,\d^\mu\vp-U(\varphi)\right).
\eqno(1)
$$
Здесь принята сигнатура $(+-\cdots-)$. Уравнение движения:
$$
\d_\mu\d^\mu\vp=-U'(\vp).
$$

Рассмотрим сначала каноническое квантование. Запишем действие в виде
$$
S[\vp]=\int dt\,\L[\vp,\vpd]
$$
где лагранжиан $\L$ --- функционал $\vp$ и $\vpd$ как функций
пространственных координат $\x=(x^1,\ldots,x^{D-1})$. Введем канонические
переменные
$$
\vp(\x),\qquad \pi(\x)={\delta\L\over\delta\vpd(\x)}=\vpd(\x)
\eqno(2)
$$
со скобкой Пуассона
$$
\{\pi(\x),\vp(\y)\}=\delta(\x-\y).
\eqno(3)
$$
Гамильтониан
$$
H=\int d^{D-1}x\,\left(\half\dot\vp^2+\half(\nabla\vp)^2+U(\vp)\right).
\eqno(4)
$$

При квантовании скобка Пуассона заменяется на коммутатор
$$
[\pi(\x),\vp(\y)]=-i\delta(\x-\y).
\eqno(5)
$$
Уравнение движения приобретает операторный вид
$$
\dot f=-i[f,H].
$$
Отсюда видно, что теория поля не допускает простой размерной
редукции.

\proclaim Вопрос. В случае квантовой механики частиц и
классической теории поля мы можем сделать следующую операцию. Если начальные
условия однородны по одной из координат, мы можем вообще забыть
об этой координате и рассматривать задачу в пространстве меньшей
размерности. В квантовой теории поля этого сделать\/ {\bf нельзя}.
Почему?

При квантовании методом функционального интеграла пишем
$$
Z[J]=\int D\vp\,e^{iS[\vp]+i(J,\vp)},
\qquad
(f,g)=\int d^Dx\,f(x)g(x).
\eqno(6)
$$

Чтобы построить пространство состояний и получить какие-нибудь
содержательные результаты, рассмотрим частный случай
{\it свободного поля}
$$
S_0[\vp]=\int d^Dx\,\left(\half\d_\mu\vp\,\d^\mu\vp-{m^2\over2}\vp^2\right).
\eqno(7)
$$
Уравнение движения
$$
\d_\mu\d^\mu\vp-m^2\vp=0
$$
линейно. Выполним каноническое преобразование
$$
\eqalign{
\vp(\x)
&=\int{d^{D-1}p\over(2\pi)^{D-1}}\,{1\over\sqrt{2\ve_\p}}
(\ta_\p e^{i\p\x}+\ta^+_\p e^{-i\p\x}),
\cr
\pi(\x)
&=-i\int{d^{D-1}p\over(2\pi)^{D-1}}\,\sqrt{\ve_\p\over2}
(\ta_\p e^{i\p\x}-\ta^+_\p e^{-i\p\x}),
}\eqno(8)
$$
где $\ve_\p=\sqrt{m^2+\p^2}$.
Нетрудно проверить, что
$$
\{\ta_\p,\ta_{\p'}\}=\{\ta^+_\p,\ta^+_{\p'}\}=0,
\qquad
\{\ta_\p,\ta^+_{\p'}\}=i(2\pi)^{D-1}\delta(\p-\p').
\eqno(9)
$$
Уравнение движения принимает вид
$$
\skew2\dot\ta_\p=-i\ve_\p\ta_\p,
\qquad
\skew2\dot\ta^+_\p=i\ve_\p\ta^+_\p.
$$
Отсюда
$$
\ta_\p(t)=e^{-i\ve_\p t}a_\p,
\qquad
\ta^+_\p(t)=e^{i\ve_\p t}a^+_\p.
\eqno(10)
$$
Гамильтониан принимает вид
$$
H=\int{d^{D-1}p\over(2\pi)^{D-1}}\,
\ve_\p\ta^+_\p\ta_\p.
\eqno(11)
$$

\proclaim Задача. Доказать формулы (9)--(11).

Квантование:
$$
[\ta_\p,\ta_{\p'}]=[\ta^+_\p,\ta^+_{\p'}]=0,
\qquad
[\ta_\p,\ta_{\p'}]=(2\pi)^{D-1}\delta(\p-\p').
\eqno(12)
$$
Гамильтониан
$$
H=\int{d^{D-1}p\over(2\pi)^{D-1}}\,
\ve_\p\left(\half+\ta^+_\p\ta_\p\right)
=\const+\int{d^{D-1}p\over(2\pi)^{D-1}}\,\ve_\p\ta^+_\p\ta_\p.
\eqno(13)
$$
Легко проверить, что уравнения (9), (10) сохраняют силу и в квантовом
случае. Удобно записывать все через $a$, $a^+$:
$$
\eqalignno{
\span
[a_\p,a_{\p'}]=[a^+_\p,a^+_{\p'}]=0,
\qquad
[a_\p,a_{\p'}]=(2\pi)^{D-1}\delta(\p-\p').
&(12')
\cr
\span
H=\int{d^{D-1}p\over(2\pi)^{D-1}}\,
\ve_\p\left(\half+a^+_\p a_\p\right)
=\const+\int{d^{D-1}p\over(2\pi)^{D-1}}\,\ve_\p a^+_\p a_\p.
&(13')}
$$

Пространство состояний строим так. Вводим вакуум $\rvac$:
$$
a_\p\rvac=0,
\eqno(14)
$$
Все остальные состояния порождаются с помощью $a^+_\p$:
$$
|\p_1,N_1,\ldots,\p_n,N_n\rangle
={1\over\sqrt{N_1!\ldots N_n!}}
(a^+_{\p_1})^{N_1}\ldots(a^+_{\p_n})^{N_n}\rvac.
\eqno(15)
$$
Это состояние можно интерпретировать как состояние $N=\sum N_n$
частиц с волновой функцией
$$
\sim\Sym_{\x_1,\ldots,\x_N}
e^{i\p_1(\x_1+\cdots+\x_{N_1})
+\cdots+\p_n(\x_{N_1+\cdots+N_{n-1}+1}+\cdots+\x_N)}.
$$
Энергия этого состояния равна $E_{\rm vac}+\sum_{i=1}^n\ve_i N_i$.

\proclaim Интерпретация. Модель свободного поля описывает свободные
(невзаимодействующие) тождественные бозоны спина 0.

Поле $\vp$, входящее
в действие (или гамильтониан), содержит как операторы уничтожения
$a_\p$, так и операторы рождения $a^+_\p$, так что любое взаимодействие
этого поля (неквадратичный вклад в действие) может как уничтожать,
так и рождать частицы.
\proclaim Интерпретация. Частицы, описываемые действием (1)
(истинно) нейтральны.

Можно найти корреляционные функции, например (при $t>t'$)
$$
\eqalignno{
\langle\vp(x)\vp(x')\rangle
&=\int{d^{D-1}p\over(2\pi)^{D-1}}\,{d^{D-1}p'\over(2\pi)^{D-1}}\,
{1\over2\sqrt{\ve_\p\ve_{\p'}}}
\lvac a_\p a^+_{\p'}\rvac e^{-ip(x-x')}
\cr
&=\int{d^{D-1}p\over(2\pi)^{D-1}}\,{e^{-ip(x-x')}\over2\sqrt{\p^2+m^2}},
}
$$
где $p=(\ve_\p,\p)$. При произвольных $t$, $t'$ мы можем написать
$$
\langle\vp(x)\vp(x')\rangle
=\int{d^{D-1}p\over(2\pi)^{D-1}}\,
{e^{-i\ve_\p|t-t'|+i\p(\x-\x')}\over2\sqrt{\p^2+m^2}}.
\eqno(16)
$$

Рассмотрим теперь квантование с помощью функционального интеграла:
$$
Z_0[J]=
\int D\vp\,e^{-\half(\vp,K\vp)+i(J,\vp)},
$$
где
$$
K=i\d_\mu\d^\mu+im^2+0.
$$
Слагаемое $+0$ добавлено для сходимости функционального интеграла.
Выполним преобразование Фурье в $D$-мерном пространстве Минковского:
$$
\vp(x)=\int{d^Dp\over(2\pi)^D}\,\vp_p e^{-ipx}.
$$
Тогда ядро имеет вид
$$
K(p,p')=-i(2\pi)^D\delta(p-p')(p^2-m^2+i0)
$$
Соответственно
$$
G(p,p')=(2\pi)^D\delta(p-p')G(p)=(2\pi)^D\delta(p-p'){i\over p^2-m^2+i0}
$$
и
$$
G(x,x')
=\langle\vp(x)\vp(x')\rangle
=\int{d^Dp\over(2\pi)^D}\,{i\over p^2-m^2+i0}\,e^{-ip(x-x')}.
\eqno(17)
$$
Перейдем к евклидовым координатам:
$$
\eqalign{
&x^0=-ix_E^0,\qquad
\x=\x_E,
\cr
&p^0=ip_E^0,\qquad
\p=-\p_E,\qquad
p^2=-p_E^2,\qquad
px=p_Ex_E.
}
$$
Тогда, опуская индексы $E$ при $x$ и $p$, получим
$$
G_E(x,x')=\int_E{d^Dp\over(2\pi)^D}\,{e^{-ip(x-x')}\over p^2+m^2}.
\eqno(18)
$$
Слагаемого $+i0$ здесь не нужно, т.~к.\ не нужно обходить полюсы.
Заметим, что вещественный контур по $p_E^0$ деформируется в контур
по $p^0$ без пересечения полюсов.

\proclaim Задача. Получить (16) из (17). (Подсказка:
интеграл по $p_0$ вычисляется вычетами по-разному в зависимости
от знака $t'-t$.)

Остальные корреляторы вычисляются по теореме Вика. Ее можно
сформулировать графически. Каждому полю $\vp(x_i)$ сопоставим
вершину графа. Соединим вершины линиями, так чтобы из каждой
вершины выходила одна линия, а каждая линия соединяла две вершины.
Сопоставим каждой линии множитель $G(x_i,x_j)$. Просуммируем
все допустимые графы.

Рассмотрим другой пример свободного поля. Рассмотрим {\bf комплексное}
поле $\vp={1\over\sqrt2}(\vp_1+i\vp_2)$ с действием
$$
S=\int d^Dx\,(\d_\mu\vpb\,\d^\mu\vp-m^2\vpb\vp)
=\int d^Dx\,\sum_{i=1,2}
\left(\half\d_\mu\vp_i\,\d^\mu\vp_i-{m^2\over2}\vp_i^2\right)
\eqno(19)
$$
($\vpb$ --- комплексно-сопряженное к $\vp$). Можно рассматривать
такое поле
как два скалярных нейтральных бозонных поля с равной массой, но поучительно
провести вычисления заново.

Канонические переменные:
$$
\eqalign{
&\vp(\x),\qquad\pi(\x)=\skew4\dot\vpb(\x),
\cr
&\vpb(\x),\qquad\bar\pi(\x)=\dot\vp(\x).
}
$$
Преобразование (8) превращается в
$$
\eqalign{
\vp(\x)
&=\int{d^{D-1}p\over(2\pi)^{D-1}}\,{1\over\sqrt{2\ve_\p}}
(\ta_\p e^{i\p\x}+\tb^+_\p e^{-i\p\x}),
\cr
\pi(\x)
&=-i\int{d^{D-1}p\over(2\pi)^{D-1}}\,\sqrt{\ve_\p\over2}
(\tb_\p e^{i\p\x}-\ta^+_\p e^{-i\p\x}),
\cr
\vpb(\x)
&=\int{d^{D-1}p\over(2\pi)^{D-1}}\,{1\over\sqrt{2\ve_\p}}
(\tb_\p e^{i\p\x}+\ta^+_\p e^{-i\p\x}),
\cr
\pi(\x)
&=-i\int{d^{D-1}p\over(2\pi)^{D-1}}\,\sqrt{\ve_\p\over2}
(\ta_\p e^{i\p\x}-\tb^+_\p e^{-i\p\x}),
}\eqno(20)
$$
Аналогично вводятся операторы $a$, $a^+$, $b$, $b^+$ с коммутационными
соотношениями
$$
[a_\p,a^+_{\p'}]=[b_\p,b^+_{\p'}]=(2\pi)^{D-1}\delta(\p-\p'),
$$
вакуум
$$
a_\p\rvac=b_\p\rvac=0.
$$
Гамильтониан имеет вид
$$
H=\int{d^{D-1}p\over(2\pi)^{D-1}}
\ve_\p(1+a^+_\p a_\p+b^+_\p b_\p).
$$
Мы видим, что имеется два сорта частиц $a$ и $b$, причем в поле
входит $a$ вместе с $b^+$, либо $b$ вместе с $a^+$. Это значит,
что в любом взаимодействии, где рождается $a$, может вместо этого
поглотиться $b$ и наоборот.

Имеется сохраняющийся ток
$$
j_\mu=i(\vpb\d_\mu\vp-\vp\d_\mu\vpb).
\eqno(21)
$$
Ему соответствует заряд
$$
N=\int d^{D-1}x\,j^0(\x)
=\int{d^{D-1}p\over(2\pi)^{D-1}}(a^+_\p a_\p-b^+_\p b_\p),
$$
отвечающий симметрии
$$
\vp\to e^{i\alpha}\vp,\qquad
\vpb\to e^{-i\alpha}\vpb.
$$
{\bf Задача.} Доказать.
\proclaim Интерпретация. Комплексное поле описывает пару бозонов
спина 0 типа частица---античастица.

\proclaim Теорема. Два сорта нейтральных бозонов с одинаковой
массой эквивалентны одной паре заряженных бозонов.

Наконец, напишем пропагатор. Для этого воспользуемся теоремой
$$
\int i^nd^n xd^n\bar x\,e^{-(\bar x,Kx)-(\bar a,x)-(\bar x,b)}
={(2\pi)^n\over\det K}\,e^{(\bar a,K^{-1}b)}.
\eqno(22)
$$

Введем производящий функционал
$$
Z[J,\bar J]=\int D\vp\,D\vpb\,
e^{iS[\vp,\vpb]+i(\bar J,\vp)+i(J,\vpb)}
$$
($J$ и $\bar J$ --- независимые переменные).
Тогда
$$
\langle\vp(x)\vpb(x')\rangle
=-\left.{Z^{-1}[J,\bar J]\delta^2 Z[J,\bar J]
\over\delta\bar J(x)\,\delta J(x')}\right|_{J=\bar J=0}.
$$
Находим
$$
\eqalign{
\span
G(x,x')=\langle\vp(x)\vpb(x')\rangle
=\int{d^Dp\over(2\pi)^D}{i\over p^2-m^2+i0}\,e^{-ip(x-x')},
\cr
\span
\langle\vp(x)\vp(x')\rangle=\langle\vpb(x)\vpb(x')\rangle=0.
}\eqno(23)
$$
Теперь остальные корреляторы вычисляются опять по теореме Вика.
Но теперь имеется два сорта точек $\vp$ и $\vpb$,
а все линии следует снабдить
стрелками, идущими из $\vpb(x_i)$ в $\vp(x_j)$.

\end
