\input pictex
\def\d{\partial}
\def\qd{\dot q}
\def\qdd{\ddot q}
\def\vp{\varphi}
\def\vpd{\dot\varphi}
\def\vpb{{\bar\vp}}
\def\ve{\varepsilon}
\def\vpdd{\ddot\varphi}
\def\ta{{\tilde a}}
\def\tb{{\tilde b}}
\def\half{{1\over2}}
\def\H{{\cal H}}
\def\F{{\cal F}}
\def\O{{\cal O}}
\def\Dt{\Delta t}
\def\D{{\cal D}}
\def\L{{\cal L}}
\def\const{\mathop{\rm const}\nolimits}
\def\lvac{\langle0|}
\def\rvac{|0\rangle}
\def\Sym{\mathop{\rm Sym}\limits}
%%%%%%% For figures: %%%%%%%
\def\ar#1 #2, #3 #4 {\arrow <0.2truecm> [0.15,0.4] from #1 #2 to #3 #4 }
%\def\ln#1 #2, #3 #4 {\arrow <0.01truecm> [0,0] from #1 #2 to #3 #4 }
\catcode`!=11
\def\ln#1 #2, #3 #4 {\!start(#1,#2)\!ljoin(#3,#4)}
\catcode`!=12
\def\rl#1 #2, #3 #4 {\putrule from #1 #2 to #3 #4 }
\def\trl#1 #2, #3 #4 {\linethickness .8pt
	\putrule from #1 #2 to #3 #4 \linethickness .4pt}
\def\point#1 #2 {\put{\hbox{\kern -1pt .}} [Bl] at #1 #2 }
\def\bfpoint#1 #2 {%
\put{\hbox{\kern -2pt \raise -2.3pt%
\hbox{$\textstyle\bullet$}}} [Bl] at #1 #2 }
\def\figcap#1#2\par{\medskip{\narrower\eightpoint\noindent
	Fig.~#1. \ignorespaces#2\par}\medskip}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\centerline{\bf Лекция 3}
\centerline{\bf Инвариантная теория возмущений}
\bigskip
Рассмотрим модель $\vp^4$ в $D$ измерениях:
$$
S_\lambda[\vp]=\int d^Dx\,\left(\half\d_\mu\vp\,\d^\mu\vp
-{m^2\over2}\vp^2-{\lambda\over4!}\vp^4\right).
\eqno(1)
$$
Мы хотим вычислить функционал
$$
Z[J]=\int D\vp\,e^{iS_\lambda[\vp]+i(J,\vp)},
$$
рассматривая слагаемые с $J(x)$ и $\lambda$ как малые возмущения.

Проведем сначала размерный анализ:
$$
\eqalign{
[S]&=1,
\cr
[\vp]&=[x]^{-(D-2)/2}=[m]^{(D-2)/2},
\cr
[J]&=[x]^{-(D+2)/2}=[m]^{(D+2)/2},
\cr
[\lambda]&=[x]^{D-4}=[m]^{4-D}.
}\eqno(2)
$$
Мы видим, что при $D<4$ величина $\lambda$ растет с увеличением
масштаба. В этом случае возмущение называется {\it релевантным}.
При $D>4$ величина $\lambda$ убывает на больших масштабах, и возмущение
называется {\it иррелевантным}. Наконец, при $D=4$ константа взаимодействия
безразмерна и возмущение является {\it маргинальным}. Как мы увидим
позже, оно на самом деле является иррелевантным, т.~е.\ становится
несущественным на больших масштабах. Это значит, что именно на больших
масштабах мы можем представлять себе частицы как почти не взаимодействующие.
Аналогичное поведение имеет место в КЭД. Противоположное --- в КХД.

Теперь давайте раскладывать производящий функционал
по степеням $J$ и $\lambda$
(мы опускаем нечетные степени $J(x)$, так как
их вклады равны нулю):
$$
\eqalignno{
Z[J]&=\int D\vp e^{iS_0[\vp]}
\biggl(
  1+{1\over2!}\int d^{2D}x\,iJ(x_1)\,iJ(x_2)\,\vp(x_1)\vp(x_2)
\cr
&\quad
  +{1\over4!}\int d^{4D}x\,
  iJ(x_1)\,iJ(x_2)\,iJ(x_3)\,iJ(x_4)\,\vp(x_1)\vp(x_2)\vp(x_3)\vp(x_4)
  +\cdots
\biggr)
\cr
&\quad\times
\biggl(
  1+{-i\lambda\over4!}\int d^Dy\,\vp^4(y)
  +{1\over2!}\left(-i\lambda\over4!\right)^2
    \int d^{2D}y\,\vp^4(y_1)\vp^4(y_2)
  +\cdots
\biggr)
}
$$
Вычислим общий член такого разложения
$$
\int D\vp\,e^{iS_0[\vp]}\times
{1\over m!n!}\left(-i\lambda\over4!\right)^n
\int d^{mD}x\,d^{nD}y\,iJ(x_1)\ldots iJ(x_m)\,
\vp(x_1)\ldots\vp(x_m)\vp^4(y_1)\ldots\vp^4(y_n).
$$
Мы должны перебрать все спаривания. При этом из точек
$x_1,\ldots,x_m$ выходит по одной линии, а из точек $y_1,\ldots,y_n$
--- по четыре. Далее эти линии нужно соединить всеми возможными способами.
Например, при $m=2$, $n=1$ мы получаем 2 графика
$$
\vphantom{\vrule height 1.5cm}
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <1cm,1cm> point at 0 0
\rl -1.0 0.0, 1.0 0.0
\circulararc 360 degrees from 0.0 0.0 center at 0.0 0.5
\bfpoint -1.0 0.0
\bfpoint 1.0 0.0
\bfpoint 0.0 0.0
\put {$x_1$} [Br] <-3pt,-2pt> at -1.0 0.0
\put {$x_2$} [Bl] <3pt,-2pt> at 1.0 0.0
\put {$y$} [tc] <0pt,-3pt> at 0.0 0.0
\put {$(a)$} [Bc] at 0.0 -1.0
\endpicture
\qquad\hbox{и}\qquad
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <1cm,1cm> point at 0 0
\rl -1.0 0.0, 1.0 0.0
\circulararc 360 degrees from 0.0 1.0 center at 0.5 1.0
\circulararc 360 degrees from 0.0 1.0 center at -0.5 1.0
\bfpoint -1.0 0.0
\bfpoint 1.0 0.0
\bfpoint 0.0 1.0
\put {$x_1$} [Br] <-3pt,-2pt> at -1.0 0.0
\put {$x_2$} [Bl] <3pt,-2pt> at 1.0 0.0
\put {$y$} [Bl] <3pt,0pt> at 0.0 1.0
\put {$(b)$} [Bc] at 0.0 -1.0
\endpicture
$$
Поскольку в каждой точке $y_i$ сидит 4 поля $\vp$, линии к ним
можно подводить $4!$ способов, что сокращает множетели $4!$ в знаменателе.
Кроме того, точки $y_1,\ldots,y_n$ следует переставить $n!$
способами. Вместо этого удобнее каждый график учесть один раз
(все равно мы интегрируем по $y_i$), но убрать $n!$ в знаменателе.
Наконец, если график обладает симметриями по отношению к перестановкам
линий, то соответствующие перестановки, учтенные ранее не приводят
к разным спариваниям. Следовательно, следует поделить все на число
перестановок симметрий графа. Например для графа $(a)$ число симметрий
равно 2, а для графа $(b)$ --- 8.

Итак, для вычисления вклада графа в производящий функционал, нужно выполнить
следующие шаги.

1. Сопоставить каждой вершине, в которую входит 4 линии, множитель
$-i\lambda$.

2. Сопоставить каждой линии пропагатор $G(y_i,y_j)$.

3. Проинтегрировать по $y_1,\ldots,y_n$.

4. Поделить ответ на число симметрий графа.

5. Сопоставить каждой вершине, в которую входит одна линия, множитель
$iJ(x_i)$.

6. Проинтегрировать по $x_1,\ldots,x_m$.

7. Поделить ответ на $m!$.

Чтобы вычислить $m$-точечную корреляционную функцию, следует проварьировать
$m$ раз по $iJ$, затем положить $J=0$ и поделить на $Z[0]$.
Варьирование по $iJ(x_i)$ выделит графы с $m$ ``внешними" вершинами
и сократит $m!$ в знаменателе. Теперь посмотрим, что такое $Z[0]$.
Оно состоит из диаграмм без внешних хвостов. Деление на него убьет
все диаграммы с поддиаграммами без внешних хвостов. Поэтому для вычисления
корреляционных функций следует

а) брать только диаграммы, не содержащие поддиаграмм, не связанных с
внешними точками $x_1,\ldots,x_m$;

б) опустить шаги 5--7.

В случае $m=2$, $n=1$ вклад дает только диаграмма $(a)$. Для двухточки
имеем
$$
\eqalignno{
\langle\vp(x_1)\vp(x_2)\rangle
&=\quad\vphantom{\vrule height 1cm depth 0cm}
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <1cm,1cm> point at 0 0
\rl -1.0 0.0, 1.0 0.0
\bfpoint -1.0 0.0
\bfpoint 1.0 0.0
\put {$x_1$} [Br] <-3pt,-2pt> at -1.0 0.0
\put {$x_2$} [Bl] <3pt,-2pt> at 1.0 0.0
\endpicture
\quad+\half\quad
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <1cm,1cm> point at 0 0
\rl -1.0 0.0, 1.0 0.0
\circulararc 360 degrees from 0.0 0.0 center at 0.0 0.5
\bfpoint -1.0 0.0
\bfpoint 1.0 0.0
\put {$x_1$} [Br] <-3pt,-2pt> at -1.0 0.0
\put {$x_2$} [Bl] <3pt,-2pt> at 1.0 0.0
\endpicture
\cr
&\vphantom{\vrule height 2cm depth 0.5cm}\quad+{1\over4}\quad
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <1cm,1cm> point at 0 0
\rl -1.0 0.0, 1.0 0.0
\circulararc 360 degrees from 0.0 0.0 center at 0.0 0.5
\circulararc 360 degrees from 0.0 1.0 center at 0.0 1.5
\bfpoint -1.0 0.0
\bfpoint 1.0 0.0
\put {$x_1$} [Br] <-3pt,-2pt> at -1.0 0.0
\put {$x_2$} [Bl] <3pt,-2pt> at 1.0 0.0
\endpicture
\quad+{1\over4}\quad
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <1cm,1cm> point at 0 0
\rl -1.0 0.0, 2.0 0.0
\circulararc 360 degrees from -0.25 0.0 center at -0.25 0.5
\circulararc 360 degrees from 1.25 0.0 center at 1.25 0.5
\bfpoint -1.0 0.0
\bfpoint 2.0 0.0
\put {$x_1$} [Br] <-3pt,-2pt> at -1.0 0.0
\put {$x_2$} [Bl] <3pt,-2pt> at 2.0 0.0
\endpicture
\quad+{1\over6}\quad
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <1cm,1cm> point at 0 0
\rl -1.0 0.0, 1.0 0.0
\circulararc 360 degrees from -0.5 0.0 center at 0.0 0.0
\bfpoint -1.0 0.0
\bfpoint 1.0 0.0
\put {$x_1$} [Br] <-3pt,-2pt> at -1.0 0.0
\put {$x_2$} [Bl] <3pt,-2pt> at 1.0 0.0
\endpicture
\cr
&\quad+\cdots
}
$$
Для четырехточки имеем
$$
\eqalignno{
\langle\vp(x_1)\ldots\vp(x_4)\rangle
&=\quad\vphantom{\vrule height 1.5cm depth 1.5cm}
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <1cm,1cm> point at 0 0
\rl -1.0 -1.0, 1.0 -1.0
\rl -1.0 1.0, 1.0 1.0
\bfpoint -1.0 -1.0
\bfpoint -1.0 1.0
\bfpoint 1.0 -1.0
\bfpoint 1.0 1.0
\put {$x_1$} [Br] <-3pt,-2pt> at -1.0 -1.0
\put {$x_2$} [Bl] <3pt,-2pt> at 1.0 -1.0
\put {$x_3$} [Bl] <3pt,-2pt> at 1.0 1.0
\put {$x_4$} [Br] <-3pt,-2pt> at -1.0 1.0
\endpicture
\quad+\quad
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <1cm,1cm> point at 0 0
\rl -1.0 -1.0, -1.0 1.0
\rl 1.0 -1.0, 1.0 1.0
\bfpoint -1.0 -1.0
\bfpoint -1.0 1.0
\bfpoint 1.0 -1.0
\bfpoint 1.0 1.0
\put {$x_1$} [Br] <-3pt,-2pt> at -1.0 -1.0
\put {$x_2$} [Bl] <3pt,-2pt> at 1.0 -1.0
\put {$x_3$} [Bl] <3pt,-2pt> at 1.0 1.0
\put {$x_4$} [Br] <-3pt,-2pt> at -1.0 1.0
\endpicture
\quad+\quad
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <1cm,1cm> point at 0 0
\ln -1.0 -1.0, 1.0 1.0
\ln -1.0 1.0, -0.1 0.1 \ln 0.1 -0.1, 1.0 -1.0
%\circulararc 180 degrees from 0.2 -0.2 center at 0.0 0.0
\bfpoint -1.0 -1.0
\bfpoint -1.0 1.0
\bfpoint 1.0 -1.0
\bfpoint 1.0 1.0
\put {$x_1$} [Br] <-3pt,-2pt> at -1.0 -1.0
\put {$x_2$} [Bl] <3pt,-2pt> at 1.0 -1.0
\put {$x_3$} [Bl] <3pt,-2pt> at 1.0 1.0
\put {$x_4$} [Br] <-3pt,-2pt> at -1.0 1.0
\endpicture
\cr
&\quad+\quad\vphantom{\vrule height 1.5cm depth 1.5cm}
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <1cm,1cm> point at 0 0
\ln -1.0 -1.0, 1.0 1.0
\ln -1.0 1.0, 1.0 -1.0
\bfpoint -1.0 -1.0
\bfpoint -1.0 1.0
\bfpoint 1.0 -1.0
\bfpoint 1.0 1.0
\put {$x_1$} [Br] <-3pt,-2pt> at -1.0 -1.0
\put {$x_2$} [Bl] <3pt,-2pt> at 1.0 -1.0
\put {$x_3$} [Bl] <3pt,-2pt> at 1.0 1.0
\put {$x_4$} [Br] <-3pt,-2pt> at -1.0 1.0
\endpicture
\quad+\half\quad
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <1cm,1cm> point at 0 0
\rl -1.0 -1.0, 1.0 -1.0
\rl -1.0 1.0, 1.0 1.0
\circulararc 360 degrees from 0.0 -1.0 center at 0.0 -0.5
\bfpoint -1.0 -1.0
\bfpoint -1.0 1.0
\bfpoint 1.0 -1.0
\bfpoint 1.0 1.0
\put {$x_1$} [Br] <-3pt,-2pt> at -1.0 -1.0
\put {$x_2$} [Bl] <3pt,-2pt> at 1.0 -1.0
\put {$x_3$} [Bl] <3pt,-2pt> at 1.0 1.0
\put {$x_4$} [Br] <-3pt,-2pt> at -1.0 1.0
\endpicture
\quad+\hbox{(еще 5 диаграмм)}
\cr
&\quad+\half\quad\vphantom{\vrule height 1.5cm depth 1.5cm}
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <1cm,1cm> point at 0 0
\rl -1.0 -1.0, 1.0 -1.0
\rl -1.0 1.0, 1.0 1.0
\circulararc 60 degrees from 0.0 -1.0 center at -1.732 0.0
\circulararc 60 degrees from 0.0 1.0 center at 1.732 0.0
\bfpoint -1.0 -1.0
\bfpoint -1.0 1.0
\bfpoint 1.0 -1.0
\bfpoint 1.0 1.0
\put {$x_1$} [Br] <-3pt,-2pt> at -1.0 -1.0
\put {$x_2$} [Bl] <3pt,-2pt> at 1.0 -1.0
\put {$x_3$} [Bl] <3pt,-2pt> at 1.0 1.0
\put {$x_4$} [Br] <-3pt,-2pt> at -1.0 1.0
\endpicture
\quad+\hbox{(еще 2 диаграммы)}
\cr
&\quad+\hbox{(еще 4 связных диаграммы с одной петлей)}
\cr
&\quad+\hbox{(еще 15 диаграмм с 2 петлями)}+\cdots.
}
$$

Переформулируем правила вычисления корреляционных функций
в импульсном пространстве.

1. Сопоставить каждой вершине, в которую входит 4 линии, множитель
$-i\lambda$.

2. Нарисовать на каждой линии стрелки в произвольных направлениях и
написать у каждой стрелки импульсную переменную $p^{(l)}$ так, чтобы в
каждой вершине суммарный втекающий импульс равнялся нулю.
Сопоставить каждой линии пропагатор $G(p^{(l)})$.

3. Проинтегрировать по независимым импульсным переменным
с весом $d^Dp/(2\pi)^D$.

4. Поделить ответ на число симметрий графа (без стрелок).

5. Умножить все на $(2\pi)^D\delta(p_1+\cdots+p_m)$ и отождествить
$p_i$ с $p^{(l)}$ на соответствующей линии, если $p^{(l)}$ вытекает
из диаграммы, и с $-p^{(l)}$, если втекает. Ответ даст нам
$\langle\vp_{p_1}\ldots\vp_{p_m}\rangle$.

Понятно, что для действий вида
$$
S[\vp]=\int d^Dx\,\left(\half(\d_\mu\vp)^2-{m^2\over2}\vp^2
-\sum{\lambda_k\over k!}\vp^k\right)
$$
правила аналогичны, причем каждой вершине с к линиями отвечает
множитель $-i\lambda_k$. Отметим, что
$$
[\lambda_k]=[x]^{(k/2-1)D-k}=[m]^{k-(k/2-1)D}.
$$
Соответственно, критическая размерность падает с ростом $k$.

Легко также понять, как модифицируются правила в случае нескольких
сортов частиц.

Рассмотрим теперь теорию типа $\vp^4$ для комплексного бозона:
$$
S[\vp]=\int d^Dx\,\left(|\d_\mu\vp|^2-m^2|\vp|^2
-{\lambda\over4}|\vp|^4\right).
$$
В принципе, можно рассмотреть взаимодействие типа
$\lambda_1(\vp^4+\bar\vp^4)$. Однако в этом случае
нарушается симметрия $\vp\to e^{i\alpha}\vp$ и к
действию можно добавить еще один релевантный член
$\mu(\vp^2+\bar\vp^2)$, описывающий превращение
частицы в античастицу и наоборот.
Это означает что частица
и античастица не являются собственными состояниями
Гамильтониана даже в квадратичном приближении. То есть
на самом деле имеется две нейтральные частицы с массами
$m_{1,2}=m\pm\mu$. Подобная ситуация имеет место в случае
$K^0$-мезона.

Единственное отличие в диаграммной технике состоит
в том, что ребра графов теперь направлены, а в каждую
вершину входит и выходит по две линии. Соответственно
меняются симметрийные множители диаграмм. Например:
$$
\eqalignno{
\langle\vp(x_1)\bar\vp(x_2)\rangle
&=\quad\vphantom{\vrule height 1cm depth 0cm}
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <1cm,1cm> point at 0 0
\rl -1.0 0.0, 1.0 0.0
\ar -0.09 0.0, -0.1 0.0
\bfpoint -1.0 0.0
\bfpoint 1.0 0.0
\put {$x_1$} [Br] <-3pt,-2pt> at -1.0 0.0
\put {$x_2$} [Bl] <3pt,-2pt> at 1.0 0.0
\endpicture
\quad+\quad
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <1cm,1cm> point at 0 0
\rl -1.0 0.0, 1.0 0.0
\ar 0.41 0.0, 0.4 0.0 \ar -0.59 0.0, -0.6 0.0
\circulararc 360 degrees from 0.0 0.0 center at 0.0 0.5
\ar -0.09 1.0, -0.1 1.0
\bfpoint -1.0 0.0
\bfpoint 1.0 0.0
\put {$x_1$} [Br] <-3pt,-2pt> at -1.0 0.0
\put {$x_2$} [Bl] <3pt,-2pt> at 1.0 0.0
\endpicture
\cr
&\quad+\quad\vphantom{\vrule height 2cm depth 0.5cm}
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <1cm,1cm> point at 0 0
\rl -1.0 0.0, 1.0 0.0
\ar 0.41 0.0, 0.4 0.0 \ar -0.59 0.0, -0.6 0.0
\circulararc 360 degrees from 0.0 0.0 center at 0.0 0.5
\circulararc 360 degrees from 0.0 1.0 center at 0.0 1.5
\ar 0.5 0.59, 0.5 0.6 \ar -0.5 0.41, -0.5 0.4
\ar -0.09 2.0, -0.1 2.0
\bfpoint -1.0 0.0
\bfpoint 1.0 0.0
\put {$x_1$} [Br] <-3pt,-2pt> at -1.0 0.0
\put {$x_2$} [Bl] <3pt,-2pt> at 1.0 0.0
\endpicture
\quad+\quad
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <1cm,1cm> point at 0 0
\rl -1.0 0.0, 2.0 0.0
\ar 1.56 0.0, 1.55 0.0 \ar 0.36 0.0, 0.35 0.0 \ar -0.74 0.0, -0.75 0.0
\circulararc 360 degrees from -0.25 0.0 center at -0.25 0.5
\circulararc 360 degrees from 1.25 0.0 center at 1.25 0.5
\ar -0.39 1.0, -0.4 1.0
\ar 1.11 1.0, 1.1 1.0
\bfpoint -1.0 0.0
\bfpoint 2.0 0.0
\put {$x_1$} [Br] <-3pt,-2pt> at -1.0 0.0
\put {$x_2$} [Bl] <3pt,-2pt> at 2.0 0.0
\endpicture
\quad+\half\quad
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <1cm,1cm> point at 0 0
\rl -1.0 0.0, 1.0 0.0
\ar 0.66 0.0, 0.65 0.0 \ar -0.14 0.0, -0.15 0.0 \ar -0.79 0.0, -0.8 0.0
\circulararc 360 degrees from -0.5 0.0 center at 0.0 0.0
\ar 0.14 0.5, 0.15 0.5 \ar 0.14 -0.5, 0.15 -0.5
\bfpoint -1.0 0.0
\bfpoint 1.0 0.0
\put {$x_1$} [Br] <-3pt,-2pt> at -1.0 0.0
\put {$x_2$} [Bl] <3pt,-2pt> at 1.0 0.0
\endpicture
\cr
&\quad+\cdots
}
$$



\end
