\input pictex

\tolerance=2000
\def\d{\partial}
\def\qd{\dot q}
\def\qdd{\ddot q}
\def\vp{\varphi}
\def\vpd{\dot\varphi}
\def\vpb{{\bar\vp}}
\def\vpt{{\tilde\vp}}
\def\ve{\varepsilon}
\def\vpdd{\ddot\varphi}
\def\ta{{\tilde a}}
\def\tb{{\tilde b}}
\def\x{{\bf x}}
\def\y{{\bf y}}
\def\p{{\bf p}}
\def\half{{1\over2}}
\def\H{{\cal H}}
\def\F{{\cal F}}
\def\O{{\cal O}}
\def\D{{\cal D}}
\def\L{{\cal L}}
\def\M{{\cal M}}
\def\const{\mathop{\rm const}\nolimits}
\def\lvac{\langle0|}
\def\rvac{|0\rangle}
\def\Sym{\mathop{\rm Sym}\limits}
\def\phys{{\rm phys}}
\def\lc{\mathopen{\,:}}
\def\rc{\mathclose{:\,}}
%%%%%%% For figures: %%%%%%%
\def\ar#1 #2, #3 #4 {\arrow <0.2truecm> [0.15,0.4] from #1 #2 to #3 #4 }
%\def\ln#1 #2, #3 #4 {\arrow <0.01truecm> [0,0] from #1 #2 to #3 #4 }
\catcode`!=11
\def\ln#1 #2, #3 #4 {\!start(#1,#2)\!ljoin(#3,#4)}
\catcode`!=12
\def\rl#1 #2, #3 #4 {\putrule from #1 #2 to #3 #4 }
\def\trl#1 #2, #3 #4 {\linethickness .8pt
	\putrule from #1 #2 to #3 #4 \linethickness .4pt}
\def\circle #1 #2, #3 #4 {\circulararc 360 degrees from #1 #2 center at #3 #4 }
\def\point#1 #2 {\put{\hbox{\kern -1pt .}} [Bl] at #1 #2 }
\def\bfpoint#1 #2 {%
\put{\hbox{\kern -2pt \raise -2.3pt%
\hbox{$\textstyle\bullet$}}} [Bl] at #1 #2 }
\def\figcap#1#2\par{\medskip{\narrower\eightpoint\noindent
	Fig.~#1. \ignorespaces#2\par}\medskip}
\def\mpicture#1#2\endmpicture{\quad\vcenter{\hbox{%
	\vphantom{\vrule height#1 depth#1}%
	\beginpicture
	\setcoordinatesystem units <1cm,1cm> point at 0 0
	#2
	\endpicture}}\quad}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

{\bf
\centerline{Лекция 5}
\centerline{Эффективное действие, одночастично-неприводимые части}
\centerline{и перенормировки}
}
\bigskip
Рассмотрим опять теорию вещественного скалярного бозона $\vp(x)$.
Рассмотрим производящий функционал
$$
Z[J]=e^{iF[J]}=\int D\vp\,e^{iS[\vp]+i(J,\vp)}.
$$
$F[J]$ называют по аналогии со статфизикой {\it свободной энергией}.
Теперь введем {\it классическое поле\/}:
$$
\vpt(x)={\delta F[J]\over\delta J(x)}=\langle\vp(x)\rangle_{J}
$$
--- среднее от поля $\vp$ в присутствии источника. Если это соотношение
взаимно-однозначно, то оно определяет функционал $J[\vpt](x)$. Для простоты
будем считать, что при $J=0$ также $\vpt=0$.
Введем {\it эффективное действие\/}:
$$
\Gamma[\vpt]=F[J]-(J,\vpt),
\eqno(1)
$$
где $J$ понимается как $J[\vpt]$. Через $\Gamma[\vp]$ классическое поле
определяется уравнением
$$
\left.{\delta\Gamma[\vp]\over\delta\vp(x)}\right|_{\vp=\vpt}=-J(x).
$$
Запишем эффективное действие в виде разложения
$$
-i\Gamma[\vp]
=\sum_{n=0}^\infty {1\over n!}\int d^{Dn}x\,
\Gamma_n(x_1,\ldots,x_n)\vp(x_1)\ldots\vp(x_n).
$$
Мы хотим научиться вычислять $\Gamma_n$.
Очевидно, что $\Gamma_0$ несущественно, а $\Gamma_1(x)=iJ(x)=0$.
Что касается $\Gamma_2$, то
$$
\eqalignno{
\Gamma_2(x_1,x_2)
&=\left.
i\delta^2\Gamma[\vp]\over\delta\vp(x_1)\,\delta\vp(x_2)
\right|_{\vp=0}
\cr
&=-i\left.\delta J(x_1)\over\delta\vpt(x_2)\right|_{\vpt=0}
=-i\left[
\delta\vpt(x_2)\over\delta J(x_1)
\right]^{-1}_{J=0}
=-i\left[
\delta^2 F[J]\over\delta J(x_1)\,\delta J(x_2)
\right]^{-1}_{J=0}
\cr
&=-[\langle\vp(x_1)\vp(x_2)\rangle
-\langle\vp(x_1)\rangle\langle\vp(x_2)\rangle]^{-1}
\cr
&=-G^{-1}(x_1,x_2),
&(2)}
$$
где $[\ldots]^{-1}$ означает ядро обратного оператора, а $G(x_1,x_2)$
--- {\bf точный} пропагатор, т.~е.\ парная корреляционная
функция возмущенной теории. Теперь рассмотрим диаграммную технику
для $\Gamma_2$. Пусть
$$
\Gamma_2(x_1,x_2)
=-G_0^{-1}(x_1,x_2)-i\Sigma(x_1,x_2)
=-G_0^{-1}(x_1,x_2)+
\mpicture{0.5cm}
\rl -0.8 0.0 , -0.5 0.0
\rl 0.5 0.0 , 0.8 0.0
\setdashes
\circle -0.5 0.0 , 0.0 0.0
\setsolid
\put {$x_1$} [Br] <-2pt,3pt> at -0.5 0.0
\put {$x_2$} [Bl] <2pt,3pt> at 0.5 0.0
\put {$-i\Sigma$} [Bc] <0pt,-2.5pt> at 0.0 0.0
\endmpicture
$$
($G_0$ --- невозмущенный пропагатор,
$-i\Sigma$ --- {\it массовый оператор\/}). Тогда (в операторном виде)
$$
\eqalignno{
G
&=G_0+G_0(-i\Sigma)G_0+G_0(-i\Sigma)G_0(-i\Sigma)G_0+\cdots
\cr
&=
\mpicture{0.5cm}
\rl -0.5 0.0, 0.5 0.0
\bfpoint -0.5 0.0
\bfpoint 0.5 0.0
\endmpicture
+
\mpicture{0.5cm}
\rl -1.0 0.0 , -0.5 0.0
\rl 0.5 0.0 , 1.0 0.0
\bfpoint -1.0 0.0
\bfpoint 1.0 0.0
\setdashes
\circle -0.5 0.0 , 0.0 0.0
\setsolid
\put {$-i\Sigma$} [Bc] <0pt,-2.5pt> at 0.0 0.0
\endmpicture
+
\mpicture{0.5cm}
\rl -1.0 0.0 , -0.5 0.0
\rl 0.5 0.0 , 1.0 0.0
\rl 2.0 0.0 , 2.5 0.0
\bfpoint -1.0 0.0
\bfpoint 2.5 0.0
\setdashes
\circle -0.5 0.0 , 0.0 0.0
\circle 1.0 0.0 , 1.5 0.0
\setsolid
\put {$-i\Sigma$} [Bc] <0pt,-2.5pt> at 0.0 0.0
\put {$-i\Sigma$} [Bc] <0pt,-2.5pt> at 1.5 0.0
\endmpicture
+\cdots.
&(3)}
$$
Очевидно, что $-i\Sigma$ дается всеми {\it одночастично-неприводимыми\/}
диаграммами, т.~е.\ диаграммами, которые остаются связными после разрезания
любой внутренней линии. Кроме того, внешним линиям не сопоставляется
пропагаторов.

Рассмотрим теперь $\Gamma_3$:
$$
\eqalignno{
\Gamma_3(x_1,x_2,x_3)
&=\left.
\delta\Gamma_{2,J}(x_1,x_2)\over\delta \vpt(x_3)
\right|_{J=0}
\cr
&=-\int d^Dy_3\,\left.
{\delta[\langle\vp(x_1)\vp(x_2)\rangle_J-\vpt(x_1)\vpt(x_2)]^{-1}
\over\delta J(y_3)}
{\delta J(y_3)\over\delta\vpt(x_3)}
\right|_{J=0}
\cr
&=-\int d^{3D}y\,
\Gamma_{2,J}(x_1,y_1)\Gamma_{2,J}(x_2,y_2)\Gamma_{2,J}(x_3,y_3)
\cr
&\quad\times
\bigl(\langle\vp(y_1)\vp(y_2)\vp(y_3)\rangle_J
\cr
&\qquad
-\vpt(y_1)\langle\vp(y_2)\vp(y_3)\rangle_J
-\vpt(y_2)\langle\vp(y_1)\vp(y_3)\rangle_J
-\vpt(y_3)\langle\vp(y_1)\vp(y_2)\rangle_J
\cr
&+3\vpt(y_1)\vpt(y_2)\vpt(y_3)\bigr)
\biggr|_{J=0}
\cr
&=\int d^{3D}y\,
G^{-1}(x_1,y_1)G^{-1}(x_2,y_2)G^{-1}(x_3,y_3)
G(y_1,y_2,y_3).
}
$$
Множители $G^{-1}(x_i,y_i)$ (обратные {\bf точные} пропагаторы)
убирают все хвосты, т.~е.\ опять же $\Gamma_3$ дается
одночастично-неприводимыми диаграммами, внешним линиям которых не
отвечают невозмущенные пропагаторы.

\proclaim Задача 1. Показать, что
$$
\eqalignno{
\Gamma_4(x_1,\ldots,x_4)
&=\int d^{4D}y\,
\prod_{i=1}^4 G^{-1}(x_i,y_i)
\biggl(G(y_1,\ldots,y_4)
\cr
&\quad
-\int d^{2D}z\,
\bigl(G(y_1,y_2,z_1)G^{-1}(z_1,z_2)G(z_2,y_3,y_4)
+(\hbox{еще 2 слагаемых})\bigr)
\biggr),
}
$$
что подтверждает сформулированное правило.

Функции $\Gamma_n$ при $n>2$ называют {\it вершинными функциями}.
Они дают одночастично-неприводимые вклады в корреляционные функции
и матрицы рассеяния и позволяют существенно сократить их вычисление.
Кроме того, именно эффективное действие позволяет сделать правильный
классический предел.

Давайте займемся практическим вычислением одночастично-неприводимых
частей для модели $\vp^4$ с действием
$$
S_\lambda[\vp]=\int d^Dx\,\left(\half\d_\mu\vp\,\d^\mu\vp
-{m^2\over2}\vp^2-{\lambda\mu^{4-D}\over4!}\vp^4\right).
\eqno(4)
$$
Параметр $\mu$ размерности массы введен для того, чтобы сделать $\lambda$
безразмерной.

Давайте начнем с собственной энергии.
В первом порядке
$$
-i\Sigma^{(1)}(p)=\half
\mpicture{1cm}
\rl -0.7 0.0 , 0.7 0.0
\circle 0.0 0.0 , 0.0 0.5
\endmpicture
={-i\lambda\mu^{4-D}\over2}\int_M{d^Dq\over(2\pi)^D}\,{i\over q^2-m^2+i0}.
$$
Интеграл расходится при $D\ge2$. Давайте тем не менее вычислим его
при формальном комплексном $D$. Для этого перейдем к евклидовой области
интегрирования $q^0\to iq^0$, ${\bf q}\to-{\bf q}$:
$$
\Sigma^{(1)}(p)
={\lambda\mu^{4-D}\over2}\int_E{d^Dq\over(2\pi)^D}\,{1\over q^2+m^2}.
$$
Рассмотрим координаты
$$
\eqalign{
q^0&=q\cos\theta_1,\cr
q^1&=q\sin\theta_1\cos\theta_2,\cr
&\cdots\cr
q^{D-2}&=q\sin\theta_1\sin\theta_2\ldots\sin\theta_{D-2}\cos\vp,\cr
q^{D-1}&=q\sin\theta_1\sin\theta_2\ldots\sin\theta_{D-2}\sin\vp,\cr
\span
0\le\theta_i<\pi\quad(i=1,\ldots,D-2),\qquad 0\le\vp<2\pi.
}
$$
Тогда
$$
d^Dq=q^{D-1}\,dq\,d\vp\prod_{k=1}^{D-2}\sin^k\theta_k\,d\theta_k.
\eqno(5)
$$
С помощью формулы
$$
2\int_0^{\pi/2}d\theta(\sin\theta)^{2m-1}(\cos\theta)^{2n-1}d\theta
={\Gamma(m)\Gamma(n)\over\Gamma(m+n)}
\eqno(6)
$$
(эквивалентной стандартной формуле
$$
\int_0^1 dx\,x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}
={\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)\over\Gamma(\alpha+\beta)}
\eqno(6')
$$
для бета-функции)
получаем
$$
\int_0^\pi(\sin\theta)^k=\sqrt\pi{\Gamma\left(k+1\over2\right)\over
\Gamma\left(k+2\over2\right)}.
\eqno(7)
$$
Отсюда получаем интегрированием по углам
$$
d^Dq\to{2\pi^{D/2}\over\Gamma(D/2)}q^{D-1}\,dq
\eqno(8)
$$

Получаем
$$
\eqalignno{
\Sigma^{(1)}(p)
&={\pi^{D/2}\lambda\mu^{4-D}\over(2\pi)^D\Gamma(D/2)}
\int_0^\infty{q^{D-1}\,dq\over q^2+m^2}
={\pi^{D/2}\lambda\mu^{4-D}m^{D-2}\over2(2\pi)^D\Gamma(D/2)}
\int_0^1 dx\,x^{-D/2}(1-x)^{D/2-1}
\cr
&=\lambda m^2\left(m\over\mu\right)^{D-4}
{\pi^{D/2}\over2(2\pi)^D}\Gamma\left(2-D\over2\right).
&(9)}
$$
Мы видим, что $\Sigma^{(1)}$ расходится при $D\to4$. То, что мы
сделали называется {\it размерной регуляризацией\/}. Поскольку интеграл
в физическом случае $D=4$ расходится, мы ввели формальный непрерывный
параметр $D$, небольшая вариация которого делает интеграл конечным.

Как интерпретировать ненулевое значение $\Sigma^{(1)}$ при всех $p$?
Давайте введем величину $m^2_\phys=m^2+\Sigma^{(1)}$. Тогда
$$
G(p)={i\over p^2-m^2_\phys+i0}.
$$
Это значит, что $m_\phys$ является физической массой, а $m$ ---
просто параметр в действии. Понятно, что $m_\phys$ должно быть
конечной величиной, а $m$ может стремиться к бесконечности при
$D\to4$.

В общем случае
$$
\Sigma(p)=\Sigma_0+\Sigma_1(p^2-m_\phys^2)+o(p^2-m_\phys^2)
\quad\hbox{при}\quad
p^2\to m_\phys^2.
\eqno(10)
$$
Тогда
$$
G(p)={iZ_\vp\over p^2-m_\phys^2+i0},
$$
где
$$
\eqalign{
m_\phys^2&=m^2+\Sigma_0,\cr
Z_\vp&=(1-\Sigma_1)^{-1}
}
$$
Параметр $Z_\vp$ описывает перенормировку волновой функции $\vp$.
Кроме того, как мы увидим в следующий раз, вершинный оператор $\Gamma_4$
приводит к (бесконечной) перенормировке константы связи $\lambda$.

Мы можем действовать несколько по-другому. Пусть $\vp$, $m$, $\lambda$
--- {\bf физические} волновая функция, масса, константа связи. Мы запишем
действие в виде
$$
S=S_0+S_1,
\eqno(11)
$$
где
$$
\eqalign{
S_0
&=\int d^Dx\,\left(\half(\d_\mu\vp)^2-{m^2\over2}\vp^2\right),
\cr
S_1
&=\int d^Dx\,\left(
{Z_\vp-1\over2}(\d_\mu\vp)^2-{(Z_\vp Z_m^2-1)m^2\over2}\vp^2
-{\lambda\mu^{4-D}\over4!}\vp^4
-{(Z_\vp^2 Z_\lambda-1)\lambda\mu^{4-D}\over4!}\vp^4
\right).
}\eqno(12)
$$
{\it Затравочные\/} волновая функция, масса и константа связи
$\vp_0$, $m_0$, $\lambda_0$ из действия (4) даются
$$
\eqalign{
\vp_0&=Z_\vp^{1/2}\vp,\cr
m_0&=Z_m m,\cr
\lambda_0&=Z_\lambda\lambda.
}\eqno(13)
$$
$S_0$ --- действие невозмущенной теории свободного бозона,
а $S_1$ --- возмущение, содержащее 4 типа взаимодействий:

1,2. Контрчлены для массы и волновой функции:
$$
\mpicture{0.2cm}
\rl -0.5 0.0 , 0.5 0.0
\ln 0.1 0.1 , -0.1 -0.1
\ln 0.1 -0.1 , -0.1 0.1
\endmpicture
=i(Z_\vp-1)p^2-i(Z_\vp Z_m^2-1)m^2
$$
(в импульсном представлении).

3. Физическое возмущение:
$$
\mpicture{0.5cm}
\ln 0.5 0.5 , -0.5 -0.5
\ln 0.5 -0.5 , -0.5 0.5
\endmpicture
=-i\lambda\mu^{4-D}.
$$

4. Контрчлен к константе связи:
$$
\mpicture{0.5cm}
\ln 0.5 0.5 , -0.5 -0.5
\ln 0.5 -0.5 , -0.5 0.5
\bfpoint 0.0 0.0
\endmpicture
=-i(Z_\vp^2 Z_\lambda-1)\lambda\mu^{4-D}.
$$

Вычисление контрчленов будет описано в следующей лекции. Предполагается,
что все они (хотя и бесконечны) имеют порядок не ниже $\lambda$, так
что можно пользоваться теорией возмущений.

Возникает вопрос, не нужно ли вводить других контрчленов, отвечающих
новым взаимодействиям, чтобы обеспечить конечность физически
измеримых величин. Это вопрос о {\it перенормируемости\/} теории.
Известно, что теория $\vp^4$ перенормируема при $D\leq4$.

\proclaim Задача 2. Показать, что в первом порядке по $\lambda$ имеется
только один контрчлен, отвечающий $\Sigma^{(1)}$ и он может быть
устранен с помощью операции нормального произведения $\lc\ldots\rc$:
$$
\eqalign{
1
&=\lc1\rc,
\cr
\vp(x)
&=\lc\vp(x)\rc,
\cr
\lc\vp(x_1)\ldots\vp(x_n)\rc\vp(x_{n+1})
&=\lc\vp(x_1)\ldots\vp(x_{n+1})\rc
+\sum_{k=1}^n
\lc\vp(x_1)\ldots\widehat{\vp(x_k)}\ldots\vp(x_n)\rc
\langle\vp(x_k)\vp(x_{n+1})\rangle.
}
$$
Перенормированное в первом порядке действие можно записать в виде
$$
S=\int d^Dx\,\lc\left(\half\d_\mu\vp\,\d^\mu\vp
-{m^2\over2}\vp^2-{\lambda\mu^{4-D}\over4!}\vp^4\right)\rc.
$$





\end
