\input pictex

\tolerance=2000
\def\d{\partial}
\def\qd{\dot q}
\def\qdd{\ddot q}
\def\vp{\varphi}
\def\vpd{\dot\varphi}
\def\vpb{{\bar\vp}}
\def\vpt{{\tilde\vp}}
\def\ve{\varepsilon}
\def\vpdd{\ddot\varphi}
\def\ta{{\tilde a}}
\def\tb{{\tilde b}}
\def\x{{\bf x}}
\def\y{{\bf y}}
\def\p{{\bf p}}
\def\half{{1\over2}}
\def\H{{\cal H}}
\def\F{{\cal F}}
\def\O{{\cal O}}
\def\D{{\cal D}}
\def\L{{\cal L}}
\def\M{{\cal M}}
\def\C{{\bf C}}
\def\const{\mathop{\rm const}\nolimits}
\def\lvac{\langle0|}
\def\rvac{|0\rangle}
\def\Sym{\mathop{\rm Sym}\limits}
\def\phys{{\rm phys}}
\def\lc{\mathopen{\,:}}
\def\rc{\mathclose{:\,}}
%%%%%%% For figures: %%%%%%%
\def\ar#1 #2, #3 #4 {\arrow <0.2truecm> [0.15,0.4] from #1 #2 to #3 #4 }
%\def\ln#1 #2, #3 #4 {\arrow <0.01truecm> [0,0] from #1 #2 to #3 #4 }
\catcode`!=11
\def\ln#1 #2, #3 #4 {\!start(#1,#2)\!ljoin(#3,#4)}
\catcode`!=12
\def\rl#1 #2, #3 #4 {\putrule from #1 #2 to #3 #4 }
\def\trl#1 #2, #3 #4 {\linethickness .8pt
	\putrule from #1 #2 to #3 #4 \linethickness .4pt}
\def\circle #1 #2, #3 #4 {\circulararc 360 degrees from #1 #2 center at #3 #4 }
\def\point#1 #2 {\put{\hbox{\kern -1pt .}} [Bl] at #1 #2 }
\def\bfpoint#1 #2 {%
\put{\hbox{\kern -2pt \raise -2.3pt%
\hbox{$\textstyle\bullet$}}} [Bl] at #1 #2 }
\def\figcap#1#2\par{\medskip{\narrower\eightpoint\noindent
	Fig.~#1. \ignorespaces#2\par}\medskip}
\def\mpicture#1#2\endmpicture{\quad\vcenter{\hbox{%
	\vphantom{\vrule height#1 depth#1}%
	\beginpicture
	\setcoordinatesystem units <1cm,1cm> point at 0 0
	#2
	\endpicture}}\quad}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

{\bf
\centerline{Лекция 7}
\centerline{Перенормировки, перенормируемость и ренормгруппа}
}
\bigskip
Размерная регуляризация --- не единственная. Рассмотрим другие регуляризации.

{\it 1. Обрезание в импульсном пространстве\/} состоит в том, что
интеграл $\int_E{d^4q\over(2\pi)^4}$ заменяется на
$\int_{E,\ q^2\le\Lambda^2}{d^4q\over(2\pi)^4}$. Интеграл конечен при
конечном параметре обрезания $\Lambda$. После вычисления контрчленов
берется предел $\Lambda\to\infty$. Параметр $\Lambda$ аналогичен
параметру $\mu e^{1/2\ve}$ в размерной регуляризации. Регуляризация
обрезанием требует некоторой аккуратности, так как может зависеть от
центра сферы интегрирования, а при взятии интегралов по частям следует
заботиться о граничных вкладах.

{\it 2. Регуляризация Паули--Вилларса\/} состоит в замене пропагатора
$G_0(p)={i\over p^2-m^2+i0}$ на
$$
G_0(p;M_1,M_2,\ldots,M_k)
={i\over p^2-m^2+i0}-\sum_{j=1}^k {iA_j\over p^2-M^2+i0}.
$$
Если
$$
\sum_{j=1}^k M_j^nA_j=m^n\qquad
n=0,1,\ldots,k-1,
$$
то
$$
G_0(p;M_1,M_2,\ldots,M_k)\sim p^{-2k-2}
\quad\hbox{при}\quad p^2\to\infty.
$$
При $M_j\to\infty$ регуляризованный пропагатор переходит в обычный.
Это самый универсальный метод регуляризации но и технически наиболее
сложный.

Теперь обратимся к вопросу о перенормируемости теории $\vp^4$.
Назовем {\it индексом расходимости\/} диаграммы суммарную степень
импульсов $q$ и дифференциалов $dq$. Иными словами, индекс расходимости
$I$ связан с числом петель $L$ и числом внутренних линий $M$ соотношением
$$
I=DL-2M.
$$
Если индекс диаграммы отрицателен, диаграмма сходится. Если он равен
нулю, диаграмма логарифмически расходится. Если он положителен,
диаграмма расходится степенным образом.

Рассмотрим простейшие диаграммы:
$$
\matrix{
\hbox{диаграмма}&I(D)&I(4)&I(3)&I(2)\cr
\mpicture{0.5cm}
\rl -0.5 0.0 , 0.5 0.0
\circle -0.25 0.0 , 0.0 0.0
\endmpicture
&2D-6&2&0&-2\cr
\mpicture{0.5cm}
\rl -0.5 0.25 , 0.5 0.25
\rl -0.5 -0.25 , 0.5 -0.25
\circle 0.0 0.25 , 0.0 0.0
\endmpicture
&D-4&0&-1&-2\cr
\mpicture{0.75cm}
\rl -0.5 0.5 , 0.5 0.5
\rl -0.5 0.0 , 0.5 0.0
\rl -0.5 -0.5 , 0.5 -0.5
\rl -0.25 -0.25 , -0.25 0.25
\rl 0.25 -0.25 , 0.25 0.25
\circulararc 180 degrees from -0.25 -0.25 center at 0.0 -0.25
\circulararc 180 degrees from 0.25 0.25 center at 0.0 0.25
\endmpicture
&2D-10&-2&-4&-6}
$$
Мы видим, что при $D=4$
простейшая ``двуногая" диаграмма расходится квадратично.
Чтобы сделать ее конечной, надо дважды продифференцировать ее по $p^2$.
Интегрируя результат дважды, мы получим конечный результат $+C_1+C_2p^2$.
Грубо говоря, $C_1$ перенормирует массу, а $C_2$ --- поле $\vp$.
``Четвероногая" диаграмма расходится логарифмически. Дифференцируя ее
и интегрируя обратно, получаем конечный результат $+$ постоянную,
перенормирующую константу связи. ``Шестиногая" диаграмма конечна.
При $D=3$ бесконечно перенормируется только масса, а при $D=2$
все приведенные диаграммы конечны.

Остаются ли диаграммы конечными после добавления новых петель?
Петли к диаграммам можно добавлять нетривиальным образом так:
$$
\mpicture{0.5cm}
\rl -0.5 0.25 , 0.5 0.25
\rl -0.5 -0.25 , 0.5 -0.25
\setdashes
\rl -0.5 -0.5 , -0.5 0.5
\rl 0.5 -0.5 , 0.5 0.5
\setsolid
\endmpicture
\longrightarrow
\mpicture{0.25cm}
\ln -0.5 0.25 , 0.5 -0.25
\ln -0.5 -0.25 , 0.5 0.25
\setdashes
\rl -0.5 -0.5 , -0.5 0.5
\rl 0.5 -0.5 , 0.5 0.5
\setsolid
\endmpicture
$$
или так:
$$
\mpicture{0.5cm}
\rl -0.5 0.25 , 0.5 0.25
\rl -0.5 -0.25 , 0.5 -0.25
\setdashes
\rl -0.5 -0.5 , -0.5 0.5
\rl 0.5 -0.5 , 0.5 0.5
\setsolid
\endmpicture
\longrightarrow
\mpicture{0.25cm}
\rl -0.5 0.25 , 0.5 0.25
\rl -0.5 -0.25 , 0.5 -0.25
\circle 0.0 0.25 , 0.0 0.0
\setdashes
\rl -0.5 -0.5 , -0.5 0.5
\rl 0.5 -0.5 , 0.5 0.5
\setsolid
\endmpicture
$$
В первом случае мы добавляем одну петлю и две внутренних линии,
т.~е.\ $\Delta I=D-4$. Во втором случае мы добавляем две петли
и четыре внутренних линии, т.~е.\ $\Delta I=2D-8$. Мы заключаем,
что при $D>4$ индекс расходимости диаграммы растет с числом петель
и возникает потребность в контрчленах нового вида в действии.
Эта ситуация отвечает {\it неперенормируемой\/} теории.
При $D=4$ индекс расходимости не меняется, так что можно ожидать,
что теория {\it перенормируема}, т.~е.\ хотя расходимости возникают
в бесконечном числе диаграмм, все они перенормируются с помощью
конечного числа контрчленов. При $D<4$ теория {\it суперперенормируема},
т.~е.\ имеется конечное число расходящихся диаграмм, не сводимых к
более простым расходящимся диаграммам. В частности,
бесконечные части контрчленов можно вычислить точно.
Конечно, строгое доказательство перенормируемости требует более тонкого
анализа (проблема перекрывающихся расходимостей), но и
описанная схема действует довольно правильно.

\proclaim Задача. Проанализировать таким же образом теорию $\vp^3$.

Мы уже видели, что некоторые изменения параметров модели не приводят
к изменению ее физического содержания. Подобные изменения образуют
группу, которая называется {\it ренормгруппой\/} или {\it группой
перенормировок\/}. Рассмотрим коэффициенты
$\Gamma_{n,0}$ в разложении $\Gamma[\vp]$ по неперенормированному полю
$\vp_0$. Очевидно,
$$
\Gamma_{n,0}(p;\lambda_0\mu^{4-D},m_0)
=Z_\vp^{-n/2}(\lambda,m,\mu)
\Gamma_n(p;\lambda,m,\mu).
\eqno(1)
$$
Если мы удерживаем параметры лагранжиана $\lambda_0\mu^{4-D}$ и $m_0$,
физическое содержание теории остается неизменным независимо от
рецепта перенормировки или выбора $\mu$. Давайте зафиксируем рецепт
перенормировки и будем варьировать $\mu$. Левая часть остается неизменной,
поэтому
$$
\mu{d\over d\mu}Z_\vp^{-n/2}(\lambda,m,\mu)
\Gamma_n(p;\lambda,m,\mu)=0
$$
или
$$
\left(
\mu{\d\over\d\mu}+\mu{\d\lambda\over\d\mu}{\d\over\d\lambda}
+\mu{\d m\over\d\mu}{\d\over\d m}-{n\over2}\,\mu{\d\log Z_\vp\over\d\mu}
\right)\Gamma_n(p;\lambda,m,\mu)=0.
\eqno(2)
$$
Здесь $\d\lambda/\d\mu$ и т.~п.\ обозначает производные при постоянных
$\lambda_0\mu^{4-D}$ и $m_0$. В это уравнение входят только величины,
конечные при $D\to4$. Тогда производные можно тоже выразить через конечные
величины:
$$
\eqalign{
\mu{\d\lambda\over\d\mu}
&=\beta\left(\lambda,{m\over\mu}\right),
\cr
\mu{\d\log Z_\vp^{1/2}\over\d\mu}
&=\gamma\left(\lambda,{m\over\mu}\right),
\cr
\mu{\d\log m\over\d\mu}
&=\gamma_m\left(\lambda,{m\over\mu}\right).
}
$$

Теперь рассмотрим масштабное преобразование $p\to e^tp$. Если мы
одновременно с ним произведем замену $m\to e^tm$, $\mu\to e^t\mu$,
$\vp(x)\to e^{d_\vp t}\vp(x)$ ($d_\vp=(D-2)/2$ --- размерность $\vp$),
физика не изменится. Это значит, что
$$
{d\over dt} e^{(n d_\vp-D)t}\Gamma_n(e^tp;\lambda,e^tm,e^t\mu)=0
$$
($D$ в показателе экспоненты связано с тем, что коэффициентами в разложении
эффективного действия являются по определению
$(2\pi)^D\delta(\sum p_i)\Gamma_n(p)$ а не сами $\Gamma_n(p)$)
или
$$
\left(
{\d\over\d t}+\mu{\d\over\d\mu}+m{\d\over\d m}+(nd_\vp-D)
\right)
\Gamma_n(e^tp;\lambda,m,\mu)=0.
\eqno(3)
$$
Исключая из (2) и (3) производную по $\mu$, получаем
$$
{\d\over\d t}\Gamma(e^tp;\lambda,m,\mu)
=\left(
\beta\left(\lambda,{m\over\mu}\right){\d\over\d\lambda}
+\left[\gamma_m\left(\lambda,{m\over\mu}\right)-1\right]m{\d\over\d m}
+D-n\left[d_\vp+\gamma\left(\lambda,{m\over\mu}\right)\right]
\right)
\Gamma(e^tp;\lambda,m,\mu).
\eqno(4)
$$
Последнее уравнение представляет собой {\it уравнение ренормгруппы},
описывающее масштабную зависимость функций $\Gamma$. В случае рецепта
перенормировки $\Sigma(m^2)=\Sigma'(m^2)=0$,
$\Gamma_4(p,p;p,p)=-i\lambda\mu^{4-D}$ имеем
$$
\beta\left(\lambda,{m\over\mu}\right)={3\lambda^2\over16\pi^2}+O(\lambda^3),
\qquad
\gamma\left(\lambda,{m\over\mu}\right)
={1\over12}\left(\lambda\over16\pi^2\right)^2+O(\lambda^3).
$$
При больших $t$ все импульсы много больше $m$, поэтому удобно выбрать
также $\mu\gg m$ и ввести {\it бегущие} константы:
$$
{d\lambda\over dt}=\beta(\lambda(t)),
\qquad
{d\log m\over dt}=\gamma_m(\lambda(t))-1.
\eqno(5)
$$
В этом случае уравнение (4) легко интегрируется
$$
\Gamma_n(e^tp;\lambda,m,\mu)
=e^{Dt-n\int_0^tds\,(d_\vp+\gamma(\lambda(s))}
\Gamma(p,\lambda(t),m(t),\mu).
\eqno(6)
$$
Мы видим, что асимптотики $\Gamma_n$ при больших
импульсах ведут себя так, как если бы поля $\vp(x)$ обладали бы
{\it аномальными\/} размерностями $d_\vp+\gamma(\lambda(t))$,
вообще говоря зависящими от масштаба.

Если схема перенормировки зависит от точки перенормировки $M$,
как в описанной в предыдущей лекции схеме,
то $\mu$ выпадает из перенормированного эффективного действия и
уравнения (4)--(6) следует
писать в том же самом виде, но с заменой $\mu$ на $M$. Явный вид
функций $\beta$, $\gamma$ и $\gamma_m$, конечно, меняется
(см.\ предыдущую лекцию).

\end
