%\input pictex

\tolerance=2000
\def\d{\partial}
\def\qd{\dot q}
\def\qdd{\ddot q}
\def\vp{\varphi}
\def\vpd{\dot\varphi}
\def\vpb{{\bar\vp}}
\def\vpt{{\tilde\vp}}
\def\ve{\varepsilon}
\def\vpdd{\ddot\varphi}
\def\ta{{\tilde a}}
\def\tb{{\tilde b}}
\def\x{{\bf x}}
\def\y{{\bf y}}
\def\p{{\bf p}}
\def\half{{1\over2}}
\def\H{{\cal H}}
\def\F{{\cal F}}
\def\O{{\cal O}}
\def\D{{\cal D}}
\def\L{{\cal L}}
\def\M{{\cal M}}
\def\C{{\bf C}}
\def\Z{{\bf Z}}
\def\const{\mathop{\rm const}\nolimits}
\def\lvac{\langle0|}
\def\rvac{|0\rangle}
\def\Sym{\mathop{\rm Sym}\limits}
\def\phys{{\rm phys}}
\def\Re{\mathop{\rm Re}\nolimits}
\def\Im{\mathop{\rm Im}\nolimits}
\def\lc{\mathopen{\,:}}
\def\rc{\mathclose{:\,}}
\def\eff{{\rm eff}}
%%%%%%% For figures: %%%%%%%
\def\ar#1 #2, #3 #4 {\arrow <0.2truecm> [0.15,0.4] from #1 #2 to #3 #4 }
%\def\ln#1 #2, #3 #4 {\arrow <0.01truecm> [0,0] from #1 #2 to #3 #4 }
\catcode`!=11
\def\ln#1 #2, #3 #4 {\!start(#1,#2)\!ljoin(#3,#4)}
\catcode`!=12
\def\rl#1 #2, #3 #4 {\putrule from #1 #2 to #3 #4 }
\def\trl#1 #2, #3 #4 {\linethickness .8pt
	\putrule from #1 #2 to #3 #4 \linethickness .4pt}
\def\circle #1 #2, #3 #4 {\circulararc 360 degrees from #1 #2 center at #3 #4 }
\def\point#1 #2 {\put{\hbox{\kern -1pt .}} [Bl] at #1 #2 }
\def\bfpoint#1 #2 {%
\put{\hbox{\kern -2pt \raise -2.3pt%
\hbox{$\textstyle\bullet$}}} [Bl] at #1 #2 }
\def\figcap#1#2\par{\medskip{\narrower\eightpoint\noindent
	Fig.~#1. \ignorespaces#2\par}\medskip}
\def\mpicture#1#2\endmpicture{\quad\vcenter{\hbox{%
	\vphantom{\vrule height#1 depth#1}%
	\beginpicture
	\setcoordinatesystem units <1cm,1cm> point at 0 0
	#2
	\endpicture}}\quad}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

{\bf
\centerline{Лекция 8}
\centerline{Спонтанное нарушение симметрии}
}
\bigskip
Рассмотрим вещественную модель $\vp^4$ с $m^2<0$:
$$
S[\vp]=\int d^Dx\,\left(
  \half(\d_\mu\vp)^2-{\lambda\over4!}(\vp^2-\vp_0^2)^2
\right),
\qquad
-m^2={\lambda\vp_0^2\over3!}.
\eqno(1)
$$
В модели имеется симметрия $\vp\to-\vp$. Классически имеется два
равнозначных минимума $\vp=\pm\vp_0$. Рассмотрим поведение системы
вблизи одного из них. Положим $\vp=\vp_0+\chi$. Тогда
$$
S=\int d^Dx\,\left(
  \half(\d_\mu\chi)^2-{\bar m^2\over2}\chi^2
-{\lambda\vp_0\over3!}\chi^3-{\lambda\over4!}\chi^4
\right),
\qquad
\bar m^2=-2m^2={\lambda\vp_0^2\over3}.
\eqno(2)
$$
Мы видим, что квазиклассически модель следует описывать как свободную
частицу $\chi$ с массой $\bar m$ и взаимодействием типа $\chi^3$ и
$\chi^4$. Модель перенормируема при $D\le4$. Это можно установить
и непосредственно, но правильнее считать, что перенормируемость индуцируется
перенормируемостью модели $\vp^4$.

Теперь кратко рассмотрим квантовые эффекты за пределами теории
возмущений. Будем вычислять функциональный интеграл методом перевала
при $\lambda\to0$, $\vp\to\infty$, так что $\bar m=\const$.
Это значит, что мы будем рассматривать нулевой порядок теории возмущений,
но будем учитывать все седловые точки действия как функции комплексного
$\vp$. Рассмотрим для простоты минимумы евклидова действия при граничном
условии $\vp(x)=\pm\vp_0$ при $|x|\to\infty$. При $D>1$ имеется единственное
решение $\vp(x)=\vp_0$ или $\vp(x)=-\vp_0$ в зависимости от граничного
условия. При $D=1$ (квантовая механика) можно на самом деле наложить два
типа условий:

1) ``топологически тривиальное" условие
$\vp(\tau=-\infty)=\vp(\tau=+\infty)=\vp_0$
или $-\vp_0$;

2) ``топологически нетривиальное" условие
$\vp(\tau=-\infty)=-\vp(\tau=+\infty)=\vp_0$
или $-\vp_0$.

Отметим, что условия наложены в евклидовом пространстве. В пространстве
Минковского таких решений нет, так как частица должна иметь достаточную
энергию, чтобы преодолеть барьер и точка минимума не может быть точкой
остановки.

Существенно, что условию типа 2) отвечает непрерывное семейство
{\it инстантонных\/} решений
$$
\vp(\tau)=\mp\vp_0\tanh{\bar m(\tau-\tau_0)\over2}.
\eqno(3)
$$
с конечным действием
$$
S_1=2{\bar m^3\over\lambda}
$$
Эти решения отвечают туннелированию через барьер и отвечают за
снятие вырождения основного состояния.

Покажем, что инстантоны
приводят к тому, что $\langle\vp\rangle=0$ даже при усреднении
по полям $\vp(\tau)$ с граничным условием $\vp(\pm\infty)=\vp_0$.
Рассмотрим функциональный интеграл на конечном (но большом) интервале
мнимого времени $T$ с условием $\vp(0)=\vp(T)=\vp_0$. На этом интервале
для любого четного $N$ имеются ``$N$-солитонные" решения, то есть
решения $N$ раз переходящее из области $\vp\simeq\vp_0$ в область
$\vp\simeq-\vp_0$ или наоборот. Такие решения имеют конечное действие
$\simeq NS_1$. Заметим, что они параметризуются $N$ моментами переключений
$0<t_1<\cdots<t_N<T$. Поэтому мера таких решений
$\sim\int d^Nt=T^N/N!$ и
$$
I_0(T)=\int D\vp\,e^{-S_E[\vp]}
\simeq e^{-\Gamma_{\rm fluct}}
\sum_{n=0}^\infty {(CT)^{2n}e^{-2nS_1}\over(2n)!}
\simeq\half e^{-S_{\rm fluct}}\exp\left(CTe^{-S_1}\right),
$$
где $C$ --- константа, а $\Gamma_{\rm fluct}$ --- вклад флуктуаций
вблизи минимума в эффективное действие. Что же касается вкладов в
функциональный интеграл, содержащий $\vp(\tau)$, то они пропорциональны
$$
\vp_0\int d^Nt\,(-1)^{\#\{t_i<\tau\}}
=\sum_{m=0}^N(-1)^m{\tau^m\over m!}{(T-\tau)^{N-m}\over(N-m)!}
={(T-2\tau)^N\over N!}
$$
и функциональный интеграл равен
$$
I_1(T,\tau)=\int D\vp\,\vp(\tau)e^{-S_E[\vp]}
\simeq\vp_0 e^{-\Gamma_{\rm fluct}}
\sum_{n=0}^\infty {[C(T-2\tau)]^{2n}e^{-2nS_1}\over(2n)!}
\simeq\half e^{-S_{\rm fluct}}\exp\left(C|T-2\tau|e^{-S_1}\right).
$$
Отсюда
$$
\langle\vp(\tau)\rangle_{\vp(0)=\vp(T)=\vp_0}
={I_1(T,\tau)\over I_0(T)}
\simeq\vp_0\exp\left(Ce^{-S_1}(|T-2\tau|-T)\right)
\simeq
\cases{\vp_0 e^{-\tau/\tau_0}&при $t\ll T$,\cr
\vp_0 e^{-(T-\tau)/\tau_0}&при $T-t\ll T$,}
$$
где $\tau_0=2C^{-1}e^{S_1}$ --- корреляционная длина. Мы видим, что при
$T\to\infty$ среднее от $\vp$ обращается в нуль. Более того, корреляции
в системе убывают экспоненциально. О вычислении константы $C$ см.\
Приложение. Понятно, что $C\sim\bar m$. Туннелирование через барьер
происходит за экспоненциально большое время $\sim\bar m^{-1}e^{S_1}$.
Тем не менее симметрия полностью восстанавливается. Основное состояние
расщепляется на два со щелью $\sim\bar me^{-S_1}$.

При $D>1$ аналогичные решения соответствуют $(D-1)$-мерным границам
раздела фаз, причем действие пропорционально площади границы.
Логарифм меры границ данной площади также пропорционален площади.
Ситуация зависит от соотношения коэффициентов и имеется фазовый
переход по $\lambda$. При достаточно малом $\lambda$
основное состояние дважды вырождено и имеет место {\it спонтанное
нарушение симметрии}. При больших $\lambda$ симметрия может восстанавливаться.

Попробуем теперь понять, не устраняется ли нарушение симметрии пертурбативно.
Рассмотрим наиболее локальные вклады в эффективное действие:
$$
\Gamma[\vp]\simeq\int d^Dx\,
\left(\half(\d_\mu\vp)^2-V_\eff(\vp)\right),
\qquad
V_\eff(\vp)=i\sum_{n=0}^\infty\Gamma_n(p=0)\vp^n.
$$
В однопетлевом приближении легко получить
(с заменой $\lambda\to\lambda\mu^{4-D}$)
$$
\Gamma_{2n}(p=0)={(2n)!\over2^n 2n}
\int{d^Dq\over(2\pi)^D}\,\left(\lambda\mu^{4-D}\over q^2+i0\right)^n
+{\delta m^2\over2}\vp^2+{\delta\lambda\mu^{4-D}\over4!}\vp^4.
$$
Отсюда
$$
\eqalignno{
V_\eff(\vp)
&={m^2+\delta m^2\over2}\vp^2+{(\lambda+\delta\lambda)\mu^{4-D}\over4!}\vp^4
+i\int{d^Dq\over(2\pi)^D}\,\sum_{n=1}^\infty{1\over2n}
\left(\lambda\mu^{4-D}\vp^2/2\over q^2-m^2+i0\right)^n
\cr
&={m^2+\delta m^2\over2}\vp^2+{(\lambda+\delta\lambda)\mu^{4-D}\over4!}\vp^4
-{i\over2}\int{d^Dq\over(2\pi)^D}\,
\log\left(1-{\lambda\mu^{4-D}\vp^2/2\over q^2-m^2+i0}\right)
\cr
&=\const+{m^2+\delta m^2\over2}\vp^2
+{(\lambda+\delta\lambda)\mu^{4-D}\over4!}\vp^4
+{i\over2}\int{d^Dq\over(2\pi)^D}\,\log(q^2-m^2-\lambda\mu^{4-D}\vp^2/2+i0)
\cr
&=\const+{m^2+\delta m^2\over2}\vp^2
+{(\lambda+\delta\lambda)\mu^{4-D}\over4!}\vp^4
-{m^4(\vp)\over16\pi^2D}\left(m^2(\vp)\over4\pi\mu^2\right)^{(D-4)/2}
\Gamma\left(2-D\over2\right),
\cr
\span
m^2(\vp)=m^2+\lambda\mu^{4-D}\vp^2/2.
}
$$
При $D=4-2\ve$ получаем
$$
\eqalignno{
V_\eff(\vp)
&=\const+{m^2+\delta m^2\over2}\vp^2
+{(\lambda+\delta\lambda)\mu^{4-D}\over4!}\vp^4
+{(m^2+\lambda\vp^2/2)^2\over64\pi^2}
\left({1\over\ve}+{3\over2}-\C-\log{m^2+\lambda\vp^2/2\over4\pi\mu^2}\right)
\cr
&\quad
+{\lambda\vp^2\log\mu^2\over64\pi^2}.
}
$$
Накладывая условие перенормировки
$V_\eff(\vp)=\half m^2\vp^2+{1\over4!}\lambda\vp^4+O(\vp^6)$,
получаем
$$
V_\eff(\vp)
={m^2\over2}\vp^2+{\lambda\over4!}\vp^4
+{1\over64\pi^2}\left[(m^2+\lambda\vp^2/2)^2
\log{m^2+\lambda\vp^2/2\over m^2}-{\lambda\mu^2\over2}\vp^2
-{3\over8}\lambda^2\vp^4\right].
\eqno(4)
$$
При $m^2>0$ эффективный потенциал положителен и симметрия не нарушена.
При $m^2<0$ имеется нарушение симметрии при достаточно малых $\lambda$.

Отдельно следует рассмотреть случай $m^2=0$. В этом случае (4) неприменимо
и следует использовать условие перенормировки
$\lambda=d^4V_\eff/d\vp^4|_{\vp=M}$.
Тогда
$$
V_\eff(\vp)={\lambda\over4!}\vp^4
+{\lambda^2\vp^4\over256\pi^2}\left(\log{\vp^2\over M^2}-{25\over6}\right)
\eqno(5)
$$
имеет минимум при
$$
\vp_{\rm min}\sim M e^{-16\pi^2/3\lambda}.
$$
Здесь имеется {\it динамическое\/} нарушение симметрии, возникающее
за счет квантования. Однако теория возмущений здесь неприменима,
поэтому обоснованность результата неясна.

Теперь рассмотрим случай комплексного поля $\vp$ с взаимодействием
$|\vp|^4$:
$$
S[\vp]=\int d^Dx\,\left(
  |\d_\mu\vp|^2-{\lambda\over4}(|\vp|^2-\vp_0^2)^2
\right).
\eqno(6)
$$
Здесь имеется непрерывная $U(1)$ симметрия $\vp\to e^{i\alpha}\vp$.
В классике имеется вырожденный набор основных состояний
$\vp=e^{i\alpha}\vp_0$. Рассмотрим решения вблизи, например, состояния
$\vp=\vp_0$. Для этого сделаем замену
$$
\vp(x)=\vp_0+{1\over\sqrt2}(\rho(x)+i\chi(x))
$$
где $\rho(x)$ и $\chi(x)$ --- вещественные поля. Получаем
$$
S=\int d^Dx\,\left(
  \half(\d_\mu\rho)^2+\half(\d_\mu\chi)^2-{\lambda\vp_0^2\over2}\rho^2
  -{\lambda\vp_0\over2\sqrt2}\rho(\rho^2+\chi^2)
  -{\lambda\over16}(\rho^2+\chi^2)^2
\right).
$$
Это теория двух частиц, массивной $\rho$ с $m_\rho^2=\lambda\vp_0^2$ и одной
безмассовой $\chi$ и взаимодействиями разных типов. Наличие безмассовой
частицы ({\it голдстоуновского бозона\/})
характерно для теорий с нарушением непрерывной глобальной симметрии
({\it теорема Голдстоуна\/}).
Это связано с колебаниями вдоль симметричного направления. Чтобы было яснее,
давайте сделаем замену
$$
\vp(x)=\left(\vp_0+{1\over\sqrt2}\rho'(x)\right)e^{i\chi'(x)/\sqrt2\vp_0}.
$$
Тогда
$$
S=\int d^Dx\,\left(
  \half(\d_\mu\rho')^2+\half(\d_\mu\chi')^2-{\lambda\vp_0^2\over2}\rho'^2
  -{\lambda\vp_0\over2\sqrt2}\rho'^3-{\lambda\over16}\rho'^4
  +{1\over4\vp_0^2}(\rho'^2+\sqrt2\vp_0\rho')(\d_\mu\chi')^2
\right).
$$
Здесь $\chi'$ --- бозон, непосредственно связанный с нарушением
симметрии, определенный на окружности длины $2\pi(\sqrt2\vp_0)$.
Однако здесь требуется новый тип взаимодействий, включающий производные.
Впрочем, такого типа взаимодействия уже нам встречались в контрчленах.

Имеет ли здесь место спонтанное нарушение симметрии на квантовом уровне?
Рассмотрим непертурбативные эффекты как в предыдущем случае. Рассмотрим
евклидово действие с граничными условиями $\vp(x)\to e^{i\alpha}\vp_0$
при $|x|\to\infty$. Отображение бесконечности в множество классических
вакуумов есть отображение $S^{D-1}\to S^1$. При $D>2$ отображение
топологически тривиально и инстантонных эффектов нет. При $D=2$ отображения
$S^1\to S^1$ распадаются на классы, нумеруемые целым числом. Простой
представитель $n$-го класса имеет вид
$$
\vp(Re^{\i\alpha})\to\vp_0e^{in\alpha}
\qquad
(R\to\infty).
\eqno(7)
$$
Чтобы упростить анализ, положим $\lambda\to\infty$.
В этом пределе поле $\rho'$ ``вымерзает", так как имеет бесконечную
массу, а вместо поля $\chi'$ удобно ввести поле $\phi=\sqrt2\vp_0\chi'$
с периодом $2\pi$. Действие для $\phi$ примет вид
$$
S[\phi]={\beta\over2}\int d^2x\,(\d_\mu\phi)^2,
\qquad
\beta=2\vp_0^2.
\eqno(8)
$$
В этом случае удобно ввести комплексную координату $z=x^0+ix^1$ в евклидовом
пространстве. Тогда легко построить представитель (7), удовлетворяющий
уравнению движения $\d_\mu^2\phi=0$ или $\d_z\d_{\bar z}\phi=0$:
$$
\phi(x)=n\Im\log z.
$$
Решение имеет разрыв в точке $z=0$, однако он сглаживается при конечном
$\lambda$. Это решение можно обобщить
$$
\phi(x)=\sum_a q_a\Im\log z.
\eqno(9)
$$
Действие для решения (9) расходится, но если имеется обрезание
на масштабе $r$, то для системы размера $R$
$$
S_n[q,x]={\beta\over2}\left(
  \sum_{a\ne b}^nq_a q_b\,2\pi\log{R\over|x_a-x_b|}
  +S_1\sum_a^n q_a^2
\right),
\qquad
S_1=2\pi\log{R\over r}.
\eqno(10)
$$
Мы видим, что поведение инстантонов описывается квантовой кулоновской
двумерной плазмой, содержащей частицы всех зарядов. Вклад в статсумму
имеет вид
$$
Z_{\rm inst}=\sum_{n=0}^\infty\sum_{q\in\Z^n}\int d^nx\,e^{-S_n[q,x]}.
$$
Основной вклад дают инстантоны с $q=\pm1$. При малых $\beta$ инстантоны
распределены равномерно и поле (9) замывает корреляции $\phi$. Это значит,
что нарушения симметрии нет. При больших $\beta$ происходит переход
Березинского--Костерлица--Таулеса, инстантоны объединяются в тесные
пары инстантон--антиинстантон вне которых $\phi$ (или $\vp$) примерно
постоянна. В этом случае симметрия остается нарушенной.







\bigbreak\bigskip
\noindent{\bf Приложение}
\par\nobreak\bigskip\nobreak
Давайте рассмотри флуктуации вблизи тривиального ($i=0$) и инстантонного
($i=1$) решений:
$$
\vp(\tau)=\vp_i(\tau)+\sum_n C_n\psi_{n,i}(\tau).
$$
где $\psi_n,i(\tau)$ --- решение уравнения
$$
\ddot\psi_{n,i}
+\left({\bar m^2\over2}-{\lambda\vp_i\over2}\right)\psi_{n,i}
=-\omega_{n,i}^2\psi_{n,i},
$$
нормированные условием $\int d\tau\,\psi_{n,i}^2(\tau)=1$.
Тогда норма
$$
\eqalign{
\|\delta\vp\|_0^2
&=\int d\tau\,(\delta\vp)^2
\simeq\sum_n C_n^2,
\cr
\|\delta\vp\|_1^2
&\simeq(\delta t)^2\int d\tau\,\dot\vp_1^2
\sum_n C_n^2.
}
$$
Отсюда мера
$$
D\vp=
\cases{\prod_n dC_n&вблизи $\vp_0$ и\cr
A\,d\tau \prod_n dC_n&вблизи $\vp_1$,}
\qquad
A=\left(\int d\tau\,\dot\vp_1^2\right).
$$
Флуктуационный вклад в эффективное действие равен
$$
e^{-\Gamma_{\rm fluct,i}}=\int \prod_n dC_n\,e^{-\half\omega_{n,i}^2C_n^2}
\sim\prod_n \omega_{n,i}^{-1}.
$$
Отсюда
$$
C=Ae^{-(\Gamma_{\rm fluct,1}-\Gamma_{\rm fluct,0})}
=\left(\int d\tau\,\dot\vp_1^2\right)^{1/2}
{\prod_n\omega_{n,0}\over\prod_n\omega_{n,1}}.
$$
Размерность обратного времени восстанавливается, если учесть, что
флуктуации вблизи тривиального решения имеют на одну моду больше,
чем флуктуации вблизи одноинстантонного решения.




\end
