%\input pictex
\hyphenation{���-���-���-��-�-���}

\tolerance=2000
\def\d{\partial}
\def\dleft{\mathord{\mathop{\d}\limits^\leftarrow}}
\def\dhatleft{\mathord{\mathop{\hat\d}\limits^\leftarrow}}
\def\qd{\dot q}
\def\qdd{\ddot q}
\def\vp{\varphi}
\def\vpd{\dot\varphi}
\def\vpb{{\bar\vp}}
\def\vpt{{\tilde\vp}}
\def\ve{\varepsilon}
\def\vpdd{\ddot\varphi}
\def\ta{{\tilde a}}
\def\tb{{\tilde b}}
\def\x{{\bf x}}
\def\y{{\bf y}}
\def\p{{\bf p}}
\def\half{{1\over2}}
\def\H{{\cal H}}
\def\F{{\cal F}}
\def\O{{\cal O}}
\def\D{{\cal D}}
\def\L{{\cal L}}
\def\M{{\cal M}}
\def\C{{\bf C}}
\def\Z{{\bf Z}}
\def\sh{\mathop{\rm sh}\nolimits}
\def\ch{\mathop{\rm ch}\nolimits}
\def\th{\mathop{\rm th}\nolimits}
\def\const{\mathop{\rm const}\nolimits}
\def\lvac{\langle0|}
\def\rvac{|0\rangle}
\def\Sym{\mathop{\rm Sym}\limits}
\def\phys{{\rm phys}}
\def\Re{\mathop{\rm Re}\nolimits}
\def\Im{\mathop{\rm Im}\nolimits}
\def\lc{\mathopen{\,:}}
\def\rc{\mathclose{:\,}}
\def\eff{{\rm eff}}
\newfam\mibfam
\font\tenib=cmmib10
\font\sevenib=cmmib7
\font\fiveib=cmmib5
\textfont\mibfam=\tenib
\scriptfont\mibfam=\sevenib
\scriptscriptfont\mibfam=\fiveib
\def\bfm{\fam\mibfam\tenib}
\mathchardef\alpha="710B
\mathchardef\beta="710C
\mathchardef\gamma="710D
\mathchardef\delta="710E
\mathchardef\epsilon="710F
\mathchardef\zeta="7110
\mathchardef\eta="7111
\mathchardef\theta="7112
\mathchardef\iota="7113
\mathchardef\kappa="7114
\mathchardef\lambda="7115
\mathchardef\mu="7116
\mathchardef\nu="7117
\mathchardef\xi="7118
\mathchardef\pi="7119
\mathchardef\rho="711A
\mathchardef\sigma="711B
\mathchardef\tau="711C
\mathchardef\upsilon="711D
\mathchardef\phi="711E
\mathchardef\chi="711F
\mathchardef\psi="7120
\mathchardef\omega="7121
\mathchardef\varepsilon="7122
\mathchardef\vartheta="7123
\mathchardef\varpi="7124
\mathchardef\varrho="7125
\mathchardef\varsigma="7126
\mathchardef\varphi="7127
\def\jvec{{\bfm j}}
\def\nvec{{\bfm n}}
\def\pvec{{\bfm p}}
\def\svec{{\bfm s}}
\def\vvec{{\bfm v}}
\def\xvec{{\bfm x}}
\def\alphavec{{\bfm\alpha}}
\def\gammavec{{\bfm\gamma}}
\def\muvec{{\bfm\mu}}
\def\sigmavec{{\bfm\sigma}}
\def\thetavec{{\bfm\theta}}
\def\vpvec{{\bfm\varphi}}
\def\Jvec{{\bfm J}}
\def\Kvec{{\bfm K}}
\def\Avec{{\bfm A}}
\def\Bvec{{\bfm B}}
\def\Sigmavec{{\bf\Sigma}}
%%%%%%% For figures: %%%%%%%
\def\ar#1 #2, #3 #4 {\arrow <0.2truecm> [0.15,0.4] from #1 #2 to #3 #4 }
%\def\ln#1 #2, #3 #4 {\arrow <0.01truecm> [0,0] from #1 #2 to #3 #4 }
\catcode`!=11
\def\ln#1 #2, #3 #4 {\!start(#1,#2)\!ljoin(#3,#4)}
\catcode`!=12
\def\rl#1 #2, #3 #4 {\putrule from #1 #2 to #3 #4 }
\def\trl#1 #2, #3 #4 {\linethickness .8pt
	\putrule from #1 #2 to #3 #4 \linethickness .4pt}
\def\circle #1 #2, #3 #4 {\circulararc 360 degrees from #1 #2 center at #3 #4 }
\def\point#1 #2 {\put{\hbox{\kern -1pt .}} [Bl] at #1 #2 }
\def\bfpoint#1 #2 {%
\put{\hbox{\kern -2pt \raise -2.3pt%
\hbox{$\textstyle\bullet$}}} [Bl] at #1 #2 }
\def\figcap#1#2\par{\medskip{\narrower\eightpoint\noindent
	Fig.~#1. \ignorespaces#2\par}\medskip}
\def\mpicture#1#2\endmpicture{\quad\vcenter{\hbox{%
	\vphantom{\vrule height#1 depth#1}%
	\beginpicture
	\setcoordinatesystem units <1cm,1cm> point at 0 0
	#2
	\endpicture}}\quad}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

{\bf
\centerline{������ 11}
\centerline{���� ����� $1/2$. �����������}
}
\bigskip
���������� ����������
$$
S[\psi,\bar\psi]
=\int d^4x\,\bar\psi(i\hat\d-m)\psi,
\eqno(1)
$$
��� $\hat a\buildrel{\rm def}\over=\gamma^\mu a_\mu$
(������� �����, ��� $\hat a^2=a^2$).
�������� �� $\bar\psi(x)$ �������� ��������� ������
$$
(i\hat\d-m)\psi=0.
\eqno\rm(2a)
$$
�������� �� $\psi(x)$, ��������
$$
\bar\psi(i\dhatleft+m)=0.
\eqno\rm(2b)
$$
���������� ����������� �� ��������� � ��������������
$$
\psi(x)\to e^{i\alpha}\psi(x),
\qquad
\bar\psi(x)\to e^{-i\alpha}\bar\psi(x).
$$
��������������� Σ��������� ��� ����� ���
$$
j^\mu=\bar\psi\gamma^\mu\psi,
\qquad
\d_\mu j^\mu=0.
\eqno(3)
$$
������� ���������� ����
$$
j^0=\bar\psi\gamma^0\psi=\psi^+\psi
=|\xi^1|^2+|\xi^2|^2+|\eta_{\dot1}|^2+|\eta_{\dot2}|^2
$$
������������ ����������. ��� ������� ������� $\psi_p(x)$
� $\psi_{-p}(x)$ ����� $j^0={\ve\over m}\psi_0^+\psi_0$,
$\jvec={\pvec\over m}\psi_0^{\prime+}\psi'_0$.
������ ����������� $\psi_0$, $\psi'_0$ ���������
$$
\psi^+_0\psi_0=\bar\psi_p\psi_p=2m,
\qquad
\psi^{\prime+}_0\psi'_0=\bar\psi_{-p}\psi_{-p}=2m.
$$
�����, � ��������������� ������� ����� �������� �������� ������ $\alpha$,
������ $\alpha=+$, ���� $\xi\sim\pmatrix{1\cr0}$, �  $\alpha=-$,
���� $\xi\sim\pmatrix{0\cr1}$.

\proclaim ������. ��������, ��� � ����� ���������� �����������
$$
\eqalign{
\psi(t,\xvec)
&=\int{d^3p\over(2\pi)^3}{1\over\sqrt{2\ve_\pvec}}
\left(a_{\pvec\alpha}(t)\psi_{p,\alpha}e^{i\pvec\xvec}
+b^+_{\pvec\alpha}(t)\psi_{-p,\alpha}e^{-i\pvec\xvec}\right),
\cr
\bar\psi(t,\xvec)
&=\int{d^3p\over(2\pi)^3}{1\over\sqrt{2\ve_\pvec}}
\left(a^+_{\pvec\alpha}(t)\bar\psi_{p,\alpha}e^{i\pvec\xvec}
+b_{\pvec\alpha}(t)\bar\psi_{-p,\alpha}e^{-i\pvec\xvec}\right)
}
$$
�������� ������������ ��������������� ��� �����������������
����������, ������ ������ �������� �����
���������� �����
$$
\{a_{\pvec\alpha},a^+_{\pvec'\alpha'}\}
=\{b_{\pvec\alpha},b^+_{\pvec'\alpha'}\}
=i(2\pi)^3\delta_{\alpha\alpha'}\delta(\pvec-\pvec').
$$
��������� ������������ �����������
� ��������� ������ �������������� �������.

���������� ����������� � ������� �������������� ����������. ������
������������ ����������
$$
Z[\zeta,\bar\zeta]
=\int D\psi\,D\bar\psi\,
e^{iS[\psi,\bar\psi]+i(\zeta,\bar\psi)+i(\bar\zeta,\psi)}.
\eqno(4)
$$
������������ �������������� ������� �����
$$
G(x,x')=\langle\psi(x)\psi(x')\rangle
=\left.
-Z^{-1}[\zeta,\bar\zeta]{\delta\over\delta\zeta(x')}{\delta\over\delta\bar\zeta(x)}
Z[\zeta,\bar\zeta]\right|_{\zeta=\bar\zeta=0}.
$$
�������� �� � ������� ������� (10) �� ������~9. �� ������ ����������
$$
\eqalign{
K&\to\hat\d+im+0=-i(\hat p-m+i0),\cr
\zeta&\to i\zeta,\cr
\bar\zeta&\to -i\zeta,
}
$$
��� $p$ --- �������� ��������.
������ ��������
$$
G(x,x')=
\int{d^4p\over(2\pi)^4}\,G(p)e^{-ip(x-x')},
\qquad
G(p)={i\over\hat p-m+i0}=i{\hat p+m\over p^2-m^2+i0}.
\eqno(5)
$$
��������� ���� ��� ������������ �������� �
$$
\langle\psi(x)\psi(x')\rangle=\langle\bar\psi(x)\bar\psi(x')\rangle=0,
$$
� ����������� ������� ���� ������� ����� ����� �������� ����� ��
��������.

������ ������ ��������� �������� ��������� ������.
������ ��������� (2b) � ������������� ���:
$$
(-i\gamma^{\mu T}\d_\mu-m)\bar\psi^T(x)=0.
\eqno{\rm(2b')}
$$
��������, ������� $-\gamma^{\mu T}$ ������������� ��� �� �����
������� ���������, ��� � $\gamma^\mu$, �.~�.\ ��������� �� ��
����� ������� $M(4,\C)$. ������� ���������� ����� ������� $C$ (�������
{\it ���������� ����������\/}), ���
$$
-\gamma^{\mu T}=C^{-1}\gamma^\mu C.
\eqno(6)
$$
�� (6) �������� �������, ���
$$
\psi^c=C\bar\psi^T
\eqno(7)
$$
������������� ��������� ������. � ��������� �������������
$$
\gamma^{0T}=\gamma^0,
\qquad
\gamma^{1T}=-\gamma^1,
\qquad
\gamma^{2T}=\gamma^2,
\qquad
\gamma^{3T}=-\gamma^3
$$
�
$$
C=i\gamma^2\gamma^0=\pmatrix{-i\sigma^2&\cr&i\sigma^2}.
$$
����� ���������, ��� �������������� (7) ��������� ������� ���� $\psi_p$
� ������� ���� $\psi_{-p}$.

\proclaim ������. ��������, ��� ���� $\psi(x)$ �������������
��������� ������ �� {\it ������� ���������������� ����}
$$
(i\hat\d-e\hat A-m)\psi=0,
$$
�� �������� ����������� ���� ������������� ���������
$$
(i\hat\d+e\hat A-m)\psi^c=0.
$$

���������� ������ ��������� �������. ������� � ��������� $\rm(2b')$
������ $t\to-t$:
$$
(i\gamma^{0 T}\d_0-i\gammavec^T\nabla-m)\bar\psi^T(-t,\xvec)=0.
$$
�������� ����� ������� $T$, ��� $\psi^t(t,\xvec)=T\bar\psi^T(-t,\xvec)$
������������� ��������� ������. ��� ����� ����, �����
$$
T\gamma^{0T}T^{-1}=\gamma^0,
\qquad
T\gammavec^T T^{-1}=-\gammavec.
$$
����� ������, ��� � ��������� �������������
$$
T=i\gamma^3\gamma^1\gamma^0=\pmatrix{\sigma^2&\cr&-\sigma^2}.
$$
��������� $i$ ������, ����� ���� $(\psi^c)^t=(\psi^t)^c$.

�� �������� � ������������ ������� ����� ������ �����������
{\it �������������\/} ����, ��������������� �������
$$
\psi=\psi^c.
\eqno(8)
$$
��� ������� ���������� � ���������� ������. �� ������������� �����
��� $j^\mu$ ���������� � ����.

\proclaim ������. ��������.

�������������� ���� �������� ��������
$$
S[\psi]=\half\int d^4x\,
\psi (C^T)^{-1}(i\hat\d-m)\psi
$$
� �������� ``��������������" (8). ����� ���������, ���
������ �������������� �������
$$
\langle\psi(x)\psi(x')\rangle
=G(x,x')C^T,
$$
��� $G(x,x')$ ������� �� ������� (5). � ����������� ������� �������
������� ��� � � ���, ��� ��� ������������� �������� ������� �����
�������� �������������� �����.

�� ����� ��������� ����� �������� ������� � ��������� ������
��-�������. ������� ���������� ���� $\psi_R$ � $\psi_L$,
��������������� {\it �������� �����}
$$
\eqalignno{
\gamma^5\psi_R&=\psi_R,
&\rm(9a)
\cr
\gamma^5\psi_L&=-\psi_L.
&\rm(9b)}
$$
��������, ���������� �� ��� ������� � ���������� ������:
$$
(i\gamma\d-m)\psi_{R,L}=\pm(i\gamma\d-m)\gamma^5\psi_{R,L}
=\pm\gamma^5(-i\gamma\d-m)\psi_{R,L}.
$$
������ �������, ��� �������� ������������� �������� ������������� $m=0$.
���� $\psi_R$ ����� ������������ � ��� ������� ����� ������������,
� ���� $\psi_L$ --- � ����������.
����� ��������� ������ ��� ���������� �������� ����� ���
$$
\psi_R=\sigmavec\pvec^\circ\psi_R,
\qquad
\psi_L=-\sigmavec\pvec^\circ\psi_L,
$$
��� $\pvec^\circ$ ���������� ��������, ���������� ���������� �������,
������������� ����� $\pvec$. �������� $\svec\pvec^\circ$, ��� $\svec$
--- �������� ����� (� ������ ������ $\half\sigmavec$), ����������
{\it �������������}. �� ����� ��� ������ ���������� �������
������ ����� ������������� ������������, � ����� --- �������������.
������ ���������� ��������������� ����������� � ��������� ���������
$\psi^c=C\bar\psi^T$. ����� ������, ��� ����������� ����� ������������,
��������������� ������������ �������. �������������
$$
\xi^c=-i\sigma^2\eta^*,\qquad\eta^c=i\sigma^2\xi^*.
$$
��� ������, ��� ����������� � ������ ������� ����������� ������ ��������.

�������� ��� ���������� ������ ����� ���
$$
S_{R,L}[\psi,\bar\psi]
=\int d^4x\,
\bar\psi\hat\d\psi,
$$
��� $\bar\psi=\psi^+\gamma^0$, � �������������� ���� �� ������� (9).
������������ ��� �������� ����� �������� � ����
$$
S_{R,L}[\psi,\bar\psi]
=\int d^4x\,
\bar\psi\left(1\pm\gamma^5\over2\right)\hat\d\psi.
$$
� ���� ������ ����� �� ����������� ������� (9a) ��� (9b). ��� ������
���������� �� ����� �������������. �������� �� ��� �� �������.

���������� ������ ��������� ������ �� ������� ���� � ����������������
�������. ������ ��������������� �.~�.\ {\it ����������� ��������������}
$$
u={\xi+\eta\over\sqrt2},
\qquad
v={\xi-\eta\over\sqrt2},
\eqno(10)
$$
�.~�.\ ������� �������������� $U=U^{-1}={1\over\sqrt2}\pmatrix{1&1\cr1&-1}$.
� ���� �������������
$$
\gamma^0=\pmatrix{1&\cr&-1},
\qquad
\gammavec=\pmatrix{&\sigmavec\cr-\sigmavec&}.
\eqno(11)
$$
��������� ������ ����� ���
$$
\eqalign{
(i\d_0-e\vp)u-\sigmavec(i\nabla-e\Avec)v
&=mu,
\cr
-(i\d_0-e\vp)v+\sigmavec(i\nabla-e\Avec)u
&=mv.
}
$$
� ���������������� ������� $E\simeq m$, $p\simeq mv\ll m,E$.
������� ������� ������
$$
u\to u e^{-imt},
\qquad
v\to v e^{-imt}.
$$
��������
$$
\eqalign{
(i\d_0-e\vp)u-\sigmavec(i\nabla-e\Avec)v
&=0,
\cr
-(i\d_0-e\vp)v+\sigmavec(i\nabla-e\Avec)u
&=2mv.
}
$$
� ��������� ��������� �� ����� ���������� $i\d_0v$ �� ���������
� $2mv$. ������� ��������
$$
v={\sigmavec(i\nabla-e\Avec)u\over2m}.
$$
���������� ��� � ������ ���������, ��������
$$
i\d_0u={(\sigmavec(i\nabla-e\Avec))^2u\over2m}+e\vp u.
$$
������� ������������ ����, ������� ��������� �ң�������
$$
i{\d u\over\d t}=Hu,
\qquad
H={1\over2m}(i\nabla-e\Avec)^2+e\vp-{e\over2m}\sigmavec\Bvec,
\eqno(12)
$$
��� $\Bvec=\nabla\times\Avec$. ��� ��������� �������������
��������� ��������� $g_e=2$, ������������ ������������
$$
\muvec=g{e\over2m}\svec.
$$
��� ������, ��� ����� ����� � ��������� ������ � $g$ ��� ������
������ ������������ �������.




\end
