\input pictex
%\language=1
\hyphenation{удо-вле-тво-ря-ю-щее}

\tolerance=2000
\def\d{\partial}
\def\dleft{\mathord{\mathop{\d}\limits^\leftarrow}}
\def\dhatleft{\mathord{\mathop{\hat\d}\limits^\leftarrow}}
\def\qd{\dot q}
\def\qdd{\ddot q}
\def\vp{\varphi}
\def\vpd{\dot\varphi}
\def\vpb{{\bar\vp}}
\def\vpt{{\tilde\vp}}
\def\ve{\varepsilon}
\def\vpdd{\ddot\varphi}
\def\ta{{\tilde a}}
\def\tb{{\tilde b}}
\def\x{{\bf x}}
\def\y{{\bf y}}
\def\p{{\bf p}}
\def\half{{1\over2}}
\def\H{{\cal H}}
\def\F{{\cal F}}
\def\O{{\cal O}}
\def\D{{\cal D}}
\def\L{{\cal L}}
\def\M{{\cal M}}
\def\C{{\bf C}}
\def\Z{{\bf Z}}
\def\sh{\mathop{\rm sh}\nolimits}
\def\ch{\mathop{\rm ch}\nolimits}
\def\th{\mathop{\rm th}\nolimits}
\def\const{\mathop{\rm const}\nolimits}
\def\lvac{\langle0|}
\def\rvac{|0\rangle}
\def\Sym{\mathop{\rm Sym}\limits}
\def\phys{{\rm phys}}
\def\Re{\mathop{\rm Re}\nolimits}
\def\Im{\mathop{\rm Im}\nolimits}
\def\lc{\mathopen{\,:}}
\def\rc{\mathclose{:\,}}
\def\eff{{\rm eff}}
\newfam\mibfam
\font\tenib=cmmib10
\font\sevenib=cmmib7
\font\fiveib=cmmib5
\textfont\mibfam=\tenib
\scriptfont\mibfam=\sevenib
\scriptscriptfont\mibfam=\fiveib
\def\bfm{\fam\mibfam\tenib}
\mathchardef\alpha="710B
\mathchardef\beta="710C
\mathchardef\gamma="710D
\mathchardef\delta="710E
\mathchardef\epsilon="710F
\mathchardef\zeta="7110
\mathchardef\eta="7111
\mathchardef\theta="7112
\mathchardef\iota="7113
\mathchardef\kappa="7114
\mathchardef\lambda="7115
\mathchardef\mu="7116
\mathchardef\nu="7117
\mathchardef\xi="7118
\mathchardef\pi="7119
\mathchardef\rho="711A
\mathchardef\sigma="711B
\mathchardef\tau="711C
\mathchardef\upsilon="711D
\mathchardef\phi="711E
\mathchardef\chi="711F
\mathchardef\psi="7120
\mathchardef\omega="7121
\mathchardef\varepsilon="7122
\mathchardef\vartheta="7123
\mathchardef\varpi="7124
\mathchardef\varrho="7125
\mathchardef\varsigma="7126
\mathchardef\varphi="7127
\def\evec{{\bfm e}}
\def\jvec{{\bfm j}}
\def\nvec{{\bfm n}}
\def\pvec{{\bfm p}}
\def\svec{{\bfm s}}
\def\vvec{{\bfm v}}
\def\xvec{{\bfm x}}
\def\alphavec{{\bfm\alpha}}
\def\gammavec{{\bfm\gamma}}
\def\muvec{{\bfm\mu}}
\def\sigmavec{{\bfm\sigma}}
\def\thetavec{{\bfm\theta}}
\def\vpvec{{\bfm\varphi}}
\def\Jvec{{\bfm J}}
\def\Kvec{{\bfm K}}
\def\Avec{{\bfm A}}
\def\Bvec{{\bfm B}}
\def\Sigmavec{{\bf\Sigma}}
%%%%%%% For figures: %%%%%%%
\def\ar#1 #2, #3 #4 {\arrow <0.2truecm> [0.15,0.4] from #1 #2 to #3 #4 }
%\def\ln#1 #2, #3 #4 {\arrow <0.01truecm> [0,0] from #1 #2 to #3 #4 }
\catcode`!=11
\def\ln#1 #2, #3 #4 {\!start(#1,#2)\!ljoin(#3,#4)}
\catcode`!=12
\def\rl#1 #2, #3 #4 {\putrule from #1 #2 to #3 #4 }
\def\trl#1 #2, #3 #4 {\linethickness .8pt
	\putrule from #1 #2 to #3 #4 \linethickness .4pt}
\def\circle #1 #2, #3 #4 {\circulararc 360 degrees from #1 #2 center at #3 #4 }
\def\point#1 #2 {\put{\hbox{\kern -1pt .}} [Bl] at #1 #2 }
\def\bfpoint#1 #2 {%
\put{\hbox{\kern -2pt \raise -2.3pt%
\hbox{$\textstyle\bullet$}}} [Bl] at #1 #2 }
\def\figcap#1#2\par{\medskip{\narrower\eightpoint\noindent
	Fig.~#1. \ignorespaces#2\par}\medskip}
\def\mpicture#1#2\endmpicture{\quad\vcenter{\hbox{%
	\vphantom{\vrule height#1 depth#1}%
	\beginpicture
	\setcoordinatesystem units <1cm,1cm> point at 0 0
	#2
	\endpicture}}\quad}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

{\bf
\centerline{Лекция 12}
\centerline{Квантование электромагнитного поля}
}
\bigskip
Рассмотрим действие для электромагнитного поля
$$
S[A]=-{1\over4}\int d^Dx\,F_{\mu\nu}F^{\mu\nu},
\qquad
F_{\mu\nu}=\d_\mu A_\nu-\d_\nu A_\mu,
\eqno(1)
$$
инвариантное относительно {\it калибровочных\/} преобразований вида
$$
A_\mu(x)=A'_\mu(x)+\d_\mu\chi(x).
\eqno(2)
$$
Нетеровские токи, соответствующие этим преобразованям, тождественно
равны нулю.

Попробуем вычислить функциональный интеграл
$$
Z[J]=\int DA\,e^{iS[A]+(J,A)}
$$
Очевидно,
$$
iS[A]=-{1\over2}(A_\mu,K^{\mu\nu}A_\nu),
\qquad
K^{\mu\nu}=-ig^{\mu\nu}\d^2+i\d^\mu\d^\nu.
$$
В импульсном представлении
$$
K^{\mu\nu}(p)=i(g^{\mu\nu}p^2-p^\mu p^\nu).
$$
Очевидно
$$
K^{\mu\nu}(p)p_\nu=0
$$
и матрица $K(p)$ вырождена. Следовательно, мы не можем вычислить
обратную матрицу $G(p)$ и взять интеграл $Z[J]$. Иными словами,
вдоль некоторых направлений (причем большом числе направлений --- по крайней
мере по одному для каждго $p$) подынтегральное выражение постоянно
и интеграл расходится. Легко понять, что это связано с инвариантностью
(2). Действительно, инвариантность действия относительно калибровочных
преобразований связана с тождеством
$$
K^{\mu\nu}\d_\nu\chi=0.
$$
Логично было бы предположить, что следует интегрировать
по мере $DA/D\chi$, где $D\chi$ --- мера на орбите группы калибровочных
преобразований. Но что это значит? Поскольку орбита не зависит от
$A_\mu$, естественно считать, что мера этой орбиты не зависит от $A_\mu$.
Поэтому вклад каждой орбиты --- постоянный множитель. Чтобы сделать
интегрирование по орбите конечным, следует ввести множитель
$$
F[A]=e^{iS_{\rm fix}[A]}
$$
меняющийся при калибровочном преобразовании, но при интегрировании
по $D\chi$ дающий константу относительно $A_\mu$:
$$
{\delta\over\delta A_\mu}\int D\chi\,F[A+\d\chi]=0.
\eqno(3)
$$
Удобно выбрать $S_{\rm fix}$ в виде
$$
S_{\rm fix}[A]=-{1\over2\alpha}\int d^Dx\,(\d_\mu A^\mu)^2.
\eqno(4)
$$
Тогда
$$
\int D\chi\,F[A+\d\chi]
=\int D\chi\,e^{-\half(\chi,L\chi)},
$$
где
$$
L={i\over2\alpha}(\d_\mu\d^\mu)^2+0.
$$
Оператор $L$ не зависит от $A$ и потому условие (3) выполнено.
Если продолжить в евклидову плоскость, получим
$$
F[A]=e^{-S_{E,{\rm fix}}}
=\exp\left(-{1\over2\alpha}\int d^Dx\,(\d_\mu A_\mu)^2\right).
$$
В пределе $\alpha\to+0$ мы получим
$$
F[A]=\delta(\d_\mu A^\mu)
\buildrel{\rm def}\over=\int D\lambda\,e^{i(\lambda,\d_\mu A^\mu)}.
\eqno(5)
$$
Это значит, что в этом пределе мы просто удаляем интегрирование по
$D\chi$, фиксируя $A_\mu$ условием ({\it лоренцева калибровка\/})
$$
\d_\mu A^\mu=0.
\eqno(6)
$$
Однако можно наложить любую другую калибровку, которая сделает
оператор $K$ положительно определенным. Можно, например, использовать
кулоновскую калибровку
$$
A^0=0,
\qquad
\nabla\Avec=0.
\eqno(7)
$$

Рассмотрим производящий функционал
$$
Z[J]=\int DA\,e^{iS_{\rm eff}[A]+i(J,A)},
\quad
S_{\rm eff}[A]=S[A]+S_{\rm fix}[A].
$$
В лоренцевой калибровке
$$
iS_{\rm eff}[A]=-\half(A,K_{\rm eff}A),
\qquad
K_{\rm eff}^{\mu\nu}=-ig^{\mu\nu}\d^2+i(1-\alpha^{-1})\d^\mu\d^\nu
-0g^{\mu\nu}.
$$
Последнее слагаемое выбрано так, чтобы при виковом повороте в
$+0\delta^{\mu\nu}$. В импульсном представлении
$$
K_{\rm eff}^{\mu\nu}(p)
=i(g^{\mu\nu}p^2-(1-\alpha^{-1})p^\mu p^\nu+i0g^{\mu\nu}).
$$
Функция Грина равна
$$
G(x,x')=\int{d^Dp\over(2\pi)^D}G(p)e^{-ip(x-x')},
\qquad
G_{\mu\nu}(p)
=-{i\over p^2+i0}\left(g_{\mu\nu}
+(\alpha-1){p_\mu p_\nu\over p^2+i0}\right).
\eqno(8)
$$
При $\alpha=0$ получаем пропагатор в {\it калибровке Ландау}, т.~е.\ в чистом
виде в лоренцевой калибровке. При $\alpha=1$ получаем пропагатор
в удобной для вычислений {\it калибровке Фейнмана}.

\proclaim Задача. Найти пропагатор фотона в кулоновской калибровке
$$
S_{\rm fix}={1\over2\alpha_1}(A_0)^2-{1\over2\alpha_2}(\nabla\Avec)^2.
$$

Мы выяснили, что внутренним линиям в диаграммах теорий, содержащих
фотоны, отвечает пропагатор (7). А что отвечает внешним линиям?
По аналогии со скалярным бозомном, можно понять,
что на внешних входящих линиях должны сидеть волновые
функции фотонов, а на внешних выходящих --- сопряженные им.
Плоским волнам отвечают функции
$$
A_{\mu,\pvec}(x)={1\over\sqrt{2\ve_\pvec}}e_\mu\,e^{-ipx},
\qquad
e_\mu e^\mu=1.
$$
Из уравнения движения
$$
(g^{\mu\nu}\d^2-\d^\mu\d^\nu)A_\nu=0
$$
получаем
$$
p^2e^\mu=p^\mu(pe).
\eqno(9)
$$
Кроме того, калибровочная инвариантность означает допустимость замен
вида
$$
e_\mu\to e_\mu+\lambda p_\mu.
\eqno(10)
$$
Это соотношение уменьшает число нетривиальных компонент вектора
поляризации на 1.
При $p^2\ne0$ уравнение (9) допускает только калибровочно тривиальное
решение $\sim p_\mu$. При $p^2=0$ имеем пространственно-временную поперечность
$$
p_\mu e^\mu=0.
\eqno(11)
$$
Соотношение (11) уменьшает число компонент вектора поляризации еще
на 1. Итак, вектор поляризации содержит $D-2$ физически нетривиальных
компонент. Удобно выбрать их следующим образом. Преобразованием (10)
обратим компоненту $e_0$ в нуль. Тогда из (11) получим
$$
\pvec\evec=0.
$$
Тогда за базисные поляризации можно принять любой набор ортогональных
пространственных векторов, ортогональных также волновому вектору $\pvec$
фотона.

Рассмотрим теперь взаимодействие частиц с электромагнитным полем.
Калибровочно инвариантное взаимодействие можно построить с помощью
{\it ковариантной производной}
$$
D_\mu=\d_\mu+ieA_\mu.
\eqno(12)
$$
Если $\vp(x)$ преобразуется при калибровочном преобразовании как
$$
\vp(x)=e^{-ie\chi(x)}\vp'(x),
\eqno(13)
$$
то $D_\mu\vp(x)$ преобразуется также:
$$
D_\mu\vp(x)=e^{-ie\chi(x)}D'_\mu\vp(x).
$$
Поэтому, если мы возьмем действие, инвариантное относительно
замены $\vp_i(x)\to e^{ie_i\kappa}\vp_i(x)$ ($\kappa=\const$), и заменим
там обычные производные на ковариантные с зарядами $e_i$, то мы получим
калибровочно инвариантное действие. (При этом нельзя исключать случая,
когда $e_i$ произвольны, если мы не требуем компактности группы
калибровочных преобразований.) Рассмотрим, к примеру, теорию
взаимодействия электронов и фотонов ({\it квантовую электродинамику\/}):
$$
S[\psi,\bar\psi,A]
=-{1\over4}\int d^4x\,F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}
+\int d^4x\,\bar\psi(i\hat\d-e\hat A-m)\psi.
\eqno(14)
$$
В этой теории (в калибровке Фейнмана), мы можем построить следующую
диаграммную технику для амплитуды $M$:
$$
\eqalignno{
\mpicture{0.5cm}
\rl -0.5 0.0 , 0.5 0.0
\ar -0.09 0.0 , -0.1 0.0
\put {$p$} [bc] <0pt,2pt> at 0.0 0.0
\endmpicture
&=\quad{i\over\hat p-m+i0}
\cr
\mpicture{0.5cm}
\setdashes
\rl -0.5 0.0 , 0.5 0.0
\setsolid
\put {$p$} [bc] <0pt,2pt> at 0.0 0.0
\put {$\mu$} [rB] <-2pt,-2.5pt> at -0.5 0.0
\put {$\nu$} [lB] <2pt,-2.5pt> at 0.5 0.0
\endmpicture
&=\quad-i{g_{\mu\nu}\over p^2+i0}
\cr
\mpicture{0.8cm}
\rl -0.5 0.0 , 0.5 0.0
\setdashes
\rl 0.0 0.0 , 0.0 0.5
\put {$\mu$} [bc] <0pt,2pt> at 0.0 0.5
\endmpicture
&=\quad-ie\gamma^\mu
\cr
\mpicture{0.5cm}
\rl 0.0 0.0 , -0.5 0.0
\ar -0.34 0.0 , -0.35 0.0
\put {$p$} [lB] <2pt,-2.5pt> at 0.0 0.0
\endmpicture
&=\quad\cases{u_p&для входящего электрона,\cr
		\bar u_{-p}&для выходящего позитрона}
\cr
\mpicture{0.5cm}
\rl 0.0 0.0 , 0.5 0.0
\ar 0.16 0.0 , 0.15 0.0
\put {$p$} [rB] <-2pt,-2.5pt> at 0.0 0.0
\endmpicture
&=\quad\cases{\bar u_p&для выходящего электрона,\cr
		u_{-p}&для входящего позитрона}
\cr
\mpicture{0.5cm}
\setdashes
\rl 0.0 0.0 , -0.5 0.0
\setsolid
\put {$p,\mu$} [lB] <2pt,-2.5pt> at 0.0 0.0
\endmpicture
&=\quad\cases{e_\mu&для входящего фотона,\cr
		e^*_\mu&для выходящего фотона}
}
$$
(под $u_{\pm p}$ понимаются коэффициенты $\psi_{\pm p}$ в плоских
волнах из предыдущей лекции). Кроме того,в замкнутых петлях
должно быть четное количество внутренних линий, причем каждой замкнутой петле
отвечает множитель $(-1)$ и след по спинорным индексам.

Действительно, замкнутой петле отвечает среднее
$$
\langle(\bar\psi(y_1)\gamma^{\mu_1}\psi(y_1))\ldots
(\bar\psi(y_N)\gamma^{\mu_N}\psi(y_N))\rangle.
$$
В случае нечетного $N$ вклады с противоположными направлениями
стрелок сокращают друг друга. Кроме того, чтобы построить последовательные
спаривания $\langle\psi(y_{n-1})\bar\psi(y_n)\rangle$, нужно перенести
$\psi(y_1)$ в крайне правое положение что даст множитель
$(-1)^{2N-1}=(-1)$.

Кроме того, при перестановке двух хвостов амплитуда меняет знак.

Следует отметить одну простую двумерную модель, не обладающую
калибровочной инвариантностью, но по многим свойствам похожую
на четырехмерную квантовую электродинамику. Это {\it массивная
модель Тирринга}
$$
S_{\rm Thirring}[\psi,\bar\psi,A]
={1\over2}\int d^2x\,A_\mu A^\mu
+\int d^2x\,\bar\psi(i\hat\d-e\hat A-m)\psi.
$$
Матрицы $\gamma^\mu$ следует считать матрицами $2\times2$.
Эта форма удобна для построения диаграммной техники. Она отличается
от диаграммной техники КЭД только тем, что пропагатор фотона заменяется
на пропагатор фиктивной частицы $ig_{\mu\nu}$. Можно поступить
по-другому: проинтегрировать явно по полю $A_\mu$. Именно,
$$
e^{iS_{\rm Thirring}[\psi,\bar\psi]}
=\int DA\,e^{iS_{\rm Thirring}[\psi,\bar\psi,A]}.
$$

\proclaim Задача. Показать, что
$$
S_{\rm Thirring}[\psi,\bar\psi]
=\int d^2x\,\left(
\bar\psi(i\hat\d-m)\psi-{e^2\over2}(\bar\psi\gamma^\mu\psi)^2
\right).
$$

Другой полезной моделью является {\it скалярная электродинамика\/}:
$$
S[\vp,\bar\vp,A]
=-{1\over4}\int d^4x\,F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}
+\int d^4x\,(|(\d_\mu+ieA_\mu)\vp|^2-m^2|\vp|^2).
$$
Здесь взаимодействие имеет вид
$$
-ieA^\mu(\bar\vp\d_\mu\vp-(\d_\mu\bar\vp)\vp)+e^2A^\mu A_\mu\bar\vp\vp.
$$
Мы видим, что здесь кроме очевидного взаимодействия через ток
$j^\mu=i(\bar\vp\d_\mu\vp-(\d_\mu\bar\vp)\vp)$ имеется двухфотонная
вершина. Однофотонному взаимодействию отвечает диаграмма
$$
\mpicture{0.8cm}
\rl -0.5 0.0 , 0.5 0.0
\ar 0.06 0.0 , 0.05 0.0
\ar -0.34 0.0 , -0.36 0.0
\setdashes
\rl 0.0 0.0 , 0.0 0.5
\setsolid
\put {$\mu$} [bc] <0pt,2pt> at 0.0 0.5
\put {$p_1$} [bl] <2pt,2pt> at 0.5 0.0
\put {$p_2$} [br] <-2pt,2pt> at -0.5 0.0
\endmpicture
=\quad -ie(p_1^\mu+p_2^\mu),
$$
а двухфотонному --- диаграмма
$$
\mpicture{0.8cm}
\ln -0.5 -0.5 , 0.0 0.0
\ln 0.5 -0.5 , 0.0 0.0
\setdashes
\ln 0.0 0.0 , 0.5 0.5
\ln 0.0 0.0 , -0.5 0.5
\setsolid
\put {$\mu$} [bl] <2pt,2pt> at 0.5 0.5
\put {$\nu$} [br] <-2pt,2pt> at -0.5 0.5
\endmpicture
=\quad 2ie^2g^{\mu\nu}.
$$




\end
