\input pictex
\hyphenation{удо-вле-тво-ря-ю-щее}

\tolerance=2000
\def\d{\partial}
\def\dleft{\mathord{\mathop{\d}\limits^\leftarrow}}
\def\dhatleft{\mathord{\mathop{\hat\d}\limits^\leftarrow}}
\def\qd{\dot q}
\def\qdd{\ddot q}
\def\vp{\varphi}
\def\vpd{\dot\varphi}
\def\vpb{{\bar\vp}}
\def\vpt{{\tilde\vp}}
\def\ve{\varepsilon}
\def\vpdd{\ddot\varphi}
\def\ta{{\tilde a}}
\def\tb{{\tilde b}}
\def\x{{\bf x}}
\def\y{{\bf y}}
\def\p{{\bf p}}
\def\half{{1\over2}}
\def\H{{\cal H}}
\def\F{{\cal F}}
\def\O{{\cal O}}
\def\D{{\cal D}}
\def\L{{\cal L}}
\def\M{{\cal M}}
\def\C{{\bf C}}
\def\Z{{\bf Z}}
\def\sh{\mathop{\rm sh}\nolimits}
\def\ch{\mathop{\rm ch}\nolimits}
\def\th{\mathop{\rm th}\nolimits}
\def\tr{\mathop{\rm tr}\nolimits}
\def\const{\mathop{\rm const}\nolimits}
\def\lvac{\langle0|}
\def\rvac{|0\rangle}
\def\Sym{\mathop{\rm Sym}\limits}
\def\phys{{\rm phys}}
\def\eff{{\rm eff}}
\def\Re{\mathop{\rm Re}\nolimits}
\def\Im{\mathop{\rm Im}\nolimits}
\def\lc{\mathopen{\,:}}
\def\rc{\mathclose{:\,}}
\def\eff{{\rm eff}}
\newfam\mibfam
\font\tenib=cmmib10
\font\sevenib=cmmib7
\font\fiveib=cmmib5
\textfont\mibfam=\tenib
\scriptfont\mibfam=\sevenib
\scriptscriptfont\mibfam=\fiveib
\def\bfm{\fam\mibfam\tenib}
\mathchardef\alpha="710B
\mathchardef\beta="710C
\mathchardef\gamma="710D
\mathchardef\delta="710E
\mathchardef\epsilon="710F
\mathchardef\zeta="7110
\mathchardef\eta="7111
\mathchardef\theta="7112
\mathchardef\iota="7113
\mathchardef\kappa="7114
\mathchardef\lambda="7115
\mathchardef\mu="7116
\mathchardef\nu="7117
\mathchardef\xi="7118
\mathchardef\pi="7119
\mathchardef\rho="711A
\mathchardef\sigma="711B
\mathchardef\tau="711C
\mathchardef\upsilon="711D
\mathchardef\phi="711E
\mathchardef\chi="711F
\mathchardef\psi="7120
\mathchardef\omega="7121
\mathchardef\varepsilon="7122
\mathchardef\vartheta="7123
\mathchardef\varpi="7124
\mathchardef\varrho="7125
\mathchardef\varsigma="7126
\mathchardef\varphi="7127
\def\evec{{\bfm e}}
\def\jvec{{\bfm j}}
\def\nvec{{\bfm n}}
\def\pvec{{\bfm p}}
\def\svec{{\bfm s}}
\def\vvec{{\bfm v}}
\def\xvec{{\bfm x}}
\def\alphavec{{\bfm\alpha}}
\def\gammavec{{\bfm\gamma}}
\def\muvec{{\bfm\mu}}
\def\sigmavec{{\bfm\sigma}}
\def\thetavec{{\bfm\theta}}
\def\vpvec{{\bfm\varphi}}
\def\Jvec{{\bfm J}}
\def\Kvec{{\bfm K}}
\def\Avec{{\bfm A}}
\def\Bvec{{\bfm B}}
\def\Sigmavec{{\bf\Sigma}}
%%%%%%% For figures: %%%%%%%
\def\ar#1 #2, #3 #4 {\arrow <0.2truecm> [0.15,0.4] from #1 #2 to #3 #4 }
%\def\ln#1 #2, #3 #4 {\arrow <0.01truecm> [0,0] from #1 #2 to #3 #4 }
\catcode`!=11
\def\ln#1 #2, #3 #4 {\!start(#1,#2)\!ljoin(#3,#4)}
\catcode`!=12
\def\rl#1 #2, #3 #4 {\putrule from #1 #2 to #3 #4 }
\def\trl#1 #2, #3 #4 {\linethickness .8pt
	\putrule from #1 #2 to #3 #4 \linethickness .4pt}
\def\circle #1 #2, #3 #4 {\circulararc 360 degrees from #1 #2 center at #3 #4 }
\def\point#1 #2 {\put{\hbox{\kern -1pt .}} [Bl] at #1 #2 }
\def\bfpoint#1 #2 {%
\put{\hbox{\kern -2pt \raise -2.3pt%
\hbox{$\textstyle\bullet$}}} [Bl] at #1 #2 }
\def\figcap#1#2\par{\medskip{\narrower\eightpoint\noindent
	Fig.~#1. \ignorespaces#2\par}\medskip}
\def\mpicture#1#2\endmpicture{\quad\vcenter{\hbox{%
	\vphantom{\vrule height#1 depth#1}%
	\beginpicture
	\setcoordinatesystem units <1cm,1cm> point at 0 0
	#2
	\endpicture}}\quad}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

{\bf
\centerline{Лекция 13}
\centerline{Перенормировки в квантовой электродинамике}
}
\bigskip
Рассмотрим затравочное действие спинорной электродинамики в $D$ измерениях:
$$
S=-{1\over4}\int d^Dx\,F_{0,\mu\nu}F_0^{\mu\nu}
+\int d^Dx\,\bar\psi_0(i\hat\d-\mu^{(4-D)/2}e_0\hat A-m_0)\psi_0.
\eqno(1)
$$
Эффективное действие включает также слагаемое, фиксирующее калибровку:
$$
S_\eff=S-{1\over2\lambda_0}\int d^Dx\,(\d_\mu A_0^\mu)^2.
\eqno(1')
$$
Здесь необходимо определить матрицы $\gamma^\mu$. Определим их как матрицы
$2^{D/2}\times2^{D/2}$ со свойствами:
$$
\gamma^\mu\gamma^\nu+\gamma^\nu\gamma^\mu=2g^{\mu\nu},
\qquad
\gamma^{\mu+}=\gamma^0\gamma^\mu\gamma^0.
\eqno(2)
$$
В большую часть интересных с физической точки зрения формул входят
только следы $\gamma$-матриц, которые однозначно определяются
этими соотношениями.

\proclaim Задача. Показать, что $\tr(\gamma^{\mu_1}\ldots\gamma^{\mu_{2n+1}})
=0$. {\it Подсказка\/}: использовать $\gamma^5$.

\proclaim Задача. Показать, что
$$
\eqalign{
\tr1
&=2^{D/2},
\cr
\tr\gamma^\mu\gamma^\nu
&=2^{D/2}g^{\mu\nu},
\cr
\tr\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma
&=2^{D/2}(g^{\mu\nu}g^{\rho\sigma}-g^{\mu\rho}g^{\nu\sigma}
+g^{\mu\sigma}g^{\nu\rho}).
}
$$
Вообще, имеет место аналог теоремы Вика:
$$
\tr\gamma^{\mu_1}\gamma^{\mu_2}\ldots\gamma^{\mu_{2n-1}}\gamma^{\mu_{2n}}
=2^{D/2}\mathop{\sum_{\sigma}}\nolimits'
(-)^\sigma g^{\mu_{\sigma(1)}\mu_{\sigma(2)}}\ldots
g^{\mu_{\sigma(2n-1)}\mu_{\sigma(2n)}},
\eqno(3)
$$
где сумма берется по всем перестановкам, отвечающим различным
спариваниям.

Эти правила можно применять при вычислении следов в фермионных петлях.
Кроме того, в любой размерности сохраняется калибровочная инвариантность
теории. Следовательно, размерная регуляризация дает
калибровочно-инвариантную регуляризацию квантовой электродинамики.

Нам нужно вычислить функциональный интеграл
$$
Z[J,\zeta,\bar\zeta]
=\int DA_0\,D\psi_0\,D\bar\psi_0\,
e^{iS_\eff[A_0,\psi_0,\bar\psi_0]
+iZ_A^{-1/2}(J,A_0)
-iZ_\psi^{-1/2}(\bar\psi_0,\zeta)+iZ_\psi^{-1/2}(\bar\zeta,\psi_0)}.
\eqno(4)
$$
Здесь $Z_A$ и $Z_\psi$ --- несущественные константы, которые мы
зафиксируем ниже. Давайте сделаем в функциональном интеграле замену переменных
$$
\psi_0(x)\to e^{-i\chi(x)}\psi_0(x),
\qquad
\bar\psi_0(x)\to e^{i\chi(x)}\bar\psi_0(x).
$$
Это {\it не\/} калибровочное преобразование, хотя и похоже на него,
поэтому действие нетривиально преобразуется при этом преобразовании.
Якобиан такой замены равен, очевидно, единице, поэтому
$$
Z[J,\zeta,\bar\zeta]
=\int DA_0\,D\psi_0\,D\bar\psi_0\,
e^{iS_\eff[A_0,\psi_0,\bar\psi_0]
+i\int d^Dx\,\bar\psi_0\gamma^\mu\psi_0\cdot\d_\mu\chi
+iZ_A^{-1/2}(J,A_0)
-iZ_\psi^{-1/2}(\bar\psi_0e^{i\chi},\zeta)
+iZ_\psi^{-1/2}(\bar\zeta,e^{-i\chi}\psi_0)}.
\eqno(5)
$$
Сравнивая (4) и (5) и считая $\chi(x)$ малым, получим
$$
\int d^Dx\,\langle
\bar\psi_0(x)\gamma^\mu\psi_0(x)\d_\mu\chi(x)
-iZ_\psi^{-1/2}\bar\psi_0(x)\zeta(x)\chi(x)
-iZ_\psi^{-1/2}\bar\zeta(x)\psi_0(x)\chi(x)
\rangle_{J,\zeta,\bar\zeta}
=0.
$$
Перекидывая производную по частям и учитывая произвольность $\chi(x)$,
получим
$$
\langle\d_\mu j^\mu(x)
+i\bar\psi(x)\zeta(x)+i\bar\zeta(x)\psi(x)\rangle_{J,\zeta,\bar\zeta}=0,
\qquad
j^\mu=\bar\psi\gamma^\mu\psi,
\eqno(6)
$$
где $\psi(x)=Z_\psi^{-1/2}\psi_0(x)$,
$\bar\psi(x)=Z_\psi^{-1/2}\bar\psi_0(x)$.
Это просто квантовая версия закона сохранения электрического заряда:
$\d_\mu j^\mu(x)$ отлично от нуля только в точках, где есть источники
заряженных частиц $\zeta$ и $\bar\zeta$. Варьируя по $\zeta$, $\bar\zeta$,
легко найти, что
$$
\langle(\d_\mu j^\mu)(x)X(y,z)\rangle
=-\biggl(\sum_i\delta(x-y_i)-\sum_j\delta(x-z_j)\biggr)\langle X(y,z)\rangle,
\qquad
X(y,z)=Y[A]\prod_i\psi(y_i)\prod_j\bar\psi(z_j),
\eqno(6')
$$
где $Y[A]$ --- любой функционал от $A_\mu=Z^{-1/2}A_{0,\mu}$.

Рассмотрим теперь другую замену, связанную с калибровочным преобразованием,
$$
\psi_0(x)\to e^{-ie_0\chi(x)}\psi_0(x),
\qquad
\bar\psi_0(x)\to e^{ie_0\chi(x)}\bar\psi_0(x),
\qquad
A_{0,\mu}\to A_{0,\mu}+\d_\mu\chi.
$$
В этом случае мы получим
$$
\langle\lambda_0^{-1}\d^2(\d_\mu A_0^\mu)+Z_A^{-1/2}\d_\mu J^\mu
+ie_0\bar\zeta\psi+ie_0\bar\psi\zeta\rangle_{J,\zeta,\bar\zeta}=0.
$$
Но по определению эффективного действия $\Gamma[A,\psi,\bar\psi]$ имеем
$$
J^\mu=-{\delta\Gamma\over\delta A_\mu},
\qquad
\zeta=-{\delta\over\delta\bar\psi}\Gamma,
\qquad
\bar\zeta=-{\delta\over\delta\psi}\Gamma,
$$
где теперь $A_\mu$, $\psi$, $\bar\psi$ --- классические поля
(т.~е.\ средние в присутствии токов), а не
переменные интегрирования. Отсюда
$$
{Z_A^{1/2}\over\lambda_0}\d^2(\d_\mu A^\mu)
-Z_A^{-1/2}\d_\mu{\delta\over\delta A_\mu}\Gamma
-ie_0\left({\delta\over\delta\psi}\Gamma\right)\psi
-ie_0\bar\psi\left({\delta\over\delta\bar\psi}\Gamma\right)=0.
\eqno(7)
$$
Дифференцируя это $m$ раз по $\psi(y_i)$ и $n$ раз по $\bar\psi(z_j)$
($m+n>0$) и полагая $A=\psi=\bar\psi=0$,
мы избавляемся от первого слагаемого и получаем набор {\it тождеств
Уорда}
$$
-iZ_A^{-1/2}\d_\mu\Gamma(x;y;z)
=e_0\biggl(\sum_i\delta(x-y_i)-\sum_j\delta(x-z_j)\biggr)\Gamma(y;z).
\eqno(7')
$$

Давайте рассмотрим теперь общий вид перенормировок в спинорной
электродинамике:
$$
S_\eff[A,\psi,\bar\psi]
=-{Z_A\over4}\int d^Dx\,F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}
-{Z_A\over2Z_\lambda\lambda}\int d^Dx\,(\d_\mu A^\mu)
+Z_\psi\int d^Dx\,\bar\psi(\hat\d-Z_\alpha^{1/2}Z_A^{1/2}\mu^{(4-D)/2}e\hat A
-Z_m m)\psi,
\eqno(8)
$$
где константы перенормировки $Z_A$, $Z_\psi$, $Z_\alpha$, $Z_m$, $Z_\lambda$
определены так, чтобы
$$
A_{0,\mu}=Z_A^{1/2}A_\mu,
\qquad
\psi_0=Z_\psi^{1/2}\psi,
\qquad
\bar\psi_0=Z_\psi^{1/2}\bar\psi,
\qquad
e_0^2=Z_\alpha e^2,
\qquad
m_0=Z_m m,
\qquad
\lambda_0=Z_\lambda\lambda.
\eqno(9)
$$

Теперь введем условия перенормировки. Определим
точные пропагаторы $G(p)$, $D_{\mu\nu}(k)$ и вершинную функцию
$\Gamma^\mu(p,p')$ равенствами
$$
\eqalignno{
\langle\psi(x)\bar\psi(x')\rangle
&=\int{d^Dp\over(2\pi)^D}\,G(p)e^{-ip(x-x')},
&\rm(10a)
\cr
\langle A_\mu(x)A_\nu(x')\rangle
&=\int{d^Dk\over(2\pi)^D}\,D_{\mu\nu}(k)e^{-ip(x-x')},
&\rm(10b)
\cr
\langle\psi(x)A^\mu(y)\bar\psi(x')\rangle
&=-e\int{d^Dp\,d^Dp'\over(2\pi)^{2D}}\,
G(p)D_{\mu\nu}(p'-p)\Gamma^\nu(p,p')G(p')e^{-ip(x-y)-ip'(y-x')}.
&\rm(10c)}
$$
Тогда можно принять условия перенормировки
$$
\eqalignno{
G^{-1}(p)
&=-i(\hat p-m)+o(\hat p-M),
\qquad \hat p\to M,
&\rm(11a)
\cr
D^{-1}(k)
&=i(g^{\mu\nu}k^2-(1-\lambda^{-1})k^\mu k^\nu)+o(k^2-M^{\prime2}),
\qquad
p^2\to M^{\prime2}.
&\rm(11b)
\cr
\Gamma^\mu(p,p')
&\gamma^\mu+o(1),
\qquad
p^2,p^{\prime2}\to M^2,
\quad
(p'-p)^2\to M^{\prime2}.
&\rm(11c)}
$$
Обычно полагают $M=m$, $M'=0$, однако в некоторых случаях удобны
другие значения.

Подставляя теперь в (10c) простейшее тождество Уорда с $m=n=1$,
получаем
$$
-i(p'-p)_\mu G(p)\Gamma^\mu(p,p')G(p')=G(p)-G(p')
$$
или
$$
-iZ_A^{-1/2}Z_\alpha^{-1/2}(p'-p)_\mu\Gamma^\mu(p,p')=G^{-1}(p')-G^{-1}(p).
\eqno(12)
$$
При $p'\to p$ получаем
$$
iZ_A^{-1/2}Z_\alpha^{-1/2}{\d G^{-1}(p)\over\d p_\mu}=\Gamma^\mu(p,p).
\eqno(12')
$$

\proclaim Задача. Получить для величины $\Gamma^{\prime\mu}$,
заданной соотношением
$$
\langle\psi(x)j^\mu(y)\bar\psi(x')\rangle
=\int{d^Dp\,d^Dp'\over(2\pi)^{2D}}\,
G(p)\Gamma^{\prime\mu}(p,p')G(p')e^{-ip(x-y)-ip'(y-x')},
$$
тождество, аналогичное (12):
$$
-i(p'-p)_\mu\Gamma^{\prime\mu}(p,p')=G^{-1}(p')-G^{-1}(p).
$$
Как связаны функции $\Gamma^\mu$ и
$\Gamma^{\prime\mu}$? (Они не совпадают.)

Из $(12)$ и условий перенормировки (11) следует, что
$$
Z_\alpha=Z_A^{-1}.
\eqno(13)
$$
Сравнивая с действием (8), мы видим, что это условие эквивалентно
отсутствию перенормировки калибровочного преобразования.
Напишем соотношение (12) для неперенормированных функций:
$$
-i(p'-p)_\mu\Gamma_0^\mu(p,p')=G_0^{-1}(p')-G_0^{-1}(p).
\eqno(12'')
$$
Мы видим, что расходимости для $\Gamma_0$ полностью определяются
расходимостями для $G_0$, и, следовательно, устраняются теми же
самыми контрчленами. Поэтому произведение $Z_\alpha Z_A$ можно
сделать конечным и положить единицы подходящим выбором констант.

Эффективное действие разбивается следующим образом:
$$
S_\eff[A,\psi,\bar\psi]
=S_{\eff,0}[A,\psi,\bar\psi]+S_{\eff,1}[A,\psi,\bar\psi]
+S_{\eff,\rm contr}[A,\psi,\bar\psi].
$$
Здесь
$$
\eqalignno{
S_{\eff,0}[A,\psi,\bar\psi]
&=-{1\over4}\int d^Dx\,F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}
-{1\over2\lambda}\int d^Dx\,(\d_\mu A^\mu)^2
+\int d^Dx\,\bar\psi(i\hat\d-m)\psi,
\cr
S_{\eff,1}[A,\psi,\bar\psi]
&=-e\int d^Dx\,\bar\psi\hat A\psi,
\cr
S_{\eff,\rm contr}
&=-{Z_A-1\over4}\int d^Dx\,F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}
-{Z_AZ_\lambda^{-1}-1\over2\lambda}\int d^Dx\,(\d_\mu A^\mu)^2
\cr
&\quad
+\int d^Dx\,\bar\psi((Z_\psi-1)i\hat\d-(Z_\psi Z_m-1)m)\psi
\cr
&\quad
-(Z_\psi-1)e\int d^Dx\,\bar\psi\hat A\psi.
}
$$

Рассмотрим вопрос о перенормировке в электродинамике наивно.
Простейшие расходимости имеются в следующих диаграммах:
$$
\eqalignno{
\mpicture{0.5cm}
\rl -1.0 0.0 , 1.0 0.0
\setdashes
\circulararc 180 degrees from 0.5 0.0 center at 0.0 0.0
\setsolid
\endmpicture
&\qquad I(D)=D-3
\qquad I(4)=1\to 0
\cr
\mpicture{0.5cm}
\setdashes
\rl -1.0 0.0 , -0.5 0.0
\rl 0.5 0.0 , 1.0 0.0
\setsolid
\circle -0.5 0.0 , 0.0 0.0
\endmpicture
&\qquad I(D)=D-2,
\qquad I(4)=2
\cr
\mpicture{1.0cm}
\ln -1.0 -1.0 , 0.0 0.0
\ln 0.0 0.0 , 1.0 -1.0
\setdashes
\rl -0.5 -0.5 , 0.5 -0.5
\rl 0.0 0.0 , 0.0 1.0
\setsolid
\endmpicture
&\qquad I(D)=D-4
\qquad I(4)=0
\cr
\mpicture{1.0cm}
\rl -0.5 0.5 , 0.5 0.5
\rl 0.5 0.5 , 0.5 -0.5
\rl 0.5 -0.5 , -0.5 -0.5
\rl -0.5 -0.5 , -0.5 0.5
\setdashes
\ln -0.5 0.5 , -1.0 1.0
\ln 0.5 0.5 , 1.0 1.0
\ln 0.5 -0.5 , 1.0 -1.0
\ln -0.5 -0.5 , -1.0 -1.0
\setsolid
\endmpicture
&\qquad I(D)=D-4
\qquad I(4)=0
}
$$
В четырех измерениях вторая диаграмма фактически расходится логарифмически,
а сумма диаграмм последнего типа конечна. Первая диаграмма требует двух
контрчленов, вторая --- одного, третья не вносит ничего нового из-за
тождества Уорда. Теперь рассмотрим изменение индекса при изменении
числа петель. Новые петли можно добавлять, добавляя фотонные линии.
Добавление одной фотонной линии увеличивает число петель на одну
($\Delta I=D$), число фотонных пропагаторов --- на один ($\Delta I=-2$)
и число электронных пропагаторов --- на два ($\Delta I=-2$). Следовательно,
индекс расходимости меняется на $D-4$. При $D>4$ теория неперенормируема,
при $D=4$ --- перенормируема, а при $D<4$ --- суперперенормируема.




\end
