\input pictex
\hyphenation{���-���-���-��-�-���}

\tolerance=2000
\def\d{\partial}
\def\dleft{\mathord{\mathop{\d}\limits^\leftarrow}}
\def\dhatleft{\mathord{\mathop{\hat\d}\limits^\leftarrow}}
\def\qd{\dot q}
\def\qdd{\ddot q}
\def\vp{\varphi}
\def\vpd{\dot\varphi}
\def\vpb{{\bar\vp}}
\def\vpt{{\tilde\vp}}
\def\ve{\varepsilon}
\def\vpdd{\ddot\varphi}
\def\ta{{\tilde a}}
\def\tb{{\tilde b}}
\def\x{{\bf x}}
\def\y{{\bf y}}
\def\p{{\bf p}}
\def\half{{1\over2}}
\def\H{{\cal H}}
\def\F{{\cal F}}
\def\O{{\cal O}}
\def\D{{\cal D}}
\def\L{{\cal L}}
\def\M{{\cal M}}
\def\C{{\bf C}}
\def\Z{{\bf Z}}
\def\sh{\mathop{\rm sh}\nolimits}
\def\ch{\mathop{\rm ch}\nolimits}
\def\th{\mathop{\rm th}\nolimits}
\def\tr{\mathop{\rm tr}\nolimits}
\def\const{\mathop{\rm const}\nolimits}
\def\lvac{\langle0|}
\def\rvac{|0\rangle}
\def\Sym{\mathop{\rm Sym}\limits}
\def\phys{{\rm phys}}
\def\eff{{\rm eff}}
\def\Re{\mathop{\rm Re}\nolimits}
\def\Im{\mathop{\rm Im}\nolimits}
\def\lc{\mathopen{\,:}}
\def\rc{\mathclose{:\,}}
\def\eff{{\rm eff}}
\newfam\mibfam
\font\tenib=cmmib10
\font\sevenib=cmmib7
\font\fiveib=cmmib5
\textfont\mibfam=\tenib
\scriptfont\mibfam=\sevenib
\scriptscriptfont\mibfam=\fiveib
\def\bfm{\fam\mibfam\tenib}
\mathchardef\alpha="710B
\mathchardef\beta="710C
\mathchardef\gamma="710D
\mathchardef\delta="710E
\mathchardef\epsilon="710F
\mathchardef\zeta="7110
\mathchardef\eta="7111
\mathchardef\theta="7112
\mathchardef\iota="7113
\mathchardef\kappa="7114
\mathchardef\lambda="7115
\mathchardef\mu="7116
\mathchardef\nu="7117
\mathchardef\xi="7118
\mathchardef\pi="7119
\mathchardef\rho="711A
\mathchardef\sigma="711B
\mathchardef\tau="711C
\mathchardef\upsilon="711D
\mathchardef\phi="711E
\mathchardef\chi="711F
\mathchardef\psi="7120
\mathchardef\omega="7121
\mathchardef\varepsilon="7122
\mathchardef\vartheta="7123
\mathchardef\varpi="7124
\mathchardef\varrho="7125
\mathchardef\varsigma="7126
\mathchardef\varphi="7127
\def\evec{{\bfm e}}
\def\jvec{{\bfm j}}
\def\nvec{{\bfm n}}
\def\pvec{{\bfm p}}
\def\svec{{\bfm s}}
\def\vvec{{\bfm v}}
\def\xvec{{\bfm x}}
\def\alphavec{{\bfm\alpha}}
\def\gammavec{{\bfm\gamma}}
\def\muvec{{\bfm\mu}}
\def\sigmavec{{\bfm\sigma}}
\def\thetavec{{\bfm\theta}}
\def\vpvec{{\bfm\varphi}}
\def\Jvec{{\bfm J}}
\def\Kvec{{\bfm K}}
\def\Avec{{\bfm A}}
\def\Bvec{{\bfm B}}
\def\Sigmavec{{\bf\Sigma}}
%%%%%%% For figures: %%%%%%%
\def\ar#1 #2, #3 #4 {\arrow <0.2truecm> [0.15,0.4] from #1 #2 to #3 #4 }
%\def\ln#1 #2, #3 #4 {\arrow <0.01truecm> [0,0] from #1 #2 to #3 #4 }
\catcode`!=11
\def\ln#1 #2, #3 #4 {\!start(#1,#2)\!ljoin(#3,#4)}
\catcode`!=12
\def\rl#1 #2, #3 #4 {\putrule from #1 #2 to #3 #4 }
\def\trl#1 #2, #3 #4 {\linethickness .8pt
	\putrule from #1 #2 to #3 #4 \linethickness .4pt}
\def\circle #1 #2, #3 #4 {\circulararc 360 degrees from #1 #2 center at #3 #4 }
\def\point#1 #2 {\put{\hbox{\kern -1pt .}} [Bl] at #1 #2 }
\def\bfpoint#1 #2 {%
\put{\hbox{\kern -2pt \raise -2.3pt%
\hbox{$\textstyle\bullet$}}} [Bl] at #1 #2 }
\def\figcap#1#2\par{\medskip{\narrower\eightpoint\noindent
	Fig.~#1. \ignorespaces#2\par}\medskip}
\def\mpicture#1#2\endmpicture{\quad\vcenter{\hbox{%
	\vphantom{\vrule height#1 depth#1}%
	\beginpicture
	\setcoordinatesystem units <1cm,1cm> point at 0 0
	#2
	\endpicture}}\quad}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

{\bf
\centerline{������ 14}
\centerline{���������� ������������� � ��������� ���������������}
}
\bigskip
���������� ������� �������� � ��������� �����������. ������
��������
$$
(D^{-1})^{\mu\nu}(k)=ig^{\mu\nu}(k^2+i0)-i\Pi^{\mu\nu}(k),
\eqno(1)
$$
��� $\Pi^{\mu\nu}(k)=-i\Gamma^{\mu\nu}(k)$ ---
{\it ��������������� ��������}. �������, ��� �� �������������
������ ���������� ������ $\d_\mu j^\mu=0$ �����
$$
(p-q)_\mu\cdot\bar\psi_q\gamma^\mu\psi_p=0.
$$
��������� ������� ����� ��������� ������ ������������ ����� ��������
���������� ������������ �������, ��� ������, ��� ��� ���������� �����
$$
I^{\mu_1\ldots\mu_n}(k_1,\ldots,k_n)
=-\int{d^Dq\over(2\pi)^D}\,\tr(\gamma^{\mu_1}G(k_1-k_2+q)\ldots
\gamma^{\mu_n}G(k_n-k_1+q))
$$
�����
$$
k_{i,\mu_i}I^{\mu_1\ldots\mu_n}(k_1,\ldots,k_n)=0.
$$
������ �������, ��� �������� �������� � $(D^{-1})^{\mu\nu}$
������ ���������:
$$
k_\mu\Pi^{\mu\nu}(k)=k_\mu\Pi^{\nu\mu}(k)=0
$$
�
$$
\Pi^{\mu\nu}(k)=\Pi(k^2)\left(g^{\mu\nu}-{k^\mu k^\nu\over k^2}\right).
\eqno(2)
$$
�������
$$
\Pi(k^2)={1\over3}\left(g_{\mu\nu}-{k_\mu k_\nu\over k^2}\right)
\Pi^{\mu\nu}(k).
\eqno(3)
$$
������� ������ �������� ����� ������� ������� �� $e^2$:
$$
\eqalignno{
\Pi^{\mu\nu}(k)
&=\Pi_{(1)}^{\mu\nu}(k)+\Pi_{(2)}^{\mu\nu}(k),
\cr
i\Pi_{(1)}^{\mu\nu}(k)
&=
\mpicture{0.5cm}
\setdashes
\rl -0.5 0.0 , -1.0 0.0
\rl 0.5 0.0 , 1.0 0.0
\setsolid
\circle -0.5 0.0 , 0.0 0.0
\ar -0.09 0.5 , -0.1 0.5
\ar 0.09 -0.5 , 0.1 -0.5
\endmpicture
=-(-i\mu^{(4-D)/2}e)^2\int{d^Dp\over(2\pi)^D}\,
{i^2\tr(\gamma^\mu(\hat p+m)\gamma^\nu(\hat p+\hat k+m))
\over(p^2-m^2+i0)((p+k)^2-m^2+i0)}.
\cr
&=-\mu^{4-D}e^2\int_0^1dx\int{d^Dp\over(2\pi)^D}\,
{\tr(\gamma^\mu(\hat p+m)\gamma^\nu(\hat p+\hat k+m))
\over(p^2x+(p+k)^2(1-x)-m^2+i0)^2},
\cr
i\Pi_{(2)}^{\mu\nu}(k)
&=
\mpicture{0.5cm}
\setdashes
\rl -1.0 0.0 , 1.0 0.0
\setsolid
\ln 0.1 0.1 , -0.1 -0.1
\ln 0.1 -0.1 , -0.1 0.1
\endmpicture
=-i(Z_A-1)(g^{\mu\nu}k^2-k^\mu k^\nu)
-i(Z_AZ_\lambda^{-1}-1)\lambda^{-1}k^\mu k^\nu.
}
$$
�� (2) ���������, ���
$$
Z_\lambda=Z_A,
$$
�.~�.\ �������������� �� ������ �����, ������������ ����������.

���������� ������ ������ ���������.
�������
$$
p\to p-kx
$$
�������� �������� � ����
$$
\eqalignno{
i\Pi_{(1)}^{\mu\nu}(k)
&=-\mu^{4-D}e^2\int_0^1dx\int{d^Dp\over(2\pi)^D}\,
{\tr(\gamma^\mu(\hat p+\hat k(1-x)-m)\gamma^\nu(\hat p-\hat kx-m))
\over(p^2+k^2x(1-x)-m^2+i0)^2}
\cr
&=-\mu^{4-D}e^2\int_0^1dx\int{d^Dp\over(2\pi)^D}\,
{\tr(\gamma^\mu\hat p\gamma^\nu \hat p)
-x(1-x)\tr(\gamma^\mu\hat k\gamma^\nu\hat k)+m^2\tr(\gamma^\mu\gamma^\nu)
\over(p^2+k^2x(1-x)-m^2+i0)^2}
}
$$
�������� ���������
$$
\tr(\gamma^\mu\hat p\gamma^\nu\hat p)=2^{D/2}(2p^\mu p^\nu-g^{\mu\nu}p^2)
$$
�������
$$
\eqalignno{
i\Pi_{(1)}^{\mu\nu}(k)
&=2^{D/2+1}\mu^{4-D}e^2k^\mu k^\nu
\int_0^1dx\int{d^Dp\over(2\pi)^D}\,
{x(1-x)\over(p^2+k^2x(1-x)-m^2+i0)^2}
\cr
&\quad
+\hbox{ �����, ���������������� $g^{\mu\nu}$}.
}
$$
��������� ��������� (2) �� ������ ����� ������������ ��������� �����:
$$
i\Pi_{(1)}(k^2)
=-2^{D/2+1}\mu^{4-D}e^2k^2
\int_0^1dx\int{d^Dp\over(2\pi)^D}\,
{x(1-x)\over(p^2+k^2x(1-x)-m^2+i0)^2}.
$$
� ������� ������ �� ������~6 �������
$$
\eqalignno{
\Pi(k^2)
&=-k^2{2^{(D-4)/2}e^2\over2\pi^2}\left(m^2\over4\pi\mu^2\right)^{(D-4)/2}
\Gamma\left(4-D\over2\right)
\int_0^1 dx\,x(1-x)\left(1-x(1-x){k^2\over m^2}\right)^{(D-4)/2}
\cr
&\quad
-(Z_A-1)k^2.
}
$$
���������� $D=4-2\ve$, $\ve\to 0$, �������
$$
{\Pi(k^2)\over k^2}
=-{e^2\over12\pi^2\ve}-(Z_A-1)
+{e^2\over12\pi^2}\left(\log{m^2\over2\pi\mu^2}+\C\right)
+{e^2\over2\pi^2}\int_0^1 dx\,x(1-x)\log\left(1-x(1-x){k^2\over m^2}\right).
\eqno(4)
$$
���������� ���������� ������� ��������������: ���������� ����� ����
��� ��������� ��� $k^2\to0$, �.~�.
$$
{\Pi(k^2)\over k^2}\to0
\quad\hbox{���}\quad
k^2\to0.
\eqno(5)
$$
����� �� �������
$$
\eqalignno{
Z_A
&=Z_\alpha^{-1}=1-{e^2\over12\pi^2\ve}
+{e^2\over12\pi^2}\left(\log{m^2\over2\pi\mu^2}+\C\right),
&(6)
\cr
{\Pi(k^2)\over k^2}
&={e^2\over2\pi^2}\int_0^1 dx\,x(1-x)\log\left(1-x(1-x){k^2\over m^2}\right)
\cr
&=-{e^2\over60\pi^2}{k^2\over m^2}+O(k^4).
&(7)}
$$

\proclaim ���������. ��� �������� � ������������ ������������ ���
���� �������� � ������ ������ (��.\ �����������, ������, ����������):
$$
\varphi(r)\sim{1\over4\pi r}\left(1+{e^2\over16\pi^{3/2}}
{e^{-2mr}\over(mr)^{3/2}}\right),
\qquad r\gg m^{-1}.
$$

���������� ������ ������� ��������������. �����
$$
\Pi(-M^2)=0.
\eqno(8)
$$
���������� ������ $M^2\gg m^2$, �����
$$
\int_0^1 dx\,x(1-x)\log\left(1+x(1-x){M^2\over m^2}\right)
\simeq-{5\over18}+{1\over6}\log{M^2\over m^2}.
$$
� ���� ������
$$
\eqalignno{
Z_A
&=Z_\alpha^{-1}=1-{e^2\over12\pi^2\ve}
+{e^2\over12\pi^2}\left(\log{M^2\over2\pi\mu^2}+\C-{5\over3}\right),
&(9)
\cr
{\Pi(k^2)\over k^2}
&={e^2\over12\pi^2}\log{-k^2-i0\over M^2},
\qquad
|k^2|\gg m^2.
&(10)}
$$
�� (9) ��������
$$
e_0^2=e^2-{e^4\over12\pi^2}
\left(-{1\over\ve}+\C-{5\over3}+\log{M^2\over2\pi\mu^2}\right).
$$
����� ����� �� ������� �� ����� �������������� $M^2$. �������������
��������� �� $\log M^2$ � �������� ���� ������� ������, �������
��������� ����-�����--���:
$$
{de^2\over d\log M^2}={e^4\over12\pi^2}.
\eqno(11)
$$
����� ��� ���������, �������
$$
e^2(M^2)={e^2(M^{\prime2})
\over1-{e^2(M^{\prime2})\over12\pi^2}\log{M^2\over M^{\prime2}}},
\qquad M^2,M^{\prime2}\gg m^2.
\eqno(12)
$$
����� ����, ����, ��� ������� (12) ����� ������ ����� ������
��������� � ����������� ������ �������:
$$
M^2\ll M^{\prime2}e^{12\pi^2/e^2(M^{\prime2})}.
$$
������� (12) ����� �������� ������������ ��� ���������� �����������
����������� ������ ��� $|k^2|\gg m^2$. �������������, ����������
���������� � ���������� ������
$$
D_{\mu\nu}(k)=D(k^2)\left(g_{\mu\nu}-{k_\mu k_\nu\over k^2}\right)
$$
� �������� ��������������~(5). ��������� ����� $D(k^2,M^2)$ ���������
��������� ������ �� ����������� � ��������~(8). �����
$$
Z_AD(k^2)=Z_A(M^2)D(k^2,M^2)
$$
--- ������������������� ����������. ������
$$
D(k^2)={Z_A(M^2)\over Z_A}D(k^2,M^2)
={Z_\alpha\over Z_\alpha(M^2)}D(k^2,M^2)
={e^2(M^2)\over e^2}D(k^2,M^2).
$$
������� $M^2=-k^2$ � ����, ��� $D(k^2,-k^2)=1$,
��������
$$
D(k^2)={e^2(-k^2)\over e^2}.
\eqno(13)
$$
��� $M^2$ ��������� � $m^2$ ������ ����� (11) ���������, � ���������,
����� �������� ���� �� $M^2/m^2$. ��� �� �����, ����� �� ����������
������ ������� ������� ���������, � ������������, ��� �� ���������
�� $0$ �� $m^2$ ��������� $e^2(M^2)$ ���������� ������������� �
�������� ����� $e^2$, � �� ������� ��������� ��������� ��������� (11).
�����
$$
D(k^2)\simeq-{i\over k^2}
{1\over1-{e^2\over12\pi^2}\log{|k^2|\over Cm^2}},
\qquad
|k^2|\gg m^2,
\eqno(14)
$$
��� $C$ --- ��������� ��������� ������� �������.
��������� ��� ������� $M^2$ �������� $e(M^2)$ ������� �� ����
������ �� $|M^2|$, �� (14) ����� �� ������ ��� ������������� $k^2$,
�� � ��� ����� ������� �� ������ $k^2$.

���������� ������ �������� ���������� ���������:
$$
G^{-1}(p)=-i(\hat p-m-\Sigma(\hat p)),
\eqno(15)
$$
��� $\Sigma(\hat p)=i\Gamma(p)$ --- {\it ����������-�������������� (��������)
�����}. �����
$$
\eqalignno{
\Sigma(\hat p)
&=\Sigma_{(1)}(\hat p)+\Sigma_{(2)}(\hat p),
\cr
-i\Sigma_{(1)}(\hat p)
&=
\mpicture{0.5cm}
\rl -1.0 0.0 , 1.0 0.0
\ar -0.09 0.0 , -0.1 0.0
\setdashes
\circulararc 180 degrees from 0.5 0.0 center at 0.0 0.0
\setsolid
\endmpicture
=(-i\mu^{(4-D)/2}e)^2\int{d^Dk\over(2\pi)^D}\,
{(-i)i\gamma^\mu(\hat p-\hat k+m)\gamma_\mu
\over(k^2+i0)((p-k)^2-m^2+i0)}
\cr
&=-\mu^{4-D}e^2\int_0^1dx\int{d^Dk\over(2\pi)^D}\,
{\gamma^\mu(\hat p-\hat k+m)\gamma_\mu
\over(k^2x+(p-k)^2(1-x)-m^2+i0)^2},
\cr
-i\Sigma_{(2)}(\hat p)
&=
\mpicture{0.5cm}
\rl -1.0 0.0 , 1.0 0.0
\ln 0.1 0.1 , -0.1 -0.1
\ln -0.1 0.1 , 0.1 -0.1
\endmpicture
=i(Z_\psi-1)\hat p-i(Z_\psi Z_m-1)m.
}
$$
���������� ������ ����. ������� $k\to k+px$, �������
$$
\eqalignno{
-i\Sigma_{(1)}(\hat p)
&=-\mu^{4-D}e^2\int_0^1dx\int{d^Dk\over(2\pi)^D}\,
{\gamma^\mu(\hat p(1-x)-\hat k+m)\gamma_\mu
\over(k^2-m^2x+p^2x(1-x)+i0)^2}
\cr
&=-\mu^{4-D}e^2\int_0^1dx\,\gamma^\mu(\hat p(1-x)+m)\gamma_\mu
\int{d^Dk\over(2\pi)^D}\,{1\over(k^2-m^2x+p^2x(1-x)+i0)^2}
}
$$
�������� �� �� �������, ��� � � ���������� ������, � ��������, ���
$$
\gamma^\mu\gamma_\mu=D,
\qquad
\gamma^\mu\hat p\gamma_\mu=(2-D)\hat p,
$$
������
$$
\Sigma_{(1)}(\hat p)
=-{ie^2\over16\pi^2}\left(m^2\over4\pi\mu^2\right)^{(D-4)/2}
\Gamma\left(4-D\over2\right)
\int_0^1 dx\,((2-D)\hat p(1-x)+Dm)
\left(x-x(1-x){p^2\over m^2}\right)^{(D-4)/2}.
$$
����������� ������ $D=4$, �������
$$
\eqalignno{
\Sigma(\hat p)
&=-{e^2(\hat p-4m)\over16\pi^2}\left(
{1\over\ve}-\log{m^2\over4\pi\mu^2}-\C\right)
\cr
&\quad
+{e^2\over16\pi^2}\left(
\hat p-2m+2\int_0^1dx\,(\hat p(1-x)-2m)\log\left(
x-x(1-x){p^2\over m^2}\right)\right)
\cr
&\quad
-(Z_\psi-1)\hat p+(Z_\psi Z_m-1)m.
&(16)}
$$

������ ������ ������� ��������������:
$$
\Sigma(\hat p)=\Sigma'(\hat p)=0
\quad\hbox{���}\quad
\hat p=\tilde m.
\eqno(17)
$$
����� �� ����� �������������� ������� ��������� �������� $\tilde m$,
������ ������, �������� �� $m$. �����
$$
\eqalignno{
Z_\psi-1
&=-{e^2\over16\pi^2}\left(
{1\over\ve}-\log{m^2\over4\pi\mu^2}-\C\right)
\cr
&
+{e^2\over16\pi^2}\left(
1+2\int_0^1dx\,\log\left(x-x(1-x){\tilde m^2\over m^2}\right)
-4\int_0^1dx\,{\tilde m(\tilde m(1-x)-2m)(1-x)\over m^2-(1-x)\tilde m^2}
\right),
&(18)
\cr
(Z_\psi-1)\tilde m
&-(Z_\psi Z_m-1)m
=1-{e^2(\tilde m-4m)\over16\pi^2}\left(
{1\over\ve}-\log{m^2\over4\pi\mu^2}-\C\right)
\cr
&
+{e^2\over16\pi^2}\left(
\tilde m-2m+2\int_0^1dx\,(\tilde m(1-x)-2m)\log\left(
x-x(1-x){\tilde m^2\over m^2}\right)\right),
&(19)}
$$
������� �������� �� ��, ��� ������ �������� � (18) {\it ����������\/}
�� �������� �����������, �.~�.\ ��� $\tilde m=m$. ��� ������� �
������������� �������� �������� �������� ��� $G(p)$ ��� �������
�������������� (17) � $\tilde m=m$. ��� ������ {\it ������������
������������}, ����������� �� ������������� ������. �� ����� ����
������������ ������������ ����������� �� ���� ��������� �����������
�������� ��������� (�� �� ����������!). � ��������� ��� �� ������,
��� ��� ������� � ����������� ������ ������� �� ���� ���������
���������. ������� �����, ��� ����� ���������� ���������������
������ ����������, ��� �� ����� ����
$$
G(p)\sim(p^2-m^2)^{-1+{e^2\over4\pi^2}(3-\lambda)},
$$
�.~�.\ ����� ���������� �� ����� ���������.




\end
