\input pictex
\def\d{\partial}
\def\qd{\dot q}
\def\qdd{\ddot q}
\def\H{{\cal H}}
\def\F{{\cal F}}
\def\O{{\cal O}}
\def\Dt{\Delta t}
\def\D{{\cal D}}
\def\vp{\varphi}
\def\Im{\mathop{\rm Im}\nolimits}
%%%%%%% For figures: %%%%%%%
\def\ar#1 #2, #3 #4 {\arrow <0.2truecm> [0.15,0.4] from #1 #2 to #3 #4 }
%\def\ln#1 #2, #3 #4 {\arrow <0.01truecm> [0,0] from #1 #2 to #3 #4 }
\catcode`!=11
\def\ln#1 #2, #3 #4 {\!start(#1,#2)\!ljoin(#3,#4)}
\catcode`!=12
\def\rl#1 #2, #3 #4 {\putrule from #1 #2 to #3 #4 }
\def\trl#1 #2, #3 #4 {\linethickness .8pt
	\putrule from #1 #2 to #3 #4 \linethickness .4pt}
\def\circle #1 #2, #3 #4 {\circulararc 360 degrees from #1 #2 center at #3 #4 }
\def\point#1 #2 {\put{\hbox{\kern -1pt .}} [Bl] at #1 #2 }
\def\bfpoint#1 #2 {%
\put{\hbox{\kern -2pt \raise -2.3pt%
\hbox{$\textstyle\bullet$}}} [Bl] at #1 #2 }
\def\figcap#1#2\par{\medskip{\narrower\eightpoint\noindent
	Fig.~#1. \ignorespaces#2\par}\medskip}
\def\mpicture#1#2\endmpicture{\quad\vcenter{\hbox{%
	\vphantom{\vrule height#1 depth#1}%
	\beginpicture
	\setcoordinatesystem units <1cm,1cm> point at 0 0
	#2
	\endpicture}}\quad}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\vbox{
\centerline{\bf Задача 6}
\centerline{\bf Эффективный потенциал}
\bigskip}\nobreak
В теории $\varphi^4$ эффективное действие можно записать в виде
$$
\Gamma(\varphi)
=\int d^4x\,\left({1\over2}(\d_\mu\varphi)^2
-V_{\rm eff}(\varphi)\right)
+\cdots,
$$
где многоточие обозначает члены с высшими производными поля $\varphi$.
Функция $V_{\rm eff}$ называется {\it эффективным потенциалом}.
Покажите, что эффективный потенциал в однопетлевом приближении
равен
$$
V_{\rm eff}(\varphi)
={m^2\over2}\varphi^2+{\lambda\over4!}\varphi^4
+{1\over64\pi^2}
\left[
\left(m^2+{\lambda\over2}\varphi^2\right)^2
\log\left(m^2+{\lambda\over2}\varphi^2\right)
-a\varphi^2-b\varphi^4
\right]
$$
Вычислите $a$ и $b$ из условия перенормировки
$m^2=V''_{\rm eff}(0)$, $\lambda=V^{(IV)}_{\rm eff}(0)$.

Для этого возмущением считайте и массовый член ${-m^2\over2}\varphi^2$ и
взаимодействие $-{\lambda\over4!}\varphi^4$ и вычислите все диаграммы вида
$$
\mpicture{1.5cm}
\circulararc 180 degrees from 0 1 center at 0 0
\setdashes
\circulararc 180 degrees from 0 -1 center at 0 0
\setsolid
\bfpoint -1 0
\bfpoint -0.5 0.87
\bfpoint -0.5 -0.87
\endmpicture
\hskip 1.5cm,\qquad\hbox{где}\quad
\mpicture{0cm}
\rl -0.5 0 , 0.5 0
\bfpoint 0 0
\endmpicture
=
\mpicture{0cm}
\rl -0.5 0 , 0.5 0
\rl 0 0.1 , 0 -0.1
\put {$m^2$} [bc] <0pt,2pt> at 0 0.1
\put {$\phantom{m^2}$} [tc] <0pt,-2pt> at 0 -0.1
\endmpicture
+
\mpicture{0cm}
\rl -0.5 0 , 0.5 0
\ln 0 0 , -0.25 0.5
\ln 0 0 , 0.25 0.5
\endmpicture
$$
с нулевыми импульсами на внешних линиях. К двум первым диаграммам
(двухточечной и четырехточечной) нужны контрчлены, порождающие два
последних члена в выражении для эффективного потенциала.

Рассмотрите два случая: 1)~$m^2>0$, 2)~$m^2<0$. Покажите, что
во втором случае минимум эффективного потенциала $\varphi_{\rm min}\ne0$
(имеет место спонтанное нарушение симметрии). Чему равна масса
физических частиц в этом случае?

\end
