\def\d{\partial}
\def\qd{\dot q}
\def\qdd{\ddot q}
\def\H{{\cal H}}
\def\F{{\cal F}}
\def\O{{\cal O}}
\def\Dt{\Delta t}
\def\D{{\cal D}}
\def\vp{\varphi}

\vbox{
\centerline{\bf Задача 8}
\centerline{\bf Спонтанное нарушение симметрии}
\bigskip}\nobreak
Рассмотрите теорию комплексного скалярного поля
$$
S[\phi]=\int d^Dx\,(|\d_\mu\phi|^2-V(\phi))
$$
с потенциалом
$$
V(\phi)=-\mu^2|\phi|^2+{\lambda\over2}|\phi|^4.
$$
При $\mu^2>0$ в теории имеется спонтанное нарушение $U(1)$-симметрии.
Именно, на классическом уровне минимум потенциала достигается при
$\phi(x)=\phi_0e^{i\alpha}$ ($\alpha\in{\bf R}$), где
$$
\phi_0=\left(\mu^2\over\lambda\right)^{1/2}.
$$
Это значит, что настоящим вакуумом теории является состояние с
$\langle\phi\rangle=\phi_0$ (без ограничения общности можно положить
$\alpha=0$). Покажите, что в теории имеется один безмассовый
нейтральный бозон ({\it голдстоуновский\/} бозон) и один массивный
нейтральный бозон.

Рассмотрите теперь скалярную электродинамику
$$
S[A,\phi]=\int d^Dx\,\left(-{1\over4}F^2_{\mu\nu}
+|D_\mu\phi|^2-V(\phi)\right)
$$
с тем же потенциалом $V(\phi)$. Покажите (на уровне простого подсчета
индексов расходимостей), что эта теория перенормируема в четырех
измерениях. Покажите (на классическом уровне), что электромагнитное поле
в этой модели приобретает массу ({\it эффект Хиггса\/}).

\end
