\input xmppt
\def\d{\partial}
\def\const{\mathord{\rm\,const\,}}
\def\lcolon{\mathopen:}
\def\rcolon{\mathclose:}
\def\half{{1\over2}}
\def\Z{{\bf Z}}
\def\R{{\bf R}}
\def\C{{\bf C}}

{\bf
\centerline{������~1}
\centerline{��������� ����������� ����}
\centerline{� ��������� ������������-�������}
}
\bigskip
���������� ��������� ������������ ����������� �������� ����
� ���������� ������������ � ���������
$$
S_E[\phi]=\int {d^2x\over8\pi}\,(\d_\mu\phi)^2
=\int {d^2x\over2\pi}\,\d\phi\,\bar\d\phi
=\int {d\bar z\,dz\over4\pi i}\,\d\phi\,\bar\d\phi,
\eqlabel\bosaction
$$
��� ������������ ����������� ���������� $z=x^2+ix^1$ � $\bar z=x^2-ix^1$
� ��������������� ��������� ����������������� $\d={1\over2}(\d_2-i\d_1)$
� $\bar\d={1\over2}(\d_2+i\d_1)$. ��� �������� � ������������ �����������
��� ���������� ��������� � ���������� ��������� ������
$x_+=iz=x^0+x^1$, $x_-=i\bar z=x^0-x^1$.
������� ������������ ��������� ��������
$$
\d\bar\d\phi=0
$$
����� ���
$$
\phi(x)=\varphi(z)+\overline{\mathstrut\varphi(z)}
=\varphi(z)+\bar\varphi(\bar z).
\eqlabel\bossolution
$$
����� $\varphi(z)$ --- ������������ ������������� �������.

����� ��������� ������ �������-�������� �� �������
$$
T_\mu^\nu=L\delta_\mu^\nu-\phi_{,\mu}{\d L\over\d\phi_{,\nu}}.
$$
� ����������� �����������
$$
T_{z\bar z}=T_{\bar zz}=0,
\qquad
T_{zz}={1\over i\pi}\,T(z),
\qquad
T_{\bar z\bar z}={1\over i\pi}\,\bar T(\bar z),
\eqlabel\emtcomponents
$$
���
$$
T(z)=-{1\over2}(\d\phi)^2,
\qquad
\bar T(\bar z)=-{1\over2}(\bar\d\phi)^2.
\eqlabel\bosemtcl
$$
��� ����, ������,
$$
P_z={\textstyle\half}P^{\bar z}=\int{dz\over2\pi i}\,T(z).
$$

�������� � �����������. �������� ����� ���������� � ����
$$
S_E={1\over2}(\phi,K\phi),
\qquad
(a,b)=\int d^2x\,a(x)b(x),
\qquad
K=-{1\over4\pi}\nabla^2=-{1\over\pi}\d\bar\d.
$$
�������� �������� � $K$ ������������ ����� (��������) ����������
������:
$$
KG_E(x)=\delta(x).
\eqlabel\greendef
$$

�������, ���
$$
\bar\d{1\over z}=\d{1\over\bar z}=\pi\delta(x).
\eqlabel\singidentity
$$
�������������, �����
$$
\int_{|x|\le R}d^2x\,\bar\d{1\over z}
=\int_{|x|\le R}d^2x\,\nabla\left({1\over2z},{i\over2z}\right)
=\int dl\,{\bf n}\left({1\over2z},{i\over2z}\right)
=\int_0^{2\pi}d\vartheta\,r
{\cos\vartheta+i\sin\vartheta\over2re^{i\vartheta}}
={1\over2}\int_0^{2\pi}d\vartheta=\pi.
$$
��� ����� $x=0$ ������� ��������� (4) ������ ����� ���~(2).
����� ������ ����������-������������ �������, �.~�.\ ���������
������ �� $|z|^2=z\bar z$. ������ �����, ��� $\varphi(z)\sim\log z$:
$$
\d\bar\d\log z\bar z=\d\bar\d(\log z+\log\bar z)
=\d{1\over\bar z}=\pi\delta(x).
$$
����� �����, ��� ������ ������������ $\d$ � $\bar\d$. ��� ��������
������� ���������� ��������� � �������� �����������:
$$
\eqalignno{
\int d^2x\,\d\bar\d\log|z|^2
&={1\over4}\int d^2x\,\nabla^2\log r^2
={1\over4}\int d{\bf n}\cdot\nabla\log r^2
\cr
&={1\over4}\int_0^{2\pi}r\,d\vartheta\,{\d\over\d r}\log r^2
=\pi.
}
$$
������������ ��������
$$
G_E(x)\equiv\langle\phi(x)\phi(0)\rangle
=\log{R^2\over z\bar z},
\eqlabel\boscorr
$$
��� $R$ --- ������������ ��������� ����������� �����. �����������
��� ��������� �� ���������, ������ ������, ������. ������ ����
�� ����� ������������� ������ �� ������� ��������� ������� $l$ � �������
���������� ���������, �� ��� $|x|\ll l$ �������������� ������� �����
�������� ��������~(4) � $R\sim l$. ����� ����, �������������� �������
����������� �� $\phi$ ���������� ����������. ���� � ������ �����
����� � ���������� ������������ �������������� ��������.

��������� �������������� ������� ����� ����� �� ������� ����.
�� ������� �������� �������� ������ ����������� ������������.
� ���������, ������ ������� �������� ������� ���������� ���
$$
T(z)=-\half\lcolon(\d\phi)^2\rcolon,
\qquad
\bar T(\bar z)=-\half\lcolon(\bar\d\phi)^2\rcolon.
\eqno(7)
$$
���������� ������������ $T(z')T(z)$ � �������� ��� � ����������� ����:
$$
\eqalignno{
T(z')T(z)
&={1\over4}\lcolon\d\phi(z')\d\phi(z')\rcolon
\lcolon\d\phi(z)\d\phi(z)\rcolon
\cr
&={1\over4}\lcolon(\d\phi(z'))^2(\d\phi(z))^2\rcolon
+\langle\d\phi(z')\d\phi(z)\rangle\lcolon\d\phi(z')\d\phi(z)\rcolon
+{1\over2}\langle\d\phi(z')\d\phi(z)\rangle^2
\cr
&={1\over4}\lcolon(\d\phi(z'))^2(\d\phi(z))^2\rcolon
-{1\over(z'-z)^2}\lcolon\d\phi(z')\d\phi(z)\rcolon
+{1\over2(z'-z)^4}.
}
$$
�������� ������ ���� � ��� ������� �� $(z'-z)$, ��������
$$
T(z')T(z)
={1/2\over(z'-z)^4}+{2T(z)\over(z'-z)^2}+{\d T(z)\over z'-z}
+\cdots.
\eqlabel\bosvir
$$
����� ���������� ���������� ���������� �����.

������ ���������� ��������� ������������� ���������� ����:
$$
S_E[\psi,\bar\psi]
=\int{d^2x\over2\pi}
(\psi\bar\d\psi-\bar\psi\d\bar\psi).
\eqlabel\feraction
$$
��� �������� ����� �������� ��������� �������. ������� $\gamma$-�������
� ������������ ����������� � ����
$$
\gamma^0=\pmatrix{&-i\cr i&},
\qquad
\gamma^1=\pmatrix{&i\cr i&}.
$$
��� $\gamma$-������� --- ����� ������ �, �������������, ��������
������������� ��������. ��� ������,
��� �� ���������� ���������������� ���� $\Psi$ ����� ��������
������� ��������������
$$
\Psi^*(x)=\Psi(x).
\eqlabel\majorana
$$
�������������, �������� $i\hat\d=i\gamma^\mu\d_\mu$
� ���� ������ ����� ������������ � ����������� ��������
$\int d^2x\,\bar\Psi\,i\hat\d\Psi$
���� ����������� (������� �������, ��� �������� ���������������!).
� ����������� ��������� ������ ��� �������� ����� ���
$$
i\int d^2x\,(\psi_1\d_-\psi_1+\psi_2\d_+\psi_2).
$$
�������� � ��������� ������������ ($iS_M=-S_E$, $x^2=-ix^0$), ��������
$$
\int d^2x\,(\psi_1\bar\d\psi_1+\psi_2\d\psi_2).
$$
�������, ���
$$
(\psi_1\bar\d\psi_1)^*=(\d\psi^*_1)\psi^*_1=-\psi^*_1\d\psi^*_1,
$$
��� ��� ������� �������� (\majorana) �� ����������� � ���������������
��������� �������� �, �������������, ������� � ������ �������.
� ������������ ��������� ����������� ������� $\psi^*_1=i\psi_2$.
������������� $\psi\sim\psi_1$, $\bar\psi\sim i\psi_2$, ��������
�������� (\feraction) � ��������
$$
\psi^*(x)=\bar\psi(x).
\eqlabel\eucmajorana
$$

������� ������������ ��������� ��������
$$
\bar\d\psi=0,
\qquad
\d\bar\psi=0
\eqlabel\ferclequation
$$
����� ���
$$
\psi(x)=\psi(z),
\qquad
\bar\psi(x)=\overline{\mathstrut\psi(z)}=\bar\psi(\bar z).
\eqlabel\ferclsolution
$$
������ ������ ������ �������-��������. �� ����� ������� �������
$$
T^z_z={1\over4\pi i}\psi\bar\d\psi,
\qquad
T^{\bar z}_{\bar z}=-{1\over4\pi i}\bar\psi\d\bar\psi,
\qquad
T^{\bar z}_z=-{1\over4\pi i}\psi\d\psi,
\qquad
T^z_{\bar z}={1\over4\pi i}\bar\psi\bar\d\bar\psi.
$$
�� ���������� �������� $T^z_z=T^{\bar z}_{\bar z}=0$, �.~�.\ $T^\mu_\mu=0$.
��������� ���������� ������� ������� �������� � ������������
(\emtcomponents) �����%
\nfootnote{����� ������ ����� ��������-���������� (���������) ��������,
� �������� ������� ������� ����������� ������ ��� ������ ��������� �,
�������������� $\bar T=0$ ��� $T=0$.}
$$
T(z)=-\half\psi\d\psi,
\qquad
\bar T(\bar z)=\half\bar\psi\bar\d\bar\psi.
\eqlabel\feremtcl
$$

������ ���������� �����������. ��������, $K={1\over\pi}\bar\d$ ���
���� $\psi$ � $K={1\over\pi}\d$ ��� ���� $-\bar\psi$. ��������������,
$$
\langle\psi(z')\psi(z)\rangle={1\over z'-z},
\qquad
\langle\bar\psi(z')\bar\psi(z)\rangle=-{1\over\bar z'-\bar z}.
\eqlabel\fercorrfunc
$$
������ ������� �������� ���������� ����� ���������� ������������:
$$
T(z)=-\half\lcolon\psi\d\psi\rcolon,
\qquad
\bar T(\bar z)=\half\lcolon\bar\psi\bar\d\bar\psi\rcolon.
\eqlabel\feremt
$$
���������� ��������� ������ �������
$$
T(z')T(z)={1/4\over(z'-z)^4}+{2T(z)\over(z'-z)^2}+{\d T(z)\over z'-z}+\cdots.
\eqlabel\fervir
$$
��� ��������� ���������� �� (\bosvir) ������������� $1/4$ � ������ �����.
� ����� ������ ����������� ������������ ��� ���������� �������-�������
�������� ����� ���
$$
T(z')T(z)={c/2\over(z'-z)^4}+{2T(z)\over(z'-z)^2}+{\d T(z)\over z'-z}+\cdots.
\eqlabel\tope
$$
��������� $c$ ���������� {\it ����������� �������\/} � �������������
������. � ������ ���������� ������ $c=1$, � � ������ �������� $c=1/2$.

����� ������������� ������� ����������� �����������. ������, ������
����� $\tau$ � ���������� $\sigma$ ���
$$
z=e^{\tau+i\sigma},
\qquad
\bar z=e^{\tau-i\sigma}.
$$
��� ������, ��� �� ����� ������������� ������ �� �������� � ���������� �����
$2\pi$, ������ ����� $z=0$ ������������� ������������ ��������,
� $z=\infty$ --- ������������ ��������. ���������� ���������������
� ����������� $\tau$, $\sigma$ �� ������ ����� �������� ������������
����� ���������� ��������.

���������� �����-��������� � ���� �������:
$$
L_n=\oint{dz\over2\pi i}\,z^{n+1}T(z),
\qquad
T(z)=\sum_{n\in\Z}L_n z^{-n-2}.
\eqlabel\lndef
$$
������� ������� �������������� ����������� ��� $L_n$. � ��������
����������� ���������� (\tope) �������������� ������ � ����� $z'=z$
� �������� ��������� �� ���� ������������������ �������� ������.
����� ��������������� ���, ��� ��� ������������� ����������
�� �������� {\it ���������������\/} ������������.
��������� ����� �� ����� �������, ��� � ������������
$$
L_mL_n
=\oint_{C_1}{dz\over2\pi i}\oint_{C_2}{dw\over 2\pi i}\,T(z)T(w)
$$
������ $C_1$ ���������� ������ $C_2$ (��������� � ������� �� ���������
� ����) � ��� ��� ���������� $0$. �����
$$
[L_m,L_n]
=\oint_{C_2}{dw\over2\pi i}\oint_{C_w}{dz\over 2\pi i}\,T(z)T(w),
$$
��� $C_w$ --- ��������� ������ ������ $w$. ���������� ���� (\tope),
���� �������� �� ������ � ������� ��������� � �������� ����� � �����
$z=w$, ��������
$$
[L_m,L_n]=(m-n)L_{m+n}+{c\over12}m(m^2-1)\delta_{m+n,0}.
\eqlabel\virasoro
$$
������� �� � ����������� $L_n$, $c$ � ��������������� �������������
(\virasoro) ���������� {\it �������� ��������}. ��� ���������� $\bar T$
����� ������ ���� ���������� $\bar L_n$, ��������������� ����� ��
�������������� ������������.%
\nfootnote{������ ������, ����������� ������ $c$ � $\bar c$
���� ���� ������ ����� �� ���������, �� ��� ���������� ������ �
���������� �������������� �������� ��� ���������.}
�������� $\bar L_0$ ������ ���� ������������� � �������, � ������� ����
������� ������ <���������� ��������� ������> $\log\bar z=\tau-i\sigma$.
����� ��������, ��� $L_n$ ����������� � �������������� � ��������
����������� ��������. �� ������������ ������ ����� �������, ���
��������� $\bar\d z^{n+1}T(z)=0$ ��������, ��� $z^{n+1}T(z)$ ��������
������������� �����. ����, �� �������� ������� � ����������� ������
���������� ��������.

������� ���������� ����� ���������� �����������. ������ �����,
�� ������������� ������, �����
$$
T^\mu_\mu=0
$$
�� ������� ���� �� ���������� ��������. ��� ������� ��������
������� ���������� �������������� �������. �������������, ���������
$T^{\mu\nu}$ �������������� �������� �������� �� $g_{\mu\nu}$, �������
���� ��������, ��� �������� ����������� ��� ���������������, ��� �������
������� ���������� �� ������, � ��� � ���� ���������� ��������������.
� ��������� ������ ���������� �������������� ������������ ����� �����
������������� �������������� $z\to f(z)$, $\bar z\to\overline{\mathstrut f(z)}$
� $z\to\overline{\mathstrut f(z)}$, $\bar z\to f(z)$. ������������ ����
�������������� ���������������, ��� ��� ������� �������, ��� �������
�������� �������� ��� ���������������� ���������. ����� ��������������
����� ���� ������ ���� ������ ������-�������� ��������������
(�������������� �������)
$$
z\to{az+b\over cz+d}.
\eqlabel\moebius
$$
����� ���� ���������� �������������� ���
�������������� �������� ���, ��� ��� �������\:-���������� �� �����
$\C\cup\{\infty\}$. ��� �������������� �������� ������
$SL(2,\R)$. �������������, �������������� (\moebius) ����� �����������
������� $\pmatrix{a&b\cr c&d}$, ������ ���������� �������������� ��������
������������ ������. ������������ $a,\ldots,d$ ����� ����������� ��������
$ad-bc=1$.

������ ������� ����������� ���������� ����������:
$$
\eqalign{
&\hbox{������:~}&&z\to z+b,
\cr
&\hbox{���������:~}&&z\to az,
\cr
&\hbox{��������:~}&&z\to 1/z.
}
$$
���������� ����������-����� ��������������
$$
z\to z+\varepsilon_{-1},
\qquad
z\to z(1+\varepsilon_0),
\qquad
z^{-1}\to z^{-1}-\varepsilon_1.
$$
��� �������������� ��������� �� ������� ���
$\delta g(z)=-\sum\varepsilon_nl_n g(z)$, ������
$$
l_{-1}=-\d,
\qquad
l_0=-z\d,
\qquad
l_1=-z^2\d.
$$
����� ���������� ���������������
$$
z\to z+\sum_{n\in\Z}\varepsilon_n z^{n+1}
$$
�������� ���������
$$
l_n=-z^{n+1}\d
\eqlabel\confgenerators
$$
� ��������������� �������������
$$
[l_m,l_n]=(m-n)l_{m+n}.
\eqlabel\confalgebra
$$
������� (\confalgebra) ���������� �� ������� �������� ��������������
������������ $c=0$. �������� ��������, ��� ���������� ������� ��������,
����������� $L_0$, $L_{\pm1}$ ��������� � �����������, �����������
����������� $l_0$, $l_{\pm1}$, �.~�.\ � �������� $sl(2,\R)$.
��� ������, ��� ������ ������-�������� �������������� ��������
���������� ������ � ����� �����������. ������ �� ������� ����������
������� �������������, �� �������� ����������������.

\end
