\input xmppt
\def\d{\partial}
\def\const{\mathord{\rm\,const\,}}
\def\lcolon{\mathopen:}
\def\rcolon{\mathclose:}
\def\half{{1\over2}}
\def\Z{{\bf Z}}
\def\R{{\bf R}}
\def\C{{\bf C}}
\def\H{{\cal H}}
\def\L{{\cal L}}

{\bf
\centerline{Лекция~2}
\centerline{Вершинные операторы и операторные разложения}
}
\bigskip
Мы уже говорили о том, что нам следует искать поля, корреляционные
функции которых остаются конечными при стремящемся к бесконечности
размере области $R$. В этой лекции мы рассмотрим класс таких полей.

Пусть $\Phi$ --- произвольная линейная комбинация величин $\phi(x)$,
взятых в разных точках. Тогда
$$
\langle e^\Phi\rangle
=\sum_{n=0}^\infty{1\over(2n)!}\langle\Phi^{2n}\rangle
=\sum_{n=0}^\infty{1\over(2n)!}{2n\choose n}{n!\over2^n}
\langle\Phi^2\rangle^n
=e^{\half\langle\Phi^2\rangle}.
$$
Мы хотим подставить $\Phi=i\sum\alpha_i\phi(x_i)$. Очевидно,
что среднее $\langle\Phi^2\rangle$ будет содержать средние
$\langle\phi^2(x_i)\rangle$, равные бесконечности.
Давайте обрежем (4) на масштабе $r\ll R$ и положим
$$
\langle\phi^2(x)\rangle=\log{R^2\over r^2}.
$$
Тогда
$$
\langle e^{i\sum\alpha_i\phi(x_i)}\rangle
=r^{\sum\alpha_i^2}R^{-\left(\sum\alpha_i\right)^2}
\prod_{i<j}|x_i-x_j|^{2\alpha_i\alpha_j}.
\eqlabel\expexpect
$$
Введем операторы
$$
\lcolon e^{i\alpha\phi(x)}\rcolon=r^{-\alpha^2}e^{i\alpha\phi(x)}.
\eqlabel\vo
$$
Эти операторы ({\it вершинные операторы\/}) и в самом деле представляют
собой ряды $\sum{1\over n!}\lcolon(i\alpha\phi)^n\rcolon$. Средние
этих операторов не зависят от ультрафиолетового обрезания $r$.
Второй множитель в (\expexpect) не может быть исключен изменением
нормировки полей. Однако он стремится к нулю при $R\to\infty$,
если $\sum\alpha_i\ne0$.

Окончательно находим
$$
\eqalign{
\langle\prod_i\lcolon e^{i\alpha_i\phi(x_i)}\rcolon\rangle
&=\prod_{i<j}|x_i-x_j|^{2\alpha_i\alpha_j}
\quad\hbox{при }\sum_i\alpha_i=0\hbox{ и }
\cr
&=0
\quad\hbox{в противном случае.}
}\eqlabel\vocorr
$$
Множитель $\delta_{\sum\alpha_i,0}$ означает только то, что
корреляционная функция равна нулю, если $\sum\alpha_i\ne0$.
Важное свойство этих корреляционных функций --- голоморфная факторизуемость.
Действительно, формально мы можем ввести поля $\varphi(z)$,
$\bar\varphi(\bar z)$ с корреляционными функциями
$$
\langle\varphi(z')\varphi(z)\rangle
=\log{R\over z'-z},
\qquad
\langle\bar\varphi(\bar z')\bar\varphi(\bar z)\rangle
=\log{R\over\bar z'-\bar z}.
$$
Нетрудно проверить, что корреляционная функция
$$
\eqalign{
\langle\lcolon e^{i\alpha_1\varphi(z_1)}\rcolon\ldots
\lcolon e^{i\alpha_N\varphi(z_N)}\rcolon\rangle
&=\prod_{i<j}(z_i-z_j)^{\alpha_i\alpha_j}.
\quad\hbox{при }\sum_i\alpha_i=0\hbox{ и }
\cr
&=0
\quad\hbox{в противном случае.}
}\eqlabel\chirvocorr
$$
Аналогично для $\bar\varphi(\bar z)$. Голоморфная факторизуемость
означает в данном случае, что
$$
\langle\prod_i\lcolon e^{i\alpha_i\phi(x_i)}\rcolon\rangle
=\langle\lcolon e^{i\alpha_1\varphi(z_1)}\rcolon\ldots
\lcolon e^{i\alpha_N\varphi(z_N)}\rcolon\rangle
\langle\lcolon e^{i\alpha_1\bar\varphi(\bar z_1)}\rcolon\ldots
\lcolon e^{i\alpha_N\bar\varphi(\bar z_N)}\rcolon\rangle.
\eqlabel\vofact
$$
Аналогичным свойством обладают более общие вершинные операторы
$$
\lcolon
(\d^{k_1}\phi)^{l_1}\ldots(\d^{k_m}\phi)^{l_m}
(\bar\d^{\bar k_1}\phi)^{\bar l_1}\ldots(\bar\d^{\bar k_m}\phi)^{\bar l_m}
e^{i\alpha\phi}
\rcolon(x).
$$
Вставка такого оператора в точку 0 породит состояние в бозонной теории.
Чтобы описать это состояние более явно, разложим поле $\phi(x)$ по модам:
$$
\phi(x)=Q-iP\log{z\bar z\over R^2}
-i\sum_{n\ne0}{a_n\over n}z^{-n}
-i\sum_{n\ne0}{\bar a_n\over n}\bar z^{-n}
\eqlabel\phiexpansion
$$
с ненулевыми коммутационными соотношениями
$$
[P,Q]=-i,
\qquad
[a_m,a_n]=m\delta_{m+n,0},
\qquad
[\bar a_m,\bar a_n]=m\delta_{m+n,0}.
\eqlabel\pqacommut
$$
Введем вакуум $|0\rangle$, такой что
$$
P|0\rangle=0,
\qquad
a_n|0\rangle=\bar a_n|0\rangle=0
\quad
(n>0).
\eqlabel\bosvacuum
$$
Легко проверить, что вакуумное среднее $\langle0|\phi(x')\phi(x)|0\rangle$
совпадает с $\langle\phi(x')\phi(x)\rangle$, введенным в предыдущей лекции.

Введем собственное состояние импульса
$$
|p\rangle=e^{ipQ}|0\rangle
=\lim_{x\to0} \lcolon e^{ip\phi(x)}\rcolon|0\rangle.
$$
Тогда пространство состояний бозонного поля есть
$$
\H=\bigoplus_p\H_p\otimes\H_p
=\bigoplus_p\C[a_{-1},a_{-2},\ldots;
\bar a_{-1},\bar a_{-2},\ldots]|p\rangle.
\eqlabel\bosspace
$$
Пространства $\H_p=\C[a_{-1},a_{-2},\ldots]|p\rangle$
называются {\it фоковскими пространствами}. Описанная
конструкция является основой голоморфной факторизации в случае бозона.
Очевидно, что
$$
\eqalign{
\varphi(z)
&=Q-iP\log{z\over R}-i\sum_{n\ne0}{a_n\over n}z^{-n},
\cr
\bar\varphi(\bar z)
&=Q-iP\log{\bar z\over R}-i\sum_{n\ne0}{\bar z^{-n}\over in}\bar a_n,
}
$$
Эти два нелокальных поля имеют общую пару нулевых мод $P$, $Q$.
Это отвечает тому что разложение классического поля
$\phi(x)=\varphi(z)+\bar\varphi(\bar z)$ неоднозначно:
оно инвариантно по отношению к прибавлению константы к $\varphi$
и вычитанию той же константы к $\bar\varphi$.

Рассмотрим теперь операторное разложение тензора энергии-импульса
с вершинным оператором:
$$
\eqalignno{
T(z')\lcolon e^{i\alpha\phi(x)}\rcolon
&=-\half\lcolon(\d\phi(x'))^2\rcolon
\lcolon e^{i\alpha\phi(x)}\rcolon
\cr
&=-\half\lcolon(\d\phi(x'))^2e^{i\alpha\phi(x)}\rcolon
-i\alpha\langle\d\phi(x')\phi(x)\rangle
\lcolon\d\phi(x')e^{i\alpha\phi(x)}\rcolon
+{\alpha^2\over2}\langle\d\phi(x')\phi(x)\rangle^2
\lcolon e^{i\alpha\phi(x)}\rcolon.
}
$$
Подставляя выражения для корреляционных функций и раскладывая
нормальные произведения в ряд Тейлора по $x'-x$, получим
$$
T(z')\lcolon e^{i\alpha\phi(x)}\rcolon
={\half\alpha^2\lcolon e^{i\alpha\phi(x)}\rcolon\over(z'-z)^2}
+{\d\lcolon e^{i\alpha\phi(x)}\rcolon\over z'-z}
+\cdots.
\eqlabel\tvope
$$
Чтобы понять смысл этого соотношения, рассмотрим поле $\Phi(x)$
с операторным разложением
$$
\eqalign{
T(z')\Phi(x)
&={\Delta\Phi(x)\over(z'-z)^2}+{\d\Phi(x)\over z'-z}+\cdots,
\cr
\bar T(\bar z')\Phi(x)
&={\bar\Delta\Phi(x)\over(\bar z'-\bar z)^2}
+{\bar\d\Phi(x)\over\bar z'-\bar z}+\cdots,
}\eqlabel\primfielddef
$$
Такое поле называют {\it первичным полем конформной размерности 
$(\Delta,\bar\Delta)$}.
Очевидно, что вершинные операторы представляют собой первичные поля
конформной размерности $(\half\alpha^2,\half\alpha^2)$.
Из соотношения (\primfielddef) следуют коммутационные соотношения
для $L_n$ и $\Phi(x)$:
$$
[L_n,\Phi(x)]=z^{n+1}\d\Phi(x)+\Delta(n+1)z^n\Phi(x).
\eqlabel\lprimcommut
$$
Так как $L_n$ представляют собой генераторы конформных преобразований,
имеем
$$
\delta_{\varepsilon(z)}\Phi(x)
=\varepsilon(z)\d\Phi(x)+\Delta(\d\varepsilon(z))\Phi(x).
$$
Это соотношение легко интегрируется до конечных преобразований
$$
\Phi(z,\bar z)
\to(f'(z))^{\Delta}(\bar f'(\bar z))^{\bar\Delta}\Phi(f(z),\bar f(\bar z)).
\eqlabel\primfieldtrans
$$
Строго говоря, корреляционные функции инвариантны относительно замены
(\primfieldtrans), только когда $f(z)$ --- дробно-линейное преобразование.
Конформная размерность описывает изменение поля при масштабных
преобразованиях ($z\to\lambda z$) и поворотах ($z\to e^{i\vartheta}z$).
Очевидно, что $d=\Delta+\bar\Delta$ --- масштабная размерность поля,
а $s=\Delta-\bar\Delta$ --- спин. Конформная инвариантность накладывает
жесткие условия на корреляционные функции первичных полей. Легко показать,
что
$$
\eqalign{
\langle\Phi_1(x')\Phi_2(x)\rangle
&=0,
\hbox{ если $\Delta_1\ne\Delta_2$ или $\bar\Delta_1\ne\bar\Delta_2$},
\cr
\langle\Phi_1(x')\Phi_2(x)\rangle
&={\const\over(z'-z)^{2\Delta}(\bar z'-\bar z)^{2\bar\Delta}},
\hbox{ если $\Delta_1=\Delta_2=\Delta$,
$\bar\Delta_1=\bar\Delta_2=\bar\Delta$},
\cr
\langle\Phi_3(x_3)\Phi_2(x_2)\Phi_1(x_1)\rangle
&=\const\prod(z_j-z_i)^{\Delta_k-\Delta_i-\Delta_j}
(\bar z_j-\bar z_i)^{\bar\Delta_k-\bar\Delta_i-\bar\Delta_j},
}\eqlabel\corrfunc
$$
где $i$, $j$, $k$ --- перестановка индексов 1, 2,~3. Кроме того,
четырехточечная корреляционная функция
$\langle\Phi_4(x_4)\Phi_4(x_3)\Phi_2(x_2)\Phi_1(x_1)\rangle$
выражается через функцию
$$
G(z,\bar z)
=\lim_{Z\to\infty}Z^{2\Delta_4}\bar Z^{2\bar\Delta_4}
\langle\Phi_4(Z,\bar Z)\Phi_3(1,1)\Phi_2(z,\bar z)\Phi_1(0,0)\rangle,
\qquad
z={(z_1-z_2)(z_3-z_4)\over(z_1-z_3)(z_2-z_4)}.
\eqlabel\fourpoint
$$

Пусть теперь $|0\rangle$ --- состояние, определенное условием
$$
L_n|0\rangle=\bar L_n|0\rangle=0\hbox{ при $n\ge0$}.
\eqlabel\virvac
$$
Бозонный вакуум (\bosvacuum) удовлетворяет этому соотношению.
Произведение $\Phi(0)|0\rangle$ дает состояние $|\Delta,\bar\Delta\rangle$,
удовлетворяющее условию
$$
\eqalign{
\span
L_n|\Delta,\bar\Delta\rangle
=\bar L_n|\Delta,\bar\Delta\rangle=0
\quad(n>0),
\cr
\span
L_0|\Delta,\bar\Delta\rangle=\Delta|\Delta,\bar\Delta\rangle,
\qquad
\bar L_0|\Delta,\bar\Delta\rangle=\bar\Delta|\Delta,\bar\Delta\rangle.
}
$$
Сосредоточимся на <голоморфном> секторе. Рассмотрим {\it модуль Верма\/}
алгебры Вирасоро
$$
M(\Delta)=\C[L_1,L_2,\ldots]|\Delta\rangle.
\eqlabel\verma
$$
Вообще говоря, модуль Верма приводим. Пусть имеется вектор $|\chi\rangle$,
такой что
$$
L_n|\chi\rangle=0\quad(n>0),
\qquad
L_0|\chi\rangle=(\Delta+N)|\chi\rangle,\quad N>0,
\eqlabel\nullvector
$$
называемый {\it нуль-вектором\/} или  {\it особым вектором\/}.
Нуль-вектор ортогонален всем состояниям модуля Верма. Действительно,
если $|\varphi\rangle=L_{-n_1}\ldots L_{-n_k}|\Delta\rangle$, то
$$
\langle\varphi|\chi\rangle
=\langle\Delta|L_{n_k}\ldots L_{n_1}|\chi\rangle=0.
$$
Наличие нуль-вектора означает, что в модуле Верма имеется инвариантное
подпространство, т.~е.\ подпространство, которое само является
представлением алгебры Вирасоро. Если профакторизовать алгебру
Вирасоро по этому инвариантному подпространству (проще, говоря,
если положить $|\chi\rangle=0$), то снова получится представление
алгебры Вирасоро. Неприводимое представление получается, если
профакторизовать модуль Верма по всем инвариантным подпространствам,
т.~е.\ если положить все нуль-векторы равными нулю. Поскольку нуль-вектор
ортогонален всем векторам в модуле Верма (в том числе и самому себе),
то это естественно и с физической точки зрения.

Рассмотрим простейшие случаи. Пусть $N=1$. Тогда $L_{-1}|\Delta\rangle$
--- единственный возможный нуль-вектор. Очевидно,
$$
L_1L_{-1}|\Delta\rangle=2L_0|\Delta\rangle=2\Delta|\Delta\rangle.
$$
Это равно нулю при $\Delta=0$, т.~е.\ такой нуль-вектор имеется
только в вакуумном модуле. Введем операторы $\L_n$, действующие
на операторы по правилу
$$
(\L_n\Phi)(x)=\oint{dw\over2\pi i}\,w^{n+1}T(w)\Phi(x).
$$
Тогда
$$
(\L_n\Phi)(0)|0\rangle=L_n\Phi(0)|0\rangle.
$$
Пусть $\Phi_0(x)$ --- первичный оператор, переводящий вирасоровский вакуумный
вектор в вакуумный вектор. Тогда
$0=(\L_{-1}\Phi_0)(x)=[L_{-1},\Phi_0(x)]=\d\Phi_0(x)$.
Это значит, что $\Phi_0(x)$ --- постоянный оператор. Мы будем всегда считать,
что имеется единственный вакуумный вектор и что $\Phi_0=1$.

Теперь пусть $N=2$. В этом случае
$|\chi\rangle=(aL_{-2}+bL_{-1}^2)|\Delta\rangle$.
Следует проверить что $L_1|\chi\rangle=L_2|\chi\rangle=0$.%
\nfootnote{Это следует проверять и в общем случае, так как
все $L_n$ возникают в коммутаторах $L_1$ и $L_2$.}
Мы имеем
$$
\eqalign{
&\textstyle
L_1(aL_{-2}+bL_{-1}^2)|\Delta\rangle
=(3a+2(2\Delta+1)b)L_{-1}|\Delta\rangle,
\cr
&\textstyle
L_2(aL_{-2}+bL_{-1}^2)|\Delta\rangle
=((4+{c\over2})a+6\Delta b)|\Delta\rangle.
}
$$
Отсюда получаем уравнения
$$
\eqalign{
3a+2(2\Delta+1)b&=0,
\cr
\left(4a+{\textstyle{c\over2}}\right)a+6\Delta b&=0.
}
$$
Чтобы система имела нетривиальное решение, необходимо чтобы
определитель ее коэффициентов равнялся нулю:
$$
18\Delta-(2\Delta+1)(8a+c)=0.
$$
Решая эту систему относительно $\Delta$, находим
$$
\Delta={\textstyle{1\over16}}\left(5-c\pm\sqrt{(c-1)(c-25)}\right),
\qquad
|\chi\rangle=\left(L_{-2}-{3\over2(2\Delta+1)}L_{-1}^2\right)
|\Delta\rangle.
\eqlabel\leveltwonullvec
$$
В случае бозонного поля $c=1$ конформная размерность $\Delta=1/4$.
Имеется два таких поля $\lcolon e^{\pm{i\over\sqrt2}\phi}\rcolon$,
для которых нуль-векторы явно равны нулю.

Более интересен случай свободного фермиона $c=1/2$. В этом случае
$$
\textstyle
\Delta_1={1\over2},
\qquad
\Delta_2={1\over16}.
$$
Поля размерности $1/2$ легко построить. Действительно, из корреляционной
функции мы видим, что поле $\psi(z)$ имеет размерность $(1/2,0)$,
поле $\bar\psi(\bar z)$ --- $(0,1/2)$. Их произведение
$\varepsilon(x)=\psi\bar\psi$
имеет размерность $(1/2,1/2)$ и представляет собой множитель
при массе в массивном случае. В контексте двумерных моделей статистической
физики масса играет роль температурного параметра (отклонения температуры
от критической), а оператор $\varepsilon(x)$ можно рассматривать как
плотность энергии.

Что же представляет собой поле размерности $\Delta=1/16$? В следующей
лекции мы увидим, что имеется два таких поля $\sigma(x)$ и $\mu(x)$
с операторными разложениями
$$
\eqalign{
\psi(z')\sigma(x)
&=(z'-z)^{-1/2}(\mu(x)+O(z'-z)),
\cr
\psi(z')\mu(x)
&=(z'-z)^{-1/2}(\sigma(x)+O(z'-z)).
}
$$
Эти {\it спиновые операторы\/} не взаимно-локальны с $\psi$, $\bar\psi$
и друг с другом. При обходе, например, $\psi$ вокруг $\sigma$ по замкнутому
контуру,  набегает множитель $-1$. Это можно представлять собой так.
Рассмотрим плоскость с выколотыми точками. Чтобы сделать область
связной, проведем разрезы из выколотых точек до бесконечности.
После построения решений уравнения Дирака в этой области следует
сшить решения на берегах разрезов. Но фермионное поле определено
с точностью до знака. Поэтому, чтобы иметь возможность правильно
проквантовать задачу, следует рассмотреть решения как с условием
$\psi_{\rm left}=\psi_{\rm right}$ на левом и правом берегу разреза,
так и с условием $\psi_{\rm left}=-\psi_{\rm right}$. В первом
случае решение можно аналитически продолжить на соответствующую
выколотую точку, а во втором случае в выколотую точку можно посадить
полулокальный оператор, который бы и обеспечивал требуемое условие
сшивки.

Известно, что модель свободного майорановского фермиона представляет
собой непрерывный предел модели Изинга в критической
точке. Действительно, модель Изинга решается переходом к
решеточным фермионным полям с квадратичным гамильтонианом.
В непрерывном пределе вблизи критической точки это поле сводится
к простому ротационно-инвариантному евклидову фермиону.
Мы увидим, что спиновый оператор $\sigma$ можно интерпретировать
как <спиновую> переменную $\pm$ в узлах модели Изинга.

\end
